Computação Cientíca - IMECC
Uma Aplicação da Álgebra
Geométrica à Mecânica Clássica: a
Transformação de
Kustaanheimo-Stiefel.
José Vicente Cipriano de Souza
jvcsouza@uol.com.br
Dissertaçãode Mestrado
Orientador: Prof. Dr. Jayme Vaz Jr.
Fevereiro de 2010
So89a
Bibliotecária: Crisllene Queiroz Custódio -
CRB8
I
7966
Souza
,
José
Vicente Cipriano
Uma aplicação da álgebra geométrica
à mecânica clássica : a
transfonnação
de Kustaanbeimo-Stiefel
I
José
Vicente Cipriano
Souza--Campinas
,
[S.P.:
s.n.)
,
2010.
Orientador
:
Jayme
Vaz
Junior
Dissertação
(Mestrado
Profissional)
- Universidade Estadual de
Campinas
,
Instituto
de Matemática
,
Estatística e Computação Científica
.
I.
Álgebra
geométrica. 2. Transfonnação (Matemática). 3.
Mecânica
clássica.
4
.
Clifford, Álgebra
de
.
I.
Vaz Junior
,
Jayme
.
11.
Universidade Estadual
de
Campinas.
Instituto de Matemática,
Estatística
e Computação Científica.
!Il.
Título.
Título em inglê
s
:
An
application o
f
the geometric algebra to
lhe
classical
me
c
hanics
:
the
Kustaanheimo-Stiefel transfonnation.
Palavras-chave em inglês (Keywords):
I.
Geometric algebra. 2
.
Transfonnation
(Mathematics)
.
3
.
Classical
mechanics
.
4
.
Clifford algebras
.
Área de concentração: Física-matemática
Titulação: Mestre em Matemática
Banca examinadora: Pro f.
Dr.
Jayme
Vaz Júnior
(IMECC)
Pro f. Dr. Edmundo Capelas de Oliveira (IMECC)
Prof.
Dr.
Roldão da Rocha Júnior
(UFABC)
Data da def
e
sa: 26
/
02
/
20
1
O
Dissertação de Mestrado Profissional defendida em 26 de fevereiro de 201 O
e aprovada pela Banca Examinadora composta pelos Profs. Drs.
IOR
..
/
Agradeço, inicialmente, a Deus, que permitiu que eu chegasse até este ponto, da
vidae dos estudos.
Agradeço aos meus pais, Joaquim e Marly, pelaeducação que meproporcionaram,
àsminhas irmãs,Rosaly, Rosângelae Rosana,pelaconsideração eamizade eaos meus
lhos,Carlos Henrique, Daniele Lucas os quaisamo de todocoração.
Sou grato, também, à minhaquerida Verônica,por seu amor e incentivo.
Queroagradecer,ainda,aoProf. Dr. JaymeVazJr.,pelagentileza deter me
orien-tadonestetrabalho,compaciênciaeboavontade. Agradeço,também,aoscomponentes
dabanca examinadora,porterem aceitadofazer parteda mesma.
Nãopoderiadeixar de agradecera todos osprofessores edoutorandosmonitores do
Mestrado Prossional do convênio AMAN/UNICAMP, em especial à Professora
Dou-toraSueli Irene RodriguesCosta,ao Prof. Dr. Edmundo Capelas de Oliveira,ao Prof.
Dr. Waldyr AlvesRodriguesJr. e ao monitor,agora Doutor e Professor da Unicamp,
Cristiano.
Gostaria, também, de apresentar meus agradecimentos a todos os amigos da
Ca-deiradeMatemática/AMAN,quesempresemostraramdispostos acolaborarde várias
maneiraspara que este trabalhochegasse abomtermo.
Por último, gostaria de apresentar meus sinceros agradecimentos à UNICAMP e à
Nessa dissertação apresentamos a Álgebra Geométrica do Espaço Euclidiano e
es-tudamosalgumas de suas propriedades. Para exemplicar suas aplicações, estudamos
a Transformação Kustaanheimo-Stiefel em termos de Álgebra Geométrica. Para isso
apresentamos inicialmenteaTransformaçãoKS, queregulariza omovimentode Kepler
em três dimensões removendo uma singularidade na origem, da forma como foi
origi-nalmenteformulada,baseando-se em álgebrade matrizes. Feito isso, a Transformação
KS é apresentada com Álgebra Geométrica, o que torna o seu entendimento
geomé-tricomais claroeseu desenvolvimentomais simplicado. Para talouso doconceito de
InthisdissertationwepresentedtheGeometricAlgebraofEuclideanSpaceand
stu-diedsomeofitsproperties. Toexemplifyitsapplications,westudiedthe
Kustaanheimo-StiefelTransformation in terms of Geometric Algebra. This purpose we presented
ini-tiallythe KS Transformation which regularizes the Keplermotion inthree dimensions
byremovingasingularityattheorigin,asitwasoriginallyformulated,basedonmatrix
algebra. Done, the KS transformation is presented with Geometric Algebra, making
clearer its geometric understanding and its development more simplied. With this
Resumo vii
Abstract viii
1 Introdução 1
2 A álgebra geométrica ou álgebra de Cliord 3
2.1 Introdução . . . 3
2.2 Breve históriada álgebrageométrica . . . 4
2.3 Os quatérnions . . . 6
2.4 A álgebra de extensão oude Grassmann . . . 9
2.5 A álgebra geométricaou álgebrade Cliord . . . 10
3 A transformação KS 40 3.1 Introdução . . . 40 3.2 A regularizaçãode Levi-Civita . . . 41 3.3 A transformação KS . . . 43 3.3.1 Propriedades da TransformaçãoKS . . . 45 3.4 As equaçõesdo movimento . . . 49 3.5 Regularização . . . 52 3.6 O problema de Kepler . . . 53
3.7 O problema de valorinicial. . . 56
4 A transformação KS com álgebra geométrica 57 4.1 Introdução . . . 57
4.2 Rotação edilatação . . . 58
4.4 Vetor e espinorvelocidade . . . 59
4.5 A equação espinoraldo movimento . . . 66
4.6 Sistema livrede forças perturbadoras . . . 67
2.1 WilliamK.Cliord . . . 3 2.2 Bivetor
e
1
e
2
. . . 12 2.3 Bivetore
2
e
1
. . . 12 2.4 BivetorW =
u∧
v . . . 12 2.5 Bivetor−W =
v∧
u . . . 12 2.6 Trivetor T . . . 13 2.7 Trivetor -T . . . 13 2.8 u×
v. . . 26 3.1 Kustaanheimo . . . 40 3.2 Stiefel . . . 40 3.3 TullioLevi-Civita . . . 41 3.4 A regularizaçãode Levi-Civita . . . 43Introdução
Neste trabalhoapresentamos a álgebrageométrica, ou de Cliord, e uma de suas
apli-cações emMecânica Clássica: a Transformação de Kustaanheimo-Stielfel,ou
transfor-maçãoKS, como é mais conhecida.
A Álgebra Geométrica, assim denominadapelomatemático inglês William
King-don Cliord (1845-1879), é hoje tambémconhecida como Álgebra de Cliord, em sua
homenagem.
A Álgebra Geométrica tem o grande mérito de integrar, de forma coerente,
algu-mas álgebras de matrizes, a álgebra vetorial e ados números complexos, mantendo as
vantagensde cada umae possibilitando outrastalcomo uma interpretação geométrica
mais clara dos fenômenos, tornando-se, assim, uma linguagem matemática bastante
adequadae naturalpara a física.
