Aula 16: Derivadas e Aplicações

(1)

Exemplo 1. Aplicando o teorema de Lagrange `a fun¸c˜ao f (x) = ex _{no intervalo}

[ 0, x ] vemos que existe um c ∈ ]0, x[ tal que ex_{− e}0

x − 0 = f′(c) = e

c

Como ec _{> 1 para c > 0 concluimos que (e}x_{− 1)/x > 1 logo e}x _{> x + 1 para}

x > 0.

Podemos usar o teorema de Lagrange para estimar o erro cometido ao aproximar uma fun¸c˜ao pela sua recta tangente:

Exemplo 2. A aproxima¸c˜ao linear diz-nos que, para x ≈ 1, ln x ≈ ln 1 + (ln)′_{(1)(x − 1) = x − 1}

Por exemplo, para x = 1.1 temos ln 1.1 ≈ 0.1. Podemos estimar o erro cometido aplicando o teorema de Lagrange `a fun¸c˜ao f (x) = ln x no intervalo [ 1, 1.1 ]. O teorema diz-nos que existe um c ∈ ]1, 1.1[ tal que

ln 1.1 − ln 1 1.1 − 1 = f′(c) = 1 c Como 1 < c < 1.1, 1 1.1 < 1 c < 1 1 Assim, 1 1.1 < ln 1.1 0.1 < 1 donde concluimos que

0.090909 . . . < ln 1.1 < 0.1

Portanto a aproxima¸cão ln 1.1 ≈ 0.1 é por excesso e o erro é inferior a 0.01.

1. Propriedades da derivada

Recorde que f′

d(a) é a derivada de f à direita em a e f′(a+) é o limite à direita de

f′_: fd′(a) = lim x→a+ f (x) − f(a) x − a e f ′_(a+_{) = lim} x→a+f ′_(x) f′

d(a) e f′(a+) est˜ao estreitamente relacionadas:

Teorema 1: Seja f uma fun¸c˜ao cont´ınua em [ a, b ] e diferenci´avel em ]a, b[ e vamos supor que existe o limite

lim

x→a+f

′_{(x) = f}′_(a+₎

Então a derivada de f à direita em a existe e é igual a f′_(a+_).

Analogamente, se f′_(b−_{) existir, f tem derivada `}_{a esquerda f}′

(2)

Demonstrac¸˜ao. Seja x > a. Pelo teorema de Lagrange aplicado ao intervalo [ a, x ] existe um cx∈ [ a, x ] tal que

f (x) − f(a) x − a = f

′_(c x)

Agora, como a < cx < x, se x → a ent˜ao tamb´em cx → a. Assim, substituindo

u = cx, lim x→a+ f (x) − f(a) x − a = limx→a+f ′_(c x) = lim u→a+f ′_{(u) = f}′_(a+₎

A demonstra¸cão para os limites à esquerda é completamente análoga. Exemplo 3. Consideremos a fun¸cão

f (x) =®x

3_{+ 2x}2_{+ x x ≥ 0}

sen2_x _{x < 0}

f é cont´ınua em x = 0 pois f (0+_{) = f (0}−_{) = f (0) = 0. Para x 6= 0 f é diferenciável}

com derivada

f′_{(x) =}®3x2+ 4x + 1 x > 0

2 sen x cos x x < 0 Ent˜ao f tem derivadas laterais em x = 0 dadas por f′

d(0) = f′(0+) = 1 e fe′(0) =

f′₍₀−_{) = 0. Como as derivadas laterais s˜}_{ao diferentes, f não é diferenciável em}

x = 0.

´

E importante real¸car que as derivadas laterais de f podem existir mesmo quando os limites lim x→a±f ′_{(x) n˜ao existem!} Exemplo 4. Seja f (x) =®x 2_sen 1 x x > 0 x2 _{x ≤ 0}

Vamos ver que f ´e diferenci´avel em todos os pontos. Para x < 0, f′_{(x) = 2x. Assim}

f′ e(0) = f′(0−) = 0. Para x > 0, f′_{(x) = 2x sen} 1 x + x2 −x12

cos 1_x= 2x sen _x1− cos x1

O limite lim

x→0+f

′_{(x) n˜ao existe pois cos} 1 x

não converge. Mas a derivada à direita existe! f′ d(0) = lim x→0+ f (x) − f(0) x − 0 = limx→0+ x2_sen 1 x − 0 x = limx→0+x sen 1 x = 0 Como as derivadas laterais existem e são iguais, f é diferenciável em x = 0 com derivada f′_{(0) = f}′ d(0) = fe′(0) = 0. Assim f′(x) =      2x sen _x1− cos x1 x 6= 0 0 x = 0 2x x < 0

Mas f′_{n˜ao ´e cont´ınua em x = 0 pois como vimos o limite lim} x→0+f

(3)

Como acabámos de ver, a fun¸cão derivada f′ _{pode não ser uma fun¸cão cont´ınua.}

As fun¸c˜oes com derivada cont´ınua dizem-se de classe C1_:

Defini¸cão 2: Dizemos que uma fun¸cão f é de classe C1 _{num conjunto A ⊂ R se}

a derivada f′ _{existir e for cont´ınua em A. Escrevemos ent˜}_{ao f ∈ C}1_(A).

Exemplo 5. As fun¸c˜oes sen x, cos x e ex _s˜_{ao de classe C}1 _{em R. As fun¸c˜oes ln x e}

√

x s˜ao de classe C1_{em ]0, +∞[ .}

2. Derivadas de ordem superior

Como já referimos, o cálculo da derivada duma fun¸cão f : D → R produz uma nova fun¸cão f′_{, a derivada de f , cujo dom´ınio é o conjunto dos pontos em que}

f é diferenciável. Nada nos impede então de aplicar novamente a opera¸cão de diferencia¸cão, para obter a derivada de f′_{, que dizemos ser a segunda derivada de}

f . Existem várias nota¸cões para a segunda derivada de f . As mais comuns são f′′(x) e d dx df dx = d2_f dx2

Podemos derivar de novo, obtendo a terceira derivada, e assim sucessivamente. Mais precisamente, a derivada de ordem n da fun¸c˜ao f , representada por f(n)_{, define-se}

por recorrˆencia:

• A derivada de ordem 0 de f é a própria fun¸cão: f(0)_{= f}

• A derivada de ordem n + 1 de f ´e a fun¸c˜ao f(n+1)_{= f}(n)′_.

´

E costume representar as derivadas de ordem 1, 2 e 3 por f′_{, f}′′ _{e f}′′′

respectiva-mente. Outra nota¸cão frequente, a chamada nota¸cão de Leibnitz, é f(n)(x) = d

n_f

dxn

Exemplo 6. Seja f (x) = 1 + x + 2x2_{+ 3x}3_{+ 4x}4_{. Ent˜}_ao

f′_{(x) = 1 + 4x + 9x}2_{+ 16x}3 f′′_{(x) = 4 + 18x + 48x}2 f′′′(x) = 18 + 96x f(4)(x) = 96 f(5)(x) = 0 e f(n)_{(x) = 0 para qualquer n ≥ 5.}

Exemplo 7. Se f (x) = ex, ent˜ao a derivada f(n) existe para qualquer n ∈ N, e

(4)

Exemplo 8. Se f (x) = sen x, ent˜ao f′_{(x) = cos x pelo que f}′′_{(x) = (cos x)}′ ₌

− sen x. Obtemos sucessivamente

f(3)(x) = − cos x, f(4)(x) = sen x, f(5)(x) = cos x, . . . A defini¸c˜ao de fun¸c˜oes de classe C1 _{pode ser facilmente generalizada:}

Defini¸c˜ao 3: Seja f : D → R uma fun¸c˜ao, I ⊂ D um intervalo aberto.

• Dizemos que f ´e uma fun¸c˜ao de classe Cn _{em I, e escrevemos f ∈ C}n_{(I), se}

f(n) _{existir e for cont´ınua em todo o intervalo I.}

• Dizemos que f ´e uma fun¸c˜ao de classe C∞ _{em I se f ∈ C}n_{(I) para qualquer}

n ∈ N.

Repare que f ∈ C0_{(I) significa simplesmente que f ´e cont´ınua em I.}

Observação: Se f(n) _{existe ent˜}_{ao todas as derivadas f}(k) _{até à ordem n s˜}_ao

cont´ınuas pois para k < n, f(k) _{´e diferenci´avel.}

Ilustramos estas no¸c˜oes com alguns exemplos:

Exemplo 9. Consideremos a fun¸c˜ao f : R → R definida por f (x) =®0 , se x < 0;

x2_, _{se x ≥ 0.}

Ent˜ao f′_{(x) = 0 para x < 0 e f}′_{(x) = 2x para x > 0. Logo f}′₍₀+_{) = f}′₍₀−_{) = 0}

pelo que f ´e diferenci´avel em zero com derivada f′_{(0) = 0. Ou seja,}

f′(x) =®0 , se x < 0; 2x , se x ≥ 0.

Esta derivada f′_{´e cont´ınua em todo o R portanto f ∈ C}1_{(R). Calculando a segunda}

derivada obtemos para x 6= 0

f′′(x) =®0 , se x < 0; 2 , se x > 0. No entanto, f′ _{n˜ao ´e diferencivel em x = 0, porque f}′′

e(0) = f′′(0−) = 0 e fd′′(0) =

f′′₍₀+_{) = 2. Assim, f /}_{∈ C}2_(R).

Exemplo 10. _{A fun¸cão exponencial f : R → R, dada por f(x) = e}x_{, é uma fun¸cão}

de classe C∞_{(R). Para qualquer n ∈ N, a n-´esima derivada de f existe e ´e cont´ınua}

em todo o R:

f(n): R → R , dada por f(n)(x) = ex

3. Monotonia e pontos cr´ıticos

Vamos agora ver como o sinal da derivada duma fun¸cão afecta a forma do seu gráfico. Uma fun¸cão crescente tem taxa de varia¸cão ∆f_∆x positiva em qualquer in-tervalo, e em particular, _dxdf ≥ 0. Analogamente, dxdf ≤ 0 para qualquer fun¸cão f

(5)

decrescente. Vamos agora ver que o rec´ıproco tamb´em ´e verdade, desde que f esteja definida num intervalo:

Teorema 4: Dada uma fun¸cão f cont´ınua em [a, b] e diferenciável em ]a, b[ temos: (a) Se f′ _{= 0 em ]a, b[ ent˜}_{ao f é constante em [ a, b ];}

(b) Se f′ _{> 0 em ]a, b[ ent˜}_{ao f ´e crescente em [ a, b ];}

(c) Se f′ _{< 0 em ]a, b[ ent˜}_{ao ´e decrescente em [ a, b ].}

Demonstrac¸˜ao. Pelo teorema de Lagrange, dados quaisquer x1, x2 ∈ [a, b] com

x1< x2, existe um c ∈ ]x1, x2[ tal que

f (x2) − f(x1)

x2− x1

= f′_(c)

ou, escrito doutro modo,

f (x2) − f(x1) = f′(c)(x2− x1)

Assim, ∆f = f (x2) − f(x1) tem o mesmo sinal de f′(c):

(a) Se f′ _{= 0 em ]a, b[ ent˜}_{ao f}′_{(c) = 0 logo f (x}₁_{) = f (x}₂_{) para quaisquer}

x1, x2∈ [ a, b ]. Portanto f ´e constante.

(b) Se f′ _{> 0 em ]a, b[ ent˜}_{ao f}′_{(c) > 0 logo f (x}

2) > f (x1). Concluimos que f ´e

crescente.

(c) Se f′ _{< 0 em ]a, b[ ent˜}_{ao f}′_{(c) < 0 logo f (x}₂_{) < f (x}₁_{) portanto f ´e}

decres-cente.

Exemplo 11. _{Consideremos a fun¸c˜ao f : [−1, 2] → R definida por f(x) = x}3_{− x.}

A derivada f′_{(x) = 3x}2_{− 1 ´e uma par´abola com zeros em x = ±1/}√_{3. Assim:}

• f′_{(x) > 0 em ] − 1, −1/}√_{3[ e em ]1/}√_{3, 2[ logo f ´e crescente em [ −1, 1/}√_{3 ]}

e em [ 1/√3, 2 ] (mas n˜ao na uni˜ao!);

• f′_{(x) < 0 em ] − 1/}√_{3, 1/}√_{3[ logo f ´e decrescente em [ −1/}√_{3, 1/}√_{3 ].}

´

E costume representar o comportamento de f e f′ _{numa tabela:}

−1/√3 1/√3

f′ ₊ ₀ ₋ ₀ ₊

f ր ց ր

´

E claro observando a tabela que o ponto x = −1/√3 ´e um m´aximo local e o ponto

x = 1/√3 ´e um m´ınimo local de f .

No exemplo 11 vimos que o sinal da derivada não só nos permite estudar a mono-tonia da fun¸cão mas também nos permite detectar máximos e m´ınimos locais, que ocorrem em pontos onde a derivada se anula.

(6)

• Se f é crescente em [ a, c ] e decrescente em [ c, b ] então c é um máximo local de f .

• Se f é decrescente em [ a, c ] e crescente em [ c, b ] então c é um m´ınimo local de f .

Deixamos a demonstra¸c˜ao como exerc´ıcio.

Defini¸c˜ao 6: Um ponto c onde f′_{(c) = 0 chama-se um ponto cr´ıtico de f .}

Máximos e m´ınimos locais são pontos cr´ıticos mas há pontos cr´ıticos que não são nem máximos nem m´ınimos. O estudo do sinal da derivada permite-nos distinguir estas situa¸cões:

Exemplo 12. Seja f (x) = 3x4_{− 4x}3_{. Ent˜}_{ao f}′_{(x) = 12x}3_{− 12x}2_{= 12x}2_{(x − 1).}

f′ _{anula-se em 0, 1 e o seu sinal ´e o sinal de x − 1:}

0 1

f′ _{− 0 −} ₀ ₊

f ց ց min. ր

Assim, f é decrescente para x ≤ 1 e crescente para x ≥ 1, tendo um m´ınimo absoluto em x = 1. x = 0 é um ponto cr´ıtico mas não é um extremo de f .

4. Concavidade

Dizemos que uma par´abola ax2_{+ bx + c tem a concavidade voltada para cima se}

a > 0 e voltada para baixo se a < 0. Podemos generalizar esta no¸cão a outras fun¸cões diferenciáveis:

Defini¸cão 7 (Concavidade): Seja f : D → R uma fun¸cão diferenciável, A ⊂ D. Dizemos que

(a) f ´e convexa em A, ou f tem a concavidade voltada para cima em A, se o gr´afico de f estiver por cima de todas as suas rectas tangentes, ou seja, se

f (x) ≥ f(a) + f′_{(a)(x − a)}

para quaisquer a, x ∈ A.

(b) f é côncava em A, ou f tem a concavidade voltada para baixo em A, se o gráfico de f estiver por baixo de todas as suas rectas tangentes, ou seja, se

f (x) ≤ f(a) + f′_{(a)(x − a)}

(7)

Figura 1. Fun¸cão convexa (à esquerda) e côncava (à direita).

Exemplo 13. Seja f (x) = cx2_{. A recta tangente ao gr´}_{afico de f num ponto a ´e}

y = f (a) + f′_{(a)(x − a) = c a}2_{+ 2c a(x − a)}

Comparando com f (x) temos

f (x) − f(a) + f′_{(a)(x − a)}_{= c x}2

− c a2− 2c a x + 2c a2 = c x2− 2a x + a2 = c(x − a)2

Assim, o gr´afico de f est´a por cima da recta tangente para c > 0 e por baixo da recta tangente para c < 0. Portanto o sinal de c determina a concavidade da

par´abola, como era de esperar.

Observando a figura 1 vemos que, se f tem a concavidade voltada para cima, o declive da recta tangente aumenta `a medida que x aumenta, portanto f′_{´e crescente.}

Assim, a sua derivada (f′₎′ _{= f}′′ _{≥ 0 ´e positiva. Analogamente, se a concavidade}

estiver voltada para baixo, f′_{´e decrescente pelo que f}′′_{≤ 0. Reciprocamente temos}

o

Teorema 8: Seja f uma fun¸c˜ao duas vezes diferenci´avel num intervalo aberto I = ]a, b[ .

(1) Se f′′_{(x) > 0 em I, ent˜}_{ao f tem a concavidade voltada para cima em I.}

(2) Se f′′_{(x) < 0 em I, ent˜}_{ao f tem a concavidade voltada para baixo em I.}

Demonstração. Provaremos apenas (1) pois a demonstra¸cão de (2) é completa-mente análoga. Queremos mostrar que para quaisquer x, a ∈ I,

f (x) ≥ f(a) + f′_{(a)(x − a)}

Para x = a n˜ao h´a nada a demonstrar. Vamos assumir que x > a deixando o caso x < a como exerc´ıcio. Pelo teorema de Lagrange existe um c ∈ ]a, x[ tal que

f (x) − f(a)

x − a = f′(c)

Como f′′_{(x) > 0, f}′ _{´e crescente. Assim, como c > a, f}′_{(c) > f}′_(a):

f′_{(c) =} f (x) − f(a)

x − a > f

(8)

Como x > a, podemos multiplicar por x − a sem alterar o sentido da desigualdade: f (x) − f(a) > f′(a)(x − a)

Assim, f ´e convexa em I.

Exemplo 14. Voltamos ao exemplo 11 em que f (x) = x3_{− x. Como f}′′_{(x) = 6x,}

temos que:

f′′_{(x) < 0 para x < 0 e f}′′_{(x) > 0 para x > 0.}

Assim o gráfico de f tem a concavidade voltada para baixo em ] − 1, 0[ e a conca-vidade voltada para cima em ]0, 2[ . Juntando esta informa¸cão com a informa¸cão obtida no exemplo 11 podemos construir a tabela:

−1/√3 0 1/√3

f′ ₊ ₀ ₋ ₋ ₋ ₀ ₊

f′′ ₋ ₋ ₋ ₀ ₊ ₊ ₊

f ր ∩ max. ց ∩ ց ∪ min. ր ∪

Podemos agora esbo¸car o gr´afico de f .

GRAFICO

No exemplo 14 o ponto x = 0 é um ponto em que a concavidade muda de sentido: a fun¸cão é côncava à esquerda de zero e convexa à direita. Chamamos a x = 0 um ponto de inflexão:

Defini¸cão 9 (Ponto de inflexão): Dizemos que f tem um ponto de inflexãoem c se existir um δ > 0 tal que f é convexa num dos intervalos ]c − δ, c[ ou ]c, c + δ[ e côncava no outro.

Exemplo 15. Voltamos ao exemplo 12 em que f (x) = 3x4_{− 4x}3_{. Ent˜}_{ao f}_′′_{(x) =}

36x2_{− 12x. A segunda derivada ´e uma par´abola com zeros em x = 0 e x =} 1 3.

Assim

• f′′_{(x) < 0 para 0 < x <} 1

3 logo f tem a concavidade voltada para baixo no

intervalo0,1 3

;

• f′′_{(x) > 0 para x < 0 e x >} 1

3 logo f tem a concavidade voltada para cima

nos intervalos ] − ∞, 0[ e1 3, +∞

;

• Assim, os pontos 0 e 13 s˜ao pontos de inflex˜ao.

Juntando esta informa¸c˜ao com a informa¸c˜ao obtida no exemplo 12 podemos cons-truir a tabela:

0 1/3 1

f′ ₋ ₀ ₋ ₋ ₋ ₀ ₊

f′′ ₊ ₀ ₋ ₀ ₊ ₊ ₊

(9)

Podemos agora esbo¸car o gr´afico de f , tendo em conta que f′_{(0) = 0 logo a tangente}

ao gr´afico ´e horizontal nesse ponto.

GRAFICO

Se c ´e um ponto cr´ıtico de f (isto ´e, f′_{(c) = 0) ent˜}_{ao a recta tangente ao gr´}_{afico de}

f em c é horizontal. Se f for convexa numa vizinhan¸ca V de c então o gráfico está por cima da sua recta tangente:

f (x) ≥ f(a) + f′_{(a)(x − a) = f(a) para x ∈ V}

Portanto a fun¸c˜ao tem um m´ınimo em c. Esta observa¸c˜ao leva-nos ao

Teorema 10: Seja f uma fun¸cão diferenciável no intervalo I =]a, b[ e c ∈ I um ponto cr´ıtico de f . Então

(a) Se f′′_{(c) > 0, a fun¸c˜ao f tem um m´ınimo local em c;}

(b) Se f′′_{(c) < 0, a fun¸c˜ao f tem um m´aximo local em c.}

Demonstração. Vamos apenas provar (a) pois a demonstra¸cão para (b) é comple-tamente análoga. Se assumirmos que f′′_{é cont´ınua ent˜}_{ao, como f}′′_{(c) > 0, f}′′_{> 0}

numa vizinhan¸ca de c logo f ´e convexa numa vizinhan¸ca de c. Pelas oberva¸c˜oes

acima, f tem um m´ınimo local em c.

Sem assumir que f′′

é cont´ınua a demonstra¸cão é um pouco mais complicada. Que-remos mostrar que existe uma vizinhan¸ca de c na qual f (x) ≥ f (c). Se f′′

(c) > 0, f′′ (c) = f′′ d(c) = lim x→c+ f′ (x) − f′ (c) x − c = limx→c+ f′ (x) x − c > 0

Assim, para x > c suficientemente pr´oximo de c podemos garantir que f′(x) x−c > 0.

Como x > c, concluimos que f′

(x) > 0. Mais precisamente, existe um δ1 > 0 tal

que

c < x < c + δ1=⇒ f ′

(x) > 0

Mas ent˜ao f ´e crescente no intervalo [ c, c + δ1[ pelo que f (x) ≥ f (c) nesse intervalo.

Analogamente, usando o facto que f′′

e(c) > 0 concluimos que existe um δ2tal que

c + δ2< x < c =⇒ f′ (x) x − c> 0 logo f ′ (x) < 0 pois x < c

Mas ent˜ao f ´e decrescente no intervalo ]c−δ2, c ] pelo que f (x) ≥ f (c) nesse intervalo.

Assim f (x) ≥ f (c) no intervalo ]c − δ2, c + δ1[ . Agora basta tomar δ = min{δ1, δ2}.

Ent˜ao f (x) ≥ f (c) em Vδ(c) ⊂ ]c − δ2, c + δ1[ logo c ´e um m´ınimo local de f .

Exemplo 16. Voltamos de novo à fun¸cão f (x) = x3− x. Os pontos cr´ıticos de f são x = ±_√1

3. Como f′′(x) = 6x, temos que:

f′′ Å −√1 3 ã = −√6 3 < 0 e f ′′ Å ₁ √ 3 ã = √6 3 > 0

logo x = −1/√3 é um máximo local e x = 1/√3 é um m´ınimo local. Esta mesma informa¸cão tinha sido obtida anteriormente analisando directamente o sinal da

(10)

Exemplo 17. Voltamos de novo `a fun¸c˜ao f (x) = 3x4_{− 4x}3_{. Os pontos cr´ıticos de}

f s˜ao x = 0 e x = 1. Como f′′_{(x) = 36x}2_{− 12x, temos que}

f′′_{(0) = 0 e} _f′′_{(1) = 24 > 0}

logo x = 1 é um m´ınimo local, como aliás já sab´ıamos. Como f′′_{(0) = 0 a segunda}

derivada n˜ao nos diz nada sobre o ponto x = 0. Como vimos anteriormente, este

ponto não é nem máximo nem m´ınimo local.

Exemplo 18. Sabendo apenas que f′′_{(c) = 0 nada podemos concluir sobre a}

na-tureza do ponto cr´ıtico c. Por exemplo, qualquer uma das fun¸c˜oes u(x) = x3_,

v(x) = x4_{e w(x) = −x}4 _{tem um ponto cr´ıtico em x = 0, e u}_′′_{(0) = v}_′′_{(0) = w}_′′_(0).

(11)

Aula 17: Assmptotas, regra de Cauchy

5. Limites no infinito e ass´ımptotas horizontais

Para tra¸car o gráfico duma fun¸cão, para além de determinar os intervalos de mo-notonia e estudar a concavidade, é necessário perceber também o chamado com-portamento assimptótico da fun¸cão, isto é, entender o que acontece para valores de x arbitrariamente grandes (positivos ou negativos). Se f se aproximar arbitraria-mente dum valor L ∈ R dizemos que f tende para L quando x tende para infinito.1 Mais precisamente:

Defini¸c˜ao 11: Dizemos que lim

x→+∞f (x) = L se dado qualquer ε > 0 existir um

N > 0 tal que

x > N ⇒ |f(x) − L| < ε (x ∈ D) Analogamente, dizemos que lim

x→−∞f (x) = L se dado qualquer ε > 0 existir um

N > 0 tal que

x < −N ⇒ |f(x) − L| < ε (x ∈ D) Por palavras, lim

x→+∞f (x) = L se pudermos tornar f (x) arbitrariamente pr´oximo

de L escolhendo para tal qualquer x suficientemente grande e positivo. Como |f(x) − L| < ε é equivalente a L − ε < f(x) < L + ε, podemos interpretar o limite em termos do gráfico de f do seguinte modo: para x > N o gráfico de f permanece entre as duas rectas horizontais y = L − ε e y = L + ε.

FIGURA

Portanto o gr´afico de f vai estar arbitrariamente pr´oximo da recta y = L para x suficientemente grande e positivo. Chamamos a esta recta uma ass´ımptota hori-zontal:

Defini¸cão 12: Dizemos que a recta y = L é uma ass´ımptota horizontal à direita do gráfico de f se lim

x→+∞f (x) = L.

Dizemos que a recta y = L é uma ass´ımptota horizontal à esquerda do gráfico de f se lim

x→−∞f (x) = L.

Exemplo 19. Vamos ver que lim

x→+∞arctan x = π

2. Dado um ε > 0 queremos

encontrar um N > 0 tal que

x > N ⇒ | arctan x − π/2| < ε Como arctan x < π/2,

| arctan x − π/2| < ε ⇔ π/2 − arctan x < ε ⇔ arctan x > π/2 − ε

⇔ x > tan(π/2 − ε) pois arctan ´e crescente

(12)

Assim, basta tomar N = tan(π/2 − ε). De maneira an´aloga podemos verificar que lim x→−∞arctan x = − π 2. ε N

Figura 2. Limite quando x → +∞ do arco-tangente Exemplo 20. Vamos mostrar que lim

x→−∞e

x_{= 0. Dado ε > 0 queremos encontrar}

um N > 0 tal que

x < −N ⇒ |ex− 0| < ε Como ex_{> 0 para todo o x temos}

|ex− 0| < ε ⇔ ex< ε

⇔ x < ln ε pois ex_{´e crescente}

Assim, basta tomar N = − ln ε.

Podemos aproveitar o cálculo de limites para esbo¸car os gráficos das fun¸cões: Exemplo 21. A fun¸cão f (x) = ex _{tem uma ass´ımptota horizontal à esquerda:}

y = 0. Assim, o seu gr´afico vai estar arbitrariamente pr´oximo da recta y = 0 para valores de x suficientemente grandes e negativos. f′_{(x) = f}′′_{(x) = e}x _{> 0 logo f}

´e crescente e tem sempre a concavidade voltada para cima. Com esta informa¸c˜ao

podemos esbo¸car o gr´afico de f .

GRAFICO

Exemplo 22. A fun¸cão f (x) = arctan x tem duas ass´ımptotas horizontais: y = π₂ à direita e y = −π2 à esquerda. Assim, o gráfico de arctan vai estar arbitrariamente

pr´oximo de y =π₂ para x ≫ 0 e de y = −π2 para x ≪ 0. f′(x) = 1

1+x2 > 0 logo f é crescente, como aliás já sab´ıamos. A segunda derivada é

(13)

Assim f′′_{(x) ≥ 0 para x ≤ 0 e f}′′_{(x) ≤ 0 para x ≥ 0 portanto f tem a concavidade}

voltada para cima em R− _{e voltada para baixo em R}+_{, sendo x = 0 um ponto de}

inflex˜ao. Podemos agora esbo¸car o gr´afico de arctan x.

-6 -4 -2 2 4 6 -Π 2 Π 2

Figura 3. Gr´afico do arco-tangente

6. Limites infinitos e substitui¸

c˜

oes

Podemos também definir limites infinitos. A defini¸cão é análoga à defini¸cão de limite infinito num ponto a ∈ R.

Defini¸c˜ao 13: Dizemos que • lim

x→+∞f (x) = +∞ se dado qualquer M > 0 existir um N > 0 tal que

x > N ⇒ f(x) > M (x ∈ D) • lim

x→+∞f (x) = −∞ se dado qualquer M > 0 existir um N > 0 tal que

x > N ⇒ f(x) < −M (x ∈ D) • lim

x→−∞f (x) = +∞ se dado qualquer M > 0 existir um N > 0 tal que

x < −N ⇒ f(x) > M (x ∈ D) • lim

x→−∞f (x) = −∞ se dado qualquer M > 0 existir um N > 0 tal que

x < −N ⇒ f(x) < −M (x ∈ D) Exemplo 23. Vamos ver que lim

x→+∞e x

= +∞. Dado M > 0 queremos encontrar um N > 0 tal que

x > N ⇒ ex_{> M}

Mas ex_{> M ´e equivalente a x > ln M logo podemos tomar N = ln M .}

Exemplo 24. lim

x→+∞x = +∞: podemos simplesmente na defini¸c˜ao de limite tomar

N = M .

Os teoremas sobre limites quando x → a, a ∈ R, são também válidos para limites quando x → ±∞ sendo a demonstra¸cão praticamente idêntica.

(14)

Exemplo 25. J´a vimos que lim

x→+∞x = +∞. Podemos concluir de imediato que

• lim x→+∞x n = +∞ para qualquer n ∈ N; • lim x→+∞1/x = 1/∞ = 0; • lim x→+∞(x + x 2 + 3) = +∞ + ∞ + 3 = +∞.

O teorema sobre o limite duma composi¸cão de fun¸cões pode ser extendido ao caso de limites quando x → ±∞. Recorde que eR_{= R ∪ {−∞, +∞}. Temos então} Teorema 14: Seja a ∈ eR_{. Se} (1) lim x→ag(x) = b ∈ e R_, (2) lim u→bf (u) = c ∈ e R _e (3) g(x) 6= b para x 6= a, Então lim

x→af (g(x)) = limu→bf (u) = c

Exemplo 26. Queremos calcular lim

x→+∞e −x2_{. Seja u = −x}2_{. Ent˜}_{ao u → −∞} quando x → +∞ logo lim x→+∞e −x2 = lim u→−∞e u_{= 0} A substitui¸cão u = 1/x é frequentemente útil pois transforma um limite quando x → ∞ num limite quando u → 0:

x→+∞x sen 1 x

Escrevendo u = _x1 vemos que x sen _x1= 1_usen u. Quando x → +∞, u → 0 logo lim x→+∞x sen 1 x = lim u→0 sen u u = 1

x→+∞ln x. Seja u = 1 x. Ent˜ao u → 0 + _quando x → +∞, logo lim x→+∞ln x = limu→0+ln 1 u = − limu→0+ln u = +∞

O conhecimento dos limites em 0+ _{e em +∞ ajuda-nos a tra¸car o gr´afico do}

loga-ritmo. Como (ln x)′₌ 1

x> 0 e (ln x)′′= − 1

x2 < 0, ln x é uma fun¸cão crescente com concavidade voltada para baixo. Podemos agora tra¸car o gráfico do logaritmo que, como seria de esperar, é a reflexão na recta y = x do gráfico da exponencial.

(15)

2 4 6 8 10 -3 -2 -1 1 2 3

Figura 4. Gr´afico da fun¸c˜ao logaritmo natural

7. Ass´ımptotas obl´ıquas

Comecemos por estudar um exemplo:

Exemplo 29. Vamos estudar a fun¸c˜ao f (x) = _x+1x2 . O dom´ınio de f ´e R \ {−1}. lim

x→−1+f (x) = +∞ e _x→−1lim−f (x) = −∞

Portanto f tem uma ass´ımptota vertical em x = −1. Para calcular os limites no infinito observamos que

x2

x + 1 = x

1 + 1/x logo x→±∞lim f (x) = ±∞

Para melhor compreender o comportamento da fun¸c˜ao vamos dividir os polin´omios:

x2 x + 1 −x2_{− x} _{x − 1} − x x + 1 1 Assim, x2 x + 1 = x − 1 + 1 x + 1 Agora observemos que lim

x→±∞

1

x + 1 = 0. Portanto, para valores grandes de x, f (x) ≈ x − 1. Mais concretamente,

lim

x→±∞ f (x) − (x − 1)

= 0

(16)

Dizemos que a recta y = x − 1 é uma ass´ımptota obl´ıqua do gráfico de f. Para terminar o estudo da fun¸cão vamos determinar a sua monotonia e concavidade. Derivando obtemos

f′(x) = 1 − _{(x + 1)}1 2 =

x2_{+ 2x}

(x + 1)2

f′ _{anula-se nos pontos −2, 0 e o seu sinal ´e o sinal da par´abola x}2_{+ 2x:}

−2 −1 0

f′ ₊ ₀ _{− s.s. −} ₀ ₊

f ր max. ց s.s. ց min. ր

Calculando a segunda derivada obtemos f′′_{(x) =} 2

(x + 1)3

Assim o sinal de f′′ _{´e o sinal de x + 1. Portanto f tem a concavidade voltada}

para cima em ] − 1, +∞[ e tem a concavidade voltada para baixo em ] − ∞, −1[ . Juntando toda a informa¸c˜ao obtemos a tabela

−2 −1 0

f′ ₊ ₀ ₋ _s.s. ₋ ₀ ₊

f′′ ₋ ₋ ₋ _s.s. ₊ ₊ ₊

f ր ∩ max. ց ∩ s.s. ց ∪ min. ր ∪

Podemos agora tra¸car o gr´afico de f .

-6 -4 -2 2 4 -8 -4 4 Figura 5. Gr´afico de x2 x+1

(17)

Defini¸c˜ao 15 (Ass´ımptotas obl´ıquas): Seja f : I → R uma fun¸c˜ao definida num intervalo I. Dizemos que

• A recta y = m x + b é uma ass´ımptota obl´ıqua à esquerda ao gráfico de f se lim

x→−∞(f (x) − (m · x + b)) = 0.

• A recta y = m x + b é uma ass´ımptota obl´ıqua à direita ao gráfico de f se lim

x→+∞(f (x) − (m · x + b)) = 0.

Exemplo 30. Como lim

x→−∞e

x _{= 0, a fun¸c˜ao f (x) = e}x_{− x tem a recta y = −x}

como ass´ımptota obl´ıqua `a esquerda pois lim

x→−∞ f (x) − (−x)

= 0.

Só em casos simples como no exemplo 30 é fácil adivinhar directamente quais as ass´ımptotas duma fun¸cão. Em geral, para determinar as ass´ımptotas duma fun¸cão usamos o

Teorema 16: Seja f uma fun¸cão definida num intervalo da forma ]−∞, a[ (a ∈ R). Então a recta y = mx + b é uma ass´ımptota obl´ıqua à esquerda do gráfico de f se e só se

m = lim

x→−∞

f (x)

x e b = limx→−∞(f (x) − m x)

Analogamente, se f é uma fun¸cão definida num intervalo da forma ]a, +∞[, a recta y = mx + b é uma ass´ımptota obl´ıqua à direita do gráfico de f se e só se

m = lim

x→+∞

f (x)

x e b = limx→+∞(f (x) − m x)

Demonstração. Veremos apenas o caso das ass´ımptotas à esquerda. Se y = mx + b for uma ass´ımptota obl´ıqua à esquerda, dividindo f (x) − (mx + b) por x temos que 0 = lim x→−∞ f (x) − (mx + b) x = limx→−∞ Å_{f (x)} x − m − b x ã = lim x→−∞ f (x) x − m Assim, m = lim

x→∞f (x)/x. Uma vez calculado m, b ´e f´acil de calcular:

Como f (x) − (mx + b) → 0 , ent˜ao f (x) − mx → b Reciprocamente, os limites m = lim x→−∞ f (x) x e b = limx→−∞(f (x) − m x) existirem, Como b = lim

x→−∞(f (x) − m x) segue que x→−∞lim f (x) − (m x + b)

= 0 portanto y = mx + b é uma ass´ımptota obl´ıqua à esquerda. A demonstra¸cão para ass´ımptotas à direita é completamente análoga.

(18)

Exemplo 31. Seja f (x) =√1 + x2_{. Ent˜}_{ao, como x = ±}√_x2_, f (x) x = √ 1 + x2 x = (» 1+x2 x2 x > 0 −»1+xx22 x < 0 Assim, lim x→−∞ f (x) x = − limx→−∞ … 1 + x2 x2 = − lim_x→−∞ … 1 + 1 x2 = −1 lim x→+∞ f (x) x = limx→+∞ … 1 + x2 x2 = lim_x→+∞ … 1 + 1 x2 = 1

Consideremos primeiro a ass´ımptota `a esquerda. Vimos que m = −1. Para calcular b tomamos o limite lim x→−∞ f (x) − mx = lim x→−∞ p 1 + x2_{+ x} = lim x→−∞ √ 1 + x2_{+ x} √_{1 + x}2_{− x} √ 1 + x2_{− x} = lim x→−∞ 1 + x2_{− x}2 √ 1 + x2_{− x} = lim x→−∞ 1 √ 1 + x2_{− x} = 0

Assim b = 0 logo a recta y = −x é a ass´ımptota à esquerda de f. Para a ass´ımptota à direita, m = 1 e de forma análoga vemos que

lim x→+∞ f (x) − mx = lim x→+∞ p 1 + x2_{− x}_{= 0}

Portanto y = x ´e a ass´ımptota `a direita de f .

