Problema do passeio lucrativo com passageiros e penalidades por atrasos

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte Centro de Ciências Exatas e da Terra

Departamento de Informática e Matemática Aplicada Programa de Pós-Graduação em Sistemas e Computação

Mestrado Acadêmico em Sistemas e Computação

Problema do Passeio Lucrativo com

Passageiros e Penalidades por Atrasos

Yuri Kelvin Nascimento da Silva

Natal-RN Fevereiro de 2019

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Yuri Kelvin Nascimento da Silva

Problema do Passeio Lucrativo com Passageiros e

Penalidades por Atrasos

Dissertação de Mestrado apresentada ao Pro-grama de Pós-Graduação em Sistemas e Com-putação do Departamento de Informática e Matemática Aplicada da Universidade Fede-ral do Rio Grande do Norte como requisito para a obtenção do grau de Mestre em Siste-mas e Computação.

Linha de pesquisa:

Algoritmos Experimentais

Orientador

Prof. Dr. Marco Cesar Goldbarg

PPgSC – Programa de Pós-Graduação em Sistemas e Computação DIMAp – Departamento de Informática e Matemática Aplicada

CCET – Centro de Ciências Exatas e da Terra UFRN – Universidade Federal do Rio Grande do Norte

Natal-RN

Fevereiro de 2019

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Silva, Yuri Kelvin Nascimento da.

Problema do passeio lucrativo com passageiros e penalidades por atrasos / Yuri Kelvin Nascimento da Silva. - 2020.

160f.: il.

Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Centro de Ciências Exatas e da Terra, Programa de Pós-Graduação em Sistemas e Computação. Natal, 2020.

Orientador: Marco Cesar Goldbarg.

1. Computação Dissertação. 2. Otimização combinatória -Dissertação. 3. Meta-heurísticas - -Dissertação. 4. Algoritmos evolucionários - Dissertação. 5. Problema do passeio lucrativo com passageiros - Dissertação. I. Goldbarg, Marco Cesar. II. Título.

RN/UF/CCET CDU 004 Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN

Sistema de Bibliotecas - SISBI

Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Setorial Prof. Ronaldo Xavier de Arruda - CCET

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Dissertação de Mestrado sob o título Problema do Passeio Lucrativo com Passageiros e Penalidades por Atrasos apresentada por Yuri Kelvin Nascimento da Silva e aceita pelo Programa de Pós-Graduação em Sistemas e Computação do Departamento de Informática e Matemática Aplicada da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, sendo aprovada por todos os membros da banca examinadora abaixo especificada:

Prof. Dr. Marco Cesar Goldbarg

Orientador(a)

(Presidente)

Profa. Dra. Elizabeth Ferreira Gouvêa Goldbarg Examinador(a)

Prof. Dr. Matheus da Silva Menezes Examinador(a)

Profa. Dra. Thatiana Cunha Navarro de Souza Examinador(a)

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Agradecimentos

Aos meu pai, Leomar Clemente da Silva, e à minha mãe, Sandra Zenaide Cordeiro do Nascimento, por serem a base da concretização dos meus sonhos.

À minha filha, Záira Rodrigues Nascimento, por me fortalecer nos momentos mais difíceis e ser o motivo da minha garra e persistência na busca dos meus objetivos.

À minha companheira, Jahtiã Cristal Rodrigues do Carmo, por encarar as dificul-dades, dividir as felicidades e compartilhar as conquistas. Obrigado por tudo.

Aos professores Dr. Marco Cesar Goldbarg e Dra. Elizabeth Ferreira Gouvêa Goldbarg, por todas as oportunidades, pelas críticas, por todo o conhecimento e também pelos conselhos durante essa jornada. Agradeço imensamente.

Aos colegas do Laboratório de Algoritmos Experimentais, pelo apoio, pelas ajudas e pelos conhecimentos compartilhados.

À todos os meus amigos, amigas e familiares que me apoiaram e me apoiam constantemente.

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Problema do Passeio Lucrativo com Passageiros e

Penalidades por Atrasos

Autor: Yuri Kelvin Nascimento da Silva Orientador: Prof. Dr. Marco Cesar Goldbarg

RESUMO

Este trabalho introduz o Problema do Passeio Lucrativo com Passageiros e Penalidades por Atrasos(PPL-PPA). O PPL-PPA é interpretado como um prestador de serviços que possui demandas de clientes a serem atendidas em diferentes localidades. Para cada demanda satisfeita, um valor de bônus é coletado e acrescido no valor total de bônus da jornada de trabalho. As demandas possuem um tempo para serem realizadas e um tempo estimado de início do serviço. A satisfação de uma demanda após seu tempo estimado de início caracteriza um atraso no serviço e, por isso, uma penalidade é imposta reduzindo o valor do bônus a ser coletado pelo serviço prestado de acordo com o tempo de atraso. Ainda, durante sua jornada de trabalho, o prestador de serviços poderá embarcar passageiros no veículo nas localidades das demandas. Cada passageiro embarcado contribuirá com uma parcela para a divisão dos custos de viagem entre todos os ocupantes do veículo em um determinado trecho. Os custos de viagem divididos entre todos não pode exceder o valor de tarifa ofertado por cada passageiro pelo trajeto entre sua origem e destino e o número de passageiros embarcados não deve exceder a capacidade do veículo. Sendo assim, o objetivo do PPL-PPA consiste em encontrar uma rota que maximize o valor de bônus coletados subtraído dos custos de viagem rateados com os passageiros e das eventuais penalidades impostas em razão dos atrasos. Como instrumento de formalização e validação do problema, um modelo de Programação Matemática é proposto e solucionado através de um solver matemático para instâncias de testes geradas para o problema em questão. Uma análise de acoplamento das instâncias é relatada mediante experimentos com métodos heurísticos ad hoc e métodos exatos ad hoc, sendo estes voltados para casos particulares do modelo. Por fim, são propostas três meta-heurísticas evolucionárias visando a eficiência na obtenção de soluções de qualidade.

Palavras-chave: Otimização Combinatória, Meta-heurísticas, Algoritmos Evolucionários, Problema do Passeio Lucrativo com Passageiros.

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Profitable Tour Problem with Passengers and

Penalties for Delays

Author: Yuri Kelvin Nascimento da Silva Advisor: Prof. Dr. Marco Cesar Goldbarg

ABSTRACT

This work introduces a new Traveling Salesman Problem variant called Profitable Tour Problem with Passengers and Penalties for Delays. In this problem, the salesman has, along the graph, potential passengers who need to move between localities. Each boarded passenger will contribute a portion to the division of the travel costs between all the occupants of the vehicle in a certain stretch. In addition, each vertex has an aggregate prize value that may or may not be collected by the salesman during his journey. The prizes have a time for the collection and an estimated minimum time to be collected without a reduction in its value, characterizing the penalty. Thus, the goal is to find a route that maximizes the amount of collected prizes minus the travel costs divided with passengers and any penalties imposed as a result of delays. As an instrument of formalization and validation of the problem, a Mathematical Programming model is proposed and solved through a mathematical solver for test instances generated for the problem in question. A coupling analysis of the instances is reported through experiments with ad hoc heuristic methods and exact methods that consider particular cases of the model. Moreover, three evolutionary metaheuristics are proposed aiming the efficiency in obtaining quality solutions.

Keywords: Combinatorial Optimization, Mathematical Programming, Metaheuristics, Prize-Collecting Traveling Salesman Problem, Ridesharing.

