Juliana Silva Silveiraa*; Inocêncio Fernandes Balieiro Filhoa
Uma Proposta para o Ensino de Trigonometria por Meio da História da Matemática
A Proposal for Teaching Trigonometry by using the History of Mathematics
aUniversidade Estadual Paulista, Faculdade de Engenharia, Departamento de Matemática, SP, Brasil *E-mail: juju_ual@yahoo.com.br
Resumo
Este artigo trata de uma pesquisa que buscou desenvolver um processo de construção dos conceitos trigonométricos por meio do uso da História da Matemática. Para isso, foram elaboradas atividades que foram trabalhadas com alunos do 9o ano do Ensino Fundamental de uma escola pública municipal da cidade de Santo Antônio do Aracanguá, no interior do Estado de São Paulo. Para a elaboração das atividades, foi feita uma revisão bibliográfica, dentro de uma metodologia de pesquisa em História da Matemática. As atividades propostas enfatizaram uma investigação fundamentada em uma reconstrução histórica da trigonometria, partindo do estudo do triângulo retângulo e do círculo trigonométrico, com o intuito de auxiliar o processo de aprendizagem de alunos do Ensino Fundamental. Com a abordagem de ensino adotada, foram obtidos bons resultados na aprendizagem dos conceitos trigonométricos, tornando o processo de ensino mais significativo.
Palavras-chave: Trigonometria. História da Matemática. Ensino e Aprendizagem.
Abstract
This paper presents a research about the trigonometry teaching using the mathematics history. Some activities were developed with students from the ninth grade, in a public school of a city in São Paulo state. To develop the activities, a bibliographic review was performed, by a research methodology in History of Mathematics. The activities focused a historical reconstruction of trigonometry, beginning with a study of the right triangle and the trigonometric circle, aimed at helping students in the learning process. Through the teaching approach adopted good results in trigonometric concepts learning were obtained, making the teaching process more significant.
Keywords: Trigonometry. History of Mathematics. Teaching and Learning.
1 Introdução
Este artigo relata uma pesquisa que se insere na área de Educação Matemática, na linha de História da Matemática, que teve como objetivo principal a elaboração de atividades para o ensino e a aprendizagem de trigonometria, por meio da utilização da história da evolução dos conceitos matemáticos. Como professores de Matemática, muitas vezes, percebemos dificuldades na compreensão, por parte dos alunos, dos conceitos trigonométricos. Em geral, tais conceitos são abordados de forma superficial, sem fazer referências à sua origem e evolução.
A pesquisa bibliográfica para a elaboração das atividades teve como norte a seguinte questão: Quais as transformações e adequações necessárias ao ensino de trigonometria, se partimos de uma abordagem metodológica que utilize a História da Matemática?
Neste sentido, inicialmente, foi realizado um levantamento bibliográfico das pesquisas realizadas em História da Matemática, envolvendo o conteúdo de trigonometria, com o intuito de compreender as origens e a evolução desse conceito. Em seguida, foi elaborada uma sequência de atividades através do uso da história no ensino de trigonometria.
Uma vez que nosso propósito era desenvolver um trabalho
com alunos de turmas de 9º ano do Ensino Fundamental, as atividades elaboradas tratavam especificamente da trigonometria no triângulo retângulo, com uma breve introdução ao estudo do ciclo trigonométrico.
Consideramos que uma metodologia de ensino que considere os aspectos históricos envolvidos na evolução de um conceito, desde sua origem até sua forma atual, favorece a articulação dos conhecimentos e contribui significativamente na superação das dificuldades de compreensão por parte de alunos e professores, auxiliando o processo de ensino e aprendizagem.
O objetivo central de nossa pesquisa foi a elaboração de atividades numa abordagem histórica para o ensino de trigonometria no 9º ano do Ensino Fundamental.
Com isso, procuramos:
Elaborar uma reconstrução histórica e conceitual sobre a trigonometria;
Investigar as relações e adaptações necessárias e pertinentes para uma abordagem histórica no ensino de trigonometria; e
Elaborar sequências didáticas que contemplem a História da Matemática, em especial a história da trigonometria, no Ensino Fundamental.
Na realização do trabalho, primeiramente, realizamos uma reconstrução histórica da trigonometria, fundamentada em diversos autores, que nos possibilitaram conhecer informações históricas de diferentes povos. O estudo histórico nos possibilitou a realização de adequações e transformações no ensino dos conteúdos de trigonometria.
