UNIVERSIDADE DE TRÁS-OS-MONTES E ALTO DOURO
Estudo numérico e experimental do comportamento à fadiga
do tecido ósseo cortical sob solicitação de modo I
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO EM ENGENHARIA MECÂNICA
Carlos João Leão Martins
Professor Nuno Dourado Professor José Xavier
UNIVERSIDADE DE TRÁS-OS-MONTES E ALTO DOURO
Estudo numérico e experimental do comportamento à fadiga
do tecido ósseo cortical sob solicitação de modo I
Carlos João Leão Martins Nuno Miguel Magalhães Dourado
José Cardoso Xavier
ii
Dissertação de Mestrado apresentada à Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro para obtenção do grau de Mestre em Engenharia Mecânica.
iii
“Nothing in the life is to be feared, it’s only to be understood”
v
Agradecimentos
Em primeiro lugar queria começar por expressar um enorme agradecimento ao meu orientador, Professor Doutor Nuno Dourado, por todo apoio prestado e pelo companheirismo ao longo desta jornada. Agradeço também ao meu coorientador, Professor Doutor José Xavier, por toda a sua disponibilidade demonstrada durante a realização desta dissertação.
Gostaria também de expressar o meu agradecimento ao Professor Cristóvão Santos por todo apoio prestado no fabrico dos acessórios necessários para a fase experimental.
Dirijo também um especial agradecimento a duas pessoas de elevada importância na realização desta dissertação, pela amizade e pela disponibilidade que sempre demonstraram, mais concretamente ao Fábio Pereira, pelo conhecimento transmitido e apoio prestado e ao Filipe Silva, companheiro de uma longa jornada na fabricação de provetes e que prestou um enorme apoio em vários momentos de grande necessidade.
Agradeço à Professora Isabel Dias por ter disponibilizado todo o material veterinário necessário.
A todos os colegas e amigos da Universidade, por todos os anos de convivência e camaradagem.
A todos os meus amigos e familiares, pelo apoio e incentivo demonstrado. Um agradecimento especial para uma amiga, Vera Pinto, por todo apoio e incentivo dado nos momentos de maior necessidade.
Um agradecimento também ao Matadouro Municipal de Penafiel pelo fornecimento dos fémures.
Por fim, gostaria de expressar o meu agradecimento à Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro por todos os meios disponibilizados para a realização desta dissertação.
vii
Resumo
A fadiga é um fenómeno responsável pelo colapso de muitos materiais, sendo o resultado do desenvolvimento do dano em sequência da exposição a um regime de carregamento cíclico. No tecido ósseo cortical este fenómeno é induzido por cargas aplicadas pelos músculos aos ossos através dos tendões, por meio das inserções. Este problema, que é mais comum em indivíduos com elevada atividade física, é responsável por longos períodos de inatividade e consequente perda de qualidade de vida. Por esse motivo, entende-se que a caracterização à fadiga do tecido ósseo constitui um tópico de investigação de grande importância. O comportamento à fadiga deste material também pode ser correlacionado com a toma de fármacos, com a idade e com a atividade física. Neste contexto, considerou-se oportuno realizar um estudo de caracterização experimental à fadiga do tecido ósseo cortical, empregando um modelo animal (bovino adulto). Nesse estudo optar-se-á por uma geometria de provetes que permita assegurar a iniciação e a propagação do dano em puro modo I. Assim, escolher-se-á o ensaio Double
Cantilever Beam (DCB), por razões que se prendem com a sua simplicidade, a que se
impura um regime de carregamento cíclico, com controlo de deslocamento. Optar-se-á pelo sistema de propagação TL (i.e., Tangencial-Longitudinal) do tecido ósseo, por razões que se prendem com a maior facilidade de produção dos provetes e propensão à iniciação e propagação do dano.
Neste estudo, serão identificados por via experimental os parâmetros da lei de Paris do tecido ósseo em modo I. Estes parâmetros permitem caracterizar o regime linear que se observa no andamento da taxa de crescimento do comprimento de fenda versus taxa de libertação de energia de deformação máxima.
ix
Abstract
Fatigue is at the origin of the collapse of many materials, being responsible for the development of damage as the result of the exposition to cyclic loading. In cortical bone tissue this phenomenon is induced by repetitive loads applied by the muscles to bones through the tendons, in insertion sites. This problem is more common in athletes and people undergoing repetitive movements (occupational diseases), being responsible for long periods of inactivity and subsequent loss of life quality. As a consequence, fatigue characterization of cortical bone tissue constitutes an important research topic. The correlation of bone fatigue tenacity with the consumption of drugs, age or performance of physical activities is also of major importance. Thus, an experimental study on the fatigue characterization of bovine cortical bone tissue (animal model) will be performed. In this test damage will be induced under mode I loading using the Double Cantilever
Beam (DCB) test, under displacement control. The justification for this geometry is
associated to do the facility to produce specimens. Also, the TL (Tangential-Longitudinal) fracture propagation system will be chosen to take advantage of its propensity to stable damage initiation and propagation under loading.
The parameters of the Paris law will be experimentally determined, allowing to define the fatigue behaviour of the tested material in the linear region of the diagram that expresses the crack growth rate with the maximum strain rate.
xi
Palavras-chave
Osso
Fadiga do tecido ósseo Modo I
Double Cantilever Beam (DCB)
Compliance based beam method (CBBM)
Taxa crítica de libertação de energia Lei de Paris
xiii
Nomenclatura
CBBM Compliance Based Beam Theory DCB Double Cantilever Beam
ZPF Zona de processo de fratura FGC Fatigue Crack Growth
Simbologia Latina
a Comprimento de fenda
a0 Comprimento de fenda inicial
aeq Comprimento de fenda equivalente
A Área da secção transversal reta
B Espessura do provete
b Espessura do provete na raiz do entalhe
C Flexibilidade corrente
C0 Flexibilidade inicial
CoV Coeficiente de variação
dA/dN Taxa de crescimento da área danificada por ciclo de carregamento
da/dN Taxa de crescimento do comprimento fenda por ciclo de carregamento Ef Módulo de elasticidade efetivo
EL Módulo de elasticidade na direção longitudinal
ER Módulo de elasticidade na direção radial
ET Módulo de elasticidade na direção tangencial
GI Taxa de libertação de energia em modo I
GIc Taxa de libertação de energia crítica em modo I
GII Taxa de libertação de energia em modo II
GIIc Taxa de libertação de energia crítica em modo II
GImáx Taxa de liberação de energia em modo I associada à força máxima
GLR Módulo de resistência ao corte no plano LR
GLT Módulo de resistência ao corte no plano LT
xiv
2h Altura do provete
I Segundo momento de área
L Comprimento do provete
Mf Momento fletor
P Carga aplicada durante o ensaio
R Razão de carga
R2 Coeficiente de determinação
U Energia de deformação elástica
V Esforço transverso
Simbologia Grega
Fator de correção de Williams
GI/GIc Relação entre a taxa de libertação de energia com o seu valor crítico
Fator de intensidade de tensão Deslocamento imposto ao provete ν Coeficiente de Poisson
σI Tensão em modo I de propagação
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Índice
Agradecimentos ... v Resumo ... vii Abstract ... ix Palavras-chave ... xi Nomenclatura ... xiiiOrganização da Dissertação ... xxi
1. Introdução... 1
2. Revisão bibliográfica... 3
- Introdução ... 3
- Estrutura do tecido ósseo ... 3
- Comportamento à fadiga do tecido ósseo ... 5
- Ensaio DCB ... 8
- Avaliação da tenacidade à fratura em modo I ... 8
- Lei de Paris ... 12
3. Ensaios de fadiga ... 13
3.1 - Introdução ... 13
3.2 - Preparação dos provetes ... 13
3.3 - Adaptação da máquina de ensaios ... 20
3.4 - Avaliação do desempenho da solução proposta ... 26
3.5 - Determinação do módulo de elasticidade longitudinal ... 27
4. Análise dos resultados experimentais ... 31
4.1 - Introdução ... 31
4.2 - Tipo de fratura ... 31
4.3 - Evolução da força máxima com o número de ciclos ... 32
4.4 - Resultados dos ensaios de fadiga ... 34
xvi
6. Bibliografia... 41 7. Anexos ... 45
xvii
Índice de Figuras
Figura 2.1 - Regiões e nomenclatura de um osso longo. ... 4
Figura 2.2 - Estrutura anatómica do tecido ósseo e direções de simetria material. ... 5
Figura 2.3 - Ensaio DCB. ... 8
Figura 2.4 - Representação esquemática da ZPF e do conceito de comprimento de fenda equivalente. ... 10
Figura 2.5 - Comportamento típico à fadiga. ... 12
Figura 3.1 - Fémur e tira de osso após processo de corte. ... 13
Figura 3.2 - Tira de osso. ... 14
Figura 3.3 - Tira de osso após limpeza. ... 14
Figura 3.4 - Placa de osso após processo de lixamento. ... 15
Figura 3.5 - Processo de desbaste do tecido ósseo. ... 15
Figura 3.6 - Placa de osso após processo de maquinagem. ... 16
Figura 3.7- Processo de corte de precisão. ... 16
Figura 3.8 - Provetes após processo de corte... 17
Figura 3.9 - Abertura de entalhe longitudinal em V no provete. ... 17
Figura 3.10 - Operação de abertura do entalhe longitudinal parcial no provete. ... 18
Figura 3.11 - Operação de introdução de pré fenda numa máquina de ensaios mecânicos. ... 19
Figura 3.12 - Posicionamento dos furos do provete. ... 19
Figura 3.13 - Equipamento utilizado nos ensaios de fadiga. ... 21
Figura 3.14 - Acessórios produzidos. ... 22
Figura 3.15 - Montagem dos acessórios na máquina... 22
Figura 3.16 - Sistema de hidratação. ... 23
Figura 3.17 - Hidratação do provete. ... 23
Figura 3.18 - Configuração final do equipamento utilizado nos ensaios de fadiga... 24
Figura 3.19 - Esquema de fixação do provete ao longo do ensaio. ... 24
Figura 3.20 - Sistema de aquisição de dados (Spider® 8; 600 Hz). ... 25
Figura 3.21 - Localização do extensómetro... 25
Figura 3.22 - Modelo de elementos finitos ... 27
Figura 3.23 - Determinação do módulo de elasticidade longitudinal por meio de um método inverso. ... 28
xviii
Figura 4.1 - Propagação de fenda em provete sem entalhe. ... 31
Figura 4.2 - Propagação de fenda em provete com entalhe. ... 32
Figura 4.3 – Evolução da força máxima normalizada pela espessura do provete com o número de ciclos dos provetes não entalhados. ... 33
Figura 4.4 - Evolução da força máxima normalizada pela espessura do provete com o número de ciclos dos provetes com entalhes em V. ... 33
Figura 4.5 - Detalhe da evolução da força máxima normalizada pela espessura do provete com o número de ciclos dos provetes sem entalhe. ... 34
Figura 4.6 - Evolução da taxa de libertação de energia de fratura em modo I em função de N (provete 21). ... 35
Figura 4.7 - Curva dAe/dN vs ΔGI/GIc obtida para com o provete 21. ... 35
Figura 4.8 - Curvas dAe/dN vs ΔGI/GIc obtidas com provetes não entalhados. ... 36
xix
Índice de Tabelas
Tabela 2.1 - Propriedades elásticas do osso de bovino hidratado para o plano LT ... 5 Tabela 2.2 - Propriedades de resistência do tecido ósseo de bovino ... 5 Tabela 3.1 - Dimensões dos provetes DCB ... 20 Tabela 3.2 - Resumo dos valores obtidos para o módulo de elasticidade longitudinal
... ....29 Tabela 4.1 - Resumo dos coeficientes da lei de Paris para fratura em modo I ... 37
xxi
Organização da Dissertação
Esta Dissertação encontra-se dividida em cinco Capítulos principais. O primeiro Capitulo contém a introdução geral. No segundo Capítulo faz-se uma descrição da estrutura do tecido ósseo cortical, o comportamento à fadiga, a descrição do ensaio mecânico escolhido, o procedimento de avaliação da tenacidade à fratura e a lei de Paris. O terceiro Capítulo descreve em pormenor as etapas de preparação dos provetes em osso de bovino destinados aos ensaios mecânicos, as alterações que se efetuaram no equipamento usado nos ensaios de fadiga, a avaliação do desempenho da solução proposta, através de ensaios mecânicos, e a simulação numérica para determinação do módulo de elasticidade na direção longitudinal do tecido ósseo. No quarto Capítulo faz-se a análifaz-se dos resultados experimentais obtidos nos ensaios de fadiga. Em particular, tipificam-se as superfícies de fratura, avaliam-se as curvas S-N, a evolução da taxa de libertação de energia de fratura em modo I em função do número de ciclos, e resumem-se os resultados obtidos nos ensaios de fadiga. Neste particular, mostram-resumem-se os coeficientes da lei de Paris obtidos, bem como o andamento da taxa de crescimento do comprimento de fenda em função da taxa de libertação de energia de deformação máxima. O quinto e último Capítulo resume as conclusões retiradas deste estudo.
1
1.
Introdução
As fraturas do tecido ósseo constituem uma lesão muito comum, resultando em muitos casos de episódios decorrentes da aplicação de cargas cíclicas, em sequência da prática intensa do exercício físico, ou de atividades laborais repetitivas, que conduzem à fadiga. Tratando-se de um material biológico, em circunstâncias normais, o osso tem a capacidade de se adaptar em função do esforço a que é sujeito, e de se autorreparar em sequência do surgimento de lesões responsáveis pelo surgimento de pequenas fissuras.
Aspetos como a doença, a idade, a toma de fármacos, ou a obesidade constituem fatores potenciadores de incapacidade do tecido ósseo responder favoravelmente às lesões que o afetam. Nesse sentido, entende-se que o estudo do comportamento mecânico do tecido ósseo constitui um importante tópico de investigação com um grande impacto sócio-económico. Em particular, entende-se que é importante perceber como é que os fatores atrás referidos podem influenciar a resistência à fadiga do tecido ósseo, pelo que importa desenvolver protocolos experimentais que sejam confiáveis. Por conseguinte, a Dissertação tem como principal objetivo desenvolver um estudo de caracterização experimental do comportamento à fadiga do tecido ósseo cortical de bovino jovem em modo I de carregamento, recorrendo ao ensaio Double Cantilever Beam (DCB), com controlo de deslocamento.
3
2.
Revisão bibliográfica
- Introdução
Neste capítulo é descrito em primeiro lugar a estrutura do fémur, tanto à escala macroscópica como à escala microscópica, assim como também as suas principais propriedades e o seu comportamento à fadiga quando solicitado sob o modo I de carregamento. São também apresentadas algumas conclusões retiradas a partir de estudos feitos anteriormente sobre o tema da fadiga do tecido ósseo cortical.
