sica- Matemática tica e a equação diferencial parcial que descreve o fluxo de calor

(1)

A Equa

(2)

Uma das Uma das EDPEDP´´ss clcláássica da Fssica da Fíísicasica- -Matem

Matemáática e a equatica e a equaçção diferencial ão diferencial parcial que descreve o fluxo de calor

parcial que descreve o fluxo de calor

em um corpo s

em um corpo sóólido. E uma aplicalido. E uma aplicaçção ão mais recente

mais recente éé a que descreve a a que descreve a dissipa

dissipaçção de calor gerado pelo atrito ão de calor gerado pelo atrito em vôos espaciais na re

em vôos espaciais na re--entrada na entrada na atmosfera terrestre

(3)

(4)

Fluxo de calor

isolamento

(5)

Considere uma barra com seConsidere uma barra com seçção uniforme de um ão uniforme de um material homogêneo.

material homogêneo.

Seja Seja u(x,t)u(x,t) a temperatura localizada em a temperatura localizada em xx no no tempo

tempo tt. .

Desejamos desenvolver um modelo para Desejamos desenvolver um modelo para determinar o fluxo de calor atrav

determinar o fluxo de calor atravéés da barra. s da barra.

Para isto devemos seguir alguns princPara isto devemos seguir alguns princíípios bpios báásicos sicos das

das fisicafisica::

AA. A quantidade de calor fluindo atrav. A quantidade de calor fluindo atravéés da barra s da barra é

é proporcional proporcional éé proporcional a proporcional a

multiplicado por uma constante de

proporcionalidade

proporcionalidade k(x)k(x) chamada a chamada a condutividade condutividade t

téérmicarmica do material.do material.

x u ∂ ∂ /

(6)

BB. .

O fluxo de calor

é

sempre no sentido

desde um ponto de maior temperatura a

pontos de menor temperatura.

C

. A quantidade de calor necess

á

rio para

atingir a temperatura de um corpo de massa

m em um a quantidade

Δ

_Δ

u

é

“

m

c(x)

Δ

_Δ

u

”

,

onde

c(x)

é

chamada de calor espec

í

fico do

material.

Assim, para determinar a quantidade de

calor que flui atrav

é

s de uma se

ç

ão de

superf

í

cie A em um

um

tempo

Δ

t est

á

dado

pela f

ó

rmula:

) , ( A) of )( ( ) ( x t x u t area x k x H ∂ ∂ Δ − =

(7)

Analogamente

, no

ponto

x +

_{x +}

Δ

_Δ

x

_x

,

temos

Se no intervalo [Se no intervalo [

x, x+

Δ

x

], no tempo ], no tempo

Δ

t

, ,

existe alguma outra fonte de calor adicional,

como por exemplo rea

como por exemplo reaçções quões quíímicas, micas, aquecimento ou correntes el

aquecimento ou correntes eléétricas com tricas com densidade de energia

densidade de energia

Q(x,t)

, a varia, a variaçção ão total de calor

total de calor

Δ

_Δ

E

estestáá dada pela fdada pela fóórmula: rmula:

). , ( u t B) of )( ( ) ( x x t t area x x k x x H + Δ ∂ ∂ Δ Δ + − = Δ +

(8)

Δ

E = entrada de calor A

–

sa

í

da de

calor B + calor gerado.

Com Com

Δ

E = c(x) m

Δ

u

, onde , onde

m =

ρ

(x)

Δ

V

, , dividindo por

dividindo por

(

Δ

x)(

Δ

t)

, e tomando limites , e tomando limites com

com

Δ

_Δ

x

, e , e

Δ

_Δ

t

→

_→

0

, obtemos:, obtemos:

Assumindo que Assumindo que

k, c,

ρ

são constantes, são constantes, temos: temos: ) , ( ) ( ) ( ) , ( ) , ( ) ( x t t u x x c t x Q t x x u x k x ∂ ∂ = + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ ρ

)

,

(

2 2

t

x

p

u

+

2

x

t

∂

=

∂

_β

(9)

Condi

ç

ões iniciais e de

fronteira

São dadas condiSão dadas condiçções iniciais e de fronteira ões iniciais e de fronteira para

para

u(x,t)

..

Consideramos um modelo matemConsideramos um modelo matemáático para tico para uma barra condutora de calor isolada

uma barra condutora de calor isolada

termicamente, sem fontes ou sumidouros

com condi

com condiçções de fronteira homogêneas e ões de fronteira homogêneas e com uma distribui

com uma distribuiçção inicial de temperatura ão inicial de temperatura dada por

(10)

.

0 ,

)

(

)

0 ,

(

,

0 ,

0 )

,

(

)

,

0 (

,

0 ,

)

,

(

)

,

(

₂ 2

L

x

f

x

u

t

L

u

t

u

t

L

x

t

x

u

t

x

t

u

<

=

>

=

>

<

∂

=

∂

_β

A equa

(11)

Propomos uma soluPropomos uma soluçção da forma ão da forma

u(x,t) = X(x) T(t)

..

Substituindo na equaSubstituindo na equaçção obtemosão obtemos::

O m

é

_é

todo de separa

_{todo de separa}

ç

_ç

ão de

_{ão de}

vari

á

_á

veis

_veis

. 0 ) ( ) ( ' ' and 0 ) ( ) ( ' have we Thus Constants. ) ( ) ( ' ' ) ( ) ( ' eq. following the to leads this . 0 0 , ) ( ) ( ' ' ) ( ' ) ( = − = − = = > < < = x kX x X t kT t T x X x X t T t T L, t x t T x X t T x X β β β

Que conduz à seguinte equação

k temos

(12)

se se estamosestamos interessadosinteressados nana solusoluççãoão nãonão trivial

trivial

X(x)

, , queque satisfazsatisfaz::

PodemosPodemos considerarconsiderar trêstrês casoscasos::

k = 0, k > 0

e e

k < 0

..

Condi

ç

_ç

ões de fronteira

_{ões de fronteira}

0 ) ( ) 0 ( 0 ) ( ) ( ' ' = = = − L X X x kX x X

(13)

Caso (i): Caso (i): k = 0k = 0. Neste caso temos . Neste caso temos X(x) = 0X(x) = 0, a , a solu

soluçção trivialão trivial

Caso (Caso (iiii): ): k > 0k > 0. Seja . Seja k = k = λλ22, então , então subsituindosubsituindo temos

temos XX′′ ′′ -- λλ2 2 X = 0_{X = 0}_{. O conjunto fundamental}_{. O conjunto fundamental}

de solu

de soluçções ões éé: { : { e _eλxλx_{, e}_{, e}--λxλx _{}. E a solu}_{}. E a solu}_ç_ç_{ão geral est}_{ão geral est}_á_á

dada por : dada por : X(x) = cX(x) = c₁₁ e e λx λx _{+ c}_{+ c} 2 2 e e --λx λx X(0) = 0 X(0) = 0 ⇒⇒ cc₁₁++ cc₂₂= 0= 0, e, e X(L) = 0 X(L) = 0 ⇒⇒ cc₁₁ e e λL λL + c_{+ c} 2 2 e e --λL λL = 0= 0 , assim, assim c c₁₁ (e (e 22λL λL _-_-_{1) = 0}_{1) = 0}_⇒_⇒ _c_c 1 1 = 0= 0 e ce c2 2 = 0 .= 0 .

Mais uma vez obtemos a solu

(14)

Ainda

bem

que

temos

mais

um

caso

(iii)

quando

k < 0

_{k < 0}

.

Novamente comeNovamente começçamos com amos com

k =

-

λ

2 2

,

λ

> 0

. .

X

′

_′

′

(x) +

λ

_λ

2 2

_{X(x) = 0}

_,_,

cuja equa

cuja equaçção caracterão caracteríística stica éé

r

22

₊

_λ

22

_{= 0,}

_ou_ou

_{r =}

_±

_λ

_i

_._.

A solu

A soluçção geral:ão geral:

X(x) = c

₁₁

e

iiλλx x

+ c

_{+ c}

2

e

--iiλλxx ou:ou:

X(x) = c

(15)

Aplicando as condi

Aplicando as condiçções de fronteira temosões de fronteira temos

X(0) = X(L) = 0

que implica que:que implica que:

c

₁₁

= 0 e c

₂₂

sin

λ

_λ

L= 0,

para que isto para que isto acontecer deve ser

acontecer deve ser

λ

_λ

L = n

π

, i., i.éé. .

λ

= n

π

/L

ou ou

k =

-

(n

π

/L )

22_._. assim assim

X

_n_n

(x) =

a

_n_n

sin

(n

π

/L)x, n = 1, 2, 3, ...

(16)

Para

T

_T

′

_′

(t)

_(t)

-

_-

β

_β

kT(t

_kT(t

) = 0, k =

_{) = 0, k =}

-

_-

λ

_λ

22

_.

ReRe--escrevendo esta equaescrevendo esta equaçção como:ão como:

T

′

_′

+

β

_β

λ

22

T = 0

_{T = 0}

_ou_ou

T

_T

′

_′

=

₌

-

_-

β

_β

λ

_λ

22

T

_T

_._.

Vemos que as solu

Vemos que as soluçções são da formaões são da forma

( )

n t L n n

T

t

b

e

π β ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − _⎜ _⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

=

(17)

u(x,t

) =

_{) =}

∑

_∑

u

_n_n

(x,t

),

para

todo

n.

Mais precisamente, Mais precisamente,

Isto conduz novamente Isto conduz novamente àà questão se questão se éé poss

possíível representar a vel representar a

f(x)

por uma spor uma séérie de rie de Fourier em senos ? Fourier em senos ? . ) ( sin ) 0 , ( : have must We . sin ) , ( 1 1 2 x f x L n c x u x L n e c t x u n t L n n = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =

∑

∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ∞ π π π β Devemos ter

(18)

A equa

ç

ão de calor

bidimensional

A distribui

(19)

(20)

As equa

ç

ões no estado transit

ó

rio e no

estado estacion

á

rio

Laplace

(21)

M

é

_é

todos num

_{todos num}

é

_é

ricos

_ricos

1. 1. mméétodo das diferentodo das diferençças finitasas finitas

2. m2. méétodos dos elementos finitostodos dos elementos finitos

3. m3. méétodos dos volumes finitostodos dos volumes finitos

(22)

M

é

_é

todos das Diferen

_{todos das Diferen}

ç

_ç

as finitas

_{as finitas}

e dos Elementos finitos

(23)

M

(24)

Resolvendo a equa

Resolvendo a equaçção de LAPLACEão de LAPLACE

O procedimento padrão consiste em O procedimento padrão consiste em particionarparticionar o o dom

domíínio gerando uma malha.nio gerando uma malha.

Cada nCada nóó da malha da malha éé identificado como um elemento identificado como um elemento na matriz e seu valor depende dos n

na matriz e seu valor depende dos nóós vizinhos.s vizinhos.

i,j 1 2 3 i i+1 … n m j+1 j … 2 1

Usando diferenças centradas

2 1, , 1, 2 2 2 , 1 , , 1 2 2 2 2 2 2 2 2 & 0 i j i j i j i j i j i j u u v v u v + − + − Ω − Ω + Ω ∂ Ω = ∂ Δ Ω − Ω + Ω ∂ Ω ₌ ∂ Δ ∂ Ω ∂ Ω₊ ₌ ∂ ∂

(25)

Para uma parti

Para uma partiçção for uniforme entãoão for uniforme então ΔΔu u = = ΔΔv v

1, , 1, , 1 , 1 1, 1, , 1 , 1 , 4 0 4 i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j + − + − + − + − Ω − Ω + Ω + Ω + Ω = Ω + Ω + Ω + Ω = Ω

O que isto significa? Obtemos o valor em cada nó fazendo a média com os valores no nós vizinhos dispostos sobre uma cruz ‘+’.

Isto funciona para os nós localizados no interior da região. Para os nós próximos da fornteira usamos os valores dados pelas condições de fronteira.

(26)

T = 10 T = 0 T = 0 T = 0 a₁₁ a₃₂ a₂₁ a₃₁ a₂₂ a₁₂ a₁₃ a₂₃ a₃₃ Exemplo Exemplo Calculemos os valores do potencial nos nós internos usando valores nas

fronteira. Não há fontes nem sumidouros. 12 21 11 0 10 4 a a a + + + ₌ Para o nó a₁₁ 12 13 22 12 10 4 a a a a + + + ₌ ₁₂ ₂₃ 13 0 10 4 a a a + + + ₌ ₁₁ ₂₂ ₃₁ 21 0 4 a a a a + + + =

(27)

-4 1 0 1 0 0 0 0 0 10 1 -4 1 0 1 0 0 0 0 10 0 1 -4 0 0 1 0 0 0 10 1 0 0 -4 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 -4 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 -4 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 -4 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 -4 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 -4 0

(28)

WITH 50 X 50 GRID MAP: CONTOUR MAPPING 0 2020 30 40 50 0 10 20 30 40 50 0 2 4 6 8 10 Length Breadth Po te n ti a l 1 2 3 4 5 6 7 8 9