-4 -2 2 4 2 4 y = x y = −x y =√1 + x2 Figura 6. Gr´afico de√1 + x2

Resumindo, o problema do tra¸cado do gráfico de uma fun¸cão f passa por determinar • simetrias, se as houver (a fun¸cão é ´ımpar? é par? é periódica?)

(19)

• o dom´ınio da fun¸c˜ao e eventuais ass´ımptotas verticais • monotonia, m´aximos e m´ınimos locais

• concavidade e pontos de inflex˜ao • ass´ımptotas horizontais ou obl´ıquas

Exemplo 32. _{Vamos estudar a fun¸c˜ao f (x) = x · e}1/x _{e esbo¸car o seu gr´}_afico.

• Dom´ınio e ass´ımptotas verticais: O dom´ınio de f é o conjunto D = R \ {0}. f é cont´ınua logo o único ponto onde f pode ter uma ass´ımptota vertical é o ponto zero. Temos que

lim

x→0−f (x) = lim x→0−x · e

1/x

= 0 · e−∞ = 0 , Precisamos tamb´em de calcular o limite

lim

x→0+f (x) = lim x→0+x · e

1/x

Este limite é dif´ıcil de calcular directamente (ver os exerc´ıcios no fim da seçcão). Voltaremos a este limite na seçcão 8 onde vamos ver como calcular facilmente este tipo de limites. Para já usamos o resultado sem o demonstrar:

lim

x→0+x · e 1/x

= +∞

A recta vertical x = 0 é por isso uma ass´ımptota vertical ao gráfico de f . • Intervalos de monotonia e extremos: A fun¸cão f é diferenciável em D =

R_{\ {0}, com derivada f}′_{: D → R dada por} f′_{(x) = e}1/x

Å 1 − 1_x

ã .

Como a exponencial é sempre positiva, a determina¸cão do sinal algébrico de f′ _{não tem quaisquer dificuldades:}

f′_{(x) =}      > 0 , se x ∈ ]−∞, 0[ ∪ ]1, +∞[; = 0 , se x = 1; < 0 , se x ∈ ]0, 1[;

logo conclu´ımos que f é crescente nos intervalos ] − ∞, 0[ e ]1, +∞[ (mas não necessariamente na união!) e decrescente em ]0, 1[ . f tem apenas um ponto cr´ıtico, em x = 1, que é obviamente um m´ınimo local. A origem x = 0 não pertence ao dom´ınio da fun¸cão.

0 1

f′ ₊ _s.s. ₋ ₀ ₊

f ր s.s. ց min. ր

• Concavidade e Inflexões: A derivada f′ _{é também diferenciável em D, com}

derivada f′′_{: R \ {0} → R dada por}

f′′(x) =e

1/x

(20)

O sinal de f′′ _{´e o sinal de 1/x}3 _{logo f tem a concavidade voltada para baixo}

em ] − ∞, 0[ e a concavidade voltada para cima em ]0, +∞[ . f não tem pontos de inflexão (x = 0 não é um ponto de inflexão, porque não pertence ao dom´ınio de f ).

0 1

f′ ₊ _s.s. ₋ ₀ ₊

f′′ ₋ _s.s. ₊ ₊ ₊

f ր ∩ s.s. ց ∪ min. ր ∪

• Ass´ımptotas horizontais e obl´ıquas: Como f → ±∞ quando x → ±∞, f n˜ao tem ass´ımptotas horizontais. Como

lim

x→±∞

f (x)

x = limx→±∞e

1/x_{= e}0_{= 1}

as ass´ımptotas obl´ıquas, se existirem, têm declive m = 1. Passamos a calcular lim x→±∞(f (x) − x) = limx→±∞(x · e 1/x − x) = lim x→±∞ e1/x_{− 1} 1/x = limy→0± ey_{− 1} y = 1 (onde se fez a substitui¸cão y = 1/x). Conclu´ımos que a recta de equa¸cão y = x + 1 é uma ass´ımptota ao gráfico de f , tanto à direita como à esquerda.

A figura 7 apresenta o gr´afico de f .

-4 -2 2 4 -3 -1 1 3 5

Figura 7. Esbo¸co do gr´afico de f (x) = x ex1

8. Indetermina¸

c˜

oes e o teorema de Cauchy

O estudo do comportamento assimptótico de fun¸cões conduz-nos frequentemente a limites dif´ıceis de calcular. Foi esse o caso no exemplo 32 da seçcão 7 onde nos deparámos com o limite

lim

x→0+x exp Å₁

x ã

(21)

Limites complicados podem também aparecer ao calcular a derivada de certas fun¸cões. A fun¸cão do próximo exemplo tem propriedades importantes. Voltare-mos a encontrá-la.

Exemplo 33. Seja f o prolongamento por continuidade de e−1/x2 a R: f (x) =®e−1/x

2

x 6= 0

0 x = 0

Verifica-se facilmente que f ´e cont´ınua mas para calcular a sua derivada na origem deparamo-nos com o limite

lim x→0 e−1/x2 − 0 x = limx→0 1 xe −1/x2

Para o c´alculo deste limite ver o exemplo 39.

Vamos agora estudar uma t´ecnica poderosa para calcular este tipo de limites.

9. A regra de Cauchy

Recorde que, sempre que no c´alculo de limites nos depararmos com uma das ex-press˜oes

∞ − ∞ ± ∞ · 0 0₀ ±∞

±∞

dizemos que o cálculo nos conduz a uma indetermina¸cão. Para o cálculo deste tipo de limites é de grande utilidade a chamada Regra de Cauchy:

Teorema 17 (Regra de Cauchy): Seja I = ]a, b[ com a, b ∈ eR _{e sejam f, g} fun¸c˜oes diferenci´aveis para x 6= a, com g′_{(x) 6= 0 para x 6= a. Se uma das seguintes}

condi¸c˜oes se verificar (1) lim

x→a+f (x) = lim_x→a+g(x) = 0 (indetermina¸c˜ao 0 0) ou

(2) lim

x→a+f (x) = ±∞ e lim_x→a+g(x) = ±∞ (indetermina¸c˜ao ∞ ∞)

e o limite do quociente f_g′′(x)_(x) existir em eRent˜ao lim x→a+ f (x) g(x) = limx→a+ f′_(x) g′_(x)

Um resultado análogo é válido para limites quando x → b−_.

A regra de Cauchy não se aplica só a limites laterais. É também útil enunciar uma versão da regra de Cauchy aplicável a limites do tipo x → a:

Teorema 18: Seja I um intervalo aberto e a ∈ I. Se f e g são fun¸cões definidas e diferenciáveis para x 6= a, com g′_{(x) 6= 0 para x 6= a, e os limites lim}

(22)

lim

x→ag(x) s˜ao ambos nulos, ou ambos infinitos, e se o limite limx→a

f′_(x) g′_(x) existir em eR ent˜ao lim x→a f (x) g(x) = limx→a f′_(x) g′_(x)

Demonstração. É uma consequência imediata da equivalência lim

x→ah(x) = L ⇔ x→alim+h(x) = lim_x→a−h(x) = L

Demonstraremos a regra de Cauchy na seçcão 11 mas deixamos aqui algumas con-sidera¸cões:

• Se f e g forem diferenci´aveis em a ∈ R ent˜ao podemos aproximar os seus valores pela recta tangente:

f (x) ≈ f(a) + f′_{(a)(x − a)}

g(x) ≈ g(a) + g′(a)(x − a) Se f (a) = lim

x→af (x) = 0 e g(a) = limx→ag(x) = 0, ent˜ao

f (x) g(x) ≈ f′_{(a)(x − a)} g′_{(a)(x − a)} = f′_(a) g′_(a) para x ≈ a

A regra de Cauchy diz-nos que lim x→a f (x) g(x) = limx→a f′_(x) g′_(x) = f′_(a) g′_(a)

Por exemplo, os limites not´aveis lim x→0 sen x x = 1 , x→0lim ex_{− 1} x , x→1lim ln x x − 1

podem ser facilmente entendidos deste modo: a aproxima¸c˜ao pela recta tan-gente diz-nos que sen x ≈ x e ex_{≈ 1 + x para x ≈ 0 e de facto}

lim x→0 sen x x = limx→0 x x = 1 , x→0lim ex_{− 1} x = limx→0 1 + x − 1 x = 1

Temos tamb´em ln x ≈ x − 1 para x ≈ 1 e lim x→1 ln x x − 1 = limx→1 x − 1 x − 1 = 1

• Se y = mx + b é uma ass´ımptota diagonal à direita ao gráfico de f e o limite lim

x→+∞f

(23)

f (x)

mx + b

Figura 8. Se o limite lim

x→+∞f ′

(x) existir ´e igual a m. A regra de Cauchy confirma a nossa intui¸c˜ao:

m = lim x→+∞ f (x) x = limx→+∞ f′_(x) 1 = limx→+∞f ′_(x)

• Vamos agora supor que lim

x→+∞f (x) = limx→+∞g(x) = +∞. Assumindo que f e

g tˆem ass´ımptotas diagonais y = m1x + b1 e y = m2x + b2 respectivamente,

temos f (x) ≈ m1x + b1 e g(x) ≈ m2x + b2 para x ≫ 0 Ent˜ao, f (x) g(x) ≈ m1x + b1 m2x + b2 e m1x + b1 m2x + b2 =m1+ b1/x m2+ b2/x → m1 m2

Efectivamente, se os limites lim

x→+∞f

′_{(x) e} _lim x→+∞g

′_{(x) existirem, a regra de}

Cauchy diz-nos que lim x→+∞ f (x) g(x) = limx→+∞ f′_(x) g′_(x) = m1 m2

Vamos agora ver alguns exemplos de aplica¸c˜ao da regra de Cauchy: Exemplo 34. Queremos calcular

lim

x→0

arctan x sen x Trata-se de uma indetermina¸c˜ao do tipo 0

0. Aplicando a regra de Cauchy obtemos

lim x→0 arctan x sen x = limx→0 (arctan x)′ (sen x)′ = lim_x→0 1 1+x2 cos x = 1

Exemplo 35. Consideremos o limite lim x→0 cos x − 1 +1 2x 2 x4

Como temos uma indetermina¸c˜ao do tipo 0₀ podemos aplicar a regra de Cauchy

lim x→0 cos x − 1 +1 2x 2 x4 = lim_x→0 − sen x + x 4x3

(24)

Continuamos com uma indetermina¸c˜ao portanto podemos continuar a aplicar a regra de Cauchy. Obtemos sucessivamente

lim x→0 − sen x + x 4x3 = lim_x→0 − cos x + 1 12x2 regra de Cauchy = lim x→0 sen x 24x regra de Cauchy = 1 24 limite not´avel

Exemplo 36. Queremos calcular o limite lim

x→+∞

sen x + x x Trata-se duma indetermina¸c˜ao do tipo ∞

∞. Aplicando a regra de Cauchy temos

lim

x→+∞

sen x + x′

(x)′ = limx→+∞ cos x + 1

Este limite não existe! A regra de Cauchy só se aplica se o limite do quociente f_g′′ existir portanto não podemos concluir nada. Temos que calcular o limite de outra forma: lim x→+∞ sen x + x x = limx→+∞ sen x x + 1 Como | sen x| ≤ 1, sen xx

≤ 1 x. Como 1 x → 0, concluimos que sen x x → 0 logo lim sen x x + 1 = 0 + 1 = 1.

Podemos combinar a regra de Cauchy com outras t´ecnicas de c´alculo de limite: Exemplo 37. Queremos calcular

lim

x→0+x e 1 x

Com a substitui¸c˜ao u = 1_x obtemos lim x→0+x e 1 x = lim u→+∞ 1 ue u

Aplicando a regra de Cauchy obtemos lim

u→+∞

eu

u = limu→+∞

(eu₎′

(u)′ = limu→+∞

eu

1 = +∞

A regra de Cauchy é apenas válida para quocientes. Para aplicar a regra de Cauchy a uma indetermina¸cão do tipo 0 ·∞ temos primeiro que transformar o produto num quociente:

(25)

H´a duas formas de transformar este produto num quociente: x ln x = x

1/ ln x = ln x 1/x Escolhemos a mais conveniente:

lim x→0+x ln x = lim_x→0+ ln x 1/x = lim x→0+ 1/x

−1/x2 (pela regra de Cauchy)

= lim

x→0+(−x) = 0

x→0

1 xe

−1/x2

que é uma indetermina¸cão 0₀. Para fazermos a substitui¸cão u = _x1, consideramos primeiro o limite à direita: quando x → 0+_{, u → +∞ pelo que}

lim x→0+ 1 xe −1/x2 = lim u→+∞u e −u2

que ´e uma indetermina¸c˜ao ∞ · 0. Para aplicar a regra de Cauchy come¸camos por escrever o limite como um quociente:

lim u→+∞u e −u2 = lim u→+∞ u eu2 = lim u→+∞ 1 2u eu2 (regra de Cauchy) = 0

De maneira inteiramente an´aloga provamos que lim

x→0− 1 xe

−1/x2

= 0. Ambos os limites à direita e à esquerda são zero logo o limite é zero. Para aplicar a regra de Cauchy a uma indetermina¸cão da forma ∞ − ∞ temos que a transformar primeiro num quociente:

x→π 2

− sec x − tan x Para tal escrevemos

sec x − tan x = _{cos x}1 −sen x_{cos x} =1 − sen x cos x Aplicando a regra de Cauchy temos

lim x→π 2 − 1 − sen x cos x = limx→π 2 − − cos x − sen x = 0

(26)

x→0+ »

1/x + 1 −»1/x Para tal escrevemos

… 1 x + 1− … 1 x = … 1 + x x − … 1 x = √ 1 + x − 1 √ x Aplicando a regra de Cauchy temos

lim x→0+ √ 1 + x − 1_√ x = limx→0+ 1 2√1+x 1 2√x = lim x→0+ √ x √ 1 + x = 0

(27)

Aula 18: Regra de Cauchy

10. Limites de potˆ

encias

Nesta seçcão vamos estudar fun¸cões da forma f (x)g(x)_{. Recorde que}

f (x)g(x)_{= exp g(x) ln f (x)}

Se soubermos que lim

x→af (x) = b e limx→ag(x) → c, e se b ∈ ]0, +∞[ , a continuidade

das fun¸c˜oes exp e ln mostra que lim x→af (x) g(x)_{= lim} x→aexp g(x) ln f (x) = explim x→ag(x) ln lim x→af (x) = ec ln b_{= b}c

Exemplo 42. Como lim

x→−1+arccos x = π e_x→−1lim+arcsen x = −π/2, lim

x→−1+ arccos x arcsen x

= π−π/2= 1/√ππ

Tal como fizemos com a soma, produto e quociente, podemos extender este resultado à recta acabada eR _{= R ∪ {−∞, +∞}. Para tal convém come¸car por extender a} opera¸cão bc_{. Usando a rela¸cão b}c_{= exp(c ln b) chegamos `}_a

Defini¸c˜ao 19 (Potˆencias na recta acabada): Seja c ∈ eR_{, c > 0. Ent˜}_ao

(+∞)c= +∞ (+∞)−c= 1 (+∞)c = 0 (0+₎c₌ Å ₁ +∞ ãc = 0 (0+₎−c₌ 1 (0+₎c = +∞

Seja agora b ∈ eR_{, b > 0. Ent˜}_ao b+∞=®+∞ b > 1 0+ _{b < 1} e b−∞= (1/b)+∞= ®0+ _{b > 1} +∞ b < 1 Não estão definidos: (+∞)0 00 1∞ Exemplo 43. lim x→+∞ n √ x = +∞, confirmando a fórmula (+∞)1/n _{= +∞.} Exemplo 44. lim x→+∞2 x_{= +∞, confirmando a fórmula 2}+∞_{= +∞.}

Podemos ent˜ao provar o

Teorema 20: Sejam f e g fun¸c˜oes tais que os limites b = lim

(28)

existem em eR_{e, ou b > 0 ou b = 0}+_{. Ent˜}_{ao, sempre que a expressão b}c_{é v´}_{alida de} acordo com as conven¸cões da defini¸cão 19 temos

lim

x→af (x)

g(x)_{= b}c

Demonstrac¸˜ao. Basta escrever fg _{= exp(g ln f ) e aplicar as regras usuais dos}

limites. Exemplo 45. lim x→0+x ln x_{= (0}+₎_−∞ = +∞

Chamamos os casos (+∞)0_{, 0}0 _{e 1}∞ _{de indetermina¸c˜oes. De facto estas}

indeter-mina¸cões derivam da indetermina¸cão ∞ · 0: bc_{= exp(c ln b) é uma indetermina¸cão}

se e s´o se c ln b for uma indetermina¸c˜ao.

• Se c = ±∞ e ln b = 0 ent˜ao b = e0_{= 1 e temos a indetermina¸c˜ao 1}∞_.

• Se c = 0 e ln b = +∞ ent˜ao b = e+∞_{= +∞ e temos a indetermina¸c˜ao ∞}0

• Se c = 0 e ln b = −∞ ent˜ao b = e−∞_{= 0 e temos a indetermina¸c˜ao 0}0

Exemplo 46. J´a encontr´amos o limite lim

u→0(1 + u) 1 u = e

Trata-se duma indetermina¸c˜ao 1∞_.

x→0+x

x_{. Trata-se duma indetermina¸c˜ao 0}0_.

lim x→0+x x_{= lim} x→0+exp x ln x = exp lim x→0+x ln x e j´a vimos que

lim x→0+x ln x = 0 Portanto lim x→0+x x_{= exp} _lim x→0+x ln x = e0= 1

x→0−(cos x) 1 sen2_x Trata-se de uma indetermina¸c˜ao do tipo 1∞_{. Temos}

lim x→0−(cos x) 1 sen2_x _{= exp} Å lim x→0− 1 sen2_xln(cos x) ã

Aplicando a regra de Cauchy temos lim x→0− ln(cos x) sen2_x = lim x→0− − sen x cos x

2 sen x cos x = − limx→0− 1

2 cos2_x = −

1 2

(29)

Assim, lim x→0−(cos x) 1 sen2_x _{= exp} Å lim x→0− 1 sen2_xln(cos x) ã = e−1 2

Exemplo 49. Para calcular lim

x→0+x sen(x)_{= lim} x→0+exp sen(x) ln(x) , basta-nos de-terminar lim x→0+sen(x) ln(x) = lim_x→0+ ln(x) 1/ sen(x).

