DERIVADAS
TABELA DE DERIVADAS
FUNÇÃO DERIVADA FUNÇÃO DERIVADA
yc, c = constante y0 ysenx ycosx
n
x
y n 1
nx
y ycosx ysenx
y = cf y’ = cf' y tagx ysec2 x
y f g y fg y cotgx ycsc2x
y f.g y f.g f.g ysecx ysecxtagx
g f y
2 . . g g f g f y ylnx x 1 y y loga x a x y ln 1 ' x e y x e y y f(g(x)) y f '(g(x))g'(x) x a y y' axlna y f(u) y f'(u)u' 1) Calcule, f '(x): a)f
(
x
)
5
x
4
b)f
(
x
)
2
x
2
3
x
5
c) f(x)2x2x d)f
(
x
)
x11 e)f
(
x
)
9
x
1
f) f(x) = (x2 +3x4)6 g)f
(
x
)
2
x
3
4
x
2
6
x
5
h)f
(
x
)
xx1 2) Nos exercícios Calcule f ’(x), onde:a) f(x)3x b) f(x)3x c) f(x)9 d) f(x)6x2x4 e) f(x)x38x2 5 f) f(x)5x2 lnx g) f(x)3x6 senx h)
f
(
x
)
(
3
x
2
1
)
e
x i)f
(
x
)
xx1 j) f(x) = - 20 k)f
(
x
)
x
5e
x
ln
x
l) f(x)3x5lnx m)f
(
x
)
x
2ln
x
2
e
x n) f(x)(2x1)(3x2 6) o)f
(
x
)
x35 p)f
(
x
)
3
x
x
q)f
(
x
)
3x
x
APLICAÇÃO DE DERIVADAS QUESTÃO 01Suponhamos que uma cidade seja flagelada por uma epidemia. Através do cálculo de derivadas os setores de saúde poderão calcular o número de pessoas atingidas por esta epidemia depois de um certo tempo (t) (medido em dias a partir do primeiro dia da epidemia) usando para isso a seguinte função ( ) = t +8t +5f t 4 2 poderá também o setor de saúde calcular qual a taxa da expansão da epidemia após 4 dias, calculando f '(4).
QUESTÃO 02
Um produto mal conservado constitui ambiente ideal para a proliferação de certo tipo de bactéria. Estima-se que o número de bactérias, t horas a partir da contaminação de um produto beta, pode ser calculado pela função ( ) = 10t +ef t 2 t
Marque a alternativa correspondente à taxa de variação da população de bactérias por hora, 2 horas após ter ocorrido a contaminação. a) Aproximadamente 25 bactérias/hora. b) Aproximadamente 32 bactérias/hora. c) Aproximadamente 39 bactérias/hora. d) Aproximadamente 47 bactérias/hora. e) Aproximadamente 51 bactérias/hora. QUESTÃO 03
Para uma empresa alfa calcular suas perdas (em milhões de dólares) em razão de maus empréstimos, basta derivar a função P(t) que modela perdas em função do tempo (0 ≤ t ≤ 10). Sendo assim as perdas de tal empresa em 5 anos é:
QUESTÃO 04
Os cientistas revelam que em uma determinada região o índice de monóxido de carbono no ar é dado por 2
0,3
I(t) = 0,3 2,5
2 t t partes por milhão por ano. Desejando fazer um controle decidiram determinar um modelo para a variação de tal índice e fizeram uma estimativa para daqui a 5 anos. Pode-se dizer que os resultados foram:
0,3
a) I '(t) = 0,3 '(5) 1, 05 partes por milh o
2 t t I ã
b) I'(t) = 0,3t0,3 I'(5) 1,80 partes por milh oã ' 0,3 2
c) I (t) = 0,3 '(5) 3,80 partes por milh o
2 t t I ã
2
d) I '(t) = 0,3t 0,3 I'(5) 1, 60 partes por milh oã
QUESTÃO 05
A fim de estudar a forma como o organismo humano metaboliza o cálcio, um médico injetou no sangue de um paciente voluntário uma amostra de cálcio quimicamente marcado com o intuito de medir a rapidez com que tal produto é removido do sangue. Admitindo que a função Q(t) = 2 – 0,06t + 0,03t2 – 0,01t3 forneça a quantidade de cálcio (em mg) que permanece na corrente sanguínea após t horas, podemos afirmar que a taxa segundo a qual o cálcio está sendo eliminado da corrente sanguínea, 2 horas após ter sido ministrado é a) 0,04 mg por hora. b) 0,06 mg por hora. c) 0,08 mg por hora. d) 0,10 mg por hora. e) 0,12 mg por hora. 2 P(t) = -t 10t30 P'(5)?
