Tópicos de Ensino de Matemática, Números Naturais, vol. 1, 1990.

•

Tópicos

de Ensino de

#

MAT

.

EMATICA

1

-

Números

Naturais

NJ R MENDES NACARATO ANTONIO MIGUEL ~..

a

M~L FUNCIA '.'ARIA ÃNGELA MIORIM

APRESERTAçAo

Desde 1982, um grupo de professores de Matemática

"de

Campi-nas, insatisfeitos com

os

resultados obtidos na

sua

prática pedagõgi

ca,

vem se reunindo com o objetivo de elaborar projetos de ensino-a=

prendizagem que possam,

aos

poucos, alterar

a

situação

existente.

Esses projetos são aplicados em escolas das redes pública e

particular e avaliados periodicamente. A avaliação dos

re~ultados

oh

tidos na prática levanta críticas e sugestões que impõem, frequente=

mente, aprofundamento teórico e reformulações dos projetos já

produ-zidos, além da produção de novos projetos. Essa

é

a

principal

carac-terística desse material: o fato de

estar

sendo continuamente

refei-to. Outra característica dele

é

que, embora englobe

o conteúdo

de

5~

a

8~

séries,

é

apresentado em fascículos, permitindo ao professor es

colher o momento mais adequado para trabalhar um certo tema junto

a

seus alunos.

Contamos

atualmente

com

16

projetos que

compõem

os volumes'

da série "Tópicos de Ensino de Matemática". Esses fascículos repre

-sentam a mais recente versão do trabalho mas,

certamente,

não

a

úIti

ma.

Um

trabalho dessà natureza,

só

foi

e continua

sendo possi

-vel, graças

ã

participação

contínua

de professores que aplicam

os

projetos. Queremos registrar, portanto, o nosso

agradeciment~~aos s~

guintes

professores que,

durante

esses anos,

têm contribuído

na

ela-boracão e reformulação dos projetos, trazendo críticas

e

sugestões ,

participando de reuniões e encontros

com o

propósito

d

e

repensar

e a

profundar questões referentes ao ensino da Matemática:

-Ana Maria C.Coimbra, -Ana Regina P.B.Angi, Aurora

S.

Santana, Beatriz

V.B.de Carvalho, CanDem Lúcia B.

Passos, Cláudia

V.C.Miguel,Divina

A.

de Aquino, Eliza

A.Mukai,

Elizabeth A.Carrara, Gelson J.Jacobucci,He

10isa de Carvalho M.Debiazzi, Jane M.da

Silva Vidal,

José Amaury

Al~

ves,

Margali A.de Nadai, Maria Aparecida B.Pinheiro,

Maria

Clélia F.

Jacohucci, Maria Lúcia Negri, Marília B.Pereira, Marisa S.Pinheiro '

Travaini, Marta

I.

de Almeida, Neusa B.Ferraz, Regina Celi

Ayres,

Ro

naldo Nicolai,

Ro

'sana

Fávero,

Rosemeire

M.R.Silva, Sandra

T.Cardoso-:-Suely M.Gimenis,

Susy M.Fadel, T

eresa

Neide G.Guimarães, Vilma M. M.

Silva, Yara P.P.Bueno

e

Zuleide G.

Paulino.

•

,

~

•

•

»

J

I

a

•

•

•

•

..

..

..

..

...

..

..

..

-...

...

-1-ÍllDICE

o -

Sistema de Numeração Decimal ........................ 2 1 - Problemas que envolvem Raciocinio Combinatório ...••.• ó 2 - Adição de NÚmeros Naturais ..•.••.••....••.••...•...•..•. 7 3 - Subtração de NWneros Naturais ........ .. 4 - Problemas

5 - Divisão de NÚroeros Naturais .•....••...•.•••...•. 6 - Divisão em partes iguais

7 -

MÚltiplos e Divisores de um ~Úreero Natural . . • . . • . . . • . . . . 8 - Critérios de Divisibilidade

9 - nÚmeros Pri:nos .............................. .. 10 - A operação de Multiplicação

11 - A Decomposição de um NÚmero em Fatores Primos ...•. ; .. 12 - cálculo dos Divisores de um NÚmero ... .. 13 - cálculo do Maior Divisor Comum (m.d.c.) •.•.•.•..•...• 14 - cálculo do menor tí~ltiplo Comum (:n.In.c.) •..•.•....•.•... 15 - Propriedade Fundamental da Divisão ...•..•..•. . . • . ..... 16 - Problemas ...•... . . ..... • . . . ..... . . . ..... 17 - Relação entre as Operações de Adição, ~ultiplicação e

Potenciação . . . • . . . 18 - Cálculo de Potências . . . ... . . ...... . . . 13 - E.xpressões Num~ricas 10 11 13

15

19

2

3

25 26 28 30

32

15 39 42

45

48 50

-2-; ' ; ' ...

-aritmetica e uma palavra grega que significa c~enc~a dos numeroso Arithmós, em grego, significa n~ero.

Os primeiros elementos da Aritm~tica foram conheci-dos, certamente, muito cedo, pois o homem teve logo

necessida-de de saber contar, seja a sua caça, sejam seus rebanhos, co-lheitas etc. 0,0 mas, além de saber contar, era preciso, ~ claro registrar, marcar, escrever estas quantidades.

A forma mais primitiva foi a de marcar com o

corres-,

,

pondente numero de traços, nos, pedrinhas, pontos etc ••. , as quantidades desejadas. Aprendiam a-asim, naturalmente, a idéia

,

de numero:

EXistem muitas est~rias curiosas sobre esses primei -ros pa9s~s da matemáticat

i.tais tarde,

à

medida que o homem e o seu modo de v

i-,

'

ver evolu~a e Os calculos se complicavam, aumentava a necessi-dade de se estabelecer formas simplificadas e definitivas de representar esses nÚmeros e de se fazer as quatro operaçoes.

Começaram então a inventar diversos sistemas de con

-tagens, nos quais o homem passou a usar s{mbolos para escrever 09 numeras.

Na Índia, por exemplo, alguns s~culos antes de Cris

-to, todo número recebeu, além do nome próprio, um sinal carac-ter{stico. ~econheceu-se a completa impossibilidade de atribui~ -ge a cada nÚmero desde as unidades até os milhões, um símbolo espec{fico. Eastavam nove s{mbolos: 1, 2, ] , 4, 5, 6,

e um conjunto de regras par:>. lê-los e escre.,ê-lcs 1 ~ue tui o que chamamos ce sistema ~ nUQera:ão.

~ o " ..o, ..

co!:s

~i-7,~as o passo mais revoh:.cionário de toda a históris

da Matemática foi a invenção hindu do sinal "O" (zero quer di-zer "vazio") . =:ssa invençao possibilitou a descoberta de r9 --gras de c~lculo mais simples e práticas.

Quando os árabes dominaram os gregos e os hindus, e~ contraram na cultura matem~tica. ~ aritm~t1ca e a propagaram,

)

-através de um de seus especialistas, chamado Al-F.:huwarizmi, há aproximadamente 800 anos. Posteriormente foi levada

à

curopa e reconhecida no mundo inteiro como a solução mais perfeita. E e este o sistema que hoje usamos, de apenas dez s{mbolo9, que são 09 numerais: O, 1, 2, ), 4, 5. 6, 7. 8, 9 tamb~m chamados algarismos indo-arábicos (devido

à

sua origem).

Desde então, 09 povos habituaram-se a contar de dez em dez, usando 09 dedos da mao, daí o n09S0 sistema ser chama-do de sistema ~ numeração decimal. Mas, antes de verificarmos como funciona o sistema decimal, vamos compreender bem o que

é

um numero e um n~eral.

você j~ deve ter percebido que 09 n~~eros (quantida-des) 9ao representados através de simbolos que recebem o Dome-de numerais~

Veja, por exemplo, a representaç~o do numero cinco,-através dos tempos:

Chineses Egípcios Babilônios Gregos Romanos Inclo-á!'"30a (1.100A.CJ

5

O

O

III

Y''''

E

V

O

,

"

O O

II

Portanto, um mesmo nÚmero pode ser representado de -várias maneiras, ou seja, um mesmo n~ero pode ter v~rios nume-rais.

A ,

Descubra, voce mesmo, outras maneiras de representar o numero cinco.

Sugestão: você poderá fazê-lo também atrav~s das quatro ogera -çoes. Tente:

..

J

J

,

.

•

j

•

•

,

,

•

•

j

•

.f

f

J

-4-Retomando o nosso sistema, pergunta-se:

~

,

- Quais saa as regras que nos permitem representar qualquer nu-mero por maior que ele seja, usando somente os dez numerais

,

iodo-arabicos chamados algarismos?

Ao representarmos um nÚmero qualquer no sistema de n~ meraçao decimal, cada algarismo ter.i. diferente. valor, de acordo com a sua posição no n~erol obedecendo ao ryrincini0 do vRlor -~osicio~al: "o algarismo escrito im~diatamente

à

esquerda de o~ tra, terá valor dez vêzes maior". Por exemplo, qu~do voc~ es-creve o s1mbolo "4351" o numeral 4 representa 4000, o numeral 3 representa 300, o numeral 5 representa 50 e O numeral 7 rapre--senta

7

unidades.

Desta maneira, observamos que cada um desses alg~ris­ mos, quando est~ escrito sozinho, representa um Único valor, que e o seu valor absoluto.

É

somente quando escrevemos um n~m~

,

ro maior que nove, e que um mesmo algarismo pode representar dois ou mais valores diferentes. Outro exemplo: no numeral "636", um 6 representa ~ centos e outro 6 representa ~. O valor que o algarismo assume pela sua posição chamamos de valor relativo.

Todos perceberam como

é

fácil representar qu<?louer n~ mero natural, atrav~s do valor posicional?

~

Um

exemplo de sistema nao posicional e o sistema ~ -~

numeraçao romana, que utilizava muitas regras e por isso a escr! ta dos nÚmeros tornava-se complicada.

,

~

E

curioso observar que nesse sistema nao existia um ~ símbolo para representar o zero.

la. Atividade: Para cada numeral abaixo, faça o seguinte: a) Diga quantos algarismos ele possuij

b) Escreva a maneira como se lê cada

um;

c) Determine o valor absoluto e o valor relativo de cada E'.1 ga--rlsmo.

1) 2005 3) 2000056 5) 5043208

-5-2a. Atividade: a) Dado o numeral 263, calcule o numero de~

1) unidades que ele possui;

2) dezenas;

3)

centenas.

b) Escreva todos 09 nÚmeros que se representam por três algari~ mos, usando os algarismos 1, 4 e 5, sem repetir algarismo num mesmo numeral.

c} Com os algarismos 2, O e 7, escreva todos os numeras posai--veis, com 3 algarismos, sem repetir algarismo num mesmo num~ ralo

d) Escreva em ordem crescente, todos os nÚmeros de dois algari~ mos, que podemos formar com os algarismos 5, 2 e 3, podendo repetir algarismos num mesmo numeral.

3a. Atividade: a} Um numeral de cinco algarismos

é

formado

pe-,

los algarismos 4, 8, 3, 9 e 1. Descubra qual e esse numeral e indique a sua leitura, sabendo-se que o valor relativo do 4

40, do 1

é

10000 do 3

é

300-, do 9

é

9000.

b) Escreva o numeral de dois algarismos significativos ~guais correspondente ao menor nÚmero possÍvel.

,

e

c) Escreva o numeral de tres algarismos distintos corr~s~onde~

,

,

te ao maior numero r>0ss~"el.

4a. Atividade: Considerando os numeras: 17, 132, 80, 136, 404, O, 1001, 12345 e 1000000, responda:

a) Quais são os n~meros pares?

b) Quais são os numeras Ímpares?

-6-d) Quais sao os numeras que têm o algarisMo zero como dezena?

e) QUem e o antecessor de 1000 OOO?

í)

Quem e o sucessor de 1 001?

g) Escreva os nÚmeros acima em ordem crescente.

5a. Atividade: Escreva 09 conjuntos abaixo: a} Conjunto dos n~eros naturais

b) Conjunto dos n~eros naturâis sem o zero

c) Conjunto dos numeras naturais pares

d) Conjunto dos numeras naturais impares

e) Conjunto dos algarismos do sistema decimal

6a. Atividade: Resolva os problemas abaixo:

a) Tr~s estradas diferentes A, B e C conduzem ao topo de um mo~ ro. De quantas maneiras diferentes uma pessoa pode subir ~ descer este morro?

b) Suponhamos que no problema anterior a pessoa nao queira descer o morro pela estrada que subiu. Quantos caminhos d~ farentes de ida e volta ela pode efetuar?

c) N~ grupo de 4 rapazes a 3 moças, de quantos :nodos pode _ -se escolher um r2.'~'laZ !lara presidente e uma :loça pe.ra

SP.-cret~ria de uma aeremiação?

d) Cma moça tem 5 blusas e 4 saias. De quantos modos distintos ela pode se ~estir?

e) Uma sala possui 6 portas. De quantas maneiras uma pessoa P2

-7-f) O lanche de uma oerta pessoa consiste de um sanduiche (esc~ lhido dentre 4 espécies), uma bebida (escolhida dentre:

ca-f~, leite ou ch~) e um sorvete (escolhido dentre 3 sabores). Quantos ,lanches diferentes essa pessoa pode fazer?

g) Calcule quantos tipos de etiquetas d1f~~sntes ,oãe~ ser =an~

faturacas, sabendo-se que uma etiqueta pode ser:

1) Quanto a forma: circular ou quadrada;

2 ) Quanto a cor: vermelha, branca, amarela, azul ou verde j

3 )

Quanto a

,

numeraçã

o

:

impressa com um numero

,

desde 1 até

500.

h) Quantos nÚmeros de 2 algarismos podem ser formados no si ste-ma decimal?

i) Quantos nÚmeros de 2 algarismos distintos podem ser fo~ados no sistema decimal ?

j) Quantos nÚmeros de 3 algarismos existem no sistema decimal?

Texto nO 1: ADIÇ10 DE NÚtlliROS NATmL\IS

Depois de ter trabelhado um pouco com os numeras natu rais e resolvido alguns problemas que envolvem racioc{nio comb~ natório vamos estudar agora. um primeiro tipo de operaçao que se pode fazer com os nÚmeros naturais : a operação de adição. Vo-cê, evidentemente,

já

sabe somar nÚmeros. Trata-se apenas de uma recordação.

Numa adição, os numeras que est;o sendo somados se chamam oarcelas e o resultado da adição se ch~a ~ ou TOT~L.

,

E claro que uma adição pode possuir 1, 2, J, 4 ou mais parcelas, que podem ser escritas na horizontal ou vertical.

Por exemnlo: 2 r J ~ 5 ~ 7 = 17

é

uma adição que está esc~ita-­ na ~orizontal, possui 4 parcelas diferentes sendo a soma igual

-8-ME2.

exemulo! 2 2 + _ 2 _ 6

temos a esquerda uma adiç~o escrita na vertical que possui 3 parcelas iguais

a 2, sendo a soma igual a 6.

Da mesma forma como a partir de parcelas obtemos o n~ mero que representa a soma dessas percelas, podemos t.-:>lJ:.bem, a

~artir do numero que representa a soma querer decompô-lo eQ

parcelas. Utilizamos Dara 1sso a palav::-a n?:arcelar" que si~1if! ca "decompor e!Il Dereelas".

,

,

E claro que um mesmo numero pode ser decomposto em parcelas, ou parcelado, de diferentes maneiras.

EScrevemos abaixo as 6

~eiras

possíveis de 28

parc~

lar o mimera 5.

5 1 + 1 ~ 1 t 1 + 1 5

5

3

+

2

5 J .... 1 ... 1

5 4 + 1

7a. Atividade: a) Numa adição de 2 parcelas, a primeira

é

193 e

a segunda

é

976. Qual

é

a soma?

b} Numa adição de 5 parcelas, todas elas eao iguais a 2. Qual e a soma?

c) Numa adição de 2 varcelas uma delas e 100 e a outra zero. Qual

é

a soma?

d) Iluma adição de 3 parceles iguais, a primeira

é

zero. Quel

é

a soma?

e) Decomponha o nwnero 4. em parcel:?s de todas as maneiras poss!.

veis.

-9-g) Parcele o nÚmero 1000 de 5 maneiras diferentes.

h) Decomponha o número 16 em parcelas iguais,' de todas as

ma-neiras poss{veis.

1) Decomponha o n~ero 12 em parcelas iguais, de todas as ma-neiras possíveis.

j) De quantas maneiras possíveis se pode decompor o nUmero 13

em parcelas iguais?

k) Cite 5 n~eros que 90 podem ser decompostos em parcelas iguais de uma Única maneira.

1) Uma pessoa comprou um terreno para pagar em 3 parcelas dife

rentes: uma de I'«:Z$ 123.000,00, outra de NCZ$ 135.725,00 e ou-tra de NCZ$ 42.855,00 • Quanto essa pessoa pagou pelo terreno?

m) Como ficará a soma, se numa adição acrescentarmos 5 a la.