Esta ´e uma indetermina¸c˜ao do tipo ∞/∞, e portanto aplicamos a regra de Cauchy: lim x→0+ ln(x) 1/ sen(x) = limx→0+ 1 x −sencos(x)2_(x) = − lim x→0+ sen2_(x) x · cos(x) = − lim x→0+ sen(x) x · sen(x) cos(x) = −1 · 0 1 = 0 Temos assim que

lim x→0+x sen(x)_{= lim} x→0+e sen(x) ln(x)_{= e}0_{= 1 .}

11. O teorema de Cauchy

Nesta seçcão vamos demonstrar a regra de Cauchy. Primeiro precisamos do teorema de Cauchy, uma generaliza¸cão dos Teoremas de Rolle e de Lagrange de utilidade em muitas outras situa¸cões:

Teorema 21 (Cauchy): Sejam f, g fun¸cões cont´ınuas em [ a, b ], e diferenciáveis em ]a, b[ . Então, se g′_{(x) 6= 0 para qualquer x ∈ ]a, b[ existe pelo menos um}

c ∈ [ a, b ] tal que

f (b) − f(a) g(b) − g(a) =

f′_(c)

g′_(c)

Demonstrac¸˜ao. Seja

K =f (b) − f(a) g(b) − g(a) Ent˜ao

f (b) − f(a) = K g(b) − g(a) que podemos escrever como

f (b) − Kg(b) = f(a) − Kg(a)

Assim, a fun¸c˜ao f (x) − Kg(x) toma os mesmos valores em x = a e x = b logo pelo teorema de Rolle existe um ponto c tal que f′_{(c) − Kg}′_{(c) = 0, ou seja,}

f′(c)

g′_(c) = K.

Podemos agora demonstrar a regra de Cauchy. Come¸camos por provar o caso das indetermina¸c˜oes 0/0:

(30)

Demonstração. Dividimos a demonstra¸cão em dois casos:

(1) Consideramos primeiro o caso em x → a+ _{com a ∈ R. Assumimos que}

lim

x→a+f (x) = lim_x→a+g(x) = 0. Ent˜ao as fun¸c˜oes F, G : [ a, b[ → R definidas por F (x) =®f(x) x 6= a

0 x = a e G(x) =

®g(x) x 6= a

0 x = a

s˜ao cont´ınuas em a. Pelo teorema de Cauchy, para cada x ∈ ]a, b[ , existe um cx∈ ]a, x[ tal que

F (x) G(x) = F (x) − F (a) G(x) − G(a) = F′_(c x) G′_(c_x₎

Agora fazemos a substitui¸c˜ao u = cx. Como a < cx < x, quando x → a+

temos u → a+ _logo lim x→a+ F (x) G(x)= limx→a+ F′_(c_x₎ G′_(c_x₎ = lim_u→a+ F′_(u) G′_(u).

Basta agora observar que para x 6= a, f(x) = F (x) e g(x) = G(x). Concluimos que lim x→a+ f (x) g(x) = limx→a+ f′_(x) g′_(x)

(2) Vamos agora considerar o caso em que x → +∞. Seja t = 1x. Ent˜ao t → 0+.

Se f_g conduz a uma indetermina¸c˜ao da forma 0₀ e o limite limf_g′′ existir ent˜ao

lim x→+∞ f (x) g(x) = limt→0+ f 1_t g 1_t = lim t→0+ f′ 1 t −t12 g′ 1 t −t12 (regra de Cauchy) = lim t→0+ f′ 1 t g′ 1 t = lim x→+∞ f′_(x) g′_(x)

Os casos em que x → b− _{e x → −∞ demonstram-se de forma completamente}

an´aloga.

O caso das indetermina¸c˜oes ∞/∞ ´e mais complicado:

Demonstra¸c˜ao: Vamos apenas fazer o caso em que x → a+_{com a ∈ R. O caso x →}

+∞ pode ent˜ao ser demonstrado exactamente como foi feito para indetermina¸c˜oes 0/0.

Vamos assumir que lim

x→a+g(x) = +∞ (o caso em que g(x) → −∞ ´e completamente

an´alogo).2 _{Seja a ∈ R, lim} x→a+

f′

(x)

g′_(x) = L ∈ R. Queremos mostrar que lim x→a+

f (x) g(x) →

(31)

L, ou seja, que dado qualquer ε > 0, L − ε < f (x)

g(x)< L + ε

para qualquer x > a suficientemente pr´oximo de a. Como f_g′′(x)_(x) → L, existe um b

tal que L − ε 2 < f′ (x) g′_(x)< L + ε 2

para qualquer x ∈ ]a, b[ . Pelo teorema de Cauchy, f (x) − f (b) g(x) − g(b) = f′ (c) g′_(c) com x < c < b logo L −ε 2 < f′ (c) g′_(c) = f (x) − f (b) g(x) − g(b) < L + ε 2

Agora multiplicamos tudo por g(x)−g(b)_g(x) = 1 −g(b)_g(x). Como g(x) → +∞, 1 −g(b)_g(x) > 0 para x suficientemente pr´oximo de a logo o sentido da desigualdade ´e conservado:

L − ε 2 1 −_g(x)g(b)< f(x)−f (b)_g(x) < L +ε 2 1 −_g(x)g(b) Daqui deduz-se facilmente que

L − ε 2 1 −_g(x)g(b)+f_g(x)(b)< f(x)_g(x) < L +ε 2 1 −_g(x)g(b)+f_g(x)(b) Agora, como g(x) → +∞ quando x → a temos

L −ε 2 1 −_g(x)g(b)+_g(x)f(b) → L −ε 2 e L + ε 2 1 −g(b)_g(x)+f(b)_g(x) → L +ε 2

Assim, para x suficientemente pr´oximo de a, podemos garantir que L − ε < L −ε 2 1 −_g(x)g(b)+_g(x)f(b) e L +ε 2 1 −g(b)_g(x)+f(b)_g(x) < L + ε portanto L − ε < L − ε 2 1 −_g(x)g(b)+f(b) g(x)< f(x) g(x) < L + ε 2 1 −_g(x)g(b)+f(b) g(x)< L + ε

o que termina a demonstra¸c˜ao.

12. Limites de sucess˜

oes

Recorde que uma sucessão é uma regra que associa a cada número natural n ∈ N um real xn ∈ R. Assim, podemos pensar numa sucessão como uma fun¸cão com

dom´ınio N. Aplicando a no¸cão de limite duma fun¸cão em +∞ a sucessões obtemos a no¸cão de limite duma sucessão.

Defini¸c˜ao 22: Seja (xn) uma sucess˜ao. Dizemos que

• lim

n→+∞xn= L se dado qualquer ε > 0 existir um N > 0 tal que

n > N ⇒ |xn− L| < ε

• lim

n→+∞xn= +∞ se dado qualquer M > 0 existir um N > 0 tal que

(32)

• lim

n→+∞xn= −∞ se dado qualquer M > 0 existir um N > 0 tal que

n > N ⇒ xn< −M

Os resultados sobre limites de fun¸cões são também válidos para sucessões. O próximo resultado é um exemplo disso:

Teorema 23: Seja f : D → R uma fun¸c˜ao cont´ınua em a ∈ D, e seja (xn) uma

sucess˜ao com limite lim

n→∞xn= a. Ent˜ao limn→∞f (xn) = f (a).

Demonstração. f (xn) é a composi¸cão

n → xn f

→ f(xn)

Como f ´e cont´ınua em a, lim

n→∞f (xn) = f n→∞lim xn

= f (a)

Uma fun¸cão f cujo dom´ınio contem os números naturais pode ser restringida a N dando origem a uma sucessão xn= f (n).

Exemplo 50. Seja f (x) = _x+1ex . O dom´ınio de f ´e R \ {−1}. Restringindo f a N obtemos a sucess˜ao xn= e

n

n+1 cujos primeiros termos s˜ao

x1= e 2 , x2= e2 3 , x3= e3 4 , x4= e4 5 , . . .

Os limites de fun¸cões em +∞ que estudámos têm a sua contrapartida como limites de sucessões:

Teorema 24: Seja f : D → R uma fun¸c˜ao tal que N ⊂ D e seja xn = f (n), n ∈ N.

Ent˜ao, se o limite lim

x→+∞f (x) existir em eR, o limite da sucess˜ao (xn) tamb´em existe

e tem o mesmo valor:

lim

n→+∞xn = limx→+∞f (x)

Deixamos a demonstra¸c˜ao ao cuidado do leitor.

Exemplo 51. Voltemos a considerar a fun¸c˜ao f (x) = ex

x+1. Sabemos que lim_x→+∞f (x) =

+∞ logo lim

n→+∞ en

n+1 = +∞.

O rec´ıproco do teorema 24 pode ser falso como mostra o exemplo seguinte: Exemplo 52. Seja f (x) = sen(πx) e seja xn = f (n). Ent˜ao xn = 0 para todo o

n ∈ N logo xn→ 0 mas o limite lim

(33)

O teorema 24 permite-nos aplicar a regra de Cauchy ao c´alculo de limites de su-cess˜oes:

Exemplo 53. Queremos calcular o limite da sucessão xn = n+1_n+2 n . Para tal definimos a fun¸cão f (x) = x+1 x+2 x e calculamos lim x→+∞ Å_{x + 1} x + 2 ãx = lim x→+∞exp Å x ln Å_{x + 1} x + 2 ãã = exp Å lim x→+∞x ln Å_{x + 1} x + 2 ãã A derivada de lnÄx+1 x+2 ä é 1

(x+1)(x+2) logo, aplicando a regra de Cauchy temos

lim x→+∞x ln Å_{x + 1} x + 2 ã = lim x→+∞ lnÄx+1 x+2 ä 1 x = lim x→+∞ 1 (x+1)(x+2) −x12 = −1 Concluimos que lim n→+∞xn= limx→+∞f (x) = e −1

13. Ordem de magnitude

Em muitos casos em que xn→ +∞ e yn→ +∞, ´e ´util comparar a respectiva

“velo-cidade de crescimento” calculando o limite da raz˜ao xn

yn. As mesmas considera¸c˜oes se aplicam a fun¸c˜oes f e g com limite infinito.

