0 VALOR
DIDÁTICO
DA
HISTÓRIA DA
MATEMÁTICA
ADRIANA APARECIDA DAMBROS
9413300-0
ORIENTADORA:
Prof! De.
BEATRIZDE FREITAS MONTEIRO
TCC UFSC MTM 0098
TRABALHO DE
CONCLUSÃO
DE
CURSO
0 VALOR
DIDÁTICO
DA
HISTORIA DA
MATEMÁTICA
ADRIANA APARECIDA
DAMBROS
9413300-0
ORIENTADORA:
ProP
Dr. BEATRIZ DE FREITAS MONTEIRO- UFSC
Trabalho de conclusão de curso apresentado como um dosrequisitos básicos para a obtenção do titulo de graduado em
Matemática-Licenciatura Plena
FLORIANÓPOLIS
1997/2
SUMARIO
INTRODUÇÃO 03
CAPITULO I - ERROS DOS ALUNOS X HISTÓRIA DA MATEMÁTICA 07
CAPITULO II -TIPOS DE LIVROS DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA 19
ANÁLISE DE ALGUNS LIVROS DIDÁTICOS DE MATEMÁTICA 22
CAPITULO III -VALORES DIDÁTICOS DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA 24
1- Apreensão de caminhos lógicos 25
2 - Compreensão da linguagem simbólica 28
3 - Visão de totalidade do conhecimento matemático 30 4 - A História como fonte de exemplos de aplicações práticas 31
CAPITULO IV- EXEMPLOS DE AULAS ELABORADAS DE MANEIRA
HISTÓRICO-DIDÁTICAS 33
1- EQUAÇÕES QUADRÁTICAS 33
Aula 1- Definição de equação quadrática 34
Aula 2- Número de raizes da equação 40
2- DERIVADAS
42
Aula 3 - Determinação da inclinação da reta tangente 42
CONCLUSÃO 50
52
inerente ao seu estudo, e proporciona uma
concisa da maneira em que as inovações acontecem, constituem uma garantia contra os erros futuros graças ao testemunho dos grandes sábios do passado, e rende unta homenagem de estima e reconhecimento aos que fizeram a humanidade se beneficiar de seus descobrimentos."
(Thomas Cooper)
A História da Matemática é um tema que sempre me fascinou, não
apenas durante o decorrer do curso de graduação em Matemática, mas também antes disso, durante o segundo grau. Porém, o embasamento histórico dado aos conteúdos matemáticos foram, pode-se dizer, raros durante o ensino
médio e, no ensino superior, apesar de mais freqüentes, me pareceram
insuficientes. Devo dizer ainda que quando a História da Matemática era
utilizada não chegava a afetar o tratamento dos conteúdos, apenas servia
como motivação na introdução dos conteúdos.
A melhoria da qualidade do ensino da Matemática é uma preocupação
constante de muitos professores/pesquisadores. Essa melhoria passa por
uma mudança na atual concepção do ensino de Matemática, buscando reencontrar o sentido do que se ensina. Muitas linhas de pesquisa surgiram visando a mudança dessa concepção e dentre elas destacamos, nesta
Matemática. Cujo tema em questão foi escolhido porque julgo ser o
mesmo
imprescindível no ensino qualificado da matemática, como será ilustrado ao
longo deste trabalho, e por achar que não se está dando o devido valor ao
mesmo.
A História da Matemática possui um aspecto profundamente humano, contendo fracassos e êxitos de muitas gerações. Recorrendo a ela o
aluno alcançará um entendimento e uma apreciação maior de conceitos que "desContextualizados" e "despersonalizados" são encarados como criações
divinas e não fruto do trabalho, dedicação e esforço de inúmeras pessoas.
Em geral, os alunos acreditam que "aprender' matemática é apenas acumular fórmulas e algoritmos, pois é assim que ela 6 vista. Não poderiam
ensino da Matemática é baseado em aulas expositivas, onde o
pelo professor, assumindo um pensar de outra forma, já que o
principalmente e quase que exclusivamente
aluno apenas repete o modelo apresentado papel passivo e desinteressante.
0 professor que concebe a Matemática como uma Ciência exata, logicamente organizada e a-histórica, ou seja, pronta e acabada, certamente terá uma prática pedagógica diferente daquele que a concebe como uma
Ciência viva, dinâmica e historicamente sendo construída pelos homens,
atendendo a determinados interesses e necessidades sociais.
Sendo assim, o professor que acredita que o aluno aprende
Matemática através da memorização de fatos, regras ou princípios transmitidos pelo professor ou pela repetição exaustiva de exercícios, terá uma prática pedagógica diferenciada daquele que entende que o aluno aprende construindo os conceitos a partir de ações reflexivas sobre materiais e atividades, ou partir de situações problemas e problematizações do saber
matemático-
Uma matemática viva, em progresso, em construção surge aos olhos
dos alunos quando se recorre à História da Matemática. Porém esse recurso não é trivial, faltam informações históricas para o ensino elementar e corre-se
o risco de ficar na superficialidade de uma utilização de fatos da História da
Matemática como meras curiosidades sem nenhuma implicação no tratamento
dos conteúdos matemáticos em si.
Não se trata apenas de ilustrar as aulas de Matemática com histórias
que divirtam, como biografias de matemáticos famosos, nem simplesmente de acrescentar mais conteúdo ao currículo elementar de Matemática, para
recheá-lo de referências históricas que de algum modo ajudam a demonstrar a
importância ou a beleza do assunto que se quer ensinar. Ao fazer uso da
História da Matemática em sala de aula, o professor precisa enfatizar a parte
mais substancial, o desenvolvimento das idéias ao longo dos séculos. É
preciso trabalhar com os alunos exercícios que os levem a compreensão da
construção histórica do conhecimento matemático.
Apesar de haver muitos livros de História da Matemática poucos são
acessíveis e sua aplicabilidade didática é uma questão que s6 agora passou a
ser discutida com mais vigor. 0 movimento atual de valorização da História da
Matemática não pode ser apenas mais uma moda passageira. Esse valor
precisa ser evidenciado e muitas pesquisas precisam ser feitas nesse sentido.
Há portanto, nessa área, uma lacuna a ser preenchida, uma vez que
Matemática, como qualquer outra Ciência, não é estática, evolui ao longo do
tempo e, portanto, tem História. 0 conhecimento Matemático de um século
atrás difere muito do de hoje, assim como eram diferentes a Biologia, a Física
e as próprias Línguas faladas e escritas. Essa diferenciação dificilmente se percebe pela simples observação do estado atual da Matemática.
Existe um distanciamento entre a Matemática ensinada nas escolas e seu desenvolvimento ao longo do tempo. 0 fato de que ela 6 uma Ciência
exata por excelência está muitas vezes associada a um falso mobilismo, que nenhuma ciência de fato apresenta. Na verdade a Matemática não é uma
ciência morta, ela está muito viva e isso deve ser deixado bem claro para os
alunos. Essa Matemática viva, em construção aparece claramente quando se recorre à História da Matemática.
A simples idéia de que Matemática tem História, já por si oferece uma perspectiva nova para o seu ensino. Dizer que algo tem História significa olhá-lo em ação ao longo do tempo. Significa também recuar até uma certa
distância para obter uma visão ampla 0 distanciamento propiciado pela
História da Matemática é fundamental para se obter a visão de conjunto do
conhecimento matemático que se almeja construir no ensino elementar.
Apresentamos aqui um trabalho que visa servir de introdução ao estudo sobre o Valor Didático da História da Matemática enquanto fornecedora de elementos necessários para a construção original de tópicos no ensino da Matemática, possibilitando uma visa) significativa da totalidade da matéria.
A metodologia utilizada não constitui-se de uma verificação
estatística de dados experimentais que justificam sua validade, mas sim em
análises bibliográficas, buscando os fundamentos necessários para o tema em
questão.
A primeira parte deste trabalho apresenta um paralelo entre as grandes dificuldades na assimilação de alguns conceitos matemáticos enfrentados pelos alunos e as dificuldades que estes conceitos causaram aos próprios matemáticos ao longo da história. O segundo capitulo faz um breve
comentário a respeito das fontes históricas da História da Matemática.
terceiro capitulo apresenta as principais vantagens de se estruturar os
conteúdos matemáticos a luz de seu desenvolvimento histórico. Finalmente, na
última parte deste trabalho apresentamos exemplos de 3 aulas que foram
elaboradas de maneira histórico-didática, isto 6, respeitando os obstáculos
CAPÍTULO
I
ERROS DOS ALUNOS
X HISTÓRIA
DA MATEMÁTICA
"As grandes dificuldades dos alunos na psicogênese de conceitos matemáticos são os obstáculos epistemológicos vividos por grandes matemáticos." (Marcus V. Fabius)
Todo professor de Matemática sabe que os alunos, de um modo geral, têm grandes dificuldades em compreender certos tópicos do programa, enquanto outros tópicos são facilmente compreendidos. Além disso, percebem também que nestes tópicos certos erros cometidos pelos alunos se repetem com mais freqüência que outros erros. Podemos citar os seguintes exemplos para ilustrar esse fato:
a) Potenciação de números naturais:
24 = 8 e 2° = 0 e 23. 24 = 2 12
b) Adição de números negativos:
(-2) + (+3) = -5 ou (-2)+(+3) = -1
+ = a2 b 2
e (a - b) 2 = a2 - b2
d) Cálculo de raizes irracionais: 42= não dá para calcular
e) Multiplicação por zero: 2 0 = 2
f) Na divisão por zero: 2 — = 0 0 ou 2 — = 0 0 e
g) Na identificação dos coeficientes:
x2 -3x + 4 = 0, a=x, b=3, c=4 h) Na soma de monômios: x2 +x2 =x4 ou + = i) Na multiplicação de monómios: x..x = 2x ou x.x= 2x2 j) Na potenciação de monómios: (3x)2 = 3x2
Esses erros ocorrem mesmo quando a escola adota uma linha pedagógica diferente. Pode ser que em uma determinada linha pedagógica diminuam as dificuldades em certos tópicos considerados difíceis, porém muitos erros continuam a se repetir. E difícil obter uma resposta para essa
Exemplo 1: Divisão por zero:
Alunos: 1' = 0 ou 0
2
o
0 ° e 2 = 2
repetição de erros na Matemática, já que existem diversos fatores que influenciam no processo ensino-aprendizagem.
Essa repetição da dificuldades com certos conceitos matemáticos nos remete à epistemologia e á História da Matemática, nos fazendo cogitar a hipótese de que os mesmos podem estar ligados as dificuldades históricas na assimilação dos conceitos envolvidos.
Apresentamos a seguir um paralelo entre alguns erros cometidos pelos alunos e os cometidos por grandes matemáticos ao longo da história:
2 3 0 Matemáticos: Bramagupta — = — e 0 = n 0 0 2 Bhaskara — o = 2
Exemplo 2: Números negativos:
Alunos: (-2) + (+3) = -5 ou (-2)+(+3) = -1 Matemáticos: al-Khwoarizmi: não aceitava números negativos
Bhaskara: aceitava só como números Girard: aceitava como números
L. Carnot: não aceita a reta numérica
Exemplo 3: Números irracionais:
Alunos: : "nab tem" ou "não da para calcula?'
Matemáticos: Pitagóricos: -,/não 6 um flamer° e sim uma grandeza Kcroneker: "não existem números irracionais"
Exemplo 3: Logaritmo de número negativo:
Alunos: Se 2 > 0 então 2'5O E impossível existir In(-1)
Matemáticos: J. Bernoulli: ln(-1) existe e 6 um número real
Leibniz: se existir In (-1) não é um número real Euler: In(-1) existe, mas é um número imaginário
Exemplo 4: Números imaginários:
Alunos: apenas operam, mas reconhecem que esses números não são "bem números"
Matemáticos: Chuquet: não aceitava como números Leibniz: aceitava como números Newton: aceitava só como raizes
Se nos basearmos em publicações como: livros, revistas especializadas ou anais de Congressos podemos dizer que até 1990 os educadores matemáticos não faziam pesquisas no Brasil sobre a relação entre História da Matemática e o ensino desta Ciência, ou talvez as pesquisas tivesse principiando de modo que ainda não viesse a dispor de resultados. As aulas em geral são cópias de livros didáticos e são raras as vezes em que a
História da Matemática é utilizada. Quando isso ocorre ela 6 utilizada como
motivação ou desafio.
Estudando a História da Matemática observamos que alguma
dificuldades vividas pelos alunos foram verdadeiras barreiras para grandes
matemáticos, como observamos nos exemplos citados anteriormente. Ainda
prática clandestina do cálculo com números negativos antecedeu em mil e seiscentos anos sua compreensão. Eis uma lição que a didática da matemática jamais poderia esquecer. (G. Glaeser).
"Os números negativos, introduzidos pelos hindus de espirito pratico, por volta de 600 d.C. não tiveram aceitação durante um milênio. A razão: faltava-lhes apoio intuitivo. Alguns dos maiores matemáticos, Cardan, Viète, Descartes e Fermat recusaram-se a operar com esses números. A história dos números complexos é algo semelhante, embora eles só houvessem aparecido mais ou menos em
1540 d.C., e foram necessários uns dois séculos para que fossem usados um tanto livremente." (Kline)
Considerando os números negativos, podemos fazer a seguinte
comparação:
w' Os alunos encontram grandes dificuldades em operar com números negativos.
E.' A comunidade matemática como um todo, levou treze séculos para
aceitá-los como números.
Se acreditarmos não ser isso uma mera coincidência, podemos tentar entender esse fato estudando a Historia da Matemática com outro enfoque, tentando compreender a evolução das teorias e conceitos matemáticos.
Pode-se começar esse estudo com uma cuidadosa leitura, não da Historia da
Matemática como um todo - isso seria trabalho para um longo tempo - mas sim,
Números negativos;
Números irracionais; Coeficiente literal; Funções;
Equações quadráticas;
Divisão por zero;
Operações algébricas;
Os tópicos citados foram escolhidos pois representam algumas das principais preocupações didáticas no ensino de matemática.
Analisando a História dos tópicos citados anteriormente podemos chegar a conclusões como:
Um mesmo conceito, como o de número negativo por exemplo, foi aceito por alguns matemáticos e rejeitado por outros. 0 que nos leva a acreditar que existem realmente conceitos que se opõem a
intuição, por esse motivo são difíceis de serem assimilados.
Um mesmo conceito, como por exemplo o de função, teve diferentes
definições até chegar a definição moderna através de conjuntos. Isso
mostra que a crença popular de que a "matemática não muda" 6
uma inverdade.
A descoberta de um teorema, na maioria da vezes, não se fazia
através de demonstração. Na verdade, muitos teoremas foram
concluidos a partir de experiências práticas, como o Teorema de
Pitágoras, ou admitidos por indução, como o Binômio de Newton.
Suas demonstrações ocorreram muito tempo depois. Sendo assim questionamos o porquê das aulas de geometria em geral ocorrerem
de maneira inversa ao desenvolvimento histórico, visto que , costuma-se enunciar um teorema e logo em seguida faz-se sua demonstração
analítica
Será que ao se começar uma aula pelas conclusões históricas dos matemáticos, os professores são incompreendidos justamente porque o aluno não vivenciou parte do processo histórico-criativo que levou o homem àquela conclusão matemática?
