EAC-042: Ajustamento de Observações

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EAC-042: Ajustamento de

Observações

Prof. Paulo Augusto Ferreira Borges

Aula 2: Teoria dos Erros

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______________________________________________________________________________________________________________________2/30 INTRODUÇÃO:

As grandezas físicas são determinadas

experimentalmente por medidas ou combinações de medidas. Essas medidas tem uma incerteza intrínseca que advém das características dos equipamentos utilizados na sua determinação e também do operador. Assim, a experiência mostra que, sendo uma medida repetida várias vezes com o mesmo cuidado e procedimento pelo mesmo operador ou por vários operadores, os resultados obtidos não são, em geral, idênticos.

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INTRODUÇÃO:

Mesmo cercando-se de precauções e cuidados especiais no momento da obtenção das observações, estas vêm eivadas dos inevitáveis erros de medidas, consequência da imperfeição do equipamento, falha humana e das condições ambientais nas quais se processa a mensuração.

A maneira de se obter e manipular os dados experimentais, com a finalidade de conseguir estimar com a maior precisão possível o valor da grandeza medida e o seu erro, exige um tratamento adequado que

“Teoria dos Erros”.

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______________________________________________________________________________________________________________________4/30 ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS:

Suponha que se deseja medir a distancia AB de um determinado objeto e que para isso tem-se a disponibilidade de uma régua graduada em centímetros:

Nesta situação, pode-se afirmar que este objeto possui pelo menos 8 cm, necessitando definir a fração entre 8 e 9 cm que não podemos afirmar com certeza, sendo esta estimada pelo observador.

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ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS:

Se três observadores distintos fossem anotar o comprimento, todos anotariam 8 cm mais uma fração que poderia apresentar valores discrepantes:

Observador 1: 8 cm + 0,7 cm = 8,7 cm Observador 2: 8 cm + 0,8 cm = 8,8 cm Observador 3: 8 cm + 0,6 cm = 8,6 cm

Nos três casos as leituras seriam totalmente satisfatórias. E se um quarto observador anotasse a leitura de 8,75 cm, poderíamos atribuir a leitura como correta?

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______________________________________________________________________________________________________________________6/30 ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS:

Diante do exemplo apresentado, podemos definir algarismos significativos como sendo uma medida composta por todos os algarismos que temos certeza (os exatos) mais um algarismo duvidoso (onde reside a incerteza da leitura).

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INCERTEZAS:

É a fração avaliada da menor divisão da escala, ou seja, a incerteza reside no dígito duvidoso.

Se tomarmos, como exemplos, a medida do objeto AB como sendo 8,6 cm, sendo o algarismo 6 o duvidoso, isto significa que a medida AB poderia ser 8,5 ou 8,7 cm; 8,4 ou 8,8 cm. No primeiro caso a amplitude da incerteza é ±0,1cm e no segundo ±0,2cm. De forma geral, a amplitude da incerteza é fixada pelo experimentador. Caso ele faça opção para a amplitude de ±0,2, a medida do objeto AB = (8,6 ±0,2) cm.

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______________________________________________________________________________________________________________________8/30 INCERTEZAS:

Desta forma o experimentador nos revela que a medida é confiável dentro dos limites de 8,4 a 8,8 cm, mas que o valor mais provável da medida, na sua opinião, é AB = 8,6 cm.

A incerteza de uma medida pode ser classificada em dois tipos:

a) Incerteza absoluta; b) Incerteza relativa.

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INCERTEZAS:

a) Incerteza absoluta: Refere-se à amplitude de incertezas fixada pelo experimentador, com o sinal ±. A incerteza absoluta, depende da perícia do experimentador, de sua segurança, da facilidade de leitura da escala e do próprio instrumento utilizado na medição. Apesar de não ser norma, costuma-se adotar como incerteza absoluta, o valor da metade da menor divisão da escala tomado em módulo.

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______________________________________________________________________________________________________________________10/30 INCERTEZAS:

a) Incerteza relativa: É igual ao quociente entre a incerteza absoluta e a medida da grandeza e é, freqüentemente expressa em termos percentuais. Por exemplo, para a medida AB = (8,6 ± 0,2) cm, temos:

Incerteza absoluta = ±0,2 cm

Incerteza relativa = (±0,2/8,6) = ±0,023 ou 2,3%

Poderíamos dizer que quanto menor a incerteza relativa, maior a “qualidade” da medida. Quando o valor de uma grandeza é obtido a partir de uma medida única, costuma-se exprimi-lo com a respectiva incerteza absoluta.

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FLUTUAÇÕES PROBABILÍSTICAS:

Ao se realizar várias medidas experimentais, de uma certa grandeza física, temos como objetivo alcançar o seu “valor verdadeiro” ou “valor real”. Mas atingir este objetivo é praticamente impossível. Pode-se chegar, após uma série de medidas, a um valor que mais se aproxima do valor real, ou seja, ao valor mais provável de uma grandeza medida. O “valor real” seria aquele obtido teoricamente por meio de algum modelo “exato” (que incluísse todos os efeitos físicos) ou então aquele obtido por meio de uma medida experimental “perfeita”. Ambos os casos são situações ideais não alcançadas na prática.

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______________________________________________________________________________________________________________________12/30 FLUTUAÇÕES PROBABILÍSTICAS:

Se conhecermos o valor real da grandeza e o compararmos com o valor medido podemos definir o que denominamos “Erro”.

“Erro é a diferença entre o valor medido e o verdadeiro valor da grandeza”

“Erro = valor medido – valor real”

As flutuações que acompanham todas as medidas são as causas que limitam o objetivo de se atingir o valor verdadeiro da grandeza. E estas flutuações ou erros são de origem sistemáticas e de origem acidentais ou aleatórias.

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A classificação tradicional para a teoria dos erros indica a ocorrência de três tipos de erros nas medidas: grosseiro, sistemático e acidental (aleatório ou randômico).

ERRO GROSSEIRO:

Erros grosseiros frequentemente ocorrem na prática, geralmente estão associadas à desatenção do observador ou mesmo do anotador. A inversão de dígitos numa leitura, a contagem errônea do número de trenadas na medida de uma distância, a troca do bordo visado na medida da distância zenital do sol, são exemplos clássicos de erros grosseiros. Mesmo em técnicas automáticas de registro podem ocorrer, em razão de uma falha de equipamento, porém com menor

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______________________________________________________________________________________________________________________14/30 ERRO GROSSEIRO:

Do ponto de vista estatístico, observações com erros grosseiros não podem ser consideradas como pertencentes à amostra da distribuição em questão, não podendo ser usada com outras observações. Desta forma, mas medidas devem ser planejadas de modo que na coleta de dados, seja possível detectar erros grosseiros ou evitar a sua ocorrência.

Todas as observações contaminadas de erros grosseiros devem se simplesmente ser rejeitadas; em alguns casos a detecção do erro é fácil (erro grande). Entretanto erros grosseiros de moderadas magnitude são difíceis de serem detectados, mesmo usando-se de técnicas estatísticas.

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ERRO SISTEMÁTICO:

Os erros sistemáticos são aqueles oriundos de causas conhecidas; podem, na maioria das vezes, ser evitado através de técnicas especiais de observação ou eliminados a posteriori mediante a aplicação de fórmulas fornecidas pela teoria.

A minimização dos erros sistemáticos é obtida pela calibração dos instrumentos, técnicas de observação e de processamento dos dados para eliminar efeitos atmosféricos ou outros. Do ponto de vista estatístico, a repetição de observações não auxiliará na detecção de erros sistemáticos, pois eles afetam as observações da

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______________________________________________________________________________________________________________________16/30 ERRO SISTEMÁTICO:

A colocação do nível a igual distancia das miras no nivelamento geométrico, é um exemplo de eliminação de efeitos sistemáticos (refração, esfericidade e colimação) durante a medição, ou ainda, o uso da reiteração ou repetição e leituras conjugadas (CE, CD) nas observações angulares, com objetivo de eliminar os efeitos sistemáticos.

Os erros sistemáticos também podem estar associados ao observador; é o caso, por exemplo, do nivelador que efetua a leitura sempre um pouco abaixo (ou acima) do traço da mira, ou do topógrafo que efetua a leitura um pouco a esquerda (ou a direita) do alvo. Esse tipo de erro é difícil de eliminar.

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ERRO ALEATÓRIO:

Os erros acidentais ou aleatórios, ao contrário dos erros sistemáticos, ocorrem ora num ora noutro sentido e não podem ser vinculados a nenhuma causa conhecida. Uma vez eliminado os erros grosseiros e sistemáticos, o conjunto de observações repetidas sobre a mesma

grandeza ainda se revelam inconsistentes; as

discrepâncias constatadas são atribuídas aos erros acidentais. Enquanto que os erros sistemáticos tendem a se acumular, os erros acidentais tendem a se neutralizar quando o número de observações crescem.

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______________________________________________________________________________________________________________________18/30 ERRO ALEATÓRIO:

Antes de iniciar o ajustamento, as observações deverão se depuradas de todas as influências sistemáticas,

bem como dos erros grosseiros, uma vez que o

ajustamento prevê que as mesmas se apresentam contaminadas apenas pelos erros acidentais.

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ERRO VERDADEIRO, APARENTE E RESÍDUO

Designando ത𝑋 o valor estimado de um grandeza medida, por 𝜇 o seu valor verdadeiro, e por 𝑙_𝑖 os valores observados, pode-se considerar que:

a) Erro verdadeiro: 𝜖 = 𝑙_𝑖 − 𝜇 b) Erro aparente : 𝑒_𝑖 = 𝑙_𝑖 − ത𝑋

c) Resíduo: 𝑣_𝑖 = ത𝑋 − 𝑙_𝑖 (erro aparente com sinal trocado)

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______________________________________________________________________________________________________________________20/30 CLASSIFICAÇÃO DAS OBSERVAÇÕES

A. Observações Diretas: as medições são efetuadas

diretamente, em relação à grandeza procurada, sem que existam meios para verificação do erro, uma vez que não há o conhecimento dos valores reais ou teóricos. Ex.: uma distância ou ângulo isolado.

B. Indiretas: As observações não são feitas diretamente

sobre as grandezas procuradas, mas a outras a elas ligadas por meio de relações conhecidas. Ex.: coordenadas, áreas, etc.

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CLASSIFICAÇÃO DAS OBSERVAÇÕES

C. Diretas Condicionadas: As observações são feitas

diretamente, e são independentes entre si, porém se prendem a alguma equação de condição conhecida.

Ex.: Na medida de três ângulos (a, b, c) de um triângulo plano, tem-se que 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 180°.

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______________________________________________________________________________________________________________________22/30 VALOR MAIS PROVÁVEL DE UMA GRADEZA

O valor mais provável de uma grandeza, medida diversas vezes pelo mesmo operador, utilizando o mesmo equipamento e o mesmo método, ou seja, medidas com um grau idêntico de confiabilidade, é a MÉDIA ARITMÉTICA dos valores encontrados.

No caso de observações obtidas com diferentes graus de confiabilidade, o valor mais provável deverá ser obtido considerando-se um fator de proporcionalidade ao qual denominamos de PESO.

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VALOR MAIS PROVÁVEL DE UMA GRADEZA

Visando a aplicação do Método do Mínimos Quadrados (MMQ), considerando o caso da medida direta de uma grandeza 𝑥; sejam 𝑏₁, 𝑏₂, 𝑏₂ … 𝑏_𝑛 os valores obtidos em uma série de 𝑛 observações. Na impossibilidade de obter o verdadeiro valor de 𝑥 deve-se se contentar com uma estimativa que seja confiável. Adotando, o valor 𝑥 com base em um certo critério e calculando as diferenças temos:

ൢ 𝑥 − 𝑏₁ = 𝑣₁ 𝑥 − 𝑏₂ = 𝑣₂

⋯ ou 𝑥 − 𝑏𝑖 = 𝑣𝑖 para 𝑖 = 1,2,3, ⋯ , 𝑛

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Tais diferenças (𝑣_𝑖) são resíduos, isto é, os valores, a priori desconhecidos, que somados às observações reproduzem o valor escolhido 𝑥.

Mudando-se o critério para eleger um valor diferente 𝑥′; resultaria um novo conjunto de resíduos: 𝑥′ − 𝑏_𝑖 = 𝑣_𝑖′ e assim por diante 𝑥′′ − 𝑏_𝑖 = 𝑣_𝑖′′; etc..

Qual dos valores 𝑥 , 𝑥′, 𝑥′′ deve-se adotar? Em outras palavras, como escolher um critério que permita, das observações repetidas 𝑏_𝑖, discrepantes entre si, extrair um valor único para representar a incógnita 𝑥?

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VALOR MAIS PROVÁVEL DE UMA GRADEZA

A quase dois séculos o geodesista fez sua opção, seguindo o caminho indicado por GAUSS e LEGENDRE:

Aceitar como melhor estimativa de 𝒙 o valor que torna mínima a soma dos quadrados dos resíduos.

O critério supra caracteriza o método dos mínimos quadrados (M.M.Q) instituído independentemente pelos dois grandes matemáticos acima citados. Até a bem pouco, o M.M.Q, quando referido, conservava a notação original de Gauss, respeitada universalmente [𝑣. 𝑣] = min , o

colchete indicando somatório, com variações

subentendidas de 1 a 𝑛 e sem utilizar expoentes.

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Quando as observações não oferecem o mesmo grau de confiança são “homogeneizadas” através de pesos 𝑝_𝑖: ෍ 𝑖=1 𝑛 𝑝_𝑖 ∙ 𝑣_𝑖2 = 𝑚í𝑛 Ou 𝑝 ∙ 𝑣 ∙ 𝑣 = mín

Modernamente prefere-se a linguagem matricial: ቊ 𝑉𝑇 ∙ 𝑉 = 𝑚í𝑛

𝑉𝑇 ∙ 𝑃 ∙ 𝑉 = 𝑚í𝑛

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MEDIDAS DE PRECISÃO

Precisão é a consistência da medida ou grau de refinamento de um grupo de medidas. Nas medições os termos mais comumente usados para expressar a precisão são a variância e o desvio padrão ou erro quadrático.

A. Variância: Definida como a média do quadrado dos

erros aparentes. No cálculo da variância é comum adotar o seguinte critério: Se o número de observações (𝑛) for menor que 30, a variância é obtida por:

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______________________________________________________________________________________________________________________28/30 MEDIDAS DE PRECISÃO

Se o número de observações (𝑛) for maior que 30, a variância é obtida por:

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MEDIDAS DE PRECISÃO

B. Desvio Padrão: É obtido através da raiz quadrada da

variância.

Seja qual for o tipo de observação, o resultado terá valor científico e técnico, se além de apresentado o valor para a grandeza desejada, for apresentado também a precisão com que esta foi obtida.

Dependendo da grandeza, ao invés de se ter o desvio padrão como precisão, é comum apresentar o erro relativo no lugar deste, é o caso por exemplo de distâncias.

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