ALGA 2007/2008 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Aplicao do Captulo VI 1 / 12

(1)

Aplicac¸ ˜ao do Cap´ıtulo VI

(2)

ALGA 2007/2008 – Mest. Int. Eng. Electrot ´ecnica e de Computadores Aplicao do Captulo VI – 2 / 12

A diagonalizaç ão de matrizes sim étricas reais pode ser utilizada na classificaç ão de curvas no plano e superf´ıcies no espaço definidas por equaç ões do

2

o grau.

(3)

2

o grau.

Definic¸ ˜ao

Uma c ´onica ´e o conjunto dos pontos

(x, y)

de

_R

2 que satisfazem uma equaç ão do segundo grau em duas vari áveis da forma

(4)

2

o grau.

Definic¸ ˜ao

Uma c ´onica ´e o conjunto dos pontos

(x, y)

de

_R

2 que satisfazem uma equaç ão do segundo grau em duas vari áveis da forma

Ax

2

+ Bxy + Cy

2

+ Dx + Ey = F.

Esta equac¸ ˜ao pode escrever-se da seguinte forma

x y

.

A

B₂ B 2

C

.

x

y

+

D

E

.

x

y

= F

(5)

Efectuando uma mudança de coordenadas adequada, ou seja, escolhendo uma base ortonormada (um referencial ortonormado) conveniente, é poss´ıvel dar à equaç ão anterior uma forma mais simples.

(6)

Efectuando uma mudança de coordenadas adequada, ou seja, escolhendo uma base ortonormada (um referencial ortonormado) conveniente, é poss´ıvel dar à equaç ão anterior uma forma mais simples.

A matriz quadrada real

M

=

A

B₂ B 2

C

´e sim ´etrica, logo, existe uma matriz

Q

ortogonal, tal que

Q

T

M Q

= D

, com

D

diagonal. As colunas de

Q

s ˜ao vectores pr ´oprios ortonormados de

M

e os elementos diagonais de

D

s ˜ao os correspondentes valores pr ´oprios

λ

1 e

λ

2

(7)

Efectuando a mudança de coordenadas (uma rotaç ão)

x

y

= Q

x

′

y

′

,

(8)

x

y

= Q

x

′

y

′

,

obt ém-se uma equaç ão da forma

λ

1

(x

′

)

2

+ λ

2

(y

′

)

2

(9)

x

y

= Q

x

′

y

′

,

λ

1

(x

′

)

2

+ λ

2

(y

′

)

2

+ D

′

_x

′

_{+ E}

′

_y

′

_{= F}

′

_.

Em seguida, eliminam-se os termos do primeiro grau, procurando quadrados perfeitos de modo a obter uma equac¸ ˜ao da forma

λ

1

(x

′

+ x

0

)

2

+ λ

2

(y

′

+ y

0

)

2

(10)

Fazendo uma outra mudança de coordenadas (uma translaç ão)

x

′′

= x

′

− x

0

,

y

′′

= y

′

_{− y}

0

obt ém-se uma equaç ão reduzida

λ

1

(x

′′

)

2

+ λ

2

(y

′′

)

2

= F

′′′

(11)

Proposic¸ ˜ao

Considere-se a c ónica de equaç ão

Ax

2

+ Bxy + Cy

2

+ Dx + Ey = F.

Sejam

λ

1 e

λ

2 os valores pr ´oprios de

M

=

A

B₂ B 2

C

. Ent ˜ao:

(12)

ALGA 2007/2008 – Mest. Int. Eng. Electrot écnica e de Computadores Aplicao do Captulo VI – 6 / 12 Proposiç ão

Ax

2

+ Bxy + Cy

2

+ Dx + Ey = F.

Sejam

λ

1 e

λ

M

=

A

B₂ B 2

C

. Ent ˜ao:

(a) Se

B

2

_{− 4AC = λ}

1

λ

2

>

0

, a c ´onica ´e uma elipse ou uma elipse

(13)

Proposic¸ ˜ao

Ax

2

+ Bxy + Cy

2

+ Dx + Ey = F.

Sejam

λ

1 e

λ

M

=

A

B₂ B 2

C

. Ent ˜ao:

(a) Se

B

2

_{− 4AC = λ}

1

λ

2

>

0

degenerada (um ponto ou o conjunto vazio);

(b) Se

B

2

_{− 4AC = λ}

1

λ

2

<

0

, a c ónica é uma hip érbole ou uma hip érbole

(14)

ALGA 2007/2008 – Mest. Int. Eng. Electrot écnica e de Computadores Aplicao do Captulo VI – 6 / 12 Proposiç ão

Ax

2

+ Bxy + Cy

2

+ Dx + Ey = F.

Sejam

λ

1 e

λ

M

=

A

B₂ B 2

C

. Ent ˜ao:

(a) Se

B

2

_{− 4AC = λ}

1

λ

2

>

0

degenerada (um ponto ou o conjunto vazio);

(b) Se

B

2

_{− 4AC = λ}

1

λ

2

<

0

, a c ónica é uma hip érbole ou uma hip érbole

degenerada (duas rectas concorrentes);

(c) Se

B

2

_{− 4AC = λ}

1

λ

2

= 0

, a c ónica é uma par ábola ou uma par ábola

(15)

Exemplo

A c ónica de equaç ão

2x

2

_{− 4xy − y}

2

_{− 4x + 10y = 13}

pode escrever-se da seguinte forma

x y

.

2 ₋₂

−2

−1

.

x

y

+

₋₄

10 .

x

y

= 13

(16)

A matriz quadrada real

M

=

2 ₋₂

−2

−1

´e sim ´etrica, logo, existe uma matriz

Q

=

"

2√5 5 √ 5 5

−

√ 5 5 2√5 5

#

ortogonal, tal que

Q

T

M Q

=

3

0 0 −2

.

(17)

x

y

= Q

x

′

y

′

,

(18)

x

y

= Q

x

′

y

′

,

3(x

′

₎

2

− 2(y

′

)

2

+

18 √

5

5 x

′

₊

16 √

5

5 y

′

_{= 12.}

(19)

x

y

= Q

x

′

y

′

,

3(x

′

₎

2

− 2(y

′

)

2

+

18 √

5

5 x

′

₊

16 √

5

5 y

′

_{= 12.}

Em seguida, procuram-se quadrados perfeitos e obt ém-se uma equaç ão da forma

(x

′

−

3√5

)

2

(y

′

−

4√5

)

2

(20)

Fazendo uma outra mudança de coordenadas (uma translaç ão)

x

′′

= x

′

₋

3 √

5

5 ,

y

′′

_{= y}

′

−

4 √

5

obt ém-se uma equaç ão reduzida

(x

′′

₎

2

4 −

(y

′′

₎

2

6 = 1,

equaç ão de uma hip érbole com semieixo transverso alinhado com o eixo dos

(21)

Definic¸ ˜ao

Uma qu ´adrica ´e o conjunto dos pontos

(x, y, z)

de

_R

3 que satisfazem uma equaç ão do segundo grau em tr ês vari áveis da forma

(22)

ALGA 2007/2008 – Mest. Int. Eng. Electrot écnica e de Computadores Aplicao do Captulo VI – 11 / 12 Definiç ão

ALGA 2007/2008 Mest. Int. Eng. Electrotécnica e de Computadores Aplicao do Captulo VI 1 / 12

Aplicac¸ ˜ao do Cap´ıtulo VI

2

2

(x, y)

R

2

(x, y)

R

Ax

+ Bxy + Cy

+ Dx + Ey = F.

x y

.



A

C



.



x

y



+

D

E

.



x

y



= F

M

=



A

C



Q

Q

M Q

= D

D

Q

M

D

λ

λ



x

y



= Q



x

y



,



x

y



= Q



x

y



,

λ

(x

)

+ λ

(y

)



x

y



= Q



_R

_R

_x

_{+ E}

_y

_{= F}

_.

_{− y}

_{− 4AC = λ}