RESUMO-AULA-04-2016

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Sistemas de Equa¸c˜

oes Lineares

´ Algebra Linear BC1425 UFABC Junho/2016 ´

Algebra Linear BC1425 (UFABC) Sistemas de Equa¸c˜oes Lineares Junho/2016 1 / 1

Sistemas de Equa¸c˜

oes Lineares e

Matrizes

Quarta Aula

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Objetivos:

(◦) Estudar o sistema (S ) reduzindo sua matriz ampliada M `a forma escalonada, para concluir se o sistema (S ) ´e consistente.

(◦) Reduzir a matriz escalonada obtida à sua forma canônica, para obter a solu¸cão do sistema (S ).

Observa¸c˜

oes Importantes

1 Qualquer opera¸c˜ao elementar com as linhas de M equivale a uma opera¸c˜ao correspondente ao sistema (S ).

2 O sistema (S ) tem solu¸cão se, e somente se, a forma escalonada de M não contém uma linha na forma

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Exemplo 1

Resolva o sistema    x + y − 2z + 4t = 5 2x + 2y − 3z + t = 3 3x + 3y − 4z − 2t = 1

A matriz aumentada é equivalente à forma canônica:

M =   1 1 −2 4 | 5 2 2 −3 1 | 3 3 3 −4 −2 | 1  ∼   1 1 0 −10 | −9 0 0 1 −7 | −7 0 0 0 0 | 0  = N

O sistema ´e equivalente ao sistema escalonado:

x + y − 10t = −9

z − 7t = −7

As variáveis principais são x e z As variáveis livres são y e t. A solu¸cão geral é

(x , y , z, t) = (−9, 0, −7, 0) + α(−1, 1, 0, 0) + β(10, 0, 7, 1), onde α, β ∈ R

´

Observa¸c˜

oes:

1 A matriz dos coeficientes do sistema é equivalente à uma matriz B na forma canônica

A =   1 1 −2 4 2 2 −3 1 3 3 −4 −2  ∼   1 1 0 −10 0 0 1 −7 0 0 0 0  = B

2 Da matriz N podemos concluir imediatamente que a solu¸cão geral do sistema em termos das variáveis livres é

x = −9 − y + 10t

y = −7 + 7t

´

Exemplo 2

Resolva o sistema    x₁ + x₂ − 2x₃ + 3x₄ = 4 2x₁ + 3x₂ + 3x₃ − x₄ = 3 5x₁ + 7x₂ + 4x₃ + x₄ = 5

A matriz aumentada ´e equivalente ´a forma escalonada:

M =   1 1 −2 3 | 4 2 3 3 −1 | 3 5 7 4 1 | 5  ∼   1 1 −2 3 | 4 0 1 7 −7 | −5 0 0 0 0 | −5  = N

A terceira linha da matriz equivalente corresponde ´a uma equa¸c˜ao degenerada

0x1+ 0x2+ 0x3+ 0x4= −5

sem solu¸c˜ao. Assim W = ∅.

Exemplo 3

Resolva o sistema    x + 2y + z = 3 2x + 5y − z = −4 3x − 2y − z = 5 Observe que M =   1 2 1 | 3 2 5 −1 | −4 3 −2 −1 | 5   ∼   1 2 1 | 3 0 1 −3 | −10 0 0 −28 | −84   ∼   1 0 0 | 2 0 1 0 | −1 0 0 1 | 3  = N

O sistema ´e equivalente ao sistema escalonado    x = 2 y = −1 z = 3

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Observa¸c˜

oes

A segunda forma escalonada de M acima já indicava solu¸cão única, pois corresponde ao sistema triangular:

   x + 2y + z = 3 y − 3z = −10 − 28z = −84 Observe que A =   1 2 1 2 5 −1 3 −2 −1  ∼   1 0 0 0 1 0 0 0 1  = B ´

Posto uma Matriz

Sejam A, B ∈ M_m×q_{(R) duas matrizes tais que} A ∼ B,

onde a matriz B est´a na sua forma canˆonica reduzida por linha.

Defini¸c˜ao

p_A= posto de A = n´umero de linhas n˜ao-nulas da matriz B.

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Para o estudo do sistema (S ) podemos aplicar o seguinte:

Teorema

Seja (S ) um sistema de m equa¸c˜oes com n inc´ognitas pM = posto da matriz ampliada do sistema

p_A= posto da matriz dos coeficientes do sistema Ent˜ao

(S ) tem solu¸c˜ao ⇔ p_M = p_A Seja p_M = p_A= p

1 Se p = n ⇒ (S ) tem solu¸cão única. 2 Se p < n ⇒ (S ) tem infinitas solu¸cões.

Neste caso, temos (n − p) vari´aveis livres e dizemos que (n − p) ´e o grau de liberdade do sistema.

Sistemas homogˆ

enos

Lembremos que:

O sistema homogêneo sempre tem uma solu¸cão: (0, 0, · · · , 0) chamada solu¸cão trivial.

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Pergunta:

Se (S ) é um sistema homogêneo de m equa¸cões e n incógnitas, o que podemos dizer das solu¸cões de (S ) ?

Resposta: A matriz ampliada do sistema homogˆeneo toma a forma

M = ( A

|{z}

matriz dos coeficientes

| 0

|{z}

termos independentes )

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E claro que p_A= p_M. Seja p_A = p_m = p

Seja W o conjunto solu¸c˜ao do sistema (S ).

Caso 1: Se p = n ⇒ (S ) s´o tem solu¸c˜ao trivial.

Caso 2: Se p < n ⇒ (S ) tem infinitas solu¸c˜oes. temos (n − p) vari´aveis livres.

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Diremos que a dimensãode W é (n − p) e que sua baseB é formada por (n − p) elementos. Escrevemos

dim W = n − p.

Se não há variáveis livres diremos que a dimensãodo conjunto solu¸cão é zero, ou seja, dim W = 0.

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Exemplo 1

Determine o conjunto solu¸c˜ao W do sistema:

(S )    x + 2y − 3z + 2s − 4t = 0 2x + 4y − 5z + s − 6t = 0 5x + 10y − 13z + 4s − 16t = 0 Observe que   1 2 −3 2 −4 2 4 −5 1 −6 5 10 −13 4 −16  ∼   1 2 0 −7 2 0 0 1 −3 2 0 0 0 0 0  

Como pA = 2 < 5 = (n´umero de vari´aveis), o sistema tem infinitas

solu¸c˜oes.

Como temos 5 − 2 = 3 vari´aveis livres, ent˜ao dim W = 3

O sistema (S ) é equivalente ao sistema x + 2y − 7s + 2t = 0 z − 3s + 2t = 0 A solu¸cão geral é (−2α + 7β − 2γ, α, 3β − 2γ, β, γ), _{α, β, γ ∈ R} O conjunto solu¸cão é W = {α(−2, 1, 0, 0, 0)+β(7, 0, 3, 1, 0)+γ(−2, 0, −2, 0, 1) | α, β, γ ∈ R } Observemos que

I se α = 1, β = 0, γ = 0 temos que u1= (−2, 1, 0, 0, 0) ´e solu¸c˜ao

I se α = 0, β = 1, γ = 0 temos que u2= (7, 0, 3, 1, 0) ´e solu¸c˜ao

I se α = 0, β = 0, γ = 1 temos que u3= (−2, 0, −2, 0, 1) é solu¸cão então

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Logo, qualquer solu¸c˜ao de (S ) est´a na forma αu1+ βu2+ γu3.

Assim, se w ∈ W ent˜_{ao, existem α, β, γ ∈ R tais que} w = αu₁+ βu₂+ γu₃,

Nesse caso, dizemos que w ´e uma combina¸c˜ao linear de u1, u2 e u3, e

que os vetores

u1, u2, u3

formam umabasede W , ou que o conjunto

B = {u₁, u₂, u₃}

´e uma base de W .

´

Exemplo 2

Determine o conjunto solu¸c˜ao W do sistema:

(S )    x + y − z = 0 2x − 3y + z = 0 x − 4y + 2z = 0 Observe que   1 1 −1 2 −3 1 1 −4 2  ∼   1 0 −2 5 0 1 −3 5 0 0 0  

Como p_A= 2 < 3 = (número de variáveis), o sistema tem infinitas solu¸cões.

Como temos 3 − 2 = 1 vari´avel livre, ent˜ao dim W = 1

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O sistema (S ) é equivalente ao sistema x − 2 5z = 0 y − 3₅z = 0 O conjunto solu¸cão é W = α 2 5, 3 5, 1 | α ∈ R

Dizemos que o vetor solu¸c˜ao 2

5, 3 5, 1

forma uma base do conjunto W .

Exerc´ıcios

1 Resolva os sistemas abaixo, usando a matriz aumentada

(a)    x + 2y − 3z − 2v + 4w = 1 2x + 5y − 8z − v + 6w = 4 x + 4y − 7z + 5v + 2w = 8 (b)    x + 5y + 4z − 13w = 3 3x − y + 2z + 5w = 2 2x + 2y + 3z − 4w = 1

2 Determine os valores de a de modo que o sistema

   x + 2y − 3z = 4 3x − y + 5z = 2 4x + y + (a2− 14)z = a + 2

nas incógnitas x , y e z tenha (i ) solu¸cão única (ii ) nenhuma solu¸cão (iii ) uma infinidade de solu¸cões.

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Exerc´ıcios

1 Mesma quest˜ao anterior para os sistemas

(a)    x + y + z = 2 2x + 3y + 2z = 5 2x + 3y + (a2_{− 1)z} ₌ _{a + 1} (b)    x + y − z = 1 2x + 3y + az = 3 x + ay + 3z = 2

2 Determine o conjunto solu¸c˜ao do sistema

   2x − y = λx 2x − y + z = λy −2x + 2y + z = λz

no caso λ = 1 e λ = 2. Qual a base e qual a dimens˜ao dos

respectivos conjuntos solu¸c˜ao ?

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