Grupo I ( valores) I. Considere um anemómetro para leitura da velocidade horizontal do vento.

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Mestrado Integrado em Engª Mecânica e Licenciatura em Engª Naval Área Científica de Controlo, Automação e Informática Industrial Semestre de Inverno 2016/2017

2º Teste, 16 de dezembro de 2016, 18h, Duração: 90 mn

• Identifique todas as folhas de exame com número e nome. Faça-o já. • Resolva as 4 questões em folhas separadas.

• Justifique detalhadamente todas as respostas.

• Pode consultar 1 folha (duas páginas) de elementos escritos.

• Não é permitido o uso de computadores nem meios de telecomunicações.

• Considere que #D e #U correspondem, respetivamente, aos algarismos das dezenas e das unidades do seu número de aluno.

Grupo I (1+1+1+1+1 valores)

I. Considere um anemómetro para leitura da velocidade horizontal do vento.

Fonte: http://weather.phillipmartin.info/anemometer.png

A velocidade angular do anemómetro (w) é aproximadamente linear com a velocidade horizontal do vento (Vw). A gama de funcionamento está limitada entre 0 e 90 km/h sendo a linearidade nesta gama de 0.1%, embora exista um erro na leitura da velocidade angular constante e igual a 0.1 Km/h.

a) Calcule a precisão da conversão da velocidade do vento em velocidade angular do anemómetro. Use unidades SI.

R: A precisão resulta da soma do erro intrínseco do instrumento com o valor de 0,1Km/h a que se soma a linearidade multiplicada pelo topo da escala.

90 [km/h]=90000/3600 [m/s] = 25 [m/s] 0.1 [km/h]= 0.1*1000/3600 = 0.0278 [m/s]

Precisão=0.0278 + 0.1/100*25= 0.0278+0.025=0.0528 [m/s]

b) Assuma que a velocidade tangencial do centro de cada copo v é de 1/2.2 da velocidade do vento Vw e que a distância do copo ao centro de rotação é de 5+0.1x(#U) cm. Calcule a relação entre a velocidade angular w e a velocidade do vento Vw. Use unidades SI.

R: Ex: #U=0

w=v/R = V/2.2/.05 = k*Vw, com k=9.091 [rad/m]

c) Vai ser colocado um codificador incremental de 1000x(#D+1) impulsos por volta, para medir a velocidade de rotação a intervalos de 0.1 s. À velocidade máxima do vento, quantos impulsos são contados entre cada leitura ? Se não resolveu a alínea anterior considere w=(40+#U)Vw rad/s.

R: #D=0

Para uma velocidade de 25 m/s a velocidade angular w é de w_max=9.091 V_max= 227.3 [rad/s]

dteta=2*pi/1000=6.283 [mrad] → dw=dteta/0.1=0.0628 [rad/s] Número máximo de impulsos = w_max/dw=3617

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d) Qual o número de contadores em série de que necessita para conseguir contar todos os impulsos à velocidade máxima do vento ? Considere que apenas dispõe de contadores de 8 bit. Se não resolveu a questão anterior considere que o número de impulsos é 20000+100x#U

R:

Para contar até 3617 necessitaríamos de log2(3617)= 11.8 ou seja 12 bit. Dado que só dispomos de contadores de 8

bit, serão necessários 2 contadores de 8 bit em série.

e) Qual a resolução da medida da velocidade do vento ?

R:

25/3617=0.00691 m/s (muito inferior às outras fontes de erro)

Grupo II (1+1+1 valores)

Nota: inicie nova folha de resolução uma vez que se trata de um grupo novo. Confirme que a nova folha fica identificada com o seu número, primeiro e último nomes.

Uma turbina eólica encontra-se acoplada ao veio de um gerador e pretende-se medir o binário T aplicado a este veio. Para isso são montados dois extensómetros no veio cuja deformação é proporcional ao binário da seguinte forma:

dR/R=.001 T. Os dois extensómetros são montados numa configuração em ponte resistiva dupla.

a) Considere a gama de medida do binário Sb é de 0 a 10 Nm. Para uma alimentação da ponte de (12+#D) V, indique a gama de tensão de saída de Sb.

R: Ex: #D=0 T = 0 Nm => dR/R =0 Eo = E dR/2R = 0 10Nm => dR/R=0.001*10=0.01 Eo=E dR/2R =12 0.01/2 = 0,06 V

A gama de saída do Sensor de binário (Sb) vai de 0 a 0.06 V

Nota: E0=E dR/2R em meia ponte ou ponte resistiva dupla conforme slide 17 de SSM-T16-sa09-2-SensoresMovimento-Linear e Proximidade

b) Pretende-se ligar este sensor Sb a um conversor AD com uma gama de entrada de -5V a 5V, mas em que se pretende que -5V corresponda ao valor máximo de binário e +5V ao valor mínimo. Projete o condicionador de sinal adequado. Se não resolveu a alínea anterior faça Sb=0.01*(#D+1).