QUESTÃO 06
O número de litros de gasolina em um reservatório, t horas depois de iniciar seu esvaziamento é dado pela equação V(t) = 200(30 – t)2. A taxa segundo a qual a gasolina está saindo ao fim de 10 horas.
a) –8 000 litros/hora b) –9 000 litros/hora c) –10 000 litros/hora d) –10 000 litros/hora e) NDA. QUESTÃO 07
Sabe-se que o crescimento populacional de certa espécie em extinção em um determinado habitat é dado por 2
( ) ( 3)
f x x em x anos. Os biólogos observaram que há uma variação no crescimento populacional da espécie. Para saber o número total de seres existentes daqui a 10 anos, é necessário fazer o seguinte:
I) Derivar a função e encontrar o valor f´(10) II) Fazer o gráfico da função no intervalo [0,10] III) Integrar a função para obter a primitiva IV) Determinar a constante de integração Nestas condições:
a) O item I está correto b) Os itens I e I I estão corretos c) O item III está correto d) O item IV está correto
e) Os itens III e IV estão corretos QUESTÃO 08
A função posição que modela a queda de um vaso de flores de uma janela situada a 36 metros do solo é S(t) = 4,9t2 + 36, em que s é a altura em relação ao solo (medida em metros) e t é o tempo, medido em segundos. Nessas condições, determine o módulo da velocidade do vaso de flores t = 3s. após cair e marque a alternativa correspondente. a) 14,7 m/s b) 19,6 m/s c) 24 m/s d) 29,4 m/s e) 49,0 m/s QUESTÃO 09
QUESTÃO 10
Um balão está sendo inflado e seu volume varia em função do raio r. Sabendo que o volume de tal balão é dado por: V r( )r3*(20r290)2. A taxa de variação atingida pelo volume do balão quando o raio atingir 2m será: a) 1,4m3 b) 4,1 m3 c) 14,01 m3 d) 1,14 m3 e) nda QUESTÃO 11
Considere uma partícula em movimento ao longo de uma trajetória e suponhamos que sua posição S(t) (em m) no instante t (em segundos) seja dada por S t( )sen(12 ) 12t t. Então sua velocidade e aceleração no instante t = 2s, são respectivamente os valores aproximados:
2 )7,119 / ; 22,96 / a m s m s 2 )022,96 / ;71,19 / b m s m s 2 )22,96 / ;7,119 / c m s m s 2 )71,19 / ; 22,96 / d m s m s e) nda QUESTÃO 12
Em uma indústria de Laticínio os engenheiros observaram que a produção estava sendo prejudicada pelo aparecimento de uma bactéria, cujo crescimento era dado por: 2 2
( ) (3 1) t.
C t t e Após algumas análises eles puderam observar a taxa de crescimento de colônias de tal bactéria. Aplicando os conhecimentos de cálculo diferencial pode -se dizer que ao fim de 3 horas de análise a variação no número de colônias de bactérias poderá ser dado por:
I) Calculando C(3) e obtendo 22853,73
II) Aplicando a regra da soma e calculando C(3) e obtendo 2853,73
III) Aplicando a regra do produto e calculando a derivada em t = 3, obtém-se: 29853,73 IV) Aplicando a regra da potência e calculando a derivada em t = 3, obtém-se: 2923,73 V) Aplicando regra alguma de derivada levará ao resultado procurado.
Avaliando as informações apresentadas acima conclui -se que: a) Os itens I e II estão corretos
c) Os itens III e IV estão corretos d) O item IV está correto
e) O item III está correto
QUESTÃO 13
Engenheiros Agrônomos, verificaram que, em uma indústria de adubos, o número de unidades (em toneladas), produzidas nas primeiras t horas diárias de trabalho é dado por:
2 50( ), 0 4 ( ) 200( 1), 4 8 t t para t f t t para t
Analise as seguintes afirmações:
I) A razão de produção (em unidades por hora) após 10 horas de trabalho é 3500 II) A razão de produção (em unidades por hora) após 12 horas de trabalho é 35000 III) A razão de produção (em unidades por hora) após 3 horas de trabalho é 350 IV) A razão de produção (em unidades por hora) após 7 horas de trabalho é 200 É correto afirmar que:
a) I e II estão corretas b) I e III estão corretas c) I e IV estão corretas d) II e III estão corretas e) III e IV estão corretas
QUESTÃO 14
Um empresário constatou que o lucro mensal em sua empresa é modelado pela função: f(x) = 1000(x2)2. Interessado em estimar a variação do lucro nos três primeiros meses do ano o empresário contratou então um Engenheiro que lhe deu um resultado satisfatório. Pode-se dizer que o resultado apresentado pelo engenheiro é: a) 13000,00 reais b) 17000,00 reais c) 15000,23 reais d) 18000,00 reais e) 50000,00 reais
QUESTÃO 15
Um quadrado de lado l está se expandindo e sua área em função do tempo é dada por: A t( ) (2 t2 2) pode-se dizer que a taxa de variação da área de tal quadrado num instante t =2s. é dada por:
a) 48 unid. área/unid. tempo
b) 84 unid. área/unid. tempo c) 38 unid. área/unid. tempo d) 83 unid. área/unid. tempo e) 34 unid. área/unid. tempo QUESTÃO 16
Um corpo se move em linha reta, de modo que sua posição no instante t é dada por 2
( ) 16 , 0 8, f t tt t onde o tempo é dado em segundos e a distância em metros.
Julgue os itens a seguir:
I) A velocidade média do corpo no intervalo de tempo [0; 8] é V = 2m/s II) A velocidade do corpo num instante t qualquer é V = 4m/s
III) A aceleração média do corpo no intervalo de tempo [0; 8] é a = 4m/s2 IV) A aceleração do corpo num instante t = 5s. é a = 2m/s2
As alternativas corretas são: a) I e II b) I e III c) II e IV d) III e IV e) I e IV QUESTÃO 17
Um certo herdeiro recebeu uma herança familiar e resolveu investi-la na criação bovina e na criação equina. Ao procurar uma empresa especializada tal herdeiro obteve as seguintes informações: se hoje a criação bovina e equina é zero, daqui a t anos, o investimento na criação bovina estará gerando um lucro modelado por: B t( )5 .x e4 x
centenas de reais por ano e o investimento na criação equina estará gerando um lucro modelado por: ( ) 2000* n 5 l x E t x
centenas de reais por ano.
Com base nas informações acima podemos afirmar que a taxa de variação na rentabilidade da criação bovina e da criação equina nos próximos 3 anos em centenas de reais por ano é:
a) B = 1787,77 e E = 3,8 b) B = 18980,83 e E = 4,38 c) B = 1823,9 e E = 31,8 d) B = 3221,8 e E = 24,5 e) B = 3227,77 e E = 31,8
QUESTÃO 18
Em um determinado mês, um Lojista vendeu x unidades de um produto, cujo lucro é dado
pela função: L(x) =
2(x2)
. Se no mês seguinte as vendas deste produto aumentar em 20
unidades, o lucro marginal será em reais:
a) 20 reais
b) 30 reais
c) 34 reais
d) 44 reais
e) 63 reais
QUESTÃO 19Um móvel desloca-se sobre uma reta obedecendo à equação horária S(t) = 3t3 + t2. Usando as regras de derivadas é correto afirmar que:
I) sua velocidade no instante t = 2s é v = 40 m/s. II) sua velocidade no instante t = 2s é v = 23m/s. III) sua aceleração no instante t = 2s é a = 38 m/s2 IV) o espaço percorrido no instante t = 2s. é 20m a) I e II são verdadeiras
b) I e III são verdadeiras c) III e IV são verdadeiras d) I e IV são verdadeiras e) apenas III é verdadeira
