Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães

Escola Nova Criança e Cia

Curso de Aprofundamento

MATEMÁTICA

–

MODULO 1

APROFUNDAMENTO SÉRIES

INICIAIS

1

Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães

Mestre em Educação Matemática – UNESP (Rio Claro) – Capes 6 Licenciado em Ciências / Matemática – Guaxupé

Licenciado em Pedagogia (Administração e Supervisão Escolar) – Jaboticabal Especialista em Matemática – UFSJ

Especialista em Matemática - Guaxupé

Especialista em Metodologia do Ensino da Matemática _– Jaboticabal

Aprovado em 1º lugar em 2003 em concurso com 250.000 concorrentes

Ex-elaborador de questões para o ENEM/ENCCEJA - INEP Teleconferencista e Produtor de Material Didático pelo IESDE Brasil

Ex-formador de Professores de Matemática na Rede Federal

2

Senhor Pai,

“A Matemática é um jogo para jovens”

, já dizia o grande matemático G. H.

Hardy, ao mostrar que as idéias que mais revolucionaram a Matemática não vieram

de pessoas de idade avançada, mas de jovens, em geral, com menos de 30 anos.

Rienmann, importante matemático, é considerado “muito velho” por ter produzido

coisas importantes em Matemática aos 39 anos.

É nessa lógica que existem por todo mundo Olimpíadas de Matemática, que

tem como objetivo aproveitar os jovens talentos.

Eu noto que a capacidade de aprendizado de nossas crianças tem evoluído

muito, em alto grau de abstração, e, elas demontram gostar de Matemática. Que

maior felicidade eu e a Aline tivemos que após uma divertida aula de Música os

alunos do 2º ano gritaram em coro: “Obaaaa! Matemáticaaaaa”.

Matemática não é apenas fazer contas. Também é. Mas ela envolve tantos

conceitos interessantes que importante despertá-los o quanto mais cedo. E essas

crianças do 2º ao 4º ano terão da Escola Nova essa oportunidade, em 4 horários

semanais, nas segundas e sextas-feiras, de desfrutar de um curso de ótima

qualidade com professores preparados para tal.

O professor Otávio, titular da turma, vocês já conhecem, e na contracapa há o

currículo. A jovem professora Aline Regina de Oliveira, de apenas 19 anos, recebeu

2 medalhas da OBMEP, 4 menções honrosas e participou 2 vezes do Programa de

Iniciação Científica da Sociedade Brasileira de Matemática com bolsa, desde os 15

anos. Na faculdade, cursando Ciência da Computação, participa de Maratonas de

Programação (que são resolução de problemas de Matemática em códigos de

computador) e de Juízes Virtuais desse mesmo tipo de programa (chamados de

“Contests”) tendo uma ótima colocação, sendo a segunda mulher do país com

melhores resultados e a segunda aluna de sua instituição em desempenho. A

capacidade dela é muito grande, principalmente levando em conta que ela sempre

estudou em Escola Pública.

As crianças precisam aproveitar essa idade, onde a concentração está ainda

na curiosidade pelo mundo, e ainda não pegaram o péssimo hábito de ter “medo” ou

“não gostar” de Matemática. Elas gostam! Então vamos aproveitar.

Mãos a obra.

4

O Módulo Zero

A única Olimpíada de Matemática que alunos do 2º ao 5º ano podem fazer se chama Canguru Matemático Sem Fronteiras. É uma Olimpíada Internacional, onde há um comitê no Brasil e outro em Portugal.

Nesse Módulo vamos resolver todos os problemas disponibilizados pelo comitê de Portugal para os níveis MINI ESCOLAR I, II e II. Acreditamos ter inserido todos os problemas, mas algum pode ter sido esquecido por problemas técnicos.

Vocês notarão uma linguagem um pouco “rebuscada”, diferente do comum, pois, a forma de

escrever em Portugal varia um pouco da forma de escrever no Brasil – não apenas em termos ortográficos, mas também sintáticos.

Algumas questões são MUITO DIFÍCEIS. Lembrem-se que é uma Olimpíada Internacional! Ainda assim, acredito que temos alunos na Escola Nova em Monte Santo de Minas com nível Internacional.

Os níveis do Canguru Matemático Sem Fronteiras em Portugal são:

Prova "MINI-ESCOLAR-I" (2.º ano de escolaridade)

Prova "MINI-ESCOLAR-II" (3.º ano de escolaridade)

Prova "MINI-ESCOLAR-III" (4.º ano de escolaridade)

Prova "ESCOLAR" (5.º e 6.º anos de escolaridade)

Prova "BENJAMIM" (7.º e 8.º anos de escolaridade)

Prova "CADETE" (9.º ano de escolaridade)

Prova "JÚNIOR" (10.º e 11.º anos de escolaridade)

Prova "ESTUDANTE" (12.º ano de escolaridade)

5

A prova MINI ESCOLAR foi criada em Portugal em 2011, apenas para o 4º ano de escolaridade. A partir de 2012 para 2º, 3º e 4º ano. Portanto, temos questões dessas provas, de 2011 em diante.

Em geral algumas questões se repetem em várias provas. A numeração das questões está de acordo com o nível.

Se nada estiver escrito na frente do ano da prova, ela foi aplicada no nível MINI ESCOLAR I e pode ter sido aplicado nos níveis II e III. Se tiver escrito +3 foi aplicada no nível MÍNI ESCOLAR II e pode ter sido aplicada no nível MINI ECOLAR III, mas não no I. Se tiver escrito +4 foi aplicada no nível escolar MINI ESCOLAR III e talvez em séries mais avançadas.

Pedimos que não se desespere! Os conteúdos serão estudados, avaliados, e posteriormente trabalharemos outros assuntos tão interessantes quanto. (As atividades e comentários em box cinza não são do Canguru)

http://www.mat.uc.pt/canguru

Contagem Simples

6 2) (Canguru Matemático _– 2015) Quantos triângulos estão no desenho da figura ao lado?

3) (Canguru Matemático _– 2012) Quantas patas podes contar na figura?

4) (Canguru Matemático – 2013) Qual dos vestidos tem menos de 7 pintas e mais de 5 pintas?

5) (Canguru Matemático _– 2014) A joaninha vai pousar numa flor com cinco pétalas e três folhas. Em que flor vai pousar a joaninha?

(A) (B) (C) (D) (E)

6) (Canguru Matemático _– 2013) Quais dos seguintes algarismos não estão na figura ao lado?

(A) 3 e 5 (B) 4 e 8 (C) 2 e 0

7 7) (Canguru Matemático _– 2015) O Gonçalo tem 4 quadros com várias figuras.

Qual ´e a figura que não esta´ em todos os quadros?

8) (Canguru Matemático _– 2015) Num arbusto vivem as cinco joaninhas desenhadas na figura. No total, quantas pintas têm estas joaninhas?

9) (Canguru Matemático _– 2013) Que tipo de quadrado aparece mais vezes na figura seguinte?

(A)

(E) Todos por igual

8 Muito comum na Internet encontrarmos questões “Quantos Quadrados você vê”, ou coisas do

9

Problemas Aritméticos - Estratégias Elementares

Matemática

não é apenas apresentar a resposta. Só a resposta NÃO

SERVE. Você também precisa explicar o caminho que utilizou para

chegar até o resultado(Resolução).

10 2) (Canguru Matemático _– 2012) Hoje, a Ana somou a sua idade com a idade da irmã e obteve 10 como resultado. Se ela fizer a mesma operação daqui a um ano, que resultado obterá?

3) (Canguru Matemático _– 2012) Um dragão tem três cabeças. Cada vez que um herói corta uma das cabeças do dragão, surgem três novas cabeças. O herói corta uma cabeça e, em seguida, corta outra cabeça. Com quantas cabeças ficou o dragão?