As aulas de matemática são apresentadas segundo uma sequência de
tópicos que parece naturalmente lógica. Sequência lógica para quem?
Ao olharmos para a Historia, vemos que a seqüência do processo de criação de certos tópicos da Matemática, opõem-se a seqüência utilizada no ensino atual dos referidos tópicos.
Estudando Historia da Matemática constatamos que os matemáticos muitas vezes provavam os teoremas muito tempo depois de usá-los. Por exemplo: o Teorema de Pitágoras, que foi demonstrado no século V a.C. já era usado pelos escribas egípcios em alguns casos particulares a mais de um mil anos antes de Pitágoras.
Isso ocorreu muitas vezes, isto 6, a história mostra vários exemplos nos quais grandes matemáticos utilizaram: conceitos, propriedades ou operações que ainda não tinham sido estabelecidas.
A historia da matemática registra ainda a seqüência do processo
histórico-criativo. Quando a teoria já está constituída, segue uma sequência
lógica-dedutiva porém, esta aparece aos olhos dos contemporâneos, como a
única sequência correta.
Os que defendem um ensino da matemática, seguindo um encadeamento lógico concebem apenas sua lógica atual e já formalizada. Como afirma Newton Duarte na sua tese de mestrado: "A relação entre o lógico
e o histórico no ensino da matemática elementar, defendida na Universidade de São Paulo em 1987:
"0 principal problema para aqueles que defendem uma seqüência lógica de um ensino, está no fato de que eles concebem a lógica do processo, em outras palavras, eles analisam o conteúdo matemático que pretendem ensinar, tomando-o na sua forma acabada, na sua forma mais elaborada e, então elaboram uma sequência de ensino, que é uma mera reprodução da lógica desta forma acabada, dessa forma, mais elaborada do conteúdo matemáticon.
Nessa visão de seqüência lógica podemos citar um exemplo de fracasso muito conhecido: a Matemática Moderna.
No livro de Klein "0 Fracasso da Matemática Moderna", essa idéia está bem relatada. Ele diz que um dos objetivos da educação primária é o estudo do sistema de numeração e das quatro operações aritméticas. Entretanto a matemática moderna introduziu a teoria dos conjuntos na escola elementar, com a intenção de, por exemplo, dar uma linguagem precisa e universal ao ensino da matemática. Esquece-se porém que há mais de dois mil anos, a humanidade vinha aprendendo as quatro operações sem o uso de conjuntos e que essa caminhada, com essa al linguagem simbólica era trilhada por algumas poucas pessoas, os matemáticos - e conquistada a menos de um século.
Na matemática moderna, as operações passaram a ser vista como operações de um conjunto chamado corpo. Ou seja os modernistas resolveram iniciar o estudo das quatro operações pelo fim da história destas operações.
E claro que o aluno não precisa vivenciar uma série de fatos históricos da matemática que não necessariamente o levaria à nossa matemática atual. 0 educador, na verdade, não seria levado a matemática do seu tempo, pois precisaria de toda a sua vida para tornar-se um aluno medieval. Ele deve sim, apropriar-se do conhecimento já existente disponível.
0 educador reproduzirá com o educando não a história da matemática,
mas as etapas essenciais da evolução do conteúdo matemático. Mas a grande
questão é determinar quais as etapas essenciais, que critérios usaríamos para
distingul-los de outras etapas da história. Segundo Newton Duarte:
"0 ponto de referência para essa tarefa é a lógica do conteúdo matemático. E ai é que está a dialética entre o lógico e o histórico: q lógico reflete o histórico pelo fato de que o lógico formou-se ao longo do processo histórico. O lógico 6, portanto, o ponto de partida para o estudo histórico, na medida em que o lógico reflete as etapas essenciais do processo histórico".
Fazendo a análise histórica da evolução de uma teoria, percebemos quais pontos foram polêmicos e quais foram explicitamente rejeitados. Se estes
foram constituintes da construção do desenvolvimento lógico do conceito em estudo, então essa passagem histórica deve ser incluída no processo de ensino-aprendizagem.
Para exemplificarmos isso usaremos a definição de logaritmo introduzida para resolver equações do tipo 4` = 17, onde x é dito logaritmo de 17 na base 4. A partir dai define-se:
"Dados dois números reais b > 0 e 0 <a 1, chama-se logaritmo do número real b na base a, ao número real x, tal que ax = b e indicamos assim; Ioga b =
Esta definição representa o fim de uma bela descoberta que residia no seguinte fato: se todos os números fossem escritos como potências de 10, as
multiplicações eram reduzidas a simples adições e as divisões
transformavam-se em subtrações. Alem disso, para chegar as exceções sobre a e b, grandes
matemáticos, como Leibniz e Bernoulli, tiveram que enfrentar o logaritmo de
um número negativo que pode ter sido um obstáculo que serviu para elaborar essa moderna definição de logaritmo de um número real. No entanto, a atual forma de apresentação didática de logaritmos, relega a motivação de sua
descoberta ao último item do programa, quando ocasionalmente é dado, e ainda com enfoque diferente.
Deste modo, quando definimos o logaritmo acima, o fazemos seguindo
uma sequência lógico-dedutiva, sob a ótica da lógica de nosso tempo. Se
seguimos, no entanto, os passos históricos na cosntruçáo do atual conceito de logaritmo, seguiríamos a sequência histórica-criativa. A primeira sequência 6
adequada ao matemático profissional e o segundo ao episternálogo da
matemática.
Como o nosso objetivo é ensinar matemática, podemos encontrar um equilíbrio entre essas duas seqüências criando a seqüência histórico-didática.
Histórica por respeitar o processo de criação e os obstáculos epistemológicos
registrados na história. Didática, por respeitar a estrutura cognitiva do educando, onde as demonstrações são didaticamente convincentes, ao invés de logicamente perfeita aos olhos de um matemático do nosso tempo.
Muitas demonstrações que os professores fazem nas aulas, na verdade provam apenas para eles mesmos, o que é didaticamente incoerente. A demonstração deve ser pedagogicamente convincente, deve ser um instrumento do raciocínio que confirma ou rejeita uma suspeita do aluno, nela devem ser considerados verdadeiros todos os passos que parece ao aluno naturalmente verdadeiros.
Nós costumamos comparar o ensino da matemática a uma "escada" onde é indispensável que os alunos aprendam todos os conceitos e propriedades de uma determinada série para que possam compreender os conceitos matemáticos da série seguinte. Por outro lado, a história mostra que de um modo geral isso não ocorreu. No livro "A Criação Cientifica" do filósofo
da Ciência, Abraham Moles, ele diz que constuma-se representar esta ideia de
sequência lógica perfeita através de uma corrente, e mostra que ela não é
adequada a realidade da criação matemática Pois, se um elo (que representa um teorema) quebrar-se, desmorona a construção lógica. Este autor sugere
uma "rede emalhada" como uma imagem bem mais representativa do • pensamento lógico numa demonstração matemática, onde os nós representam os teoremas e os fios que s ligam são caminhos distintos da dedução. Aliás, diz moles, "o fato de um fio romper-se (uma demonstração falsa ou mal feita) não põe em perigo de modo algum o conjunto da trama nem o valor dos teorennto que é efetivamente o caso". (figure abaixo)
Nos Ciltimo5 anos sempre associou-se a maioria dos problemas didáticos da matemática ao uso de uma metodologia inadequada. Nas discussões entre professores reinava o paradigma piagetiano da concretização (mal interpretado por muitos professores): as aulas deveriam levar os aluno a realizar experiências concretes, bem como, a respeitar os estágios piagetianos do desenvolvimento cognitivo da criança. Porém, estas discussões estavam restritas às series iniciais.
