Matemática Financeira com o Auxílio de Planilhas Eletrônicas: série de pagamentos na prática

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KLIVER MOREIRA BARROS, ADELINO CÂNDIDO PIMENTA

MATEMÁTICA FINANCEIRA

COM O AUXÍLIO

DE PLANILHAS ELETRÔNICAS:

SÉRIE DE PAGAMENTOS

NA PRÁTICA*

Resumo: este trabalho mostra os resultados da aplicação de uma

sequên-cia didática de matemática financeira, referente à Série de Pagamentos, efe-tuada no Encontro de Educação Matemática da UEG – UnU de Iporá. Para tanto, utilizou-se planilhas eletrônicas para demonstrar equações matemáti-cas de forma concreta e simplificada. As atividades prátimatemáti-cas foram executa-das utilizando o software Calc, por ser gratuito. As planilhas possibilitaram um maior desenvolvimento e apreensão dos conceitos por parte dos alunos, os quais visualizaram as tabelas dos fatores de forma clara e precisa.

Palavras-chave: Matemática Financeira. Série de Pagamentos.

Tecnolo-gia. Planilhas eletrônicas.

O

uso da tecnologia está presente em todas as fases da educação, desde as mais

remotas como o papiro até as mais sofisticadas como os projetores e com-putadores com softwares pedagógicos. A evolução da tecnologia trouxe uma infinidade de possibilidades para o desenvolvimento da sociedade, inclusive no campo educacional, sendo o enfoque principal deste trabalho a informática como instrumen-to que propicie novas práticas no processo de ensino e aprendizagem nas aulas de Matemática Financeira.

Os egressos do curso de Matemática da unidade de Iporá-Go são licenciados, logo, os alunos necessitam de um aprofundamento maior dos conceitos financeiros para terem condições de atuarem como docentes desta disciplina que é comum em vá-rios cursos como Administração, Ciências Contábeis, Gestão de Agronegócios, além do próprio curso de Matemática.

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De forma simples, pode-se dizer que o objetivo da Matemática Financeira é dar respostas a indagações como: Quanto receberei por uma aplicação de determinado va-lor no final de n períodos? Quanto terei de depositar periodicamente para atingir uma poupança desejada?

Os conteúdos estudados anteriormente nas disciplinas de Cálculo I e Estatística são importantes para que os fundamentos da matemática sejam aprofundados e prati-cados. Para chegar neste ponto do programa, já foram estudados: Capitalização Sim-ples e Composta, Desconto SimSim-ples e Composto, Diagrama de Fluxo de Caixa, Taxas Equivalentes, Taxa Nominal x Taxa Efetiva e Método Hamburguês. É a introdução das Séries de Pagamentos e será de grande importância a ambientalização com o software para a sequência dos conteúdos posteriores. Na Matemática Financeira o que se espera do aluno no final da disciplina é que este saiba manipular as diversas fórmulas conti-das nesta disciplina que é fundamental para quem tem o objetivo de gerir empresas de pequeno e grande porte.

A aplicação da sequência didática ocorreu no turno vespertino, com duração de cinco horas e trouxe uma nova perspectiva para os alunos do curso de matemática da unidade de Iporá, já que estes haviam tido contato com esta disciplina superficial-mente, não conseguindo aplicar em seus cotidiano ou na própria função de futuros professores.

A INFORMÁTICA NA EDUCAÇÃO

A abordagem da informática na educação que será tratada neste trabalho está ligada ao “fato de o professor da disciplina curricular ter conhecimento sobre os po-tenciais educacionais do computador e ser capaz de alternar adequadamente atividades tradicionais de ensino-aprendizagem e atividades que usam o computador” (VALEN-TE, 1999, p. 1).

Para Borba e Penteado (2012, p. 19), “discussões sobre a forma como a Tecnolo-gia Informática (TI) tem sido utilizada e a implicação desse uso para a organização da sociedade atual tem estado constantemente presente na literatura”, e nas escolas essa discussão também parte para este rumo.

Os professores comentam muito sobre o uso de tecnologia nas aulas, alguns aprovam outros não. Uns acham que os problemas educacionais acabariam com o uso adequado dos computadores nas aulas, outros apontam que a estrutura atual não supor-taria ter computadores em todas as escolas. Tem-se então, dois pontos positivos que o uso da informática traria para o processo de ensino e aprendizagem, com enfoque na forma de como os alunos aprendem os conteúdos e como a informática auxiliaria de forma positiva neste processo.

As novas configurações da sociedade, como citado anteriormente, a qual se en-contra informatizada, fazem com que a escola tenha um papel diferente no contato com os alunos da sociedade contemporânea. Pais (2011, p. 63) aponta que

[...] Na prática pedagógica, devemos valorizar a criação de situações, envolvendo conceitos e resoluções de problemas. Nessa linha de referência, coloca-se a

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cação escolar para alcançar as novas competências exigidas pela informatização da cultura e do trabalho, onde o fazer pedagógico não se resume à comunicação ou repetição dos saberes acumulados pela história.

De acordo com a citação anterior, o papel da escola é promover uma educação que coloque o aluno em contato com o seu cotidiano, criando situações-problemas que envolvam os conteúdos pré-estabelecidos nos livros didáticos. A informática pode au-xiliar com bastante propriedade neste processo, já que tem a facilidade em demonstrar situações práticas através de softwares educacionais que estão disponíveis livremente para as mais variadas disciplinas.

A grande responsabilidade da escola em relacionar os conteúdos dos livros didá-ticos ao cotidiano do aluno com a utilização do computador também é enfatizada por Cantú (2005), citado por Vaz et al (2009, p. 106), apontando que

Esta revolução tecnológica constitui um elemento essencial para a compreensão da nossa modernidade, na medida em que cria formas novas de socialização e, até mesmo, novas definições de identidade cultural e coletiva. Em função disto, considera-se como responsabilidade dos sistemas educativos, fornecerem, a to-dos, os meios para dominar a proliferação das informações, de selecioná-las e hierarquizar, dando mostras de espírito crítico.

Para que este processo se concretize faz-se necessário a utilização do computa-dor de forma interativa, não sendo somente um auxílio para o professor transmitir os conteúdos, mas para ser uma ferramenta que o aluno construa seu conhecimento atra-vés da relação dos conteúdos com as atividades de seu cotidiano. Quanto a isso Valente (1999, p. 2) expõe que

Quando o aluno usa o computador para construir o seu conhecimento, o computador passa a ser uma máquina para ser ensinada, propiciando condições para o aluno descrever a resolução de problemas, usando linguagens de programação, refletir sobre os resultados obtidos e depurar suas ideias por intermédio da busca de novos conteúdos e novas estratégias.

A partir dessa relação com o computador o aluno tem a oportunidade de despertar seu espírito crítico, propondo resoluções para os problemas, discutindo os resultados obti-dos e analisando as possíveis formas de solucionar os problemas que enfrenta no dia-a-dia. A informática na Educação Matemática

A Matemática é uma ciência que possibilita oportunidades de testes para afirmar ou refutar teoremas, sejam eles novos ou antigos. Essa possibilidade faz com que os professores tenham uma estratégia a mais para o desenvolvimento das aulas, contex-tualizando os conteúdos propostos pelos livros didáticos e propondo aos alunos que os testem. Neste sentido, os exemplos do cotidiano passam a ser utilizados e a relação dos alunos com os conteúdos fica mais interativa.

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A interação dos alunos com os conteúdos trabalhados em sala permite aos pro-fessores realizar experiências, o que passou a ser facilitado a partir do uso de computa-dores nas aulas. A visualização dos conteúdos com o auxílio de softwares matemáticos facilita a interação dos alunos com objetos pouco utilizados em seus cotidianos.

O enfoque experimental explora ao máximo as possibilidades de rápido feedback

das mídias informáticas e a facilidade de geração de inúmeros gráficos, tabelas e expressões algébricas (BORBA; PENTEADO, 2012, p.43).

Este retorno não é possibilitado nas aulas tradicionais, as quais têm caraterísti-cas apenas expositivas, em que os professores deixam de utilizar a capacidade crítica dos alunos, fazendo que estes assumam uma posição passiva no processo de ensino e aprendizagem. Esta postura tradicional dos professores perdeu espaço com a chegada dos computadores nas escolas e com a expansão deste instrumento para o desenvolvi-mento da sociedade contemporânea.

Aproveitar a capacidade que a Matemática tem de interpretar a natureza, rela-cionando-a com o cotidiano dos alunos deve ser uma estratégia a ser utilizada pelos professores contemporâneos. Para D’Ambrósio (1986, p. 14):

Não examinar o estudo da matemática neste contexto, seria educacionalmente falho e mesmo do ponto de vista do desenvolvimento de nossa ciência, isto é, encarando o ensino puramente do ponto de vista matemático, pelo menos de-sinteressante [...]. E somos então levados a atacar diretamente a estrutura de todo o ensino, em particular a estrutura do ensino da matemática, mudando completamente a ênfase do conteúdo e da quantidade de conhecimentos que a criança adquira, para uma ênfase na metodologia que desenvolva atitude, que desenvolva capacidade de matematizar situações reais, que desenvolva capacidade de criar teorias adequadas para as situações mais diversas, e na metodologia que permita o recolhimento de informações onde ela esteja, metodologia que permita identificar o tipo de informação adequada para uma certa situação e condições para que sejam encontrados, em qualquer nível, os conteúdos e métodos adequados.

Fazer com que os alunos construam os conceitos matemáticos através da experi-mentação e relação com o cotidiano por meio de softwares matemáticos possibilita aos professores realizarem atividades diagnósticas, com o intuito de analisar os processos realizados no decorrer das aulas, dando a capacidade de descrever os pontos fortes e fracos da metodologia utilizada para expressar os conteúdos.

Valente (1999, p. 21) mostra que

O uso do computador permite a realização do ciclo descrição-execução reflexão-depuração-descrição, no qual novos conhecimentos podem ser ad-quiridos na fase da depuração. Quando uma determinada ideia não produz os resultados esperados, ela deve ser burilada, depurada ou incrementada

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com novos conceitos ou novas estratégias. Esse incremento constitui novos conhecimentos, que são construídos pelo aluno.

A resistência dos professores para a utilização de metodologias inovadoras e in-formatizadas ainda é muito presente nas escolas. Este fato se deve ao pouco interesse em incentivar o uso de tecnologias na educação nos cursos de formação de professores. Introduzir a informática na educação matemática é um processo inevitável para um bom desenvolvimento do processo de ensino e aprendizagem, principalmente na socie-dade contemporânea que se tornou dependente de tecnologias da informação. Valente (1999, p. 9) confirma esta afirmação, quando expõe que

A questão da formação do professor mostra-se de fundamental importância no processo de introdução da informática na educação, exigindo soluções inovado-ras e novas abordagens que fundamentem os cursos de formação (VALENTE, 1999, p. 09).

As Políticas Públicas de informatização das escolas auxiliaram fortemente para uma grande expansão do uso de tecnologias nas aulas da atualidade, não só de Matemá-tica, mas de todas as demais áreas do conhecimento, Machado (2005, p. 81) mostra que

Atualmente a utilização da informática está cada vez mais presente e isso é veri-ficado de um modo muito marcante na pesquisa e no ensino não só da matemá-tica, mas também de quase todas as áreas do conhecimento. Sendo assim, faz-se necessário à familiarização dos estudantes com esta ferramenta.

A utilização da informática nas aulas de Matemática influenciou abordagens que possibilitam aos alunos construírem de seus próprios conceitos matemáticos através do contato com os objetos que muitas vezes aparecem imaginários nos livros didáti-cos. Uma destas abordagens será descrita posteriormente, apontando os motivos de sua criação e seu desenvolvimento como proposta pedagógica utilizada mundialmente. APLICAÇÃO DA SEQUÊNCIA DIDÁTICA

Série de Pagamentos – características

A Série de Pagamentos é definida como sendo o capital de que se dispõe perio-dicamente para algum fim. Pagar alguma prestação, aplicar em poupança ou investi-mentos são os exemplos mais comuns de séries de pagainvesti-mentos. Na realidade, a série de pagamentos nada mais é que uma sucessão de capitais exigíveis periodicamente, seja para amortizar uma dívida, seja para fornecer um fundo de reserva. Uma série de pagamentos caracteriza-se por uma sucessão de capitais iguais (pagamentos ou recebi-mentos, que podem ser antecipados ou postecipados).

Para atender à finalidade prática, desenvolvemos séries de pagamentos com as seguintes características:

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• A diferença de prazo entre cada termo é constante, isto é, os vencimentos, a partir do primeiro variam de 10 em 10 dias, de 20 em 20 dias, de 30 em 30 dias, etc; • A quantidade de termos é finita;

• Os valores dos termos da série podem ser constantes (iguais ou uniformes) e variá-veis, de forma aleatória, ou conforme uma progressão (aritmética ou geométrica); • Os vencimentos dos termos podem ser antecipados (ocorrem no início de cada

pe-ríodo), ou postecipados (ocorrem no final de cada período).

Utilizaremos as Séries de Pagamentos Iguais com Termos Vencidos (ou Poste-cipados), que é uma sucessão de pagamentos ou recebimentos iguais, que ocorrem no final de cada período e a Série de Pagamentos Iguais com Termos Antecipados, as quais ocorrem no início de cada período.

Para facilitar o manuseio de dados, torna-se muito prática a utilização de símbo-los para definir as variáveis envolvidas, possibilitando a elaboração de fórmulas mais resumidas. Os símbolos aqui apresentados são os mesmos da calculadora financeira HP 12C. Portanto, as variáveis utilizadas são: PMT: valor de cada parcela; FV: valor futuro; PV: valor presente; i: taxa de juros; n: período.

Fatores

Os Fatores trabalhados no minicurso e suas definições estão explicitados a se-guir, salientando que as taxas foram utilizadas de acordo com as definições de juros compostos:

• Fator de Acumulação de Capital (FAC) - É a série que mostra a acumulação de capital através de depósitos iguais e periódicos. O valor futuro (montante) produzido pelas apli-cações poderá servir como poupança ou para a aquisição de bens. Os termos utilizados são antecipados, ou seja, as aplicações são efetuadas no início de cada período.

• Fator de Formação de Capital (FFC) - Este fator é importante em análise de retorno de investimentos e em constituição de um capital (consórcio, aposentadoria, títulos de capitalização, formação de fundos ou poupança futura).

• Fator de Valor Atual (FVA) - Quando temos uma situação em que há uma série de valores nominais, anuidades ou prestações – PMT, postecipadas e precisamos calcu-lar o valor atual, presente - PV estamos nos valendo deste conceito.

• Fator de Recuperação de Capital (FRC) - É a série que mostra o retorno do capital através de pagamentos iguais e periódicos. Este retorno pode ser de um empréstimo ou da aquisição de um bem.

Para a utilização dos conceitos nas planilhas, utilizam-se os seguintes símbolos representativos das operações (Excel e Calc):

Multiplicação: * (asterisco) Divisão: / (barra)

Adição: +

Subtração: - (ífen)

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Algumas observações são interessantes destacar: i) O Calc e o Excel não aceitam colchetes [ ] e chaves { } nas expressões matemáticas, só aceitam parênteses ( ); ii) Referência Absoluta: Existem situações que exigem que a fórmula copiada mantenha fixa a(s) referência(s) de determinada(s) célula(s). Neste caso, é chamada de referên-cia absoluta, que é identificada por um sinal de cifrão ($) à esquerda da referênreferên-cia de coluna ou linha; iii) Ctrl+F8 – Ativa o realce, diferencia números digitados dos valores adquiridos a partir das fórmulas.

Desenvolvimento do Minicurso

Os objetivos da aplicação da sequência didática foram os seguintes: i) salientar a necessidade de se utilizar a tecnologia para facilitar os processos que exigem uma maior técnica e que estes recursos estão ao nosso alcance; ii) levar o aluno a conhe-cer métodos práticos através de uma ferramenta computacional conhecida e bastante utilizada no meio financeiro que é o caso do Microsoft Excel; iii) explanar sobre a importância de se encontrar métodos simples e rápidos para a execução de atividades rotineiras, as quais devem ser solucionadas com agilidade; iv) construir fatores que levem ao resultado tendo como variáveis disponíveis o PMT (Valor das prestações), a taxa de juros (i) referentes ao período de aplicação e o prazo (ou quantidade) de apli-cações iguais e sucessivas (n).

O desenvolvimento da sequência didática se deu da seguinte forma: exposição da simbologia utilizada nas equações para o cálculo dos fatores (FAC, FFC, FVA e FRC), as quais são as mesmas que já foram utilizadas nos conteúdos anteriores, são eles: i (Taxa de juros) - Quando da não utilização da calculadora financeira, se a taxa de juros é dada, esta deve ser dividida por 100. Quando se deseja encontrar a taxa de juros, a mesma, após ser encontrada, deve ser multiplicada por 100; n (Tempo) - prazo, número de períodos, quantidade de prestações. Deverá estar sempre compatível com a periodicidade da taxa de juros (i). No caso de juros compostos, a equivalência poderá ser efetuada no número de períodos, ou na taxa de juros, enquanto, que em anuidades, é indispensável a utilização de equivalência da taxa de juros; FV (Valor futuro) - va-lor nominal de um título, vava-lor de face, montante, vava-lor residual de um bem, vava-lor do capital acrescido de seus rendimentos; PMT (Valor de cada parcela, de cada prestação, de cada depósito) - Normalmente, é utilizado quando se trata de anuidades, onde exis-tem pagamentos ou recebimentos de várias parcelas; e PV (Valor Presente) – Valor de resgate do título, o valor do bem que se está comprando ou o valor do empréstimo que está contratando.

A confecção das tabelas foi orientada de acordo com os exemplos expostos na apostila, dando uma maior realidade aos fatores que eram descobertos de acordo com o avanço das colunas e linhas. Os participantes criavam as tabelas de acordo com as taxas solicitadas nos exemplos práticos, salientando que os conteúdos anteriores eram requisitados e revisados de acordo com a necessidade de cada exemplo.

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1. Construa tabelas com os fatores FAC, FAV, FFC e FRC para os prazos 1 ≥ n ≥ 72, paras as seguintes taxas efetivas:

a) 1,0% ≥ i ≥ 1,9% b) 3,0% ≥ i ≥ 3,9%

c) 1,05%; 1,15%; 1,25%; 1,35%; 1,45%; 1,55%; 1.65%; 1,75%; 1,85%; 1,95% d) 1,5%; 2,5%; 3,5%; 4,5%; 5,5%; 6,5%; 7;5%

2. O Sr. Ivan resolve fazer 20 aplicações mensais da seguinte forma: (i) 10 prestações iniciais de R$ 1.500,00 cada uma;

(ii) 10 prestações restantes de R$ 2.500,00 cada uma.

Sabe-se que essas aplicações proporcionarão um rendimento de 2,25% ao mês. Calcular o saldo acumulado, capital mais os juros, à disposição do Sr. Ivan no final do 20º mês.

Após a realização dos exemplos foram esclarecidos alguns detalhes acerca da maneira como os problemas eram desenvolvidos e outros exemplos com maior com-plexidade de interpretação foram resolvidos com o acompanhamento dos participantes em todo o processo de resolução, pois vários outros conceitos deveriam ser utilizados, são eles:

1. (FAC) Determinar o montante de uma série de 12 aplicações mensais, iguais e con-secutivas, no valor de R$ 250,00 cada uma, a uma taxa de 2,5% ao mês, sabendo-se que a primeira parcela é aplicada no final do primeiro mês, ou seja, 30 dias após a data do instante “zero”.

2. (FFC) Quanto uma pessoa terá de aplicar, mensalmente, em um “fundo de renda fixa”, durante 5 anos, para que possa resgatar, no final do período R$ 95.000,00, sabendo que o fundo proporciona um rendimento de 1,75% ao mês?

3. (FVA) Calcular o valor de um automóvel que foi financiado em 36 parcelas de R$ 987,45 a uma taxa de juros de 1,98% ao mês.

4. (FRC) Calcular o valor da prestação de um empréstimo de R$ 35.000,00, para ser pago em 48 parcelas mensais iguais e consecutivas, sendo a taxa de juros de 4,75% ao mês.1. Uma empresa obtém um empréstimo de R$ 500.000,00 para ser quitado em 60 pagamentos mensais iguais. Sabe-se que a primeira prestação vence 120 dias após a data do contrato, e que a taxa de juros é de 12,69% ao ano mais 0,5% ao mês de correção. Calcular o valor da prestação.

5. Determine o valor de um apartamento que foi financiado em 90 meses, à taxa de 1,2% ao mês, onde o cliente irá pagar 90 parcelas mensais, iguais e consecutivas, de R$ 850,00.

As tabelas foram concluídas, conforme exemplo a seguir, e os participantes as utilizaram para a resolução dos exemplos anteriores, os quais foram resolvidos com maior facilidade e agilidade.

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Tabela 1: Simulação de Fator de Acumulação de Capital - Pagamentos Antecipados

A tabela anterior é um exemplo de Fator de Acumulação de Capital com termos antecipados. No lado direito as três últimas colunas demonstram a comparação de duas aplicações, ambas de R$ 250,00 reais cada aplicação, no entanto, com taxas de 2% e 5% para que a evolução dos rendimentos seja visualizada de forma clara, mostrando o rendimento em cada mês de aplicação.

O gráfico demonstrativo desta evolução está exposto a seguir e foi construído somente pelo instrutor para que os participantes visualizassem, já que o tempo não foi suficiente para a construção detalhada.

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Figura 1: Simulação de gráfico evolutivo - Acumulação de Capital - Pagamentos Antecipados

CONSIDERAÇÕES FINAIS

As escolas devem incentivar seus professores a utilizarem metodologias que es-tão de acordo com a sociedade em que os alunos eses-tão inseridos para que estes estejam preparados para assumirem um papel de transformadores do meio em que vivem. Este é o papel da educação, criar cidadãos com a possibilidade de intervirem nos processos sociais com criticidade.

Conhecer os conceitos matemáticos favorece o entendimento da natureza e, con-sequentemente, oferece a possibilidade de desvendar os problemas ocorridos no coti-diano. Este conhecimento matemático possibilita utilizar seus vários recursos para se chegar ao resultado de problemas complexos do dia a dia.

O uso da tecnologia em conjunto com a Matemática faz com que o processo de aprendizagem seja executado de forma concreta. No caso da confecção das tabelas re-ferentes aos fatores das aplicações ou amortizações, a utilização das planilhas facilita o processo de construção de fatores com taxas e prazos aleatórios, de acordo com a necessidade do utilizador.

Pode-se concluir que o minicurso trouxe uma nova possibilidade aos participan-tes, já que os mesmos não haviam vivenciado este procedimento no decorrer das aulas regulares. A avaliação diagnóstica referente ao desenvolvimento do minicurso mostrou que grande parte dos participantes aprovou a metodologia utilizada, o conhecimen-to da matéria, a utilização dos recursos didáticos, exposição dos conteúdos e o bom relacionamento com o grupo de trabalho. Além disso, os participantes aprovaram os recursos didáticos utilizados, apontando que o minicurso atingiu seus objetivos, tendo um bom aproveitamento e uma possível utilização no futuro, no entanto, foi sugerida uma carga horária maior para que outros exemplos fossem resolvidos.

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MATH WITH FINANCIAL AID SPREADSHEET: SERIES OF PAYMENTS IN PRACTICE

Abstract: this work shows the results of applying a sequence of teaching financial

mathematics, referring to the series of payments made in the Meeting of Mathematics Education UEG - UNU Iporá. For this, we used spreadsheets to demonstrate mathe-matical equations concrete and simplified form. Practical activities were performed using the Calc software, it is free. Spreadsheets allowed further development of con-cepts and apprehension on the part of students, which viewed tables of factors clearly and accurately.

Keywords: Financial Mathematics. Series of Payments. Technology. Spreadsheets. Referências

BORBA, Marcelo de Carvalho; PENTEADO, Miriam Godoy. Informática e educação

matemática. 5. ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2012.

MACHADO, João Carlos R. A Informática no Curso de Licenciatura em Matemática

na UFPA: Os olhares dos alunos. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) –

Universidade Federal do Pará, Belém, 2005.

PAIS, Luiz Carlos. Didática da matemática. 3. ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2011. VALENTE, José Armando. Informática na educação: uma questão técnica ou pedagó-gica? Revista Pátio, Porto Alegre, ano 3, n. 9, p. 21-23, 1999.

VALENTE, José Armando (Org.). O computador na sociedade do conhecimento. Cam-pinas: Ed. da UNICAMP/NIED, 1999.

VAZ, Caroline Rodrigues; FAGUNDES, Alexandre Borges; PINHEIRO, Nilcéia A. Maciel. O surgimento da ciência, tecnologia e sociedade (CTS) na educação: uma revisão. In: I SIMPÓSIO NACIONAL DE ENSINO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA,

Anais... Curitiba, 2009. ISBN: 978-85-7014-048-7. Disponível em: <http://www.

pg.utfpr.edu.br/sinect/anais/artigos/1%20CTS/CTS_Artigo8.pdf>. Acesso em: 10 out. 2013.

* Recebido em: 13.01.2014. Aprovado em: 25.03.2014. KLIVER MOREIRA BARROS

Mestrando em Educação para Ciências e Matemática pelo Instituto Federal de Educação, Ciência e Tec-nologia de Goiás. Especialista em Docência do Ensino Superior pela Universidade de Rio Verde; em Matemática pela Faculdade do Interior de Minas, em Estratégias Gerenciais para o Agronegócio pela Universidade de Rio Verde. Licenciado em Matemática pela Universidade Estadual de Goiás – Iporá. Professor na Universidade de Rio Verde. E-mail: kliver@unirv.edu.br.

ADELINO CÂNDIDO PIMENTA

Doutor em Educação Matemática pela Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho. Mestre em Educação pela Pontifícia Universidade Católica de Goiás. Especialista em Matemática Superior pela PUC Minas Gerais. Licenciado em Matemática pela Pontifícia Universidade Católica de Goiás. Profes-sor e Pesquisador no Instituto Federal de Goiás, Campus Goiânia. ProfesProfes-sor na Pontifícia Universidade Católica de Goiás. E-mail: adelino.pimenta@ifg.edu.br.