Capítulo 10
Como registrado no Capítulo 8, na determinação das estimativas se inicia a convivência com as incertezas e seu impacto no
resultado do projeto.
Não há certeza de que as estimativas esperadas do projeto
coincidirão com as realizadas, pois não se dispõe de habilidade suficiente para antecipar todos os fatores que interferirão no futuro, seja de forma favorável ou desfavorável.
A aceitação do projeto com VPL positivo também é incerta porque é baseada no fluxo de caixa formado de estimativas
incertas e uma boa decisão de investimento nem sempre garante um bom resultado.
O objetivo deste capítulo é melhorar a compreensão da incerteza e como ela afeta a decisão de aceitação do projeto.
As técnicas de análise e medição do risco do projeto requerem certa habilidade prática e conhecimento de conceitos
estatísticos, começando pela compreensão do significado da incerteza e do risco do projeto.
Esses procedimentos de análise e medição fornecem
informações adicionais ao resultado de VPL ou TIR do projeto, uma percepção da característica intrínseca do projeto e o
impacto de prováveis eventos futuros na decisão de aceitar o projeto.
O desenvolvimento dos procedimentos de análise de risco deste capítulo é realizado com o projeto de lançamento de uma nova linha de refrigerantes.
A empresa produz e vende refrigerantes em garrafas plásticas com boa aceitação, porém, seu crescimento vem diminuindo devido à concorrência predadora de baixos preços.
Analisando o que faz a empresa líder desse mercado o diretor geral entendeu que a estratégia de sua empresa também é a diversificação de produtos incluindo novos segmentos como a nova linha de refrigerantes a base de frutas tropicais com adição de vitaminas e cálcio cujo teste de mercado se mostra
Exemplo 10.1. O gerente de novos projetos é o coordenador do projeto de lançamento da nova linha de refrigerantes a base de frutas tropicais.
Na reunião com os gerentes das áreas envolvidas na preparação do projeto, o diretor industrial enfatizou que o teste de mercado da nova linha de refrigerantes é promissor e seu lançamento é uma estratégia importante da empresa.
Depois adicionou que durante a preparação do novo projeto não se deve perder o foco da decisão a ser tomada: aceitar ou rejeitar o projeto de lançamento.
A seguir, o coordenador do projeto apresentou o cronograma de atividades incluindo a data de apresentação do projeto
preliminar.
Depois de diversas negociações, os gerentes que participam do projeto concordaram com as seguintes estimativas esperadas:
2.400.000 unidades vendidas por ano ao preço unitário de $0,78,
custo unitário de $0,23, custo fixo anual de $400.000, incluindo as despesas de publicidade,
custo inicial de $1.550.000 que será depreciado de forma linear e total durante o prazo de análise de 4 anos,
alíquota de imposto de renda de 30% e taxa requerida de 12% ao ano.
Na data zero do fluxo de caixa do projeto há um desembolso de $1.550.000 referente ao custo inicial para construção do prédio da nova planta, compra e instalação de equipamentos,
treinamento de pessoal etc.
O fluxo de caixa operacional FCO anual igual a $760.250
constante durante os quatro anos de prazo de análise do projeto foi obtido como mostrado no Capítulo 9.
Nos procedimentos de cálculo apresentados até o capítulo
anterior, a utilização da planilha de cálculo Excel recebeu pouco destaque no texto do livro, apenas quando necessário ou como auxiliar avançado de cálculo.
Agora é diferente, pois como a utilização do Excel é uma
ferramenta importante e de grande ajuda na análise de risco, a apresentação dos temas deste capítulo é realizada com ajuda de planilhas desenvolvidas em Excel pelo autor.
Continuando com o projeto do Exemplo 10.1, os retornos uniformes desse projeto permitem simplificar a construção e
avaliação do fluxo de caixa projeto como é realizada na planilha
O VPL positivo do projeto preliminar do Exemplo 10.1 é
animador, entretanto, como exercício, se o preço unitário for
$0,6312 (redução de um pouco mais de 19%) o VPL será igual a zero.
O preço unitário $0,6312 é um ponto de reversão da decisão de aceitação do projeto, pois se o preço unitário for menor do que $0,6312 o VPL será negativo, e se for maior o VPL será positivo.
O mesmo procedimento de análise se pode estender às outras estimativas, por exemplo, se o custo unitário for 0,3788
(aumento de quase 65%) o VPL também será nulo estabelecendo outro ponto de reversão da decisão.
De maneira ampla, o modelo do ponto de equilíbrio identifica o intervalo de uma estimativa dentro do qual ocorre o resultado esperado, por exemplo, a quantidade mínima de unidades que devem ser vendidas para o VPL ser positivo.
Iniciamos o tema determinando o ponto de equilíbrio da
quantidade de unidades para a qual a receita total de um período é igual ao custo total no mesmo período ou, de forma
equivalente, a quantidade de unidades que devem ser vendidas num determinado preço unitário para cobrir somente os custos.
O ponto de equilíbrio do lucro bruto se obtém com o
conhecimento prévio de que o lucro bruto operacional L num determinado período é igual à receita R menos a soma do custo variável CV mais o custo fixo CF do mesmo período.
Num determinado período de tempo, a receita total da venda de um produto ou serviço R é uma função linear da quantidade de unidades vendidas Q com preço unitário p que se mantém
constante para qualquer Q.
De forma semelhante, o custo variável de um produto ou serviço
CV é uma função linear da quantidade de unidades vendidas Q com custo variável unitário v dos materiais e da mão-de-obra direta que são constantes para qualquer Q.
O lucro bruto operacional L é obtido com:
Na condição L=0 se obtém a quantidade QPE de unidades vendidas referente ao ponto de equilíbrio do lucro bruto operacional, ou ponto de equilíbrio do lucro:
( )
L p v Q CF
Exemplo 10.2. Com as estimativas do lançamento da nova linha de refrigerantes a base de frutas tropicais do Exemplo 10.1,
determine a quantidade de unidades que devem ser vendidas por ano para cobrir somente o custo total anual.
Solução. O ponto de equilíbrio QPE é igual a 727.273, resultado obtido com:
QPE é a quantidade de unidades para a qual a receita total de um período é igual ao custo total no mesmo período ou, de forma equivalente, a quantidade de unidades que devem ser vendidas a um determinado preço unitário para cobrir apenas os custos.
A receita RPE do ponto de equilíbrio do lucro é
$400.000
727.272,73 $0,78 $0, 23
PE
O ponto de equilíbrio do lucro é um procedimento simples que determina a quantidade de unidades que devem ser vendidas anualmente para zerar o lucro contábil e, ao mesmo tempo, identifica o intervalo de quantidade para o qual o lucro é positivo.
No projeto do Exemplo 10.1 o lucro é positivo para vendas
superiores a 727.273 unidades e como a estimativa de venda do projeto é 2.400.000 unidades por ano, o lucro do projeto é
positivo.