Com esse, até, penso eu, excesso de concretização, constatamos que os erros cometidos repetidamente pelos alunos não deve-se somente à uma ausência da metodologia de materiais concretos, pois apesar da utilização
desse materiais auxiliar a aprendizagem da matemática, essa metodologia é incapaz de solucionar o problema dos alunos errarem sempre nos mesmos tópicos da matemática.
"Não há dúvidas de que as dificuldades que os grandes matemáticos encontraram são precisamente os tropeços que os estudantes experimentam, e que, nenhum esforço para eliminá-los com verbosidade lógica, pode ser bem sucedido. Se os matemáticos levaram um milênio desde o tempo em que a matemática de primeira classe pareceu chegar ao conceito de número negativo - e levaram - e se levaram outro milênio para aceitarem os números negativos - e levaram - podemos ter certeza de que os estudantes terão dificuldades com números negativos". (Morris Kline)
CAPÍTULO II
LIVROS DE HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
"Uma coisa 6 escrever como poeta, e outra como historiador o poeta pode contar as coisas não como foram, mas como deviam ser, e o historiador há de escrevê-las, não
como deviam ser, mas como foram, sem acrescentar nem tirar á verdade a minima coisa" (Cervantes)
Existe uma quantidade muito grande de dados históricos, que cada vez mais está crescendo e se modificando à medida em que as pesquisas são desenvolvidas. Mais que conhecer uma série de fatos históricos isolados, importa sobretudo que o professor tenha claro a noção de onde obter essas informações históricas.
A primeira obra que se tem noticia sobre a História da Matemática é a do grego Eudemos de Rodes, por volta de 320 a.C.. Porém dela só sobraram algumas referencias em outras obras.
Quanto ao uso didático da História da Matemática, no Brasil algumas das primeiras obras publicadas referentes a esse assunto são do professor „Who César de Mello e Souza, cujo pseudônimo era Malba Tahan (1895-1974).
Sendo que o mesmo, em curso e palestras proferidas sempre procurava enfatizar o valor do uso dessa ferramenta didática para a Matemática.
Podemos classificar os livros de História da Matemática em: 'Cronologias
gr Biografias gr Por assunto ge Outros
0 modo como o livro está organizado é importante para definir a estratégia de sua utilização didática.
Livros cronológicos: Servem como fonte para conhecer profundamente a matemática de uma determinada época. Apenas se limita a fazer uma descrição sucinta do conhecimento matemático de uma época, fornecendo alguns exemplos de problemas e mencionando algumas obras de autores desse período..
E preciso, no entanto tomar cuidado ao fazer uso desse tipo de livro, pois, não basta utilizar fragmentos da História da Matemática cronológica a respeito de um assunto especifico, pois, uma vez fragmentado, esse tipo de texto acaba perdendo o sentido.
Livros por assunto:
Embora a visão de conjunto seja bastante importante no valor didático da História da Matemática, sendo propiciada nos livros cronológicos, fica difícil discernir uma lógica adequada ao ensino de um determinado tópico especifico. E mais fácil reconhecê-la nos livros de História de Matemática por assunto, os quais são organizados internamente permitindo sua utilização seja qual for a seqüência curricular adotada, não exige um conhecimento profundo
da História da Matemática por parte do leitor e por apresentar a evolução histórica de cada tópico em particular permite a obtenção da lógica Matemática em construção, ou melhor, da construção do assunto matemático
especifico que se quer ensinar, evitando excessos de generalizações.
Os livros por assunto têm a função especial de fornecer indícios para a construção do caminho lógico adequado ao nível dos alunos, de modo que os tópicos específicos adquiram significado aos seus olhos. Com esse tipo de
livro pode-se captar na origem histórica de um determinado tópico a lógica que caracteriza o seu surgimento. A partir dai procura-se reproduzir na sala de
aula passos análogos aos da seqüência criadora do conhecimento que se quer
transmitir. Deixa-se de lado dados supérfluos, atendo-se somente a seqüência lógica que levou , historicamente, à construção daquele conhecimento matemático.
Existem muitos livros de História da Matemática que precisam ser mencionados, e nós o fizemos no final deste trabalho, junto as referências bibliográficas. Uma analise maior a respeito de cada um deles levaria
bastante tempo e não é o objetivo deste trabalho, portanto nos restringimos a citá-los.
ANALISE DE ALGUNS LIVROS DIDÁTICOS
Fazendo a análise de alguns livros didáticos de matemática de
10 e 20 graus, que dizem conter, além dos conteúdos comuns, algo
sobre história da matemática, verificamos que os mesmos contêm apenas pequenos textos históricos, no inicio ou final de cada capitulo, como é o caso dos seguintes livros:
Livro: "A Conquista da Matemática - Teoria e Aplicação"- 1 °grau Autores: José Ruy Giovanni, Benedito Castrucci, José Ruy
Giovanni Jr. Editora: FTD
Livro: "Matemática - 2 ° Grau
Autores: José Ruy Giovanni, José Roberto Bonjomo Editora: FTD
Ambos os livros acima são adotados no Colégio de Aplicação da UFSC e servem como base para as aulas de matemática do referido Colégio.
Citamos ainda:
Livro: "Matemática Scipione - 1 ° Grau Autor Scipione di Pierro Netto
Editora: Scipione
que apresenta um suplemento especial em anexo, com 19 páginas, apresentando algumas "histórias curiosas" envolvendo conteúdos matemáticos.
Assim como os livros citados acima, os demais livros analisados, desnecessário seria mencionar todos, apresentam apenas
adendos históricos que nem de leve chegam a afetar o tratamento do conteúdo. Embora seja inteiramente louvável a introdução dessas referências históricas nesses livros, poderia-se sugerir que também o
conteúdo matemático fosse tratado de modo significativo, fazendo uso da História da Matemática. Alguns livros trazem inclusive essa parte
histórica em páginas de cores diferentes das demais, apresentando em
seguida um conteúdo que parece nada saber da sua construção histórica, estando antes elaborado inteiramente segundo o formalismo próprio da matemática sistematizada.
CAPÍTULO III
VALORES DIDÁTICOS DA HISTORIA DA MATEMÁTICA
gt de se esperar que as pessoas queiram aprender de
nós como e em que ordem as descobertas matemáticas se sucederam umas ás outras, e seria nosso dever ensiná-las. For feita a História da Pintura, da Música, da Medicina, etc. Uma bOa História da Matemática, em particular da geometria, seda uma obra mais curiosa. Que prazer não se teria ao ver a ligação, a conexão dos métodos, o encadeamento das diferentes teorias começando desde os primeiros tempos até o nosso, no qual essa ciência se encontra transportada a tão alto grau de perfeição."
0 texto acima, que mostra a antiguidade da preocupação pela difusão
da História da Matemática, é um trecho de uma carta escrita pelo francês
Montmort à um dos matemáticos da família de Bernoulli. A mesma foi escrita
no final do século XVII, mas poderia tranqüilamente ter sido escrita na época
atual, pois retrata uma situação muito atual principalmente no ensino da
Matemática elementar.
Florian Cajori, ha um século, já alertava sobre a imagem de Ciência
"8
possível ao professor deixar claro para o aluno que a matemática não 15 uma Ciência moda, mas uma Ciência viva na qual um progresso continuo é realizado."Através do uso da História da Matemática essa imagem de Ciência viva, dinâmica e em construção aparece. Porém não é suficiente que se ilustre
as aulas com biografias de matemáticos famosos ou pequenas, divertidas e curiosas passagens da História da Matemática. E preciso usar a História da Matemática de uma forma mais profunda, deixando que os conteúdos sejam influenciados por ela.
