x - 3y + 2z = 0

E ^{QUAÇÃO LINEAR}

É Toda equação da forma:

,

onde são números reais que recebem o nome de coeficientes e b é um número real chamado termo independente.

Observações:



Pelo menos um dos coeficientes não é nulo;



Todas as variáveis têm expoente 1.

Exemplos:

 3x + 5y = 20

 x - 3y + 2z = 0 (linear homogênea)

b x

a x

a x

a

_{1 1}



_{2 2}

  

_{n n}



O ^{UTROS EXEMPLOS} ...

Equações Lineares Equações Não- Lineares

1) 3x – 2y 4z = 7 1) xy + 3z + t = 8 2) x + y – 3z - 𝟕t = 0

(homogênea) 2) x² - 4y = 3t - 4

3) – 2x + 4x = 3t – y + 4 3) 𝐱 - y + z = 7

S ^{OLUÇÃO DE UMA}

EQUAÇÃO LINEAR Para a equação linear:

, a solução é a n-upla ordenada (𝜶 _𝟏 , 𝜶 _𝟐 , … , 𝜶 _𝒏 ) que torna verdadeira a equação, sendo 𝜶 _𝟏 , 𝜶 _𝟐 , … , 𝜶 _𝒏 números reais.

b x

a x

a x

a _{1 1}  _{2 2}    _{n n} 

E ^XEMPLO :

No exemplo anterior:

3x + 5y = 20

O par (5,1) é solução, pois 3.5 + 5.1 = 20.

Já o par (2, -3) não é solução, pois 3.2

+5.(-3) ≠ 20.

S ^ISTEMA L ^INEAR

Um conjunto de equações lineares da forma:

é um sistema linear de m equações e n incógnitas.

 



 



































m n

mn m

m m

n n

n n

b x

a x

a x

a x

a

b x

a x

a x

a x

a

b x

a x

a x

a x

a









3 3 2

2 1

1

2 2

3 23 2

22 1

21

1 1

3 13 2

12 1

11

F ^{ORMA MATRICIAL}

S ^{OLUÇÃO DE UM SISTEMA}

LINEAR

Chamamos de solução do sistema a n-upla de números reais ordenados:

,

que é, simplesmente, solução de todas as equações do sistema.

 ^r ₁ ^{, r} ₂ ^{,  , r} _n 

M ^{ÉTODOS DE RESOLUÇÃO DE}

UM SISTEMA LINEAR

 Comparação;

 Substituição;

 Adição;

 Regra de Cramer;

 Escalonamento.

M ^{ATRIZES ASSOCIADAS A UM}

SISTEMA LINEAR

 Matriz incompleta: É a matriz A, formada pelos coeficientes das incógnitas do sistema.

Exemplo - Seja o sistema:

Matriz incompleta:

 

 























4 2

7 4

0 3

2

z y

x

z y

x

z y

x

 







 









 1 1

2

1 1

4

1 3

2

 Matriz completa: É a matriz B, que obtemos ao acrescentarmos à matriz incompleta uma última coluna formada pelos termos independentes das equações do sistema.

Assim, a matriz completa referente ao sistema anterior é:

 







 









4 7 0 1

1

1 - 1 1 3 2 -

4

2

B

S ^{ISTEMAS HOMOGÊNEOS}



Sistemas Homogêneos: Um sistema é homogêneo quando os termos independentes de todas as equações são nulos.

Exemplo:

 

 





















0

3 2

0 3

4

0

2 3

y x

z y

x

z y

x

Soluções de um Sistema Homogêneo:

A n-upla (0, 0, 0, ..., 0) é sempre solução de um sistema linear homogêneo com n incógnitas e recebe o nome de solução trivial.

Obs.: Quando existem, as demais soluções são chamadas não-

triviais.

C LASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR QUANTO AO NÚMERO DE

SOLUÇÕES

 Possível:

 determinado (solução única);

 ou indeterminado (infinitas soluções).

 Impossível: não possui solução.

E ^XEMPLOS







 











1 2

8 y

x

y x

 











16 2

2

8 y x

y x

 













10 10 y

x

y

x

 











1 2

8 y

x

y

x

 











16 2

2

8 y x

y

x

 













10 10 y

x

y

x

R ^{EGRA DE} C ^RAMER

Dado um sistema linear na forma matricial:

Consideremos os determinantes:



Da matriz dos coeficientes.



Das matrizes obtidas quando se substitui uma de suas colunas, relativa a uma incógnita, pela coluna dos termos independentes (D

₁

, D

₂

,..., D

_n

).

Os valores das incógnitas, quando D≠0, são iguais

a:

E XEMPLO



Com o auxílio da Regra de Cramer, resolva o seguinte sistema:

 











3 3

2

7 2

y x

y

x

D ^{ISCUSSÃO DE UM SISTEMA}

LINEAR

Para discutir um sistema linear de n equações e n incógnitas, calculamos o determinante D da matriz incompleta. Assim, se:



D ≠ 0: Sistema é possível e determinado (SPD), ou seja, possui solução única.



D = 0: Sistema pode ser possível e

indeterminado (SPI) (ter infinitas

soluções) ou impossível (SI) (não ter

solução).

E ^XEMPLO

 Determinar , de modo que o sistema:

tenha solução.

R k 

 











5 1 2

ky x

y

kx

CUIDADO COM A REGRA DE CRAMER!!!!



O sistema

𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟒𝒛 = 𝟖 𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟒𝒛 = 𝟏𝟐 𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟒𝒛 = 𝟏𝟔

, é

nitidamente impossível e, resolvendo pela Regra de Crammer, pode parecer indeterminado.

Veja a

representação

S ^ISTEMAS EQUIVALENTES

( ^{MESMO CONJUNTO SOLUÇÃO} )

P1: Trocando de posição as equações de um sistema, obtemos outro sistema equivalente.

𝒙 + 𝒚 = 𝟏𝟐

𝒙 − 𝒚 = 𝟒 → 𝒙 − 𝒚 = 𝟒

𝒙 + 𝒚 = 𝟏𝟐

S ^ISTEMAS EQUIVALENTES ( ^MESMO

CONJUNTO SOLUÇÃO )

P2: Multiplicando uma ou mais equações de um sistema por um número k, k , obtemos um sistema equivalente ao anterior.

𝒙 + 𝒚 = 𝟏𝟐

𝒙 − 𝒚 = 𝟒 → 𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟐𝟒

𝟐𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟖

S ^ISTEMAS EQUIVALENTES ( ^MESMO

CONJUNTO SOLUÇÃO )

P3: Adicionando a uma das equações de um sistema o produto de outra equação desse mesmo sistema por um número k, k , obtemos um sistema equivalente ao anterior.

𝒙 + 𝒚 = 𝟏𝟐

𝒙 − 𝒚 = 𝟒 → 𝒙 + 𝒚 = 𝟏𝟐

𝟑𝒙 + 𝒚 = 𝟐𝟖

S ^ISTEMAS ESCALONADOS

Dado um sistema linear:

,

onde existe pelo menos um coeficiente não- nulo em cada equação, dizemos que S está escalonado se o número de coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente não- nulo aumenta de equação para equação.

 



 





































m n

mn m

m m

n n

n n

b x

a x

a x

a x

a

b x

a x

a x

a x

a

b x

a x

a x

a x

a S









3 3 2

2 1

1

2 2

3 23 2

22 1

21

1 1

3 13 2

12 1

11

V ^{EJA E RESOLVA ESTE}

SISTEMA ESCALONADO :

𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 3 −7𝑦 − 3𝑧 = −2

−2𝑧 = −6

P ^{ROCESSOS PARA ESCALONAR}

UM SISTEMA

1) Fixamos como 1ª equação uma das que possuam o coeficiente da 1ª incógnita diferente de zero.

2) Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita das demais equações.

3) Anulamos todos os coeficientes da 2ª incógnita a partir da 3ª equação.

4) Repetimos o processo com as demais

incógnitas, até que o sistema se torne

escalonado.

E ^XEMPLO

 

 



















2 z

2y

- x

0 z

4 y

2 3x

5 z

y

x

2

A ^TENÇÃO !

Escalonamento de

determinante Escalonamento de sistemas lineares

 A troca de duas linhas altera o sinal do determinante.

 A troca de duas linhas não altera nada.

 Uma combinação linear entre duas linhas só pode ser colocada no lugar da linha somada.

 Uma combinação

linear entre duas

linhas pode substituir

qualquer uma das

linhas usadas na

combinação.

ESCALONANDO UM SISTEMA

a)

𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟒𝒛 = 𝟖 𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟒𝒛 = 𝟏𝟐 𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟒𝒛 = 𝟏𝟔

b)

𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟒𝒛 = 𝟖

𝟐𝒙 + 𝟒𝒚 + 𝟖𝒛 = 𝟏𝟔

𝟒𝒙 + 𝟖𝒚 + 𝟏𝟔𝒛 = 𝟑𝟐

c)

𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟒𝒛 = 𝟖 𝟐𝒙 + 𝟒𝒚 + 𝟖𝒛 = 𝟏𝟔

𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟓

d)

𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟒𝒛 = 𝟖 𝟐𝒙 + 𝟒𝒚 + 𝟖𝒛 = 𝟏𝟎

𝒙 − 𝒚 + 𝒛 = 𝟓

e)

f)

 

 





















0 2

3 3

4 3

2

1

2

z y

x

z y

x

z y

x

 

 





























1 3

4

2

2

1 2

3

z y

x

z y

x

z y

x

g)

 

 



9 -

= 2z

+ 4y -

x -

23

= z

+ 3y +

2x

7

= z

- 2y +

x

P OSIÇÕES RELATIVAS DE 3

PLANOS

OUTROS EXEMPLOS...

 

 



















2 z

2y

- x

0 4

2 3x

5 z

2

z y

y

x

 

 



















2 z

2 - y

x 3

1 z

y x

2

3 z

y

2

x

 

 























5 2

3

1 2

2

6

z y

x

z y

x

z y

x

E ^XERCÍCIOS

1) (Ufes – com modificações) O desenho ao lado mostra os preços de três conjuntos compostos por faca, garfo e colher.

a)Escreva o sistema de equações que representa essa situação

b)Calcule o preço de um garfo.

2) Resolva os sistemas, se possível, e classifique-os.

 

 





















3 5

0 3

2

4 2

)

z y

x

z y

x

z y

x

a 



 





















6 3

4 5

4 2

3

6 )

z y

x

z y

x

z y

x b

 

 





















14 6

3 3

10 4

2 2

5 2

)

z y

x

z y

x

z y

x

c 



 





















9 7

2 3

5 4

3 2

4 3

)

z y

x

z y

x

z y

x

d

3) (UERJ) Observe a tabela de compras realizadas por Mariana.

Sabendo que ela adquiriu a mesma quantidade de canetas e cadernos, além do maior número possível de lapiseiras, o número de corretores comprados foi igual a:

a) 11 b) 12 c) 13 d) 14

4) (UERJ) Numa granja há patos, marrecos e galinhas num total de 50 aves. Os patos são vendidos a R$12,00 a unidade, as galinhas a R$ 5,00 e os marrecos a R$15,00. Considere um comerciante que tenha gastado R$

440,00 na compra de aves desses três tipos e que tenha comprado mais patos do que marrecos.

O número de patos que esse comerciante comprou foi igual a:

a) 25

b) 20

c) 12

d) 10

5) (CPII – 2007). O sistema linear 𝒂

_𝟏

𝒙 + 𝒃

_𝟏

𝒚 + 𝒄

_𝟏

𝒛 = 𝒅

_𝟏

𝒂

_𝟐

𝒙 + 𝒃

_𝟐

𝒚 + 𝒄

_𝟐

𝒛 = 𝒅

_𝟐

𝒂

_𝟑

𝒙 + 𝒃

_𝟑

𝒚 + 𝒄

_𝟑

𝒛 = 𝒅

_𝟑

é possível e

determinado. A representação geométrica

das soluções pode ser:

6) (CPII – 2013). Para que o sistema de equações lineares

𝒙 + 𝒚 = 𝟏 − 𝒎𝒛 𝟐𝒚 + 𝒛 = 𝟐 − 𝒙 𝟐𝒙 − 𝟑𝒛 = 𝒑 − 𝟓𝒚

seja classificado como indeterminado, devemos considerar que:

A) m = 6 e p = 5.

B) m = 6 somente, não importando o valor que p pode assumir.

C) m  6 somente, não importando o valor que p pode assumir.

D) m = 6 e p  5.

7) Resolva o seguinte sistema de equações:

𝟐𝒙 − 𝒚 + 𝟑𝒛 = 𝟏𝟎 𝟒𝒙 − 𝟑𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟎

𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟔

𝟑𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟒