Braz. J. of Develop.,Curitiba, v. 6, n. 10, p. 80410-80429, oct. 2020. ISSN 2525-8761
Otimização robusta aplicada ao projeto de sistemas de engenharia
Robust optimization applied to engineering systems design
DOI:10.34117/bjdv6n10-457
Recebimento dos originais: 15/09/2020 Aceitação para publicação: 21/10/2020
Gustavo Saraiva Silveira
Formação: graduação em Engenharia química Instituição de atuação atual: TOTAL TRTG
Endereço: Alameda Souza Lima 1432, Gouveia - Minas Gerais Email: gustavo.saraiva.silveira@hotmail.com
Thaís Alves Barbosa
Formação: Mestrado em Modelagem e Otimização Instituição: Instituto Federal Goiano - Campus Morrinhos
Endereço: Rodovia BR 153, km 633, Zona Rural, Morrinhos, Goiás CEP 75650-000 Email: thais.barbosa@ifgoiano.edu.br
Fran Sérgio Lobato
Formação: Doutorado em Engenharia Mecânica
Instituição: Universidade Federal de Uberlândia, Faculdade de Engenharia Química
Endereço: Av. João Naves de Ávila, 2121, Campus Santa Mônica, CEP 38400-902 - Uberlândia, MG Email: fslobato@ufu.br
Edu Barbosa Arruda
Formação: Doutorado em Engenharia Química
Instituição: Universidade Federal do Triângulo Mineiro, Departamento de Engenharia Química Endereço: Avenida Doutor Randolfo Borges Junior, 1250, Univerdecidade, CEP 38025-180,
Uberaba, MG, Brazil Email: edu.arruda@uftm.edu.br RESUMO
Otimização robusta é uma abordagem para modelar problemas em que considera-se a presença de incertezas. Neste contexto, o projetista visa determinar soluções que são ideais para o pior caso considerado (com incertezas). Tradicionalmente, o problema de otimização com incerteza é convertido em um determinístico equivalente, denominado de robusto, utilizando argumentos de dualidade e, em seguida, resolvido por meio de algoritmos de otimização convencionais. Na presente contribuição, os algoritmos de Evolução Diferencial e Multiobjective Optimization Differential Evolution (MODE) são associados com o conceito de média efetiva para a inserção de robustez. Para avaliar a metodologia proposta, dois estudos de caso são considerados. O primeiro consiste na determinação dos parâmetros de equações constitutivas no processo de secagem da maçã. Já o segundo considera o projeto de um secador rotativo. Os resultados obtidos demonstram que a metodologia proposta configure-se como uma abordagem interessante para a resolução de problemas de otimização robustos.
Palavras-Chave: Otimização Robusta, Otimização Mono e Multi-objetivo, Evolução Diferencial, Projeto de Sistemas de Engenharia.
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Robust optimization is an approach for modeling problems that present uncertainties. In this context, the designer aims to determine solutions that are optimal for the worst-case considered (with uncertainties). Traditionally, the optimization problem with uncertainty is converted into an equivalent deterministic, called robust, using strong duality arguments and then solved using conventional optimization algorithms. In the present contribution, the Differential Evolution and Multi-objective Optimization Differential Evolution (MODE) algorithms are associated with the Effective Mean Concept for the insertion of robustness. To evaluate the proposed methodology, two case studies are considered. The first consists of determining the parameters of constitutive equations in apple drying process. The second considers the design of a rotary dryer. The results obtained demonstrate that the proposed methodology is configured as an interesting approach for the resolution of robust optimization problems.
Keywords: Robust Optimization, Mono and Multi-objective Optimization, Differential Evolution, Engineering Systems Design.
1 INTRODUÇÃO
A secagem ou desidratação configura-se como um dos processos de engenharia mais utilizados para a conservação de produtos alimentícios, já que a grande maioria destes sofre deterioração com a ação microbiana (Tadini et al., 2016). Esta operação unitária é responsável por transferir a umidade que está em um sólido para uma fase gasosa não saturada de forma a adequar o produto a uma deter-minada especificação de mercado (Arruda, 2008). Dentre as vantagens desta operação unitária pode-se citar: a conpode-servação do produto por um período de tempo maior do que aquele requerido pelo pro-duto em natura, a redução do seu peso (redução do custo de transporte e armazenamento) e a capaci-dade de conservação das características físicas e nutritivas (Arruda, 2008).
A secagem é um assunto abrangente e de alta complexidade, pois envolve trocas simultâneas de calor, massa e momento. Vários parâmetros afetam o processo de secagem, sendo que muitos deles são dependentes da estrutura do sólido e podem apresentar variações para um mesmo produto que tenha sido feito por processos diferentes ou até mesmo em lotes diferentes do mesmo processo (Arru-da, 2008).
A modelagem matemática do fenômeno de secagem é caracterizada por um sistema de equações diferenciais que representam os balanços de massa, energia e quantidade de movimento. Associado a estes modelos fenomenológicos, uma série de equações empíricas (constitutivas) devem ser emprega-das para que esse fenômeno altamente não linear possa ser representado. Dentre as equações empíri-cas que devem ser determinadas, expressões para a umidade de equilíbrio e para a cinética de secagem estão entre as mais importantes. Cabe ressaltar que estes modelos isoladamente não são capazes de descrever o processo de transferência de calor e massa em camadas espessas, uma vez que os
Braz. J. of Develop.,Curitiba, v. 6, n. 10, p. 80410-80429, oct. 2020. ISSN 2525-8761 ços de massa e energia da fase gasosa não são considerados. Entretanto, estes estudos são indispensá-veis na predição dos fenômenos de transferência de massa e calor (Arruda, 2008; Tadini et al., 2016). Em se tratando da cinética de secagem, a literatura especializada apresenta uma série de modelos com aplicações em diferentes áreas da ciência e da engenharia. Dentre estes pode-se citar o estudo da cinética de secagem de: i) grãos de soja (Overhults et al., 1973; White et al., 1978); ii) vegetais (Iguaz et al., 2003); iii) frutas (Ceylan et al., 2007; Shahari, 2012); iv) fertilizantes (Arruda, 2008); v) bana-nas (Kumar et al., 2012; Monteiro et al., 2016); vi) maçãs (Zlatanovic et al., 2013); vii) mamãos (Udomkum et al., 2015) e viii) batatas e maçãs (Singh et al., 2014). Em cada um destes modelos, a determinação dos parâmetros que caracterizam a cinética de secagem é obtida através da formulação e resolução de um problema de otimização, que consiste na obtenção dos melhores parâmetros que mi-nimizam o somatório dos desvios quadráticos entre o modelo proposto e os pontos experimentais.
Tradicionalmente, este problema têm sido tratado através da aplicação de técnicas clássicas, isto é, metodologias que fazem uso de informações sobre o gradiente da função objetivo e das restrições pa-ra a atualização do candidato à solução do problema. Nos últimos anos, as técnicas evolutivas têm si-do empregadas para a resolução dos problemas de otimização. Isto se deve, entre outros aspectos, a habilidade que estes apresentam para escapar de ótimos locais, pela facilidade encontrada no trata-mento de problemas com variáveis mistas (inteiras + contínuas + discretas) e em problemas com restri-ções de diferentes naturezas (Saramago, 1999).
Além disso, durante a etapa de determinação dos parâmetros das equações constitutivas, conside-ra-se que o resultado obtido não está sujeito à influência de pequenas perturbações no vetor de variá-veis de projeto (parâmetros neste caso). Para tratar este tipo de problema, nas últimas décadas têm sido utilizado o conceito de otimização robusta. Taguchi (1984) define otimização robusta como sendo uma abordagem que produz, sob determinadas condições, uma solução pouco sensível a pequenas alterações nas variáveis de projeto. Neste caso, a partir da aplicação deste conceito, pode-se obter uma solução menos sensível e que pode ser implementada na prática em sistemas de engenharia e áreas afins.
Diante do que foi apresentado, a presente contribuição tem por objetivo propor uma metodologia sistemática para o tratamento de problemas de otimização robustos. Em linhas gerais, esta consiste na associação dos algoritmos de Evolução Diferencial - ED (Storn e Price, 1995; Storn et al., 2005) e
Multi-objective Optimization Differential Evolution (MODE) (Lobato, 2008) ao Conceito de Média
Efetiva, considerado para a inserção de robustez ao problema de otimização (Deb e Gupta, 2006). Para validar a abordagem proposta, dois estudos de caso são propostos. O primeiro considera a determinação robusta dos parâmetros de equações constitutivas empregadas para a representação da cinética de
Braz. J. of Develop.,Curitiba, v. 6, n. 10, p. 80410-80429, oct. 2020. ISSN 2525-8761 secagem da maçã. Já a segunda aplicação consiste no projeto de um secador rotativo no qual deseja-se minimizar a umidade de sólidos ao final do comprimento do secador e minimizar a perda de calor ao longo do secador. Este trabalho está estruturado como segue: a segunda seção apresenta uma breve descrição sobre otimização robusta, bem como sobre o conceito de Média Efetiva. A terceira seção apresenta uma breve revisão sobre os algoritmos ED e MODE, respectivamente. O modelo matemático do secador de interesse neste trabalho é apresentado na quarta seção. A metodologia proposta neste trabalho é apresentada na quinta seção. Já na sexta seção são apresentados os resultados e discussão. Finalmente, as conclusões e perspectivas de trabalhos futuros são apresentadas na última seção.
2 OTIMIZAÇÃO ROBUSTA
Como ilustrado na Fig. 1, para um problema mono-objetivo, observa-se que a solução ótima global é muito sensível a pequenas perturbações da variável x e que a solução ótima local é “estável” no que diz respeito a determinadas perturbações desta variável.
Figura 1: Solução Robusta e Solução Sensível à realização de perturbações.
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 Local Ótimo Global f( x) x Ótimo
Em termos práticos, uma solução robusta pode não coincidir com a solução nominal, isto é, com a solução onde não se considera a robustez. Assim, a robustez caracteriza uma importante ferramenta para auxiliar a obtenção de uma solução pouco sensível, sob determinadas condições, quando expostas a dadas condições de incerteza.
Neste contexto, Deb e Gupta (2006) propuseram a extensão do conceito de Média Efetiva do contexto mono para o multi-objetivo. Este é formulado como segue: Uma solução x* é denominada solução multi-objetivo robusta se a solução Ótima de Pareto é viável para o seguinte problema de otimização multi-objetivo definido em relação à vizinhança δ de uma solução x:
Braz. J. of Develop.,Curitiba, v. 6, n. 10, p. 80410-80429, oct. 2020. ISSN 2525-8761 1 ( ) ( ) 1 1 min , ... , M y x y x f dy f dy
(1)na qual |ϒδ| é o hipervolume da vizinhança e fé o vetor com M objetivos. Um conjunto finito de
H soluções deve ser gerado “aleatoriamente” usando, por exemplo, o Hipercubo Latino para a avaliação
da integral dada pela Eq. (1). Neste caso, definindo-se a vizinhança δ em relação ao vetor de variáveis de projeto, N soluções x são geradas empregando-se o Hipercubo Latino, sendo a integral avaliada numericamente. Salienta-se que isto onera em muito o custo computacional do processo, já que são necessárias, a cada geração, N avaliações adicionais da função objetivo (Deb e Gupta, 2006).
3 ALGORITMO DE EVOLUÇÃO DIFERENCIAL E MULTI-OBJECTIVE OPTIMIZATION DIFFERENTIAL EVOLUTION
Dentre os vários métodos de otimização propostos na literatura, o algoritmo de Evolução Diferencial (ED), proposto por Storn e Price (1995), se configura como uma das principais abordagens para a resolução de problemas de otimização.
Neste algoritmo, diferentemente no que acontecia nos primeiros algoritmos genéticos propostos, o valor de cada variável é representado por um valor real. O seu procedimento geral é dado pelas seguintes etapas (Storn et al., 2005):
• gera-se uma população inicial com NP soluções factíveis para o problema em questão, onde garante-se por “regras de reparo” que os valores atribuídos às variáveis estão dentro das fronteiras delimitadas pelo projetista;
• seleciona-se um indivíduo, de forma aleatória, para ser substituído. Três diferentes indivíduos são selecionados como genitores (pais), sendo que um destes é selecionado como genitor principal;
• modifica-se cada variável do genitor principal com alguma probabilidade de cruzamento
CR;
• adiciona-se ao valor atual da variável (genitor principal) a diferença entre duas outras variáveis (genitores secundários) ponderada por uma taxa de perturbação F. Este procedimento representa o operador de cruzamento na ED;
• se o vetor resultante apresenta uma função de aptidão melhor que a escolhida, ele é substituído; caso contrário, tal vetor escolhido para ser eventualmente substituído é mantido na população.
Braz. J. of Develop.,Curitiba, v. 6, n. 10, p. 80410-80429, oct. 2020. ISSN 2525-8761 Devido ao sucesso observado pelo algoritmo de ED em diferentes campos da ciência e engenharia, a sua extensão para o contexto multi-objetivo foi proposto por Lobato (2008). O algoritmo
Multi-objective Optimization Differential Evolution (MODE) é fundamentado na geração de
candidatos via algoritmo de Evolução Diferencial (ED) (Storn e Price, 1995; Storn et al., 2005), associado ao conceito de dominância de Pareto, ao operador de truncamento de soluções (Deb, 2001) e ao operador para a geração dos vizinhos (Hu et al., 2006).
Basicamente, o algoritmo MODE apresenta a seguinte estruturação: inicialmente, uma população com N indivíduos é gerada randomicamente. Selecionam-se, randomicamente, três pais (um para ser o genitor principal e outros dois para serem os genitores secundários). Um filho (candidato a solução) é gerado a partir destes três pais através do operador de ED descrito anteriormente. Este processo continua até que uma nova população com N filhos (candidatos) seja gerada. Esta nova população é agrupada com a população antiga, formando assim a população P1 de tamanho 2N. P1 é então
classificada segundo o critério de dominância, formando a população P1*, com N indivíduos. Este
critério consiste na organização dos indivíduos da população em fronteiras que refletem sua importância no processo evolutivo da seguinte maneira: inicialmente, através do critério de dominância, a população é classificada e tomada como Rank 1. Esses indivíduos de Rank 1 são retirados da população. A população restante é novamente classificada segundo esse critério de dominância, sendo que essa população assume Rank 2. Esses indivíduos são retirados da população atual e novamente é realizada a classificação dos indivíduos que restaram. Tal procedimento é repetido até que todos os indivíduos da população sejam classificados.
Classificada a população, apenas os N “melhores” indivíduos são considerados para a geração dos vizinhos segundo a relação abaixo (Hu et al., 2006):
X Dk 2, X Dk 2
= − + (2) em que: U L k k D X X R = − (3)Dk(g) é um vetor que depende da geração corrente g, R é o número de pseudo-curvas definidas
pelo usuário e XU e XL são os limites máximos e mínimos de cada variável de projeto x. O número de
Braz. J. of Develop.,Curitiba, v. 6, n. 10, p. 80410-80429, oct. 2020. ISSN 2525-8761
1
k k
n =rn− (4)
em que r é a taxa de redução. Segundo Hu et al. (2006), uma população com N indivíduos, nk
pode ser calculado como:
1 1 1 k k R r n N r r − − = − (5)
Se r < 1, o número de indivíduos na primeira pseudo-curva é alto e cada pseudo-curva tem um número de soluções exponencialmente reduzidas, enfatizando assim a busca local. Por outro lado, se
r > 1, o número de soluções na última pseudo-curva é alto, enfatizando a busca global.
De posse dos vizinhos gerados pelo procedimento descrito anteriormente, estes por sua vez são classificados de acordo com o critério de dominância e somente os vizinhos não-dominados (P2) serão adicionados à população P1* para formar a população P3 (população da próxima geração). P3 é classificada de acordo com o critério de dominância. A população P3, de tamanho maior de N, é truncada de acordo com o operador Crowding Distance (Deb, 2001). Este operador é responsável pela eliminação das soluções que estão muito próximas, já que é interessante que se tenha uma CP bem distribuída no domínio dos objetivos.
O processo continua até que um determinado critério de parada ser satisfeito. Mais detalhes sobre o desenvolvimento do algoritmo descrito pode ser encontrado em Lobato (2008).
4 MODELAGEM MATEMÁTICA DO SECADOR ROTATIVO
Considere o modelo de um secador rotativo desenvolvido por Arruda (2008), cujo objetivo é o de estimar os perfis de temperatura e umidade do sólido e do ar de secagem, conforme descrito esquematicamente na Fig. 2.
Braz. J. of Develop.,Curitiba, v. 6, n. 10, p. 80410-80429, oct. 2020. ISSN 2525-8761 A partir das hipóteses propostas por Arruda (2008), o modelo proposto para previsão dos perfis de umidade e temperatura do sólido e do ar de secagem no interior do secador rotativo operando em contracorrente (0 z 1) é composto pelo seguinte sistema de equações:
o , (1) w f R H dW W W dz = − G = (6) o , (0) w S R H dM M M dz = − G = (7) o ( ) ( ) ( ) , (1) ( ) a f S w v f P f amb f f f f f v U V T T R H Cp T U DL T T dT T T dz G Cp WCp − + + + − = = + (8) o ( ) [ ( )] , (0) ( ) a f S w l S w v f S S s s S S l U V T T R HCp T R H Cp T T dT T T dz G Cp MCp − + − + − = = + (9)
sendo que Cp é o calor específico (kJ/kgoC), D é o diâmetro interno do tambor (m), G a vazão
mássica (kg/s), h é a entalpia (kJ/kg), H é a carga total do secador (kg), L é o comprimento total do tambor (m), M é a umidade do sólido (kg/kg), Rw é a taxa de secagem (s-1), T é a temperatura (oC), Tamb
é a temperatura ambiente (oC), U
a é o coeficiente de transferência volumétrico (kJ/sm3oC], V é o volume
do tambor (m3), W é a umidade absoluta do ar (kg/kg), z é a coordenada cartesiana adimensional (x/L),
t o tempo de residência (s), λ é o calor latente de vaporização da água (kJ/kg) e os subscritos são: f para
o fluido, s para o sólido, l para o líquido, v para o vapor e o para a condição de contorno (operação contracorrente).
A taxa de secagem local é dada por:
0 ( 1)( eq) w MR M M R t − − − = (10)
sendo a umidade adimensional (MR) estimada pela equação de Page (Page, 1949):
3 2 1 exp exp C f C MR C t T − = − (11)
Braz. J. of Develop.,Curitiba, v. 6, n. 10, p. 80410-80429, oct. 2020. ISSN 2525-8761 A umidade de equilíbrio (Meq) é dada pela equação de Halsey modificada (Osborn et al., 1989),
com parâmetros obtidos a partir dos dados experimentais para o material particulado utilizado.
1 1,4349 - exp(-0, 0445 - 2, 0795) ln( ) S eq T M UR = (12)
em que UR é a umidade relativa.
Já os coeficientes de transferência volumétricos e de perda de calor são dados pelas seguintes equações (Arruda, 2008): 0,289 0,541 3,535( ) ( ) a f S U = G G (13) ( )mP P P f U =k G (14)
(
o ar)
(
o)
273,15 1 ar f f v A P MM G R T W = + + (15)(
1 0)
SU s G G M = + (16)Nas equações 15 e 16, kp e mp são constantes do processo estudado, var é a velocidade do fluido,
A é área da seção transversal do secador, P é a pressão do processo, MMar é a massa molecular do ar,
R é a constante dos gases ideais e GSU é a vazão de sólidos úmido.
A carga total do secador é dada por:
0 1 s G TR z H M = + (17)
O calor latente é dado pela seguinte equação (Arruda, 2008):
2 6 3
2492, 71 2,144 Ts 0, 001577 Ts 7,3353 10 Ts
= − − − −
(18) Já o calor perdido é dado pela seguinte correlação (Douglas et al., 1993):
( )
P P f amb
Braz. J. of Develop.,Curitiba, v. 6, n. 10, p. 80410-80429, oct. 2020. ISSN 2525-8761 Mais detalhes sobre o desenvolvimento matemático, bem como sobre as hipóteses consideradas podem ser encontrados em Arruda (2008).
5 METODOLOGIA
Conforme descrito anteriormente, este trabalho tem como objetivo a determinação de parâmetros de equações constitutivas e do projeto de um secador rotativo considerando a influência de incertezas. Para um bom entendimento da metodologia proposta, a mesma é detalhada, para cada aplicação, nas duas próximas sub-seções.
5.1. OTIMIZAÇÃO ROBUSTA MONO-OBJETIVO
Para a resolução do primeiro estudo de caso (mono-objetivo robusto), no qual deseja-se obter os parâmetros de equações constitutivas no processo de secagem da maçã, o seguinte procedimento é proposto:
• Inicialmente, a partir do conhecimento dos dados experimentais, formula-se a função objetivo (FO);
• Com a FO formulada e definindo-se os parâmetros do algoritmo de ED, do número de amostras e do parâmetro de inserção de robustez (δ) (que representa o percentual de perturbação no vetor de variáveis de projeto), aplica-se a estratégia de otimização para a determinação dos parâmetros cinéticos no contexto nominal e robusto. Para o primeiro, nenhuma estratégia para a inserção de robustez é considerada (resultado nominal). Para o segundo tipo, incorpora-se o Conceito de Média Efetiva apresentada ao algoritmo de ED (resultado robusto);
• Para o problema robusto, uma série de amostras, relativo a cada indivíduo gerado pelo algoritmo de ED é gerado considerando o Hipercubo Latino, de modo que a integral definida pela Eq. (1), no contexto mono-objetivo, possa ser avaliada numericamente.
A formulação da FO na determinação dos parâmetros cinéticos que minimizem o somatório dos desvios quadráticos(distância entre os valores experimentais e os valores preditos pelo modelo proposto), conforme a seguinte equação:
(
)
exp 2 exp cal 1 2 1 ( , ,..., ) n i i m i FO y y =
− (20)Braz. J. of Develop.,Curitiba, v. 6, n. 10, p. 80410-80429, oct. 2020. ISSN 2525-8761 em que ycal e yexp representam o valor da variável dependente (y) predita pelo modelo e o valor da variável dependente (experimental), respectivamente. αk (k=1, ..., m) é o vetor que contém os m
parâmetros que devem ser determinados e nexp é o número de dados experimentais considerados. Para mensurar a qualidade do ajuste obtido com cada modelo, será utilizado o coeficiente de determinação (r2), definido como (Chapra, 2013):
2 1 r t S r S − (21)
onde Sr representa o somatório dos desvios quadráticos entre os dados experimentais e os valores
computados pelo modelo considerado) e St representa o somatório dos quadrados dos resíduos entre os
dados computados pelo modelo e a média, definidos como:
(
)
exp 2 exp cal 1 n r i i i S y y =
− (22)(
)
exp 2 cal 1 n t i i S y y =
− (23)onde a média (y) é definida como:
exp cal 1 exp n i i y y n =
(24)Em termos práticos, quanto mais próximo r2 for da unidade, melhor é o ajuste proposto. Este valor representa o percentual dos dados experimentais que pode ser explicado pelo modelo matemático proposto. Neste caso, se o valor de r2 for longe da unidade, isto implica que o modelo proposto não foi uma boa escolha (Chapra, 2013).
Para fins de aplicação da metodologia proposta, os seguintes modelos constitutivos para a caracterização da cinética de secagem em camada fina são apresentados.
Um dos primeiros de modelos de secagem em camada fina foi proposto por Lewis (1921). Este deriva do modelo semi-teórico empregado para materiais higroscópicos porosos, que é análogo à lei de resfriamento de Newton. O modelo de Lewis é descrito como (Lewis, 1921):
0 exp( ) e e X X MR kt X X − = = − − (25)
Braz. J. of Develop.,Curitiba, v. 6, n. 10, p. 80410-80429, oct. 2020. ISSN 2525-8761 em que MR é a taxa de umidade – Moisture Ratio (gsólido seco/gsólido úmido), k é a constante de secagem (h-1), t é o tempo de secagem (h). X, Xe e X0 representam o teor de umidade, a qualquer
instante de tempo, a umidade de equilíbrio e a umidade inicial, respectivamente.
Page (1949) modificou o modelo proposto por Lewis através da adição de uma constante empírica adimensional (n): 0 exp( n) e e X X MR kt X X − = = − − (26)
Para a secagem de batata doce, Diamante e Munro (1993) propuseram uma modificação no Modelo de Page, sendo este dado pela seguinte equação (este é conhecido como Modelo de Page Modificado):
( )
(
2)
0 exp n e e X X MR k t l X X − = = − − (27)em que l é uma constante empírica adimensional.
Mais recentemente, Singh et al. (2014) propuseram, para a secagem de batata e maçã, o seguinte modelo:
( )
0 exp e e X X MR kt nt X X − = = − − − (28)em que k é a constante de secagem (h-1) e n é um parâmetro (h-1) proposto para a obtenção de um melhor ajuste do modelo aos dados experimentais.
5.2. OTIMIZAÇÃO ROBUSTA MULTI-OBJETIVO
Nesta seção são apresentados os aspectos gerais para o projeto de um secador rotativo. Para esta finalidade considera-se a formulação e resolução de um problema de otimização multi-objetivo. Estes são destacados a seguir:
• Objetivos: minimizar a umidade do sólido ao final de comprimento do secador (f1≡M(1)) e minimizar o calor perdido
(
2 1)
0 p
f
Q dz através da determinação da temperatura de ar em z=1(Tf0), da velocidade do ar (var) e da vazão mássica de sólido seco (GSU).
• Espaço de Projeto (Arruda, 2008): 77 oC ≤ T
f0 ≤ 99 oC, 1,1 m/s ≤ var ≤ 3,9 m/s e 0,72
Braz. J. of Develop.,Curitiba, v. 6, n. 10, p. 80410-80429, oct. 2020. ISSN 2525-8761 É importante ressaltar que para o caso nominal, isto é, sem robustez são necessárias 20+20×100 avaliações da função objetivo em cada execução. Já para o caso robusto, são necessárias 20+20×100×10 avaliações da função objetivo. Neste caso, observa-se um acréscimo no número de avaliações para o caso robusto.
6 RESULTADOS E DISCUSSÃO
6.1. OTIMIZAÇÃO ROBUSTA MONO-OBJETIVO
Para aplicação da metodologia proposta neste trabalho, alguns pontos devem ser destacados. • Para a formulação da função objetivo foram considerados os pontos experimentais obtidos por Singh Para o estudo de caso nominal foram analisadas as quatro equações que representam a cinética de secagem (Eqs. (25) à (28)), e que apresentam diferentes números de parâmetros que devem ser estimados. Cabe ressaltar que para essa finalidade e para o conjunto de dados experimentais, os termos X e X0 foram considerados muito mais relevantes do que o termo
Xe, isto é (Singh et al., 2014):
0 0 e e X X X X X X − − (29)
• Parâmetros utilizados no algoritmo de ED (Storn et al., 2005; Lobato, 2008): população com 25 indivíduos, número de gerações igual a 250, probabilidade de cruzamento e taxa de perturbação iguais a 0,8; respectivamente;
• Cada um dos estudos de caso foram simulados dez vezes;
• O critério de parada adotado neste trabalho foi o número máximo de gerações, isto é, o procedimento evolutivo é finalizado se esse valor é alcançado;
• É importante ressaltar que, para o estudo de caso nominal e para os parâmetros considerados, são necessárias 25+25×250 avaliações da função objetivo em cada execução do algoritmo. Já para o estudo de caso robusto e para os parâmetros considerados, são necessárias 25+25×250×50 avaliações da função objetivo em cada execução do algoritmo (onde 50 é o número de amostras consideradas para avaliar a integral definida pela Eq. (1));
• No estudo de caso robusto, foram considerados os seguintes valores para o parâmetro de inserção de robustez (δ=[0,001 0,005 0,01]).
Braz. J. of Develop.,Curitiba, v. 6, n. 10, p. 80410-80429, oct. 2020. ISSN 2525-8761 A Tabela 1 apresenta os parâmetros cinéticos estimados pelo algoritmo de ED para o caso nominal para os quatro modelos considerados.
Tabela 1: Parâmetros cinéticos estimados pelo algoritmo de ED para o caso nominal.
Eq. (25) k (h-1) FO r2 0,013* 1×10-9** 6,1×10 -4* 1×10 -9** 0,999* 10-10** Eq. (26) k (h-1) n (-) FO r2 0,013* 0,606** 0,999* 0,516** 6,1×10 -4* 1,633** 0,999* - Eq. (27) k (h-1) n (-) l (-) FO r2 3,445* 0,492** 0,999* 4,6×10 -6* 16,151* 1,037** 6,1×10 -4* 8,2×10 -9* 0,999* 10-9** Eq. (28) k (h-1) n (h-1) FO r2 0,013* 1×10-9** 1,2×10 -9* 1×10 -10** 6,1×10 -4* 1×10-9* 0,999* 10-9**
*Valor médio e **Desvio padrão.
Nesta tabela é possível observar que o algoritmo de ED foi capaz de estimar o(s) parâmetro(s) dos modelos considerados, visto os bons valores da função objetivo e do coeficiente de determinação obtidos. De forma geral, observa-se que o aumento do número de parâmetros considerados em cada modelo não implicou na melhora significativa do valor da função objetivo e do coeficiente de determinação em relação ao modelo com um único parâmetro. Para o modelo representado pela Eq. (26), observa-se que o desvio padrão relativo ao vetor de variáveis de projeto e a função objetivo não foram próximas a zero, como observado para os outros modelos. Neste caso, uma outra solução, provavelmente local, foi obtida (k=1,187 h-1, n=0 e FO=3,165) para o conjunto de sementes consideradas em cada execução do algoritmo de ED.
Com os resultados obtidos sem a inserção de robustez, optou-se por avaliar apenas um dos modelos no contexto de robustez, já que resultados similares formam obtidos para todos os modelos.
Braz. J. of Develop.,Curitiba, v. 6, n. 10, p. 80410-80429, oct. 2020. ISSN 2525-8761 Assim, para o estudo estudo da inserção de robustez através da incorporação do conceito de Média Efetiva ao algoritmo de ED, será considerado o modelo representado pela Eq. (26).
A Tabela 2 apresenta a influência do parâmetro de inserção de robustez (δ) no valor da função objetivo e no coeficiente de determinação para o modelo representado pela Eq. (26).
Tabela 2: Parâmetros cinéticos estimados pela estratégia robusta para o modelo representado pela Eq. (26) em função do parâmetro de inserção de robustez (δ).
δ k (h-1) n (-) FO r2 - 0,013* 0,606** 0,999* 0,516** 6,1×10 -4* 1,633** 0,999* - 0,001 0,0132* 1,1×10 -5** 0,999* 1,9×10 -4** 6,2×10 -4* 3,6×10 -7** 0,998* 3,2×10 -4** 0,005 0,0131* 1,5×10 -4** 1,000* 2,56×10 -3** 1,2×10 -3* 5,1×10 -6** 0,998* 1,8×10 -4** 0,01 0,0132* 1,6×10 -4** 1,001* 2,9×10 -3** 2,3×10 -3* 3,2×10 -5** 0,998* 1,2×10 -4**
*Valor médio e **Desvio padrão.
Conforme observado nesta tabela, quanto maior o valor do parâmetro de inserção de robustez (δ), maior é o valor da função objetivo em comparação com a solução nominal. Este comportamento já era esperado já que este parâmetro representa o nível de sensibilidade da função objetivo com relação aos parâmetros.
Para melhor avaliar o real efeito da solução robusta em relação à solução nominal, na Fig. 3 é apresentado o valor médio da função objetivo em relação ao parâmetro de inserção de robustez para o modelo cinético representado pela Eq. (26). Este gráfico foi obtido a partir da perturbação da solução nominal e de cada uma das soluções robustas, considerando o seguinte vetor δ=[0,001 0,005 0,01 0,02 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9] usando a abordagem do Hipercubo Latino de modo que o valor médio da função objetivo fosse avaliado.
Braz. J. of Develop.,Curitiba, v. 6, n. 10, p. 80410-80429, oct. 2020. ISSN 2525-8761
Figura 3: Influência de perturbações no valor da função objetivo considerando as soluções nominal e robustas.
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 V al or M éd io Parâmetro de Incerteza Nominal Robusto
Como observado nesta figura, o incremento no valor do parâmetro de inserção de robustez implica em maiores médias computadas para a solução nominal em relação a cada uma das soluções robustas. Assim, apesar do aumento do custo computacional requerido pela abordagem robusta proposta em relação à abordagem nominal, ressalta-se que cada solução robusta é, em relação ao respectivo parâmetro de inserção de robustez, menos sensível a determinadas perturbações no valor do vetor de variáveis de projeto em relação à solução nominal.
6.2. OTIMIZAÇÃO ROBUSTA MULTI-OBJETIVO
Para aplicação da metodologia proposta neste trabalho, alguns pontos devem ser destacados. • Parâmetros considerados no algoritmo MODE (Lobato, 2008): 20 indivíduos na população; 100 gerações; probabilidade de cruzamento e taxa de perturbação igual a 0,8; taxa de redução igual a 0,9 e número de pseudo-curvas igual a 10;
• Para a resolução do problema de valor de contorno utiliza-se o Método da Colocação Normal com 10 pontos;
• Para o estudo de caso robusto, foram considerados os seguintes parâmetros: desvios para cada uma das três variáveis de projeto (δ) da ordem de 0,01; 0,02; 0,05 e 0,1. Assim, para cada uma das variáveis de projeto, gera-se um subdomínio definido a partir da variável desvio δ. Para o cômputo numérico da integral via método dos trapézios, foram consideradas 10 amostras geradas pelo Método de Monte Carlo;
• Material particulado a ser secado: fertilizante do tipo SSP (superfosfato simples) com composição aproximada de 16 a 24% de P2O5 solúvel em água, 7 a 8% de ácidos livres, água e outros componentes.
Braz. J. of Develop.,Curitiba, v. 6, n. 10, p. 80410-80429, oct. 2020. ISSN 2525-8761 A Tabela 3 apresenta as condições de operação e os parâmetros físico-químicos do sólido e do gás considerados para a determinação das Curvas de Pareto Nominal e Robusta.
Tabela 3- Condições operacionais consideradas no projeto.
M(z=0)=0,1124; W (z=1)=0,0057; Ts (z=0)=32,3 oC; UR=0,1721; Cps=1,02577 kJ/(kgoC);
Cpf=1 kJ/(kgoC), Cpl=4,1868 kJ/(kgoC), Cpv=1,1723 kJ/(kgoC), A=r2 m2, r=0,15 m,
MMar=28,9 g/gmol, R=8,2×10-5 (atm m3)/(mol K), P=0,91 atm, L=1,40 m, V=LA m3,
D=2r m, Tamb=35oC, =3 o, Yqav=0,209, tq=0,209, TR=327 s (0≤ t≤ TR), C1=98,922 s-1,
C2=368,079 oC, C3=-0,697, k
p=46,373 KJ/(m2soC), mp=3,016
A Tabela 4 apresenta alguns pontos (extremos para cada um dos objetivos) das respectivas Curvas de Pareto Nominal e Robusta, e ilustradas na Fig. 4 para diferentes valores da variável desvio
δ.
Tabela 4- Alguns pontos (extremos para cada um dos objetivos) das Curvas de Pareto Nominal e Robusta para o projeto de um secador rotativo. δ Tf0 (oC) var (m/s) GSU (kg/s) f1 (-) f2 (kJ /s) 0 71,014 1,104 1,267 0,110 0,604 98,414 1,110 0,722 0,099 0,863 0,01 71,057 1,101 1,191 0,109 0,608 98,359 1,104 0,736 0,099 0,867 0,02 71,429 1,100 1,265 0,109 0,613 98,547 1,104 0,739 0,099 0,872 0,05 71,222 1,107 1,225 0,109 0,632 98,781 1,103 0,736 0,099 0,892 0,1 71,016 1,102 1,174 0,108 0,663 98,713 1,104 0,749 0,101 0,920
Como observado na Fig. 4, os objetivos considerados são conflitantes, isto é, uma melhora, em termos de um objetivo, causa a deterioração no outro, e vice versa. Fisicamente, o aumento da temperatura de entrada do fluido de aquecimento aumenta a taxa de secagem e, conseqüentemente, favorece a redução da umidade do sólido ao final do comprimento do secador. Por outro lado, o aumento da temperatura de entrada do fluido de aquecimento favorece a perda de calor. Tal observação é coerente do ponto de vista experimental, uma vez que os secadores rotativos não possuem isolamento térmico e altas temperaturas de entrada do ar de secagem provocam aumento na temperatura da parede
Braz. J. of Develop.,Curitiba, v. 6, n. 10, p. 80410-80429, oct. 2020. ISSN 2525-8761 do secador, que é construída com chapa metálica. Isso aumenta o gradiente de temperatura em relação ao meio externo e favorece as perdas de calor para o ambiente através da parede do tambor rotativo.
O aumento no valor da variável desvio δ faz com que a Curva de Pareto Robusta se afaste da Curva de Pareto Nominal. Este comportamento é esperado, já que a solução nominal naturalmente é diferente da solução robusta (Deb e Gupta, 2006). Neste caso, quanto maior o valor de δ mais confiável tende a ser a solução definida pela Curva de Pareto robusta, conforme apresentado na Fig. 4.
Figura 4: Curva de Pareto Nominal e Robusta para o projeto de um secador rotativo.
0,100 0,102 0,104 0,106 0,108 0,110 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 Nominal (=0) Robusto (=0,01) Robusto (=0,02) Robusto (=0,05) Robusto (=0,1) f 2 (KJ /s) f 1 (-) 7 CONCLUSÕES
Este trabalho teórico-computacional teve por objetivo avaliar o efeito da presença de incertezas na determinação da cinética de secagem da maçã através da formulação e resolução de um problema de otimização. Os parâmetros das equações cinéticas consideradas foram estimados usando o algoritmo de Evolução Diferencial associado ao Conceito de Média Efetiva. De forma geral observa-se, para os estudos de caso nominais analisados, que a metodologia apresentada foi capaz de obter resultados satisfatórios em relação ao valor da função objetivo e do desvio padrão. Neste caso, foi constado que a equação com um único parâmetro foi capaz de representar o conjunto de pontos experimentais, conforme ilustrado nas tabelas. Para o estudo de caso robusto analisado foi constatado que a solução robusta, mesmo com maior custo computacional com relação à solução nominal, é menos sensível a pequenas perturbações.
Além disso, também foi avaliado o projeto de um secador considerando o algoritmo MODE (Multi-objective Optimization Differential Evolution) associado ao Conceito de Média Efetiva. Para
Braz. J. of Develop.,Curitiba, v. 6, n. 10, p. 80410-80429, oct. 2020. ISSN 2525-8761 essa finalidade considerou-se a minimização da umidade de sólidos ao final do comprimento do secador e a minimização da perda de calor ao longo do secador através da determinação da temperatura de entrada do fluido de aquecimento, da velocidade do ar e da vazão mássica de sólido seco. De forma geral observa-se, para o estudo de caso proposto, que a metodologia apresentada configurou-se como uma alternativa interessante para o tratamento do problema de otimização robusto. Como proposta de trabalho futuro pretende-se realizar a validação experimental dos resultados obtidos com a metodologia proposta.
Finalmente, ressalta-se que os resultados apresentados neste trabalho justifica a necessidade da incorporação deste tipo de metodologia no projeto de sistemas de engenharia e áreas afins, de modo que possa ser obtida uma solução que, sob determinadas condições, é menos sensível a pequenas perturbações no vetor de variáveis de projeto.
Como sugestão para trabalhos futuros pretende-se aplicar a metodologia proposta em estudos de caso com mais parâmetros e constituídos por sistemas de equações mais complexos, como por exemplo, os diferenciais, algébrico-diferenciais e os integro-diferenciais.
AGRADECIMENTOS
Os autores agradecem a FAPEMIG, a CAPES e ao CNPq pelo suporte financeiro deste trabalho.
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