- Estrutura do tecido ósseo
Temos como noção comumente adquirida a importância dos ossos como parte de um sistema de elevada importância para os animais vertebrados, o sistema esquelético. Este sistema tem como principal função a transmissão de forças entre as várias zonas do corpo, dentro de gamas de tensão controladas, assim como também a proteção dos órgãos vitais e ainda a produção iónica e reserva mineral (Kim et al,2007).
O osso é um material compósito hierarquicamente estruturado, composto principalmente por constituintes orgânicos (colagénio), minerais (Hidroxiapatita) e água (Rho et al.,1998). A sua estrutura interna assim como as suas propriedades mecânicas têm vindo a ser estudadas por muitos grupos de investigação. A análise detalhada das propriedades mecânicas dos componentes principais do osso nas diferentes direções é de elevada importância para melhor se perceber a resposta mecânica do mesmo (Hasegawa et al, 1994).
O fémur (Figura 2.1), osso que pertence ao grupo dos ossos longos, é composto por três partes, as epífises, as metáfises e a diáfise. As epífises, localizadas nas extremidades dos ossos longos, são constituídas por tecido ósseo esponjoso, envoltas por uma fina camada de osso compacto. As metáfises, partes que se localizam entre as epífises e a diáfise, são compostas, tal como as epífises, por tecido ósseo esponjoso e tecido ósseo compacto. É nas metáfises que se localizam as cartilagens de conjugação, responsáveis pelo crescimento em comprimento deste osso. A diáfise, região que compõe a maior parte do fémur, é a zona onde se localiza a cavidade medular, constituída fundamentalmente por tecido ósseo compacto, designado por córtex. Este apresenta um revestimento de
4
tecido conjuntivo especializado, tanto na parte interna como na parte externa, designado por endósteo e periósteo, respetivamente. O endósteo, camada fina de tecido conjuntivo, constitui o revestimento da cavidade que alberga a medula óssea e reveste também todo o tecido ósseo esponjoso. Por sua vez o periósteo reveste todas as outras superfícies do tecido ósseo, à exceção das zonas ocupadas por cartilagem articular epifisária, as áreas subcapsulares, das quais fazem parte o colo do fémur e as zonas de inserção dos tendões e ligamentos no osso (Dias et al., 2005).
Figura 2.1 - Regiões e nomenclatura de um osso longo (Extraído de Dias et al., 2005).
A partir da Figura 2.2 é possível observar a estrutura à escala microscópica de um fémur de bovino. Nela é possível identificar os sistemas de Havers, a principal estrutura constituinte do osso cortical. Estes são formados por grupos de estruturas concêntricas tubulares compostas por lamelas de hidroxiapatita, por onde circulam os fluidos orgânicos. Existem ainda os canais transversos de Volkman, que permitem que os canais de Havers comuniquem entre si perpendicularmente e possibilitem a conexão destes com a cavidade medular e o periósteo.
Sendo o tecido ósseo cortical um material ortotrópico exibe três direções principais de simetria material, evidenciados pela sua microestrutura (Figura 2.2). Assim, é possível
5 distinguir a direção longitudinal (L), paralela aos sistemas de Havers, a direção radial (R), e a direção tangencial (T) aos sistemas de Havers.
Figura 2.2 - Estrutura anatómica do tecido ósseo e direções de simetria material (L: Longitudinal; R: Radial; T:Tangencial) (Adaptado de Luiz, 2013 e Rho et al, 1998).
Nas Tabelas 2.1 e 2.2 apresentam-se as propriedades elásticas e de resistência do tecido ósseo de bovino.
Tabela 2.1 - Propriedades elásticas do osso de bovino hidratado para o plano LT (Pereira et al. 2012)
L E (GPa) 16,61 T E (GPa) 9,55 LT G (GPa) 4,74 LT 0,37
Tabela 2.2 - Propriedades de resistência do tecido ósseo de bovino (Pereira et al. 2012 e Dourado et al. 2013)
𝜎u,I (MPa) 20,0
𝜎u,II (MPa) 59,5
- Comportamento à fadiga do tecido ósseo
A fratura por fadiga do tecido ósseo cortical é um problema bem conhecido nos dias de hoje, com maior incidência em atletas adolescentes e recrutas militares (Nalla et al,
6
2005). Tratando-se de um material biológico, o fenómeno da fadiga é muito complicado de analisar, devido à grande dispersão de resultados que acarreta. Esta circunstância resulta do facto de à escala microscópica o tecido ósseo apresentar diferenças anatómicas particulares, que resultam do património genético de cada indivíduo, bem como do historial de carregamento a que ficou sujeito, traduzindo-se no desenvolvimento de fendas lineares e difusas (Burr and Stafford,1990; Frost 1960; Boyce et al,1998). Este tipo de dano (fraturas) ocorre em sequência da mudança brusca dos padrões de carregamento a que o osso está sujeito, bem como do tempo decorrido entre solicitações, que se revela insuficiente para que o osso possa responder de forma adaptativa (Nalla et al, 2005a). Segundo alguns autores (Lee et al, 2000), o osso é afetado por deformações elásticas ou mesmo plásticas, em resultado de deformações permanentes a que ficou sujeito, incluindo o desenvolvimento do dano.
O osso cortical é propenso à iniciação e formação de fendas nas regiões onde a concentração de tensões é mais elevada. No caso de fendas de pequenas dimensões (microfissuras), o osso tem a capacidade de se autorreparar através de processos biológicos. No entanto, para longos períodos de carregamento, acima do nível de tensão fisiologicamente suportado, a velocidade a que o dano é reparado tende a diminuir à medida que as fendas se vão acumulando, podendo desta forma levar à rotura do material por fadiga (Akkus and Rimnac, 2001).
Existe a convicção de que as fraturas do osso humano, com origem em esforços continuamente repetidos, i.e., fadiga cíclica (cyclic fatigue), ocorrem em muito maior número do que as que resultam de carregamentos súbitos, resultantes de um traumatismo (Burr, 1997; Taylor, 2003). Por este motivo, entende-se que o estudo dos mecanismos que governam a iniciação e a propagação do dano por fadiga no osso constitui um tema de grande relevância. Os ensaios de fadiga tradicionais (ou S/N) visam a avaliação do número total de ciclos até à rotura (N), sob condições de carregamento cíclico particulares. Estes ensaios apresentam limitações, no sentido em que não permitem separar os fatores que governam a iniciação do dano, dos que são responsáveis pela sua propagação ao longo da vida do provete. Assim, uma abordagem mais correta consiste em estudar cada uma destas fases de forma independente, no sentido de adquirir um melhor conhecimento do comportamento do material. De uma maneira geral, a propagação de uma fenda gerada por fadiga caracteriza-se pela taxa de crescimento do comprimento de uma fenda por ciclo de carregamento (da/dN), em função da variação de um parâmetro linear-elástico designado por fator de intensidade de tensão, ΔK=Kmax-Kmin
7 (Paris e Erdogan, 1963). Estes parâmetros (i.e., Kmax e Kmin) representam os valores
extremos que se registam durante o carregamento cíclico. A bibliografia faz referência a poucos estudos no âmbito da caracterização à fratura do tecido ósseo à escala macroscópica, envolvendo a propagação do dano ao longo da espessura da parede do osso (Wright e Hayes, 1976; Gibeling et al., 2001; Nalla et al., 2005a). A propagação de fendas no osso tem sido atribuída a mecanismos relacionados com a fadiga que se caracterizam pelo carácter repetitivo de fenómenos de embotamento (blunting) e de re-afiamento (resharpening) da fenda, a taxas de crescimento reduzidas (<5107m/ciclo), seguidos da ocorrência de fraturas em regime de carregamento quase-estático, com taxas de crescimento mais elevadas (Nalla et al., 2005a).
