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Tópico 11. Aula Teórica/Prática:

O Método dos Mínimos Quadrados e Linearização de

Funções

1. INTRODUÇÃO

Ao se obter uma sucessão de pontos experimentais que representados em um gráfico apresentam comportamento linear, diferentes experimentadores poderão traçar diferentes retas, encontrando diferentes valores para os coeficientes linear e/ou angular. Um método para determinar a reta correta é dado pelo método dos mínimos quadrados. Este método consiste em determinar o coeficiente angular a e o coeficiente linear b da equação da reta: y = a.x + b.

Em geral, a relação entre duas grandezas físicas não é linear, e é fundamental descobrir de que tipo é e quais são os parâmetros que a caracterizam. Sabe-se que numa relação linear é muito simples o processo de se determinar os parâmetros envolvidos (neste caso o coeficiente linear e angular), portanto, quando se observa que o gráfico obtido não é uma reta, pode-se linearizá-lo através de uma mudança de variáveis, transformando em retas mesmo curvas aparentemente complexas. Este processo de transformar um gráfico curvo em uma reta denomina-se linearização. Para isso, um certo grau de familiaridade com as representações gráficas das principais funções matemáticas é recomendável, pois deve-se ter uma noção sobre que tipo de função matemática poderia gerar uma curva igual a indicada pela seqüência de pontos experimentais no gráfico. Nesta aula vamos analisar os dois casos mais freqüentes: a relação tipo potência e do tipo exponencial.

2. OBJETIVOS

 Determinar os coeficientes angular e linear da equação da reta, y = a.x + b, através do método dos mínimos quadrados;

 Aplicar métodos de linearização de funções não lineares: tipo potência: y = a.xn e exponencial: y = a.eb.x.

3. TEORIA

O ajuste de curvas pelo método dos mínimos quadrados é importante, pois ao contrário do método gráfico, é independente da avaliação do experimentador. Este método consiste em minimizar o erro quadrático médio (S) das medidas. Considere então um conjunto de N medidas (xi, yi), com i assumindo valores inteiros desde 1 até N. S é

definido como: 𝑆 = ∆𝑆_𝑖 = 𝑦 − 𝑦_𝑖 2 𝑁 𝑖=1 𝑁 𝑖=1 (1)

onde y é o valor da curva ajustada (y = a.x+b). O objetivo é somar os ∆𝑆_𝑖 das N medidas e traçar uma reta que torne a soma dos ∆𝑆_𝑖 mínima. Matematicamente isso corresponde a 𝜕𝑆

𝜕𝑎

= 0

𝜕𝑏

= 0

acreditar que para que isso aconteça a reta desejada deve passar entre todos os pontos experimentais. Destas duas expressões extraímos os valores dos parâmetros a e b. O resultado é: 𝑎 = 𝑁 𝑥𝑖𝑦𝑖 − 𝑥𝑖 𝑁 𝑖=1 𝑁 𝑖=1 𝑁𝑖=1𝑦𝑖 𝑁 𝑥_𝑖2 _{− 𝑥} 𝑖 𝑁 𝑖=1 2 𝑁 𝑖=1 (2) 𝑏 = 𝑥𝑖 2 _𝑦 𝑖 𝑁 𝑖=1 − 𝑁𝑖=1𝑥𝑖𝑦𝑖 𝑁 𝑖=1 𝑁𝑖=1𝑥𝑖 𝑁 𝑥_𝑖2 _{− 𝑥} 𝑖 𝑁 𝑖=1 2 𝑁 𝑖=1 (3) onde usou-se a notação de somatório: 𝑁_𝑖=1𝑥_𝑖 = 𝑥₁ +𝑥₂ + ⋯ + 𝑥_𝑁.