4) (Canguru Matemático _– 2012) Numa festa da escola, o David, o João e o Bernardo receberam, cada um, um saco com 10 rebuçados. Cada um dos rapazes comeu um rebuçado e deu outro ao professor. Com quantos rebuçados ficaram ao todo os três rapazes?

5) (Canguru Matemático – 2015) Numa pista de corrida em linha reta existem 11 bandeiras. A primeira bandeira está colocada no início da pista e a última esta´ colocada na linha de chegada. A distância entre cada bandeira e a seguinte é 8 metros. Qual ´e o comprimento da pista?

11

Problemas Aritméticos - Operações

1) (Canguru Matemático _– 2012) Treze amigos estão a jogar às escondidas. O Nuno já´ encontrou nove dos amigos que estavam escondidos. Quantos amigos ainda estão escondidos?

2) (Canguru Matemático _– 2013) Numa sala, onde estão 4 crianças, ha´ uma prateleira com 12 livros. Se cada criança retirar um livro da prateleira, quantos livros lá ficam?

3)(Canguru Matemático _– 2012 _– 3+) Dentro de uma caixa estão três caixas, cada uma destas caixas contém três caixas mais pequenas. Quantas caixas são ao todo?

4) (Canguru Matemático _– 2014 _– 3+) . Para obter o produto de 2×3×15, o Francisco tem de

pressionar as teclas da sua calculadora sete vezes: . O Francisco quer

obter o produto de todos os numeros de 3 a 21. Pelo menos, quantas vezes vai ele pressionar as teclas da sua calculadora?

12

Problemas Aritméticos – Organização de

Operações e Estratégias

FAÇA DESENHOS

FAÇA RABISCOS

TENTE ACHAR UMA SOLUÇÃO MAIS FÁCIL

TENTE ACHAR MAIS DE UMA MANEIRA DE FAZER

1) (Canguru Matemático _– 2012 _– 3+) O Alexandre comprou 4 tartes de nata e o Igor comprou 6 bolos de chocolate. Eles pagaram o mesmo e, em conjunto, pagaram 24 euros. Quanto custa um bolo de chocolate?

2) (Canguru Matemático _– 2012 _– 3+) A avó Maria fez 11 bolinhos. Ela decorou 5 bolinhos com passas e 7 com pepitas de chocolate. Pelo menos, quantos bolinhos foram decorados

13 3) (Canguru Matemático _– 2012 _– 4+) Três balões custam 12 cêntimos a mais do que um balão. Quantos cêntimos custa um balão?

4) (Canguru Matemático _– 2013 _– 3+) O pai deu 5 maçãs a cada um dos seus três filhos: Ana, Sara e Miguel. A Ana deu 3 maçãs `a Sara e depois a Sara deu metade das suas maçãs ao Miguel. No final, com quantas maçãs ficou o Miguel?

5) (Canguru Matemático _– 2013 _– 3+) Uma caixa de base quadrada ´e preenchida com duas camadas de pedaços quadrados de chocolate idênticos. O Pedro comeu todos os 20 pedaços quadrados da camada superior e encostados `as paredes da caixa. Quantos pedaços quadrados de chocolate ficaram na caixa?

6)(Canguru Matemático _– 2014 _– 3+) O coelho Saltitão come couves e cenouras. Em cada dia ele come ou 10 cenouras ou 2 couves. Na semana passada o Saltitão comeu 6 couves. Quantas cenouras comeu o Saltitão nessa semana?

14 8)(Canguru Matemático _– 2014 _– 4+) A coelha Tica gosta muito de couves e cenouras. Por dia ela come ou 9 cenouras, ou 2 couves, ou 1 couve e 4 cenouras. Na semana passada a Tica comeu 30 cenouras. Quantas couves comeu nessa semana?

9)(Canguru Matemático _– 2014 _– 4+) O Rui comprou réplicas de alguns dos brinquedos antigos representados na figura. Deu 150 euros para pagar e recebeu 20 euros de troco. Mas depois mudou de ideias e trocou um dos brinquedos por outro e ainda recebeu 5 euros. Com que brinquedos saiu o Rui da loja?

(A) O carro e o avião (B) O carro e o autocarro (C) O carro e o comboio (D) A moto e o comboio (E) O autocarro, a moto e o comboio

15 11) (Canguru Matemático _– 2015 _– 3+) Durante três dias o gato Jota foi apanhar ratos. Em cada dia o Jota apanhou dois ratos a mais do que no dia anterior. No terceiro dia apanhou o dobro dos ratos que tinha apanhado no primeiro dia. No total, quantos ratos apanhou o Jota durante os três dias?

12)(Canguru Matemático _– 2011 _– 4+) O Sr. Silva pode guardar os ovos das suas galinhas em caixas que levam 6 ovos ou em caixas que levam 12 ovos. Qual ´e o menor numero de caixas que o Sr. Silva precisa para guardar 66 ovos?

16 15) (Canguru Matemático _– 2012) O pardal Saltitão gosta de passear ao longo da cerca, saltando de estaca em estaca. O Saltitão dá 4 saltos para a frente, 1 salto para trás, novamente, 4 para a frente, 1 para trás e assim sucessivamente. Sabendo que o Saltitão demora 1 segundo em cada um dos saltos, quantos segundos precisa para ir da estaca A para a estaca B?

17

Trocas e Balanças

1) (Canguru Matemático _– 2013) Num jogo, ´e possível fazer as trocas apresentadas na figura ao lado. A Eva tem 3 peras. Quantos morangos vai ter a Eva, quando trocar todas as suas peras por morangos?

2)(Canguru Matemático _– 2014) Quantos patos equilibram o crocodilo?

3) (Canguru Matemático _– 2011 _– 4+) Que pedra deverá o Francisco colocar do lado direito da balança, representada na figura, de modo a igualar o peso dos dois lados?

( A ) ( B ) ( C )

18 4) (Canguru Matemático _– 2013) O Jorge tem ao colo dois gatos

com o mesmo peso (ver figura). Qual ´e o peso de cada gato se o Jorge pesar 30 kg?

Comparação

1)(Canguru Matemático _– 2013 _– 4+) Nos Jogos Olímpicos de 2012, os EUA ganharam o maior numero de medalhas: 46 de ouro, 29 de prata e 29 de bronze. A China ficou em segundo lugar com 38 medalhas de ouro, 27 de prata e 23 de bronze. Quantas medalhas tiveram os EUA a mais do que a China?

19 3) (Canguru Matemático – 2014) Quantos quadrados cinzentos existem a mais do que quadrados brancos?

4) (Canguru Matemático _– 2014) Um quadrado era composto por 25 quadrados pequenos, mas alguns deles desapareceram. Quantos quadrados pequenos ´e que desapareceram?

5) (Canguru Matemático _– 2014) O tabuleiro de xadrez esta´ estragado. Quantos quadrados pretos estão a faltar no lado direito da linha?

6) (Canguru Matemático _– 2013) Com azulejos quadrados e cinzentos, o Tomás fez a construção representada na figura ao lado. Quantos azulejos, do mesmo tipo, são

20 7) (Canguru Matemático _– 2013) Nas figuras abaixo ha´ cangurus brancos, cinzentos e

pretos. Que figura tem mais cangurus pretos do que cangurus brancos?

Sistemas de Numeração

1) (Canguru Matemático _– 2013 _– 4+) Cinco amigos tiveram uma conversa sobre o numero 325.

– Este ´e um numero de 3 algarismos – disse o André.

– Todos os algarismos são distintos – disse o Bruno.

– A soma dos algarismos ´e 10 _– disse o Vasco.

– O algarismo das unidades ´e 5 – disse o Guilherme.

–Todos os algarismos são ´ımpares – disse o Daniel. Qual dos rapazes estava errado?

(A) André (B) Bruno (C) Vasco (D) Guilherme (E) Daniel

Puzzles Numérico

1)(Canguru Matemático _– 2015) A Rita quer colocar os números 1, 2, 3, 4 e 5 no interior de cada um dos quadrados do esquema indicado ao lado. Qual ´e o número que a Rita tem de colocar no quadrado marcado com o ponto de interrogação de modo a que o esquema fique correto?

21 2)(Canguru Matemático – 2015) Queremos escrever os números 3, 5, 7,

8 e 9 nos quadrados da figura ao lado de modo a que a soma dos números na linha seja igual a` soma dos números na coluna. Qual ´e o número que temos de escrever no quadrado do meio?

3) (Canguru Matemático _– 2012 _– 3+) Qual ´e o número representado pela flor?

4) (Canguru Matemático _– 2013 _– 4+) A Alice adicionou corretamente dois números. Depois, com dois adesivos, tapou dois algarismos iguais:

Que algarismo está tapado pelos adesivos?

5) Canguru Matemático _– 2014 _– 3+) A Joana colocou os algarismos 2, 3, 4 e 5 nos quadrados

22 6) (Canguru Matemático _– 2014 _– 4+) A Monica quer preencher o diagrama da figura com alguns numeros. Se o numero que escreve numa quadrícula ´e igual ao produto dos dois numeros que estão abaixo, que numero deve escrever na quadrícula a cinzento?

Atenção que essa não é a Pirâmide Mágica que conhecemos! Ela é diferente!

7)(Canguru Matemático _– 2014 _– 3+) O que devemos escrever no quadrado para o diagrama ao lado ficar correto?

8) (Canguru Matemático _– 2015 _– 4+) Se efetuares as operações indicadas, que número terás de colocar na nuvem com o ponto de interrogação?

23 10)(Canguru Matemático _– 2015 _– 4+) O Pedro tem 10 bolas numeradas de 0 a 9. Ele distribuiu essas bolas por três amigos: o João ficou com 3 bolas, o Jorge com 4 e a Catarina com 3. Depois ele pediu a cada um dos amigos para multiplicar os numeros das suas bolas e os resultados foram: 0 para o João, 72 para o Jorge e 90 para a Catarina. Qual ´e a soma dos numeros das bolas do João?

11)(Canguru Matemático _– 2011 _– 4+) O João escreveu os numeros 6, 7 e 8 em três dos círculos apresentados na figura. Em seguida escreveu os numeros 1, 2, 3, 4 e 5 nos círculos restantes, de tal forma que a soma dos numeros colocados em cada lado do quadrado ´e igual a 13. Qual ´e a soma dos numeros colocados nos círculos sombreados?

E mais Puzzles!

Existem muitos quebra cabeças Matemáticos. E fazê-los ajuda a pensar melhor! Vamos apresentar alguns exemplos!

28 QUEBRA CUCA DA MULTIPLICAÇÃO

29

32

39

Conceitos Geométricos Simples

1) (Canguru Matemático _– 2011 _– 4+) A Maria descreveu uma das figuras representadas ao lado

40

Encaixes

1) (Canguru Matemático _– 2012) Qual ´e a peca que encaixa no espaço em branco?

2) (Canguru Matemático _– 2013) A Luísa cortou um grande pedaço do bolo representado na figura.

3. (Canguru Matemático – 2015) Qual ´e a parte da casa que

41 4) (Canguru Matemático _– 2014) Qual das seguintes formas encaixa exatamente na forma

5)(Canguru Matemático _– 2013 _– 3+) Um azulejo descola-se de uma parede e cai.

A Carolina tem três azulejos extra, como os da figura seguinte.

Qual ou quais dos três azulejos se encaixam na parede, de modo a manter o padrão? (A) Apenas o b (B) a e b (C) b e c (D) Apenas o c (E) Qualquer um deles

42 7) (Canguru Matemático _– 2013 _– 4+) Qual das seguintes peças se encaixa com a peça

de maneira a formarem um retângulo?

Padrões Geométricos

1) (Canguru Matemático _– 2013) Considera a seguinte sequência

Qual é o próximo A?

2) (Canguru Matemático _– 2014) A Ana tem doze azulejos como este . Ela coloca os azulejos de modo a construir um traço contínuo. A Ana começa no lado esquerdo como

representado na figura ao lado. De entre os seguintes, qual pode ser o aspeto do fim do traço?

43 4) (Canguru Matemático _– 2012 _– 4+) Um padrão regular retangular de uma parede foi criado com dois tipos de azulejos: cinzentos e `as riscas. Alguns azulejos caíram da parede, como indicado na figura. Quantos azulejos cinzentos caíram?

5)(Canguru Matemático _– 2012) O tabuleiro de um jogo é constituído por uma sequencia de estrelas, trevos, presentes e árvores. O Rui entornou sumo sobre o tabuleiro fazendo desaparecer algumas imagens. Quantas estrelas estavam no tabuleiro antes do Rui entornar o sumo?

Tiles (Pavimentos)

44 2) (Canguru Matemático _– 2012 _– 3+) A Ana tem várias peças como esta: . Quantas das

seguintes formas pode a Ana fazer, unindo duas destas peças?

(Canguru Matemático _– 2013 _– 3+) A Ana tem uma folha de papel com a forma de um quadrado (ver figura).

Ela corta a folha em pedaços da forma . Qual ´e o maior número de pedaços que a Ana pode obter?

3) (Canguru Matemático _– 2014 _– 3+) A célula central do quadrado foi removida, como podes ver na figura ao lado. Depois, o Rui cortou a figura resultante em pedaços iguais. Que pedaço não ´e possível obter?

4)(Canguru Matemático _– 2014 _– 4+) A Ana tem quatro peças com as formas representadas ao

lado a cinzento. Com essas peças ela consegue fazer uma construção com a forma .

45 5)(Canguru Matemático _– 2015 _– 4+) Uma peça com a forma indicada na figura `a direita, foi dividida em três peças idênticas. Qual ´e que pode ser a forma de cada uma dessas novas peças?

6)(Canguru Matemático _– 2013 _– 4+) O Francisco uniu os pontos médios dos lados do

46 TRIMINÓS (Há outro triminó)

TETRAMINÓS

PENTAMINÓS

48 ELAS SÃO ONZE!

HEXAMINÓS

Existem 11 planificações do cubo diferentes. As figuras abaixo são planificações do cubo:

Já não se pode montar um cubo a partir das figuras abaixo:

Tente descobrir toda as 11 planificações do cubo.

Observação:

As figuras abaixo são consideradas como a mesma planificação do cubo. Elas devem ser contadas apenas como uma única planificação:

49 MOSAICOS (PAVIMENTAÇÕES DO PLANO _– TESSELAÇÕES)

Mosaicos regulares

51

Não existe um padrão nos Penrose Tiles, e veja onde aparece o Kite e o Dart:

52

Qual a diferença de Periódico e Aperiódico?

Figuras de Marli Regina dos Santos

Simetrias

53 2) (Canguru Matemático _– 2012 _– 3+) A Catarina anda a passear de barco num lago.

Qual é a figura que ela vê refletida no lago?

3) (Canguru Matemático – 2011 – 4+) A folha representada na figura ao lado ´e dobrada ao longo da linha preta. Qual das letras não será coberta por um quadrado cinzento?

54 5) (Canguru Matemático _– 2015 _– 4+)O meu guarda-chuva tem escrito por cima CANGURUS, como podemos ver na figura ao lado. Uma das figuras seguintes representa o meu guarda-chuva. Qual ´e?

Vistas

1)(Canguru Matemático _– 2015 _– 3+) Qual é a figura geométrica que se vê quando a torre cilíndrica de um castelo, representada ao lado, é vista de cima?

56

Pilhas de Cubos

1)(Canguru Matemático – 2013) O Pedro construiu o pódio representado na figura. Quantos cubos foram utilizados pelo Pedro?

2)(Canguru Matemático _– 2015) O Daniel construiu dois tijolos como os da figura ao lado. Para construir cada tijolo colou dois cubos um ao outro. Qual ´e a construção que não pode ser obtida usando estes dois tijolos?

3)(Canguru Matemático _– 2015) O Dinis construiu seis torres com

cubos cinzentos e cubos brancos (ver figura a` direita). Cada torre ´e

feita com cinco cubos. Cubos da mesma cor não se tocam. Quantos cubos brancos existem nas seis torres?

57

Qual é a forma da peça branca?

5)(Canguru Matemático _– 2013 _– 3+) A Joana construiu um grande cubo com 27 pequenos cubos. Depois a Joana retirou um pequeno cubo de quatro dos cantos do cubo grande, como mostra a figura ao lado. Ela usou este sólido para carimbar várias formas num pedaço de papel. Quantas das seguintes formas pode a Joana obter?

6)(Canguru Matemático _– 2011 _– 4+) A figura seguinte apresenta um castelo construído com cubos.

58

Quantos cubos foram utilizados para construir o castelo?

7) (Canguru Matemático _– 2015 _– 3+) O Nuno construiu um cubo colando pequenos cubos cinzentos e pequenos cubos brancos (ver figura ao lado). Sabemos que não há dois cubos pequenos da mesma cor colados um ao outro por uma face. Qual ´e a afirmação que descreve o numero de pequenos cubos utilizados?

(A) Foi utilizado um cubo cinzento a mais do que cubos brancos (B) Foi utilizado um cubo branco a mais do que cubos cinzentos (C) Foi utilizado o mesmo numero de cubos brancos e cinzentos

(D) Foram utilizados dois cubos brancos a mais do que cubos cinzentos (E) Foram utilizados dois cubos cinzentos a mais do que cubos brancos

8)(Canguru Matemático _– 2014 _– 3+) O Fábio tem 4 cubos vermelhos, 3 cubos azuis, 2 cubos verdes e um cubo amarelo. Ele constrói uma torre (ver a figura), de tal maneira que não existam dois cubos da mesma cor que se toquem. Qual ´e a cor do cubo do meio?

(A) Vermelho (B) Azul (C) Verde (D) Amarelo (E) E impossível saber

OUTROS EXERCÍCIOS

59 2) (Vunesp) Todas as alternativas dadas representam planificações de um cubo. Os números no interior dos quadrados indicam a quantidade de pontos correspondentes a cada face de um dado de forma cúbica. Se a soma dos pontos marcados nas faces opostas é 7, a única alternativa que representa a planificação deste dado é

3) (Olimpíada de Matemática da Escola Pública do Ceará – Ensino Fundamental – Treinamento/2003) A figura abaixo deve ser dobrada de modo a formar um cubo.

A letra A está sobre uma face. A letra sobre a face oposta será:

a) B b) C c) D d) E e) F

4) (Canguru Matemático – 2011 – 5+) O desenho mostra um bloco formado por quatro dados iguais.

Em cada dado, a soma das faces opostas é 7. Vista por trás, como fica o desenho do bloco?

60

6) Quantos cubinhos tem em cada pilha?

7) Veja diversas situações e conte quantos cubos possui cada pilha. Explique o raciocínio. SITUAÇÃO I

SITUAÇÃO II

SITUAÇÃO III (duas vistas da MESMA pilha)

61

SITUAÇÃO V

SITUAÇÃO VI

62 9) Quais dos dados abaixo estão corretos? Lembre que a soma das faces opostas sempre é 7:

10) (Adaptado OBMEP) Em um dado, a soma das faces opostas sempre é 7. Dois dados iguais foram colados como na figura. Qual é a soma dos números que estão nas faces coladas?

63

Considere o Bloco Retangular ABCDEFGH da figura abaixo para todos os exercícios desta seqüência. As medidas não correspondem às medidas reais indicadas:

1) Relacione:

a) todos os vértices do Bloco Retangular ABCDEFGH.

b) todas as arestas do Bloco Retangular ABCDEFGH.

c) todas as faces do Bloco Retangular ABCDEFGH.

2) Escreva:

a) todas arestas de 2 cm b) todas arestas de 3 cm c) todas arestas de 2,5 cm

3). Diga quais são:

a) as arestas paralelas a FG b) as arestas paralelas a BF c) as arestas paralelas a EF

4) Ache a medida das arestas:

a) AB b) EF c) AD d) GH e) AE f) BF

5) Ache todas as arestas: a) paralelas a EF

b) perpendiculares a EF

c) reversas a EF

6) Dados os pares de arestas, classifique-as, segundo o código seguinte:

64 A _B D C E _F G H 3 cm 2 cm 2,5 cm A _B D C E _F G H A _B D C E _F G H 3 cm 2 cm 2,5 cm

Pa – se forem paralelas

Pe – se forem perpendiculares R – se forem reversas

( ) EF e FG ( ) FG e AE ( ) AB e AE ( ) FG e EH ( ) EH e CD ( ) DH e EH ( ) EH e AD ( ) EH e GH ( ) EH e CG ( ) FG e AD ( ) AB e AD ( ) AB e CD

7) Encontre a face oposta a ADHE

UMA QUESTÃO RESOLVIDA

26) Suponha que o Bloco Retangular ABCDEFGH é apenas uma armação feita de arames. Um besouro está no vértice A deste Bloco e vai caminhar até o vértice G onde se encontra uma folhinha.

Um dos caminhos que o besouro pode fazer é:

AD→DC→CG

Responda:

a) Quantos centímetros o besouro deve caminhar?

2+3+2,5=7,5

Ele Deverá andar 7,5 cm

b) Escreva todos os caminhos que o besouro pode fazer caminhando apenas três arestas para chegar na folhinha.

AD→DC→CG

65 AE→EH→HG

AE_→EF_→FG AB→BF→FG AB→BC→CG

PAPEL QUADRICULADO

DESENHE EM PAPEL QUADRICULADO

24. 25. 26. 27.

28. 29. 30.

31. 32. 33.

66

37. 38. 39.

52. 53. 54.

55. 56. 57.

69

DESENHANDO EM PAPEL ISOMÉTRICO

1) Veja as figuras:

a) Quantos cubos tem a pilha?

b) Desenhe a pilha de cubos no papel isométrico (pontilhado)

2) Colorir os cubinhos de acordo com suas dimensões.

70

4) Copie os desenhos:

71

6) Tente copiar o sofá:

72

8) Reproduza as figuras:

73

1) Copie em papel isométrico:

2) Tente reproduzir em papel isométrico ou quadriculado:

74

4) Faça em papel isométrico ou quadriculado, mas continue mais 2 desenhos na sequência:

77

Seqüências

1)(Canguru Matemático _– 2013) O gato e o rato estão a saltar para a direita como representado na figura.

Enquanto o rato salta uma casa, o gato salta duas casas. Qual ´e o número da casa em que o gato apanha o rato?

2)(Canguru Matemático _– 2012) O Luís construiu a seguinte sequencia, utilizando pinguins, sapos, ursos e dinossauros.

Que figura aparece na décima posição?

78

Medidas de Tempo – Calendário

1) (Canguru Matemático _– 2012) Daniel começou a pintar a palavra BANANA numa sexta-feira. Se ele pintar uma letra por dia, em que dia pinta a última letra?

2) (Canguru Matemático _– 2011 _– 4+) O Bernardo quer pintar a palavra CANGURUS. Ele pinta uma letra por dia e começa na quarta-feira. O Bernardo pinta a ultima letra na _______

3)(Canguru Matemático _– 2012 _– 4+) O ano de 2012 ´e um ano bissexto, isto significa que o mês de fevereiro tem 29 dias. Hoje, dia 15 de março de 2012, os patinhos do meu avô têm 20 dias de idade. Em que dia nasceram os patinhos?