O resultado oferecido pelo ponto de equilíbrio do lucro é tão bom quanto as estimativas utilizadas no cálculo e não dá
nenhuma orientação quanto à otimização do lucro.
O ponto de equilíbrio do lucro obtido na seção anterior considera apenas as vendas e os custos.
Agora, a determinação do ponto de equilíbrio contábil é
realizada considerando o lucro líquido operacional LLO gerado pelo projeto com custo inicial depreciado de forma linear e total com em parcelas anuais iguais a Dep como apresentado no
Capítulo 9:
Ao fazer LLO igual a zero se obtém a quantidade vendida QC do ponto de equilíbrio contábil:
PONTOS DE EQUILÍBRIO DO PROJETO
( ) (1 )
(1 )
LLO FCO Dep
LLO R CV CF T Dep T Dep
Exemplo 10.3. Continuando com o projeto do Exemplo 10.1 calcule o ponto de equilíbrio contábil.
Solução. A empresa deverá produzir e vender 1.431.819
unidades para alcançar o ponto de equilíbrio contábil QC obtido
com:
É a quantidade de unidades para a qual a receita total de um período é igual ao resultado da soma do custo total mais a depreciação no mesmo período ou, de forma equivalente, a quantidade de unidades que devem ser vendidas um
determinado preço unitário para cobrir os custos e a depreciação.
Ao mesmo tempo, a receita RC do ponto de equilíbrio contábil é $1.116.818,18=$0,781.431.818,18.
$400.000 $387.500
1.431.818,18 $0,78 $0, 23
C
Os resultados do Exemplo 10.3 mostram que se a empresa
vender 1.431.819 unidades por ano durante todos os períodos do prazo de análise de quatro anos do projeto, o lucro líquido
operacional anual LLO será igual a zero, o fluxo de caixa operacional anual FCO será igual à depreciação Dep e,
conseqüentemente, o VPL do projeto será negativo, pois o custo inicial do projeto será recuperado sem remuneração.
De maneira análoga, a TIR do projeto será igual a zero e a empresa recuperará o custo inicial sem remuneração, pois receberá apenas a depreciação.
O ponto de equilíbrio contábil é um procedimento simples que identifica o intervalo da quantidade dentro do qual o lucro
líquido operacional é positivo.
No Capítulo 9 foi mostrado que na avaliação do projeto se utiliza o fluxo de caixa operacional FCO gerado pelo projeto e não no lucro líquido LLO. Dessa maneira, considerando a receita, o custo variável e o custo fixo relacionados com a quantidade de unidades vendidas, o FCO anual do projeto se determina com:
Substituindo a expressão FCO constante na do VPL do projeto com prazo de análise n se tem:
O ponto de equilíbrio financeiro é a quantidade QF que zera o
VPL do projeto:
PONTO DE EQUILÍBRIO FINANCEIRO
( ) (1 )
FCO p v Q CF T Dep T
1
1 (1 )
( ) (1 ) (1 )
n t t n t tVPL I FCO k
VPL I p v Q CF T Dep T k
1
0 ( ) (1 ) (1 )
n tF
t
Dessa expressão se obtém a quantidade de unidades vendidas
QF que zera o VPL ou, a quantidade de unidades na qual o
custo inicial é recuperado e remunerado durante o prazo de
análise n com a taxa requerida k, sem agregar ou destruir valor para a empresa:
Como o FCO constante durante o prazo de análise do projeto é uma série uniforme postecipada se tem:
1 (1 ) 1
n t Exemplo 10.4. Continuando com o projeto do Exemplo 10.1. Calcule a quantidade de unidades que zera o VPL considerando o prazo de análise de quatro anos e a taxa requerida de 12% ao ano.
Solução. A quantidade de unidades QF que zera o VPL é igual a 1.750.814, resultado obtido de:
A receita RF no ponto de equilíbrio financeiro QF é
$1.365.634,89=$0,781.750.813,96. Considerando o prazo de análise de 4 anos e a taxa requerida de 12% ao ano, a receita RF é a quantidade de unidades para a qual o VPL do projeto é igual a zero.
4
$1.550.000 0,12
$387.500 0,30 1 (1 0,12)
$400.000 1 0,30
O ponto de equilíbrio financeiro identifica o intervalo de unidades dentro do qual o VPL é positivo.
No projeto do Exemplo 10.1 para a venda de unidades inferior a 1.750.814 o VPL do projeto é negativo e para a venda de
unidades superior o VPL é positivo e cria valor para a empresa. Se forem vendidas apenas 1.750.814 unidades por ano durante
todos os 4 anos do prazo de análise do projeto, o VPL será nulo e o projeto não criará nem destruirá valor.
Nesse caso, a TIR do projeto será igual à taxa requerida de 12% ao ano e a empresa recuperará o custo inicial
remunerado.
Analisando os resultados, três pontos de equilíbrio apresentados em conjunto, o ponto de equilíbrio do lucro mostra que para
unidades de vendas inferiores a 727.273 o lucro da operação é negativo e para unidades de vendas superiores a esse valor o lucro é positivo.
Aumentando a quantidade de unidades vendidas, ao alcançar a venda de 1.431.819 unidades por ano durante todos os períodos do prazo de análise do projeto, o lucro líquido operacional anual LLO será igual a zero, o fluxo de caixa operacional anual FCO igual à depreciação do mesmo período e, conseqüentemente, o VPL do projeto será menor que zero, pois apenas será
recuperado o custo inicial sem remuneração.
Avançando mais na zona de lucro líquido positivo, se forem vendidas 1.750.814 unidades por ano durante todos os períodos do prazo de análise de 4 anos do projeto, o VPL será nulo e o custo inicial será recuperado e remunerado com a taxa requerida de 12% ao ano.
De maneira análoga, a TIR do projeto será igual à taxa
requerida de 12% ao ano e o projeto não criará nem destruirá valor para a empresa.
A partir do ponto de equilíbrio financeiro o projeto começa a ser viável, por exemplo, se a estimativa de venda for de 2.400.000 unidades por ano o fluxo de caixa operacional FCO será igual a $760.250, o VPL do projeto será positivo e igual a $759.145 e o projeto criará valor para a empresa.
Continuemos com o projeto de lançamento da nova linha de refrigerantes do Exemplo 10.1.
Na decisão de aceitação do projeto, a quantidade de unidades que zera
o VPL do projeto define o valor a partir do qual o projeto deve ser aceito.
Um exercício interessante e produtivo é analisar o comportamento do
VPL em função da variação simultânea do preço unitário e do custo
unitário, mantendo inalteradas as restantes estimativas como é realizado na planilha Ponto de Equilíbrio da pasta Excel, Capítulo 10.
Os resultados estão registrados na tabela, onde as colunas da tabela
registram seis valores possíveis do preço unitário ao redor da estimativa mais provável $0,78, as linhas registram sete valores possíveis do custo unitário ao redor da estimativa mais provável $0,23, e a combinação
dessas estimativas gera 56 resultados de VPL do projeto.
A intersecção das estimativas mais prováveis do preço unitário e do
custo unitário é o VPL igual a $759.145, já calculado e que orientou
Os 56 resultados do VPL do projeto da tabela expõem o espectro de incerteza da decisão de aceitação do projeto de lançamento da nova linha de refrigerantes, considerando somente a
variabilidade de duas estimativas importantes do projeto.
A análise qualitativa dos 56 resultados mostra que a variação das duas estimativas provoca a variação do VPL do projeto, sendo que a variação favorável ou otimista simultânea das estimativas (aumento do preço unitário e diminuição do custo unitário) provoca uma variação favorável ou acréscimo do VPL esperado.
Ao mesmo tempo, a variação desfavorável ou pessimista simultânea das estimativas (diminuição do preço unitário e aumento do custo unitário) provoca uma variação
A análise quantitativa dos 56 resultados do VPL do projeto da tabela mostra que metade dos 56 resultados de VPL corresponde à estimativa do VPL superior ao valor esperado $759.145, sendo esses 28 resultados desvios bem recebidos que aumentam o
valor agregado à empresa.
Os outros 28 resultados são desvios não desejados do VPL esperado, sendo que 22 deles são resultados positivos de VPL que diminuem o valor agregado à empresa, e os restantes 6 são negativos que destroem valor da empresa.
Os resultados negativos de VPL são provocados pela
combinação de estimativas desfavoráveis extremas de preço unitário baixo e de custo unitário alto que correspondem ao cenário apresentado neste capítulo.
Utilizando proporções, os 6 resultados negativos representam 10,7% do total de VPL’s da tabela ou, de outra maneira, a
Na tabela também se identificam pontos de reversão da decisão em função dessas duas estimativas, e mantendo as restantes
estimativas inalteradas.
Por exemplo, para o preço unitário $0,70 há um custo
unitário no intervalo de $0,27 a $0,31 que anula o VPL do projeto.
Da mesma maneira, para o preço unitário $0,66 há um custo unitário no intervalo de $0,23 a $0,27 que também anula o VPL.
De forma geral, um resultado é incerto se pode ser diferente do
esperado, por exemplo, os retornos realizados do projeto podem ser diferentes dos retornos esperados utilizados na avaliação.
Portanto, a incerteza está relacionada com o desvio do fluxo de
caixa esperado do projeto, seja favorável ou desfavorável.
Entre as causas prováveis dos desvios desfavoráveis do projeto está
o erro de estimativa provocado pela incorreta pesquisa de mercado, pelos custos e receitas menores ou maiores que os estimados, pela escolha inadequada de tecnologia, pela falta de habilidade gerencial requerida, pelo ambiente econômico, pela concorrência etc.
De forma qualitativa, os retornos do projeto maiores que os
esperados são bem recebidos porque o valor presente líquido VPL
também será maior que o esperado.
Entretanto, os retornos menores que os esperados não são bem
recebidos porque o VPL será menor que o esperado e até negativo, provocando em situações adversas a reversão da decisão de
Portanto, os gerentes se preocupam com o desvio desfavorável da incerteza, explicitamente, com a possibilidade de o retorno
realizado ser menor que o esperado.
Assim sendo, a incerteza de não conseguir o VPL esperado é o que qualifica o projeto como arriscado, porém, se o VPL
Como a incerteza do projeto nem sempre afeta apenas o próprio projeto, a análise de risco do projeto é realizada em três níveis.
A análise de risco que trata da incerteza associada somente com o resultado do próprio projeto se denomina análise de risco total do projeto, pois o risco do VPL é proveniente somente da incerteza das estimativas do projeto.
Como a aceitação de um novo projeto pode contribuir de forma favorável ou desfavorável com o resultado da empresa, os
efeitos do risco do projeto são analisados sob mais duas
perspectivas lembrando que uma empresa e uma carteira de projetos de investimento.
A segunda se preocupa com a variação de risco da carteira de investimento bem diversificada dos acionistas provocada
pela carteira de projetos da empresa com o novo projeto, denominado risco de mercado.
O gerente tem controle sobre o procedimento de construção do fluxo de caixa do projeto e do cálculo do VPL, entretanto, ele não possui nenhuma forma de controle sobre os verdadeiros valores das estimativas que participam do projeto.
Pela sua natureza, o fluxo de caixa do projeto é incerto e sendo seu VPL uma estimativa dependente de outras estimativas,
quanto maior for a incerteza de cada estimativa, maior será a incerteza do VPL.
É por isso que a incerteza de não conseguir o VPL esperado qualifica o projeto como arriscado, contudo, a incerteza dos
resultados que supera o VPL esperado não converte o projeto em arriscado.
A avaliação do projeto adquire um significado maior ao incluir uma medida de risco, por exemplo, o VPL positivo qualifica o projeto para ser aceito e, conjuntamente, a probabilidade de que ocorra um determinado valor de VPL adiciona maior
compreensão nessa tomada de decisão.
Por exemplo, consideremos o VPL do projeto com
distribuição normal, valor esperado $1.000 e desvio padrão $450. A probabilidade do VPL do projeto superar $1.000 é 50% e de forma complementar a probabilidade do VPL ser menor do que $1.000 também é 50%.
Nesse caso, a probabilidade do VPL ser positivo é 98,7% e de forma complementar a probabilidade do VPL ser negativo é 1,3%.
As probabilidades desse exemplo mostram que praticamente o
Como em geral cada projeto é único, como também suas estimativas, a experiência adquirida em projetos anteriores fortalecerá a gerência a desenvolver a habilidade de aplicar
conceitos estatísticos e aumentar a compreensão e significado da incerteza e o risco do projeto.
Embora as estimativas do projeto tenham sido definidas com bastante cuidado, depois de determinar o VPL esperado que
qualifique o projeto para ser aceito é importante questionar esse resultado.
Por exemplo, no projeto do lançamento de um novo produto é importante analisar as respostas a perguntas como:
Nosso produto é realmente melhor que o(s) do(s) concorrente(s)?
Por que conseguiremos vender a quantidade prevista? Os custos realizados não serão maiores que os custos
estimados?
Qual será a reação da concorrência ao novo produto?
Também se devem ter respostas às perguntas quantitativas do tipo: o VPL continuará positivo se as receitas estimadas
Um resultado importante é a determinação do ponto de equilíbrio da estimativa no qual VPL=0, também denominado ponto de
reversão da decisão, e que também identifica o intervalo da estimativa dentro do qual o resultado do VPL é positivo. Por exemplo, no projeto de lançamento da nova linha de
refrigerantes do Exemplo 10.1, se forem vendidas 1.750.814 unidades por ano durante todos os períodos do prazo de análise de 4 anos, o VPL do projeto será nulo e o custo inicial será
recuperado e remunerado com a taxa requerida de 12% ao ano. Essa quantidade de unidades vendidas é um ponto de reversão
da decisão, pois determina a quantidade de unidades que anula o VPL e identifica o intervalo no qual o resultado do VPL é positivo, quantidade de unidades maior do que
No projeto com VPL positivo, a análise de sensibilidade quantifica o impacto no VPL esperado provocado pela
variabilidade de uma estimativa por vez, mantendo inalteradas as estimativas restantes.
Comparando os efeitos da mesma variação percentual de cada estimativa sobre o VPL esperado, verifica-se que nem todas as estimativas têm o mesmo impacto sobre o VPL e identificam-se as estimativas críticas do projeto, as estimativas com maior
impacto desfavorável.
O passo seguinte é a revisão em profundidade de cada estimativa crítica procurando reduzir suas incertezas.
Na planilha Análise de Sensibilidade se determina o ponto de reversão de cada estimativa, mantendo inalteradas as restantes estimativas.
O ponto de reversão da quantidade de unidades vendidas que anula o VPL esperado é 1.750.814 e correspondente à redução de 27% sobre o valor esperado 2.400.000, resultado já
determinado no Exemplo 10.4 deste capítulo.
Da mesma maneira, a redução de 19,1% do preço unitário esperado, ou o aumento de 64,7% do custo unitário esperado, ou o aumento de 89,3% do custo fixo esperado também anula o VPL esperado do projeto.
Analisando a variação provocada no VPL pela variação de 30% de cada estimativa se consegue ordenar as estimativas em ordem decrescente de impacto: preço unitário, número de unidades,
custo inicial, custo unitário, custo fixo e taxa requerida.
Nesse ordenamento, o preço unitário e a quantidade de unidades são as estimativas críticas que mais afetam o VPL do projeto.
Portanto, o preço unitário e a quantidade de unidades devem receber mais atenção durante o desenvolvimento do projeto até sua aceitação e, posteriormente, no monitoramento durante o prazo de análise do projeto, pois são as estimativas com
menor variação para zerar o VPL do projeto.
Nesse gráfico se observa a correlação positiva entre o VPL e as estimativas do preço unitário e das unidades vendidas, e a
correlação negativa entre o VPL e a estimativa de custo unitário. A estimativa de custo inicial também mantém uma correlação
negativa entre o VPL, porém, não é mostrada porque sua reta coincide com as do custo unitário.
O preço unitário e a quantidade de unidades são as estimativas críticas do projeto, pois suas retas têm a maior pendente ou, de outra maneira, para a mesma variação percentual das estimativas provocam maior variação percentual do VPL esperado, como foi identificada com o ponto de reversão da decisão.
Por exemplo, na reta do preço unitário, para a redução de 19,1% do preço unitário esperado o VPL perde 100% de seu valor esperado, ou é igual a zero.
Há outras formas de representação gráfica da análise de sensibilidade.
O primeiro gráfico da Figura 10.5 construído na mesma planilha é o mesmo que o da Figura 10.4, porém, o impacto das variações percentuais das estimativas é medido pelo valor monetário do VPL.
O segundo gráfico denominado Tornado mostra a variação do
VPL do projeto variando cada estimativa no intervalo de 10% a +10% com relação ao seu valor esperado.
As quatro barras horizontais do gráfico foram registradas em ordem decrescente do intervalo de variação do VPL, e
alinhadas pelo valor central do VPL esperado $759.145.
Novamente são identificadas as estimativas do preço unitário e da quantidade de unidades como as estimativas com maior risco para o projeto, pois para a mesma variação percentual de cada estimativa a variação percentual do VPL é a maior,
Preço unit.
Custo unit. Unidades
($1.000.000) ($500.000) $0 $500.000 $1.000.000 $1.500.000 $2.000.000
-30% -25% -20% -15% -10% -5% 0% 5% 10% 15% 20% 25% 30%
Variação da Estimativa entre -10% e +10%
Preço unit.
Custo inicial Unidades
O exame individual das estimativas é uma das desvantagens da análise de sensibilidade, pois como foi antecipado na análise dos resultados da tabela da Figura 10.3, para se aproximar da realidade se deve
considerar a combinação simultânea de estimativas.
Outra desvantagem é supor que qualquer valor ao redor do valor
esperado da estimativa tem a mesma probabilidade de ocorrência, situação que na realidade não é assim.
Por exemplo, a probabilidade do preço unitário do ponto de
reversão $0,63 deve ser menor que a do valor mais provável $0,78.
Da mesma maneira, na medida em que o preço unitário se aproxima
do ponto de reversão $0,63 a probabilidade de ocorrência deve diminuir, sendo em alguns casos muito baixa e próxima de zero.
Admitir que as estimativas variem com a mesma porcentagem não é
Uma forma de eliminar a desvantagem de supor que qualquer valor
ao redor do valor esperado da estimativa tem a mesma probabilidade de ocorrência se consegue introduzindo o conceito de probabilidade de ocorrência que começa com a definição do intervalo de valores possíveis ou variação de cada estimativa, por exemplo, entre os limites pessimista e otimista. A seguir, cada estimativa é
representada com uma distribuição de probabilidades, por exemplo, a distribuição normal.
Ao utilizar uma distribuição de probabilidade, além de estimar o
intervalo de variação de cada estimativa é necessário fixar o grau de acerto desse intervalo, um valor entre 0% e 100%.
Qual o significado do grau de acerto?
Se o intervalo de variação da estimativa representa todos os
CONSIDERANDO A
Preço unit. Custo unit. Custo inicial Unidades -100% -80% -60% -40% -20% 0% 20% 40% 60% 80% 100%
-3,0 -2,5 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
Preço unit. Custo unit. Custo inicial Unidades $0 $250.000 $500.000 $750.000 $1.000.000 $1.250.000 $1.500.000
Por exemplo, no intervalo de $300.000 a $500.000 do custo fixo, considerando seu valor mais provável $400.000 e o acerto de 99,7%, da distribuição normal se deduz que as estimativas do intervalo se distribuem no intervalo de três desvios-padrão ao redor da média de $400.000 e o desvio-padrão é igual a $33.696, tema apresentado no Capítulo 2. Comparando o gráfico de cada tipo de análise de sensibilidades
se deduzem as vantagens do procedimento com a distribuição normal.
No primeiro gráfico da Figura 11.6 são considerados todos os valores de cada estimativa representados pelos três desvios-padrão ao redor do correspondente valor esperado.
Uma conclusão importante da análise de sensibilidade com a distribuição normal é que nenhuma estimativa consegue
individualmente anular o VPL do projeto, resultado diferente da análise anterior.
Analisando a variação provocada no VPL pela variação de três desvios-padrão de cada estimativa se consegue ordenar as
estimativas em ordem decrescente de impacto: preço unitário, custo unitário, número de unidades e custo inicial.
Nesse ordenamento, o preço unitário, o custo unitário e a quantidade de unidades são as estimativas críticas que mais
Na preparação do projeto as estimativas são definidas com um intervalo possível de variação do qual é escolhido o valor mais provável que forma o cenário mais provável do projeto.
Com as informações do intervalo das estimativas se formam mais dois cenários, o cenário pessimista e o cenário otimista.
Dessa maneira, as estimativas dos três cenários geram três respectivos VPL definidos também como pessimista, mais provável e otimista.
A análise com três cenários MOP, mais provável, otimista e pessimista, é uma técnica de análise de risco de um projeto e mede o efeito da variação das estimativas sobre o valor do VPL utilizando três valores do intervalo de variação de cada
estimativa do projeto.
Como orientação, o valor extremo de cada estimativa pode ser
obtido estabelecendo, por exemplo, o grau de acerto de 90%:
A estimativa otimista é aquela cuja probabilidade de ser
superada é 5%, e a probabilidade da estimativa ser menor do que a otimista é 95%.
A estimativa pessimista é aquela cuja probabilidade de ser
piorada é 5%, e a probabilidade da estimativa ser maior do que a pessimista é 95%.
A estimativa mais provável é um valor do intervalo pessimista
- otimista definido como média aritmética, média ponderada, valor esperado de uma distribuição de freqüências ou outro procedimento adequado.
O aumento do intervalo de variação da estimativa como o do grau
de acerto também aumenta a variabilidade da estimativa e do VPL do projeto.
Portanto, a variação percentual entre os valores dos três cenários
Continuando com o projeto de lançamento da nova linha de refrigerantes.
Depois de novas negociações foram acertadas as estimativas desses cenários e
utilizadas na planilha Cenários, da pasta Capítulo 10 que contém a avaliação dos três cenários:
o VPL do cenário otimista é positivo e igual a $2.371.780. o VPL do cenário pessimista é negativo e igual a $730.514.
o VPL do cenário mais provável é positivo e igual a $759.145, resultado já
conhecido do VPL esperado.
O intervalo de variação da receita anual de
$888.000=$2.340.000$1.452.000,
do custo anual de $628.000 e das outras estimativas provocam a variação
do VPL igual a $3.102.294 dos quais $730.514 são negativos.
O VPL verdadeiro do projeto deverá ser um valor central do intervalo de
Como análise complementar da incerteza do projeto, as barras verticais do gráfico da esquerda da figura mostram o intervalo de variação das estimativas da receita anual, do custo anual e do
custo inicial, e do resultado do VPL considerando inalteradas as restantes estimativas do projeto.
Acionando o controle giratório de cada uma das cinco
estimativas, o valor mais provável da estimativa pode assumir um valor dentro do intervalo definido, pessimista e otimista e, ao
mesmo tempo, observando o movimento da linha tracejada o
leitor verificará o impacto sobre o VPL provocado por essa nova estimativa.
Ao utilizar três valores do intervalo de variação de cada
estimativa, a análise com três cenários reproduz a incerteza do projeto de melhor forma do que a análise de sensibilidade,
embora os dois cenários extremos sejam casos especiais.
Com o VPL dos três cenários e a definição da probabilidade de ocorrência de cada cenário se inicia o procedimento de medição do risco do projeto.
O consenso dos participantes do projeto de lançamento da nova linha de refrigerantes estabeleceu as probabilidades de ocorrência dos cenários pessimista, mais provável e otimista do VPL,
respectivamente 10%, 75% e 15%.
Dos valores monetários e as probabilidades dos cenários se
obtém o valor esperado do valor presente líquido E[VPL] igual a $852.074, resultado obtido com:
1 1 2 2 3 3
[ ] ( ) ( ) ( )
[ ] $730.514 0,10 $759.145 0,75 $2.371.780 0,15 $852.074
O VPL esperado E[VPL] maior que seu valor mais provável é provocado pela maior probabilidade do cenário otimista. O desvio padrão do VPL igual a $1.152.993 é obtido com:
Dos resultados anteriores também se obtém o coeficiente de variação do VPL igual a 1,35:
O desvio-padrão do VPL do projeto não é pequeno comparado com o valor esperado do VPL e o coeficiente de variação reflete a relação de medidas estatísticas mencionadas. Se o coeficiente de variação da carteira de investimentos da empresa for maior do
2 2 2
1/ 21 1 2 2 3 3
1/ 2
2 2
2
( [ ]) ( ) ( [ ]) ( ) ( [ ]) ( )
( $730.514 $852.074) 0,10 ($759.145 $852.074) 0, 75
$1.152.993 ($2.371.780 $852.074) 0,15
X VPL
x E X p x x E X p x x E X p x
$1.152.993
1,35 [ ] $852.074
VPL
VPL
CV =
Da análise com três cenários se obteve a medida de risco
representada pelo coeficiente de variação do projeto que será comparado com outros projetos ou a carteira de projetos da empresa.
Avançamos um pouco, pois aumentou a compreensão do risco do
projeto do lançamento da nova linha de refrigerantes apesar de ter utilizado somente três conjuntos de estimativas, sendo que duas delas são extremas e ocorrem simultaneamente.
Na realidade, nem todas as estimativas são simultaneamente
pessimistas ou otimistas, e quanto maior for a quantidade de estimativas que participarem da análise de risco do projeto a probabilidade dessa ocorrência simultânea e extrema diminui bastante.
Apesar de utilizar três valores de VPL, o histograma mostra uma
O VPL do projeto é função da configuração do fluxo de caixa e da taxa requerida ajustada ao nível de risco do projeto, fatores presentes na expressão utilizada no cálculo do VPL.
Embora o cálculo do VPL tenha sido apresentado num ambiente de certeza, esse procedimento também pode ser utilizado para calcular o VPL do projeto com fluxo de caixa incerto utilizando variáveis aleatórias, como é apresentado no Capítulo 2 do livro.
VPL
Esperado
1
[ ]
[ ] [ ]
(1 )
n t t tE FC E VPL E I
O grau de incerteza dos retornos define o grau de risco do projeto.
Como os valores esperados são valores únicos, nesse procedimento de avaliação o prêmio pelo risco assumido está incluído na taxa
requerida e que é própria de cada projeto.
Portanto, um projeto com maior risco requer maior taxa
requerida.
Na análise de sensibilidade realizada com o cenário mais provável e
na análise com três cenários bem definidos foi utilizada a taxa requerida ajustada ao nível de risco do projeto, embora essa característica não tenha sido explicada no texto.
Se em vez das estimativas mais prováveis ou esperadas fossem
utilizadas diversos valores do intervalo de cada estimativa se estaria incluindo a incerteza das estimativas no fluxo de caixa.
Se o VPL do projeto fosse calculado com a taxa requerida
Uma forma de utilizar os três cenários das estimativas e diluir a ocorrência extrema e simultânea das estimativas é considerar
todas as combinações possíveis de formar com os três cenários de cada estimativa.
Embora a combinação de estimativas não tenha nenhuma
limitação teórica, na prática antes de gerar todas as combinações é prudente verificar a quantidade de VPL’s que deverão ser
calculados.
Por exemplo, no caso três estimativas, o número de
combinações é vinte e sete e assim por diante tendo presente que o número de combinações é igual ao resultado de elevar o número três ao número de estimativas m, ou 3m.
No caso do projeto de lançamento da nova linha de refrigerantes com cinco estimativas de três cenários cada uma, o número de cenários e cálculos do VPL é igual a 243.
Na planilha Combinação de Cenários da pasta Excel, Capítulo
10, foi desenvolvida a análise de risco com a combinação dos três cenários do projeto de lançamento da nova linha de refrigerantes. Nessa planilha foi repetida a avaliação do projeto com os três
cenários, parte não-reproduzida no texto, foi construída a tabela com as 234 combinações parcialmente reproduzida na Figura 10.9, e foi realizada a análise estatística da série dos 234 valores de VPL registrada na última coluna da tabela de combinações.
No cálculo do VPL foi mantida a taxa de juro ajustada ao risco de 12% ao ano, pois consideramos que a combinação de três valores de cada estimativa não seja suficiente para incluir toda a
O histograma dos 234 valores de VPL mostra que a distribuição do VPL é bastante simétrica, com valor esperado $746.275, bem próxima do VPL do cenário mais provável $759.145.
Os 234 cenários têm a mesma probabilidade de ocorrerem e pelo Teorema Central do Limite a distribuição de freqüências do VPL se aproxima da distribuição normal.
Tanto o VPL mínimo quanto o máximo correspondem ao respectivo cenário pessimista e otimista.
A análise estatística também mostra que o VPL de 210 cenários é maior do que zero (86,4%), e 33 cenários têm VPL menor do que zero (13,6%).
A probabilidade do VPL do projeto ser maior do que $500.000 é 63,8% e a probabilidade de ser maior do que $759.145 é 48,6%. Nessa análise também se obteve a medida de risco representada
A análise de risco do projeto realizada com todas as combinações possíveis com três valores de cada estimativa é um procedimento útil e oferece mais informações.
Uma forma de melhorar o resultado da combinação de cenários seria utilizar mais do que três valores do intervalo de cada
estimativa, porém, a geração de todas as combinações possíveis utilizando o procedimento anterior nem sempre é possível de ser realizado.
O procedimento equivalente quanto a geração de combinações que se deve utilizar é a simulação Monte Carlo que gera qualquer valor do intervalo de cada estimativa por meio de números
O cenário pessimista e o otimista definem o intervalo de possíveis valores da estimativa com certo grau de acerto.
Na combinação de cenários foram utilizados somente três valores desse intervalo, os dois valores extremos e o valor mais provável, que geraram a série com 243 resultados de VPL.
Embora a combinação de estimativas não tenha nenhuma
limitação teórica, por exemplo, 5 estimativas com 6 valores cada uma gera 7.776 combinações e correspondentes valores de VPL. Portanto, ao utilizar qualquer valor do intervalo de cada
estimativa será necessário utilizar um procedimento que gere a série VPL com qualquer quantidade de resultados como o
procedimento denominado simulação Monte Carlo que utiliza números aleatórios relacionados com uma distribuição de
probabilidades para gerar as estimativas.
Em seqüência, a série VPL é analisada com técnicas estatísticas como a tabela de freqüências, o histograma, e as medidas
numéricas média, desvio-padrão etc.
Com um número adequado de VPLs sua distribuição de freqüências poderá ser substituída por uma distribuição
Na análise de risco do projeto de investimento a simulação
Monte Carlo começa pela construção do modelo base de cálculo do VPL.
Depois são identificadas as estimativas aleatórias do projeto e são definidas suas correspondentes distribuições ou, de outra
maneira, são definidas as variáveis aleatórias.
Por último é gerada a série com certa quantidade de resultados de
VPL que será analisada.
Partindo do modelo base de cálculo do VPL do projeto do lançamento da nova linha de refrigerantes a base de frutas
tropicais construído no Exemplo 10.1, as variáveis aleatórias são as estimativas, unidades vendidas, preço unitário, custo unitário, custo fixo e custo inicial, porém, a taxa requerida, a alíquota do imposto de renda e o prazo de análise são constantes.
As distribuições de freqüência das estimativas aleatórias em geral são definidas pelos gerentes das áreas específicas com suficiente experiência para essa tarefa.
Depois se estabelece o procedimento de amostragem, a
O intervalo da estimativa das unidades vendidas entre 2.200.000 e
2.600.000 é definido com distribuição normal com valor esperado 2.400.000, faltando determinar o desvio-padrão.
No Capítulo 2 do livro é mostrado que, na distribuição normal,
um desvio-padrão ao redor do valor esperado significa que no intervalo de 2.200.000 a 2.600.000 estão 68% das unidades
vendidas e, conseqüentemente, 16% das vendas serão menores a 2.200.000 e os outros 16% serão maior do que a estimativa
2.600.000.
Ao estabelecer esse desvio-padrão de 200.000 se está aceitando
o grau de acerto de 68% da estimativa, ou em 68% das vezes a estimativa será um valor entre 2.200.000 e 2.600.000.
Entretanto, se o grau de acerto desse intervalo for 95%, então em
95% das vezes a estimativa será um valor entre 2.200.000 e 2.600.000 e ao redor de dois desvios-padrão.
Dessa maneira, com grau de acerto de 95% a variável aleatória
unidades vendidas tem distribuição normal com valor esperado 2.400.000 e desvio-padrão 100.000.
O intervalo da estimativa do preço unitário entre $0,66 e $0,90 é
definido com distribuição normal com valor esperado $0,78 e grau de acerto de 95%.
Dessa maneira, do intervalo da estimativa de $0,24=$0,90$0,66
com grau de acerto de 95% se obtém o desvio-padrão $0,06, resultado obtido da divisão de $0,24 por quatro.
Finalmente, a variável aleatória preço unitário tem distribuição
normal com valor esperado $0,78 e desvio-padrão $0,06.
Nem sempre as estimativas têm distribuição simétrica entre os
valores extremos de seu intervalo de variação. Se a distribuição das estimativas for assimétrica, ficará como tarefa do analista definir o tipo de assimetria adequada para cada estimativa.
A estimativa do custo unitário não é simétrica e pode ser
representada pela distribuição triangular definida com três valores, mínimo, mais provável e máximo.
A estimativa do custo fixo também não é simétrica e pode ser representada pela distribuição triangular definida com o mínimo de $300.000, o máximo de $500.000 e mais provável de
$430.000, que mostra que há um pouco mais de espaço para aumentar do que para diminuir.
Finalmente, a distribuição da estimativa do custo inicial se
aproxima da distribuição uniforme, pois os custos do intervalo têm praticamente a mesma probabilidade de ocorrerem.
O gerente de engenharia sabe por experiência que o erro de estimativa não está relacionado com variabilidade dos
A geração aleatória das estimativas é realizada com as funções disponíveis no Excel e as novas funções construídas em VBA na própria pasta e descritas na planilha Novas funções da pasta
Simulação 1.
A geração da estimativa aleatória das unidades vendidas é realizada com a nova função SNormal registrando a fórmula =INT(SNormal(2400000;200000)) na célula C4 da planilha.
O primeiro argumento da função SNormal é o valor esperado 2.400.000 e o segundo argumento é o desvio-padrão 200.000 da estimativa, pois se espera que 68% das unidades vendidas se encontrem no intervalo 2.200.000 a 2.600.000.
Se não for adequado, registrando o desvio-padrão 100.000 se conseguirá que 95% das vendas se encontrem nesse mesmo intervalo.
A geração da estimativa aleatória preço unitário também é
realizada com a nova função SNormal registrando a fórmula =ARRED(SNormal(0,78;0,06);2) na célula C5 da planilha.
A função ARRED do Excel arredonda o resultado com duas
casas decimais.
A geração da estimativa aleatória do custo unitário não é simétrica
e é realizada com a nova função Striangular registrando a fórmula =ARRED(Striangular(0,16;0,3;0,25);2) na célula C6 da planilha.
Nos três argumentos dessa função são registrados,
respectivamente, o mínimo de $0,16 e o máximo de $0,30 e o mais provável de $0,25.
A estimativa do custo fixo não é simétrica e é gerada com a nova
função Striangular registrando a fórmula
=INT(Striangular(300000;500000;430000)) na célula C7.
A estimativa do custo inicial é gerada com a nova função
Como as estimativas incluem suas distribuições de freqüências, o
VPL deve ser calculado com a taxa livre de risco que neste caso é a taxa real constante de 9% registrada na célula C9, em vez de 12% ao ano utilizado nas análises anteriores.
Também, nesse caso, as estimativas do prazo de análise do projeto
e da alíquota do imposto sobre o lucro são valores únicos registrados, respectivamente, nas células C10 e C11.
Toda vez que a planilha for recalculada as funções geram um
novo grupo de estimativas refletidas no novo VPL calculado e registrado na célula C12 da planilha.
O procedimento de simulação começa pela geração de um número
aleatório para cada estimativa. Depois, cada um desses números aleatórios gera a estimativa correspondente com certa distribuição de probabilidades que substituída na expressão do VPL resulta o primeiro VPL que é armazenado na planilha. Depois esse
O número de simulações é um fator importante do procedimento, pois quanto maior for melhor será a análise dos resultados.
Na planilha Simulação 1 do projeto do lançamento do novo refrigerante, depois de pressionar o botão VPL são realizadas 1.000 simulações e registrados os 1.000 valores de VPL do projeto no intervalo K3:K1002 da planilha, procedimento automatizado com uma macro em VBA do Excel.
Pressionando o botão VPL Visual também são realizadas 1.000 simulações e registrados os 1.000 valores de VPL do projeto no intervalo K3:K1002, porém, registrando o número de simulações na célula H11 da planilha e, ao mesmo tempo, podendo observar a construção da tabela de freqüências no intervalo N6:N37 da planilha e do histograma de forma contínua, e a contribuição dos novos valores do VPL.
Com a série de 1.000 valores de VPL do projeto gerada na
planilha Simulação 1 se analisa sua distribuição de forma gráfica e numérica.
O histograma foi construído de forma que em cada recalculo a tabela de freqüências e o histograma sejam automaticamente atualizados.
Depois de cada rodada, a forma do histograma muda, e é diferente das anteriores.
Quanto maior a quantidade de valores da série do VPL o histograma mais se aproxima à distribuição normal.
Não se deve esperar que os resultados se repitam, pois não é possível gerar todas as combinações mutuamente excludentes e coletivamente exaustivas das estimativas.
Isso não possível porque o número de combinações é muito grande tendendo a infinito e a extração de amostras de cada estimativa é realizada de forma contínua no respectivo
intervalo.
No grupo Medidas Estatísticas do VPL da planilha são calculados e registradas as medidas estatísticas da série de 1.000 valores de VPL do projeto.
A comparação do valor esperado e da mediana antecipa a forma da distribuição de freqüências do VPL.
Quanto mais o valor esperado se distanciar da mediana mais acentuada será a inclinação da distribuição de freqüências do VPL de forma que, se o valor esperado for maior (menor) que a mediana, a distribuição do VPL terá inclinação à direita
(esquerda).
Por exemplo, nos resultados da simulação da Figura 10.11 como o valor esperado é maior do que a mediana a
distribuição terá uma pequena inclinação para a direita,
Nessa simulação a probabilidade do VPL do projeto ser maior que zero é 96,5%, resultado bastante próximo de 100% o que mostra que o risco do VPL ser negativo é bastante baixo (3,5%). Esse resultado pode também ser confirmado com o desvio-padrão
dessa simulação igual a $453.118, que mostra que um pouco menos de dois desvios-padrão se alcança o VPL igual a zero.
O coeficiente de variação 0,55 mostra um risco baixo do VPL do projeto e, para terminar, a simulação mostra que o risco do
A simulação Monte Carlo foi apresentada para um projeto com fluxo de caixa uniforme e agora será mostrado como proceder com o fluxo de caixa variável do Exemplo 9.5 do Capítulo 9, cujo enunciado é repetido de forma reduzida.
Projeto do Exemplo 9.5. Convencido de que o aumento de demanda dos produtos da empresa nos próximos anos é
consistente o diretor geral solicitou o desenvolvimento do projeto de expansão para um prazo de análise de cinco anos. O custo
inicial da expansão foi estimado em $2.750.000 com depreciação linear e total durante o prazo de análise, e valor de venda dos
equipamentos em 10% do valor investido. As receitas e custos estão registrados na tabela seguinte, o capital de giro foi estimado em 20% da receita anual, a taxa requerida é 10% ao ano e a
A análise de risco com a simulação Monte Carlo é equivalente à realizada na seção anterior com a diferença de ter mais variáveis aleatórias devido ao fluxo de caixa variável do projeto.
Nesse caso com maior ênfase, a utilização do Excel é muito importante para construir o modelo base, gerar os números
aleatórios de cada estimativa relevante com certa distribuição de probabilidades, a mecanização do processo de geração e registro da série VPL e a análise estatística para medir o risco do projeto. Parte da planilha anterior será utilizada na planilha que a seguir se detalha.
O modelo base de cálculo do VPL do projeto de expansão foi construído na planilha Simulação 2 da pasta Excel com mesmo nome.
A geração aleatória das estimativas é realizada com as funções disponíveis no Excel e as novas funções construídas em VBA na própria pasta são descritas na planilha Novas funções da pasta
Simulação 2.
As receitas anuais têm distribuição normal com valor esperado e desvio-padrão definidos na tabela de dados.
Por exemplo, a geração da estimativa aleatória da receita do primeiro ano é realizada com a fórmula
=SNormal(2550000;280000) registrada na célula D5 da planilha.
O primeiro argumento da função SNormal é o valor esperado 2.550.000 e o segundo argumento é o desvio-padrão 280.000 da estimativa.
Os custos anuais têm distribuição triangular definida pelos
argumentos mínimo, máximo e mais provável. Por exemplo, a geração da estimativa aleatória do custo do primeiro ano é
realizada com a fórmula
=Striangular(1150000;1650000;1460000), registrada na célula D6 e cujos três argumentos são, respectivamente, o mínimo de $1.150.000, o máximo de $1.650.000 e o mais provável de
$1.460.000.
O sinal negativo antes da nova função identifica a característica de custo no fluxo de caixa do projeto. A estimativa do custo inicial é gerada com a nova função
Suniforme, registranda na célula C4 da planilha a fórmula =Suniforme(2500000;3100000).
O valor residual registrado na célula H4 é calculado como mostrado no Capítulo 9 e seu valor depende do custo inicial gerado em cada simulação de VPL.
Da mesma maneira, o capital de giro é calculado como mostrado no Capítulo 9 e seu valor anual depende da receita gerada em cada simulação de VPL.
Como as estimativas incluem suas distribuições de freqüências, o
VPL deve ser calculado com a taxa livre de risco que neste caso é a taxa real constante de 10% registrada na célula C13, em vez de 12% ao ano utilizado nas avaliações desse projeto no Capítulo 9. Nesse caso, a estimativa da alíquota do imposto sobre o lucro é
Toda vez que a planilha for recalculada as funções geram um novo grupo de estimativas refletidas no novo VPL calculado e registrado na célula C14 da planilha.
O procedimento de simulação começa pela geração de um
número aleatório para cada estimativa, depois, cada um desses números aleatórios gera a estimativa correspondente com certa distribuição de probabilidades que substituída na expressão do VPL resulta o primeiro VPL que é armazenado na planilha.
A seguir, esse procedimento é realizado com o segundo grupo de números aleatórios, concluindo com o registro do segundo VPL na planilha. E esse procedimento continua até completar o
Toda vez que a planilha for recalculada as funções geram um novo grupo de estimativas refletidas no novo VPL calculado e registrado na célula C14 da planilha.
O procedimento de simulação começa pela geração de um
número aleatório para cada estimativa, depois, cada um desses números aleatórios gera a estimativa correspondente com certa distribuição de probabilidades que substituída na expressão do VPL resulta o primeiro VPL que é armazenado na planilha.
A seguir, esse procedimento é realizado com o segundo grupo de números aleatórios concluindo com o registro do segundo VPL na planilha.
Na planilha Simulação 2 do projeto de expansão, selecionado o botão de opção VPL e depois de pressionar o botão Simulação
são realizadas 1.000 simulações e registrados os 1.000 valores de VPL do projeto no intervalo K3:K1002 da planilha, procedimento automatizado com um macro em VBA do Excel.
Selecionando o botão de opção VPL Visual também são
realizadas 1.000 simulações e registrados os 1.000 valores de VPL do projeto no intervalo K3:K1002, porém, registrando o número de simulações na célula H12 da planilha e, ao mesmo tempo, observando a construção da tabela de freqüências no
intervalo N6:N37 da planilha e do histograma de forma contínua, e a contribuição dos novos valores do VPL.
Depois de cada rodada a forma do histograma muda, pois tanto a tabela de freqüências como seu correspondente histograma é
automaticamente atualizado.
Quanto maior a quantidade de valores da série do VPL, mais o histograma se aproxima da distribuição normal.
Como foi explicado, não se deve esperar que os resultados de
VPL se repitam, pois a distribuição de freqüências registrada na tabela correspondente não é única como se obteria se
fossem consideradas todas as combinações mutuamente excludentes e coletivamente exaustivas das estimativas.
No grupo Medidas Estatísticas do VPL da planilha são calculados e registrados as medidas estatísticas valor mínimo, valor máximo, valor esperado, mediana, desvio-padrão e coeficiente de variação CV da série de 1.000 valores de VPL do projeto.
Nessa simulação a probabilidade do VPL do projeto ser maior que zero é 97,5%, resultado bastante próximo de 100% o que mostra que o risco do VPL ser negativo é bastante baixo (2,5%). Esse resultado pode também ser confirmado com o desvio-padrão
dessa simulação igual a $355.795, que mostra que quase dois desvios-padrão alcançam o VPL igual a zero.
Definir cada estimativa do projeto como uma variável aleatória com certa distribuição de probabilidades e correspondente valor esperado e desvio-padrão não é uma tarefa simples.
Ao conhecimento estatístico necessário se deve adicionar a experiência de utilizar o procedimento de simulação.
Antes de continuar sugerimos que nas planilhas Simulação 1 e
Simulação 2 o aluno gere várias seqüências de 1.000 simulações e compare o formato do histograma da série VPL.
O aluno perceberá que a forma da distribuição varia bastante e que a definição do número de simulações é importante.
Essa variação também aumenta se o intervalo de variação das estimativas for aumentado e, da mesma maneira, a variação diminui se o intervalo de variação também diminuir.
Nos procedimentos de simulação desenvolvidos as variáveis aleatórias foram consideradas independentes, simplificação que teve a vantagem de facilitar a construção do modelo.
Entretanto, algumas variáveis aleatórias mantêm algum tipo de dependência entre si.
Por exemplo, o preço unitário e o número de unidades
vendidas mantêm dependência, por exemplo, a venda de uma quantidade maior será realizada a um preço menor e
vice-versa.
Da mesma forma, o custo unitário e o número de unidades vendidas também mantêm dependência, por exemplo, a compra de matérias-primas numa quantidade maior pode resultar num custo de aquisição menor.
Exceto o prazo de análise do projeto n e a taxa requerida k, cada estimativa do projeto é uma variável aleatória com certa
distribuição de probabilidades e correspondente valor esperado, variância e desvio-padrão.
Da combinação dessas estimativas aleatórias se obtém a
estimativa aleatória do custo inicial e as estimativas aleatórias dos retornos do projeto que formam o fluxo de caixa do projeto. Como antecipado no Capítulo 2 do livro, o VPL é uma variável
aleatória obtida da combinação linear de n variáveis aleatórias expressada com:
Apêndice 10.1 – Modelo Analítico para
Análise de Risco do Projeto
1 2
FC FC FCn
Nessa expressão tanto o prazo de análise do projeto n como a taxa requerida k são constantes, e da combinação dessas
estimativas considerando a força da relação entre elas medida pela covariância ou o coeficiente de correlação se obtém a variável aleatória VPL com distribuição de probabilidades
identificada pelo seu valor esperado e sua variância ou desvio padrão.
Na simulação Monte Carlo, as estimativas relevantes do custo inicial, da receita e do custo foram definidas com uma
distribuição de probabilidades adequada para cada caso. Em cada rodada da simulação, essas variáveis aleatórias
geram o FC e o correspondente VPL do projeto. Depois, com os 1.000 valores de VPL gerados são
Agora, no método analítico será utilizado o custo inicial e os retornos do fluxo de caixa definidos com uma distribuição de probabilidades com certo valor esperado e desvio-padrão
adequados para cada caso.