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Lista de ilustrações

Figura 1 – Exemplo da busca local add . . . . 49

Figura 2 – Exemplo da busca local remove . . . . 50

Figura 3 – Exemplo da busca local 2-exchange . . . . 50

Figura 4 – Exemplo da busca local 2-interchange . . . 51

Figura 5 – Exemplo da busca local changeService . . . . 51

Figura 6 – Patamares (em %) do Algoritmo Transgenético . . . 58

Figura 7 – Exemplo da representação de uma solução do PPL-PPA . . . 59

Figura 8 – Exemplo de instâncias correlated . . . 83

Figura 9 – Exemplo de instâncias anticorrelated . . . . 84

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Lista de tabelas

Tabela 1 – Variáveis de decisão do PCV-P . . . 30

Tabela 2 – Variáveis de decisão do PCV-PL . . . 32

Tabela 3 – Variáveis de decisão do PCV-PQ . . . 34

Tabela 4 – Variáveis de decisão do PPL-PRT . . . 37

Tabela 5 – Entradas do modelo do PPL-PPA . . . 40

Tabela 6 – Variáveis de decisão do PPL-PPA . . . 41

Tabela 7 – Descrição dos métodos exatos ad hoc . . . . 47

Tabela 8 – Procedimentos dos vetores plasmídeo e transposon . . . 54

Tabela 9 – Estrutura dos bônus das instâncias . . . 61

Tabela 10 – Intervalos dos tempos de início dos serviços dos bônus para as instâncias de tamanho 10 e 20 . . . 62

Tabela 11 – Intervalos dos tempos de início dos serviços dos bônus para as instâncias de tamanho 30, 40, 50, 100 e 200 . . . . 62

Tabela 12 – Instâncias de treinamento do irace . . . . 65

Tabela 13 – Resultados do irace para o Algoritmo Genético . . . . 65

Tabela 14 – Resultados do irace para o Algoritmo Memético . . . . 65

Tabela 15 – Resultados do irace para o Algoritmo Transgenético . . . . 66

Tabela 16 – Dados sobre as instâncias de tamanho 10 . . . 80

Tabela 23 – Resultados do Solver para instâncias correlated simétricas . . . . 85

Tabela 24 – Resultados do Solver para instâncias correlated assimétricas . . . . 86

Tabela 25 – Resultados do Solver para instâncias anticorrelated simétricas . . . . . 87

Tabela 26 – Resultados do Solver para instâncias anticorrelated assimétricas . . . . 88

Tabela 27 – Resultados do Solver para instâncias random simétricas . . . . 89

Tabela 28 – Resultados do Solver para instâncias random assimétricas . . . 90

Tabela 29 – Resultados dos métodos exatos ad hoc x Solver para instâncias correlated simétricas de tamanho 10 e 20 . . . 91

Tabela 30 – Resultados dos métodos exatos ad hoc x Solver para instâncias correlated assimétricas de tamanho 10 e 20 . . . 91

Tabela 31 – Resultados dos métodos exatos ad hoc x Solver para instâncias anticor-related simétricas de tamanho 10 e 20 . . . . 91

(11)

Tabela 32 – Resultados dos métodos exatos ad hoc x Solver para instâncias anticor-related assimétricas de tamanho 10 e 20 . . . 92 Tabela 33 – Resultados dos métodos exatos ad hoc x Solver para instâncias random

simétricas de tamanho 10 e 20 . . . 92 Tabela 34 – Resultados dos métodos exatos ad hoc x Solver para instâncias random

assimétricas de tamanho 10 e 20 . . . 92 Tabela 35 – Resultados do AlgHeuristAleat x Solver para instâncias correlated

si-métricas de tamanho 10 e 20 . . . 93 Tabela 36 – Resultados do AlgHeuristAleat x Solver para instâncias correlated

assi-métricas de tamanho 10 e 20 . . . 93 Tabela 37 – Resultados do AlgHeuristAleat x Solver para instâncias anticorrelated

simétricas de tamanho 10 e 20 . . . 94 Tabela 38 – Resultados do AlgHeuristAleat x Solver para instâncias anticorrelated

assimétricas de tamanho 10 e 20 . . . 94 Tabela 39 – Resultados do AlgHeuristAleat x Solver para instâncias random

simé-tricas de tamanho 10 e 20 . . . 95 Tabela 40 – Resultados do AlgHeuristAleat x Solver para instâncias random

assi-métricas de tamanho 10 e 20 . . . 95 Tabela 41 – Resultados do AlgHeuristAleat-Guloso x Solver para instâncias

correla-ted simétricas de tamanho 10 e 20 . . . . 96 Tabela 42 – Resultados do AlgHeuristAleat-Guloso x Solver para instâncias

correla-ted assimétricas de tamanho 10 e 20 . . . 96 Tabela 43 – Resultados do AlgHeuristAleat-Guloso x Solver para instâncias

anticor-related simétricas de tamanho 10 e 20 . . . . 97 Tabela 44 – Resultados do AlgHeuristAleat-Guloso x Solver para instâncias

anticor-related assimétricas de tamanho 10 e 20 . . . 97 Tabela 45 – Resultados do AlgHeuristAleat-Guloso x Solver para instâncias random

simétricas de tamanho 10 e 20 . . . 98 Tabela 46 – Resultados do AlgHeuristAleat-Guloso x Solver para instâncias random

assimétricas de tamanho 10 e 20 . . . 98 Tabela 47 – Resultados do AlgHeurist-Bônus x Solver para instâncias correlated

simétricas de tamanho 10 e 20 . . . 99 Tabela 48 – Resultados do AlgHeurist-Bônus x Solver para instâncias correlated

assimétricas de tamanho 10 e 20 . . . 99 Tabela 49 – Resultados do AlgHeurist-Bônus x Solver para instâncias anticorrelated

simétricas de tamanho 10 e 20 . . . 100 Tabela 50 – Resultados do AlgHeurist-Bônus x Solver para instâncias anticorrelated

(12)

Tabela 51 – Resultados do AlgHeurist-Bônus x Solver para instâncias random simé-tricas de tamanho 10 e 20 . . . 101 Tabela 52 – Resultados do AlgHeurist-Bônus x Solver para instâncias random

assi-métricas de tamanho 10 e 20 . . . 101 Tabela 53 – Resultados do AlgHeurist-Tempo x Solver para instâncias correlated

simétricas de tamanho 10 e 20 . . . 102 Tabela 54 – Resultados do AlgHeurist-Tempo x Solver para instâncias correlated

assimétricas de tamanho 10 e 20 . . . 102 Tabela 55 – Resultados do AlgHeurist-Tempo x Solver para instâncias anticorrelated

simétricas de tamanho 10 e 20 . . . 103 Tabela 56 – Resultados do AlgHeurist-Tempo x Solver para instâncias anticorrelated

assimétricas de tamanho 10 e 20 . . . 103 Tabela 57 – Resultados do AlgHeurist-Tempo x Solver para instâncias random

simétricas de tamanho 10 e 20 . . . 104 Tabela 58 – Resultados do AlgHeurist-Tempo x Solver para instâncias random

assimétricas de tamanho 10 e 20 . . . 104 Tabela 59 – Resultados do AlgGen x Solver para instâncias correlated simétricas de

tamanho 10 e 20 . . . 105 Tabela 60 – Resultados do AlgGen x Solver para instâncias correlated assimétricas

de tamanho 10 e 20 . . . 105 Tabela 61 – Resultados do AlgGen x Solver para instâncias anticorrelated simétricas

de tamanho 10 e 20 . . . 106 Tabela 62 – Resultados do AlgGen x Solver para instâncias anticorrelated

assimétri-cas de tamanho 10 e 20 . . . 106 Tabela 63 – Resultados do AlgGen x Solver para instâncias random simétricas de

tamanho 10 e 20 . . . 107 Tabela 64 – Resultados do AlgGen x Solver para instâncias random assimétricas de

tamanho 10 e 20 . . . 107 Tabela 65 – Resultados do AlgMem x Solver para instâncias correlated simétricas

de tamanho 10 e 20 . . . 108 Tabela 66 – Resultados do AlgMem x Solver para instâncias correlated assimétricas

de tamanho 10 e 20 . . . 108 Tabela 67 – Resultados do AlgMem x Solver para instâncias anticorrelated simétricas

de tamanho 10 e 20 . . . 109 Tabela 68 – Resultados do AlgMem x Solver para instâncias anticorrelated

assimé-tricas de tamanho 10 e 20 . . . 109 Tabela 69 – Resultados do AlgMem x Solver para instâncias random simétricas de

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Tabela 70 – Resultados do AlgMem x Solver para instâncias random assimétricas de tamanho 10 e 20 . . . 110 Tabela 71 – Resultados do AlgTransgen x Solver para instâncias correlated simétricas

de tamanho 10 e 20 . . . 111 Tabela 72 – Resultados do AlgTransgen x Solver para instâncias correlated

assimé-tricas de tamanho 10 e 20 . . . 111 Tabela 73 – Resultados do AlgTransgen x Solver para instâncias anticorrelated

simétricas de tamanho 10 e 20 . . . 111 Tabela 74 – Resultados do AlgTransgen x Solver para instâncias anticorrelated

assimétricas de tamanho 10 e 20 . . . 112 Tabela 75 – Resultados do AlgTransgen x Solver para instâncias random simétricas

de tamanho 10 e 20 . . . 112 Tabela 76 – Resultados do AlgTransgen x Solver para instâncias random assimétricas

de tamanho 10 e 20 . . . 112 Tabela 77 – Resultados dos métodos exatos ad hoc para instâncias correlated simétricas113 Tabela 78 – Resultados dos métodos exatos ad hoc para instâncias correlated

assi-métricas . . . 114 Tabela 79 – Resultados dos métodos exatos ad hoc para instâncias anticorrelated

simétricas . . . 115 Tabela 80 – Resultados dos métodos exatos ad hoc para instâncias anticorrelated

assimétricas . . . 116 Tabela 81 – Resultados dos métodos exatos ad hoc para instâncias random simétricas117 Tabela 82 – Resultados dos métodos exatos ad hoc para instâncias random assimétricas118 Tabela 83 – Resultados dos métodos heurísticos ad hoc para instâncias correlated

simétricas . . . 119 Tabela 84 – Resultados dos métodos heurísticos ad hoc para instâncias correlated

assimétricas . . . 120 Tabela 85 – Resultados dos métodos heurísticos ad hoc para instâncias anticorrelated

simétricas . . . 121 Tabela 86 – Resultados dos métodos heurísticos ad hoc para instâncias anticorrelated

assimétricas . . . 122 Tabela 87 – Resultados dos métodos heurísticos ad hoc para instâncias random

simétricas . . . 123 Tabela 88 – Resultados dos métodos heurísticos ad hoc para instâncias random

assimétricas . . . 124 Tabela 89 – Resultados das meta-heurísticas para instâncias correlated simétricas . 125 Tabela 90 – Resultados das meta-heurísticas para instâncias correlated assimétricas

de tamanho . . . 126 Tabela 91 – Resultados das meta-heurísticas para instâncias anticorrelated simétricas127

(14)

Tabela 92 – Resultados das meta-heurísticas para instâncias anticorrelated assimé-tricas de tamanho . . . 128 Tabela 93 – Resultados das meta-heurísticas para instâncias random simétricas . . 129 Tabela 94 – Resultados das meta-heurísticas para instâncias random assimétricas

de tamanho . . . 130 Tabela 95 – Resultados do AlgTransgen x ME-3 para instâncias correlated simétricas131 Tabela 96 – Resultados do AlgTransgen x ME-3 para instâncias correlated assimétricas132 Tabela 97 – Resultados do AlgTransgen x ME-3 para instâncias anticorrelated

simé-tricas . . . 133 Tabela 98 – Resultados do AlgTransgen x ME-3 para instâncias anticorrelated

assi-métricas . . . 134 Tabela 99 – Resultados do AlgTransgen x ME-3 para instâncias random simétricas 135 Tabela 100 – Resultados do AlgTransgen x ME-3 para instâncias random assimétricas136 Tabela 101 – Resultados do AlgTransgen x AlgHeurist-Tempo para instâncias

corre-lated simétricas . . . . 137 Tabela 102 – Resultados do AlgTransgen x AlgHeurist-Tempo para instâncias

corre-lated assimétricas . . . . 138 Tabela 103 – Resultados do AlgTransgen x AlgHeurist-Tempo para instâncias

anti-correlated simétricas . . . . 139 Tabela 104 – Resultados do AlgTransgen x AlgHeurist-Tempo para instâncias

anti-correlated assimétricas . . . . 140 Tabela 105 – Resultados do AlgTransgen x AlgHeurist-Tempo para instâncias random

simétricas . . . 141 Tabela 106 – Resultados do AlgTransgen x AlgHeurist-Tempo para instâncias random

assimétricas . . . 142 Tabela 107 – p-valores do teste de Friedman para os métodos heurísticos ad hoc nas

instâncias correlated simétricas . . . . 143 Tabela 108 – p-valores do teste post-hoc de Conover para os métodos heurísticos ad

hoc nas instâncias correlated simétricas de tamanho 10 . . . . 143 Tabela 109 – p-valores do teste post-hoc de Conover para os métodos heurísticos ad

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Tabela 114 – p-valores do teste post-hoc de Conover para os métodos heurísticos ad hoc nas instâncias correlated simétricas de tamanho 200 . . . 144 Tabela 115 – p-valores do teste de Friedman para os métodos heurísticos ad hoc nas

instâncias correlated assimétricas . . . . 144 Tabela 116 – p-valores do teste post-hoc de Conover para os métodos heurísticos ad

hoc nas instâncias correlated assimétricas de tamanho 10 . . . . 144 Tabela 117 – p-valores do teste post-hoc de Conover para os métodos heurísticos ad

hoc nas instâncias correlated assimétricas de tamanho 200 . . . . 145 Tabela 123 – p-valores do teste de Friedman para os métodos heurísticos ad hoc nas

instâncias anticorrelated simétricas . . . . 145 Tabela 124 – p-valores do teste post-hoc de Conover para os métodos heurísticos ad

hoc nas instâncias anticorrelated simétricas de tamanho 10 . . . . 145 Tabela 125 – p-valores do teste post-hoc de Conover para os métodos heurísticos ad

hoc nas instâncias anticorrelated simétricas de tamanho 200 . . . . 146 Tabela 131 – p-valores do teste de Friedman para os métodos heurísticos ad hoc nas

instâncias anticorrelated assimétricas . . . . 147 Tabela 132 – p-valores do teste post-hoc de Conover para os métodos heurísticos ad

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Tabela 133 – p-valores do teste post-hoc de Conover para os métodos heurísticos ad hoc nas instâncias anticorrelated assimétricas de tamanho 20 . . . . 147 Tabela 134 – p-valores do teste post-hoc de Conover para os métodos heurísticos ad

hoc nas instâncias anticorrelated assimétricas de tamanho 30 . . . . 147 Tabela 135 – p-valores do teste post-hoc de Conover para os métodos heurísticos ad

hoc nas instâncias anticorrelated assimétricas de tamanho 100 . . . . . 148 Tabela 138 – p-valores do teste post-hoc de Conover para os métodos heurísticos ad

hoc nas instâncias anticorrelated assimétricas de tamanho 200 . . . . . 148 Tabela 139 – p-valores do teste de Friedman para os métodos heurísticos ad hoc nas

instâncias random simétricas . . . 148 Tabela 140 – p-valores do teste post-hoc de Conover para os métodos heurísticos ad

hoc nas instâncias random simétricas de tamanho 10 . . . . 148 Tabela 141 – p-valores do teste post-hoc de Conover para os métodos heurísticos ad

hoc nas instâncias random simétricas de tamanho 200 . . . . 149 Tabela 147 – p-valores do teste de Friedman para os métodos heurísticos ad hoc nas

instâncias random assimétricas . . . . 149 Tabela 148 – p-valores do teste post-hoc de Conover para os métodos heurísticos ad

hoc nas instâncias random assimétricas de tamanho 10 . . . . 149 Tabela 149 – p-valores do teste post-hoc de Conover para os métodos heurísticos ad

(17)

Tabela 152 – p-valores do teste post-hoc de Conover para os métodos heurísticos ad hoc nas instâncias random assimétricas de tamanho 50 . . . . 150 Tabela 153 – p-valores do teste post-hoc de Conover para os métodos heurísticos ad

hoc nas instâncias random assimétricas de tamanho 100 . . . 150 Tabela 154 – p-valores do teste post-hoc de Conover para os métodos heurísticos ad

hoc nas instâncias random assimétricas de tamanho 200 . . . 150 Tabela 155 – p-valores do teste de Friedman para as meta-heurísticas nas instâncias

correlated simétricas . . . . 151 Tabela 156 – p-valores do teste post-hoc de Conover para as meta-heurísticas nas

instâncias correlated simétricas de tamanho 10 . . . . 151 Tabela 157 – p-valores do teste post-hoc de Conover para as meta-heurísticas nas

instâncias correlated simétricas de tamanho 200 . . . . 152 Tabela 163 – p-valores do teste de Friedman para as meta-heurísticas nas instâncias

correlated assimétricas . . . . 152 Tabela 164 – p-valores do teste post-hoc de Conover para as meta-heurísticas nas

instâncias correlated assimétricas de tamanho 10 . . . 152 Tabela 165 – p-valores do teste post-hoc de Conover para as meta-heurísticas nas

instâncias correlated assimétricas de tamanho 100 . . . . 153 Tabela 170 – p-valores do teste post-hoc de Conover para as meta-heurísticas nas

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Tabela 171 – p-valores do teste de Friedman para as meta-heurísticas nas instâncias anticorrelated simétricas . . . . 153 Tabela 172 – p-valores do teste post-hoc de Conover para as meta-heurísticas nas

instâncias anticorrelated simétricas de tamanho 10 . . . 153 Tabela 173 – p-valores do teste post-hoc de Conover para as meta-heurísticas nas

instâncias anticorrelated simétricas de tamanho 100 . . . . 154 Tabela 178 – p-valores do teste post-hoc de Conover para as meta-heurísticas nas

instâncias anticorrelated simétricas de tamanho 200 . . . . 154 Tabela 179 – p-valores do teste de Friedman para as meta-heurísticas nas instâncias

anticorrelated assimétricas . . . . 154 Tabela 180 – p-valores do teste post-hoc de Conover para as meta-heurísticas nas

instâncias anticorrelated assimétricas de tamanho 10 . . . . 154 Tabela 181 – p-valores do teste post-hoc de Conover para as meta-heurísticas nas

instâncias anticorrelated assimétricas de tamanho 200 . . . . 155 Tabela 187 – p-valores do teste de Friedman para as meta-heurísticas nas instâncias

random simétricas . . . 155 Tabela 188 – p-valores do teste post-hoc de Conover para as meta-heurísticas nas

instâncias random simétricas de tamanho 10 . . . . 155 Tabela 189 – p-valores do teste post-hoc de Conover para as meta-heurísticas nas

(19)

Tabela 190 – p-valores do teste post-hoc de Conover para as meta-heurísticas nas instâncias random simétricas de tamanho 30 . . . . 156 Tabela 191 – p-valores do teste post-hoc de Conover para as meta-heurísticas nas

instâncias random simétricas de tamanho 200 . . . . 156 Tabela 195 – p-valores do teste de Friedman para as meta-heurísticas nas instâncias

random assimétricas . . . . 156 Tabela 196 – p-valores do teste post-hoc de Conover para as meta-heurísticas nas

instâncias random assimétricas de tamanho 10 . . . . 156 Tabela 197 – p-valores do teste post-hoc de Conover para as meta-heurísticas nas

instâncias random assimétricas de tamanho 200 . . . . 157 Tabela 203 – p-valores do teste U de Mann-Whitney entre AlgTransgen x

AlgHeurist-Tempo para instâncias correlated simétricas . . . . 157 Tabela 204 – p-valores do teste U de Mann-Whitney entre AlgTransgen x

AlgHeurist-Tempo para instâncias correlated assimétricas . . . . 158 Tabela 205 – p-valores do teste U de Mann-Whitney entre AlgTransgen x

AlgHeurist-Tempo para instâncias anticorrelated simétricas . . . . 158 Tabela 206 – p-valores do teste U de Mann-Whitney entre AlgTransgen x

AlgHeurist-Tempo para instâncias anticorrelated assimétricas . . . . 158 Tabela 207 – p-valores do teste U de Mann-Whitney entre AlgTransgen x

AlgHeurist-Tempo para instâncias random simétricas . . . . 158 Tabela 208 – p-valores do teste U de Mann-Whitney entre AlgTransgen x

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Lista de abreviaturas e siglas

PCV – Problema do Caixeiro Viajante

PCV-L – Problemas do Caixeiro Viajante com Lucros PCV-P – Problema do Caixeiro Viajante com Passageiros

PPL-PPA – Problema do Passeio Lucrativo com Passageiros e Penalidades por Atrasos PCV-CP – Problema do Caixeiro Viajante com Coleta de Prêmios

PCV-Q – Problema do Caixeiro Viajante com Quota PPL – Problema do Passeio Lucrativo

PCR – Problema do Caixeiro Reparador

PCR-P – Problema do Caixeiro Reparador com Prêmios

PCV-PL – Problema do Caixeiro Viajante com Passageiros e Lotação PCV-PQ – Problema do Caixeiro Viajante com Passageiros e Quota

PCV-MPQ – Problema do Caixeiro Viajante com Múltiplos Passageiros e Quota PPL-PRT – Problema do Passeio Lucrativo com Passageiros e Restrições de Tempo PAP – Problema de Atribuição de Passageiros

AGs – Algoritmos Genéticos AMs – Algoritmos Meméticos ATs – Algoritmos Transgenéticos

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Lista de Algoritmos

1 AlgHeuristAleat . . . 48 2 AlgHeuristAleat-Guloso . . . 48 3 AlgHeurist-Bônus . . . 48 4 AlgHeurist-Tempo . . . 49 5 AlgGen . . . 52

6 Operador de cruzamento baseado em bônus . . . 53

7 AlgTransgen . . . 55

8 Info-Passageiros . . . 56

9 Info-LKH-Custo . . . 57

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Sumário

1 Introdução . . . . 22 1.1 Objetivos . . . 24 1.2 Metodologia . . . 25 1.3 Organização do trabalho . . . 25 2 Revisão da literatura . . . . 27

2.1 Problema do Caixeiro Viajante com Coleta de Prêmios . . . 27

2.2 Problema do Caixeiro Reparador . . . 29

2.3 Problema do Caixeiro Viajante com Passageiros . . . 30

2.4 Problema do Caixeiro Viajante com Passageiros e Lotação . . . 32

2.5 Problema do Caixeiro Viajante com Passageiros e Quota . . . 34

2.6 Problema do Passeio Lucrativo com Passageiros e Restrições de Tempo . . 36

3 Definição do problema . . . . 39

3.1 Formalização do problema . . . 40

3.2 O Problema de Atribuição de Passageiros . . . 44

4 Métodos de solução do problema . . . . 46

4.1 Métodos ad hoc . . . . 46 4.1.1 Métodos exatos . . . 46 4.1.2 Métodos heurísticos . . . 47 4.2 Buscas locais . . . 49 4.3 Algoritmos Genéticos . . . 52 4.4 Algoritmos Meméticos . . . 53 4.5 Algoritmos Transgenéticos . . . 54 4.6 Representação da solução . . . 58 5 Experimentos computacionais . . . . 60

(23)

5.1 Descrição das instâncias . . . 60

5.2 Metodologia . . . 63

5.3 Parametrização . . . 64

5.4 Resultados . . . 66

5.4.1 Solver . . . 66

5.4.2 Métodos exatos ad hoc x Solver . . . . 67

5.4.3 Métodos heurísticos ad hoc x Solver . . . . 68

5.4.4 Meta-heurísticas x Solver . . . 69

5.4.5 Métodos exatos ad hoc . . . . 69

5.4.6 Métodos heurísticos ad hoc . . . . 69

5.4.7 Meta-heurísticas . . . 70

5.4.8 AlgTransgen x ME-3 . . . 71

5.4.9 AlgTransgen x AlgHeurist-Tempo . . . 71

6 Conclusões e Trabalhos Futuros . . . . 73

Referências . . . . 75

Apêndices

79

APÊNDICE A Dados sobre as instâncias . . . . 80

(24)

22

1 Introdução

O Problema do Caixeiro Viajante (PCV) é retratado na literatura como um clássico objeto de estudo no campo da Otimização Combinatória. Partindo de um grafo 𝐺 = (𝑁, 𝑀 ) onde 𝑁 = {1, ..., 𝑛} e 𝑀 = {1, ..., 𝑚} representam, respectivamente, o conjunto de vértices (ou cidades) e o conjunto de arestas (ou vias), o objetivo do PCV consiste em encontrar um ciclo gerador em 𝐺 tal que este possua o menor custo dentre todos os ciclos possíveis.

Muito embora seja classificado como um problema NP-difícil (KARP, 1975) e considerado intratável (JOHNSON; GAREY, 1979), é possível verificar na literatura do PCV trabalhos que investigam seus aspectos conceituais (BELLMORE; NEMHAUSER, 1968; BURKARD, 1979), suas diferentes representações, características e modelagens (MATAI; SINGH; MITTAL, 2010), bem como diferentes métodos para a obtenção de

soluções exatas e aproximadas (LAPORTE,1992).

Ainda que possua uma vasta aplicação prática em diferentes situações no con-texto real (JÜNGER; REINELT; RINALDI, 1995), o PCV é um modelo de roteamento exclusivamente voltado à minimização do comprimento da rota do caixeiro. Baseado nesse tradicional modelo, outras formulações permitem incluir restrições adicionais e alterações na função objetivo do modelo clássico PCV e, assim, formular diferentes casos reais.

Tais modelos que possuem por base a formulação clássica do PCV são denominados de variantes do problema (GUTIN; PUNNEN,2006;ILAVARASI; JOSEPH,2014). Dentre as inúmeras variantes do PCV, o presente trabalho aborda a classe de Problemas do Caixeiro Viajante com Lucros (PCV-L) em que o caixeiro coleta bônus nas cidades e, especificamente para o caso proposto, divide assentos com passageiros de oportunidade enquanto busca não sofrer penalidades em razão dos atrasos no início do atendimento dos bônus.

Inicialmente descrito em Feillet, Dejax e Gendreau(2005), os PCV-L diferem da formulação original do PCV pela distribuição de bônus nos vértices do grafo. De acordo com os autores, os PCV-L podem ser vistos como problemas que possuem dois objetivos opostos onde, por um lado, incentiva o caixeiro a realizar um percurso (para coletar bônus) enquanto que, por outro lado, submete-o a desconsiderar certas visitas em prol da minimização dos custos de viagem. Dessa forma, o objetivo consiste em obter um ciclo que possua uma configuração ideal para a relação entre o lucro coletado e os custos de rota.

A formulação da variante dos PCV-L proposta neste trabalho permite que o caixeiro possa reduzir os seus custos de rota compartilhando assentos de seu carro com viajantes de oportunidade. Esse tipo de modelo de transporte com compartilhamento de assentos aponta para um melhor aproveitamento da eficiência dos meios de transporte sendo denominado na literatura, genericamente, como problema de ride-sharing.

(25)

Capítulo 1. Introdução 23

O termo ride-sharing diz respeito a um modo de transporte onde viajantes, que possuem itinerários e horários similares, compartilham um veículo para uma determinada viagem e dividem os custos entre si tais como combustível, pedágios e tarifas de estaciona-mento (FURUHATA et al., 2013). Conforme observado em Agatz et al. (2012), a prática de ride-sharing é vista como uma oportunidade para aumentar as taxas de ocupação dos veículos e aumentar de forma substancial a eficiência dos sistemas de transporte urbano potencializando a redução de, dentre outros fatores, congestionamentos no tráfego, consumo de combustível e poluição.

Um modelo para uma situação particular de ride-sharing que guarda semelhança com a proposta do atual trabalho é apresentada porCalheiros(2017) por meio do Problema do Caixeiro Viajante com Passageiros (PCV-P). Neste problema, passageiros estão situados em diferentes localidades da rota do caixeiro demandando um deslocamento para outras localidades também pertencentes a rota do caixeiro. Cada passageiro possui uma origem e destino que podem diferir entre si e a localidade de destino do passageiro deve ser, obrigatoriamente, diferente da sua origem. Os passageiros embarcados durante o trajeto do caixeiro irão contribuir para a divisão dos custos de viagem. Em contrapartida, a fim de garantir um rateio o mais justo para cada uma das partes envolvidas, cada passageiro possui um valor máximo de tarifa que admite pagar pelo trecho que deseja percorrer entre sua localidade origem e destino. O número de passageiros embarcados não pode ser maior que a capacidade total do veículo. O objetivo é encontrar um ciclo que minimiza os custos de viagem e um esquema de embarque de passageiros que possibilita o rateio dos custos. Considerando os aspectos supracitados, o Problema do Passeio Lucrativo com Passageiros e Penalidades por Atrasos (PPL-PPA) apresenta-se como uma nova variante do PCV que integra, junto ao fator de coleta de bônus, o aproveitamento da ocupação dos assentos para a divisão dos custos entre os viajantes e eventuais penalidades que ocorrem em razão dos atrasos na realização de serviços (coletas de bônus).

O PPL-PPA pode ser interpretado como um prestador de serviços que programa uma rota de serviço para, nas localidades visitadas, realizar atendimentos conforme requisições no local das visitas. Para cada demanda satisfeita, um valor de bônus é coletado e atribuído aos ganhos totais do seu trabalho. Cada requisição de serviço possui um diferente valor associado que depende do tempo do início do atendimento. Ainda, o prestador de serviços dirige o carro e tem plena liberdade para escolher as localidades que visitará, a sequência de visitas e as requisições de serviço que atenderá nas localidades visitadas. Como uma típica variante do Caixeiro Viajante, cada localidade estará restrita a uma única visita. Ao visitar uma localidade, o prestador de serviços irá decidir se realiza o serviço associado àquela localidade e se ali embarca passageiros. Caso embarque um ou mais passageiros, também decidirá quem serão os embarcados.

Ao programar os atendimentos dos serviços, o prestador deve considerar, dentre outros fatores, o valor do serviço, o tempo necessário para executar o serviço e a penalidade

(26)

associada ao serviço em função do tempo de seu início de atendimento. O tempo do início do atendimento é calculado pela soma do tempo total na rota, que inclui o trânsito nas arestas e o tempo gasto em serviços na rota até o ponto do atendimento. A penalidade é aplicada quando o prestador decide satisfazer uma demanda e o tempo gasto no trajeto até o início do atendimento é superior ao tempo de início de atendimento estabelecido na respectiva demanda. Ultrapassado esse tempo, há uma redução do valor do serviço que é calculada em função do atraso ocorrido. Portanto, é possível que o valor do serviço na localidade, ou o também chamado bônus da localidade, seja menor que zero, tornando inviável a sua seleção.

Portanto, o prestador de serviços deve decidir como distribuir os serviços que fará na rota, bem como seu trajeto e embarques de passageiros de forma a somar o maior valor possível na função objetivo do problema. O prestador somente poderá embarcar um passageiro se sua tarifa de rateio associada for inferior ou igual ao limite máximo estabelecido pelo passageiro. Igualmente, o prestador só poderá embarcar passageiros que possa conduzir até o destino estabelecido pelo passageiro. Os passageiros só podem ser embarcados em suas localidades de origem e desembarcados em suas localidades de destino.

O PPL-PPA possui como objetivo encontrar o ciclo que maximiza o valor de bônus coletados e afetados pelas penalidades de atendimento abatido dos custos de rota resultante do rateio entre os ocupantes do carro, sempre incluído o prestador, nesse caso o motorista do veículo, no rateio. A inclusão do prestador no rateio impossibilita que o compartilhamento de assentos produza lucro para ele e descaracteriza a atividade como de transporte tarifado.

1.1 Objetivos

A presente pesquisa possui por objetivos os seguintes fatores:

∙ Objetivo Geral:

– Formalizar e discorrer acerca do PPL-PPA, dispondo à literatura métodos de

solução para a nova variante abordada.

∙ Objetivos Específicos:

1. Propor um modelo de Programação Matemática com o intuito da formalização do PPL-PPA;

2. Propor e detalhar um banco de instâncias para posterior validação de algoritmos desenvolvidos para o problema;

3. Investigar e implementar métodos exatos e (meta-)heurísticos como métodos de solução do problema;

(27)

4. Descrever a metodologia adotada na etapa de execução dos experimentos computacionais;

5. Analisar os resultados obtidos mediante os experimentos realizados com a finalidade de validar o PPL-PPA;

6. Sugerir trabalhos futuros a serem desempenhados para a agregação de conheci-mentos ao problema.

1.2 Metodologia

Como qualquer pesquisa de natureza científica, uma série de atividades, procedi-mentos e passos devem ser respeitados e efetuados de modo coerente para que seja possível atingir os objetivos estipulados. Nesse sentido, são etapas da metodologia deste trabalho o(a):

1. Estudo de problemas e modelos correlatos compreendidos na literatura, identificando as características comuns entre o problema em estudo e seus problemas relacionados;

2. Formulação de um modelo matemático, sendo possível usufruir da robustez de softwares matemáticos para a obtenção de soluções exatas;

3. Construção de um banco de instâncias que simbolize cenários distintos do problema;

4. Obtenção de soluções exatas ou limites a partir das instâncias para posterior investi-gação da aplicação de métodos aproximativos;

5. Criação e implementação de abordagens exatas e heurísticas ad hoc para a averiguação do acoplamento das instâncias, verificando assim a viabilidade da utilização de meta-heurísticas;

6. Criação e implementação de meta-heurísticas objetivando alcançar soluções aproxi-madas de boa qualidade e até mesmo, para alguns casos, ótimas;

7. Execução de experimentos computacionais para exame da eficácia e eficiência dos diferentes métodos de solução propostos para a solução do modelo;

8. Análise e considerações acerca dos resultados e sugestões de atividades futuras a serem desempenhadas.

1.3 Organização do trabalho

Os capítulos seguintes dispostos neste trabalho organizam-se da seguinte forma. O Capítulo 2discorre acerca dos trabalhos da literatura que relacionam-se com o PPL-PPA,

(28)

enfatizando as principais características de cada problema e a semelhança perante ao problema em estudo. O Capítulo 3 introduz formalmente os conceitos e definições do PPL-PPA. Os métodos de solução exata, os procedimentos heurísticos, as propostas de meta-heurística e a representação de solução do problema são discutidos no Capítulo 4. Os aspectos relativos aos experimentos são explanados no Capítulo 5. Por fim, o capítulo 6 apresenta as conclusões acerca da pesquisa e endereça os trabalhos futuros que possam vir a serem desenvolvidos.

(29)

27

2 Revisão da literatura

As seções seguintes deste capítulo discorrem sobre problemas e aspectos relaciona-dos ao PPL-PPA perante à literatura, destacando-se os trabalhos que abordam os fatores de coleta de prêmios, o atendimento de serviços e o transporte de passageiros.

2.1 Problema do Caixeiro Viajante com Coleta de Prêmios

Inicialmente descrito emBalas(1989), o Problema do Caixeiro Viajante com Coleta de Prêmios (PCV-CP) trata-se de uma variante do PCV que atribui prêmios (bônus) aos vértices do grafo, distinguindo-se do problema original pela não-obrigatoriedade de visita a todos os vértices. O PCV-CP é definido como um grafo 𝐺 = (𝑁, 𝑀 ) onde 𝑁 = {1, ..., 𝑛} representa o conjunto de vértices e 𝑀 = {1, ..., 𝑚} o conjunto de arestas. Para cada vértice 𝑖 é atribuído um prêmio 𝑤𝑖 que poderá ser coletado pelo caixeiro e uma penalidade 𝑝𝑖 caso este vértice não seja visitado. Considerando o custo 𝑐𝑖𝑗 para trafegar entre as cidades 𝑖 e 𝑗, o objetivo consiste em minimizar os custos de viagem juntamente com as penalidades em prol de satisfazer uma quantidade 𝑄 mínima pré-definida de prêmios a serem coletados.

Assim, sendo 𝑥𝑖𝑗 e 𝑦𝑖 variáveis binárias que terão valor 1 quando, respectivamente, a aresta (𝑖, 𝑗) e o vértice 𝑖 estiverem presentes no percurso do caixeiro e 0 caso contrário, a formulação matemática do PCV-CP pode ser expressa conforme as seguintes equações (BALAS,1989;FEILLET; DEJAX; GENDREAU,2005).

Minimize: 𝑧 = 𝑛 ∑︁ 𝑖=1 𝑛 ∑︁ 𝑗=1 𝑗̸=𝑖 𝑐𝑖𝑗𝑥𝑖𝑗 + 𝑛 ∑︁ 𝑖=1 𝑝𝑖(1 − 𝑦𝑖) (2.1) Sujeito à: 𝑛 ∑︁ 𝑗=1 𝑗̸=𝑖 𝑥𝑖𝑗 = 𝑦𝑖 ∀𝑖 ∈ 𝑁 (2.2) 𝑛 ∑︁ 𝑖=1 𝑖̸=𝑗 𝑥𝑖𝑗 = 𝑦𝑗 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (2.3)

restrições de eliminação de subciclo (2.4)

𝑛 ∑︁

𝑖=1

𝑤𝑖𝑦𝑖 ≥ 𝑄 (2.5)

(30)

Capítulo 2. Revisão da literatura 28

𝑥𝑖𝑗 ∈ {0, 1} ((𝑖, 𝑗) ∈ 𝑁 ) (2.7)

𝑦𝑖 ∈ {0, 1} (𝑖 ∈ 𝑁 ) (2.8)

A função objetivo em (2.1) calcula o custo do trajeto do caixeiro adicionado dos valores de penalidade pelos vértices não visitados. As restrições (2.2) e (2.3) são conhecidas como restrições de atribuição e designam as arestas e, consequentemente, os vértices que estão presentes na rota. Em (2.4) são definidas restrições que garantem a existência de apenas um único subciclo como solução. A restrição (2.5) estabelece a quantidade mínima de prêmios a serem coletados. A equação (2.6) determina a presença do vértice inicial na rota. Por fim, as restrições (2.7) e (2.8) garantem a integridade do modelo. Algoritmos desenvolvidos para solucionar o PCV-CP abrangem abordagens exatas (BÉRUBÉ; GENDREAU; POTVIN, 2009) e meta-heurísticas (GOMES; DINIZ;

MARTINHON, 2000; CHAVES; LORENA, 2008; PEDRO; SALDANHA; CAMARGO,

2013). Autores também investigam variantes do problema em que os vértices são descobertos ao longo do trajeto, sendo esta denominada por Online Prize-Collecting Traveling Salesman Problem (AUSIELLO; BONIFACI; LAURA, 2008).

Apesar de possuir uma formulação baseada em penalidades, é possível encontrar na literatura trabalhos que realizam estudos com a ausência deste aspecto. Nesse sentido, surge um problema correlato denominado Problema do Caixeiro Viajante com Quota (PCV-Q) (AWERBUCH et al.,1998). Neste, as penalidades por vértices não visitados são desconsideradas, havendo apenas a obrigatoriedade de satisfazer a quantidade mínima (quota) de prêmios coletados. Portanto, considerando o modelo apresentado anteriormente, a formulação para o PCV-Q é dada eliminando a segunda parcela da função objetivo, resultando assim na nova função objetivo a seguir:

Minimize: 𝑧 = 𝑛 ∑︁ 𝑖=1 𝑛 ∑︁ 𝑗=1 𝑗̸=𝑖 𝑐𝑖𝑗𝑥𝑖𝑗 (2.9)

Trabalhos referentes ao PCV-Q podem ser encontrados na literatura em sua versão online, como em Ausiello et al. (2004) e Yu, Liu e Bao (2014).

Partindo de outra perspectiva, outro problema correlato ao PCV-CP trata agora da eliminação da exigência de quota mínima de prêmios a serem coletados. Tal problema denomina-se por Problema do Passeio Lucrativo (PPL) (DELL’AMICO; MAFFIOLI; SCIOMACHEN, 1998) e serve como base para o problema em estudo neste trabalho. Conforme relatado pelos autores, a transformação do PCV-CP no PPL dá-se mediante a remoção das restrições (2.5) e (2.6) permanecendo o mesmo objetivo para ambos. Entretanto, visto que a escolha do conjunto de vértices a serem visitados passa a ser mais flexível, isto é, não há um fator que incentive ou determine a construção de uma rota

(31)

(como a quota, por exemplo), o PPL admite a solução vazia como uma solução válida para o problema. Dessa forma, ao final, o ciclo de maior lucratividade é aquele que será escolhido, mesmo que a solução possua valor objetivo nulo.

O PPL-PPA abrange os principais aspectos do PPL no que diz respeito à construção da rota, entretanto, o fator de penalidade está atrelado ao atraso no início do atendimento da demanda, ou coleta do bônus, de forma distinta ao PPL onde a penalidade é aplicada nos vértices não visitados no percurso do caixeiro.

2.2 Problema do Caixeiro Reparador

O Problema do Caixeiro Reparador (PCR), muitas vezes retratado como o Pro-blema de Mínima Latência (Minimum Latency Problem) (BLUM et al.,1994) ou o Problema do Entregador (Delivery Man Problem) (FISCHETTI; LAPORTE; MARTELLO, 1993), é visto como um problema cujas principais aplicações estão voltadas para a realização de serviços. Diferentemente dos problemas com coleta de prêmios, o PCR possui por interesse encontrar uma solução tal que o tempo de espera dos serviços a serem efetuados é minimizado.

Tomando como base Afrati et al. (1986), o PCR consiste em, dada uma matriz de tempo 𝑡[𝑖, 𝑗] entre 𝑛 localidades e um ponto de partida 𝑠, obter uma permutação 𝜋(0) = 𝑠, 𝜋(1), ..., 𝜋(𝑛 − 1) tal que a seguinte função é minimizada:

𝑧 = 𝑛−1 ∑︁

𝑖=1

(𝑛 − 𝑖)𝑡[𝜋(𝑖 − 1), 𝜋(𝑖)] (2.10)

Desse modo, o Problema do Caixeiro Reparador com Prêmios (PCR-P) apresenta-se como uma variante do PCR que une o fator de tempo aos prêmios a apresenta-serem coletados. Seja 𝑛 o número de clientes distribuídos em diferentes localidades com um prêmio 𝑝𝑖, 𝑝1, ..., 𝑝𝑛, associado a cada um desses. Um prestador de serviços encontra-se localizado em um tempo de origem 𝑡 = 0. O prestador de serviços trafega entre as localidades a um determinado custo de tempo. Se o prestador de serviços atende um cliente 𝑖 a um tempo 𝑡, sua receita total é dada pelo valor do prêmio decrescido do tempo gasto para alcançar este serviço, ou seja, 𝑝𝑖 − 𝑡.

Sendo assim, o objetivo do PCR-P é encontrar uma rota para o prestador de serviços com um conjunto de clientes a serem atendidos de forma que a receita total obtida é maximizada (COENE; SPIEKSMA, 2008). Vale ressaltar que a partir do momento em que valores de 𝑡𝑖 passam a ser suficientemente maiores que 𝑝𝑖 para uma localidade não visitada, essa localidade não será mais visitada. No caso em que os prêmios 𝑝𝑖 são muito grandes, isto é, 𝑝𝑖 > 𝑡, 𝑖 = 1, ..., 𝑛, o problema se reduz ao PCR tradicional (DEWILDE et

al., 2013).

O fator de lucratividade em decorrência do atendimento de clientes a partir de um tempo de rota é também aspecto crucial para uma jornada de trabalho de ganhos positivos

(32)

no PPL-PPA. No entanto, diferentemente do PCR-P, o impacto do tempo na redução do valor do bônus no PPL-PPA é dado apenas na aplicação das eventuais penalidades. Do contrário, o atedimento de demandas no tempo de início previsto implica na coleta de bônus de valor cheio, isto é, sem abatimentos, possibilitando maiores lucros.

2.3 Problema do Caixeiro Viajante com Passageiros

Introduzido no Capítulo1deste trabalho, o PCV-P possui como principal finalidade a formulação de um modelo que permite o aproveitamento de assentos em prol do embarque de passageiros para a divisão de custos entre os viajantes e, consequentemente, possibilitar a redução de custos de rota para o motorista.

Descrito emCalheiros(2017), o PCV-P é definido a partir de um grafo 𝐺 = (𝑁, 𝑀 ) onde 𝑁 = {1, ..., 𝑛} diz respeito ao conjunto de vértices e 𝑀 = {1, ..., 𝑚} o conjunto de arestas ponderadas em custo, uma capacidade 𝐾 e um conjunto de passageiros 𝑃 tal que para cada 𝑝𝑖 ∈ 𝑃 estão dispostos a origem, o destino e a tarifa máxima do indivíduo 𝑖. Os vértices de origem e destino de um passageiro 𝑝𝑖 correspondem ao vértice no qual este passageiro estará apto a embarcar no veículo e o vértice no qual o mesmo deverá desembarcar, respectivamente. A origem de um passageiro deverá sempre ser diferente do seu destino e cada vértice possui exatamente um único passageiro que poderá ser embarcado. O fator que limita o trajeto de um determinado passageiro é dado por sua tarifa e corresponde ao valor máximo admitido a ser pago pelo trecho entre sua origem e destino. O objetivo do PCV-P é, então, encontrar o clico que minimize os custos de rota rateado com os eventuais passageiros embarcados de modo que nenhuma aresta seja trafegada com uma quantidade de passageiros superior à capacidade 𝐾 do veículo e/ou um custo que viole a tarifa de algum passageiro.

Tabela 1 – Variáveis de decisão do PCV-P

Variável Tipo Descrição

𝑥𝑖𝑗 Binária

1, se a aresta (𝑖, 𝑗) está na solução 0, caso contrário

𝑢𝑖 Inteira Ordem do vértice 𝑖 na solução

𝑣𝑙𝑖𝑗 Binária

1, se o passageiro 𝑙 trafega a aresta (𝑖, 𝑗) 0, caso contrário

Considerando as variáveis de decisão do PCV-P presentes na Tabela 1, o mo-delo matemático quadrático que formula o problema abordado apresenta-se como segue (CALHEIROS, 2017).

(33)

Capítulo 2. Revisão da literatura 31 𝑧 = ∑︁ 1≤𝑖,𝑗≤𝑛 𝑐𝑖𝑗𝑥𝑖𝑗 1 +∑︀𝑛 𝑖=1𝑣𝑙𝑖𝑗 (2.11) Sujeito à: 𝑛 ∑︁ 𝑗=1 𝑥𝑖𝑗 = 1 (1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛) (2.12) 𝑛 ∑︁ 𝑗=1 𝑥𝑗𝑖 = 1 (1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛) (2.13) 𝑢𝑖 = 𝑢𝑗 + 1 ≤ 𝑛(1 − 𝑥𝑖𝑗) (2 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 𝑛) (2.14) 𝑛 ∑︁ 𝑙=1 𝑣𝑙𝑖𝑗 ≤ 𝐾𝑥𝑖𝑗 (1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 𝑛) (2.15) 𝑛 ∑︁ 𝑖=1 𝑣𝑙𝑖𝑟+ 𝑛 ∑︁ 𝑖=1 𝑣𝑙1𝑖 = 0 (1 ≤ 𝑙 ≤ 𝑛 | 𝑟 = 𝑜𝑟𝑔(𝑙), 𝑟 ̸= 1) (2.16) 𝑛 ∑︁ 𝑖=1 𝑣𝑙𝑠𝑖+ 𝑛 ∑︁ 𝑖=1 𝑣𝑙𝑖1= 0 (1 ≤ 𝑙 ≤ 𝑛 | 𝑠 = 𝑑𝑠𝑡(𝑙), 𝑠 ̸= 1) (2.17) 𝑛 ∑︁ 𝑗=1 𝑣𝑙𝑖𝑗 = 𝑛 ∑︁ 𝑗=1 𝑣𝑙𝑗𝑖 (1 ≤ 𝑖, 𝑙 ≤ 𝑛 | 𝑖 ̸= 𝑜𝑟𝑔(𝑙), 𝑖 ̸= 𝑑𝑠𝑡(𝑙)) (2.18) ∑︁ 1≤𝑖,𝑗≤𝑛 𝑐𝑖𝑗𝑣𝑙𝑖𝑗 1 +∑︀𝑛 𝑤=1𝑣𝑤𝑖𝑗 ≤ 𝑡 (1 ≤ 𝑙 ≤ 𝑛 | 𝑡 = 𝑡𝑟𝑓 (𝑙)) (2.19) 𝑥𝑖𝑗, 𝑣𝑙𝑖𝑗 ∈ {0, 1} (1 ≤ 𝑖, 𝑗, 𝑙 ≤ 𝑛) (2.20) 𝑢𝑖, ∈ R≥0 (2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛) (2.21)

A função objetivo em (2.11) é responsável por calcular os custos de viagem rateados com os passageiros embarcados durante o percurso. As restrições (2.12) e (2.13) garantem que cada aresta da solução é visitada uma única vez. Por sua vez, a restrição (2.14) trata-se de uma proposta de Miller, Tucker e Zemlin (1960) para assegurar a existência de um único subciclo como solução. A restrição (2.15) certifica que os passageiros trafeguem pelas mesmas arestas do caixeiro e garante que a capacidade do veículo não será excedida durante o percurso. A restrição (2.16) garante que os passageiros embarcados que possuem origem diferente do vértice inicial não retornarão às suas origens e não irão embarcar no vértice inicial. De forma análoga, a restrição (2.17) assegura que os passageiros embarcados que possuem destino diferente do vértice inicial não irão embarcar em seus vértices de destino e não poderão desembarcar no vértice inicial. A garantia de que todo passageiro embarcado será necessariamente desembarcado é dada na equação (2.18). A restrição (2.19) certifica que a tarifa de cada passageiro não será excedida. Por fim, as restrições (2.20) e (2.21) garantem a integridade e não-negatividade do modelo. O trabalho que introduz o PCV-P apresenta uma linearização do modelo descrito anteriormente assim como algoritmos de solução para o problema (CALHEIROS, 2017).

(34)

2.4 Problema do Caixeiro Viajante com Passageiros e

Lota-ção

O Problema do Caixeiro Viajante com Passageiros e Lotação (PCV-PL) surge como uma variante do PCV-P que introduz a adição de eventuais pedágios durante o trajeto do caixeiro. Proposto por Bastos (2017), o PCV-PL modela dois fatores para a redução dos custos de viagem do motorista: o rateio dos custos por meio do embarque de passageiros e as high-occupancy toll lanes, ou hov, que são vias que isentam o pagamento de pedágio de veículos com ocupação acima de um determinado limite.

Seja 𝐺 = (𝑁, 𝑀 ) um grafo onde 𝑁 = {1, ..., 𝑛} representa o conjunto de vértices e 𝑀 = {1, ..., 𝑚} o conjunto de arestas e 𝑊′ = (𝑁, 𝑀′) um grafo esparso tal que 𝑀′ representa o conjunto de vias hov que possibilitam a isenção de pedágios. O subproblema dos passageiros ocorre igualmente no PCV-P, logo, as necessidades dos indivíduos em termos de embarque, desembarque e tarifas devem ser atendidas de igual forma ao problema em questão. Desse modo, cabe ao motorista definir o trajeto que melhor proporciona o embarque de passageiros para o rateio das despesas de viagem e a isenção na cobrança de pedágios ao trafegar vias hov satisfazendo a exigência de ocupação mínima do veículo.

Tabela 2 – Variáveis de decisão do PCV-PL

𝜙𝑖𝑗 Binária

1, se o veículo trafega a aresta (𝑖, 𝑗) com lotação inferior à estipulada 0, caso contrário

𝑣𝑙𝑖𝑗 Binária

Tendo em vista as variáveis de decisão do PCV-PL presentes na Tabela 2, a formulação matemática proposta por Bastos (2017) para o problema é discutida a seguir.

Minimize: 𝑧 = ∑︁ 𝑖,𝑗∈𝑁 𝑑𝑖𝑗𝑥𝑖𝑗 ∑︀ 𝑙∈𝐿𝑣𝑖𝑗𝑙 + 1 + 𝜙𝑖𝑗𝑤𝑖𝑗𝑥𝑖𝑗 (2.22) Sujeito à: 𝑛 ∑︁ 𝑗=1 𝑥𝑖𝑗 = 1 ∀𝑖 ∈ 𝑁 (2.23)

(35)

Capítulo 2. Revisão da literatura 33 𝑛 ∑︁ 𝑗=1 𝑥𝑗𝑖 = 1 ∀𝑖 ∈ 𝑁 (2.24) 𝑢1 = 1 (2.25) 𝑢𝑖− 𝑢𝑗 + 1 ≤ (𝑛 − 1)(1 − 𝑥𝑖𝑗) 𝑖 ̸= 𝑗, ∀𝑖, 𝑗 ∈ 𝑁 ∖ {1} (2.26) 𝑛 ∑︁ 𝑙=1 𝑣_𝑖𝑗𝑛 − 𝐶𝑥𝑖𝑗 ≤ 0 𝑖 ̸= 𝑗, ∀𝑖, 𝑗 ∈ 𝑁 (2.27) 𝑛 ∑︁ 𝑖=1 𝑛 ∑︁ 𝑗=1 𝑗̸=𝑖 𝑣𝑙_𝑖𝑗𝑑𝑖𝑗 ∑︀𝑛 𝑘=1𝑣𝑖𝑗𝑘 + 1 − 𝑡𝑙 ≤ 0 𝑖 ̸= 𝑗, ∀𝑖, 𝑗 ∈ 𝑁 (2.28) 𝜙𝑖𝑗 = 1 − [︃ ∑︀𝑛 𝑙=1𝑣𝑙𝑖𝑗 + 1 𝐶 + 1 ]︃ (2.29) 𝑛 ∑︁ 𝑗=1 𝑗̸=𝑖 𝑣_𝑖𝑗𝑙 − 𝑛 ∑︁ 𝑗=1 𝑗̸=𝑖 𝑣_𝑗𝑖𝑙 = 0 𝑖 ̸= 𝑙, 𝑖 ̸= 𝑄𝑙, ∀𝑖 ∈ 𝑁, ∀𝑙 ∈ 𝐿 (2.30) 𝑛 ∑︁ 𝑖=1 𝑖̸=𝑙 𝑣_𝑖𝑙𝑙 − 𝑛 ∑︁ 𝑖=1 𝑖̸=𝑄𝑙 𝑣_𝑄𝑙_𝑙_𝑖 = 0 ∀𝑙 ∈ 𝐿 (2.31) 𝑛 ∑︁ 𝑖=2 𝑣_1𝑖𝑙 = 0 ∀𝑙 ∈ 𝐿 ∖ {1} (2.32) 𝑥𝑖𝑗 ∈ {0, 1} ∀𝑖, 𝑗 ∈ 𝑁 (2.33) 𝑢𝑖 ∈ 𝑁 ∖ {1} ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∖ {1} (2.34) 𝑣𝑙_𝑖𝑗 ∈ {0, 1} ∀𝑖, 𝑗 ∈ 𝑁, ∀𝑙 ∈ 𝐿 (2.35) 𝜙𝑖𝑗 ∈ {0, 1} ∀𝑖, 𝑗 ∈ 𝑁 (2.36)

A função objetivo em (2.22) computa o rateio das despesas de viagem do caixeiro em função dos passageiros embarcados acrescido dos eventuais pedágios pagos durante o trajeto. As restrições (2.23) e (2.24) asseguram que cada cidade é visitada uma única vez. As restrições (2.25) e (2.26) garantem um único subciclo como solução do problema conforme Miller, Tucker e Zemlin (1960). Em (2.27) é respeitada a capacidade máxima 𝐶 do veículo. A restrição (2.28) limita o pagamento máximo de rateio de cada passageiro em função da sua tarifa admissível pela viagem. O controle do pagamento ou isenção dos pedágios é realizado pela restrição (2.29). As restrições (2.30), (2.31) e (2.32) satisfazem as condições de embarque e desembarque dos passageiros. As demais restrições de (2.33) a (2.36) garantem a integridade do modelo.

(36)

2.5 Problema do Caixeiro Viajante com Passageiros e Quota

O Problema do Caixeiro Viajante com Passageiros e Quota (PCV-PQ) (SILVA, 2017) é uma extensão do PCV-P que aproveita-se do potencial econômico com o embarque de passageiros para satisfazer demandas como um modelo de coleta de prêmios com exigência mínima. Como característica dos problemas de coleta de prêmios, o PCV-PQ dispõe da não-obrigatoriedade de visita a todos os vértices, possibilitando a flexibilidade na construção da rota em favor do benefício financeiro ao motorista. Todavia, a escolha dos vértices a serem visitados devem possuir prêmios com valor suficiente para satisfazer a quota mínima especificada. Ainda, a construção da rota é dada não somente pelos prêmios a serem coletados mas também pelos passageiros embarcados que deverão desembarcar em seus destinos, sendo esses vértices visitados obrigatoriamente.

Partindo desses aspectos, o PCV-PQ é definido como um grafo 𝐺 = (𝑁, 𝑀, 𝐵) onde 𝑁 = {1, ..., 𝑛} é o conjunto de vértices, 𝑀 = {1, ..., 𝑚} é o conjunto de arestas e 𝐵 = {𝑏1, ..., 𝑏𝑛} é o conjunto de bônus (prêmio) associado a cada vértice, onde 𝑏1 = 0.

Os bônus podem ser coletados a cada vértice visitado sendo que o valor total de bônus coletado deve ser no mínimo 𝑇 . O caixeiro não tem por obrigação transportar determinados passageiros, entretanto, o mesmo deverá respeitar o valor de tarifa máxima admissível por cada passageiro bem como o desembarque obrigatório em seus destinos. O total de passageiros transportados não deve ser maior que 𝑅. Sendo assim, o objetivo é minimizar o custo total da viagem dividido com os passageiros satisfazendo a restrição de quota mínima de bônus coletados.

Tabela 3 – Variáveis de decisão do PCV-PQ

𝑣𝑙

𝑖𝑗 Binária

Considerando as variáveis de decisão do PCV-PQ (Tabela 3), a formulação mate-mática a seguir modela o problema em questão (SILVA,2017).

Minimize: 𝑧 = ∑︁ (𝑖,𝑗)∈𝑀 𝑥𝑖𝑗𝑑𝑖𝑗 ∑︀ 𝑙∈𝐿𝑣𝑖𝑗𝑙 + 1 (2.37) Sujeito à: ∑︁ 𝑖∈𝑁 ∖{𝑗} 𝑥𝑖𝑗 ≤ 1 ∀𝑗 ∈ 𝑁 ∖ {𝑠} (2.38)