Revisão sobre triângulos Cevianas

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Revisão sobre triângulos

Cevianas

É todo segmento que tem uma extremidade num vértice qualquer de um triângulo e a outra num ponto qualquer da reta suporte ao lado oposto ao mesmo.

Classificação dos triângulos

Quanto aos lados:

Equilátero: possui os três lados congruentes.

Isósceles: possui dois lados congruentes; o terceiro lado chama-se base; os ângulos adjacentes à base são congruentes.

Escaleno: quando os três lados têm medidas diferentes.

Quanto aos ângulos:

Retângulo: quando um dos ângulos internos é reto. Acutângulo: quando os três ângulos internos são agudos. Obtusângulo: quando um dos ângulos internos é obtuso.

Elementos notáveis do triângulo

- Altura: é a ceviana que une um vértice ao lado oposto, formando com esse lado um ângulo reto.

- Bissetriz: é a ceviana que parte de um dos vértices do triângulo dividindo o ângulo em duas partes iguais. - Mediana: é a ceviana que une um vértice ao ponto médio do lado oposto.

- Mediatriz: é a reta perpendicular ao lado de um triângulo por seu ponto médio.

Atividades básicas

I) Criando um triângulo retângulo que não se deforma com a movimentação dos vértices (sem usar a ferramenta polígono regular).

• Inicie um novo desenho.

• Exiba a malha e oculte os eixos.

• Crie um segmento de reta “a” de A para B horizontal.

• Crie uma reta “b” perpendicular a “a” passando por A. Aqui se localizará o ângulo reto do triângulo.

• Crie o ponto “C” sobre a reta “b”.

• Oculte a reta “b”.

• Complete o triângulo unindo os pontos AC e BC.

• Oculte os rótulos de todos os segmentos de reta que compõem o triângulo.

• Movimente os vértices e analise o comportamento do desenho.

• Exiba todos os objetos ocultos e repita o passo anterior. II) Traçando a altura de um triangulo relativa a hipotenusa.

• Crie um triângulo retângulo.

• Trace uma reta perpendicular à hipotenusa passando pelo vértice oposto à ela.

• Crie o ponto “D” de interseção entre a perpendicular e a hipotenusa.

• Oculte a perpendicular.

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III) Criando um quadrado que não se deforma com a movimentação dos vértices (sem usar a ferramenta polígono regular).

• Crie um segmento de reta “a” de A para B horizontal.

• Crie uma reta “b” perpendicular a “a” passando por A.

• Crie uma reta “c” perpendicular a “a” passando por B.

• Crie um círculo “d” com centro em A e raio AB.

• Crie um círculo “e” com centro em B e raio AB.

• Marque o ponto “C” de interseção entre os circulo “d” e a reta “b”.

• Marque o ponto “D” de interseção entre os circulo “e” e a reta “c”.

• Oculte os círculos “d” e “e”.

• Oculte as retas “b” e “c”.

• Complete o quadrado unindo os pontos que não estão ligados.

• Oculte os rótulos de todos os segmentos de reta que compõem o quadrado.

• Movimente os vértices e analise o comportamento do desenho.

• Exiba todos os objetos ocultos e repita o passo anterior.

Atividades

1. Criando um triângulo inscrito em um círculo.

• Construa um triangulo qualquer ABC.

• Construa a mediatriz dos segmentos AB e AC.

• Marque o ponto “D” de interseção entre as mediatrizes.

• Trace a mediatriz do lado BC.

• Movimente os vértices e verifique que a mediatriz de BC também passa por “D”.

• Trace um círculo de centro “D” que passa por “A”.

• Observe as posições de “B” e “C” em relação ao círculo.

• Movimente os vértices do triangulo e veja o comportamento do ponto “D”.

2. Construa um triângulo e identifique o seu incentro denominando-o de P. Incentro é o ponto de encontro das bissetrizes de um triângulo. Movimente os vértices e verifique a manutenção da propriedade.

3. Construa duas retas r e s paralelas. construa agora uma reta t paralela equidistante às retas r e s.

4. Construa um triangulo retângulo que não perca suas propriedades ao se deslocar os vértices. Trace a mediana no triangulo referente à hipotenusa. Calcule a relação entre o comprimento da mediana e o comprimento da hipotenusa.

5. Homotetia significa ampliação ou redução das distâncias dos pontos de um espaço em relação a um ponto fixo. Uma homotetia é definida pelo seu centro O e pela razão k de homotetia e é a aplicação afim tal que, a cada ponto P, faz corresponder o ponto P' tal que: OP = k.OP’. O termo é devido ao matemático francês Michel Chasles, em 1827, derivado do grego como composto de homo (similar) e tetia (posição). Uma homotetia preserva: ângulos, razões entre segmentos de reta segmentos e linhas são transformados em segmentos e linhas paralelos aos originais. Reproduza no GeoGebra a figura abaixo sabendo que os triângulos são equivalentes. Siga os passos abaixo:

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• Crie o triângulo ABC usando a ferramenta Polígono.

• Crie o ponto O. Mude o nome do ponto se necessário.

• Crie o triângulo DEF. O ponto D é o ponto médio de OA, o ponto E é o ponto médio de OB e o ponto F é o ponto médio de OC.

• Verifique se existe alguma relação entre dois lados correspondentes (ex: AB e DE). O que você observa em relação à medida dos lados correspondentes dos dois triângulos? Existe uma relação entre essas medidas?

• Calcule a relação entre dois ângulos correspondentes (ex: AB e DE).O que se pode afirmar em relação à medida dos ângulos correspondentes dos dois triângulos? Existe uma relação entre essas medidas?

• O que se pode afirmar em relação à medida das áreas dos dois triângulos? Existe uma relação entre essas medidas?

• O que se observa em relação à medida dos perímetros dos dois triângulos? Existe uma relação entre essas medidas?

6. Em geometria, o teorema de Tales para o círculo afirma que se A, B e C são pontos em um círculo cuja reta AC é o diâmetro, então o ângulo ABC é sempre reto. O teorema de Tales é um caso especial do teorema do ângulo inscrito.

• Crie um segmento de reta AC.

• Crie o ponto “O” como sendo o ponto médio de AC.

• Trace um círculo com centro em “O” e passando por “A”.

• Crie o ponto “B” sobre o circulo.

• Conclua a figura de acordo com a figura abaixo.

• Meça o ângulo ABC.

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7. Sejam ABC é um triângulo retângulo e P é um ponto móvel na hipotenusa BC. Se I e AB e J e AC são tais que PI é perpendicular à AB e PJ é perpendicular à AC, existe situação em que IJ atinge valor mínimo? Construa a figura abaixo no GeoGebra. Procure uma maneira de medir o segmento IJ. Movimente o ponto P, observe o comportamento de IJ e responda a questão formulada. Tente justificar a resposta.

8. Construa a figura abaixo. Tente partir de um pentágono criado usando a ferramenta Polígono Regular.

9. Estudando os coeficientes de uma função afim y=ax+b.

• Exiba os eixos.

• Crie um seletor de nome a com intervalo de -10 até 10.

• Crie um seletor de nome b com intervalo de -10 até 10.

• Na Barra de Entrada digite a função y = a*x + b.

• Crie um ponto na interseção do gráfico da função com o eixo x. Mude as propriedades deste ponto para exibir apenas o Valor no Rótulo.

• Crie um ponto na interseção do gráfico da função com o eixo y. Mude as propriedades deste ponto para exibir apenas o Valor no Rótulo.

• Calcula-se a raiz de uma função afim analiticamente pela fórmula: r = -b/a. Crie um número com esse valor e verifique se está de acordo com a coordenada x ponto de interseção com o eixo x.

• Mude os valores dos seletores e veja a influência dos coeficientes a e b no gráfico da função. Qual a influência do coeficiente a? E do coeficiente b?

10. Interprete geometricamente (construa o gráfico) e resolva o seguinte sistema de equações abaixo:

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obter valores para Δ<_0,Δ=₀eΔ>₀ _{. Qual a influencia de cada coeficiente no gráfico? E do valor}

de Δ _?

12. Siga os passos e faça o que se pede:

a) Crie um ponto R no eixo x.

b) Crie um ponto em O, renomeie ele para O se for preciso. c) Crie um círculo com centro em O e raio OR.

d) Crie um ponto P na circunferência.

e) Trace uma reta r perpendicular ao eixo x passando pelo ponto P. f) Nomeie o ponto de intersecção entre a reta r e o eixo x como M. h) Crie três segmentos OP, OM e PM, com a cor vermelha, e meça-os. i) Organize os rótulos dos segmentos de modo que fiquem visíveis. j) Meça o ângulo POM.

k) Desloque agora o ponto R até que o raio da circunferência seja 1.

Movimente o ponto P sobre a circunferência para responder às questões abaixo:

i) Construa a tabela

α 10 ° 30 ° 50 ° 70 °

sen α cos α

ii) Obtenha valores aproximados de α, em graus, com 0°<α<90° de modo que:

a) sen α = 0,6 b) cos α =0,7 c) sen α = cos α

13. Siga os passos e faça o que se pede:

a) Na atividade anterior, crie a reta passando pelos pontos O e P. b) Pelo ponto A, trace a reta t perpendicular ao eixo x.

c) Nomeie de T, a intersecção da reta t com a reta OP d) Crie o segmento TA, com cor azul e meça-o.

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Movimente o ponto P sobre a circunferência para responder às questões abaixo:

i) Construa a tabela

α 10° 30° 60°

tan α

ii) Obter valores aproximados de α, em graus, com 0° < α < 90° de modo que:

a) tan α = 0,6 c) tan α = 1

14. A curva de Agnesi tem esse nome em homenagem à matemática italiana Maria Agnesi (1718-1799) que a citou em seu livro de cálculo publicado em 1748 com o nome de versiera. A equação da curva de Agnesi num sistema de coordenadas cartesianas é y= 8r3_/(4r2_+x2_{). Vamos construí-la} geometricamente.

a) Defina uma variável r com um valor que você desejar (entre 1 e 5).

b) Construa uma circunferência de raio com centro em (0, r) que é tangente ao eixo x na origem. c) Renomeie o ponto criado na origem para O.

d) Construa a reta s de equação y=2r. e) Crie um ponto P na reta s.

f) Crie um ponto Q na interseção do segmento OP com a circunferência. g) Crie uma reta t passando por P, perpendicular ao eixo x.

h) Crie uma reta m passando por Q e perpendicular ao eixo y.

i) Crie um ponto na intersecção das retas m e t, mude o nome desse ponto de S . j) Habilite rastro do ponto S.

k) Mova o ponto A sobre a reta y=2r e observe a formação da curva.