À medida que uma fenda cresce existem regiões localizadas na esteira (designadas por “pontes ósseas”: uncracked-ligament bridges) - com dimensões que podem ascender aos 100 μm (Nalla et al., 2005b), que resistem à propagação do dano, sustendo o sistema de solicitações que atuam no osso (Nalla et al 2005a). Este mecanismo, que não é exclusivo do tecido ósseo, caracteriza-se pelo aumento da resistência à propagação de uma fenda, sendo possível que esteja na origem do desenvolvimento e na propagação de fendas de menor dimensão (micro-cracking). Este fenómeno que também ocorre na fadiga caracteriza-se pelo desenvolvimento de micro fendas com taxas de crescimento superiores à da fenda principal (Ritchie, 1988). No entanto, em trabalhos da autoria de Taylor (1998), Akkus e Rimnac (2001) e O’Brien et al. (2003), ficou a convicção de que a taxa de crescimento destas fendas de menor dimensão pode reduzir de forma significativa em condições de carregamento cíclico com controlo de carga. No entanto, a maior limitação reportada nestes estudos relaciona-se com a quantidade de resultados experimentais disponíveis. Por outro lado, fica igualmente patente a dificuldade manifestada na medição do comprimento de fenda ao longo dos ensaios de fadiga. Esta dificuldade, não obstante, pode ser colmatada pelo recurso a um método de medição da fenda equivalente, baseado na teoria de vigas (Morais et al. 2010), para provetes de geometria Double Cantilever Beam (DCB).
8
- Ensaio DCB
No ensaio DCB (Double Cantilever Beam) são usados provetes paralelepipédicos de dimensões características L, B e 2h, com uma fenda inicial de comprimento a0 (Figura
2.3). Tal como se referiu atrás, o provete foi orientado por forma a obter um sistema de propagação TL, submetido a um regime de carregamento cíclico, com controlo de deslocamento.
- Avaliação da tenacidade à fratura em modo I
Neste estudo empregou-se o Método de calibração da Flexibilidade combinado com a Teoria de Vigas de Timoshenko e o comprimento de fenda equivalente para avaliar a tenacidade à fratura do tecido ósseo. Este método, designado por CBBM (Compliance
Based Beam Method), permite obter a curva de Resistência (i.e., taxa de libertação de
energia de fratura em função do comprimento de fenda equivalente) do material sem a necessidade de se proceder à monitorização do comprimento de fenda durante o ensaio. Tal facto revela-se providencial, na medida em que durante o carregamento cíclico é praticamente impossível proceder à medição do comprimento de fenda. Para além disso, os mecanismos de dano no osso, impossibilitam localizar a extremidade da fenda, devido ao desenvolvimento de uma zona de processo de fratura (ZPF) (de Moura et al., 2006) na vizinhança da extremidade da fenda. O CBBM (Moura et al., 2008) baseia-se unicamente na curva força-deslocamento obtida durante o ensaio. Assim, tendo presente a teoria de vigas de Timoshenko, a energia de deformação elástica do provete é dada por
60° L 2h T L P, B b a0 Figura 2.3 - Ensaio DCB.
9 𝑈 = 2 [∫ 𝑀f 2 2𝐸L𝐼𝑑𝑥 + ∫ ∫ 𝜏2 2𝐺LR𝐵 𝑑𝑦 𝑑𝑥 ℎ/2 −ℎ/2 𝑎 0 𝑎 0 ] (2.1)
sendo Mf o momento fletor, I o segundo momento de área, EL e GLR propriedades elásticas
do material (módulos de elasticidade e de resistência ao corte, respetivamente), e B a largura da secção transversal do provete. A tensão de corte é expressa por
𝜏 =3 2 𝑉 𝑏ℎ(1 − 𝑦2 𝑐2) (2.2)
sendo V o esforço transverso que atua em cada braço, h a altura do braço, e c a distância ao eixo neutro. Por sua vez, o teorema de Castigliano permite avaliar o deslocamento,
𝛿 = 𝑈 𝑃 = 8𝑃𝑎3 𝐸L𝐵ℎ3 + 12𝑃𝑎 5𝐵ℎ𝐺LR (2.3)
cuja flexibilidade (i.e., C P) é expressa da forma 𝐶 = 8𝑎 3 𝐸L𝐵ℎ3 + 12𝑎 5𝐵ℎ𝐺LT (2.4)
Deve ter-se presente que a teoria de vigas de Timoshenko não contempla a existência de uma concentração de tensões na frente de fenda, nem a triaxialidade das tensões que ocorre naquela singularidade. Por outro lado, é sabido que o tecido ósseo apresenta uma dispersão elevada das suas propriedades elásticas, o que se traduz num módulo de elasticidade longitudinal EL que varia de provete para provete. Tendo por
objetivo superar estas limitações, de Moura et al. (2008) propuseram que se determinasse o módulo de elasticidade efetivo Ef a partir das condições iniciais do ensaio (i.e., C0 e a0
na Equação 2.4). Por conseguinte, tornou-se possível exprimir o comprimento de fenda equivalente (aeq) a partir da flexibilidade corrente (C P), considerando E L Ef.
10 𝑎eq = 1 6𝛼𝐴 − 2𝛽 𝐴 (2.5) com 𝐴 = {(−108𝛾 + 12√3 (4𝛽3+ 27𝛼𝛾2 𝛼 )) 𝛼2} 1 3 (2.6)
cujos coeficientes , e se exprimem através das expressões,
𝛼 = 8
𝐵ℎ3𝐸
f; 𝛽 =
12
5𝐵ℎ𝐺LT; 𝛾 = −𝐶
Deve ter-se presente de que o parâmetro aeq contabiliza a zona de processo de fratura
(ZPF na Fig. 2.4), tal que
𝑎eq = 𝑎 + ∆ + ∆𝑎𝑍𝑃𝐹 (2.7)
Figura 2.4 - Representação esquemática da ZPF e do conceito de comprimento de fenda equivalente.
ZPF
P
11 Com este procedimento o comprimento de fenda equivalente avaliado a partir da flexibilidade corrente (Equação 2.4) dispensa a medição do comprimento de fenda (a), dado que se obtém uma quantidade equivalente (aeq), diretamente a partir da resposta
global da estrutura (i.e., C P).
Assim, a energia de fratura em modo I pode ser determinada a partir da equação de Irwin- Kies,
𝐺I =𝑃2 2𝑏
𝑑𝐶
𝑑𝑎 (2.8)
Combinando as Equações (2.4) e (2.8), obtém-se
𝐺𝐼 = 6𝑃2 𝐵2ℎ( 2𝑎eq2 𝐸fℎ2 + 1 5𝐺LT) (2.9)
Deve ter-se presente de que esta formulação é válida para provetes não entalhados (i.e., B
b na Fig. 2.3). Caso se opte por introduzir um entalhe, circunstância que se justifica no contexto da criação de uma concentração de tensões destinada a encaminhar o dano em processo de propagação (a meia altura do provete), a Equação (2.9) assume a forma,
𝐺I= 6𝑃2 𝐵𝑏ℎ( 2𝑎eq2 𝐸fℎ2 + 1 5𝐺LT) (2.10)
Desta forma, tornar-se possível estimar a curva de Resistência do tecido ósseo. Numa versão mais recente do CBBM, os mesmos autores optaram por exprimir as expressões (2.9) e (2.10) em função do módulo de elasticidade obtido numericamente (EL em vez de Ef), por forma a fazer coincidir a flexibilidade numérica com a
experimental, para o comprimento de fenda inicial. Este procedimento corresponde precisamente ao que foi adotado nesta Dissertação.
12
- Lei de Paris
O Fatigue Crack Growth (FGC) é um método que se baseia na Mecânica da Fratura (FM) (Pirondi et al, 2003), que procura estabelecer uma relação entre um parâmetro de fratura dado (por norma a taxa de libertação de energia G) e a taxa de crescimento de fenda induzida por fadiga. Assim, este método estabelece uma relação entre a taxa de crescimento de fenda por ciclo (da/dN) e a alteração do parâmetro de dano com o tempo. A função obtida possui uma forma sigmoidal quando usadas escalas logarítmicas, identificando-se três zonas distintas (Fig. 2.5). A primeira região (i.e., Região I) diz respeito ao período no qual o crescimento de fenda tende para um valor constante. A segunda região (i.e., Região II) corresponde ao período no qual o crescimento da fenda ocorre de forma constante (i.e., linear), segundo a conhecida lei de Paris 𝑑𝑎 𝑑𝑁= 𝐶1( ∆𝐺 𝐺c) 𝐶2 (2.11)
onde Δ𝐺 = (1 − 𝑅2)𝐺I máx e R é a razão de carga (i.e, R Pmin Pmáx). Os coeficientes
1
C e C2 são constantes do material que se determinam experimentalmente. O coeficiente
2
C representa a sensibilidade da fenda ao seu próprio crescimento (Fernandez et al., 2011). A terceira região (i.e., Região III) inicia-se quando se verifica uma propagação instável da fenda, evoluindo de uma forma rápida e descontrolada.
13
3.
Ensaios de fadiga
3.1 - Introdução
Neste capítulo é apresentada uma descrição detalhada do trabalho experimental realizado nesta Dissertação. Primeiramente, é descrito o processo de fabrico dos provetes a partir de fémures de bovino. De seguida, detalham-se as fases de adaptação do equipamento de ensaios de fadiga utilizado neste estudo. Por fim, é feita a validação do método proposto.
3.2 - Preparação dos provetes
Tal como se referiu anteriormente, este trabalho foi realizado utilizando provetes de fémur de bovino, provenientes do Matadouro Municipal de Penafiel.
Primeiramente, foi necessário proceder ao corte dos fémures, de onde foram retiradas tiras longitudinais da região da diáfise, na face lateral (Figuras 3.1 e 3.2). Deve referir-se que os provetes usados nesta campanha experimental foram todos extraídos desta região dos fémures.
14
Figura 3.2 - Tira de osso.
Numa segunda fase, procedeu-se à preparação da amostra de tecido ósseo, que envolveu a remoção da medula óssea, bem como de tecidos musculares, para facilitar o processo de maquinagem dos provetes (Figura 3.3).
Figura 3.3 - Tira de osso após limpeza.
A fase posterior consistiu no desbaste das tiras de tecido ósseo, através de lixamento (Figura 3.4) e fresagem (Figura 3.5), de forma a obter placas planas com uma espessura aproximadamente igual a 3 mm.
15
Figura 3.4 - Placa de osso após processo de lixamento.
Figura 3.5 - Processo de desbaste do tecido ósseo.
Concluídas as fases de maquinagem, e cortados os topos onde se colocaram as amarras para fixação das tiras de osso (Figura 3.5), obteve-se uma placa de configuração aproximadamente paralelepipédica (Figura 3.6).
16
Figura 3.6 - Placa de osso após processo de maquinagem.
Posteriormente, procedeu-se ao corte das placas de forma a obter os provetes com as dimensões desejadas (Figura 3.7). Para isso, foi usada uma serra linear de corte de precisão (BUEHLER® ISOMET 5000) usando discos de corte com 1mm de espessura.
Todo este processo foi realizado utilizando um fluido lubrificante (composto por uma solução de água e óleo de lubrificação).
17 Uma vez concluído o processo de corte, obtiveram-se os provetes com a forma e dimensões desejadas (Figuras 3.8 e 1.3; com L60; 2h6; B3(mm)).
Figura 3.8 - Provetes após processo de corte.
Concluída esta operação, procedeu-se à abertura de uma ranhura em V em ambas as superfícies laterais (plano LT), a meia altura do provete (Figura 3.9), por forma a assegurar que a propagação da fenda se fizesse em puro modo I. Para a realização desta operação foi utilizado um disco de corte em aço super-rápido, de 25 mm de diâmetro, com dentes inclinados a 60º, montado na árvore de uma fresadora convencional. Esta operação, como se referirá adiante, não foi executada na totalidade dos provetes.
18
Posteriormente, procedeu-se à abertura do entalhe longitudinal parcial do provete (Figura 3.10), com auxílio de uma serra linear de precisão, da marca BUEHLER®, modelo
ISOMET 5000, com lubrificação (solução de água e óleo), com discos de corte da marca BUEHLER® e referência 111190, com 1 mm de espessura. Esta operação foi executada numa extensão de aproximadamente 20 mm, medidos a partir de uma das extremidades do provete, para posterior introdução de fenda inicial.
Figura 3.10 - Operação de abertura do entalhe longitudinal parcial no provete.
Durante as operações de maquinagem e corte acima descritas, teve-se o cuidado de manter o tecido ósseo permanentemente hidratado, irrigando-o com soro fisiológico. Como forma de acondicionamento para períodos mais longos, o osso foi envolvido em gaze, embebida em soro fisiológico, colocado num saco plástico e posteriormente congelado, à temperatura de -20°C.
De seguida, procedeu-se à introdução de uma pré fenda nos provetes (totalizando o comprimento a0 indicado na Figura 2.3), recorrendo a uma lâmina de X-ato. Para isso,
foi utilizada uma máquina de ensaios (MicroTester INSTRON® 5848), na qual foi fixada a lâmina na amarra superior, e o provete na base da mesma, na posição vertical, como se observa na Figura 3.11. Na introdução da fenda fez-se avançar o atuador no sentido
19 descendente, a uma velocidade de 100 mm/min, até que este produzisse uma fenda de 0,25 mm (Figura 3.11).
Figura 3.11 - Operação de introdução de pré fenda numa máquina de ensaios mecânicos.
Por fim, de forma a possibilitar a fixação do provete na máquina de ensaios de fadiga, bem como a aplicação da solicitação a aplicar, foram realizados dois furos de 1 mm de diâmetro nominal, distanciados dos bordos, de uma distância aproximadamente igual a 1,5 mm (Figura 3.12).
Figura 3.12 - Posicionamento dos furos do provete.
A Tabela 3.1 resume as dimensões da totalidade dos provetes que se ensaiaram (Resolução do instrumento de medição: 0,01 mm).
1,5 1,5
60
20
Tabela 3.1 - Dimensões dos provetes DCB (ver Fig. 2.3)
Provete 2h B b a0 L 1 6,00 3,24 - 23,05 58,30 2 6,10 3,40 - 20,08 64,90 3 6,10 3,40 - 22,95 45,40 4 6,00 3,90 - 22,70 56,10 5 6,00 2,80 - 24,60 54,40 6 - - - - - 7 6,30 3,30 - 24,60 66,80 8 6,10 2,90 - 22,50 66,50 9 6,10 2,50 - 22,70 68,60 10 6,20 2,90 - 21,60 65,20 11 6,10 3,00 - 22,60 65,45 12 - - - - - 13 6,10 2,90 - 22,80 62,40 14 6,24 2,96 - 23,50 66,32 15 6,12 3,00 2,00 21,70 65,30 16 6,20 3,10 2,40 20,80 67,20 17 6,10 2,90 2,00 21,20 65,50 18 6,10 3,00 2,60 22,20 66,40 19 6,20 3,20 2,65 22,00 61,85 20 6,20 2,85 1,80 23,00 62,19 21 6,20 2,60 1,70 18,60 65,90 22 6,30 3,20 2,00 22,10 66,09 23 6,20 2,70 1,70 20,80 63,28 24 6,10 3,10 2,60 21,90 66,48 25 6,10 3,20 2,40 22,60 61,81 26 6,14 3,00 2,40 22,90 65,46 Média 6,14 3,04 2,19 22,23 63,24 CoV (%) 1 9 16 6
3.3 - Adaptação da máquina de ensaios
Para a realização dos ensaios de fadiga tornou-se necessário adaptar um equipamento existente no Laboratório de Ensaios Mecânicos da UTAD (Figura 3.13), visando a realização de ensaios DCB, em provetes de tecido ósseo permanentemente hidratado. Esta necessidade decorreu do facto de a máquina utilizada ter sido concebida com o propósito de realizar ensaios de fadiga, em flexão plana, com provetes simplesmente apoiados, e sem hidratação. Para isso, tornou-se necessário proceder ao
21 fabrico de alguns componentes mecânicos, procedendo-se à adaptação de outros, já existentes.
Figura 3.13 - Equipamento utilizado nos ensaios de fadiga.
A adaptação consistiu em conceber um pequeno depósito capaz de aparar o soro fisiológico durante o ensaio de fadiga, e de o dirigir para outro depósito, de onde pudesse ser posteriormente reintroduzido no circuito de hidratação do provete. Este depósito foi fabricado em chapa de aço inoxidável, quinada e posteriormente soldada (Figura 3.14). Outra alteração efetuada consistiu em conceber um conjunto de acessórios destinados à fixação do provete, na posição indicada na Figura 3.15, através de cavilhas metálicas, com 1 mm de diâmetro nominal. Estes acessórios foram concebidos de forma a assegurar a aplicação de carga compatível com o ensaio DCB. Estas adaptações foram feitas em complementaridade com as células de carga existentes no equipamento (marca TEDEA HUNTLEIGH modelo 102, com 50 N de capacidade). Os desenhos de construção dos acessórios (base, bloco, placa, pinos roscados, fixadores das cavilhas e caixa)
encontram-22
se no Anexo II. Para fixação dos provetes usaram-se brocas de aço rápido, DIN 338, com 1 mm de diâmetro. A Figura 3.15 ilustra a montagem que se efetuou, com o provete.
Figura 3.14 - Acessórios produzidos.
Figura 3.15 - Montagem dos acessórios na máquina.
Por forma a assegurar a hidratação do provete durante o ensaio, desenvolveu-se um circuito de hidratação, constituído por duas garrafas de soro fisiológico, o respetivo suporte, mangueiras equipadas com conta gotas (Figura 3.16) e um depósito de recolha
23 do soro. As Figura 3.17 e 3.18 permitem mostrar um detalhe de um provete em fase de ensaios, com hidratação, e a montagem dos acessórios ilustrados na Figura 3.14. A retenção de partículas suspensas no soro fisiológico implicou a limpeza do mesmo, usando filtros de café.
Figura 3.16 - Sistema de hidratação.
24
Figura 3.18 - Configuração final do equipamento utilizado nos ensaios de fadiga.
No sentido de garantir o correto posicionamento do provete ao longo do ensaio, de forma a evitar a interferência deste com os blocos de apoio, desenvolveu-se um dispositivo, dotado de um fio inextensível ligado a uma das extremidades do provete (também visível na Figura 3.18), segundo o esquema ilustrado na Figura 3.19. Este sistema permitiu alinhar o provete horizontalmente ao longo do ensaio.
Figura 3.19 - Esquema de fixação do provete ao longo do ensaio.
Uma das limitações da solução utilizada prendia-se com o registo e tratamento de dados, nomeadamente a força e o número de ciclos. A solução existente é composta por um sistema de aquisição Spider 8, de 600 Hz, com 8 canais (Figura 3.20), cuja ligação do cabo da célula de carga se indica em esquema representado no Anexo I. Na aquisição de
Cavilha Apoio da cavilha Provete Roldana Fio Massa P Casquilho L R g
25 dados a partir daquela unidade usou-se o software CatmanEasy®. Com o objetivo de
reduzir o espaço em disco durante o registo de dados, optou-se por programar aquele software por forma a permitir a aplicação de 100 ciclos de carga consecutivos, findos os quais o software registou os resultados referentes a cerca de 3000 valores de carga. O tratamento posterior desta informação, num código programado em linguagem Fortran (extrato no Anexo III), permitiu determinar os valores máximo, mínimo e médio da força aplicada ao provete, em função do número de ciclos (N), bem como o deslocamento aplicado (através de um extensómetro de navalhas INSTRON®; Figura 3.21).
Figura 3.20 - Sistema de aquisição de dados (Spider® 8; 600 Hz).
26
3.4 - Avaliação do desempenho da solução proposta
Numa fase preparatória dos ensaios de fadiga, realizou-se um conjunto de medições da força inicial aplicada ao provete, mediante regulação do deslocamento imposto. A intenção foi ganhar sensibilidade no processo de ajuste dos parâmetros cinemáticos do equipamento. Assim, perante um provete com uma dada rigidez elástica, foi possível avaliar o valor do deslocamento a aplicar no ensaio, por forma a definir uma tensão inicial pretendida, que correspondesse à definição de uma percentagem da tensão de cedência do material.
Tal como se referiu atrás, o equipamento utilizado nos ensaios de fadiga só permite realizar ensaios em controlo de deslocamento. Por conseguinte, a força a aplicar ao provete sofre uma redução ao longo do ensaio de fadiga, devido à iniciação e propagação do dano. Este dano ocorreu na frente de fenda, podendo estender-se acima ou abaixo da linha média do provete (em altura), caso o provete não estivesse entalhado (i.e., ranhura em V).
Também se pôde observar o desenvolvimento do dano na vizinhança dos furos do provete (indentação), em resultado da aplicação de múltiplos ciclos de carga – aspeto que foi minimizado mediante a escolha criteriosa de uma medida de cavilhas metálicas, e técnica de furação adequadas (1 mm de diâmetro). Outra observação revelante no que concerne à redução do dano junto dos apoios do provete, teve que ver com a introdução de ranhuras longitudinais em forma de V. Este facto resultou numa óbvia redução da intensidade da força necessária à propagação da fenda por fadiga, decorrente da redução da secção resistente do provete.
Também se optou por aplicar um adesivo (Sikadur® - 30 Normal), em pequenas extensões, sobre a região dos apoios do provete, seguida da furação do mesmo, com o propósito de produzir o reforço do provete junto dos apoios. Este processo decorreu com o provete parcialmente desidratado, para permitir a cura do adesivo. Contudo, a rehidratação do provete, revelou que esta técnica não produziu o efeito desejável, pois ocorreu a degradação deste em contacto com o soro fisiológico. Por conseguinte, resolveu-se abandonar esta solução, tendo-se optado pela realização de furos sem reforço.
27
3.5 - Determinação do módulo de elasticidade longitudinal
Na Secção 2.5 referiu-se que a versão mais recente do CBBM exprime a curva de
Resistência (curva-R; Equações (2.9) e (2.10)) em função do valor do módulo de
elasticidade (em lugar de Ef) que permite reproduzir numericamente a flexibilidade obtida
no ensaio DCB. Este procedimento permite levar em linha de conta com o efeito de rotação que ocorre na frente de fenda (encastramento ineficaz), a triaxialidade do campo de tensões e dispersão de propriedades elásticas intrínsecas ao material. O método adotado consiste então em desenvolver um modelo de elementos finitos do referido ensaio (Figura 3.22), a partir do qual se obtém, por meio de um método inverso, a flexibilidade inicial registada experimentalmente no ensaio de fadiga (para os primeiros ciclos de carga). Neste procedimento usaram-se as propriedades elásticas de referência que se apresentaram na Tabela 2.1 para o plano LT do tecido ósseo cortical de bovino jovem. A Figura 3.23 ilustra um exemplo do acordo numérico-experimental obtido no processo de identificação do módulo de elasticidade longitudinal de um provete (nº 22 na Tabela 3.2).
28
Figura 3.23 - Determinação do módulo de elasticidade longitudinal por meio de um método inverso.
A dispersão obtida no valor de EL na Tabela 3.2 é anormalmente elevada, mesmo
para um material biológico como o tecido ósseo cortical (superior a 20%). Este facto poderá estar associado a problemas associados ao fabrico da fenda inicial nos provetes.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 C ar g a, P (N) Deslocamento, (mm) Experimental 12152
29
Tabela 3.2 - Resumo dos valores obtidos para o módulo de elasticidade longitudinal
Provete EL (MPa) ref P Pi (%) 1 19706 90 2 13069 90 3 23774 90 4 26298 90 5 22188 90 6 - 90 7 25331 70 8 20272 80 9 20511 80 10 18025 85 11 21596 85 12 - 90 13 22094 90 14 19423 90 15(*) 15959 90 16(*) 10306 90 17(*) 11294 90 18(*) 15483 90 19(*) 12868 90 20(*) 12815 90 21(*) 8367 90 22(*) 12152 90 23(*) 11579 90 24(*) 15602 90 25(*) 15493 90 26(*) 15896 90 Média 17087 CoV (%) 29 (*) : Provetes entalhados.
31
4.
Análise dos resultados experimentais
4.1 - Introdução
Neste Capítulo serão apresentados e discutidos os resultados obtidos nos ensaios de fadiga. Inicialmente será analisado o tipo de fratura verificada nos provetes após o ensaio. De seguida, serão apresentadas e analisadas as curvas S-N, bem como as que exprimem a evolução da taxa de libertação de energia de fratura em modo I com o número de ciclos. Na fase final, analisar-se-ão os resultados dos ensaios de fadiga, de onde resultarão os coeficientes da lei de Paris do tecido ósseo ensaiado.
4.2 - Tipo de fratura
Durante os ensaios de fadiga foi possível observar dois tipos de propagação de fenda. Assim, nos provetes que não foram entalhados, verificou-se o desvio da fenda em relação ao plano médio (Figura 4.1), fazendo com que o dano propagasse em modo misto (I+II), e a extensão da fenda fosse muito reduzida. Nos restantes, com entalhe longitudinal em V, a propagação da fenda sofreu um aumento muito significativo (Figura 4.2), depois de ter propagado em modo I.
32
Figura 4.2 - Propagação de fenda em provete com entalhe.
4.3 - Evolução da força máxima com o número de ciclos
Nas Figuras 4.3 e 4.4 apresentam a evolução da força máxima normalizada pela espessura do provete (valor de B na Tabela 3.1) com o número de ciclos, obtidas nos ensaios de fadiga realizados em provetes sem entalhe e com entalhe em V, respetivamente, empregando uma razão de carga R0,1. A Figura 4.5 ilustra um detalhe da Figura 4.3, permitindo mostrar mais claramente a evolução daquela força no provete para diferentes valores de força inicialmente imposta, i.e., uma percentagem do valor da tensão de cedência do material usada como referência (i.e., Pref PL,d). Este facto, tal como se ilustra na Tabela 3.2, resulta de se ter imposto uma tensão inicial diferente para uma parte dos provetes ensaiados (provetes 7 a 11), que corresponde ao rácio de cargas diferenciado que se indica. Deve referir-se que a carga de referência usada corresponde ao valor médio da carga correspondente ao limite de elasticidade do material (Pref22N), para um conjunto de provetes DCB obtidos por Pereira F. (2015), em ensaios monotónicos.
A partir da análise destes diagramas (Figuras 4.3 a 4.5) é possível visualizar a evolução da tensão instalada no provete em função do número de ciclos N, exprimindo a vida dos provetes à fadiga. Assim, apesar de o número de provetes ser reduzido, a Figura 4.5 permite concluir que a vida à fadiga tende a aumentar com a redução da percentagem de carga (excluindo o provete 11, com Pi Pref 85%), tal como se esperava que sucedesse.
33
Figura 4.3 – Evolução da força máxima normalizada pela espessura do provete com o número de ciclos dos provetes não entalhados.
Figura 4.4 - Evolução da força máxima normalizada pela espessura do provete com o número de ciclos dos provetes com entalhes em V.
0 5 10 15 20 25 30 35 0 100000 200000 300000 400000 500000 600000 Fo rça , P (N) Número de ciclos, N 14 13 11 10 9 8 7 5 4 3 2 1 0 5 10 15 20 25 0 200000 400000 600000 800000 1000000 Fo rça , P (N) Número de ciclos, N 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
34
Figura 4.5 - Detalhe da evolução da força máxima normalizada pela espessura do provete com o número de ciclos dos provetes sem entalhe (Caso particular da Figura 4.3).
4.4 - Resultados dos ensaios de fadiga
Para o tratamento dos resultados dos ensaios de fadiga, recorreu-se ao procedimento detalhado na Secção 2.6, de modo a obter, para cada provete, a curva dAe/dN vs ΔGI/GIc e os respetivos coeficientes da Lei de Paris. O valor da taxa crítica de
libertação de energia de fratura em modo I (i.e.,GIc) foi obtido por Pereira F (2015), com
base no CBBM (Secção 2.5), tendo-se usado o valor médio de 1.77Nmm-1. A título de exemplo, exibe-se na Figura 4.6 uma curva típica da evolução da taxa de libertação de energia em modo I com o número de ciclos (e.g., provete 21).
Como se referiu na Secção 2.6, a curva dAe/dN vs ΔGI/GIc estabelece uma relação
entre a taxa de crescimento do comprimento de fenda por cada ciclo de carga, com a variação da taxa de libertação de energia de fratura em modo I, reportada ao valor crítico dessa energia. Assim, para cada um dos provetes foi traçada uma curva a partir dos resultados obtidos pelo CBBM, empregando o valor de GIc acima indicado. Os
coeficientes C1 e C2 da Lei de Paris (Equação 3.11) resultaram do processo de ajuste de
leis de potência sobre os resultados experimentais expressos no diagrama dAe/dN vs
0 5 10 15 20 25 0 100000 200000 300000 400000 500000 600000 Fo rça , P (N) Número de ciclos, N 13 (90%) 11 (85%) 10 (85%) 9 (80%) 8 (80%) 7 (70%)
35 ΔGI/GIc, da forma 𝑦(𝑥) = 𝐶1𝑥𝐶2. A Figura 4.7 ilustra um exemplo desse processo de
ajuste, para o provete 21.
Figura 4.6 - Evolução da taxa de libertação de energia de fratura em modo I em função de N (provete 21).
Figura 4.7 - Curva dAe/dN vs ΔGI/GIc obtida para com o provete 21.
As Figuras 4.8 e 4.9 ilustram, respetivamente, o conjunto de resultados obtidos para os provetes não entalhados e provetes entalhados. Estas curvas permitem ilustrar a
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 100000 200000 300000 400000 500000 600000 T ax a d e lib er taçã o d e en er g ia, G I (N/m m ) Número de ciclos, N y = 0.000584x2.147563 R² = 0.8011 0.000001 0.00001 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 0.1 1 d Ae /d N ΔGI/GIc
36
evolução das grandezas indicadas para a totalidade dos ensaios, assim como a dispersão de resultados obtidos desses mesmos ensaios. Não obstante esta constatação, o andamento das curvas dAe/dN vs ΔGI/GIc pode considerar-se coerente. A Tabela 4.1 resume os
coeficientes da lei de Paris que se obtiveram neste estudo para o tecido cortical de bovino.
Figura 4.8 - Curvas dAe/dN vs ΔGI/GIc obtidas com provetes não entalhados (conforme Tabela 3.2).
Figura 4.9 - Curvas dAe/dN vs ΔGI/GIc obtidas com provetes entalhados (conforme Tabela 3.2).
0.000001 0.00001 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 0.01 0.1 1 d Ae /d N ΔGI/GIc 14 13 11 10 9 8 7 5 4 3 2 1 Lei de Paris dA/dN=0.00615604695426 dΔGI/dGIc1.25915721053726 0.000001 0.00001 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 0.01 0.1 1 d Ae /d N ΔGI/GIc 26 25 24 23 22 21 20 19 17 16 15 Lei de Paris dA/dN=0.13423499760390 dΔGI/dGIc2.53854778045963
37
Tabela 4.1 - Resumo dos coeficientes da lei de Paris para fratura em modo I
Provete C1 C2 R2 N 1 0,022301 3,818955 0,371 109599 2(**) 2,01E-08 -10,576100 0,412 22293 3(**) 6,59E-07 -6,237900 0,397 8805 4(**) 2,8E-09 -11,695800 0,609 4190 5(**) 0,0 -28,743800 0,123 17568 6(**) - - - - 7(**) 3,26E-05 -0,539210 0,513 507672 8 0,000168 0,441513 0,031 274327 9 0,013065 2,584958 0,507 494964 10 9,54E-05 0,099195 0,004 111611 11 0,001125 0,567264 0,134 48841 12(**) - - - - 13 0,000183 0,043058 0,001 228218 14(**) 2,43E-06 -3,821400 0,742 17699 Média(***) 0.0061560 1.2591572 15(*) 0,469888 4,463048 0,186 340738 16(*) 0,000298 0,000298 0,452 372177 17(*) 0,009636 3,030718 0,622 590219 18(*) 0,063246 3,082822 0,696 556027 19(*)(**) 6,42E-05 2,248971 0,331 14344 20(*) 0,004339 2,553311 0,181 864599 21(*) 0,000584 2,147563 0,801 619043 22(*) 0,015152 3,009291 0,604 470659 23(*) 0,778133 5,506966 0,505 328422 24(*)(**) 0,000157 -1,702760 0,648 15365 25(*) 0,000925 1,323321 0,338 80098 26(*) 0,000150 0,268140 0,016 251244 Média(***) 0.1342349 2.53854778 (*)
39
5.
Conclusões
Realizou-se um estudo experimental de caracterização à fadiga em modo I do tecido ósseo cortical de bovino adulto. Para o efeito, escolheu-se o ensaio Double Cantilever
Beam (DCB), devido à sua simplicidade, tendo-se realizado o carregamento com controlo
de deslocamento. Por se conhecer a influência que o teor de água exerce na tenacidade à fratura em modo I, sob condições de carregamento monotónico, optou-se por manter o provete em condições de hidratação estáveis ao longo do processo de carregamento, em soro fisiológico. Este requisito implicou a adaptação mecânica da máquina de ensaios existente, bem como o desenvolvimento de um código de programação destinado ao tratamento dos resultados experimentais, em tempo real.
Por se ter constatado que a fenda se desviava do plano médio de fratura, numa quantidade apreciável de provetes, optou-se por entalhar os provetes longitudinalmente. Tendo por base a informação experimental recolhida nos ensaios mecânicos, determinaram-se os parâmetros da lei de Paris para o tecido ósseo de bovino. Com esta informação foi possível obter o andamento da taxa de crescimento do comprimento de fenda em função da taxa de libertação de energia de deformação máxima, normalizada pela taxa crítica de libertação de energia em modo I. Não obstante a dispersão de resultados registada nos ensaios realizados, concluiu-se que aquelas funções evidenciaram andamentos coerentes.
41
6.
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45
7.
Anexos
Anexo I - Ligação Spider
Canal 1 Cor Posição de ligação Azul 6 Verde 13 Preto 5 Castanho 12 Branco 8 Vermelho 1546
52
Anexo III - Código Fortran
C****************************************************************** *****
C
C --- C FUNDAMENTAL VARIABLES USED IN THIS PROGRAME: C --- C
C A0: Initial crack length (mm)
C AFREQ1: Motor frequency in Hz (read the ABB control centre) C SN1: Angular frequency of the pulley (rpm, saved to RPM file) C TIME_ACQ: Range of time for acquisition (s) (defined in
Spider)
C FREQ_ACQ: Frequency acquisition (Hz) (defined in Spider) C THRESHOLD: Percentage of the maximum load measured in the first C file
C N: Number of files to read
C B: Width of the specimen cross-section (mm)
C h: Height of the tested specimen, the expression that calculates C the module of elasticity is prepared for the full height (mm)
C dt: Displacement control, distance that the actuator takes from the C initial point (Pmin) to the final point (Pmax) C Rc: Stiffness of the Load Cells
C FREQ_ENG: Angular frequency of the shaft (rpm) C
C Simulation
C HOW TO OPERATE:
C i) Copy the content of the output file into "teste_file.txt" from C Spider
C ii) Replace the commas by points in the preceeding file
C iii)In the file 'Data.dat' introduce the variables:
C FREQ1,TIME_ACQ,FREQ_ACQ, and specimen dimensions C iv) Run the algorithm
C v) Extract the data from file 'PDELTA.dat' C C****************************************************************** ***** PROGRAM CYCLES_COUNTER IMPLICIT REAL*8(A-H,O-Z) INCLUDE 'VARS1.F' INCLUDE 'VARS2.F' INCLUDE 'ARRAYS.F' WRITE(*,*)"PROGRAM CYCLES_COUNTER" C*** Time 1 CALL DTIME1 C*** DATA ACQUISITION 1 CALL DATAIN
C**** CONVERSION OF ABB FREQUENCY INTO RPM OF THE PULLEY CALL NFREQ
C*** DATA ACQUISITION AND OUTPUT CALL COUNTER