Sao várias as vantagens oferecidas ao se estruturar os conteúdos matemáticos à luz de sua evolução histórica. Destacamos:
1 -APREENSÃO DOS CAMINHOS LÓGICOS
A geometria historicamente foi o primeiro ramo do conhecimento a ser apresentado de maneira lógica formalizada. Mas fica claro que a Matemática apresenta um padrão lógico que varia ao longo da sua História. Demonstrar tinha um significado no tempo de Pitágoras e outro no tempo de Euclides. lsso vale para a evolução da matemática como um todo, ou em grandes áreas como a representada pela geometria, mas também se aplica ao processo geral da criação matemática, como se dá por exemplo atualmente num trabalho de pesquisa cientifica.
Ao olharmos para a história, vemos que a seqüência do processo de criação de certos tópicos da Matemática opõe-se a seqüência utilizada no ensino atual dos referidos tópicos. A lógica utilizada hoje na organização dos
currículos matemáticos, a do conhecimento sistematizado, não é a mais adequada, pois não revela a Matemática como uma ciência em construção.
Essa visão da Matemática em construção é a que obtemos pelo estudo da História da Matemática, a qual surge assim como a grande fonte para apreensão da organização lógica mais adequada ao ensino da Matemática, principalmente no nível elementar, onde os padrões lógico-formais estão ainda mais distantes dos alunos. A forte relação da lógica com o ensino constitui, portanto, um componente decisivo para a avaliação do uso da História da matemática como recurso pedagógico, revelando com muita profundidade seu valor didático.
Alguns autores afirmam que a simples reprodução das etapas lógicas da construção histórica do conhecimento matemático é suficiente para se obter um ensino logicamente adequado aos alunos. Asger Aaboe, um matemático interessado pelo valor didático da História da Matemática, aconselha evitar uma generalização excessiva desse paralelismo entre evolução cientifica e ensino de Ciências, mas sugere que há algo de valioso nessa interrelagão:
"Um principiante deve começar pelo início, e o começo freqüentemente composto de material velho. Posso llustrar isso com uma citação biológica que, devido a sua forma curiosa, gravei na memória. Diz que a ontogenia recapitula a filogenia, e isso significa que, no desenvolvimento de um indivíduo, vemos, em passagem rápida, o desenvolvimento de toda a sua espécie. Tomada literalmente, esta afirmação pode conduzir, e tern conduzido, a todo tipo de absurdos, mas apropriadamente restrita contém algo de verdadeiro. Da mesma maneira modificada, ela se aplica à espécie dos matemáticos. desenvolvimento embriânico de um matemático, isto 6, em educação que o conduz dos princípios até à frente de pesquisa
de sua época, segue com efeito, grosseiramente, o desenvolvimento da própria matemática."
A referencia à hipótese do paralelismo onto-filogenético é lugar comum
entre pesquisadores e autores de livros de História da Matemática, mas essa
hipótese gera bastante polêmica. Mesmo Piaget e Garcia, por exemplo, ao
escreverem sobre a psicogênese do conhecimento cientifico, são prudentes
nesse ponto e não se arriscam a ser categóricos:
"No devir histórico, os fatos não são em geral, claros, nem os efeitos tão facilmente isoláveis. 0 progresso cientifico, a busca de determinadas formas de explicação, a aceitação ou a rejeição de conceitos e de teorias de um certo tipo respondem, no mais das vezes, a um jogo de interações complexas, em que os fatores sociais e as exigências internas do próprio sistema cognitivo são complementares e reforçam-se ou opõem-reforçam-se e atenuam-se."
Essa complexa rede de interações impõe series dificuldades a quem pretende estudar a História da Matemática visando descobrir um principio
geral da evolução do conhecimento matemático que possibilite a interpretação
e conseqüente utilização didática da História da Matemática. Segundo Carl
Boyer a História da Matemática mostrou que as "repetições" são tão variadas e
imprevistas que impedem qualquer previsão significative das coisas que estão para vir.
- Essa indeterminação histórica constatada por Boyer no final dos seus
estudos sobre História da Matemática, pode aparentar ser um aspecto
negativo do recurso à História da Matemática com fonte lógica. Parece retratar a mesma como uma sucessão de fatos sem uma relação clara entre si,
tornando difícil a apreensão da lógica da construção do conhecimento
matemático simplesmente recorrendo a História da Matemática.
2- COMPREENSÃO DA LINGUAGEM SIMBÓLICA:
A representação matemática em linguagem simbólica é um componente importante do valor didático da História da Matemática, pois da sua interpretação depende o aprendizado em si e também a motivação para ele.
No ensino elementar acabasse operando com simbolos sem o cuidado de apreender seu significado, enfatiza-se apenas a técnica de fazer cálculos.
Por isso, muitas vezes, a Matemática torna-se objeto de aversão por parte dos alunos do nível elementar.
O significado da matéria é ponto central do interesse dos alunos pela
Matemática, pois sem acesso a ele não pode haver interesse nem motivação
autênticos. Um ensino significativo é um ensino motivador.
"Que diferença essencial existe entre ensinar um animal humano a usar um algoritmo para encontrar a raiz quadrada de um número e ensinar uma pomba a apertar cedas combinações de botões coloridos para obter alimento? (Raymond Louis Wilder)
"Ensinar Matemática não é ensinar expedientes práticos para a resolução de problemas de imediata utilidade. Mesmo que se aprendam, passado algum tempo, esquecem-se esses expedientes ou mudam as circunstancias." (Luiz Jean Lauand)
Se o aluno não capta o real significado do que esta fazendo,
não é capaz de utilizar essas técnicas em outros contextos ou outras
situações.
Observando as origens de um assunto, captamos sua notação
simbólica ainda com significado, antes de que passem pelo processo de
formalização que fez por distanciá-la da relação semântica inicial. A
ligação entre Matemática e a linguagem comum, fonte da lógica natural,
aparece então como uma ligação entre a Matemática e a realidade, a qual, como diz Lauand, está de algum modo presente na gênese e no desenvolvimento de todo pensamento matemático, e se nos afastamos dessa relação, a Matemática tende a transformar-se num mero jogo
sintático. É pelo recurso A História da Matemática que impedimos que a
Matemática se torne, aos olhos dos alunos, uma sintaxe estéril.
No ensino da linguagem natural, aparentemente se respeita a ordem lógica do aprendizado, e em geral não se procura enfatizar as
questões sintáticas antes que os alunos tenham uma suficiente
familiaridade com a semântica, conhecendo o significado das palavras
que estão usando para formar frases. No ensino da Matemática, ocorre
uma separação radical entre a técnica sintática e a interpretação da
linguagem simbólica empregada, tendo como conseqüência a perda do contato com o significado por parte dos alunos. Um símbolo depende de outro e ambos estão relacionados entre si por uma lógica mais
Na Matemática a simbologia 6 muito usada, porém esses
simbolos As vezes são tratados como se fossem entidades reais de
existência óbvia. Recorrendo-se A História da Matemática 6 possível obter um ensino mais significativo.
Para transmitir esse significado aos alunos, o professor não
precisa necessariamente contar trechos da História da Matemática relacionados a ele. È preciso que deixe sua programação curricular ser
inflenciada pela História da Matemática, planejando a abordagem dos
tópicos de modo a construi-los junto com os alunos, de acordo com o
caminho histórico da sua construção original. Narrar biografias ou fazer
correlações com os principais eventos da História das Civilizações
pode ser um recurso interessante, mas o que importa é que o conteúdo
seja influenciado pela História.
3- VISÃO DE TOTALIDADE DO CONHECIMENTO MATEMÁTICO:
Um outro grande valor didático da História da Matemática decorre da
visão de conjunto e de totalidade do conhecimento matemático que ela
proporciona, o que é fundamental para uma melhor compreensão de certos aspectos que isoladamente parecem carecer de sentido, particularmente no que se refere as aplicações praticas dos conteúdos da Matemática elementar, onde a História da Matemática 6 uma grande fonte de exemplos.
Obviamente, 6 necessário uma divisão do conteúdo, visando a
adequação da matéria ao tempo disponível e outros fatores determinantes.
Mas ao fragmentar o curricula 6 preciso cuidado para que não se perca noção
independente corre o risco de pulverizar essa visão de totalidade, tornando o currículo um quebra-cabeças incongruente aos olhos dos alunos. Sem perceber a ligação entre os assuntos estudados, os alunos podem ter
dificuldades de resolver problemas e aprender coisas novas que envolvam o
recurso a vários tópicos de uma vez.
4- A HISTORIA COMO FONTE DE EXEMPLOS DE APLICACÕES PRATICAS:
A visão de totalidade do conhecimento é importante também quando
se quer mostrar aos alunos um maior número de possível de aplicações
práticas, onde a História da Matemática constitui-se numa grande fonte de
aplicação em vários níveis.
0 estudo da evolução histórica da Matemática como um todo fornece, portanto, a cada tópico do currículo, uma razão de ser, uma utilidade que transcende a sua possível aplicação pratica imediata. A História está repleta de exemplos de que não se pode medir o valor de um dado conhecimento matemático apenas pela sua aparente falta de aplicação . Podemos citar as
secções cônicas que foram descobertas pelos gregos no século IV a.C. e dois
mil anos depois foram utilizados por Kepler para mostrar a órbita de um planeta e por Galileu no estudo da trajetória de projéteis.
Propor um ensino de matemática respeitando a evolução histórica
desta Ciência, é uma proposta que entra em conflito com a atual forma de apresentar a matemática em sala de aula. Por isto precisa de uma sólida base
cientifica para apoiá-la. Encontramos essa base teórica no livro "Psicogènese
e História das Ciências" do psicólogo suiço J Piaget (1896-1980) e do físico R. Garcia. Neste livro os autores mostram um paralelismo entre os estágios de desenvolvimento da Ciência e o desenvolvimento cognitivo da criança, mostrando que os mecanismos de passagem de um estágio ao seguinte, tanto no desenvolvimento histórico das ciências, quanto no desenvolvimento intelectual da criança são os mesmos.. Os autores nessa obra buscavam compreender a psicogênese dos conceitos matemáticos e físicos.
Ainda na obra citada, referindo-se a evolução das Ciências, os autores lembram que os problemas enfrentados pela Ciência ao longo de sua
história mostram que a Ciência está em eterna metamorfose. De modo que
nenhum ramo da Ciência pode considerar que suas bases estão definitivamente estabelecidas e inquestionáveis, incluindo a Matemática, pois pode acontecer de um teorema apresentado como verdadeiro em geral, no futuro venha a constituir-se num exemplo particular de uma nova teoria
matemática. Na geometria encontramos o seguinte exemplo: a soma dos
ângulos internos de um triângulo fora sempre 180 graus, porém, no século XIX,
com o surgimento das geometrias não-euclidianas, mostrou-se que isso só é verdadeiro para triângulos planos e não para triângulos sobre uma superfície curva como a de uma esfera. Este exemplo mostra que o conhecimento cientifico está intrinsecamente ligado ao contexto histórico.
CAPÍTULO IV
EXEMPLOS DE AULAS ELABORADAS DE MANEIRA
HISTÓRICO- DIDÁTICAS:
As aulas abaixo foram elaboradas pelo professor Marcus Fabius Ferreira (Bonet) - UNESP, Rio Claro-SP
1. EQUAÇÕES QUADRÁTICAS
A História da Matemática registra a dificuldade que os Matemáticos
tiveram para generalizar uma idéia. Um conceito tão simples como, por
exemplo, o de coeficiente literal, ou parâmetro, passou séculos sem ser percebido. A lição que podemos tirar para a didática 6 que não devemos
começar pela definição genérica de qualquer assunto. Assim para que o
conceito de coeficiente literal seja compreendido pelo aluno, devemos entender tal conceito com a necessidade de generalizar. Apresentamos, seguir, duas aulas sobre equações quadráticas que introduzirão o conceito de
AULA 1:
Definição de Equações Quadráticas:1) Problema didático:
Uma piscina infantil, por decisão de um condomínio deve ser construída nas seguintes condições:
a) na forma retangular com um metro de profundidade; b) o comprimento deve superar em 2,5m a largura; c) deve ter um volume de 21m3
Resolução:
largura: x x (x + 2,5) . 1 = 21
comprimento: x + Z5 x2 + 2,5x = 21
altura: lm Para encontrarmos x devemos resolver a
volume: 21m3 equação
22) Características da equação:
0 aluno deve perceber que a nova equação que surgiu tem a Incógnita elevada ao quadrado, e esta é a principal característica das equações que vamos estudar. Por este motivo chamaremos de equação quadrática. Em seguida devemos dar exemplos como estes:
x2 + 5x = 14 x2 - 5 = 3x x2 + 5x= 10x 3x2 - 8x = 0 1 -6x2 - x = 7x2 — 2 x2 + 5x = 3x 4
A
partir desses, pedir a cada aluno que elabore seus própriosexemplos, onde a única preocupação é a presença do termo x2.
Características da equação:
Para que o aluno reconheça uma equação quadrática, faz-se
necessário mostrar a diferença que existe desta equação para as equações
lineares, cúbicas ou quárticas. Por isso, sugerimos exemplos de outros tipos
de equações, agora classificadas segundo o expoente máximo da incógnita.
Exemplos:
a) 1 2 grau: 3x = 5, 4x + 1 = 0 b) 22 grau: x2 + 5 = 0, 2x2 + 3x = 1 c) 312 grau: + 4x2 - 3x = 7
d) 49 grau: x4 + 3x3 - 1 = 2x
assim a equação quadrática também pode ser chamada de equação do 2°
grau.
4-5 Caracterisficas da equação:
Devemos dar vários exemplos de equações do 2g grau ate que o aluno
perceba que: os coeficientes são sempre valores conhecidos conhecidos e
diferencia apenas uma equação da outra, mas, não modifica o grau da
equação. Por conseguinte podemos substitui-los por letras, as quais
representam esses números previamente conhecidos e chamá-los de
coeficiente literal. Também devemos dizer que os matemáticos do século
XVIII, adquiram o hábito de igualar a zero as equações e escrever a incógnita
em ordem decrescente de seus expoentes. Vejamos um exemplo:
Agora devemos dar uma série de exemplos que possam levar a generalização de equações quadráticas como os que se seguem:
32 +4x+2=0 -2x2 +5x-8=0 6x2 + 8x + 1 = 0 /x2 + Ox + —3 = 4 1 4, - 2x - = 0 2 —3x 2 " 7x + 0=0 4
Assim o aluno deve notar que sempre existe um número multiplicando x2, outro multiplicando x, e um número independente de x, Portanto todas as equações são escritas da seguinte maneira:
( ) x2 + ( ). x + ( ) 0
Foi o que matemático francês do século XVI, Viète, passou a introduzir outras letras nas equações para representar números conhecidos. No século seguinte, Descartes, outro matemático francês passou a usar as letras do fim alfabeto: x, y, z para as incógnitas (valores desconhecidos e procurados); e as letras do inicio alfabeto: a, b, c, d para representar os números conhecidos na equação.
Assim, representaremos por a, os números que multiplicam xz por b, os que multiplicam x; e por c, os números independentes de x . Estas letras chamaremos de coeficientes literais. Portanto, feito esses acordos intelectuais, podemos dizer que: toda equação do 22 grau na incógnita x é do tipo:
Vejamos alguns exemplos particulares e reconheçamos nestes os valores dos coeficientes literais.
a)3x2 +2x + 7 = onde a=3, b=2, c=7
b)5x2 - 6x - 1 = 0 onde a=5, b=-6, c=-1
Notemos que b é igual a -6 e não a 6 pois a equação poderia ser rescrita assim: x2 + (-6).x + (-1) = 0. Isto significa que podemos interpretar o sinal ( - ) não como o sinal da operação de subtrair, mas como o sinal negativo
do coeficiente de x. Portanto, o mesmo vale para outros coeficientes.
Além dessas observações existem equações nas quais omitimos os
coeficientes por ser mais prático.
Exemplo:
c)1.x2 - 1.x + 1 = 0 onde a = 1, b = -1, c = 1
Esta equação poderia ser reescrita de maneira mais simplificada, pois: 1.x2= x2, -1.x = -x. Assim, a mesma equação se transforma em: x2 - x + 1 = O. Neste caso nos dá a impressão de que não existem os coeficientes a e b, mas, como vimos acima eles valem: / e -/ respectivamente. Note também que
quando o coeficiente b ou c ou mesmos ambos, forem iguais a zero, a equação
ficará mais simples ainda, pois reduz o número de termos. Por exemplo, as
equações:
d)3x2 + Ox + 4 = 0 onde a = 3, b = 0, c = 4 e) 4x2 -5x + 0 = 0 onde a = 4, b = -5, c = 0
podem ser escritas de maneira mais simples porque: 0.x = 0 e 5x + O = 5x. Logo, elas se transformam em: a) 3x2 + 4 = 0 onde já sabíamos que a = 3,
b = 0, c = 4, b) 4x2 - 5x = 0 , onde a = 4, b = -5 e c= O. Assim, concluímos
aparecem na equação, além disso se dois são simultaneamente iguais a zero a
equação 3x2 + 0.x + O = 0 se transforma em 3x2 =
Creio que o aluno ainda deve fazer uma série de exercícios para
identificar os coeficientes literais e a incógnita de cada equação e nestes
exercícios as incógnitas devem ser: x, y, z e t. Ao final destes exercícios, se os alunos não notarem que o coeficiente a, nunca vale zero, creio que o professor deve fazer tal observação e mostrar que se a for igual a zero o termo x2 desaparece, tornando a equação dada em equação do lg grau.
5-1 Redução à forma padrão:
Devemos dizer que em muitos problemas práticos, como o da piscina,
a equação não está na forma padrão, mas que podemos transformá-la até
atingir. Isso é necessário para que possamos identificar os coeficientes e usarmos na resolução da equação.
t) x (x +2,5) = 21 equivale x2 + 2,5x - 21
g) —1
x + 2x = 4 equivale 2x2 - 4x + 1 = 0
62)Detinição:
Creio que somente agora é que podemos dizer que: dos exemplos acima, vemos que uma equação do 2° grau, é toda equação que após algumas
transformações, se reduzirá sempre a forma:
onde as letras a, b e c, são números conhecidos em cada equação dada e são
chamados coeficientes. Já a letra x, 6 a incógnita, isto 6, o número
desconhecido que soluciona a equação
Talvez, o que o professor acostumado com a apresentação das
equações quadráticas de forma clássica dirá, que esta proposta
histórico-didática 6 muito longa, e que não dispõe de tempo para isso. Porém, é
exatamente por reconhecer que o coeficiente literal 6 um obstáculo a sua
própria compreensão, 6 que ele deve ter uma preocupação didática, maior. 0
aluno deve enfrentar várias situações, onde lentamente este conceito vai
sendo assimilado por ele. Isto s6 ocorrerá quando o aluno perceber que, apesar de x e a, serem letras que admitem vários valores, eles têm
AULA
2:
Número de raizes da equação:Voltando a enfatizar que os matemáticos do passado tiveram dificuldades em assimilar, ou usar o coeficiente literal, podemos aplicar também a conjectura nos problemas que caracterizam o estudo discriminante de uma equação do 2'2 grau. Isto 6, podemos elaborar nossa aula respeitando essa dificuldade e levando o aluno a compreender que numa equação do 22 grau além da variável x, e dos coeficientes literais, aparece uma nova letra. Esta letra é chamada de parâmetro, e geralmente 6 representada por: k, m, p e q.
Um exemplo típico do estudo discriminante é o seguinte: Determine o valor de k para que a equação x2 - 8x + k = 0, tenha duas raizes reais e diferentes.
Normalmente, quando se chega neste ponto do programa, o aluno já sabe que se o discriminante é positivo, existem duas raizes reais e diferentes. Deste modo, a maioria dos livros didáticos procede assim:
a = 1 A > 0
b = -8 (-8)2 - 4.1.1.k >0 c= k k < 16
Feito isso, encerram o problema dizendo que k eRek <16.
No entanto, baseado na reflexão histórica, entende que nós devemos continuar o problema dando valores para k , pois certamente, até os alunos que resolveram este problema, não interpretaram o significado de suas respostas. Se isso ocorrer, não ficou compreendido o conceito de parâmetro. Para que este conceito seja compreendido, precisamos dar valores particulares para o parâmetro k. Vejamos:
a) Para k = 15, a equação ficará x2 - 8x + 15 = 0, que ao resolvermos, encontraremos xi = 3 e x2 = 5. Logo, temos realmente uma equação que apresenta dims raizes que são os números reais 3 e 5, portanto são diferentes.
b) Para k = 7, temos a equação x - 8x + 7 = O. Logo temos uma outra equação, porém, ela também apresenta duas raizes, que são os números / e 7.
c) Para k = 0, temos a equação x2 - 8x = O. Logo, mais uma vez, temos uma
outra equação quadrática, porém, ela continua tendo duas raizes( xl =0 e x2=8), que são números reais e diferentes.
d) Conclusão: Os exemplos mostram que sempre que nós escrevermos no lugar da letra k na equação x2 - 8x + k = 0 um número menor que 16, teremos uma equação quadrática que com certeza (mesmo sem resolvê-la) terá duas raizes que serão números reais e diferentes.
Por exemplo: Em todas as equações abaixo temos k < 16, portanto todas elas têm duas raizes reais e diferentes.
x2 - 8x+ 1=0, x2 - 8x - 2 = 0, x2 - 8x+ 13= 0
Devemos notar que isto forma um grupo de equações que apresentam: a = 1, b = -8, e c < 16. Este é o objetivo de incluirmos a letra k na equação, isto é, uma classe de equações. Para finalizar podemos propor para os alunos problemas abstratos como esse:
"Criar uma classe de equações quadráticas em que a = 1, b = número par,
2-
DERIVADAS:Sabemos que o conceito de derivada e sua definição, foi bastante polêmico. Leibniz, definia como uma razão entre diferenciais; enquanto Newton, chamava as taxas de variação de primeira e última razão. Foram
necessários aproximadamente, dois séculos de discussões, para que o
conceito de derivada estivesse bem fundamentado, e isto s6 acontecerá no século XIX.
Assim, tal conceito foi um obstáculo aos matemáticos. Pode-se elaborar as aulas, fazendo com que o aluno enfrente algumas passagens, que lentamente o levarão a construção do conceito. Portanto iniciar o conceito de derivada a teoria dos limites, é começar pelo fim da história, pelo climax do pensamento elaborado. Assim deixamos de lado todo o processo de amadurecimento vividos no infinitésimo, que permitam culminar no conceito de limite.
AULA
3:
Determinação da inclinação da Reta TangenteO cálculo infinitesimal teve origem em dois problemas a saber: 0
problema tangente e o problema da área. Podemos começar o estudo da derivada apresentando estes problemas:
a) 0 problema tangente: Determinar a inclinação de uma reta tangente ao
gráfico de uma curva y = f(x) num ponto dado.
b) 0 problema da área: Calcular a Area sob o gráfico de uma função y = f(x) num intervalo dado.
Para solucionar este problema, os matemáticos do século XVII, usaram processos infinitesimais, dai os termos: cálculo infinitesimal ou análise infinitesimal. Agora, trataremos de solucionar o problema da inclinação da reta tangente, a um ponto pertencente a esta curva. Este problema tem origem nos matemáticos gregos, e eles definiram que a reta tangente, tocaria em um único ponto da curva, aliás, tal reta não deveria cortar, mas apenas tangenciar a curva. Na época dos gregos, os números de curvas eram bem restritos, pois conheciam basicamente a circunferência, a elipse, a hipérbole, a parábola e a espiral.
Deve-se ressaltar que o problema de traçar uma tangente, 6 um desafio, pois sabe-se que para tragar uma reta, precisa-se de dois pontos, ou um ponto e uma inclinação. Neste caso, como tragar uma reta pelo ponto de tangência da curva e garantirmos que tal reta é a única; visto que por um ponto passam infinitas retas? HA um alento a nossa intuição, quando sabemos que a tangente não deve cortar a curva, como mostra a figura abaixo:
Assim, aceitamos intuitivamente a existência da reta tangente, mas o nosso desafio agora é encontrarmos a inclinação, pois s6 dispomos do ponto de tangência.
Os gregos resolveram esses problemas para a circunferência e as cônicas. Por exemplo, para a circunferência sabiam da propriedade de que a reta era perpendicular ao raio. Assim, elaboraram uma construção geométrica que satisfizesse essa propriedade. Uma das construções que determina a inclinação, que equivale a determinar o outro ponto, é dada abaixo:
Assim, o segmento TP = raio, portanto o triângulo TCP é retângulo em T. Usando esse método de construção geométrica, os matemáticos gregos traçaram tangentes As curvas cônicas.
E fácil percebermos que esse método de construção geométrica não é geral, mas como os gregos só conheciam aquelas curvas (as demais curvas eram cinemáticas), o problema das tangentes está solucionado.
Com o surgimento da geometria analítica no século XVII, surgiu também uma quantidade de curvas descritas por equações. Para estes casos, o método grego se tornara inadequado à determinação da reta tangente.
valor de y na função para x = a, obtemos f (a). Assim, a, f(a) ) de tangência, e para tragarmos a tangente, ela s abcissas no ponto T ( fig. abaixo). Deste modo a ia razão entre os catetos do triângulo TPP'.
tri
g imeiro matemático a atacar o problema de encontrar a
• -
a
P tfr:g a 5 a ?i):1 a CA. 2. 0 a qualquer, conhecida sua equação e o ponto de ' I '-' L81= ai ldltt 'gi
± CD a. ("
0
7r1 moderna, o problema seria assim: dada uma função LP I '--.
‘‘' 18 1 1/4° ID 112 .10 inação da reta tangente ao gráfico da função no ponto
0 CA O O PD to P `0 tn 1) a - P Er 0 O W CD 0 t », OCI CD )1 0- 0 cr (" o IM.• • .—. cb A G
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f(a)
Inclinação da reta tangente =
PP' = f (a) TP' = x
Mas, como não conhecemos o ponto T, não conhecemos também a medida do segmento TP . Apesar disso, Fermat raciocinou da seguinte maneira: Se pegarmos um ponto Q, próximo de P, o arco PQ se aproximará da reta, e obteremos um triângulo TQQ' quase semelhante ao triângulo TPP'.
QQ'“(a+e) 177 1 =x+e
Assim, as razões entre os lados correspondentes serão aproximadamente iguais, e substituindo pelas medidas correspondentes teremos:
f (a + e) f (a) x + e
Agora, se aplicarmos a propriedade das proporções nesta quase igualdade (a diferença dos antecedentes está para a diferença dos conseqüentes, assim como cada antecedente está para seu conseqüente) obteremos:
f
(a + e) —f
(a) f (a) x + e — xcancelando os "x" do denominador da primeira fração obteremos
f
(a + e)—f
(a)f
(a) x + e xcomo a segunda fração é igual a inclinação da tangente temos:
f
(a +E)
—f
(a)inclinaçã
E o da tangente
Assim, conseguimos a inclinação da reta tangente a curva qualquer
dada pela equação y = f(x) simplesmente aplicando a idéia de semelhança de triângulos. Isto 6, dado o valor da abcissa no ponto de tangência xl = a, acrescentamos a x1 um valor E tão pequeno quanto desejarmos (ex: E = 0,01) e obteremos x2 = a + E. Em seguida fazemos a diferença de y e a diferença de x.
Exemplo: Calculemos aproximadamente a inclinação da reta tangente a parábola y = x2 no ponto x = 2
Como podemos conseguir a aproximação que desejarmos, façamos E = 0,01. Assim temos: f (2) = 22= 4 f(2,01) = 4,04 E= 0,01 inclinação f (2 + E) - f (2) 4,04 - 4 - 4,01 E 0,01
onde a inclinação da reta tangente no ponto x = 2 é aproximadamente 4,01.
Nós deveríamos ressuscitar os infinitésimos de Leibniz para fins
didáticos, por isso podemos apresentar o cálculo da inclinação no primeiro
momento sem usar a definição através de limites. No entanto, para apresentarmos, como foi feito acima,
A
teríamos que ter trabalhado didaticamente o conceito de infinitésimo. A partir dai, poderíamos definir aFinalmente chegávamos ao cálculo com simbologia tão am das diferenciais de Leibniz.
dy f (x + E) — f (x)
CONCLUSÃO
Voltando-nos para a História da Matemática acabamos por descobrir respostas para muitas das dificuldades didáticas encontradas no ensino da
Matemática. As vantagens de se usar esse valioso recurso são tantas que
seria muita pretensão querer abordar a todos, na profundidade que merecem, em um simples trabalho de conclusão de curso. Tendo consciência disso,
porém, tentamos elaborar um trabalho reunindo o máximo de elementos
possível, no espaço de tempo disponível para a realização do mesmo, através
de pesquisas bibliográficas.
Em síntese, procuramos, abordar alguns fatores importantes para
delinear uma concepção do recurso à História da Matemática não apenas como um recurso didático, mas como um verdadeiro definidor de estratégias
pedagógicas.
Resumindo, ressaltamos as seguintes idéias:
1. As aulas de Matemática devem buscar um equilíbrio didático entre o
processo histórico que registra a criação da Matemática e o lógico, que
busca passos seqüênciados para chegar ao conhecimento atual. Dessa
maneira as aulas estariam sendo elaboradas de uma maneira que
2. Certos conceitos matemáticos constituíram-se em obstáculos ao
desenvolvimento da Matemática. Em tais conceitos os alunos repetem as
mesmas dificuldades que os matemáticos tiveram em compreendê-los.
3. A História da Matemática nos mostra que é infundada a crença popular de que a matemática 6 feita por gênios, que a criam em súbitos momentos de
inspiração. Sabemos que os gênios e inspirações indiscutivelmente existem,
contudo, a criação cientifica 6, como disse Einstein, 99% de esforço e 1%
de inspiração.
Destacamos, ainda, dentre os diversos componentes do valor da aplicação didática da História da Matemática, os seguintes:
• Nela se pode apreender caminhos lógicos para a construção de
demonstrações pedagógicas em sala de aula.
• Por ela pode-se entender o significado da linguagem simbólica da
Matemática
• Propicia uma visão abrangente da Matemática Elementar, já que no currículo elementar ocorre um isolamento entre os diversos assuntos, com a conseqüente perda de noção de conjunto do que 6
estudado.
• Proporciona uma gama enorme de exemplos de aplicações praticas. Se apreende também o valor daqueles tópicos que não apresentam
aplicações imediatas.
Em síntese podemos dizer quer fazer uso da História da Matemática
não implica necessariamente contar a História da Matemática aos alunos, mas sim propiciar um ensino onde o conteúdo esta estruturado a luz de sua
evolução histórica, sendo assim mais significativo, por basear-se numa lógica