 Exemplo de Determinação dos Coeficientes Angular e Linear

Considere uma medida de movimento retilíneo uniforme (MRU) efetuado por um carrinho no laboratório. Foram medidos tanto sua posição x (em metros) quanto o tempo t (em segundos) e os resultados estão conforme a tabela 1. Construa o gráfico que representa o movimento e determine a velocidade e a posição inicial do carrinho usando o método dos mínimos quadrados.

Tabela 1. Valores experimentais da posição de um carrinho em função do tempo. X - tempo (s) Y - posição (m) 0,100 0,51 0,200 0,59 0,300 0,72 0,400 0,80 0,500 0,92

Para usarmos o método dos mínimos quadrados, sugere-se a construção de uma tabela, conforme indicado abaixo, lembrando que aqui o eixo x corresponde ao tempo t e o eixo y, à posição x:

Tabela 2. Tabela contendo os valores de x, y, x.y e x2, e suas respectivas somatórias. x(s) y(m) x.y x2 0,100 0,51 0,051 0,0100 0,200 0,59 0,120 0,0400 0,300 0,72 0,220 0,0900 0,400 0,80 0,320 0,1600 0,500 0,92 0,460 0,2500 Σx = 1,50 Σy = 3,54 Σx.y = 1,17 Σx2 = 0,55

Com esses resultados, basta substituir os valores nas fórmulas para a e b, e lembrar que neste caso temos N = 5 medidas:

𝑎 = 5 × 1,17 − 1,50 × 3,54 5 × 0,55 − (1,50)2 = 5,85 − 5,31 2,75 − 2,25 = 0,54 0,50 = 1,08 𝑏 = 0,55 × 3,54 − 1,17 × 1,50 5 × 0,55 − (1,50)2 = 1,95 − 1,76 2,75 − 2,25 = 0,19 0,50 = 0,38

Portanto, temos que y = 1,08.x + 0,38 e se substituirmos os valores de x da tabela 1 na função obtemos os seguintes valores de y:

Tabela 3. Valor da posição de um carrinho estimado através do método dos

mínimos quadrados em função do tempo.

X - tempo (s)

Y - posição (m) (método dos mínimos

quadrados) 0,100 0,49 0,200 0,60 0,300 0,70 0,400 0,81 0,500 0,92

Fazendo o gráfico dos resultados da tabela 1 com a tabela 3 temos:

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

P

o

si

ç

ã

o

(

m

)

Tempo (s)

método dos mínimos quadrados

x₀ = 0,38 m

x = 0,30 s

logo:

v = 0,29/0,30 = 0,97 m/s

Figura 1. Evolução da posição do móvel em função do tempo.

Observe que o valor da velocidade calculado pelos dados da tabela 1 é igual a 0,97 m/s enquanto que para a curva determinada pelo método dos mínimos quadrados é de 1,08 m/s, ou seja, este é o valor mais próximo do valor real da velocidade do carrinho.

Exercício:

1. Estudando o movimento de um carrinho, efetuado ao longo de um trilho de ar (movimento retilíneo uniforme) obteve-se os seguintes dados experimentais, após: Posição (mm) t1 (s) t2 (s) t3 (s) t4 (s) t5 (s) 𝒕 (𝒔) 𝝈𝒕 (𝒔) 879 0,14 0,15 0,14 0,12 0,12 895 0,20 0,22 0,24 0,25 0,20 919 0,32 0,33 0,29 0,34 0,33 949 0,44 0,45 0,46 0,46 0,45 964 0,52 0,52 0,51 0,53 0,59 970 0,64 0,72 0,70 0,69 0,60

Uma posição para o sensor de medida no trilho foi escolhida e então mediu-se o tempo gasto pelo carrinho para atingi-lo. Esta medida foi feita 5 vezes, correspondendo aos valores t1 , t2, t3, t4 e t5. Em seguida repetiu-se o

procedimento para outras 5 posições do sensor ao longo do trilho.

Determine utilizando o método dos mínimos quadrados a velocidade do carrinho e sua posição inicial com os erros associados.

3.2 Linearização de Funções

Na maioria das vezes as funções que descrevem os fenômenos físicos não são lineares, ou seja, não são funções do tipo y = a.x + b. Nestes casos, quando construímos o gráfico de y = f(x) no papel milimetrado não obtemos uma reta. Vejamos alguns exemplos:

Exemplo 1. Pêndulo simples: Na tabela abaixo (fora do padrão), L é o

comprimento do fio de um pêndulo simples e T é o valor médio do período de oscilação desse pêndulo, obtido de 10 medidas. Faça um gráfico de T em função de L (ou seja, T × L). Adote ΔT = 0,05 s e ΔL = 0,05 m.

L (m) 1,44 1,32 1,22 1,10 0,94 0,71 0,53 0,41 0,29 0,16 T (s) 2,40 2,31 2,22 2,12 1,94 1,70 1,53 1,30 1,16 0,79

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6

P

er

ío

do

, T

(

s)

Exemplo 2. Velocidade do som no ar: para determinar a velocidade do som

no ar, mediu-se o comprimento de onda λ em função da freqüência f. Os dados são mostrados na tabela a seguir.

f (Hz) 1000 800 600 400 200 100 λ (m) 0,3405 0,4340 0,5800 0,8655 1,7155 3,4556

Conhecendo as incertezas Δλ = 0,0005 m e Δf = 2 Hz, construir o gráfico λ = f(f). 0 200 400 600 800 1000 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

C

om

pr

im

en

to

d

e

on

da

,

(

m

)

Observe que a função matemática que relaciona T e L no exemplo 1 e λ e f no exemplo 2 não são funções lineares. Neste caso vem a seguinte

pergunta:

O que fazer se as grandezas não têm relação linear?

Na maioria das vezes a relação entre duas grandezas físicas não é linear e é fundamental descobrir de que tipo é e quais são os parâmetros que caracterizam a relação entre as grandezas. Uma das maneiras de se fazer isso é linearizar o gráfico. Isto pode ser feito de dois modos:

a) Fazendo uma mudança adequada de variável;

b) Mudando o tipo de papel (monolog ou di-log) ou escala (no caso do uso do programa Excel).

A) Mudança de variável

A mudança de variável é muito útil quando já conhecemos a relação funcional que existe entre as grandezas que estão sendo estudadas.

Exemplo 3. No caso de pêndulo simples sabemos que, sendo T o período,

L o comprimento do fio e g a aceleração da gravidade local, então:

𝑇 = 2𝜋 𝐿

𝑔 → 𝑇

2 ₌4𝜋 2

𝑔 𝐿 (4) A Equação 4 mostra que a função matemática entre T2 e L é linear, sendo 4π2/g o coeficiente angular da reta. Vamos construir o gráfico de T2 × L e verificar se isso acontece mesmo.

Determinação da aceleração da gravidade

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 0 1 2 3 4 5 6

Q

ua

dr

ad

o

do

P

er

ío

do

, T

(

s)

Escolhendo dois pontos do gráfico e procedendo como especificado anteriormente, encontraremos que a função matemática entre T2 e L é T2 = 3,950L. Portanto, temos uma técnica para determinar a aceleração da gravidade, isto é: 4𝜋 2 𝑔 = 3,950 ⟹ 𝑔 = 4𝜋2 3,950 ⟹ 𝑔 = 9,990 𝑚/𝑠 2

Exemplo 4. A velocidade do som v, a freqüência f e o comprimento de

onda λ estão relacionadas por

𝑣 = 𝜆. 𝑓 ⟹ 𝜆 = 𝑣

𝑓 ⟹ 𝜆 = 𝑣. 𝑓

−1 ₍₅₎

A Equação 5 mostra que a função matemática entre λ e 1/f é linear, sendo v o coeficiente angular da reta. Vamos construir o gráfico de λ × f -1 e verificar se isso acontece mesmo.

Determinação da velocidade do som no ar

0,000 0,002 0,004 0,006 0,008 0,010 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 logo: v = 0,865/0,0025 = 346 m/s x = 0,0025 s y = 0,865 m

C

om

pr

im

en

to

d

e

on

da

,

(

m

)

Escolhendo dois pontos do gráfico e procedendo como especificado no

exemplo 3, encontraremos que a função matemática entre λ e 1/f é λ = 346,0(1/f) Comparando com a Equação 5, obtemos a velocidade do

som no ar:

B) Mudando o tipo de papel (ou escala)

Neste caso é feita uma mudança no tipo de papel (ou escala, no caso do uso do programa Excel) que está sendo empregado(a) na construção do gráfico. Um tipo muito útil de escala é a logarítmica. Nesta escala, a distância D entre duas marcas sucessivas não é constante, ela varia logaritmicamente (Figura 1):

D = log(g) − log(g0) ,

isto é, ela é feita de tal maneira que a distância entre 1 e 2 é proporcional a (log2 - log1); a distância entre 2 e 3 é proporcional a: (log3 - log2), por isso as distâncias entre marcas sucessivas não são constantes. Numa escala logarítmica, então, a escala é linear com o logaritmo da grandeza!

Figura 2. Escala logarítmica.

A Figura 2 mostra uma escala logarítmica maior, em que a graduação correspondente à origem do eixo é g0 = 1 × 10

0

.

Figura 3. Representação das décadas em uma escala logarítmica.

Note que existem trechos que se repetem: as décadas. Cada década corresponde a uma potência de 10 da grandeza g a ser representada no eixo. A escala mostrada acima apresenta 3 décadas. Portanto, quando for necessário o uso de escalas logarítmicas, o primeiro cuidado é reescrever todos os valores a serem representados na escala em notação científica, para definir quantas décadas serão necessárias e em qual das décadas os valores serão representados.

Exemplo 5. Representar numa escala logarítmica os seguintes valores:

A = 0,2 kg = 2.10-1 kg B = 5,0 kg = 5,0.100 kg C = 30 kg = 3,0.101 kg D = 85 kg = 8,5.101 kg

Vê-se então que serão necessárias 3 décadas para representar estes valores. Colocando na origem a graduação g0 = 1.10-1 e os valores serão marcados,

como mostrados na figura da página seguinte

Existem no mercado 2 tipos de papeis com escalas logarítmicas:

 Mono-log: um dos eixos é uma escala linear e o outro é uma escala logarítmica.

 Di-log: neste papel os dois eixos são escalas logarítmicas.

Quando se usa o software Excel basta construir o gráfico a partir de uma tabela x,y. Em seguida, para mudar a escala de cada eixo clique com o botão direito do mouse sobre o eixo x, por exemplo, e vá em "Formatar eixo". Nas opções que aparecem, basta selecionar o quadro "Escala logarítmica" e definir a base desejada ( a mais convencional é a base 10, para o caso de uma equação exponencial, y = a.enx , utiliza-se a base 2,718).

A escala logarítmica é muito útil quando estamos tratando com funções do tipo potência (y = a.xn) e do tipo exponencial (y = a.enx). Estas funções sempre podem ser linearizadas com o uso de escalas logarítmicas.

i) Função tipo potência

Quando se suspeita que a relação x e y é da forma y = a.xn, procede-se do procede-seguinte modo:

 Aplica-se o logaritmo a ambos os lados da equação: log y = log (a.xn)

log y = log a + n.log x (6)

 Fazendo log y = Y, log a = A e log x = X, obtém-se: Y = A + nX,

que é a equação de uma reta, sendo n o coeficiente angular da reta e a potência da função que relaciona x e y.

Portanto, vê-se que é possível transformar uma relação tipo potência em uma relação linear aplicando o logaritmo.

ii) Função exponencial

Outro tipo de relação entre duas grandezas física muito comum e bem simples é a exponencial: y = a.ebx. Ela também pode ser linearizada através de uma mudança de variáveis ou então fazer um gráfico em um papel milimetrado, colocando os valores medidos de y no eixo das ordenadas e colocar ebx no eixo das abscissa e não as medidas x. Outra possibilidade é utilizar um papel onde um dos eixos tem escala logarítmica e o outro linear.

Quando se suspeita que a relação x e y é da forma y = a.ebx, procede-se do procede-seguinte modo:

 Aplica-se o logaritmo natural a ambos os lados da equação: ln y = ln (a.ebx)

ln y = ln a + bx ln e

ln y = ln a + bx (7)

 Fazendo ln y = Y, ln a = A , obtém-se: Y = A + bx,

que é a equação de uma reta, sendo b o coeficiente angular da reta.

Para obter o coeficiente angular da reta nos dois casos é feito do seguinte modo:

 Papel di-log: Neste caso teremos (Figura 4): Relação de potência: y = a.xn , a = ? , n = ?

y x Papel Milimetrado P₁ P₂ x₂ x₁ y₁ y₁ Papel Di-log y x A y₂

Figura 4. Determinação das constantes no papel di-log.

P1= (x1,y1) e P2= (x2,y2)

b) Substituindo as coordenadas dos pontos P1 e P2 na Equação 6, teremos:

log y1 = log a + n log x1 (7a)

log y2 = log a + n log x2 (7b)

Subtraindo as equações 7a e 7b e resolvendo para n:

log y1 - log y2 = log a + n log x1 - log a - n log x2

𝑛 =log y1 − log y2 log x₁ − log x₂

Tendo encontrado n, é só voltar a uma das equações 7a ou 7b e encontrar a.

 Papel mono-log: Neste caso teremos (Figura 5): Relação exponencial: y = a.eb.x , a = ? , b = ?

y₁ Papel Milimetrado y x y₁ Papel Mono-log y x y₁ y₂ P₁ x₁ x₂ P₂ A

Figura 5. Determinação das constantes no papel mono-log.

a) Escolha dois pontos P1 e P2 de fácil leitura no papel mono-log:

P1= (x1,y1) e P2= (x2,y2)

b) Substituindo as coordenadas dos pontos P1 e P2 na Equação 7, teremos:

log y1 = log a + b. x1 (8a)

Subtraindo as equações 8a e 8b e resolvendo para b:

log y1 - log y2 = log a + b. x1 - log a - b. x2

𝑏 = log y1 − log y2 x₁ − x₂

Tendo encontrado b, é só voltar a uma das equações 8a ou 8b e encontrar a.

Exercícios:

1. Efetue a linearização das funções abaixo:

a) 𝑦 = 5𝑥2 b) 𝑦 = 3𝑒2𝑥 c) 𝑦 = 5𝑒𝑥 d) 𝑦 = 𝑥2

2

2. Diversos fenômenos físicos como o decaimento radioativo segue uma lei matemática que é uma função de uma exponencial negativa. Outro fenômeno mais próximo é o decréscimo de temperatura de uma xícara de café. Dada uma temperatura inicial de 205ºC (exagerando obviamente), podemos ver que o seu decréscimo será uma exponencial negativa até atingir uma temperatura ambiente, 1 grau por exemplo (exagerando novamente). Utilizando então os dados da tabela abaixo, vemos o comportamento na figura 6:

Tempo (horas) Temperatura (ºC)

0 250 1 152 2 92 3 56 4 33 5 20 6 12 7 7 8 4 9 2 10 1

0 3 6 9 12 15 0 50 100 150 200 250 300

Tempe

ratura (

°C)

Figura 6. Temperatura em função do tempo de uma hipotética xícara de café.

Determine:

(a) o coeficiente angular da reta no gráfico monolog. (b) o coeficiente linear da reta no gráfico monolog. (c) a equação da reta no gráfico monolog.