Neste artigo, apresentamos nossa concepção de ensino de trigonometria fundamentada no uso da História da Matemática e discutimos a importância do uso da História da Matemática no ensino. Para complementar nossa fundamentação, apresentamos algumas sugestões de atividades que foram aplicadas em sala de aula durante o ensino de trigonometria.
Em seguida, descrevemos todas as etapas do desenvolvimento das atividades propostas e realizadas com alunos do 9º ano do Ensino Fundamental, durante o primeiro bimestre do ano letivo de 2010, numa escola pública municipal e analisamos os resultados obtidos.
2 Material e Métodos
2.1 O uso da história da matemática no ensino de trigonometria
A história constitui-se em um valioso instrumento no processo de ensino e aprendizagem e seu uso é uma forma de melhorar o ensino da Matemática. Por intermédio da História da Matemática, a compreensão de conceitos e de suas aplicações torna-se mais fácil. Para Milies (2002), conhecendo a História da Matemática, percebe-se que as teorias que hoje aparecem acabadas e elegantes resultaram sempre de desafios para os matemáticos, desenvolvidas com grande esforço e, quase sempre, numa ordem bem diferente daquela em que são apresentadas após todo o processo de descoberta.
E ainda, conforme Oliveira 2009, p.1,
Podemos considerar que a abordagem do conhecimento matemático, partindo de elementos históricos, modifica a dinâmica da sala de aula por propiciar ao aluno, momentos de reflexão e aprendizagem acerca da construção do conhecimento matemático, tomando como base as idéias ancoradas no conhecimento histórico, como também serve como recurso motivador para sua aprendizagem.
Segundo Dorier e Rogers (2000), as relações entre a História da Matemática e o processo de ensino e de aprendizagem de Matemática são variadas. O conhecimento da História da Matemática pode ajudar os alunos na aprendizagem dos conceitos ou, até mesmo, antecipar algumas incompreensões dos alunos. A História da Matemática pode também ser um guia para elaboração de atividades de ensino, sendo essas apenas algumas das suas potencialidades.
Algumas experiências de ensino podem usar textos históricos como material essencial para a classe, ao passo que algumas análises didáticas podem integrar os dados históricos na estratégia de ensino, e reflexões epistemológicas sobre o assunto, de tal forma que a história não seja visível na experiência de ensino ou de aprendizagem (DORIER; ROGERS, 2000, p.168).
Nos Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática (BRASIL, 1998), o uso da História da Matemática é proposto como recurso didático no processo de ensino-aprendizagem, com o objetivo de desenvolver atitudes e valores dos alunos em relação ao conhecimento matemático.
Ao revelar a Matemática como uma criação humana, ao mostrar necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, ao estabelecer comparações entre os conceitos e processos matemáticos do passado e do presente, o professor cria condições para que o aluno desenvolva atitudes e valores mais favoráveis diante desse conhecimento (BRASIL, 1998, p.42).
Considerando que o uso da História da Matemática em sala de aula é apontado como relevante para o ensino e a aprendizagem da Matemática, a questão que se coloca é como isso pode ser feito. Segundo Michalowicz (2000), são necessárias duas condições: a primeira é que os professores precisam receber a educação necessária para ter a capacidade de entender a História da Matemática e como ela se conecta a Matemática da sala de aula. A segunda é que os professores devem ter acesso a materiais (textos, livros, filmes, etc), ou pelo menos orientação sobre onde procurar tais materiais ou como criar as suas próprias atividades para a sala de aula.
A história da matemática é um instrumento capaz de aumentar o valor da matemática na sala de aula e esclarecer aos estudantes a amplitude da matemática. Quando professores da Educação Básica têm a oportunidade de ver como a matemática pode ser conectada ao seu currículo de estudos sociais (geografia, história, etc) e até mesmo a sua literatura curricular, a aritmética (por exemplo) pode começar a assumir um papel mais significativo na sala de aula. Embora haja pouca ou nenhuma pesquisa para verificar esta posição, há uma variedade de relatos dados por professores da Educação Básica que encontraram sucesso na prática de conectar os tempos da história, geografia e cultura da matemática para o estudo da aritmética básica (MICHALOWICZ, 2000, p.172-173).
O uso da história no ensino da Matemática requer o exercício da reflexão sobre os pensamentos dos matemáticos do período histórico compreendido e, além disso, favorece a compreensão de que o conhecimento matemático atual se desenvolveu mediante as exigências da sociedade em curso e não está pronto e acabado, podendo ser modificado ou complementado por meio de estudos fundamentados. Segundo Oliveira (2009, p.13),
Conhecer a história da matemática permite colocar em evidencia situações didáticas mais pertinentes para que o aluno consiga aprender sobre a formação do pensamento matemático, que fios condutores conduziram a sua constituição e como se deu a disseminação deste pensamento em diferentes contextos culturais.
Muitas são as dificuldades encontradas, tanto pelos professores quanto pelos alunos, na realização de atividades que envolvem trigonometria. Oliveira (2006), em sua dissertação de mestrado, aponta que essas dificuldades podem ser separadas em categorias. Para relacionar as dificuldades sentidas por professores e alunos no processo de ensino de trigonometria por meio de atividades, fez-se necessário,
inicialmente, separá-las em categorias:
a) dificuldades relacionadas ao ambiente físico e de materiais que dizem respeito – como o próprio nome diz – ao espaço físico em que está inserida a sala de aula e todas as condições materiais imprescindíveis ou não à realização da aula; b) dificuldades relacionadas à estrutura organizacional da escola que se referem ao tempo pedagógico e às interrupções não programadas que ocorrem durante o ano letivo; c) dificuldades decorrentes dos paradigmas do ensino tradicional que dizem respeito ao pensamento dominante na sociedade e até mesmo no meio educacional sobre o fazer de sala de aula. [...] o ensino direto (tradicional) tem resistido às tentativas de mudanças e, consequentemente, vem servindo de parâmetro para as discussões nas reuniões de mestres e pais de alunos; d) dificuldades decorrentes dos paradigmas da profissão docente que se referem às condições de trabalho e sócio-econômicas do professor, assim como também da sua carreira e valorização profissional. Elegemos, como grandes entraves desse ponto, as longas jornadas de trabalho do professor e a falta de incentivo para sua formação continuada; e) dificuldades decorrentes das competências e habilidades dos alunos. Convém lembrar que esse tema constitui o objetivo principal do ensino em qualquer área. Nessa categoria de dificuldades, relacionamos os obstáculos didáticos e todas as habilidades e conceitos que não foram bem trabalhados nas séries anteriores da vida escolar
dos estudantes que se tornam empecilho na hora em que eles necessitam efetuar alguma tarefa ou adquirir um conceito novo (OLIVEIRA, 2006, p.32).
Identificamos, como principal função da História da Matemática na sala de aula, o auxílio no desenvolvimento cognitivo dos alunos por meio da resolução de problemas com base em definições próprias dos conceitos, ligando a causalidade dos fatos à criação de novas definições. Cabe ao professor conhecer a história dos conceitos que norteiam os conteúdos a serem ensinados e, buscando transformar as informações históricas em atividades de ensino, enfrentar as dificuldades e, dessa, forma tornar o ensino mais significativo.
2.2 Sobre a história da trigonometria
O objetivo foi apresentar um panorama sobre o desenvolvimento da trigonometria ao longo da História da Matemática. Para situar o leitor, apresentamos abaixo um quadro com um resumo da revisão histórica que foi realizada, destacando alguns dos principais resultados (Quadro 1).
Quadro 1: Desenvolvimento da trigonometria ao longo da História da Matemática
Continua... Civilização ou Período Histórico e
Alguns Matemáticos que se destacaram Alguns Fatos Relevantes Uma possível origem da tabela de
secantes na mesopotâmia. Conteúdo da tábula de argila Plimpton 322 – colunas com os chamados “ternos pitagóricos”.O conteúdo desta tábua, ao analisar as ternas pitagóricas, parece indicar que essas ternas serviam de base para construção de tabelas trigonométricas (EVES, 1995).
Uma possível utilização da cotangente
no Egito A maior parte dos conhecimentos sobre a Matemática egípcia deriva de dois papiros: O Papiro de Rhind, que contém 85 problemas, e o Papiro de Moscou, talvez dois séculos mais antigo, que contém 25 problemas. Estes problemas já eram há muito conhecidos quando esses manuscritos foram compilados, mas existem papiros menores, mais recentes, alguns do tempo do Império Romano, que não apresentam diferenças de ponto de vista.
Grécia Clássica: início de um estudo efetivo da trigonometria Tales de Mileto (624 a.C. – 547 a.C.) Pitágoras de Samos (569 – 475 a.C.) Euclides de Alexandria (325 – 265 a.C.) Eudoxo de Cnido (408 – 355 a.C.) Aristarco de Samos (310 – 230 a.C.) Estratão de Lampsaco (340 – 268 a.C.) Eratóstenes de Cirene (276 – 194 a.C.) Hiparco de Nicéia (190 – 120 a.C) Menelau de Alexandria (70 – 130) Cláudio Ptolomeu (85 – 165) Herão de Alexandria (10 – 75) Pappus de Alexandria (290 – 350)
Segundo Eves (1995), foi Hiparco ou talvez Hipsicles (c. 180 a.C.), quem introduziu na Grécia a divisão do círculo em 360º.
Hiparco teria apresentado uma tábua de cordas em um de seus trabalho, e, dessa forma, colaborado com os trabalhos de Ptolomeu, posteriormente a ele (EVES, 2004).
Dos muitos trabalhos escritos por Menelau, somente o Sphaerica foi preservado. Trata-se de um tratado composto por três livros, a única versão preservada está escrita em árabe. Para Eves (2004), esse trabalho é como um foco de luz intensa sobre o desenvolvimento da trigonometria.
O primeiro livro da Sphaerica apresenta proposições referentes aos triângulos esféricos, assim como as feitas por Euclides em relação aos triângulos planos. O segundo livro é dedicado à astronomia. A extensão da trigonometria à esfera tornou-se possível graças ao teorema de Menelau envolvendo quadriláteros completos planos ou esféricos.
Em seu tratado Almagesto, Ptolomeu primeiramente, justifica sua descrição do universo em virtude do sistema geocêntrico proposto por Aristóteles (322 – 384 a.C.); pode-se afirmar que é uma visão de mundo fundamentada em que a Terra está fixa e em seu redor gira cada dia uma esfera das estrelas fixas, levando consigo as esferas do Sol, da Lua e dos planetas, usando combinações de movimentos circulares chamados epiciclos. Uma vez estabelecido esse modelo, Ptolomeu passa a descrever a matemática que necessita em sua obra. Em particular, apresenta métodos trigonométricos assentados na função Crd (corda) (que está relacionada com a função seno, isto é, sen θ = (Crd 2θ/120).
Para a construção de sua tábua de cordas (que é aproximadamente uma tábua de senos), Ptolomeu dividiu a circunferência do círculo em partes hoje denominadas por graus, minutos e segundos. Esta tábua de cordas fornece a medida das cordas de 1/2º até 180º aumentando de meio em meio grau. Nesta época Ptolomeu já empregava as identidades trigonométricas no cálculo de cordas.
...Continuação Civilização ou Período Histórico e
Alguns Matemáticos que se destacaram Alguns Fatos Relevantes Uma descoberta Hindu:
A tábua de senos Os Sulvasutras Os Siddhantas Aryabhata I (476 – 550) Brahmagupta (598 – 670)
Por volta do fim do quarto século ou começo do quinto, teve início a idade dos Siddhantas, ou sistemas de astronomia. Existem semelhanças notórias entre partes dos Siddhantas e a trigonometria de Ptolomeu. Segundo Boyer, O Paulisha Siddhanta, por exemplo, usa o valor 3177/1250 para π, o que concorda bem com o valor sexagesimal 3; 8, 30 de Ptolomeu. (BOYER, 1996143)
Em sua obra, Aryabhata apresentou o valor de π como√10 e por esse valor ser frequentemente utilizado na Índia, ficou conhecido como valor hindu. Aryabhata já realizava o cálculo de semicordas por volta de 500 d.C. e pouco tempo depois, tábuas de seno e seno reverso também já eram calculadas pelos hindus.
Uma das contribuições dos hindus de maior influência na História da Matemática foi a introdução de um equivalente da função seno na trigonometria em substituição à tabela de cordas dos gregos. Segundo Boyer, as duas tabelas da função seno mais antigas e que ainda se preservam são a do Siddhantas e do Aryabhatiya.
O matemático Brahmagupta também escreveu trabalhos importantes em Matemática e em Astronomia. Em seu tratado Brahmasphuta Siddhanta (sistema astronômico correto segundo Brahma), escrito por volta de 628 em Bhillamala (atual Bhinmal), composto por cerca de vinte capítulos e escrito em verso, dois capítulos são inteiramente dedicados à Matemática: o décimo segundo e o décimo oitavo. No décimo segundo capítulo, o verso 21 constitui uma extensão da fórmula de Herão de Alexandria referente à área de triângulos para os quadriláteros.
A contribuição dos Árabes para o desenvolvimento da trigonometria Abu Ja’far Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi
(780 – 850)
Abu Abdallah Mohammad ibn Jabir Al-Battani
(850 – 929)
Mohammad Abu’l-Wafa Al Buzjani (940 – 998)
Nasir al-Din al-Tusi (1201 – 1274)
Segundo Boyer, a trigonometria árabe quase inteira foi inspirada na função seno. Sua essência era, sobretudo, grega, porém a forma grega sofreu aplicações da forma hindu e um acréscimo de novas funções e fórmulas.
Al-Battani [...] chegou à lei dos cossenos para um triângulo esférico obliquângulo, ou seja, cos a = cos b cos c + sen b sen c sen A
As tabelas de seno de Abu’l-Wafa apresentavam o equivalente a oito casas decimais exatas, ao passo que as de Ptolomeu eram exatas em apenas três casas decimais. Em razão da formulação clara da lei dos senos para triângulos esféricos, feita por Abu’l-Wafa, esta ficou sendo atribuída a ele, mesmo já tendo sido conhecida em essência por Ptolomeu e estando contida por implicação na obra de Brahmagupta.
A trigonometria Européia Johann Müller Regiomontanus (1436 – 1476)
Nicolau Copérnico (1473 – 1543) Georg Joachim von Lauchen Rheticus (1514 – 1574) François Viète (1540 – 1603) Thomas Fincke (1561 – 1656) Edmund Günter (1581 – 1626) Pierre Hérigone (1580 – 1643) Samuel Reyher (1635 – 1714) Leonhard Euler (1707 – 1783) Thomas Muir (1844 – 1934)
O mais capaz e influente matemático do século foi Johann Müller (1436 -1476) geralmente conhecido por Regiomontanus, nome latinizado de sua cidade natal Königsberg (“montanha
do rei”). Seu tratado De triangulis omnimodis, escrito por volta de 1464, mas publicado postumamente em 1533 é a mais importante de suas obras; trata-se da primeira exposição européia sistemática de trigonometria plana e esférica, num tratamento independente da Astronomia (EVES, 2004).
A definição explícita das funções tangente e cotangente como razões foi instituída por Rheticus em 1551.
Aplicando a álgebra à trigonometria, François Viète chegou bem próximo da geometria analítica. Formulou também a lei dos cossenos, na forma:
.
3 Resultados e Discussão
3.1 Ensinando trigonometria por meio da história da matemática
3.1.1 Descrição da aplicação
As atividades foram desenvolvidas com alunos do 9° ano do Ensino Fundamental na Escola Municipal de Ensino Fundamental Profa. Alice Couto Moraes, localizada em Santo Antônio do Aracanguá, no Estado de São Paulo. Os alunos participantes estudam no período matutino, mas, por determinação da direção da escola, o desenvolvimento deste trabalho se deu em período contrário ao que os alunos
estudam, ou seja, no período vespertino.
O principal objetivo da aplicação destas atividades foi compreender os conceitos de trigonometria estudados neste ano, por meio de um olhar histórico. Os conteúdos trabalhados foram: teorema de Pitágoras, as razões trigonométricas no triângulo retângulo e a circunferência trigonométrica. Mediante a leitura e a discussão dos contextos históricos envolvendo cada um dos conteúdos a serem trabalhados, tivemos como propósito a compreensão de conceitos e de suas aplicações, o desenvolvimento da capacidade de enfrentar situações-problema e o desenvolvimento de atitude de envolvimento do aluno em relação ao conhecimento matemático.
C) º sen( = c b + a ab 2− 90− 1 2 2 2
3.2 Desenvolvimento das atividades propostas
As atividades foram realizadas durante o mês de março de 2010. A utilização da História da Matemática como apoio ao processo de ensino e aprendizagem foi, sem dúvida, de importância fundamental, pois pudemos perceber, durante a aplicação, um notável interesse e uma motivação nos alunos que queriam entender as origens dos conceitos matemáticos. Percebemos, também, que a compreensão das origens dos conceitos trabalhados implicou em uma maior facilidade na interpretação dos problemas a serem resolvidos.
Os alunos do 9º ano foram convidados a participar deste estudo. Dez alunos tiveram disponibilidade para participar das atividades, pois como foi citado anteriormente, a realização se deu em período contrário ao que os alunos estudam e muitos já possuíam outros afazeres.
Inicialmente, os alunos foram questionados sobre seus conhecimentos em relação à trigonometria. Eles afirmaram não ter conhecimento sobre o assunto. Foi-lhes então apresentada uma breve história do surgimento e da utilização da trigonometria por povos antigos, com a finalidade de que os alunos se familiarizassem com o assunto a ser abordado nas atividades propostas. Neste momento, os alunos também foram informados de como ocorreriam as atividades, quais conteúdos, particularmente, seriam tratados, e foram questionados sobre o conceito de triângulo retângulo, o qual demonstraram dominar.
Após este primeiro contato, foram iniciadas as apresentações das atividades. Primeiramente, se lia um texto que continha um panorama histórico sobre a trigonometria e eram feitos comentários e discussões sobre esse texto. Em seguida, os alunos realizavam as atividades individualmente, com o monitoramento da professora, e depois cada um apresentava os resultados obtidos aos colegas e, juntos, chegavam à conclusão de qual método de resolução seria correto de ser utilizado. Foi interessante observar as argumentações feitas por eles para justificar um ao outro a forma mais adequada de resolver cada atividade proposta. Foi possível perceber que o uso da História da Matemática enriqueceu o conteúdo e motivou os alunos, pois estes ficaram extremamente surpresos em saber que o conteúdo ensinado hoje já foi estudado por várias gerações e que possui aplicações práticas e não se resume apenas no desenvolvimento da aplicação de fórmulas e teoremas.
A metodologia aplicada foi a de resolução de problemas, escolhida com base nas recomendações presentes nos PCNs, que a indicam como ponto de partida das atividades matemáticas:
Em contrapartida à simples reprodução de procedimentos e ao acúmulo de informações, educadores matemáticos apontam a resolução de problemas como ponto de partida da atividade matemática. Essa opção traz implícita a convicção de que o conhecimento matemático ganha significado quando os alunos têm situações desafiadoras para resolver e trabalham para desenvolver estratégias de resolução. (BRASIL, 1998, p.39-40)
Conforme Onuchic (1999, p.210-211):
Na abordagem de Resolução de Problemas como uma metodologia de ensino, o aluno tanto aprende matemática resolvendo problemas como aprende matemática para resolver problemas. O ensino de resolução de problemas não é mais um processo isolado. Nessa metodologia o ensino é fruto de um processo mais amplo, um ensino que se faz por meio da resolução de problemas.
Durante as atividades, foi observado o comportamento e as atitudes dos alunos em relação ao contexto histórico e a maneira de resolver cada problema, permitindo verificar que, antes de conhecer técnicas de resolução de determinados problemas, o aluno pôde desenvolver suas próprias técnicas de resolução.
Os conteúdos que seriam trabalhados foram divididos em três partes. Na primeira parte, foram realizadas atividades referentes à identificação e reconhecimento de triângulos retângulos e a aplicação do Teorema de Pitágoras. Com a resolução das atividades, os alunos demonstraram conhecer bem os triângulos retângulos e compreenderam corretamente esse teorema, visto que, ainda, não o conheciam. Além disso, também, identificaram com facilidade os catetos e a hipotenusa dos triângulos retângulos.
Figura 1: Resolução do exercício 2 da Atividade 1, por um dos alunos
Figura 3: Resolução do exercício 4 da Atividade 1, por um dos alunos.
Embora a maioria dos alunos tenha aplicado o teorema na forma de equação, um aluno nos chamou à atenção, pois resolveu as atividades sobre o teorema de Pitágoras sem equacionar o problema, ou seja, empregando o cálculo de áreas de quadrados.
Figura 4: Resolução do exercício 4 da Atividade 1, por um dos alunos.
Na atividade 2, foi trabalhada a tabela trigonométrica e as razões trigonométricas no triângulo retângulo. Inicialmente, os alunos fizeram observações sobre os valores do seno e do cosseno dos arcos complementares, depois foram apresentadas as razões trigonométricas, que foram posteriormente aplicadas por eles na resolução de situações-problemas.
Os alunos apresentaram dificuldade em interpretar as situações-problemas e em representá-las para poder aplicar as fórmulas adequadas. Assim, foram orientados a imaginar a
situação descrita e representá-la com desenhos, o que facilitou o entendimento. Em relação à aplicação das fórmulas, não apresentaram dificuldades.
Na atividade 3, os alunos apresentaram maiores dificuldades de resolução dos exercícios 2 e 3. No exercício 2, da atividade 3, o maior obstáculo foi compreender o significado de ângulo de depressão e representá-lo. Já na atividade 3, a dificuldade da maioria dos alunos foi trabalhar com duas incógnitas e realizar cálculos com números com três casas decimais. Nessas atividades, fez-se necessário a intervenção da professora para que os alunos pudessem dar continuidade às resoluções.
Figura 5: Resolução do exercício 1 da Atividade 3, por um dos alunos
Figura 6: Resolução do exercício 2 da Atividade 3, por um dos alunos.
Figura 7: Resolução do exercício 3 da Atividade 3, por um dos
alunos com a trigonometria na circunferência, enfocando a conversão de Na última parte, foram desenvolvidas atividades relacionadas
medidas de arcos. As atividades propunham aos alunos estabelecer relações entre as diferentes unidades de medidas de arcos. Na primeira atividade, os alunos não apresentaram amplas dificuldades. Desse modo, foi possível notar que a maioria dos alunos realizou cálculos simples de multiplicação para encontrar o valor correspondente, alguns, porém, preferiram utilizar a regra de três.
Figura 8: Resolução do exercício 4 da Atividade 4, por um dos alunos.
Nesta atividade, o exercício que levou um pouco mais de tempo para ser resolvido foi o quinto. Os alunos não tiveram dificuldade para transformar grados em graus, porém, apresentaram dificuldades em trabalhar com a conversão entre grado e radiano em virtude da necessidade de recorrer ao valor de π para poder concluir o cálculo (item c, do exercício 5).
Para finalizar as atividades, os alunos foram questionados sobre o conhecimento produzido por eles durante as atividades propostas na sala de aula e sobre a maneira como os conteúdos foram trabalhados. Assim, por meio das falas dos alunos, foi possível perceber que essa atividade diferenciada com o uso da História da Matemática contribuiu extremamente para despertar a vontade de conhecer os fatos históricos que deram origem ao conceito hoje estudado e que esses acontecimentos apresentados facilitaram assaz a compreensão desses conceitos. Além disso, foi notável, também, o interesse demonstrado pelos alunos em relação às atividades propostas e o empenho na resolução delas, contribuindo para que os objetivos propostos fossem alcançados com sucesso.
Diante dos argumentos apresentados anteriormente, o uso da História da Matemática no processo de ensino e aprendizagem e o dinamismo com o qual os problemas foram elaborados e desenvolvidos em sala de aula contribuíram positivamente na construção do conhecimento pelo aluno.
Para que as atividades propostas com o uso da História da Matemática atingissem os objetivos esperados, ou seja, um ensino e aprendizagem efetivos e com significado, foi fundamental favorecer um processo em que os alunos pudessem explorar, organizar e reelaborar os conceitos matemáticos, pois, dessa forma, foi possível enriquecer e ampliar os conhecimentos de cada aluno, tornando-os um saber significativo.
4 Conclusão
Mediante a construção do panorama histórico da trigonometria, investigamos diferentes civilizações, na busca de compreender o contexto de cada época e lugar e os respectivos avanços realizados por cada uma das civilizações pesquisadas, de acordo com as fontes históricas consultadas.
O estudo do desenvolvimento histórico da trigonometria nos possibilitou identificar que esta surgiu de conceitos geométricos, sendo inicialmente usada por astrônomos. Desta forma, a astronomia pode ser considerada a grande motivadora do desenvolvimento da trigonometria, sendo que o surgimento das tabelas trigonométricas teve como finalidade facilitar os cálculos astronômicos.
Por meio do panorama histórico, percebemos a evolução dos conceitos trigonométricos. Podemos notar que com os gregos iniciou-se um estudo mais efetivo da trigonometria, e que seus estudos possuíam fundamentos geométricos e estavam relacionados às cordas de um arco de circunferência. Os hindus evoluíram quando realizaram estudos nos quais utilizaram a metade da corda de um arco de circunferência e chegaram ao conceito de seno.
Percebemos também que a trigonometria árabe quase inteira foi inspirada na função seno, sua essência era, sobretudo, grega, porém a forma grega sofreu aplicações da forma hindu e um acréscimo de novas funções e fórmulas. Com a incorporação da álgebra à trigonometria, os cálculos,
antes complexos, tornaram-se mais simples, chegando bem próximo da geometria analítica.
Em relação ao ensino da trigonometria através da História da Matemática, considerando-a como uma área do conhecimento matemático, ou seja, como um campo de investigação científica, buscamos conhecer a história dos conceitos norteadores dos conteúdos a serem ensinados e procuramos transformar as informações históricas em atividades de ensino e aprendizagem.
Na elaboração das atividades a serem desenvolvidas, tomamos como base os Parâmetros Curriculares Nacionais, procurando explorar diferentes momentos históricos, com o intuito de estabelecer comparações entre os conceitos e processos matemáticos do passado e do presente. Além disso, fundamentamo-nos na ideia de que o conhecimento da História da Matemática permite o desenvolvimento de situações didáticas mais pertinentes, que possibilitem ao aluno aprender sobre a formação do pensamento matemático, identificar os fios condutores de sua constituição e a forma de disseminação desse pensamento, em diferentes contextos culturais. Utilizamos, ainda, a metodologia de resolução de problemas, que favoreceu a significação dos conteúdos matemáticos trabalhados.
Nesta etapa da pesquisa, também buscamos uma fundamentação teórica, como as pesquisas em História da Matemática, o papel da História da Matemática no ensino de Matemática e a metodologia da resolução de problemas. Tal fundamentação nos forneceu bases sólidas para a escolha das atividades mais adequadas para o desenvolvimento dos conteúdos escolhidos.
As análises dos resultados se apoiaram nos conhecimentos adquiridos por meio da pesquisa bibliográfica, em algumas concepções dos alunos sobre a trigonometria e na reflexão sobre os métodos de ensino atualmente utilizados.
Como etapa desta pesquisa, aplicamos e desenvolvemos as atividades de ensino com alunos do 9º ano do Ensino Fundamental e podemos inferir, mediante uma análise dessas atividades propostas, que houve um desenvolvimento conceitual e matemático dos alunos no decorrer da experimentação. De fato, as análises das atividades propostas revelaram os resultados obtidos pelos alunos e assinalaram que o contexto histórico contribuiu significativamente para a compreensão de conceitos, problemas que abordaram fatos históricos relacionados com a trigonometria e teoremas utilizados na resolução de problemas trigonométricos, por exemplo, o teorema de Pitágoras.
Por meio das atividades, os alunos compreenderam a divisão da circunferência trigonométrica em 360 partes e a conversão entre diferentes unidades de medidas de arcos, o que será importante para a continuação dos estudos sobre trigonometria em anos posteriores.
Ao final das atividades, segundo os questionamentos feitos aos alunos sobre a importância atribuída por eles à História da Matemática, foi possível perceber uma satisfação em relação
aos temas trabalhados e uma vontade de conhecer mais fatos históricos relacionados à construção de outros conceitos matemáticos abordados e desenvolvidos, em especial, no Ensino Fundamental.
Esta pesquisa mostrou possibilidades de abordagens históricas no ensino da trigonometria, o que também pode ser estendido para o ensino de outros conteúdos matemáticos do Ensino Fundamental, necessitando apenas de adaptações das informações históricas em relação às necessidades de cada clientela e aos objetivos a serem alcançados.
Consideramos significativos os resultados encontrados por meio desta investigação científica em História da Matemática, que se revelou e se constituiu em um material histórico que pode ser utilizado em sala de aula e em Educação Matemática. Segundo as análises das atividades propostas, descobrimos que houve um desenvolvimento significativo em relação ao ensino e aprendizagem dos alunos da turma que participou deste estudo.
Referências
BOYER, C. B. História da Matemática. 2.ed. São Paulo: Edgar Blücher, 1996.
BRASIL. Ministério de Educação e Cultura. Parâmetros
Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental. Matemática
- 5ª a 8ª série. Brasília, SEF, 1998.
DANTE, L.R. Matemática – volume único. São Paulo: Ática, 2008.
DORIER, J.-L.; ROGERS, L. Conclusions: guidelines and suggestion for future research. In: FAUVEL, J.; VAN MAANEN, J. History in the Mathematical Education: the ICMI study. Dordrecht: Kluwer, 2000, p. 168-170.
EVES, H. Introdução à História da Matemática. Campinas: UNICAMP, 1995.
EVES, H. Introdução à História da Matemática. Campinas: UNICAMP, 2004.
MICHALOWICZ, K.D. History in support of diverse educational requirements – opportunities for change. In: FAUVEL, J.; VAN MAANEN, J. History in the Mathematical Education: the ICMI study. Dordrecht: Kluwer, 2000, p.171-174.
MILIES, F. C. P. História da Matemática. 2002. Disponível em: <http://www.ime.usp.br/~leo/imatica/historia/>. Acesso em: 21 fev. 2012.
ONUCHIC, L. R. Ensino-aprendizagem de Matemática através da resolução de problemas. In: BICUDO, M. A. V. (Org.).
Pesquisa em Educação Matemática: concepções e perspectivas.
São Paulo: UNESP, 1999, p.199-218.
OLIVEIRA, F. C. Dificuldades no processo ensino aprendizagem
de trigonometria por meio de atividades. 2006. 74f. Dissertação
(Mestrado em Ensino de Ciências Naturais e Matemática) – Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Natal, 2006. OLIVEIRA, R. L. Aritmética e artefatos antigos: uma proposta interdisciplinar. 2009. 217f. Tese (Doutorado em Educação) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Natal, 2009.