AÁlgebra Geométricatemaplicaçãoemdiversos ramosdafísica,desdeamecânica
clássica,passando pela eletrodinâmica,até arelatividade ea teoria quântica. É lícito,
portanto, almejar, com esta álgebra, a unicação da Matemática para o seu uso na
Física.
AÁlgebraGeométrica,noentanto,couporalgumtempo"esquecida",sendopouco
utilizada. Entretanto, o trabalho de alguns pesquisadores, entre eles David Hestenes,
vem impulsionando e divulgandoo seu uso. Hestenes introduziu a utilização dos
spi-nors operatoriais,com osquais reformulou a teoria de Dirac.
[6],autilizaçãodespinorsemteoriade mecânicaclássicadiminuiofossodaformulação
matemáticadasmecânicasclássicaequântica,possibilitandoaoestudanteavançarmais
rapidamentenos estudos.
Para ilustrar o potencial da Álgebra Geométrica de ser aplicada à mecânica
clás-sica,mostramos nestetrabalhoatransformação KSque, costumeiramenteexpressaem
linguagemde álgebrade matrizes, carecendo de uma interpretaçãogeométrica, é
inter-pretada,naÁlgebraGeométrica,porumespinorquereúneemsiasquatrocoordenadas
KS, ecom clara interpretação geométrica.
Nocapítulo2 apresentamos aÁlgebraGeométricadoEspaço Euclidiano,suas
prin-cipais propriedades, em particular o produto geométrico, as relações com a álgebra de
Grassmann, com a álgebra vetorial de Gibbs e Heaviside e com os quatérnions, bem
como mostramos o isomorsmo com a álgebrade matrizes e falamossobre rotações e,
ainda,sobre spinors.
No capítulo 3 apresentamos a Transformação de Kustaanheimo e Stiefel que, de
maneirasimilar à regularizaçãodo movimentode Kepler emduas dimensões proposta
porTullio Levi-Civita, efetua a regularizaçãodo movimento de Kepler emtrês
dimen-sões, baseando-se emuma aplicaçãodo
R
4
no
R
3
,a m de remover uma singularidade
daequação de movimento naorigem. Este métodofoi desenvolvido para resolver
pro-blemas em mecânica celeste mas tem se tornado uma ferramenta útil em estudos de
mecânica quântica. Podemos citar, como exemplo, queo métodotorna possível
trans-formaraequaçãodeSchrödingerparaoátomodehidrogênioemtrêsdimensões(emum
campo eletromagnético) em uma equação de Schrödinger para o oscilador harmônico
isotrópicoemquatro dimensões.
No capítulo 4, nalmente, mostramos como expressar a transformação KS em
ter-mos da álgebra de Cliord, que propicia uma interpretação geométrica mais clara, o
A álgebra geométrica ou álgebra
de Clifford
2.1 Introdução
Figura2.1: WilliamK.Cliord
A álgebra geométrica, também conhecida como álgebra de Cliord permite
repre-sentar certas grandezas físicascom outros objetos além de vetores e escalares.
Quando queremos representar grandezas angulares, como o momento angular ou
o torque produzido por uma força, é conveniente usarmos os bivetores, que veremos
adiante, e que representam, naverdade, fragmentosde um plano (ou plaquetas).
ori-entação interna, que pode ser conforme o sentido horário ou o anti-horárioem que se
percorreo seu perímetro edireção, queé a doplano quelhe dásuporte.
A álgebrageométricasuporta osescalares, osvetores,os bivetorese, secarmosno
espaçotridimensional, ostrivetores,que são elementosde volume e que têm, também,
duas orientaçõespossíveis, segundo aregra da mão direitaou daesquerda.
Aálgebrageométricatemmuitasaplicaçõesnafísica,principalmenteemproblemasque
envolvamrotação enúmerosimaginários. Pode descrever fenômenosemfísica clássica,
mecânica quântica, eletromagnetismoe relatividade.
Nestecapítulofaremosumabreveexplanaçãosobreoassunto. Paraumestudomais
detalhadosobre oassunto recomendamos a leitura de Vaz[14].
2.2 Breve história da álgebra geométrica
A relação entre álgebra e geometria era algo que Euclidesjá utilizava no séculoIII
a.C., quandoassociavaum númeroà dimensão de um segmentode reta.
No século XVII René Descartes estabeleceu a relação entre posição e números, no
sistemaqueaté hojeé conhecidocomo cartesiano,emsua homenagem. Descartes
ado-tava acongruência para determinara equivalência entre os segmentosde linha.
Mais tarde, já no século XIX, Hermann Grassmann, no artigo denominado
"Álge-bradasExtensõesLineares", propôsobjetosgeométricosorientadospararepresentaras
grandezas físicas. Nasciam, assim, os vetores. Entretanto, por complexo demais para
sua época, seu trabalhocou parcialmenteesquecido.
Ao mesmo tempo, e com o intuito de generalizar a noção de número complexo e
estendendo-os ao espaço tridimensional foi introduzidoo conceito de quatérnions, que
estudaremosadiante.
Costuma-se a creditar a William Rowan Hamilton (1805-1865) a introdução dos
quatérnions namatemática
Entretanto, Simon L. Altman [1] apresenta as contribuições que Benjamin Olinde
No desenvolvimento e divulgação da teoria dos quatérnions podemos citar Peter
GuthrieTait(1831-1901). Ele também teve a preocupação de encontrar aplicações
fí-sicas para osquatérnions.
WilliamKingdon Cliord, em 1878, teve a felicidade de formular uma álgebra
ca-paz de englobar a de Grassman e a a estrutura dos quatérnions na chamada "álgebra
geométrica",que hoje tambémé conhecida como "álgebrade Cliord", emsua
home-nagem. Aálgebrade Cliordunicouasduas estruturasemumasó,de formaelegante
ecomgrandealcance. Entretanto,devidoàmorteprematuradeCliordeàinsuciente
divulgaçãodoseu trabalhoà época, a álgebrageométricacou muito poucoconhecida
eutilizada.
MaistardeomatemáticoJosiahWillardGibbs(1839-19030)criouaconhecida,
bas-tante difundida e utilizada "álgebra vetorial", mais simples e que consegue descrever
satisfatoriamente vários fenômenos físicos. Esta álgebra nada mais é que uma
sim-plicação da álgebra de Grassmann e que aproveita a parte vetorial dos quatérnions.
Entretanto não consegue generalizar estes sistemas.
OliverHeaviside (1850-1925),telegrasta inglês,tambémdesenvolveu a álgebra
ve-torial,de formaindependente, chegandoessencialmenteaomesmosistemadesenvolvido
porGibbs [3] . Heavise dedicava-se ao estudo daeletricidade e não primava pelorigor
matemáticoemseus estudos.
Aálgebrageométrica,apesardemaisecienteecompletaqueadeGibbs/Heaviside,
foisendoesquecidaecaiuemdesusoemfunçãodograndesucessoalcançadoporesta, e
pelafalta danecessária divulgação. Entretanto aálgebra geométricavemsendo usada
edifundida,principalmentedevido aos esforços de físicos ematemáticos,que nos
mos-tram o seu alcance, a sua simplicidade e a descrição da natureza de que ela é capaz e
de como não possui as deciências presentes naálgebravetorial de Gibbs.
Podemos citar como estudiosos da álgebra de Cliord: David Hestenes (Arizona,
USA), Anthony Lasenby e Chris Doran (Cambridge), Pierre Angles (Toulouse),
Jac-ques Helmstetter e Artibano Micali (Grenoble), William Baylis (Windsor, Canadá),
2.3 Os quatérnions
Osquatérnions surgiramcom o objetivo de estender aideia de números complexos
aoespaço tridimensional,visando àsua aplicaçãoemmecânica.
O propósito foi introduzir novas unidades imaginárias, à semelhança da unidade
i
dos complexos. Foram elasj
ek
. Os quatérnions caram, portanto, com a formaq = a + bi + cj + dk
, ondea, b, c, d ∈ R
ei
2
= j
2
= k
2
= ijk = −1
.
Os quatérnions, assim como os números complexos, têm duas partes: a parte real,
R(q) = a
e a parte imaginária pura, ou somente pura,P (q) = bi + cj + dk
.Pode-se ainda, considerar, respectivamente parte escalar e parte vetorial do quatérnion, ou
seja,
R(q) = a
correspondeaumescalareP (q) = bi+cj +dk
,aumvetortridimensional. Nosquatérnionsconsideramosasoperaçõesdesomaemultiplicaçãocomoseseguem:Soma
Para somarmosdois oumais quatérnions devemos, talqual oscomplexos,somar os
termossemelhantes.
Por exemplo: sendo
q = a + bi + cj + dk
ep = e + f i + gj + hk
, então teremosq + p = (a + e) + (b + f )i + (c + g)j + (d + h)k
.Multiplicação
Paraefetuarmosoprodutodedoisquatérnionslevamosemcontaaregradistributiva
doproduto eas seguintes relações entre as unidades imaginárias:
ij = k; ji = −k;
jk = i; kj = −i;
ki = j; ik = −j;
ijk = −1.
dondeconcluímos que oproduto entre as unidades imagináriasé não comutativa.
Setemososquatérnions
q = a+bi+cj+dk
ep = e+f i+gj+hk
teremosoquatérnionqp = (ae−bf −cg −dh)+(af +be+ch−dg)i+(ag −bh+ce+df)j +(ah+bg −cf +de)k
.Devemos observarque a parteescalar é amesma em
qp
e empq
.Tendoemvistaasomaeoprodutodosquatérnions comoforamapresentados acima
podemos vericarque asseguintes regras são válidas para os mesmos:
Sendo
p
,q
er
quatérnions, temos: Em relação à soma:a)associatividade:
(p + q) + r = p + (q + r)
.b)Existênciade elementoneutro:
q + o = o + q = q
;o
éoelementoneutroparaasoma. c)Existência de elementoinverso:q + (−q) = (−q) + q = o
; (−p
) é inverso dep
, para asoma.d)Comutatividade:
p + q = q + p.
Em relação à multiplicação:a)associatividade:
p(qr) = (pq)r
.b) Existência de elemento neutro:
1q = q1 = q
, onde 1 é o elemento neutro para a multiplicação.c)Existênciade elementoinverso:
q
−1
q = qq
−1
= 1
,onde
q
−1
éoinverso multiplicativo
de
q
(veja abaixo aexpressão deq
−1
).
Em relação à soma e multiplicação:
-Distributividade:
p(q + r) = pq + qr
.Chamamosatenção aofato de que amultiplicaçãodos quatérnions énão-comutativa.
Conjugação
A conjugação de um quatérnion é uma operação semelhante à conjugação de um
complexo,ouseja,se
q = a+bi+cj +dk
entãooseuconjugadoserá:q
∗
= a−bi−cj−dk
.Oquatérnion conjugado do
q
denota-se porq
∗
ou
q
¯
.a)
(q + r)
∗
= q
∗
+ r
∗
b)(qr)
∗
= r
∗
q
∗
c)(q
∗
)
∗
= q
. Por esta propriedade dizemos que a conjugação é uma involuçãopara os
quatérnions.
A conjugação dos quatérnions nos permite separar a parte escalar (real) e a parte
vetorial (pura) domesmo,da seguinte forma:
a)
R(q) =
q + q
∗
2
. b)P (q) =
q − q
∗
2
. NormaA norma de um quatérnion nada mais é do que a raiz quadrada do produto deste
quatérnion eo seu conjugado. Ou seja:
kqk =
√
∗
=
√
a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
. Inverso multiplicativo Oinverso multiplicativoq
−1
do quatérnion
q
é obtido daformaabaixo:−1
= 1 ⇒ q
∗
−1
= q
∗
⇒| q |
2
q
−1
= q
∗
⇒ q
−1
=
q
∗
| q |
2
. RotaçãoComocitamos anteriormente, OlindeRodrigues foipioneirono estudodas rotações
de vetores,que aqui apresentamos.
Osquatérnions são ferramentasmatemáticasúteis para descrever rotaçõesde
veto-res noespaço tridimensional.
Seja
q
um quatérnion tal queq
∗
= q
−1
e
q = cos θ + sen θ
u , onde u é unitário. Seja,ainda, vum vetor, v∈ R
3
.
Então v'
= q
vq
∗
correspondeaovetorqueresultadarotaçãode vemtornodoeixo
cujadireção édada por u, porum ângulo
2θ
.Exemplo: Qual o quatérnion que representa uma rotação de
π
3
de um vetor v em tornodo eixocuja direçãoé dada pork = (0, 0, 1)
?Resp:
q = cos
π
6
+ sin
π
6
k ⇒ q =
√
3
2
+
1
2
k
. Se temos o vetor v'= q
vq
∗
, comq
∗
= q
−1
e aplicarmos a operaçãoq
∗
(q
vq
∗
)q
obteremos v, poisq
∗
(q
vq
∗
)q = (q
∗
q)
v(q
∗
q) =
v, ou seja, desfazemos assim a operação
v'
= q
vq
∗
.
Efetuaraoperaçãode rotaçãode umvetorvpeloquatérnion
pq
temomesmoefeito de efetuar a rotaçãoporq
e depois porp
, pois(pq)
v(pq)
∗
= (pq)
v(q
∗
p
∗
) = p(q
vq
∗
)p
∗
.A vantagem de se tratar rotações de vetores com quatérnions reside no fato de ser
mais simplesque o tratamento com matrizesou porângulos de Euler.
Outra representação dos quatérnions
Osquatérnions podemser representados, emanalogiaà representação dos números
complexos,por pares de reais. Nos números complexos temos
z = (a, b)
representando o complexoz = a + bi
. Da mesma forma,o quatérnionq = a + bi + cj + dk
pode ser representado pela quádrupla(a, b, c, d)
. Temos, portanto, as seguintes representações correspondentes:1 = (1, 0, 0, 0)
;i = (0, 1, 0, 0)
;j = (0, 0, 1, 0)
; ek = (0, 0, 0, 1)
.Tal representação deixa claro que
H
é um espaço vetorial de dimensão 4sobreR
.2.4 A álgebra de extensão ou de Grassmann
HermannGrassmannfoiomatemáticoqueteveafelicidadedeintroduziroconceito
de vetores na matemática, com o qual conseguiu fazer uma ligação entre geometria e
álgebra,algoquesemprefoitentado pormatemáticoscomoEuclideseRenéDescartes.
Os vetores, como sabemos, possuem uma magnitude (módulo), direção e sentido
(orientação).
Para representar planosGrassmann elaborouochamadoprodutoexternoentre dois
por uma letra maiúscula. O bivetor é, portanto, um elemento de plano orientado, da
mesma forma que um vetor é um elemento de linha orientado. A magnitude de um
bivetor é um escalar que corresponde à área compreendida entre osdois vetores que o
determinam. Então, a magnitude dobivetor B éo escalar denotado por
|
B|
.A representação do produto exterior entre os vetores a e b é a
∧
b. A orientação de a∧
b é oposta à de b∧
a , portanto a∧
b =−
b∧
a , ou seja, o produto exterior é anti-comutativo. Abaixo vemos as representações geométricas do produto exteriorentre dois vetores.
Sendo dados e
1
= (1, 0, 0);
e2
= (0, 1, 0);
e3
= (0, 0, 1)
elementos da base canônica do espaço cartesianoR
3
, e sendo u
= u
1
e1
+ u
2
e2
+ u
3
e3
e v= v
1
e1
+ v
2
e2
+ v
3
e3
, o produtoexterior entre u ev será :u
∧
v= (u
1
v
2
− u
2
v
1
)(
e1
∧
e2
) + (u
1
v
3
− u
3
v
1
)(
e1
∧
e3
) + (u
2
v
3
− u
3
v
2
)(
e2
∧
e3
)
. Umavez denida umarepresentação paraoplano,fez-se necessáriaa representaçãoparaoespaço. Paraissobastaefetuarumprodutoexteriorentreumbivetoreumvetor,
gerando um trivetor que é um segmentode volume orientado. Assimcomo um bivetor
encerra uma áreade um paralelogramoemseu interior, otrivetor englobao volume de
um paralelepípedo.
Na álgebra de Grassmann podemos representar objetos geométricos em quaisquer
dimensões, e não apenas até 3 dimensões, ou seja, temos
n
-vetores para representar objetosn
-dimensionais.2.5 A álgebra geométrica ou álgebra de Cliord
Introdução
A álgebra geométrica foi criada pelo matemático inglês William Cliord por volta
de 1880 e tem a vantagem de aglutinar as vantagens da álgebra de Grassmann e dos
quatérnions de Hamilton, além de ser capaz de representar os fenômenos físicos nas
A álgebra geométrica do espaço euclideano
Aindaqueaálgebrageométricapossaser empregadaemoutrossistemas,opresente
trabalhoater-se-áapenas aoespaço euclidianotridimensional,onde éválido oteorema
de Pitágoras. Nestas condiçõesnos referimos à álgebrade Cliord como
C`
3
Vamosconsiderar a base doespaço tridimensionalcomos elementosunitários
(ver-sores) e
1
,
e2
e e3
. Portanto, um vetor ca descritocomo v= x
1
e1
+ x
2
e2
+ x
3
e3
nesta base, comx
i
∈ R
. O seu módulo|
v|
é talque|
v|
2
= x
2
1
+ x
2
2
+ x
2
3
.Para o produto entre dois vetores consideramos a regra distributiva e, também as
seguintes regras namultiplicaçãodos elementos e
1
,
e2
ee3
:e
i
ei
=
e2
i
= 1,
para(i = 1, 2, 3),
e
i
ej +
ej
ei
= 0,
parai 6= j.
Taisregrassejusticampeloseguinte: noespaçoeuclidiano,considerandoo
R
2
,por
exemplo,aomultiplicarmosum vetor porelemesmodevemos obter oquadrado doseu
módulo,ou seja,vv
=|
v|
2
= x
2
1
+ x
2
2
.Sendo v
= x
1
e1
+ x
2
e2
+ x
3
e3
, temos, usandoa distributividade:vv
= (x
1
e1
+ x
2
e2
+ x
3
e3
)(x
1
e1
+ x
2
e2
+ x
3
e3
) = x
1
x
1
e1
e1
+ x
2
x
2
e2
e2
+ x
1
x
2
e1
e2
+
x
2
x
1
e2
e1
, mas devemos ter|
v|
2
= x
2
1
+ x
2
2
. Para isso, faz-se necessário que tenhamos: (i) e1
e1
=
e2
e2
= 1
, emais ainda:(iia)e
1
e2
=
e2
e1
= 0
, ou: (iib)e1
e2
+
e2
e1
= 0
.Naálgebrageométricautiliza-seaopção(iib),ouseja,e
1
e2
+
e2
e1
= 0
. Naálgebra vetorial, todavia, éutilizadaa opção (iia), e1
e2
=
e2
e1
= 0
.Esta é uma das diferenças fundamentaisentre a álgebra de Cliord ea vetorial.
Ao admitir que e
1
e2
=
e2
e1
= 0
parte-se do princípio que ei
ej
será sempre um escalar.Ao adotar e
1
e2
+
e2
e1
= 0
, a álgebra geométrica admite a existência de um novo objeto, o bivetor, que permite melhor representar certas grandezas físicas e que seráBivetores
Naálgebrageométricasurgeobivetor,ou2-vetor,queseoriginadoprodutoexterno
entre dois vetores, como na álgebra de Grassmann. Portanto,o bivetor
W
, resultante do produto externo entre os vetores u e v , nesta ordem, será o bivetorW =
u∧
v , quepossuimagnitude,dadapelaáreadoparalelogramoformadopelaáreageradapelosdois vetores, direção, dada pelo plano que contém os dois vetores e sentido que neste
caso será o que se obtém percorrendo a borda de u para v. Por outro lado, o bivetor
−W =
v∧
u possui a mesma magnitude, a mesma direção, porém sentido oposto ao dobivetorW
.Um bivetor unitárioé aquele que possui magnitude 1.
O conjunto dos bivetores forma um espaço vetorial cuja base são os bivetores
uni-tários e
1
e2
, e1
e3
e e2
e3
, obtidos pelos produtos externos entre os vetores e1
, e2
e e3
.Podemos denotar um bivetor e
i
ej
como eij
.e
e
2
1
Figura 2.2: Bivetore
1
e
2
e
e
2
1
Figura 2.3: Bivetore
2
e
1
Um bivetor é, portanto, uma combinação linear dos elementos desta base, ou seja
W = w
12
e1
e2
+ w
13
e1
e3
+ w
23
e2
e3
.u
v
Figura 2.4: BivetorW =
u∧
vu
v
Figura 2.5: Bivetor−W =
v∧
uTrivetores
O trivetor, ou 3-vetor, é outro objeto que surge na álgebra geométrica
C`
3
. Ele é o resultado do produto externo entre três vetores. Por exemplo, sejam os vetoresu
= u
1
e1
+ u
2
e2
+ u
3
e3
,v = v
1
e1
+ v
2
e2
+ v
3
e3
ew= w
1
e1
+ w
2
e2
+ w
3
e3
. Se zermos u∧
v∧
wobteremosotrivetorT
,ouseja,T =
u∧
v∧
w ,quetemsuaexpressãodadapor:T =
u
1
u
2
u
3
v
1
v
2
v
3
w
1
w
2
w
3
e1
∧
e2
∧
e3
.
Otrivetorpossuimagnitude,quecorrespondeaovolumedoparalelepípedoformado
pelos três vetores, direção, que é a mesma do espaço que lhe suporta e sentido, de
acordocomosentidodos vetores. Paraexemplicarmososentido queumtrivetorpode
ter, considere o trivetor
T =
u∧
v∧
w. O trivetor−T =
u∧
v∧ (−
w)
, em que u e vmantiveram os seus sentidos e wteve o seu sentido invertido, tem sentido oposto aotrivetor
T
.Figura2.6: Trivetor T Figura2.7: Trivetor -T
O trivetor é objeto de um espaço unidimensional, cuja base canônica tem como
elemento: e
1
e2
e3
=
e1
∧
e2
∧
e3
. O objeto e1
e2
e3
é, portanto,um elementode volume orientado emC`
3
.
Podemos,também, denotarum trivetor ei
ej
ek
como eijk
.Oproduto vetorial de três vetores obedece àsseguintes propriedades:
a)é associativo: u
∧ (
v∧
w) =
u∧ (
v∧
w)
;b)éantisimétrico: u
∧
v∧
w=w∧
u∧
v=v∧
w∧
u =−
w∧
v∧
u =−
u∧
w∧
v=para u, v, w
∈ R
3
.
Ovolumedotrivetor
T =
u∧
v∧
wéigualaovalorabsolutododeterminanteusado para calculara expressãodo trivetor e mostrada acima.Espaços vetoriais e graduação
SejaB
∈ R
3
umbivetor. Elepode serinterpretadocomoumaclassede equivalência
de fragmentos do plano de mesma magnitude (área), direção e orientação, dentro de
um espaçoam
A
3
[13]. Osbivetorestambémpodem ser chamadosde 2-vetores. Os bivetores formam um espaço vetorial associado a um espaço tridimensional porsatisfazerem todas as propriedadesnecessárias para isto.
O espaço vetorial dos bivetores em
R
3
é denotado, na álgebrageométrica, pela
no-tação
∧
2
(R
3
)
.
De forma análogaaos bivetores, podemos chamar osvetores de 1-vetores, os
trive-tores de 3-vetores e osescalares, de 0-vetores.
O espaço vetorial dos escalares é denotado por
∧
0
(R
3
) = R
e o dos vetores por
∧
1
(R
3
) = R
. Quanto aos trivetores, ou 3-vetores, estes constituem um espaço vetorial
denotado por
∧
3
(R
3
)
.
Temos, portanto, associados aum espaçotridimensional,os seguintes espaços
veto-riais:
∧
0
(R
3
)
;∧
1
(R
3
)
;∧
2
(R
3
)
; e∧
3
(R
3
).
Se zermos a soma direta
∧(R
3
) = ⊕
3
k=0
∧
k
(R
3
)
teremos uma estrutura coerente [14] eum elementodesta estrutura chama-semultivetor.Graduação
Dizemos que os trivetores têm graduação
3
. Da mesma forma, os escalares, os vetores e osbivetores têm, respectivamente, asgraduações0
,1
e2
.Multivetores
O multivetor é oelemento presente naálgebra geométrica ecompõe-se da soma de
escalar,vetor, bivetor e trivetor, na sua formamais completa.
Um multivetor M
∈ ∧(R
3
)
tem a forma:
A norma
|
M|
deste multivetor é talque|
M|
2
= m
2
+ m
2
1
+ m
2
2
+ m
2
3
+ m
2
12
+ m
2
23
+ m
2
13
+ m
2
123
.
Seconsiderarmosummultivetordotipo
M
+
= (m)+(m
12
e1
e2
+m
23
e2
e3+m
13
e1
e3
)
, ouseja, quepossua somenteescalar ebivetor (ou somente um desses dois objetos),es-taremos usando o que se chama subálgebra par, representada por
C`
+
3
, que é umasubálgebradaálgebra
C`
3
,pois éfechada comrelaçãoàsoperaçõesde somae multipli-cação.Nocasodeconsiderarmosummultivetor
M
−
= (m
1
e1
+m
2
e2
+m
3
e3
)+(m
123
e1
e2
e3
)
, que possui apenas vetor e trivetor (ou somente um deles), estaremos usando o que sechama
C`
−
3
, que no entanto não é fechada para a multiplicação, não se constituindo, portanto, emuma subálgebra.Seja omultivetor:
M
= (m) + (m
1
e1
+ m
2
e2
+ m
3
e3
) + (m
12
e1
e2
+ m
13
e1
e3
+ m
23
e2
e3
) + (m
123
e1
e2
e3
).
Sequisermosnosreferiraoobjetodegraduação
k
destemultivetordiremosM
k
. Por exemplo,nos referiremosaobivetor queo constituicomo:M
2
= m
12
e1
e2
+ m
13
e1
e3
+ m
23
e2
e3
.
Produto geométrico
Dadodois multivetoresu
= u
1
e1
+ u
2
e2
+ u
3
e3
ev= v
1
e1
+ v
2
e2
+ v
3
e3
, o produto geométricoente eles é uma operaçãotípica da álgebrageométrica denida por:uv
=
u·
v+
v∧
v.
A primeira parcela do segundo membro, u
·
v, é conhecida como produto interno. À outra,u∧
v , damoso nome de produto externo.u
·
v= u
1
v
1
+ u
2
v
2
+ u
3
v
3
. O produto interno de vetores é, portanto, comutativo, constituindo-se na parte simétrica do produto geométrico. Podemos notar que opro-duto interno de dois vetores resulta em um escalar, ou seja, ocorre a redução de uma
unidade na gradução em relação aos objetos envolvidos na operação. Esse produto
interno obedece,ainda, àseguinteregra: u
·
v=|
u||
v| cos θ
, ondeθ
é oângulo entre osdois vetores que semultiplicaminternamente.O produto externo, também conhecido como produto cunha ou produto de
Grass-mann,u
∧
v, écalculado por:u
∧
v= (u
2
v
3
− u
3
v
2
)
e2
e3
+ (u
3
v
1
− u
1
v
3
)
e3
e1
+ (u
1
v
2
− u
2
v
1
)
e1
e2
fórmula que pode ser escrita sob forma de determinante, de maneira semelhante ao
produtovetorial de Gibbs.
u
∧
v=
e2
e3
e3
e1
e1
e2
u
1
u
2
u
3
v
1
v
2
v
3
.
Oproduto externode vetores é,portanto,anticomutativo, constituindo-senaparte
antisimétricadoproduto geométrico.
Oprodutoexternodedoisvetoresgeraumbivetor,ocasionando,portantooaumento
de uma unidade nagraduação. Logo, o produto geométrico entre dois vetores afeta os
mesmos de modo a diminuir um grau, pelo produto interno, e aumentar um grau na
graduação,devido ao produto externo.
Omódulodobivetorgeradopeloprodutoexternodos doisvetores énumericamente
igualàáreadoparalelogramodeterminadopelosdois vetorese,seconhecemosoângulo
θ
,0 ≤ θ ≤ 180
o, entre oseles podemos calculá-loutilizandoafórmula:
|
u∧
v|=|
u||
v| sen θ
.Podemos efetuar o produto externo entre um bivetor e um vetor. Esta operação
gera um paralelepípedo cuja base corresponde à área gerada pelo bivetor e a altura
corresponde ao vetor. O objeto gerado é, portanto, um trivetor, dotado de magnitude
(correspondeaovolume),direçãoesentido(dado pelaregradamão direita,oudamão
esquerda). A dimensão de um trivetor é 1. O produto externo entre o vetor u e o
É importante notarque u
∧ V = V ∧
u, ouseja, o produto externo entre um vetor eumbivetorécomutativopois: u∧ V =
u∧
v∧
w= −
v∧
u∧
w=
v∧
w∧
u= V ∧
u.Propriedades do produto geométrico
Abaixoapresentamos as principaispropriedadesdo Produto Geométrico:
a)Não Comutatividade
Oproduto geométricoentre dois vetoresquaisquer, u ev, é nãocomutativo. A sua
partesimétricaé composta peloprodutointerno,u
·
v, e oproduto externo,u∧
v ,é a parteanti-simétrica do mesmo.Considerando os vetores u e v, temos:
uv
=
u·
v+
u∧
ve vu=
v·
u+
v∧
u=
u·
v−
u∧
v, logo, uv6=
vu. Podemos observar, contudo que:- se u
·
v= 0
, ou seja, se os vetores forem ortogonais, teremos uv= −
vu, pois neste caso, uv=
u∧
v= −
v∧
u= −
vu.
- se u
∧
v= 0
, ou seja, se os vetores forem paralelos, teremos uv=
vu , pois aqui, uv=
u·
v=
v·
u=
vu.
b)Distributividade
Oprodutogeométricoédistributivoàdireitaeàesquerda, ouseja,considerandoos
vetores
u
,v
ew
,temos: u(
v+
w) =
uv+
uw, e(
u+
v)
w=
uw+
vw.
c)Multiplicação por escalarSendo u ev vetores e
λ
um escalar, temos:λ(
uv) =
u(λ
v) = (λ
u)
v.
Tendo visto as propriedades acima, podemos chegar a uma relação entre produto
geométricoeprodutointernoetambémauma relaçãoentre produto geométricoe
pro-duto externo. Ambas são úteis no caso de se querer chegar ao produto interno ou ao
produtoexterno se seconhecem os produtos geométricos.
-Relação entre produto interno e produto geométrico:
u
·
v=
1
-Relação entre produto externo e produto geométrico:
u
∧
v=
1
2
(
uv−
vu).
Mostraremos comochegar àprimeiradestas fórmulas. A outra é análoga:
uv
+
vu= (
u·
v+
u∧
v) + (
v·
u+
v∧
u) =
u·
v+
u∧
v+
u·
v−
u∧
v= 2
u·
v⇒
u·
v=
1
2
(
uv+
vu).
- Produto geométrico entre três vetores.
Por denição temos que o produto geométrico entre três vetores,
u
,v
ew
, por exemplo,obedece à regra associativa,ou seja:u(vw)
=
(uv)w=
uvw.
- Produto Geométrico entre um vetor e um bivetor.
Podemosefetuar oprodutoentre um vetor u eum bivetor
V =
v∧
w. Tal produto pode ser expresso como asoma das partes simétricae anti-simétrica, como sesegue:u
V =
1
2
(
uV +
uV ) +
1
2
(V
u− V
u) =
1
2
(
uV − V
u) +
1
2
(
uV + V
u).
Comovimosanteriormente, oprodutoexternoentre um vetor eumbivetoré
comu-tativo,ou seja,u
∧ V = V ∧
u. Logo, devemos fazer: Parte simétrica: u∧ V =
1
2
(
uV + V
u) = V ∧
u ; e Parte anti-simétrica: u· V =
1
2
(
uV − V
u) = −V ·
u.Com isso podemos escrever a expressão para o produto geométrico entre um vetor
eum bivetor:
u
V =
u· V +
u∧ V.
Está demonstrado em[6]que:
Isso signica que o produto interno de um vetor com um bivetor resulta em um
vetor. Combinandoessas duas expressões temos:
u
V =
u· V +
u∧ V = [(
u·
v)
w− (
u·
w)
v] +
u∧ (
v∧
w).
ouseja,oprodutogeométricoentre umvetoreum bivetorresultanasomade um vetor
eum trivetor.
Podemosgeneralizar uv
=
u·
v+
u∧
v parao caso de u Vk
,onde Vk
é umk
-vetor eu é um vetor.Neste caso, temos: uV
k
=
uy
Vk
+
u∧
Vk
.
O símbolo
”y”
signica contração pelaesquerda, ou seja, uy
Vk
signica contração deVk
pelaesquerda, poru. Neste caso,ainda,temosqueuy
Vk
resultaemum(k − 1)
-vetor.Se tivermosu
y
Vk
,emquek = 1
, ouseja, uy
v, teremos comoresultado um escalar e,neste caso, representamos aoperaçãocomo u·
v.No caso de u
y
V2
, ouseja, o produto interno de um vetor com um bivetor, o resul-tado será um vetor, como era de se esperar.Segundo Lounesto [9], podemos escrever, no caso em que x é um vetor e v é um
k-vetor em
V
k
R
3
: xy
v=
1
2
(
xv− (−1)
k
vx) ∈
V
k−1
R
3
.
x∧
v=
1
2
(
xv+ (−1)
k
vx) ∈
V
k+1
R
3
.
Temos, ainda, aseguintepropriedade:
x
y
(
uv) = (
xy
u)
v+ ˆ
u(
xy
v)
, para x∈ R
3
, u,v
∈ C`
3
No caso do produto geométrico entre dois vetores, ou seja, uv
=
u·
v+
u∧
v, o resultado éuma soma entre um escalar eum bivetor.jetodiminuia graduaçãodeste de umaunidade enquantoque oprodutoexterno tem o
efeitooposto, ouseja, aumenta asua graduação de uma unidade.
Em se tratando de
C`
3
, se zermos o produto geométrico entre um vetor e um 3-vetor oprodutoexterno anular-se-ápoiso4-vetorqueseria geradonão éobjetodoC`
3
.O projetor
h i
k
Dene-seh i
k
:∧(R)
3
→ ∧
k
(R)
3
como sendo:
h
Mi
k
=
Mk
,(k = 0, 1, 2, 3)
, ou seja,h i
k
"extrai"oobjeto de grauk
domultivetor a que serefere.Porexemplo: seM
= (m)+(m
1
e1
+m
2
e2
+m
3
e3
)+(m
12
e1
e2
+m
13
e1
e3
+m
23
e2
e3
)+
(m
123
e1
e2
e3
)
, entãoh
Mi
3
=
M3
= m
123
e1
e2
e3
.Para um multivetor M, temos: M
= h
Mi
0
+ h
Mi
1
+ h
Mi
2
+ h
Mi
3
.Involuções
Dadoum multivetor MemCl
3
, ouseja, M= h
Mi
0
+ h
Mi
1
+ h
Mi
2
+ h
Mi
3
,temos as seguintes involuções:InvoluçãoGraduada ouGraduação:
M = h
ˆ
Mi
0
− h
Mi
1
+ h
Mi
2
− h
Mi
3
; Reversão:M = h
˜
Mi
0
+ h
Mi
1
− h
Mi
2
− h
Mi
3
; eConjugação:
M = h
¯
Mi
0
− h
Mi
1
− h
Mi
2
+ h
Mi
3
AConjugação podeser obtidapelacomposiçãodas outrasduasinvoluções, ouseja,
¯
M =
M = ˆ˜
˜ˆ
M
.Porsereminvoluções, qualqueruma dastrês operaçõesédesfeitacaso sejaefetuada
emduplicidade.
Para obtermosagraduaçãoeareversãopodemoslançarmãodas seguintesrelações,
segundo Vaz[14] : Graduação:
M
ˆ
k
= (−1)
k
M
k
; Reversão:M
˜
k
= (−1)
k
(k − 1)
2
M
k
.Por exemplo, para calcularmos uma reversão em
C`
4
, faremos:M
˜
0
= (−1)
0
hMi
0
=
hMi
0
;M
˜
1
= (−1)
0
hMi
1
= hMi
1
;M
˜
2
= (−1)
1
hMi
2
= −hMi
2
;M
˜
3
= (−1)
3
hMi
3
=
−hMi
3
;M
˜
4
= (−1)
6
hMi
4
= hMi
4
.Portanto, neste caso teremos:
M = h
˜
Mi
0
+ h
Mi
1
− h
Mi
2
− h
Mi
3
+ h
Mi
4
.Segundo Lounesto [9]agraduação é umautomorsmo,istoé, uv
c
= ˆ
uˆ
v
, enquanto a reversão e aconjugação são antiautomorsmos, ouseja,f
uv = ˜
v˜
u
euv = ¯
v¯
u
.Ainda segundo Lounesto [9], página 57,temos:
-A reversão pode ser usada para estender a normado
R
3
para todos de
C`
3
, por:| u |
2
= hu˜ui
0
;-A conjugação pode ser usada para determinaro inverso de
u ∈ C`
3
: 1u
−1
=
u
¯
u¯
u
,u¯
u 6= 0
.-A involução graduada pode ser utilizadapara obtermos asoma direta:
C`
3
= C`
+
3
⊕ C`
−
3
, poisM
±
=
1
2
(M ± ˆ
M )
O inverso multiplicativoO inverso multiplicativo do multivetor
M
, denotado porM
−1
, é o multivetor que
obedeceà seguinte equação:
MM
−1
= M
−1
M = 1
.
Quando se trata de um vetor, u, por exemplo,o seu inverso é dado pela fórmula
u
−1
=
u|
u|
2
, pois uu−1
= 1 ⇒
uuu−1
=
u⇒|
u|
2
u−1
=
u⇒
u−1
=
u|
u|
2
.Existem multivetores que não admitem inverso. Com efeito, o multivetor
M =
1
2
(1 +
e1
)
pode ser citado como exemplo, pois não existe um multivetorM
−1
com a
propriedade
MM
−1
= M
−1
M = 1
.
A utilização doinverso multiplicativo sedá quando temos a necessidade de dividir
um multivetor por outro.
Para dividirmos omultivetor
U
pelomultivetorM
temos duas opções: peladireita ou pela esquerda. Isto porque não podemos garantir queU
eM
−1
comutem. Temos,
portanto: [6]
- Divisãode
U
porM
pelaesquerda:M
−1
U
, e 2
- Divisãode
U
porM
peladireita:UM
−1
.
1
Todovetornãonulopossuiinverso. Entretanto,istonem sempreocorrecomosmultivetores.
2
Adivisãopelaesquerdanãoéequivalenteàdivisãopeladireita,amenosque
U
comutecomM
−1
Dualidade
Dado um
k
-vetorU
k
denimos o seu dual?U
k
através de:?U
k
= ˜
U
k
I
, ondeI =
e1
e2
e3
.Se considerarmos um 3-vetor o seu dual será um escalar(0-vetor) e vice-versa. Por
estemotivo,o3-vetor échamadopseudo-escalar. Porsua vez, odualde um vetor éum
bivetor e vice-versa e por issochamamosum bivetor de pseudo-vetor.
Uma propriedade importantea se notar é que um objeto e seu dual têm o mesmo
númerode componentes (mesma dimensão), ouseja:
OEscalareo3-vetortêmambos1componente. Exemplo: Escalar,
N = u
e3-vetor,T = u
123
e1
e2
e3
.OVetor eobivetor têm ambos3componentes. Exemplo: Vetor, v
= v
1
e1
+ v
2
e2
+
v
3
e3
e Bivetor,U = u
12
e1
e2
+ u
13
e1
e3
+ u
23
e2
e3
.
Vamos calcular,como exemplo,o dual de e
1
e2
. Temos:?(
e1
e2
) = (
eg
1
e2
)I = (−
e1
e2
)(
e1
e2
e3
) = −
e1
e2
e1
e2
e3
=
e1
e1
e2
e2
e3
=
e3
, ou seja,?(
e1
e2
) =
e3
. De modo semelhante calculam-se osoutros duais. Assim, temos:?1 =
e1
e2
e3
= I
;?
e1
=
e2
e3
;?
e2
= −
e1
e3
=
e3
e1
;?
e3
=
e1
e2
;?(
e1
e2
) =
e3
;?(
e3
e1
) =
e2
;?(
e2
e3
) =
e1
;?I = 1
.O dual de um objeto pode representar a mesma grandeza representada por este
objeto. Omomentumangular,porexemplo,é denido pelo2-vetor L
=
r∧
p. Ovetor momentum angularlé o dual de L , ou seja,l= ?
L.Como dissemos anteriormente, devido à operação de dualidade, como o dual de
Entretantoemálgebrasgeométricasdiferentes da
C`
3
istonão ocorre. Se tomarmos aC`
4
, por exemplo, temos que tanto os vetores quanto os 3-vetores são representados por 4 componentes. Logo, emC`
4
o dual de um 3-vetor é um vetor e vice-versa. Já emC`
2
um bivetor édualde um escalare vice-versa, poisambossão representados por apenas 1componente nesta álgebra.Podemos determinar a quantidade de componentes de um
k
-vetor emC`
n
. Ele édadopelonúmerobinomial
n
k
=
n!
(n − k)!k!
. Então,porexemplo,emC`
4
onúmero de componentes de um 3-vetor é4!
(4 − 3)!3!
= 4
eo de um vetor é4!
(4 − 1)!1!
= 4
. A álgebra geométrica e os quatérnionsMostraremosaquiqueaálgebrageométricapar
(C`
+
3
)
éisormorfaadosQuatérnions(H)
.Jádissemos acima queos quatérnions são elementosque têm aforma
q = a + bi + cj + dk ∈ H,
onde
a, b, c, d ∈ R
ei
2
= j
2
= k
2
= ijk = −1
. Temos ainda, nos quatérnions, as
seguintes relações:
ij = −ji = k
;jk = −kj = i
eki = −ik = j
. Seja omultivetorM = m + m
12
e1
e2
+ m
31
e3
e1
+ m
23
e2
e3
∈ C`
+
3
. Façamosser i=
e3
e2
,j=
e1
e3
, ek=
e2
e1
.Com issopodemosreescrever
M
comoM = m − m
23
i− m
31
j− m
12
k . É fácil ver que i2
= (
e3
e2
)
2
=
e3
e2
e3
e2
= −
e3
e3
e2
e2
= −1
. Podemos vericar, ainda,que: j2
= −1;
k2
= −1;
ijk= −1;
ij= −
ji=
k;
jk= −
k j=
i;
ki= −
ik=
jCom issoca claro que é possível fazeras associações:
deonde seconcluiser lícitoidenticar asunidadesquaterniônicas
{i, j, k}
comos bive-tores{
e3
e2
,
e1
e3
,
e2
e1
}
da álgebra geométrica, estabelecendo-se, assim, o isomorsmoC`
+
3
' H
.Utilizandoos duais, podemos vericar que:
i ↔ −(?
e1
) = −(
e2
e3
) =
e3
e2
e, damesma forma,j ↔ −(?
e2
)
e, ainda,k ↔ −(?
e3
)
.Com isso, podemosescrever:
M = m +
I(m
23
e1
+ m
31
e2
+ m
12
e3
) ∈ C`
+
3
' H
.Oisomorsmoentre osquatérnions eaálgebrageométricadá-secom aidenticação
entre as unidades quaterniônicas (
i, j, k
) e os bivetores (ou pseudovetores) da álgebra geométrica. Já aálgebra vetorial tratou de identicar as unidades quaterniônicas comosvetores ortonormais(
~i,~j,~k
),base destaálgebra.A álgebra geométrica, isomorfa à dos quatérnions, é mais abrangente que esta por
nãoserestringiraoespaçotridimensional,podendoserutilizadaemdimensõesmaiores.
A álgebra geométrica
Cl
3
e a álgebra vetorialO produto vetorial entre os vetores u
= (u
1
, u
3
, u
3
)
e v= (v
1
, v
2
, v
3
)
é, na álgebra vetorial de Gibbs, considerado um vetor ortogonalao plano formado pelos vetores u ev, sendo calculado por:
w
=
u×
v=
~i
~j
~k
u
1
u
2
u
3
v
1
v
2
v
3
= (u
2
v
3
− u
3
v
2
)~i + (u
3
v
1
− u
1
v
3
)~j + (u
1
v
2
− u
2
v
1
)~k
.Esta operação possui uma incoerência que se observa ao se inverter o sentido dos
vetores envolvidos. Como resultado, era de se esperar que o vetor resultante tivesse o
seu sentido também invertido o que, na realidade, não ocorre. Se zermos o produto
w
0
= (−
u) × (−
v) =
~i
~j
~k
−u
1
−u
2
−u
3
−v
1
−v
2
−v
3
=
(u
2
v
3
− u
3
v
2
)~i + (u
3
v
1
− u
1
v
3
)~j + (u
1
v
2
− u
2
v
1
)~k =
u×
v=
w. Logo, vemos que o sentido de w ede w0
é omesmo, o quese constitui numa grave
incoerência. O resultado de u
×
v não pode ser considerado, portanto, um vetor, por não secomportar comotal.Oresultadodochamadoprodutomistoentreosvetoresu ,vex,denotado
(
u×
v)·
x possui,também, umaincoerência. Aoseinverteremossentidos dos vetoresnão deveriahaver mudançano resultado, que é um escalar, o que no entanto, não ocorre, ou seja,
mudando-se os sentidos dos vetores envolvidos muda o sinal do escalar, o quese
cons-titui numa outra incoerêncianaálgebra vetorial.
Na álgebra de Cliord tais incoerências não ocorrem ao calcularmos o produto
ve-torialentre vetores. Em találgebrao produto vetorial édenido como:
u
×
v= ?(
u∧
v) = −I(
u∧
v) = −(
u∧
v)I
3ou, equivalentemente, u
∧
v= I(
u×
v)
, ouseja, u×
vé ovetor dual do bivetor u∧
v.Sequadrarmosarelaçãou
×
v= −I(
u∧
v)
,teremos:(
u×
v)
2
= −(
u∧
v)
2
=|
u∧
v|
2
,ouseja,amagnitudede u
×
véigual àárea doparalelogramoformadopelos vetoresu ev eque compõemu∧
v.Calculando,agora, u
∧
v, obtemos:u
∧
v= (u
2
v
3
− u
3
v
2
)
e2
e3
+ (u
3
v
1
− u
1
v
3
)
e3
e1
+ (u
1
v
2
− u
2
v
1
)
e1
e2
.Usando as relações de dualidade
?(
e2
e3
) =
e1
;?(
e3
e1
) =
e2
; e?(
e1
e2
) =
e3
no resultado obtido,camos com:?(
u∧
v) =
u×
v= (u
2
v
3
− u
3
v
2
)
e1
+ (u
3
v
1
− u
1
v
3
)
e2
+ (u
1
v
2
− u
2
v
1
)
e3
,
um vetor.Vamos vericar se, mudando o sentido dos vetores u e v, o sentido do produto
vetorial na álgebra geométrica também muda de sentido. Temos, portanto, u
7→ −
u, v7→ −
v . Como cada ei
muda de sentido, ou seja, ei
7→ −
ei
, verica-se queI =
3Como é arbitráriousarmos a regrada mão direita ou a regrada mão esquerda para determinar
o sentido de
u
× v
, é arbitrário usarI
ou−I
na determinação de um dual. Podemos arbitar:u
v
u v
(u v) = u
x
v
Figura 2.8: u×
v e1
e2
e3
7→ −I
.Ficamos, portanto,com:
u
×
v= −I(
u∧
v) 7→ −(−I)[(−
u) ∧ (−
v)] = I[
u∧
v] = −(
u×
v)
.Conclusão: quando fazemos uma inversão nos vetores que compõem o produto
ve-torial(comodenido naálgebrageométrica),bemcomodose
i
,ovetorresultantesofre,também, uma inversão,ou seja,o produto vetorialé, neste caso, coerente.
Conformepodemoslerem[6]cabeaqui umaadvertência: livrosde álgebravetorial
normalmente fazem uma distinção entre vetores polares e vetores axiais, sendo
u × v
identicado comovetor axial eu ev, como vetores polares.Estaidenticaçãoédesnecessárianaálgebrageométrica. O"vetoraxial" nadamais
éque um bivetor dissimulado emvetor.
O produto vetorial de u ev, denido como u
×
v= −I(
u∧
v)
, é um vetor, exata-mente damesma formaque u ev são vetores.Concluímos,portanto,queaálgebrageométricaenglobaasdeGrassmannea
estru-turados quatérnionsde formasatisfatóriaeconsistente, não apresentandoincoerências
internas.
Aálgebra geométrica
C`
3
e a álgebra das matrizes complexas2×2
As matrizesσ
1
,σ
2
eσ
3
abaixosão conhecidas como matrizesde Pauli:σ
1
=
0 1
1 0
;σ
2
=
0 −i
i
0
;σ
3
=
1
0
0 −1
.Estas matrizes têm grande aplicação em mecânica quântica: são os ingredientes
com aálgebra de Cliord.
As matrizesde Pauliobedecem àsseguintes regras 4
:
σ
2
i
= 1
,parai = 1, 2, 3
, eσ
i
σ
j
= −σ
j
σ
i
, parai 6= j
.Estas regras são semelhantes às propriedades satisfeitas por e
1
, e2
e e3
na álgebrageométrica. Podemos,então, fazeras associações:
σ
1
↔
e1
,σ
2
↔
e2
, eσ
3
↔
e3
eestabelecer, assim, um isomorsmo entre uma particular álgebra de Cliord (
C`
3
) e adas matrizescomplexas2 × 2
.Efetuando oproduto
σ
1
σ
2
σ
3
obtemos
i 0
0 i
=i
1 0
0 1
↔ I =
e1
e2
e3
Seja omultivetorM = m + m
1
e1
+ m
2
e2
+ m
3
e3
+ m
12
e1
e2
+ m
13
e1
e3
+ m
23
e2
e3
+ m
123
e1
e2
e3
,quepode ser reescrito, utilizandoduais, como:M = m + m
1
e1
+ m
2
e2
+ m
3
e3
+ m
12
?
e3
− m
13
?
e2
+ m
23
?
e1
+ m
123
I
.Escrevendo este multivetor com as correspondentes matrizesde Pauliobteremos:
(M) = m
1 0
0 1
+ m
1
0 1
1 0
+ m
2
0 −i
i
0
+ m
3
1
0
0 −1
+
m
12
i 0
0 i
1
0
0 −1
− m
13
i 0
0 i
0 −i
i
0
+ m
23
i 0
0 i
0 1
1 0
+
m
123
i 0
0 i
.Efetuandoas operaçõesacima, obtemos: