PROF. GUILHERME SADA RAMOS (Guiba)
RESOLUÇÃO DA PROVA
1. Segundo a entidade Council of Logistic Management, a logística é um processo de planejar, implementar e controlar eficientemente, com o menor custo possível, o fluxo e armazenamento de matérias-primas, estoques durante a produção, produtos acabados e informações relativas essas atividades, desde o ponto de origem até o ponto de consumo. Em relação ao transporte e produtos, os sistemas lineares desempenham um papel fundamental na logística. O proprietário de uma transportadora oferece seus serviços para as empresas X , Y e Z. Sabemos que o custo para a empresa X é o mesmo que para as empresas Y e Z juntas; o preço de Y é a diferença entre o dobro da empresa X e R$ 500,00, e o preço de Z é a diferença entre o triplo de Y e R$ 800,00. Nessas condições, o valor total, em reais, que a transportadora recebe pelos serviços prestados para as empresas X, Y e Z é:
a. 400 b. 700 c. 800 d. 900 e. 1000
RESOLUÇÃO
Do sistema x y z y 2x 500 z 3y 800 = + = − = − , concluímos que:(
)
(
)
x y 3y 800 x 4y 800 y 2 4y 800 500 y 8y 2100 7y 2100 y 300 = + − ⇒ = − ⇒ = − − ⇒ = − ⇒ = ⇒ =Então, como z=3y−800, z=3 300
(
)
−800=100. E x= +y z, logo x=300 100+ =400. Portanto, a soma (x + y + z) é igual a 400 + 300 + 100 = 800.GABARITO: C
2. O salário mensal dos funcionários de uma empresa está distribuído segundo o gráfico abaixo.
Ao escolher um funcionário ao acaso, a probabilidade de que este receba, no mínimo, R$1500,00 por mês é de: a. 6 b. 12 c. 14 d. 16 e. 18
RESOLUÇÃO
A alternativa correta, embora não especificado na questão, está colocada em termos percentuais, já que é impossível uma probabilidade numérica maior que 1.
Como, dos 50 funcionários, 9 recebe pelo menos
9
18% 50 =
R$ 1500,00, então a probabilidade de algum destes ser escolhidos ao acaso é de .
GABARITO: E
3. Os jogos do Pan-Americano de 2007 tiveram como sede a cidade do Rio de Janeiro. O preço (p) da entrada para a final do futebol feminino, entre Brasil e Estados Unidos, relacionava-se com a quantidade (x) de torcedores por jogo por meio da relação p x
( )
= −0,2x+100. Qual foi o preço cobrado para dar a máxima receita por jogo?a. 50,00 b. 40,00 c. 20,00 d. 60,00 e. 25,00
RESOLUÇÃO
Se o preço varia conforme a quantidade x de torcedores pela relação p x
( )
= −0,2x+100, então a receita, em função do mesmo x, é dada por r x( )
=x.p x( )
= −0,2x2 +100x. Do gráfico da função r, calculemos a coordenada x do vértice.(
)
(
)
v 100 b 100 x 250 2a 2. 0,2 0, 4 − − = = = = −Assim, para a quantidade x de 250 torcedores, vamos ter o preço que implicará na receita máxima possível. Aquele é calculado como p 250
(
)
= −0,2 250(
)
+100= −50 100+ =50.4. O gráfico abaixo mostra como variam as rendas de certo produto conforme o preço cobrado por unidade. Analisando o gráfico, considere as seguintes afirmativas:
I- As vendas caem com o aumento do preço a uma taxa de 75 unidades vendidas para cada real que aumenta no preço.
II- Se o preço cobrado é de R$ 6,00, então as unidades vendidas no mês passam a ser de 150.
III- Com base somente nos dados do gráfico, podemos determinar que o preço que fornece a receita máxima é de R$9,00.
Assinale a alternativa que contém a(s) afirmativa(s) correta(s):[ a. Apenas II e III. b. I, II e III. c. Apenas I e II. d. Apenas I e III. e. Apenas II.
RESOLUÇÃO
I- CORRETO! Num aumento de 4 reais no preço, o número de unidades vendidas cai em 300 unidades. Como o gráfico é retilíneo (a taxa de variação da função é constante), então podemos afirmar que, para cada real a mais no preço, teremos 75 unidades vendidas a menos.
II- ERRADO! Para o número de unidades ser 150, o preço deve ser R$ 16,00, e não R$6,00. Assim, o gabarito B, que considera este item correto, é contestável.
III- CORRETO! A reta que contém os pontos (10;600) e (14;300) é y= −75x+1350. Ou seja, a função que descreve a variação da quantidade vendida em função do preço é
( )
q x = −75x+1350. Com isso, a receita será dada, em função do mesmo preço x, por
( )
( )
2r x =x.q x = −75x +1350x. A receita máxima ocorrerá se o preço for a abscissa do
vértice de r,
(
)
(
)
v 1350 b 1350 x 9 2a 2. 75 150 − − = = = = − . GABARITO: D5. Com a nova Lei Federal n°11.445/07, os municípios começarão a olhar com outros olhos para os temas de água, lixo orgânico e reciclável, esgotamento sanitário, drenagem pluvial, e limpeza urbana. O Ministério Público está exigindo dos municípios a universalização dos serviços de saneamento, garantindo assim mais saúde e bem estar para toda a população brasileira. Uma fonte de captação circular com 10m de diâmetro será construída num terreno triangular, conforme figura abaixo. O redor da fonte será coberto por brita. Sabendo que o preço da brita é de R$ 4,00 por m2, calcule o valor em reais que será gasto para cobrir a área (adote π = 3,14).
Assinale a alternativa que apresenta o valor em reais que será gasto para cobrir a área:
a. 9300,00 b. 8334,00 c. 7088,00 d. 9286,00 e. 18886,00
RESOLUÇÃO
Temos um triângulo retângulo, de catetos 60 m e 80 m, um círculo de diâmetro 10 m, logo raio 5 m. Devemos calcular a área do triângulo, e subtrair desta, a área do círculo.
2 TRIÂNGULO CÍRCULO 60.80 A A .5 2400 25 2400 78,5 2321,5 2 − = − π = − π = − =
Esta é a área, em m2, a ser coberta por brita, a R$ 4,00 o m2. Então, o preço gasto, em reais, para cobrir a área será 4x2321,5=9286.
GABARITO: D
6. As marés são fenômenos periódicos que podem ser descritos, simplesmente, pela função seno. Suponhamos que, para determinado porto, a variação da altura (h) da lâmina d’água em função das horas (t) do dia seja dada pela função trigonométrica h t
( )
10 4sen t.12 π
= +
. Considerando
a equação acima, o tempo que um navio com altura h = 12m pode permanecer no porto é de: a. Entre 3 e 11 horas. b. Entre 4 e 10 horas. c. Entre 2 e 10 horas. d. Entre 1 e 2 horas. e. Entre 10 e 11 horas.
RESOLUÇÃO
Para o navio permanecer no porto, a altura da lâmina d’água deve ser maior que 12 m. Portanto,
( )
t. h t 10 4sen 12 12 t. 4sen 2 12 t. 1 sen 2 2 π = + > ⇒ π > ⇒ π > Na circunferência trigonométrica, os arcos com seno maior que 1
2 são todos entre 6 π
e 5
6 π
. Então, para calcular t, fazemos: t. 5 12 60 t 2 t 10 6 12 6 6 6 π π π < < ⇒ < < ⇒ < <
.
Se fôssemos resolver 2 t. 5 2 6 12 6 π π π + π < < + π, ou 2 t 5 2 6 12 6 π− π < π < π− π , encontraríamos 26< <t 34 e −22< < −t 14, respecitvmente. Estas soluções não servem, pois t é a hora do dia, que está entre 0 e 24. Logo, o tempo t deve estar compreendido entre 2h e 10h.7. Para o Pan Rio 2007, foram produzidas quinhentas tochas. O formato seguiu o mesmo princípio das medalhas: aliou os tradicionais conceitos olímpicos e o espírito inovador e a modernidade, características do evento. O seu formato alongado tem a função de facilitar o manuseio do condutor. Esta parte é um cone circular reto com 12cm de altura e um diâmetro de 10cm. O cone está apoiado em uma semiesfera de 3cm de diâmetro. Com base nesses dados, calcule a quantidade de material (em cm2) gasto na confecção das tochas, sabendo-se que o material só foi usado na
superfície lateral do cone e da semi-esfera (adote π = 3). Assinale a alternativa que apresenta a quantidade de material (em cm2) gasto na confecção das tochas: a. 208,5 b. 104250 c. 20850 d. 157500 e. 112000
RESOLUÇÃO
Para confeccionar uma única tocha, gastamos
2
lateral cone lateral semiesfera
4 R A A rg 2 − − π + = π + de material,
em que r é o raio da base do cone, g é a geratriz do cone e R é o raio da semiesfera, que mede 1,5 cm.
Como o diâmetro da base do cone mede 10 cm, então o raio mede 5 cm. Com a altura h = 12 cm, então g2 =r2 +h2 =
( ) ( )
5 2 + 12 2 =25 144+ =169⇒ =g 13. Assim, a área de uma tocha é( )
2 2rg 2 R 3.5.13 2.3. 1,5 195 13,5 208,5
π + π = + = + = .
Como a questão o material usado para confeccionar 500 tochas, então fazemos
(
)
500. 208,5 =104250.
GABARITO: B
8. Com base no estudo de áreas e volumes, podemos explicar por que um bebê sente mais frio que um adulto. Para entender esse fato, pense em dois cubos de ferro maciço, um com diagonal
3 3 cm e outro com diagonal 6 6 cm, ambos à temperatura de 36°C. Colocando-os em ambiente de temperatura mais baixa, o cubo menor perde calor mais rapidamente que o maior. Isso ocorre porque a razão da área total para o volume do cubo pequeno é maior que a razão da área total para o volume do cubo grande. O mesmo acontece com o bebê e um adulto: a razão da área total para o volume do corpo do bebê é maior que a razão entre a área total e o volume do corpo de um adulto; por isso, a criança tem maior dificuldade em manter o calor de seu corpo e, portanto, sente mais frio. No nosso exemplo, considerando o bebê o cubo menor e o adulto, o cubo maior, a razão da área total e o volume para o bebê e para o adulto são, respectivamente: a. 2 e 1 b. 1/2 e 2/1 c. 4 e 3 d. 1 e 2 e. 3 e 6
RESOLUÇÃO
Pelo gabarito divulgado, a diagonal do cubo maior deveria ser 6 3cm, e não
6 6
cm, como está no enunciado. Então ocorreria que o cubo grande teria aresta igual a 6 cm, já que D=a 3, D diagonal do cubo e a, aresta. A medida da aresta do cubo menor seria, pelo mesmo motivo, 3 cm.A razão da área total e o volume é dada por
2 total
3
A 6a 6
V = a =a. Para o cubo menor, a razão vale 6
2
3 = , e para o maior, é igual a 6
1 6 = .
9. Segundo Bethlem (1999), o conceito da curva de aprendizagem (desenvolvido por um comandante da base aérea de Wright Paterson em 1925) considera que a repetição de uma tarefa por um operário conduz ao aumento da habilidade deste em realizá-la. Com este aumento de habilidade, a produtividade aumenta e o custo unitário diminui. Um exemplo da curva da aprendizagem é dado pela expressão Q=700−400e−0,5t, onde Q = quantidade de peças produzidas mensalmente por um funcionário, t = meses de experiência. De acordo com esta expressão, um funcionário com 2 meses de experiência poderá produzir, aproximadamente: (considere e = 2,71) a. 3,5 peças b. 17,5 peças c. 14 peças d. 110 peças e. 552 peças
RESOLUÇÃO
Para t = 2, temos Q 700 400e 0,5 2( ) 700 400e 1 700 400 700 147,6 552 e
− −
= − = − = − ≅ − ≅ .
GABARITO: E
10. Na atualidade, o amplo conhecimento das necessidades do solo e das plantas, associado aos equipamentos e à pesquisa genética de cultivos (plantas especializadas para serem produzidas em solos e clima específicos), alavancou os estudos de combinação de cultivos para um patamar de conhecimentos altamente especializados. Assim, com o auxílio do Global Position System (GPS) e da análise do solo feita em escala de detalhe, é possível produzir várias culturas ao mesmo tempo em espaços que, anteriormente, sequer eram cogitados para esse tipo de atividade. Com a ajuda do GPS, podemos, por exemplo, calcular a área de desmatamento de um determinado local. Geólogos de certo estado sobrevoaram determinado local e avistaram um desmatamento. Por meio do GPS, localizaram os seguintes pontos cartesianos: (3 ;4); (6 ;-1); (0;3) e (2;0). A área de desmatamento descoberta pelos geólogos, em km2, foi de:
a. 28 b. 3,5 c. 14 d. 17,5 e. 7
RESOLUÇÃO
O aluno deve considerar, embora omitido no enunciado, que a unidade de medida dos eixos cartesianos é km. Então, calcular a área do polígono é somar as áreas dos triângulos de vértices (0;3), (2;0) e (3;4), e vértices (2;0), (6;–1) e (3;4). 0 3 1 2 0 1 2 0 1 6 1 1 3 4 1 3 4 1 11 17 14 2 2 + − + = = GABARITO: C