R: 0 -> 5V 0.06 -> -V X1=0 y1=5 X2=0.06 y2= -5

Reta que passa nestes dois pontos: y-y1=(y2-y1)/(x2-x1) (x-x1) y-5 = (-5-5)/(0.06-0) (x-0) y= -166.(6) x + 5

Gerador

Turbina

Extensómetros

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c) Desenhe o circuito com AMPOP(s) para implementar o condicionamento de sinal pretendido. Admita que existe uma referência de tensão de -2.5V que pode usar onde achar necessário.

R:

Amplificador somador

Grupo III (4 valores)

Determinado sistema lê um sensor cuja saída x é do tipo (#U+1)cos(10t) V que é corrompido por um sinal proveniente de um amplificador de potência que introduz uma componente de ruído com um valor aproximado de 0.5cos(10000t) V. Atendendo à precisão do sistema considerou-se que esse valor de ruído seria tolerável se a sua amplitude fosse inferior a 0.01.

Foi testada a colocação, entre o sensor e a entrada do sistema, do seguinte circuito, em que à esquerda se encontra o sensor e à direita a entrada do sistema. A resistência é de 10Kohm e o condensador é de 6uF. Comente. Caso se perceba mal a figura, note que não há descontinuidades ou seja a terra é comum e a ela liga um dos terminais do condensador, que o fio do sinal de entrada liga a um dos terminais da resistência e que a saída liga ao ponto comum da resistência com o condensador.

R:

Para w=10000 rad/s (frequência angular do sinal de ruído), devemos atenuar o sinal de ruído de forma a amplitude deste sinal caia de 0.5V para menos de 0.01V. Desta forma para o filtro a que vamos chamar H(s) o ganho para w=10000 rad/s

|𝐻(𝑠 = 𝑗𝑤 = 10000𝑗)| =0.01

0.5 = 0.02 = −33𝑑𝐵

Assim, um filtro com uma Frequência de corte de 100 rad/s cumpriria a sua função uma vez que deixa passar o sinal de 10 rad/s mas o sinal de 10000 rad/s é atenuado cerca de 40dB, ou seja uma atenuação ainda superior aos 33dB calculados.

A sua frequência de corte Wc de um circuito RC passa baixo é : 𝑊𝑐 = 1

𝑅𝐶 100 = 1

𝑅𝐶 𝑅𝐶 = 0.01

No exemplo dado temos RC=10x10^3 x6x10^-6=0.06. Desta forma se por exemplo substituíssemos o condensador de 6uF por um de 1uF o circuito apresentado cumpriria a sua função.

Nota: esta é a resposta direta. Pode a resposta ser ainda mais detalhada: Em rigor temos:

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Nota: ver slide 24 de SSM-T15-sa09-1-CadeiaMedida. Para o filtro indicado temos

𝑅 = 10𝑘Ω, 𝐶 = 6𝜇𝐹, 𝑅𝐶 = 10 × 103_{× 6 × 10}−6_{= 0.06𝑠, 𝑊𝑐 =} 1

𝑅𝐶 = 16, (6) 𝑟𝑎𝑑/𝑠 Esta Frequência de corte de cerca de 16 rad/s é bastante baixa por estar muito perto da frequência do sinal que não queremos atenuar, pelo que a montagem parece mal dimensionada.

Para colocarmos a frequência de corte em 100 rad/s precisamos de RC=0.01 pelo que basta mudar o condensador de 6uF para 1uF.

𝐸𝑜(𝑠) 𝐸1(𝑠)= 𝐻(𝑠) = 1 𝑅𝐶𝑠 + 1= 1 10 × 103_{× 1 × 10}−6_{+ 1}= 1 0.01𝑠 + 1 Para um sinal de 10 rad/s a magnitude da função de transferência H(s) vale:

𝑠 = 10000𝑗 𝐻(10000𝑗) = 1 0.01 × 10000𝑗 + 1= 1 1 + 100𝑗 | 1 1 + 100𝑗| = 1 √1 + 1002= 0.01 O ganho em dB é: 20 × 𝑙𝑜𝑔10(0.01) = −40 𝑑𝐵 < −33.9794 𝑑𝐵

Desta forma o filtro dimensionado satisfaz a condição de o ganho para o sinal de ruído de 10000 rad/s ser inferior a 37dB.

Por precaução, importa ainda ver se o sinal de 10 rad/s não é afetado. 𝑠 = 10𝑗 𝐻(10𝑗) = 1 0.01 × 10𝑗 + 1= 1 1 + 0.1𝑗 | 1 1 + 0.1𝑗| = 1 √1 + 0.012= 0.995 Verifica-se que o sinal de 10rad/s passa pelo filtro praticamente sem alteração.

A título ilustrativo mostra-se o diagrama de Bode deste filtro, onde se pode verificar que o sinal de 10 rad/s passam praticamente inalterados enquanto o ruído de 10000 rad/s sobre uma atenuação de 40dB.

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Grupo IV (0.5 + 0.5 + 0.5 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1.5)

Uma escada rolante é movimentada por um motor elétrico produzindo um binário T que faz movimentar a escada rolante a uma velocidade V com um ganho #D+1.

a) Calcule a função de transferência V(s)/Vref(s) e considere K(s)=Kp

R: #D=4 𝑉(𝑠) 𝑉𝑟𝑒𝑓(𝑠)= 100𝐾𝑝 𝑠 + 2 + 100𝐾𝑝

b) Para que valores de Kp o sistema é estável ? Se não fez a alínea anterior faça V(s)/Vref(s) = 100Kp/(s+#U+1+50Kp)

R: 2 + 100𝐾𝑝> 0 𝐾𝑝> − 1 50 Estável se Kp> -1/50

c) Na resposta ao degrau unitário, existe erro estacionário ? Quantifique-o.

R:Sim. lim 𝑠→0𝑠 1 𝑠 100𝐾𝑝 𝑠 + 2 + 100𝐾𝑝= 100𝐾𝑝 2 + 100𝐾𝑝

Suponha que agora usa um controlador com a forma K(s)=Kp/(10s). d) Para que valores de Kp o sistema é estável ?

R: 𝐺𝐴𝐹 = 𝑘𝑝 10𝑠𝑠 + 2 520 1 +_10𝑠𝑘𝑝 _{𝑠 + 2 5}20 = 100𝑘𝑝 10𝑠2_{+ 20𝑠 + 100𝑘} 𝑝= 10𝑘𝑝 𝑠2_{+ 2𝑠 + 10𝑘} 𝑝 𝑠1,2= −2 ± √4 − 40𝑘𝑝 2 √4 − 40𝑘𝑝< 2 4 − 40𝑘𝑝< 4 𝑘𝑝> 0

Nota 1: poder-ser-ia recorrer também ao critério de Rough, embora a simplicidade do sistema não o justifique já que se trata de uma equação do 2º grau e podemos calcular as raízes diretamente.

A equação característica é: 𝑠2_{+ 2𝑠 + 10𝑘} 𝑝

*

10/(s/2+1) #D +1

Vref

V

+

-Tc

T

K(s)

+

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1 10kp 2

=(2x10kp-0)/2=10kp 10𝑘𝑝> 0 𝑘𝑝> 0

e) Na resposta ao degrau unitário, existe erro estacionário ? Quantifique-o.

R: 𝐺𝐴𝐹 = 10𝑘𝑝 𝑠2_{+ 2𝑠 + 10𝑘} 𝑝 lim 𝑡→∞𝑐𝑜𝑛𝑣𝑜𝑙𝑢çã𝑜(1(𝑡), 𝑔𝐴𝐹(𝑡)) = lim𝑠→0𝑠 1 𝑠 10𝑘𝑝 𝑠2_{+ 2𝑠 + 10𝑘} 𝑝= 10𝑘𝑝 10𝑘𝑝= 1 Logo, a resposta ao degrau unitário tende para 1, não havendo erro estacionário.

f) Dimensione Kp de forma a tornar o sistema criticamente amortecimento.

R: Para o sistema ser criticamente amortecido, teremos de ter um duplo polo real. 𝑠2_{+ 2𝑠 + 10𝑘} 𝑝= 0 𝑠1,2=−20 ± √4 − 40𝑘₂ 𝑝 √4 − 40𝑘𝑝= 0 𝑘𝑝= 4 40= 0.1

g) A entrada de uma pessoa na escada introduz uma perturbação em Tc. Calcule a Função de transferência V(s)/Tc(s).

R: 𝑉(𝑠) 𝑇𝑐(𝑠)= 5 1 +_{𝑠 + 2}20 _10𝑠𝑘𝑝 =

Nota: Simplificando o denominador não deve ficar alterado em relação a GAF

h) Mostre que em regime estacionário, V(s) não depende de Tc(s) pelo que o controlador mantém a velocidade do sistema independentemente da perturbação Tc.

R:

Pelo teorema do valor final vemos que a resposta ao degrau é zero, pelo que o controlador tende a anular as perturbações em Tc

i) Indique a atenuação que uma perturbação gerada por um sinal Tc sinusoidal com uma frequência de 100+(#U+#D) Hz.

R: