~ 1 ~ 1. O que é função
Em Matemática, se e são duas variáveis tais que para cada valor atribuído a existe, em correspondência, um único valor para , dizemos que é uma função de .
O conjunto de valores que podem ser atribuídos a é chamado domínio da função. A variável é chamada variável independente.
O valor de , correspondente a determinado valor atribuído a , é chamado imagem de pela função e é representado por . A variável é chamada variável dependente porque assume valores que dependem dos correspondentes valores de .
O conjunto formado pelos valores que assume, em correspondência aos valores de , é chamado conjunto imagem da função.
Esquematicamente, temos:
2. Funções definidas por fórmulas
Existe um interesse especial no estudo de funções em que pode ser calculado a partir de por meio de uma fórmula (ou regra, ou lei).
Exemplo 1
A lei de correspondência que associa cada número real ao número , sendo o dobro de , é uma função definida pela fórmula
ou Nessa função: para , temos . Dizemos que . a imagem de é . corresponde a . é imagem de .
O domínio e o conjunto imagem dessa função são iguais a .
Exemplo 2
A regra que associa a cada número natural o número , sendo o cubo de , é
ou
Nessa função temos:
para , temos . Dizemos que .
para , temos . Assim, .
é imagem de .
Trata-se de uma função cujo domínio é o conjunto dos naturais e a imagem é um subconjunto dos naturais.
Atividades
1. Na tabela seguinte é dado o preço pago por alguns clientes em função da quantidade de picanha adquirida em um açougue.
Quantidade (em kg) Preço (R$) 0,5 7,00 1,0 14,00 1,5 21,00 2,0 28,00 3,5 49,00
a) Quanto pagará um cliente que comprar 4,5 quilos de picanha?
R. R$ 63,00
b) Dispondo-se de R$ 350,00, qual é a quantidade máxima de picanha que pode ser adquirida?
R. 25 quilos
c) Qual é a lei que relaciona o preço ( ) em função da quantidade em quilos ( ) comprada?
R.
2. Um carro popular consome, na estrada, um litro de gasolina a cada 12 quilômetros rodados.
a) Faça uma tabela que forneça a distância percorrida pelo veículo ao se consumirem: e de gasolina.
Combustível consumido
(em litros) Distância percorrida (em km)
0,5 6 2 24 3 36 10 120 20 240 40 480
b) Qual é a fórmula que relaciona a distância percorrida ( ) em função do número de litros ( ) consumidos?
R.
3. Para prestar serviços domiciliares, um técnico em informática cobra R$ 50,00 a visita e um adicional de reais por hora de trabalho. Veja na tabela seguinte o preço total de serviço por número de horas trabalhadas.
Número de horas de
trabalho Preço total de serviço (R$)
2 94 3 116 5 160 8 226 a) Qual é o valor de ? R.
b) Como se exprime matematicamente o total pago ( ) por um serviço de horas de trabalho?
R.
4. Dois pedreiros são capazes de executar a reforma de uma sala comercial em 12 dias.
a) Faça uma tabela para representar o número de dias necessários para a realização dessa reforma, se o serviço for feito por 1, 4, 6, 8 ou 12 pedreiros. Admita que a produtividade de trabalho de cada pedreiro seja a mesma.
Número de
pedreiros ( ) Número de dias necessários para a realização da reforma ( )
1 24
4 6
6 4
8 3
12 2
b) Qual é a expressão matemática que relaciona o número de dias ( ) necessários para a execução da reforma em função do número de pedreiros ( )?
R.
5. Um avião é capaz de manter uma velocidade média de cruzeiro de aproximadamente .
a) Qual é a distância percorrida pelo avião em 15 minutos, em meia hora. 2 horas e 5 horas? Represente em uma tabela.
Tempo decorrido
(em horas) Distância percorrida (em km)
~ 3 ~
6. Considere um processo de divisão celular em que cada célula se subdivide em outras duas a cada hora. a) Partindo-se de uma única célula, iniciou-se uma experiência científica. Faça uma tabela para representar a quantidade de células presentes nessa cultura após 1, 2, 3, 4, 5 e 6 horas do início da experiência.
Tempo de experiência
(em horas) Quantidade de células
0 1 1 2 2 4 3 8 4 16 5 32 6 64
b) Qual é o tempo mínimo de horas (completas) necessárias para que haja mais de 1000 células na cultura?
R. 10 horas
c) Qual é a lei que relaciona o número de células ( ) encontrado na cultura após horas do início da experiência.
R.
7. Verifique, em cada caso, se o esquema define ou não uma função de em :
a) R. Sim b) R. Sim c) R. Não d) R. Não 8. Sendo e , verifique em cada caso se a lei dada define uma função de em : a) R. Sim b) R. Sim c) R. Não d) R. Sim 9. Sejam os conjuntos e | . Para cada esquema seguinte, determine uma possível lei da função que relaciona elementos de a elementos de :
a)
b)
R.
c)
R.
10. Considere uma função com domínio real dada por . Calcule: a) b) c) d) ( ) e) (√ ) √
11. Seja uma função com domínio nos números reais definida pela lei . Calcule: a)
b) O(s) valor(es de , tal que .