(A) No dia 19 de fevereiro (B) No dia 21 de fevereiro (C) No dia 23 de fevereiro (D) No dia 24 de fevereiro (E) No dia 26 de fevereiro

4)(Canguru Matemático _– 2015 _– 3+) . A seguir ao dia com a data 5/5/2015, a primeira data que volta a ter três vezes o algarismo 5 ´e:

(A) 5/5/2025 (B) 15/6/2055 (C) 15/5/2050 (D) 25/5/2015 (E) 15/5/2015

5)(Canguru Matemático _– 2013 _– 4+) As amigas Alice, Beatriz, Catarina e Daniela nasceram no mesmo ano. Os seus aniversários são a 20 de fevereiro, 12 de abril, 12 de maio e 25 de maio (não necessariamente por esta ordem). A Beatriz e a Alice nasceram no mesmo mês. A Alice e a Catarina nasceram no mesmo dia de meses diferentes. Qual das amigas ´e a mais velha?

(A) Alice (B) Beatriz (C) Catarina (D) Daniela (E) E impossível saber

Medida de Tempo - Relógio

79 2)(Canguru Matemático _– 2012 _– 4+) Num relógio, os ponteiros das horas, minutos e

segundos têm tamanhos diferentes, mas não se sabe qual ´e qual. O Joaquim sabe que o relógio funciona bem e que, `as 12h 55min 30s, os ponteiros estavam na posição indicada na figura.

Em que posição estarão os ponteiros do relógio quando forem 20h 11min?

3)(Canguru Matemático _– 2015 _– 3+) O Ricardo e o Tomé construíram um iglu. Em cada hora, o Ricardo colocou 8 tijolos de neve e o Tomé colocou dois tijolos a menos do que o Ricardo.

Quantos tijolos colocaram os dois juntos em três horas?

4) (Canguru Matemático _– 2014 _– 4+) O coala Matic come 50 g de folhas de eucalipto por hora quando não está a dormir. Ontem dormiu 20 horas. Quantos gramas de folhas de eucalipto

comeu o Matic durante o dia de ontem?

5) (Canguru Matemático _– 2015 _– 3+) O Rui partiu para um acampamento de verão ontem `as 16h 32min e chegou ao destino hoje `as 6h 11min. Quanto tempo durou a viagem do Rui?

80 7) (Canguru Matemático _– 2011 _– 4+) O Simão iniciou uma viagem de comboio há uma hora e meia atrás. Daqui a três horas e meia a viagem irá terminar. Qual ´e a duração desta viagem?

O IGLU

iglu é uma casa de inverno ou moradia de caça dos esquimós (ou inuítes) do Canadá e da

Groenlândia. A palavra “iglu” vem de igdlu, que significa casa.

O iglu, feito geralmente a partir de blocos de neve e em forma de cúpula, é usado apenas na área entre o delta dos rios Mackenzie e Labrador, no Canadá, onde, no verão, os esquimós vivem protegidos em cabanas cuja estrutura é feita com ossos de baleia, musgo e pedras e cobertas por peles de animais, principalmente focas.

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as superfícies superiores dos blocos são raspadas em ângulo inclinado, para formar o primeiro degrau de uma espiral. Os demais blocos são montados em espiral, para dentro, até que a cúpula seja completada, com exceção de um buraco deixado no topo para ventilação. Juntas e fissuras são preenchidos com neve solta.

Uma área semicilíndrica de 3 metros de comprimento serve para armazenar alimento dentro do iglu. A corrente de ar entra pela sala principal. Nela há uma proteção feita com pele de foca. O mobiliário principal é um prato raso para queimar gordura de foca para aquecer e iluminar o iglu. A cama é uma plataforma de gelo sobre a qual são colocados galhos cobertos por peles de rena.

As dimensões dos iglus podem variar, cabendo neles até vinte pessoas. No entanto, geralmente acomodam apenas uma família. Um esquimó experiente pode construir um iglu de neve muito depressa, entre uma e duas horas. Mato, pedra e madeira também podem ser utilizados na construção do iglu.

iglu. In Br itannica Escola Online. Enciclopédia Escolar Britannica, 2015. Web,

2015. Disponível em: <http://escola.br itannica.com.br /ar ticle/483296/iglu>. Acesso em: 24 de setembr o de 2015

COALA

10 coisas que você não sabe sobre coalas

82

Hoje em dia, os coalas perderam um pouco de espaço para outros bichinhos fofinhos – como as preguiças, os pandas e os nycticebus (também conhecidos como slow loris) –, mas isso não nos impede de sorrir e suspirar toda vez em que vemos um desses bichinhos pela internet.

Mas será que realmente conhecemos esses animais? É comum saber que eles são naturais da Austrália, que vivem em árvores e que costumam se alimentar de folhas de eucalipto. No entanto, existem muitas outras curiosidades sobre esses bichinhos. Confira a lista com 10 coisas que você não sabe sobre coalas feita pelo site Mother Nature Network:

1) Embora eles geralmente sejam chamado de “ursos coalas”, os coalas são marsupiais e, por isso, não guardam nenhuma relação com os ursos;

2) Acredita-se que o nome “coala” vem de uma palavra aborígene que significa “não beber”. Isso porque, embora os coalas bebam água ocasionalmente, boa parte da hidratação deles é suprida somente com a água naturalmente presente nas folhas de eucalipto de que eles se alimentam;

3) Os coalas comem mais de um quilo de folhas de eucalipto por dia. Curiosamente, por consumirem uma quantidade muito grande da planta, os coalas retêm a fragrância do óleo das folhas e exalam cheiro de eucalipto;

4) Um coala recém-nascido é do tamanho de um grão de feijão. Por esse motivo, os filhotes demoram um tempo para ganhar o aspecto adorável que conhecemos. Além disso, os bichinhos nascem cegos, sem orelhas e sem pelos;

5) Depois do nascimento, a mamãe-coala carrega seu bebê na bolsa por cerca de seis meses. Após esse período, o filhote se instala nas costas ou na barriga da mãe e ali permanece até completar seu primeiro ano;

6) Escondidos no meio das árvores, os coalas chegam a dormir até 18 horas por dia;

7) Os coalas parecem animais fofos e macios, mas sua impressão seria outra se você tivesse a oportunidade de tocar um deles. Esses animais tem uma pelagem grossa que os protege tanto do calor quanto do frio e serve para repelir a água. Surpreendentemente, os coalas tem o pelo mais grosso entre os marsupiais;

8) Quando instalados em condições ideais na natureza, os coalas machos podem viver até 10 anos, enquanto as fêmeas vivem alguns anos a mais;

9) O mundo já contou com uma população de milhões de coalas, mas a popularidade da pele do animal fez com que a caça intensiva que ocorreu entre as décadas de 1920 e 1930 diminuísse drasticamente a presença dessa espécie no planeta;

10) Estima-se que a destruição de matas, os acidentes de trânsito e os ataques de cães matem cerca de 4 mil coala por ano. Atualmente, acredita-se que existam 100 mil coalas na natureza. Felizmente, é possível contar com grupos e associações que reúnem esforços para proteger esses animais.

83

Medidas de Comprimento

1)(Canguru Matemático _– 2012) Qual é a linha mais comprida?

2)(Canguru Matemático _– 2015) A Constança tinha 10 barras de metal iguais, como as da figura.

Ela juntou as barras duas a duas para formar cinco barras mais compridas, como se pode ver na figura seguinte.

84 4) (Canguru Matemático _– 2013 _– 4+) . O Pedro comprou um tapete com 36 dm de largura e 60 dm de comprimento. O tapete possui um padrão de pequenos quadrados contendo um sol ou uma lua, como representado na figura. Podemos ver que ao longo da largura há 9 quadrados. Quantas luas podem ser vistas quando o tapete estiver totalmente desenrolado?

Ordem, Comparação e Lateralidade

1) (Canguru Matemático _– 2014) Se colocarmos os animais em fila, do menor para o maior, qual ´e o número do animal que fica no meio da fila?

(Canguru Matemático _– 2014)

(Canguru Matemático _– 2014)

85 3) (Canguru Matemático _– 2015 _– 3+) Numa pista de corrida em linha reta existem 11

bandeiras. A primeira bandeira está colocada no início da pista e a ´ultima está colocada na linha de chegada. A distância entre cada bandeira e a seguinte ´e 8 metros. Qual ´e o comprimento da pista?

4)(Canguru Matemático _– 2015 _– 4+) Numa corrida de skate, chegaram ao final 10 concorrentes. Atrás do André ficaram mais 3 concorrentes do que o numero de concorrentes que ficaram `a frente do André. Em que posição ficou o André?

5) (Canguru Matemático _– 2014 _– 4+) O João quer inserir o algarismo 3 no numero 2014 de modo a obter um numero com 5 algarismos. Em que posição deve colocar o 3 de modo a obter o menor número possível?

(A) A seguir ao 4 (B) Entre o 2 e o 0 (C) Entre o 0 e o 1 (D) Entre o 1 e o 4 (E) Antes do 2

86 7)(Canguru Matemático _– 2011 _– 4+) As quatro amigas Margarida, Sofia, Diana e Patrícia sentaram-se num banco. Entretanto, a Margarida trocou de posição com a Diana e, a seguir, a Diana trocou de lugar com a Patrícia. No final, as amigas ficaram sentadas no banco na seguinte ordem, da esquerda para a direita: Margarida, Sofia, Diana e Patrícia

Qual foi a ordem, da esquerda para a direita, pela qual elas se sentaram no início?

8)(Canguru Matemático _– 2013 _– 3+) Há cinco filhos numa família. A Catarina ´e 2 anos mais velha do que a Beatriz, mas dois anos mais nova do que o Daniel. O Tomás ´e 3 anos mais velho do que a Ana. A Beatriz e a Ana são gêmeas. Quem ´e o mais velho?

9) (Canguru Matemático _– 2012) O Tiago estaa a olhar para sete pinturas na parede. A esquerda vê o dragão e `a direita à borboleta.

Que animal vê o Tiago à esquerda do tigre e do leão e `a direita do pêssego?

(A) (B) (C) (D) (E)

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Diagramas de Caroll e Venn

1)(Canguru Matemático _– 2012) No tabuleiro da figura estão colocadas algumas moedas. Quantas moedas têm de ser removidas de modo a ficarem 2 moedas em cada linha e 2 moedas em cada coluna?

2)(Canguru Matemático _– 2014) O canguru esta´ dentro de vários círculos. Em quantos está?

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5

3)(Canguru Matemático _– 2013 _– 4+) No Parque Aventura estavam 30 crianças que

participaram em jogos. No jogo “movimento na ponte” participaram 15 crianças e no jogo “fuga ao dragão” participaram 20 crianças. Quantas crianças participaram em ambos os jogos?

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DIAGRAMAS DE CARROLL

Preencha o nome dos alunos dessa classe

DIAGRAMAS DE CARROLL

Preencha o Diagrama de Carroll com os números:

1 3 5 6 7 8 9 11 15 19 22 24

Preencha o Diagrama de Carroll com os números:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

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DIAGRAMAS DE CARROLL

DIAGRAMAS DE CARROLL

90

91

DIAGRAMAS DE VENN Complete com os números solicitados:

92 a) Quais alunos possuem cabelos loiros?

_____________________________________ _____________________________________ b) Quais alunos tem mais de 8 anos?

_____________________________________ _____________________________________ c) Quem são os meninos da classe?

_____________________________________ _____________________________________

d) Quais são os alunos que tem cabelos loiros e mais de 8 anos? ___________________________ e) Quais são os meninos com mais de 8 anos? _______________________

f) Quais são os meninos com cabelos loiros? ________________________

g) Quem é menino, tem cabelos loiros e tem mais de 8 anos?_______________________

h) Quem tem 8 anos ou menos? ____________________________________________________________________

i) Quem não tem cabelos loiros? ____________________________________________________________________ j) Quem são as meninas? ____________________________________________________________________ k) Quem são as meninas com 8 anos ou menos? ______________________________

l) Quem são as meninas que não possuem cabelos loiros?____________________________ m) Quem são as meninas loiras?_______________________________

n) Verdadeiro ou falso?

( ) Becky é menina ( ) Becky tem menos de 8 anos ( ) Sam é loiro

94

Questão:

96

Olhe para este diagrama de Venn e em seguida, verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas

( ) Steve não gosta de pizza ( ) Sarah gosta de salada e pizza ( ) 6 pessoas gostam de pizza e hamburguer ( )Nick não gosta de hamburguer

( ) 13 pessoas votaram ( ) Kate gosta de tudo

( ) Mais pessoas gostam de salada do que de pizza

( ) Steve e Andrew gostam de hamburguer ( ) 6 pessoas gostam de hambúrguer

( ) 9 pessoas gostam de salada ( ) Nick, Joe e Jane gostam de salada

( ) Paula e Kate gostam de salada

97

1. O conjunto dos cientistas C, e o conjunto das pessoas loucas é L. Diga o que se pensa dos cientistas quem fez os diagramas

2. Esta figura pode ser usada quando:

a)C é o conjunto dos animais; B, o dos animais que vivem em terra; e A, o dos animais que vivem no mar. b) C é o conjunto dos animais; B, o dos animais que vivem em terra; e A, o conjunto dos gatos.

3. Associe a primeira com a segunda coluna, supondo que A é o conjunto das pessoas sofredoras e B é o conjunto de todos os corintianos.

( ) “todo corintiano é sofredor” ( ) “nenhum corintiano é sofredor”

( ) “existe corintiano sofredor, corintiano não sofredor e sofredor que não é corintiano”

( ) “existe corintiano não sofredor, mas todo sofredor é corintiano”

Problemas de Lógica

98 TRÊS LÓGICOS NUM BAR

(Brilliant)

Três lógicos introduzir um bar. Cada quer quer uma bebida ou não.

O barman pergunta: "Será que todo mundo quer uma bebida?" O primeiro lógico diz: "Eu não sei."

A segunda lógico diz: "Eu não sei."

O que faz o terceiro lógico dizer?

UM PROBLEMA PARA CRIANÇAS DE OITO ANOS QUE FEZ SUCESSO NAS REDES SOCIAIS EM 2015

Não é todo dia que um problema matemático se torna viral na internet.

Mas um enigma de lógica proposto a alunos de uma escola secundária em Cingapura conseguiu realizar essa façanha. O interesse foi tanto que o problema foi parar em portais de notícias no Reino Unido e um programa de TV até convidou um matemático para explicar ao público - passo a passo - como chegar a sua solução (veja link no final do texto).

O fenômeno surgiu quando o apresentador de TV de Cingapura Kenneth Kong publicou o problema em seu perfil em uma rede social.

A princípio, pensou-se que o enigma havia sido criado para crianças de 10 anos de idade, o que acabou provocando críticas de que o sistema educacional de Cingapura, porque o público considerou a questão matemática difícil demais para crianças tão jovens.

Mas depois Kong esclareceu que o problema foi criado para estudantes de 15 anos que participavam na semana passada da Sasmo (sigla da Olimpíada de Matemática de Cingapura e de Escolas Asiáticas).

Leia mais: 'Matemática do amor' calcula momento certo de se casar

Os organizadores do evento disseram que o problema visava selecionar os melhores do grupo.

Mesmo assim, a questão levou muitos internautas a ver o problema como explicação para a razão de Cingapura estar entre os primeiros países nos rankings internacionais de matemática.

Então, se você quiser competir com um estudante de Cingapura, apresentamos abaixo o problema.

Alberto e Bernard acabam de conhecer Cheryl e querem saber qual é a data do aniversário dela. Cheryl dá a eles uma lista com 10 datas possíveis.