-parcela?

n) Como ficará a soma, se numa adição de tres parcelas

acres-centarmos

7

à

la. parcela, acrescentarmos 3

à

2a. parcela e

acrescentarmos 8

à

3a. parcela?

o) Numa adiçao de duas parcelas, se dobrarmos ambas as ~arce­

las, a soma deverá:

permanecer inalterada dobrar

quadr;uplicar

sofrer um acréscimo de 2 unidades

( sofrer um acréscimo de _{4 unidades}

•

{ sofrer um acresci!llo igual ao valor da 2a. parcela

sofrer um acrescimo

,

igual a soma dos valores das }la!.

I I

-10-8a. Atividade: Deterrni.o.e o valor, da parcela desconhecida (repT! sentada pela letra x) em cada uma das igualdades abaixo:

a) x ... 5 16 b) 2a

+

x 78 c) x ... 109 353

d.) x ... 17 ... 28 67 e) 37 ... 96 ... x + 47 207

Texto n2 2: SU13T9 .. A~rO DE Nm2::tOS NATURAIS.

'{ocê deve ter notado que, para achar o '!alor da par -cela desconhecida na atividade anterior, algumas delas foram descobertas rapidamente enquanto que, para outras, foi

neces-~ saria executar uma operaç2o.

~

Essa operaçao que vace executou ôentalmente ou por escrito foi a operação de subtração. Somente através dela

é

qUê

é

possivel descobrir o valor das parcelas descanhe cidas, pO"is, se temos o valor da soma de 2 parcelas e o valor de 1 das parc~ las, o valor de outra

é

a ouantidade que falta para se atingir a soma das duas.

É

por 1S90 que a SUBTRAÇÃO

é

a OP~1AÇÃO INVER -SA da adição.

Assim, se queremos descobrir o valor de um termo des-conhecido numa subtraç~o procedemos da seguinte maneira: 12 Caso: O termo desconhecido

é

o minueodo:

x 8 17

Como o valor do minuendo deve ser maior que O do subtraendo e maior que a diferença, então,

x 17 , 8

25

CONCLuslo: O valor do minuendo e igual ao valor da soma entre a

diferença e o subtraendo.

22 Caso: O termo desconhecido e o subtraendo:

8 x 5

:c:

claro que o valor do subtraendo deve· ser ;nenor que o 'ralor -do minuendo, isto·

é

J X .(. 8.

Então, não 90demos somar

8

e

5

pois obteriamos

13.

Logo x 8 - 5 3

-11-CONCLUSÃO: ?ara se obter o valor do subtraendo devemos subtrair

do m~nuendo, o valor da diferença.

9a. Atividade: Determine o va~or dos termos desconhecidos r~ presentados por letra) das adições e subtrações abaixo:

a) 327

+

x = 528 c) b - 37 - 89 !) p-725 = 309 b) a - 286

=

728 d) 273 - k - 109 g) x+635 - 1903 e) 989-.

=

699 h) a-1007 = 2099

10a. Atividade: a) Numa adição de 2 parcelas, o primeiro e 987 e a soma

é 1005. Qual

é

o valor da segunda parcela?

lad i NCZ$ 'Z.98<.OO para pagar em 2

presta-b) Comprei uma ge e ra por J ~

- d o valor da pr';'meira prestação, de NCZ$ 15.879,00

çoes, sen o ...

qual

é

o valor da segunda prestação ?

c) Paulo tem depositado em um banco a quantia de NCZ$ 1.

637,OO.Emi-tiu 2 cheques nos valores de NCZ$ 589,00 e NCzs87.3,OO respectiva-mente. Que quantia Paulo ainda possui no Banco?

d) Uma pessoa retirou NCZ$ 1.228.Q() de sua caderneta de poupança,

fi

cando ainda com um saldo de NCZ$ 1.239.001 • Qual era o saldo des sa pessoa antes da retirada do dinheiro ?

e) A diferença entre o numero de fichas amarelas e de fichas

-vermelhas existentes dentro de uma urna

é

de 67. Sabendo

,

que na urna existem 85 fichas amarelas, qual e o numero de fichas vermelhas que a urna contém?

t) O salário de uma pessoa passou de NCZ$ 11 9 _{• 5 •} 4 O _{O para I\'CZ$ .••} 22.796,OO.De quanto 1"oi o aumento salarial dessa peSSoa? g) Joana e Rita possuem cada uma a quantia de NCZ$ 100.00 • Se

-Rita der a Joana a quantia de NCZ$ 10.00 , qual dever~ ser a diferença entre a9 quantias que possuem Rita e Joana?

h) O preço de um quilo de café sofreu um acréscimo de NCZ$ 60.00 , atingindo o valor de

antigo do quilo de café ?

NCZS 80.00 • Qual era o :preço

-12

-i} A'tabela abaixo nos mostra

os

preços de 3 produtos A, B e C em dezembro/87 e em março/88 e também o acréscimo em cI!!, zado9 que esse~ produtos sofreram nesse intervalo de tempo. Complete as lacunas da tabela.

DEZ - A~ iJ!AI!

-

88 Acr~scimo

Produto A Cz'!; 125,00 Cz~ )66,00

Produto B Cz~ 22),00 Cz.) 117,00 Produto C éz11. 1)7,00 Cz1 587,00 Assinale as afirmações com V ou F:

j} Numa urna A existem fichas amarelas. Numa urna B existem'

-,

fichas verdes. As urnas A e B contem a mesma quantidade de fichas. Se Pedro retirar a mesma quantidade de fichas de ambas as urnas, então:

As urnas A e B continuarão com quantidade iguais de fichas

A urna B ter~ mais fichas do que a urna A

(. A diferença entre as quantidades de fichas contidas nas urnas A e B deverá ser zero.

k) !Iuma sub'trayão, se c.obramos o valor -;1·::> ::.inue~!o e .1obró>m·)S

t",.mb~m o valor do subtrae::ldo J ':'!!:~::~o J :'. ,,4.i:~::'~!l·;n: :ião :3e nltera

De '/e:-á do 'Orar Dever.i. quadruvlic~r De1/erá cair pela metade

Deverá cair para a quarta parte

1) Numa subtraçãoJ se dobrarmos o valor do minueodo, deixando o subtraendo inalterado, então, o valor da diferença deveri:

Permanecer inalterado Dobrar

Cair pela metade

Sofrer um acrescimo de 2 unidades

Sofrer um acrescimo igual ao valor do minuenào Sofrer uma redução igual ao valor do minuendo

-13-m) Numa 3ubtraç~o, se dobrarmos o valor do subtraendo (sempre -que possivel) e deixarmos O minuendo inalterado, então O va-lor da diferença deverá:

Permanecer inalterado .( Dobrar

( Cair pela metade

Sofrer um acréscimo de 2 unidades Sofrer uma redução de 2 unidades

Sofrer um acréscimo igual ao valor do subtraendo Sofrer uma redução igual ao valor do subtraendo. lIa. Atividade: Pegue 6 fichas:

a) Complete a tabela com todas as possibilidades de divisão de~

sas 6 fichas entre 2 de seus colegas, sem quebrá-las e sea que haja sobra de fichas nas divisaes.

la .. Pessoa 2a. ?essoa

b) De quantas maneiras diferentes voc~ pode dividir todas essas fichas entre 2 pessoas?

c) Em quantas das maneiras que voe: achou no {tem a os seus /

dois colegas receberam o mesmo numero de fichas?

d) Nas divis~es feitas no ítem a sobraram algumas fichas que

não puderam se.r divididas?

12a. Atividade: Pegue agora 5 fichas:

a)·Complete atabela seguinte com todas as possibilidades de div! são dessas 5 fichas entre 2 de seus colegas, sem quebrá-las e sem que haja sobra de fichas nas divisões.

..

•

_..

•

•

_it

•

₁₁

•

_I

•

•

I -14-la .. Pessoa 2a .. Pessoa

b) De quantas maneiras diferentes você pode dividir todas es--5as fichas entre 2 pessoas?

c) Em quantas das maneiras que você achou no item a os seus dois colegas receberam o mesmo numero de fichas?

d) Nas divisões feitas no {tem a sobraram fichas que nao

pude-ram ser divididas?

e)

Z

sempre poss{vel dividir um certo nÚmero de fichas, sem qu~

brá-las, sem sobrar fichas1entre um certo n~~ero de pessoas, de oaneir:'! ,!ue elas recebam o :nesma nÚü!ero d~ fichas?

Texto ali ): D1715ÃO ~ P.:LrtTES IGUAIS .§. D.=";3IGUAIS.

Sempre que for poss{vel a divisão de um certo n{~ero de objetos entre um certo núcero de pessoas, sem quebrá-los,

ce.

r:a

-,

neira que essas pessoas recebam o ~es!JIo nu!:!.ero às 'Jojet·)s, dire-mos que a divisão foi feita em nartes iguais entre as vessoas. -Quando, após e divisão. as pessoas receberam quantidades diferen-tes de objetos, diremos que a divisão foi feita em uartes

desi-~ entre as pessoas.

132.. Atividade: Coloque nos par~nteses abaixo, a letra ~ quando -a divisio puder ser feita em partes iguais e a letra ~ quando ela

,

so puder ser feita em partes desiguais: Dividir 10 fichas entre 3 pessoas

Dividir um baralho com

52

cartas entre

4

jogadores Dividir a quantia de Cz~ 215. 0 0 entre 4 pessoas

Dividir a quantia de Cz~ 637,00 entre 3 pessoas

-15

-Texto n~

4

,

A

DIVISA0 E;l P~,TES IGUAIS.

você

já

descobriu que uma divigio nem sempre ~ode ser -feita em partes iguais. O mais comum' a divisão em partes desi

-guais. A divisão em partes iguais e apenas uma exceç~o dentre ~s formas poss{veis de se dividir.

É costume na ;;1atemática, valorizarr:Jos bem mais 2. divis.~o quando ela ~ feita em partes iguais. Por isso, vamos tent~r com~~~ ender melhor a divisão em partes iguais.

1480. Atividade: :t:egue ó fichas e tente dividi-las oam T)::'>.r+'es i~!':Ü3 I

sem quebra-las, entre 2 colegas, mesmo aue sobre al;~L~ resto. a) Complete a tabela abaixo com todas as possibi l id;;o.des de divis;'o

e com seus respectivos restos.

la. Pessoa 2a. Pessoa :testo

I

I

I

b) De quantas maneiras diferentes você pode fazer eSSa divisa0? c) Em qual das maneiras do item a o resto da divisão foi o menor

possível?

Texto

n'

5' Q ALGORITMO DA DInSÃO

, . , f •

Voce ja esta acostumado, desde quando aprendeu a divi

-dir, de colocar um nÚmero fora de uma chave e outro dentro dela como no esquema abaixo. Sempre que fazemos isso estamos dizendo que queremos efetuar uma divisão ~ partes iguais ~ modo ~ ~ resto dessa divisão seja 2 ~ nossivel. O n~ero que est~ ~ e~

,

,

querdada chave e sempre o numero de objetos a serem divididos

, " /

(diVidendo). O numero que esta dentro da chave (diVisor) e seopre

,

-o numero de pessoas com as quais os objetos serao divididos. O

, /

' .

numero que esta abaixo da ehave (quociente) e sempre o nucero ~e

objetos que cada pessoa dever~ receber. O n~mero que es"ta

,

i?b?ix'J do dividendo (resto) ~ sempre o nÚmero m1nimo de objetos resi~n­ tes, 'nessa divisão.

Dividendo 6 2 Divisor Resto O

₃

Quociente

!

!

J

J

4 I j

!

j j 1 ~

.-

_,..

--,...

JIIJ

-

...

_..

.. ..

•

•

•

•

_..

i

•

₁₁

•

•

•

-1

6

-15a. Atividade: Responda:

a) Qual

é

o menor resto passivel da divisa0 sem quebra e em pa r-tes iguais de 10 fichas entre 3 pessoas?

b) Qual

é

o menor resto ·poss!vel da divisã'o ser.! q:uebra e em !)ar

-tes iguais de S2 cartas de baralho entre 4 jogadores?

c) Qual

é

o menor resto possivel da divis~o sem n,uebra e em !)ar

-tes iguais de NCZ$ 700,00 entre

3

pessoas?

d) Qual

é

o menor resto poss{vel da divisão sem quebra e em r-ar

-tes iguais de 500 laranjas entre 15 cai~otes?

e) Qual : ' o menor resto !!oss:Ível.da divisão sem. Quebra e e$

~ar

­

tes iguais de 5 fichas entre 6 [-essoas?

~ - '

Leia com atençao a Observaçao Abaixo:

!Ia Matemática, sempre que utilizamos a palavra dividir, estamos sunando ~ a divisão est~ sendo feita ~ ~ i2Uais ~ ~ ~ ~ ~ ooss{vel.

É

o que faremOs daqui para frente. Quando quizermos fazer outro tipo de divisão, diremos as cond i--çoes em que ela deve ser realizada.

16a. Atividade: Responda:

a)

É

poss{vel dividir 7 ficha3 entre 10 pessoas? Por quê? b)

É

poss{vel efetuar uma divisão onde o dividendo

é

divisor?

dlenor que o

c) É poss{vel _{dividir o n~mero}

,

,

!

gel0 numero ~ se ~ e menor que b?

Pronriedade ~

"i1"uma divisão, o divide-ndo _{nunca po} d _{e ser :rle:1()!' ':':e ,)}

;:U\Tisor" • _{Isto porQue estE.:::03 supondo qu~ :!. di7ig~1) ~st~}

,

_s,~~d"

f~ita sem que ora dos objetos. Logo, cadê", Desso..;:, !~"~T'2, ___ ~,-:~\)er lo menos u.n objeto intairo. ?ias se existem mais pes30as do f!ue objetos, então.algumas delas receberão um objeto enquanto que ou

-tras não receberão nenhum. 3 se isso acontecer, a divisão nao foi

feita em ~-tes iguais como estamos supondo desde O inicio.

-17-17a. Atividade: ResDonda:

a) Quando se divide 10 fichas entre 3 pessoas e ?ossivel que ~

-resto seja 4? Por quê?

,

b) Quando se divide um certo numero de fichas entre 3 pessoas e

,

possfvel que o resto se ja 4?

c) Quando se divide um certo numero de ficbas

,

entre 3 pessoas e

,

passival que o resto seja 3?

d) Quando se divide um certo numero

,

de fichas entre 3 pessoas e

possivel que o resto seja 2?

e) Quando se divide um certo n~ero de fichas entre 3 pessoas e

possível que o resto seja 17

r} Quando se divide um certo nÚmero de fichad entre 3 pessoas e

possivel que o resto seja zero?

g) Quais são 09 possíveis restos da divisão de UQ numero

qual--quer por

31

h) Se você dividir um n~ero natural qualquer por 5, quais

09 possíveis restos dessa divisão?

i) Se voc~ dividir um n~erà natural quzlquer 90r 10, quais

os possíveis ~estos dessa divisão?

sao

Sc.o

,

j) Se você dividir um nÚmero natural qualquer por 100, qual e o

maior resto dessa divisão?

1) Se voc~ dividir um nÚmero natural qualquer por 1, Qual: o

maior resto dessa divisão?

m) Numa divisão,

é

poss{vel que o resto seja um

n~mero

maior

que o divisor? Por quê?

n) Numa divisão,

~ ~ossivel

que o resto seja um número

,divisor? Por quê?

igual ao

o) Se você dividir um _{num' ero natural qualquer por zero, quais _}

são 09 possíveis restos dessa divisão?

•

,

JIi

ti

•

•

,

•

,

•

_•

..

•

•

f

,j

-18-Texto n2 6: OUTRAS PROPRIZDADES DA DIVISA0 011 P~1TES IGUAIS.

.

,

Vace ja de'Te ter descoberto que:

,

?ro!Jriedade 2 : "~Iuma divisão, o resto te!!! que se::- sempre um nUf.".! ro menor que o di'Tisor". Isto porque estamos supor!do que a di'ri-sã.o seja feita em !Jartes igu,;:.is -= C)1!l o !!len?r resto :~:).3s{'!~l.

-\:i

sil!l. s,: te!!lOS u:J. certo nt~.:::!e:~() c.e 0bjet.)s e q'.terc":!.J;3 '_1i'/i:!i-l)3 -e:ltre 4 ,essoas, ::le::! ._~ nusera

,

!'!'!~~. .:Jr

do que 4 pois se isso 2contecesse poderL~.[!los fazer ::10V3.::: c

listri-oui-:;ões dos oàjetos entre as !lessoas até que o rr:e::lO!" resto ;:lOSS!

',el fosse um nU'lllero ~enor do que o.) numero de ., pessoas.

Frooriedade 3: "O divisor de tl.P.!2. 'divis2:'o nunca pode ser ze:;..~o".

Isto porque, se o divisor fosse zero sig:lificaria q~le ter{e.Cil.os

-um certo n~ero de objetos mas não ter{~os nenhQ~a ,essoa cOm quem pUdéssemos divid{-los. Logo, não poàertamos fazer distribu!

ção alguma e o resto dessa divisão seria o próprio n~ero de ob -jetos que preteod{amos dividir. Esse n~ero

é,

evidentemente, maior do que zero. Logo, o resto seria um nÚmero maior do que o

divisor. ~s lsso

é

um absurdo, pois, pela propriedade 2, já co~ cluLmos que o resto tem que ser sempre um nÚmero menor que o

di-,

, /

,

visor. Portanto, e impossível dividir por zero. Em 7i!atematica, e imposs{vel não se dividir com ninguém.

Definicã'o 1: "O resto de uma divisa0 rlOde ser zero ou não .. Di!"e

-mos que toda vez que o resto de uma divisão for zero, ela se~~ -uma divisão exata e quando não for zero sera uma divis:?o ine:caté' .• 138. Atividade: Em cada divisão abaL~oJ diga em primeiro luea r,-se ela roi feita em partes iguais ou desiguais e em segundo

lu--gar, se ela foi exata ou inexata:

a) Um pai dividiu a quantia de NCZ$ Z.500,00 entre dois de seus fi-lhos de modo que cada um recebeu NCZ$ 1.250.00.

b) GOl feirante dividiu 300 larao.jas em 3 caixotes de modo que no primeiro colocou 120 laranjas, no segundo 80 laranjas e no terceiro 100 laranjas.

c) Uma oper~ia dividiu 825 unidades de fitas adesivas em 26 cai xas e em cada caixa colocou o mesmo n~ero de fitas.

-19-d) João pegou 12 fichas e distribuiu-as em 3 urnas de modo que _

na primeira colocou 2 fichas, na segunda colocou 7 fichas

na terceira 1 ficha. e

110.- Atividede: _{Efetue as seguintes}

divisões: ti) 510 ₅

l

o

.l- ~

!

8'

_"

: _!)

₂₈₈

_: 16 = _{1 ) 194 :} 13 I I b) 1440 : 45 ~ _3~ g) _{756 : 378} ~ -~ f" -m) _{1035 17 ....} .I o) 120 _{24 "5 h) 61915} : _{3OS..=., r 2 ' -... n) 2668} : 13 (I ) _{130 15} l~

₁₎

₆₃ : 6 -2.~ _{o) 3025 :} 17

.

) _{936 36}

-

~ j) _{75 : 74}

-r~,t ~\~ I'"

.'Uu, Ativldnde: I} Na púgina see;uinte, Pinte cada peça Com as cores

indicadas.

" h'I'l\lJIIlllundo C'Hh as De:;us coloridas que você recebeuJrespondp:

1\ lHo lIUO coroa são as

pe

,

~a

s

que cabem um número exato de ve:i:jes

1111 1'0 Çll dourada?

11 1 1)0 (1110 001'00 são ."lO peças Que cabem um numero exato de vezes na

plJQ t Itl.ul Oscuro?

(' )01111 j (J _{lIno 00 peças}

divisoras da _{peça cinza?}

(t lOt1/11 u _fJno

_a.

_neças

divisoras da peça branc~ ?

tt \~I/"l ~Ou cubinhos _{possui cada}

peça divisora da peça _marrOm?

,. )OlUll1llo.- _{oubinhos oossui}

cada peça _{divisora da peça}

a.ul claro? ~ 1 Qjllttl ~ 1m _{Qub:inhOfl oossui cad}

a peça _{divisora de uma}

peça de 12 cu -1tlllllnu~1

'1'

Vo

ô

doscobriu na atividade anterior que as peça6

~

IIfl 11 1 (I O\.lb.lnho),

~

(2 cUbinhos),

~

(J cUbinhos) o mnr ti (t1 OttlJJnhoo) eram as tinicas que dividiam exatamenta FI 01/\ 111111 nltl Om pn.r'tas iguais. Desta observação, cheeamos

à

SOgu.Lntu fHlIl I Lluno:

,

"Para que uma peça B seja divisora de uma !>o;a ,\ o

1111 UfJ fI(jf trio 'lua;

,

1) n poço. B seja

~

ou igual a pe't_a .:\ 2) fi voço, D c2.iba u:n l'!Ur.:43ro

~

;:

.?

"!;

o

de 7ezea nn 9°-;0 ,,'I

,

2.see..ndo-se nisso e co!'!siderando uma pe?s ;\ I1 Ul11qllOl', Q'r}rJbumumoo dizer que:

- Con,1unto das nOcas divisoras da l)O'::R

.:1::

é

o con,jlmbo do

~

no poças quo dividom n poça A oxatamonto om rHlr'too i lnlf1,

-20-o

Vermelha

ITJ

Verde Rosa Amarela

I

Azul claro

I

I

I

:1.arrom

I

Branca

I I

Cinza Azul escuro

-21-Exemplos:

a peça vermelha e divisora da peça marrom a peça

a peça

a !faça

Por

~osa

é

divisora da ~e/a marrom

,

verde e divisora dê pe~a marrom marrom ~ divisora de 997a ~arrom.

outro lado, costU!i!.2.IDOS dizer Que:

,

,

-

A peça A e :nultlpla de todas as 3Jeças que a divid!!ID e::2.t~

mente em partes iguais.

E:cemplos:

,

a peça marrOm e

a peça marrom e a peça. marrom e a peça marrom e Neste caso,

,

multipla da peça rmiltipla da peça mÚltipla da peça mÚltipla da peça dizemos ,também, ve nne lha verde rosa marrom.

que a peça A e divisivel

,

por todas as peças que a, dividem exatamente em partes iguais. ExemploS':

a peça marrom e divisivel pela peça vermelha

,

divisivel pela verde

a peça marrom e peça

,

divisÍvel pela

a peça marrom e peça rosa

,

a peça marrom e divis!vel pela peça marrom.

Esse mesmo racioc1nio continua v~lido se nao

soubés-,

J

semos as cores das peças, mas apenas o numero de cubinhos ~

-cada

~

cont~!!l

.

•

Como a peça marrom ~ formada por 6 cubinhos; a rosa - ~ por ), a verde por 2 e a vermelha por 1 cubinho, então, poder!!,

J

mos dizer que: os divisores de

6

é

divisivel por 1, 2, 3 e 6. divisores.

6 são 1, 2, ) e 6 ou que o n~ero

o

numero 6, portanto, possui 4

I

4

•

21a. Atividade:Trab,ühando com as peças coloridas que voce recebeu; • responda:

a) ~ pe?a dourada

é

m~ltiDla de qu~is peças? b} A peça cinza

é

divisivel por quais peças? c) Oite todos os divisores do numero 10. d} Cite todos os divisores do numero 9.

e) Cite cinco m~ltiplos do n~mero 2.

f l Cite três m~ltiplos do n~ero 4.

•

,

•

1

,

"

-22

-228. Atividade: Imagine uma peça ~ com 484 cubinhos: uma peça B com 11 cubinhos e uma peça C com 7 cubinhos.

a)4 peça B e divisora da ~eça A? Expiique o que você fez parp chegar ~ sua conclusiio.

b)

c) d)

~ Feça A

é

m~ltiEla da pe,;a B? Explique o que voe e fez para chegRr a sua conclusão.

A peça C e divisora da peça A? I'or Quê ?

A peça A e múltipla da peça C ? Por que ?

!)efini~ão 2: Dizemos que LU:l mÁ=,ero

é

divis{vel !'lar U!!l outro cu-

,

,

~. 3~ 1:;:3) .-c,..>!!:;~::<:!r, ,:::":~:ilOS "'::!;::b~~ :::'.1e :) ~~rL.:ei.:..~,) :::!.t1.::-:ero e

,

se_ó1.tndo e divisor do ~~!"irr..eiro.

232. Atividade: Coloque V ou F nas a~ir~çõe9 abaixo, confo~e _ sejam elas verdadeir2s ou falsas:

5 e divisor de 15 20 e

,

divisível _{por 10} 5 e divisor de 100 10 e

,

divis{',el ~or 20 14 e divisivel por 7 20 e

,

divisor de 10 14 e divis{vel _{por 5 10} e

,

_{divisor de 20} 2 e divisor de 11 20 e

,

múltiplo de 10 5 e m ltiplo de 15 10 e

,

::rÚltirüo úe 20

248. Atividade: 1esponda:

a)

25

é

divisor de 225? Por quê? b) 25

é

divisor de 245? Por quê? c) 2730 e múltiplo de 131 Por quê? d) 3310

~

m~ltiplo

de lI? Por quê?

e) 2550

é

divisJ_• vel _{por lO? Por quê?}

f )

O

~ divisor de

5

? Por que? gl O

é

múltiplo de 5 ? Por Quê?

-23-Texto nº 8: CRITÉRIOS ~ DIVISIBILIDàDE

No trabalho com as peças coloridas, voc~ teve a opor -tunidade" de descobrir quando

é

que um nÚmero A

é

divis1'rel

um

n~ero

B. Bastava dividir o

n~ero

A por 3 e se a divisão desse exata (resto zero) dizíamos que A ~ divisível por 2.

por

O objetivo nosso agora

é

o de descobrir regras que nos permitam dizer ~ certeza quando

é

que um nÚmero qualquer

/

e divisfvel por 2, 3, 5 ou 10, ~ ~recisar efet.uar ~ divis?o. 3e essas regras existirem o nosso trabalho ~osterior ser~ b?s

-tante simplirica~o e economizaremos tecpo e esforJo em nosso c~ minha que le'Ia aO estudo dos m.i.:!eros fro.ci~n~:-ias.

É

evidente _

que uma máquina de calcular fa::-ia o cr:eSmo efeito. :';<".9 esses quinas só :>uder2.!il ser fahricadas pOl~que os home::!s, lÕ'I.t!"8.'IP.

,

S

,

T.3

-sua ini:;elig~ncia e do seu tr2.baTho, comprenderao e dO!:li:'1er='!.:::! as

-,

leis que regem os numeras.

~ claro que os nt~meros que foram divis1veis por 2, 3, -5, ou 10 deverão gertencer, por maiores que sejam, aos conj~tos

dos m~ltiplos de 2, ), 5 ou 10 respectivamente. Zsses conjuntos

-.ao os see;uLl'ltes:

ih (2 )

t

2 , 4, 6,

a,

10, 12, 14, 16, 18, 20, 22,

...

}

i.i (3) =

p,

6, 9, 12, 15, .13, 21., 24, 27, 30,

33,

.. ·

1

;i (5 ) { 5, 10,

15,

20, 25,

30

,

35. 40, 45, 50, 55,

.

.

.

}

;,t (10)

=t

10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, ..

.J

Não

é

necessário grande esforço para perceber que no conjunto dos m~ltiplos de 2 s~ existem nÚmeros pares e todos os

~

4

•

•

•

•

_«

@

•

•

•

"

.,

•

nÚmeros pares

ai

estão. •

No conjunto dos múltiplos de 5 50 aperecem núr;teros que . .

possuem o ~ltimo algarismo da direita igual a O ou 5 e todos os . .

numeras que terminam em O ou 5

a

i

estão. ~

No coojtU1to dos un.iltiplos de 10 50 aparecem os n{l'!l.eros . .

,

,

que possuem o ultimo alearismo igual a zero e todos os nume=os ...

que terminam em zero a{ estão. . .

Entretanto, no conjunto dos m~ltiplos de ). as coisas - ... nao sao assim tão evidentes, pois existem

ai,

tanto nÚmeros par9s

ti-

-24-quanto {mpares, embora nem todos os pares e fm~ares

a

I

estej~m. O critério de olhar o ~ltlmo algarismo da direita também não funciQ na pois ~ 09 algarismos de O a 9 iraa aparecer ness~s números.

L!as, se. observaZ1!los um !lOUCO melhor os núceros que :pertencem GI.

es-se conjunto vamos notar um fato surpreendente: e que ~ ~ dos

-al?jarisl!!os ~ COI!ll}OeCl cada numero

é

sempre um n~mero igu.:?l ou me nor que ele, !:las que t~_!Jbé:n r::ertence ª-2. can.iu..YJ.to ~ w:últip" :lS (:~

1.

I:3Sv n~o C'CJI~tec<:! ::ar::! os rle!:l:?is conjunt,)~ :>nalisados.

lL:'a'::e i?:3si.o. t:stabeleciàos:

lo;! Crit~:!:'iv: Gm nw..ero ~ divis{vel !l0r 2 n,uanc.:J for ?C:'.r.

22 ~rit~r1a: em mi..aero

é

divis{vel por) quando ~. SOr.1~ c.e to dos os a15arismos que o compõe for um nÚlti910

de 3.

)2 critério: Um ntL'Ilero

é

divisível por 5 o.uando seu ti:ltimo

-algarismo da direita for

O

ou

5

.

42 Crit~rio: Cm n~ero ~ divis{vel por 10 quando seu último algarismo da direita for zero.

25a.' Atividade: Considere o conjunto S abaixo:

S - 70, 34, 130, 415, 311, 1001, 3475, 12345, 13200, 111111 a} Quais Sao os nÚmeros do conjunto S que são divis{veis por 21

b} Quais sao os n~eros do conjunto S que sao divis{veis por J ?

c) Quais .ao os numeras

,

do conjunto S que sao divis{veis por 51

d) Quais sao os numeras do conjunto S que .ao divis1veis por lO?

e) Quais sao os numeras do conjunto S que sao divis{veis por 2 e 5 simultâneamente 1

f} Quais sao os oumeros do conjunto S que sao divisiveis por 3 e por 10 simultâneamente ?

"""

--

..-.íA

..

,a

...

~

iJ

~

.,

_,

t

•

_•

,

-24-quanto ímpares, embora nem todos os pares e {mpares a{ estej~m. O

crit~rio de olhar o ~ltimo algarismo da direita também não funci~ na pois todos os algarismos de O a 9 irão aparecer nesses números. L72.9, se. obse!""raI1!lOS um !.Jouco melhor os mirueros que pertencem a es

-,

se conjunto vamos notar um fato surpreendente: e que ~ ~ ~ -aI '{2.risl!!os ~ cOC!llJoem cada numero e se:npre um número igu:?l ou me

nor que ele, ClClS que t2....':1oé:n ~ertence ~ con.iul1to ~ :núltip'.Js ('.0.:

l.

Isso nc.o ~_c;)r:.tece :;ar:l os de~2.is co!t.jU.'1t03 i'nalisados .

::::.n'l!lCÜ'.:l::)S ~=~i::') :-.3 .! !.~6':"T::-:S ;1.\ cr:teriJs ,la di ' l is i .)

::-li~ace ~dsi~ êstaoeleciãos:

19 .::rit~~io: lim nÚmero

é

divis{'rel ~)Or 2 r~unncJ for ~(;I_!,.

22 '=ritério: Gm ntl..nero

é

di"isivel por 3 quando f:'. SOr.1.2. de to dos os a15arismos que o com9õe for um crÚltiplo

de 3.

)q critério: em nú."Ilero

é

divis{vel por 5 quando seu ti:ttirno -algarismo da direita for O ou 5 •

42 Critério:

em

nÚmero ~ divisível por 10 quando seu último algarismo da direita for zero.

25a.' Atividade: Considere o conjunto S abaixo:

S = 70, 94, 130, 415, 911, 1001, 3475, 12345, 13200, 111111

a) Quais Sao os nÚmeros do conjunto S que s~o divis1veis por 2?

b) Quais sao os numeros do conjunto S que sao divisíveis por) ?

c) Quais sao os nÚmeros do conjunto S que sao div1s{veis por 5?

d) Quais sao os numeras do conjunto S que sao divisiveis por lO?

e) Quais sao os numeros do conjunto S que sao divisíveis por 2 e 5 simultâneamente ?

f ) Quais sao os numeros do conjunto

S

que sao divisíveis por

3

e por 10 simultâneamente ?

-25-~6a. Atividade: a} Cite três numeras de quatro algarismos que 5~

jam divisíveis por 2 e 3 simultâneamente.

b) Cite três numeres de 3 algarismos que sejam divis{veis ~or 2 e 5 simult~eamente.

c) Cite tr~s numeras de 5 algaris~os que seja~ divisiveis por 3

e 5 simultâneamente.

d) Cite três nQ~er09 de 5 algarismos que sej~ divisíveis por 2, 3 e 5 s~ultâneamente.

e) Cite três n~meros de 5 algarismos que sejam divis{veis ~or

2, ), 5 e 10 simult~eamente.

27a. Atividade: a) Dê o conjunto formado por todos 09 números

que se escrevem com dois algarismos e são divisíveis por 10.

b) Dado o numero 26 O , qual deve ser o menor valor de O para que o nÚmero seja divisível por 2? e por 3?

c) Escreva na [J o menor algarismo que, acrescido ao numeral, represente um numero

,

com as características abaixo:

1) 231

Q

divis{vel por 2 e 3. 2) 4532 O divisivel por 2 e 5.

3 ) 2101 0 ãivisivel por 3 e 5.

4 ) 3271

O

divisivel por 3 e 5.

5 ) 51243

O

divis{vel por 2, 3 e 5.

Leia com Atenção o Texto

9 :

nÓ,:ZJ03 PJIUCS

No trabe.1b.o que você teve de !,esquiser todos ·JS :1i'r!

sores de ur.l nt~.mero )equeno voc~ ce!'tacente notou qLle ne::l tod·)s

,

os'numeraS possuem a mesma quantidade de divisores.

O numero 12 possui exatamente ~ divisores ( 1, 2, 3,

4, Ó e 12 ao passo que o numero

,

7

possui apenas ~ divisores ( 1 e 7 ) e o n~mero 1 a'!')enas 1 divisor.

-26-.

/

Voce poderia estar pensando que quanto ~2ior e·um n~

,

mero ~ais divisores ele possui. Entretanto, isso ~ao e verdaàe.

Basta darmos tlJ!I. contra-exemplo.

Já

vimos que 12 possui Ó di1riso

,

/

res. O nuaero 1) que e maior que 12, possui, entretanto, ? pen~.s

2 divisores que são 1 e 13.

O conceito de nl~ero ~ está relacionado coco a quantidade de divisores que um número natural possui..

,

,

Jizemos ~ ~ numero natur-al ~ nri!!lo cn2.rrdo ele :-:>08 -suir e:tatamente 2 dilTisores.

De acordo com essa defini;ão verificaoos

imediata~en-- ,

,

te que 12 nao e um nt~ero primo pois possui ~ ~ ~ divisores;

~ - I /

1 ta.abem nao e numero primo pois possui s,oenas

1

jivisor. r.:as 7

,

e 13 soo numeros primos pois possuem exatamente 2 divisores cada

um.

I

Faça uma lista de numeros de 1 a 20 e circule aqueles que forem primos •

•

Se voce analisar quais ~ os divisores de cada ~~ des

aea n~eros primos deverá notar que:

1) o nÚmero 1

é

divisor de todos eles;

2 ) o outro divisor do numero e

,

,

o próprio n~ero.

,

. '

Podemos afirmar, portanto, que um numero pr~mo so po~ sui 2 divisores: o n~ero 1 e ele mesmo.

28a. Atividade: a} Escreva todos os n~eros primos menores que 60.

b) Cite 6 numeras primos que sejam ímpares.

, , I

e) Todo oumero ~mpar e primo? exemplifique.

d)

É

possivel que um numero par seja primo? ExemplifiQue.

e} A soma de dois n~meros primos ~ 20. Quais sao eles?

Texto 10: ~ Op::;aAiXO DE ~rULTI?LICA:;:;O.

liuma nrultlplicação os nÚmeros que estão sendo mu

--

2

7

-nroduto. Pode-se escrever uma multiplicação tanto àorizontal~e~

te quanto verticalmente e o n~ero de fatores Q~e ela ~a3sui ~2 de ser 2, J, 4. 5 ou ~ai9.

ZXemplo: 2. 3. 5 = 30 e U!l:a multiplica9~o que [l0ssui 3 f:::.-toras Jifere:1tes sendo que,) ;?rodutoJ

é

L;ual c. 30 .

.... as1m CO!JO -? [la.rtil' ,la .nulti;:Jlica::?:'o ':e cs!'t.JS

f:-to-res ~oêeoos obter o ~roduto, ,odecos t~~bem

,

. at::"~'l~S

,

.:10

,

inverso, escolher ~ nu~ero qualquer e dete~3L~arm0S os seus

fatores. A palavra que se usa para isso

é

"fatorar" que signi

-,

,

,

fica também "decompor um numero em fatores", E logico que um

-,

numero Dade ser fatorado de diferentes maneiras. ~istemJ vor

exemplo, 3 fatorações poss{veis do número 12:

12 12 2 3 6 4 12 2 . 2 . 3

A fatoraç~o que está dentro de um ret~ngulo

é

chama-da de fatoracão comn1eta pois, dentre as 3 ~2neira9 poss{veis

de fatorar o nÚmero 12, ela representa a ~ica maneira de se -decompor o 12 em fatores ~ orimos.

29a. Atividade: a} Fatore cada n~ero abaixo de todas as nanei

ras ~oss{veis e sem utilizar o número 1 como fator.

a

,

9, 10, 15, 18, 20, 24

b) escreva qual

é

a decomposição em fatores primos de cada um

dos n~eros do {tem a.

c) Decomponha o nÚmero 16 em fatores todos iguais.

d) Decomponha o ntimero 36 em fatores todos iguais.

e) Decomponha o nÚmero 12 em fatores todos iguais.

f) Decomponha o n~m.ero 11 em :fatores, sem utilizar o nUí!".ero 1

como fator.

,

,

g) Fatore o numero 7, sem utilizar o numero 1 como fator.

•

-28-,

Te:<to n9 11:

A

D2CO;:POSI(!AO DE tr.: NlJ.,:3:l0 ~: F,;'TORZ3 :'RI:.:CS. '!ocê

.já

notou que nem todos os nÚmeros :podem ser de-cor.:.postüs em f==.tores. E esses m~rce~os qu.e não :;odem ser decor.1 -[lostos são ju~t;::;::a:4te JS n~

,

neros ~r1~~S.

.

teo nÚh",s:C09 ,"!ue )o:!a;:: ser e.e,::o;::~ostos de ~t::c Ú:::"Ç;~ D?:1ei:::-.: 0~ tros, de 2 :!!.?.ne ir:::!.s, outros de 3 rr.an€ ir~9, e te ...

,

Entretanto, existe aoenas ~ uníca maneira de ~ ~

,

comnor ~ numero ~ fatores ~rimos. Alem disso, todos os nume

-,

-ros compostos, isto e, que nao forem primos, podem ser decompo~ tos em fatores primos de Única maneira.

É

por isso que a deCOm-posição de um n~ero em fatores primos

é

como se fosse o "retr~ to" daquele n~ero, o seu documento de identidade, pois jamais pode acontecer de 2 n~eros diferentes possu1rem a mesma de com-posiçao em fatores primos.

Vamos então, explicar uma técnica fácil para desco--brir a ess~ncia de cada nÚmero, isto er uma técnica para

decom-pô-los em fatores primos.

,

,

E claro que se queremos decompor um numero em fatores primos, os fatores que deverão aparecer na decomposição deverão ser todos nÚmeros primos, isto

é,

deverão pertencer ao conjunto

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,

E:xemplo: A decomposição do n~ 12 em fatores. primos

é:

12 = 2 • 2 • 3

Aparecem ai, 3 fatores, sendo 2 fatores iguais a 2 e 1 fator igual a

3,

e tanto 2 quanto

3

sao numeros primos.

,

Hote também que os dois fatores primos (

que

a,

eparece:n sao divisores do numero

,

12. Esse fato e

,

de muita importância: Todos 2.! f:?ta

--~ urinas que aoarecem ~ decomnosição ~ ~ nÚmero ~ fatures

,

pri~os ~ necessariamente divisores desse numero.

,

'

Ja temos todos os elementos necessarios para compree~ der o processo de decomposição de um n~ero em fatores pr~os.

,

.

~lamos, por exe!ilplo, decompor o I:!umero 100 em f<'.tores [)r!.~os.

'''::2-mo 100 é ~<'I, então ele

é

divislvel pelo n~ero primo 2 e enco~

-29-obtemos 50, e, ~ntão, 100 pode ser fatorado ~ss~: 100 s 2 • 50

:ressa ..-leco!!l.::,osi~;O, O !';.l.tSe!'o

,

tel.:lQS o nu:.,ui~() 23. ~te:o o nt~:!~ro :!.OO ::l),J,e z:e= :.~~-.;sc=:'t:) ~l~ ~2. va !!:Cl_'1e i ra :

100 2 . 2 . 25

~ ~, Ao

:;ías 25 trunbem não e primo. E necessario áecompo-lo. Qual o

nu-mero prime que divide exatamente o nÚmero 25 ?

É

o 5. Dividindo 25 por 5 obtemos 5 e o nÚmero 100 pode ser re-escrito assim:

100

2

.

2. 5

•

5

o processo terminou, uma vez que, todos os fatores obtidos Sé!O

,

numeras primos.

As etapas desse processo podem ser esquemati=adas da seguinte maneira: 100 2 50 25 5 1 2 5

5

Do lado direito do traço aparecem os

-fatores primos de 100 e do lado es~ue~

do os quocientes das divisões efetua--das.

30a. ~tivldade: Através do processo que você aprendeu, decomp~

,

nha cada numero abaixo em fatores primos:

1) 81 2) 120

3) 48

4) 3õ 5) 60 6) 72 7) 121 3) 215 31a .• Atividade: a) Quantos fatores

OURis S8.0 eles?

3) 1.200 10) 350

11) 1.024 12)

lõ,

primos possu i o numero 30? b )Quantos divisores priG".os possui o m~rr,ero )O?Quais

s

ão

eles?

c )Existem outros divisores de )O,que não sej:lm primos? Em c::>so afirmativo, diga quais são eles? Como você os ach"u?

d} Qual

ê

o maior divisor primo de 301

e) QUantos são 08 fatores primos do n~mero 60? Quais sao eles?

;

«

•

_«

4

•

•

•

•

t

ti

li

lí1I

-)0-f) OUantos divisores primos possui o numero 60?Ouais sao eles?

g\ Existem outros divisores de 60,que nao sejam primos? Em caso

afirmativo,diga quais aao eles? Como voce oa achou?

h) Qual e o maior divisor primo de 60?

i) cD\J.nntos fatores primos 'Dossu1 o numero 81? OU'lis "ao eles?

j) Ouantos divisores primos possui o número 81? Qu~is s~o eles?

I} Existem outros divisores de 81 que não sejam prjmos? Em eeso

afirmativo,diga quais são eles? Como você os achou? /

~exto n!i! 12 - Q§. DIVISORES ~ tT:J. ~W!i:.E...1.0

,

Consideremos o numero )0. Para acharmos todos os ~

~ primos de )0, basta decampQ-lo em fatores primos: )0

=

2

~ 3 • 5. Entretanto, além dos divisores primos, o nu~ero 30

possui outros divisores ~ não sâo n~eros urimos. Como achá

-- los? Basta outros de 2 -primos de que em )0, 2 2 ) 2

multipliquemos 2 e depois de 3 I são: alem de 1, ) Ó 5 10 5 15 ) 5 ~ )0

os divisores !Jrimos uns ~elos

-eOl )

.

:::ntão. os divisores =t20

-~

,

Conclusao: Q o!"oduto de

g,.

~ J:ais divisores tJriíilOS de !!.!!l :1'..L,,::e!"O

'!

se~ure ~ divisor não-orimo desse n~mero.

Isso sienifica que se 3 e

5

são divisores primos de um número ~ então, 15 = 3 . 5 será um divisor não_primo de A.

3_2a. Atividade: Gm nÚmero A foi decomposto em fatores ,ri;aos,

-obtendo-se a se~~inte fatoração:

A 2 . 2 • ) . 5 a) Cite todos os divisores !,rimos de A.

b) Quantos divisores primos possui o [!u~erO A? c) Cite todos os divisores não-primos de A.

d) Qual e / o mainr divisor primo de A ? e) Qual e

,

o menor divisor prÍl!lo de A ?

-31

-,

...1.&

Atividade: Um numero B possui 5 fatores primos todos iguais a 2.

a} Cite todos os divisores não-primos de B.

b) Qual ~ o maior divisor não-primo de 3?

34a. Atividade: Determine o conjunto de todos os divisores de

a) 36 b) 48 c) 18 d) 60 e) 45 C) 40

g} Cite 3 nÚmeros diferentes que possuem como divisores pri-mos os nÚmeros 2, ), e 5 ao mesmo tempo.

,

h) Cite 3 numeras diferentes sendo que, cada um deve yQsguir

2 divisores primos diferentes.

1) Cite 5 nÚmeros diferentes ser.do que, cada um de'Te ,ossuir apenas o n~ero 2 como divisor primo.

,

j) Um numero A foi deco:1l!)osto em fatores primos e obteve-se a

seguinte fatoração:

A - 2 . 2 . 7 " 11 Dete~ine o c~ero

,

A.

,

D

Cite um numero que possue exatamente

5

divisores pricos di

ferentes.

35a. Atividade: Trabalhando com as peças coloridas Qu::ndo necessario,

responda o que se pede:

11 OUais sao 3S peças divisoras da peça azul escuro e da peça mn.rrom ao mesmo tempo?

2 ) De que cor e a maior peça divisora das peças azul escuro e marrom ao mesmo tempo?

3 ) De que cor e a maior peça divisare das peças dourada e azul claro ao meamo tempo?

4 ) De que cor e a m2.ior peça divisora das peças rosa e ;'mareli'!. ao

mesCT.O tempo?

5 ) Escreva todos os divisores de 2O.

-32-7 ) Escreva todos os divisores comuns de 20 e de 12

8\ Qual

é

o ~ divisor ~ ( m.d.c. entre 20 e 12 ? 9l Escreva todos os divisores de 15.

10) Escreva todos os divisores de 16~

11\ Escreva todos 09 divisores comuns de 15 e 16.

12} Quactos divisores possui o numero

,

13) Quantos divisores possui o numero

14) Quantos divisores comuns possui

,

15l. Qual e o m.d.c. entre 15 e 16) Determine: m.d.c.

(

9.

12) - .•.••••.• m.d.c. (16 e 18) - •••.••.. m.d.c. (6,7 e 8) - ...• 15? os 15 ? lõ?

,

numeras 15 e ló?

17) Imagine uma i1eça A com 60 cubinhos e uma peça B COJ[l 90 cubinhos.

OUantos cubinhos deve rJossuir a maior peça que cabe exatamente

nas peças A e B ao mesmo tempo?

18)' Qual e o maior nÚmero natural Que divide ao mesmo tempo 06 nueeros 150 e 2907

OBSERVAÇÃO: Talvez voce tenha enc~ntrado mais dificuldade ao resol-ver os dois últi!l,06 exercícios acima. A razão disto se deve ao fato de que os nu~er09 envolvidos nos problemas são relativareente grandes, o que dificulta a determlnvção do m.d.e ~elo método já ai rendido. Assim. o objetivo das atividades que se seguem e o de possibilitar

a compreensão de um novo método de determinação do m.d.e de um2

maneira mt,is prática.

;óa. Atividade: Os

n~eros

A, B e C foram decompostos

~m

fato-res primos obtendo-se as seguintes deeom~osiçãe9:

A

2 • 2 . 3

.

5

B - 2 • 2 . 3 . 7 C - 7 . 1 1

a).Cite todos 09 fatores rrimos de A . • Cite todos os fatores ~.rill.os de B • • Cite todos os fatores primos de C.

-33-b) • Cite todos os fatores primos c_~ a A e B.

Cite todos os fatores prirr.os q~ a A e

e

Ci te tod:s ')8 ~s p"rimos _~ a B e

e

c) .Cite todos os fatores ~s a A e B

.Cite todos os fatores co/nuns a A e

e

.. Cite todas os fatores c~omuns a B e

e

Atens;ão: T.embrando que todo fator _{~ ~} n~ e também divisor

desse número,continue •••

<\) . Cite o m:.ÜQr ~ivisor _~ entre A

•

B

.Cite o maior divisor comum entre

_.A

_•

e

.Oi te o _~ divisor _~ entre B e

e

Observar que: 1) o m.d.c. (A, B) = 2. 2. 3 ~ 12 (produto dos

-divisores primos comuns) 2 ) m.d.c. (A,

e)

= 1 (A e

e

~

possuem diviso -nao

res primos comuns)

3

)

m.d.c"

(s,

e)

* 7 (9 e

e

possuem o 7 como

_un

_i

co divisor primo comum) .

J7~. Atividade: Coloque

y

ou

E:

(

Todo n~ero primo que faz parte da decomposição de um n~

,

,

mero A em fatores primos e necessariamente di-risor do r!::!,

mero A.

Todo nÚmero primo que nao faz parte da decomposição de

-,

um numero A em fatores primos não pode ser divisor do

,

numero A.

,

Se dois numeras diferentes ao serem decompostos em fato

-res primos apresentarem um Único divisor primo comum, ea

tão esse ntimero primo e o

,

maior divisor ~ entre os

,

numeras dados.

,

Se dois numeras diferentes, ao serem decorn~ostos eo fat~ res primos, não apresentarem nenhum divisor primo comuQ, então, o m.d.c. entre eles ser~ 1.

O m.d.c. entre dois nÚmeros decompostos em f~tores Dri-mos, e sempre igual ao uroduto dos fatores ~r~os co~~s

de~.

•

!

f f f

•

t

•

•

~

•

•

•

•

•