R. 4 ou 5
12. Sendo uma função com domínio nos números naturais dada pela lei , calcule os valores de: a) R. -3 b) R. 3 c) R. 5 d) R. Não existe e) R.
13. Em relação à questão anterior, determine o elemento do domínio cuja imagem vale:
a) R. 6 b) R. Não existe c) R. 2 d) R. Não existe e) R.
14. Considere a função , definida em . Determine:
a)
R. 4
b)
R. 6
c) o elemento do domínio cuja imagem é igual a .
R.
15. Considerando e funções com domínio nos números reais dadas por
e , faça o que se pede:
a) Qual é o valor de
R.
b) Determine o valor de tal que .
R.
c) Resolva a equação: .
~ 5 ~
16. Sabe-se que, nos pulmões, o ar atinge a temperatura do corpo e que, ao ser exalado, tem a temperatura inferior à do corpo, já que é resfriado nas paredes do nariz. Através de medições realizadas em um laboratório foi obtida a função
Com , em que e representam, respectivamente, a temperatura do ar exalado e a do ambiente.
Calcule:
a) a temperatura ambiente quando ;
R.
b) o maior valor que pode ser obtido para
R.
17. O tempo (em minutos) de desembarque de passageiros de um navio usado para cruzeiros marítimos é dado pela lei:
sendo o número de passageiros.
Classifique como verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das afirmações seguintes:
a) Em 2 horas desembarcam 750 passageiros.
R. Verdadeira
b) O tempo necessário para o desembarque de 600 passageiros é o dobro do tempo gasto por 300 passageiros.
R. Falsa
c) Um acréscimo de 90 passageiros aumenta em mais de 5 minutos o tempo de desembarque.
R. Verdadeira
18. Seja uma função que tem a propriedade
para todo . Sabendo que , calcule: a) R. b) R. c) R.
19. Seja uma função com domínio nos números reais que tem, para todo real, a propriedade:
sendo uma constante real não nula. Se , obtenha:
a) O valor de ;
R. 3
b) Os valores de e , supondo que .
R.
20. O lucro (em reais) de um estabelecimento comercial pode ser estimado pela lei
Sendo o número de unidades vendidas e uma constante real. Sabendo que o lucro se anula quando são vendidas 15 peças, determine:
a) o valor de ;
R.
b) o lucro obtido na venda de 20 peças.
R. R$ 200,00
21. A lei representa o número de boxes vagos (indicado por ) existentes em uma galeria comercial após meses de sua inauguração; e são constantes reais. Sabe-se que um mês após a inauguração apenas 4 boxes haviam sido ocupados e que 5 meses após a inauguração todos os boxes estavam ocupados. Qual é o número de boxes que estava em funcionamento três meses após a inauguração da galeria, sabendo-se que sua capacidade é de 100 boxes?
R. 36
22. Seja uma função com domínio nos números reais definida pela lei , sendo e constantes reais. Sabendo que , e , determine:
a) os valores de e ;
R.
b)
23. Cíntia, Paulo e Paula leram a seguinte informação numa revista:
(
)
a) Cíntia, que pesa 54 quilos, fez rapidamente as contas com e constatou que, segundo a fórmula, estava 3 quilos abaixo do seu peso ideal. Calcule a altura de Cíntia.
R. 164 cm = 1,64 m
b) Paulo e Paula têm a mesma altura e ficaram felizes em saber que estavam ambos exatamente com seu peso ideal, segundo a informação da revista. Sabendo que Paulo pesa 2 quilos a mais do que Paula, determine o peso de cada um deles.
R. Paulo 56 kg ; Paula 54 kg 3. Domínio e contradomínio
Normalmente, para que uma função esteja bem caracterizada, é necessário que se conheça a lei de correspondência que associa (variável independente) a (variável dependente), além do domínio de .
Muitas vezes se faz referência a uma função dizendo apenas qual é a lei de correspondência. Quando não é dado explicitamente o domínio de , deve-se subentender que é formado por todos os número reais que podem ser colocados no lugar de na lei de correspondência , de modo que, efetuando os cálculos, resulte um real.
Vamos observar os exemplos:
O domínio da função definida pela lei é , pois, qualquer que seja o valor real atribuído a , o número também é real.
O domínio da função é , pois, para todo real diferente de , o número
é real.
O domínio da função √ é
| , pois √ só é real se .
A função √ só é definida para: e ; então seu domínio é
|
Quando uma função é dada por uma lei de correspondência , às vezes não é tão simples estabelecer o seu conjunto imagem. Nesses casos é comum apresentar apenas o conjunto , no qual poderão estar os valores de . Esse conjunto é chamado contradomínio de .
Exemplo 3
Determine o domínio da função
Observe que, para cada do domínio, é um número real que pode assumir valores não tão facilmente determinados. Quando isso ocorre, dizemos que é uma função de em . Esse é o contradomínio de e o contém o conjunto imagem de . Indicamos:
De modo geral, a notação
representa uma função com domínio e contradomínio .
Atividades
24. Em cada caso, é uma função de A em B. Obtenha o domínio ( ), o contradomínio ( ) e o conjunto imagem ( ) de . a) R. b) R. c) { } R. d) R.