15 de maio, 16 de maio, 19 de maio 17 de junho, 18 de junho

14 julho 16 de julho

14 de agosto, 15 de agosto, 17 de agosto

Cheryl conta então, para Albert, o mês e, para Bernard, o dia.

Albert: "Não sei quando é o aniversário de Cheryl, mas sei que Bernard também não sabe." Bernard: "A princípio não sabia quando era o aniversário de Cheryl, mas agora já sei." Albert: "Então eu também sei quando é o aniversário dela."

Então quando é o aniversário de Cheryl?

99

COMPLETANDO SEQÜÊNCIAS

1. (XX Olimpíada Brasileira de Matemática – Nível 1 – 1a _{fase – 1998) Escreva um número em cada círculo da fila abaixo, de}

modo que a soma de três números quaisquer vizinhos (consecutivos) seja 12.

3 5

No último círculo à direita deve estar escrito o número:

a) 3 b) 2 c) 1 d) 4 e) 7

2. (Avaliação do SARESP 2000 – 5ª série - Diurno) Observe a seqüência abaixo:

A próxima forma a ser desenhada é:

a) b) c) d)

100

OUTROS PROBLEMAS DE LÓGICA

4. (XIX Olimpíada Brasileira de Matemática – Nível Júnior – 1a _{fase – 1997) Quatro carros, de cores amarelo, verde, azul e}

preto, estão em fila. Sabe-se que o carro que está imediatamente antes do carro azul é menor do que o que está imediatamente depois do carro azul; que o carro verde é o menor de todos; que o carro verde está depois do carro azul e que o carro amarelo está depois do preto. O primeiro carro da fila:

a) é amarelo. b) é azul. c) é preto. d) é verde. e) não pode ser determinado apenas com esses dados. OBS: O primeiro da fila é o que vem antes de todos os outros.

5. (XX Olimpíada Brasileira de Matemática – Nível 1 – 1a _{fase – 1998) João é mais velho que Pedro, que é mais novo que}

Carlos; Antônio é mais velho do que Carlos, que é mais novo do que João. Antônio não é mais novo do que João e todos os quatro meninos têm idades diferentes. O mais jovem deles é:

a) João b) Antônio c) Pedro d) Carlos e) impossível de ser identificado a partir dos dados apresentados

6. (ENCCEJA – Ensino Fundamental – 2002) Cinco pontos M, N, R, S e T estão marcados em uma reta. O ponto S está localizado antes do ponto T e do ponto M. O ponto R não é o último desta série e está depois de M. Nenhum dos pontos está antes de N. Uma das possíveis ordens, da esquerda para a direita, em que esses pontos estão localizados na reta é dada por

(A) M N R S T (B) N R M T S (C) M R T N S (D) N S M R T

7. (16ª Olimpíada Brasileira de Matemática – 1ª fase – Nível Júnior) Cinco corredores, P, Q, R, S, T participam de uma maratona na qual P vence Q, P vence R, Q vence S e T termina a maratona depois de P e antes de Q. Quem não pode ter terminado em terce iro lugar na maratona?

a) P e Q b) P e R c) P e S d) P e T e) P, S e T.

Eu sou meu avô !

O vaqueiro Juca estava cansado, coçando a cabeça, tristonho. "Que é que tu tem, ó homem?" - perguntou Zuleido. "É que descobri que eu posso não ser eu e aí endoidei". O outro arrematou na peia: "Ôxa, e como é que tu pode não ser tu?". Juca endireitou-se e falou: "Pois vou tentar lhe contar a enrascada. Vou lhe contar como descobri que eu não sou eu".

- Casei-me com a viúva Maria que já tinha uma filha crescida, Helena. Meu pai João se engraçou e se casou com essa minha enteada, Helena, que virou então minha madrasta. E, para piorar, isso fez com que minha mulher Maria ficasse sogra do meu pai João. E pior ainda: meu pai virou meu enteado por ter se casado com minha enteada, Helena. E meu pai também virou genro da nora Maria, porque casou-se com a filha dela, Helena. E olha que confusão: meu pai virou genro de mim mesmo por ter se casado com Helena.

- Nossa! Isso é complicado mesmo.

- Mas não é metade da missa. Vá escutando o resto. Depois, a minha madrasta, que agora era a Helena, filha de minha mulher Maria, teve um filho que se chamou José. Esta criança, o José, também era meu irmão porque era filho de meu pai João. Mas também era neto da minha mulher Maria, porque era filho da filha dela, a Helena. E, então, José é também meu neto. Olha que enrascada: dessa maneira eu me tornei avô do meu irmão.

- Meu Deus! Que rolo!

- Tem mais! A seguir, minha mulher Maria também teve um filho que você conhece, o Francisco. Assim, minha madrasta Helena virou irmã de meu filho Francisco e também avó dele, já que ele, o Francisco, é filho de seu enteado. E quem é o enteado? Ora sou eu mesmo.

101

enteada, Helena, é esposa de meu pai, João, e isso me torna avô dos seus filhos, José e eu!. Aí, eu já não sei mais quem eu sou!

Zuleido matusquelou: "Certas estão as cabras. Cruzam com todo mundo e ninguém cria confusão". (Publicado em "O Berro - nº 47 - Janeiro/Fevereiro 2002")

PROBLEMAS CLÁSSICOS E PEGADINHAS

1. Uma ameba está num copo. Ela se duplica a cada minuto. Em 40 minutos enche um copo. Em quantos minutos enche meio copo?

2. O pai do padre é filho único do meu pai. O que eu sou do padre?

3. Um tijolo pesa um quilo mais meio tijolo. Quanto pesa um tijolo e meio? (Este tema pode ser usado no estudo de equações)

4. (Probleminhas – RPM 4) Um lógico quis saber da enigmática senhora que estava ao seu lado qual era a idade dos seus 3 filhos. Houve o seguinte diálogo:

S: o produto de suas idades é 36. L: ?

S: A soma de suas idades é o número daquela casa aí em frente. L: ?

S: O mais velho toca piano.

L: Ah! Agora eu sei quais são as idades. Quais são as idades dos 3 filhos?

.

102

6. São 3 garrafões de 8 litros, 5 litros e 3 litros. O de 8 litros está cheio. Como posso encher o garrafão de 5 litros com 4 litros sem usar medições.

7.Tenho 10 moedas, 1 delas é falsa. A moeda falsa é um pouco mais leve que as outras. Como achar a moeda falsa com apenas duas pesagens em uma balança de pratos?

8. Como reduzir para a metade uma prisão perpétua?

9. Dois pais e dois filhos entraram no cinema. Eram apenas 3 pessoas. Como pode?

10. Tenho que tomar 3 comprimidos, de 30 em 30 minutos. Tomei um remédio e cumpri rigorosamente os horários. Quanto depois tempo tomei o último comprimido?

11. Você está dirigindo um ônibus com 33 pessoas. Em Guaranésia subiram 5 pessoas e desceram 7. Em Guaxupé subiram 7 e desceram 12. No Moçambo subiram 2 e desceram 3. Em Muzambinho desceram 11 e subiram 17. Na Palmeia subiu 1 e desceu 2. Em Monte Belo subiram 5 e desceram do inteiro mais próximo dos 1/3 dos que estavam no ônibus. Qual é o nome do motorista?

12.Uma sala tem 4 cantos, cada canto tem um gato, cada gato vê três gatos, quantos gatos eu tenho?

13. Quem é filho de meu pai mas não é meu irmão?

14.Qual mês do ano tem 28 dias? R: Todos. Alguns tem até mais.

15.Meu pai tem 3 filhos homens, cada um tem uma irmã. No total, quantos filhos meu pai tem?

16. Meu avô tem 5 filhos, cada filho tem outros 5 filhos. Quantos primos eu tenho?

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18.Em um quintal há 5 árvores, cada árvore com 8 galhos, cada galho com 7 ninhos, cada ninho com 4 ovos. A R$ 6,00 a dúzia, quanto custa cada ovo?

19. Um alfaiate tem uma peça de tecido com 20 metros de comprimento. Cada dia ele tira um pedaço de 2 metros. Se o primeiro corte foi feito no dia 11 de abril, em que dia ele fará o último corte?

20. Uma lesma encontra-se no fundo de um poço seco de 10 metros de profundidade, e quer sair de lá. Durante o dia ela consegue subir 2 metros pela parede; mas à noite, enquanto dorme, escorrega 1 metro, quando ela chegará na saída do poço?

21.Você tem 4 maças e uma cesta para dividir para 4 pessoas. Como fazer para dar 1 maça inteira para cada um e ainda ficar com uma maça na cesta?

22.Meia careca tem 500 fios de cabelo. Quantos cabelos tem uma careca inteira.

23.Como dividir um bolo em oito parte iguais com apenas 3 cortes retos.

25.(A Banheira de Arquimedes) George quer fazer bifes o mais depressa possível. Infelizmente, sua grelha comporta apenas dois bifes e cada bife demora dois minutos por lado para cozinhar. Qual é a menor quantidade de tempo que George pode aprontar seus três bifes.

26.Um gato come um rato em um minuto. Cem gatos comem cem ratos em quanto minutos?

27.O que pesa mais, um quilo de chumbo ou um quilo de algodão?

28.Pela estrada, caminhavam 50 burros. O da frente olhou para trás. Quantos burros contou?

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30.Estou preso em uma sala com dois computadores. Um dos computadores só diz a verdade, e outro só diz mentira. Para sair desta sala temos duas portas: uma das portas é a porta da vida e a outra é a porta da morte. Tenho direito á fazer uma única pergunta para um único computador para saber qual é a porta da vida. Não sei qual dos computadores mente e nem qual fala a verdade. Que pergunta eu devo fazer para ter certeza absoluta de qual das portas é a porta da vida?

31.Como posso atravessar uma carta de baralho fazendo um corte nela? Sem truques!

32. Este problema é bastante antigo. Consta que já era conhecido no tempo de Carlos Magno, no século VIII. Um viajante chega à margem de um rio levando uma raposa, uma galinha e um pé de couve. O único barco disponível é muito pequeno e só pode carregar o viajante e um de seus pertences. “Essa travessia será complicada”, pensa ele, lembrando que raposas comem galinhas e estas adoram couve. Ajude o viajante a resolver esta problema. Como ele deverá fazer a travessia de forma a não perder nenhum dos seus pertences? Ele poderá fazer várias viagens, transportando de cada vez somente um dos seus pertences. Deve apenas evitar que a couve seja devorada pela galinha, e esta pela raposa. (Existem várias variantes deste problema).

33. (A Banheira de Arquimedes) Três missionários e três canibais estão viajando juntos. Vêem sua trilha interrompida por um rio. Uma canoa escondida na mata permite a travessia, mas só cabem duas pessoas de cada vez. Há um risco: se em algum momento o número de canibais for maior do que o de missionários em qualquer um dos lados do rio, os missionários serão “jantados”. Que séries de viagens podem levar o grupo de seis para o outro lado do rio sem que o número de canibais jamais ultrapasse o de missionários?

Comentário: Existem várias versões deste problema, uma delas com monges e zumbis.

34.Você está numa sala escura e tem um fósforo e uma vela. O que você acende primeiro.

35.Todas as luzes da cidade estão apagadas – falta energia elétrica. Os faróis de seu carro estão apagados. Você atravessa uma ponte, e, no meio da rua aparece um negro, todo de preto. Você o vê e breca o carro. Como pode? R: estava de dia.

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E MAIS BRINCADEIRAS

47.Farmácia começa com F e termina com... R: Termina começa com T.

48.Farmácia antigamente começava com PH, hoje começa com... R: Hoje começa com H!

49.Quatro romanos e um inglês viajavam de avião. Qual é o nome da aeromoça?

50.Pergunte bem rápido para uma pessoa: Setembro chove. Se você falar rápido eles vão entender você perguntando “(vo)cê tem Brushov”. Outra variante é Setembro gia (do vergo gear).

51.Chinelo e meio mais chinelo e meio, quantos pares são?

52.Que palavra tem seis letras e trinta e seis acentos? R: ônibus

53.Quanto é de vinte cinco tira? (coloque uma vírgula entre vinte e cinco)

54.Coloque dez soldados em cinco filas de quatro cada um.

55.O que saiu mais barato: levar um amigo duas vezes ao cinema ou levar dois amigos uma vez?

56. Antes de ontem eu tinha 13 anos. Ano que vem farei 16. Que dia é hoje? Em que dia faço aniversário?

57. Enchi uma caixa de 100 kg e ela ficou com 30 kg. Eu enchi a caixa de quê? R: enchi de buracos.

58. São 15 alunos, 10 corintianos e 8 japoneses. Como pode ser?

59. Qual é a última letra do alfabeto? R: O

PROBLEMAS COM PALITOS DE FÓSFORO

1. (O Livro de Ouro dos Testes – Inteligência e Conhecimentos – Fernando Teixeira Antônio) A) Coloque 12 fósforos como se vê na figura.

B) Você pode fazer 3 quadrados do mesmo tamanho, mexendo em 4 fósforos? C) Você pode fazer 3 quadrados do mesmo tamanho, mexendo em 3 fósforos?

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3. Faça o porquinho olhar para o lado oposto mexendo apenas 3 palitos

4. Mexendo apenas 3 palitos, faça o peixinho nadar no sentido oposto

5. Escreva água limpa com 9 palitos de fósforo. Resposta: HII฀

6. Escreva água quente com 6 palitos de fósforo: XIXI

7. a) Com doze palitos de fósforo, forme cinco quadrados. b) Agora retire 2 palitos e deixe apenas 2 quadrados

8. Mecha apenas um palito para ficar tudo certo:

9. (RPM)

10. (RPM) – Problema Clássico

11. (A Banheira de Arquimedes) Você tem 10 palitos de fósforo para trabalhar (ou fazer um esboço). O problema é arrumá-los em dois quadrados de tamanhos diferentes, usando todos os fósforos. Não é permitido quebrar os palitos.

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Caminhos, Labirintos e Coordenadas

1)(Canguru Matemático _– 2013) Se o coelho andar livremente pelo labirinto, qual ´e o maior número de cenouras que ele poderá comer?

2)(Canguru Matemático _– 2014) Se começares a percorrer a corda a partir da seta, por que ordem vais encontrar as formas?

3)(Canguru Matemático _– 2014) Quando a formiga sai de casa seguindo 3 setas _→, 3 setas _↑, 3 setas

→ e 1 seta ↑, encontra

108 4)(Canguru Matemático _– 2011 _– 4+) Um canguru de brincar estava colocado num quadrado de um tabuleiro, tal como ´e apresentado na figura

O Martim deslocou o canguru do quadrado inicial para um outro quadrado, fazendo 5 movimentos. Em cada movimento, o canguru só podia ser colocado num quadrado vizinho. Sabemos que o Martim fez os seguintes movimentos: primeiro para a direita, a seguir para cima, depois para a esquerda, a seguir para baixo e finalmente para a direita. Qual das seguintes figuras apresenta a posição final do canguru?

5)(Canguru Matemático _– 2013 _– 4+) A Ana começa a caminhar a partir da posição da seta e na direção por ela indicada (ver figura). Em cada cruzamento ela vira ou para a direita ou para a esquerda. Primeiro, ela vai para a direita, depois para a esquerda e, em seguida, vira novamente para a esquerda. Depois a Ana vai para a direita e depois para a esquerda e, por fim, vira de novo para a esquerda. A Ana chegou a