Teorema 25: Para quaisquer a > 1 e b > 0, lim x→+∞ ln(x) xb = 0 e _x→+∞lim xb ax = 0

De maneira pouco precisa, é comum dizer que ln(x) “cresce mais devagar” do que qualquer potência positiva de x e qualquer exponencial ax (a > 1) “cresce mais depressa” do que qualquer potência positiva de x.

Demonstrac¸˜ao. Pela regra de Cauchy, lim x→+∞ ln(x) xb = lim_x→+∞ 1/x b xb−1 = lim_x→+∞ 1 b xb = 0

Para a exponencial temos lim x→+∞ xb ax = lim_x→+∞ x ax/b b = Å lim x→+∞ x ax/b ãb = Ç lim x→+∞ 1 ln a b ax/b åb (regra de Cauchy) = 0

Usando substitui¸c˜oes apropriadas podemos facilmente calcular limites an´alogos em pontos a ∈ R:

(34)

Exemplo 54. Para calcular lim x→0xe 1/x2 fazemos a substitui¸c˜ao u = 1 x2. Quando x → 0, u → +∞ logo lim x→0xe 1/x2 = lim u→+∞ eu ±u1/2 = 0

Exemplo 55. Para calcular lim

x→0+x ln(x) fazemos a substitui¸c˜ao u = 1 x. Quando x → 0+_{, u → +∞ logo} lim x→0+x ln(x) = lim_u→+∞ ln(1/u) u = − limu→+∞ ln(u) u = 0

Naturalmente, o teorema 25 também se aplica às sucessões ln n, nb _{e a}n_.

Exemplo 56. Para calcular o limite lim

n→+∞n 3₂_−n _{notamos que} lim n→+∞n 3₂−n_{= lim} n→+∞ n3 2n = 0

Teorema 26: Seja a > 1. Ent˜ao lim n→+∞ an n! = 0 e n→+∞lim n! nn = 0

Demonstrac¸˜ao. Para provar que lim_nn!n = 0 basta observar que: 3 0 < n! nn = 1 n· 2 n· 3 n· · · · · n − 1 n · n n < 1 n

e aplicar o teorema dos limites enquadrados. Para mostrar que lim

n→+∞ cn n! = 0

come¸camos por fixar um inteiro N > c. Ent˜ao c

n < 1 para qualquer n > N logo

cn n! = c 1 · c 2 · · · · · c N | {z } =cN_{/N !} ·_{N + 1}c · · · c n − 1 | {z } <1 ·_nc < c N N !· c n Assim, 0 ≤ c n n! ≤ cN N !· c n Tomando o limite quando n → ∞, obtemos cn

n! → 0 pelo teorema dos limites

enquadrados.

O pr´oximo exemplo ilustra como estes resultados podem ser usados para calcular limites mais complicados:

Exemplo 57. Vamos calcular o limite da sucessão xn = 2n!+2nn_{+ln n}. Este limite dá origem a uma indetermina¸cão da forma ∞

∞. Para levantar a indetermina¸c˜ao notamos

que n! + 2n 2n_{+ ln n} = n! 1 +2n n! 2n _{1 +}ln n 2n = ₂n!n 1 +2n n! 1 +ln n₂n 3a demonstra¸c˜ao rigorosa desta desigualdade, por indu¸c˜ao, fica a cargo do leitor

(35)

Agora sabemos que 2n n! → 0, ln n 2n → 0 e n! 2n → +∞ Concluimos que lim xn= lim Ç n! 2n 1 +2n n! 1 +ln n₂n å = (+∞)1 + 0_{1 + 0} = +∞ No exemplo 57 us´amos a seguinte ideia: escrevemos xn como um produto

xn= n! 2n 1 + 2n n! 1 + ln n₂n em que 1 + 2n n! 1 + ln n₂n → 1 e portanto lim xn = lim n!/2n= +∞.

Defini¸cão 27: Dizemos que duas sucessões an e bntêm a mesma ordem de

mag-nitude, e escrevemos an ∼ bn, se an = bncn em que cn→ 1.

Se bn 6= 0, esta condi¸c˜ao ´e equivalente a an/bn→ 1 pois podemos tomar cn= an/bn.

Exemplo 58. Como vimos no exemplo 57, n! + 2n 2n_{+ ln n} ∼

n!

2n

Este conjunto de ideias é particularmente útil quando aplicado a somas. A ideia é pôr em evidência o termo com maior velocidade de crescimento:

Exemplo 59. ln n + 5n! + 3n_{− 2n}2_{∼ 5n! pois} ln n + 5n! + 3n− 2n2= 5n! Å_{ln n} 5n! + 1 + 3n 5n!− 2n2 5n! ã e ln n_5n! + 1 + _5n!3n −2n5n!2 → 1. Exemplo 60. ₂nn2+2n −nn ∼ n 2 −nn pois n2_{+ 2n} 2n_{− n}n = n2 1 + 2n_n2 −nnÄ 2n −nn + 1 ä = n2 −nn · 1 +2n_n2 2n −nn+ 1

Este procedimento nem sempre funciona:

Exemplo 61. 3n!+n _n˜_{ao tem} _{a mesma ordem de magnitude que 3}n! _pois

3n!+n

3n! = 3 n

6→ 1

(36)

Exemplo 62. Vamos calcular o limite da sucess˜ao xn = √

4n_+n4

3n₊₁ . Come¸camos por observar que √4n_{+ n}4_∼√₄n_{= 2}n _pois

p 4n_{+ n}4₌ 4n Å 1 +n 4 4n ã =√4n … 1 + n 4 4n = 2 n … 1 +n 4 4n

Por outro lado 3n_{+ 1 ∼ 3}n _{pois 3}n_{+ 1 = 3}n _{1 +} 1 3n . Assim, xn= √ 4n_{+ n}4 3n_{+ 1} = 2n 3n » 1 +n4 4n 1 + 1 3n Concluimos que xn ∼2 n 3n logo lim xn = lim 2n 3n = 0

Observação: Se an ∼ bn então lim an = lim bn se os limites existirem, mas o

rec´ıproco n˜ao ´e verdadeiro: lim ln n = lim n = lim 2n _{= lim n! = +∞ mas todas}

(37)

Aula 19: Primitivas

Um problema frequentemente encontrado é o de determinar o valor duma certa quantidade sabendo a sua taxa de varia¸cão em cada ponto. Por exemplo, podemos saber a velocidade duma part´ıcula e querer calcular a sua posi¸cão. Neste tipo de problemas queremos encontrar uma fun¸cão F cuja derivada seja igual a uma fun¸cão f que conhecemos. Chamamos então a F uma primitiva de f :

Defini¸cão 28: Dizemos que uma fun¸cão F é uma primitiva de f se F′_{(x) = f (x).}

Exemplo 63. A fun¸c˜ao F (x) = x2 _{´e uma primitiva de f (x) = 2x pois F}′_{(x) =}

f (x). A fun¸cão G(x) = x2_{+ 1 é também uma primitiva de f (x) pois G}′_{(x) = 2x =}

f (x).

Este exemplo mostra que há mais que uma primitiva da fun¸cão f (x) = 2x. Para qualquer constante C, x2_{+ C é uma primitiva de f . De facto, todas as primitivas}

s˜ao desta forma:

Teorema 29: Seja F uma primitiva de f num intervalo I. Ent˜ao qualquer pri-mitiva de f ´e da forma F (x) + C para alguma constante C.

Demonstração. Se G é outra primitiva de f então (G − F )′ _{= G}′_{− F}′_{= f − f =}

0 logo G − F ´e uma fun¸c˜ao constante. Chamando C ao valor dessa constante,

G(x) = F (x) + C.

Representamos por P(f) o conjunto das primitivas de f. O teorema 29 diz-nos que, se f est´a definida num intervalo e F′_{(x) = f (x) ent˜}_{ao P(f) = {F (x) + C : C ∈ R}.}

´

E comum no entanto escrever simplesmente P(f) = F (x) + C nota¸c˜ao que usaremos no seguimento.

Exemplo 64. Vamos encontrar todas as primitivas de f (x) = sen x. Como a derivada de cos x ´e − sen x, F (x) = − cos x ´e uma primitiva de sen x. Assim,

P(sen x) = − cos x + C

Exemplo 65. Vamos encontrar todas as primitivas de f (x) = −1

x2. Uma das primitivas de f ´e F (x) = 1

x mas o dom´ınio de 1

x n˜ao ´e um intervalo. O teorema

29 s´o se aplica a cada intervalo ] − ∞, 0[ e ]0, +∞[ separadamente. Em cada um destes intervalos vamos ter P(f) = 1/x + C mas a constante C pode ser diferente em intervalos diferentes. Assim, a forma geral duma primitiva de f (x) = −1

x2 ´e P(f) = ®₁ x+ C1 x > 0 1 x+ C2 x < 0

(38)

As fórmulas de deriva¸cão dão origem a fórmulas de primitiva¸cão. Assim, à fórmula (xa₎′_{= ax}a−1 _{corresponde a fórmula P(x}a_{) =} xa+1

a+1 + C, v´alida para a 6= −1. Para

a = −1 temos

Teorema 30: A fun¸c˜ao ln |x| ´e uma primitiva de x1 em R \ {0}

Demonstrac¸˜ao. Para x > 0, ln |x| = ln x logo (ln |x|)′ ₌ 1

x. Para x < 0 (ln |x|)′ _{= (ln(−x))}′ _{= −} 1 −x = 1 x ´

E ´util agrupar as primitivas numa tabela:

• P(1) = x + C • P(xa) = x a+1 a + 1+ C (a 6= −1) • P Å 1 x ã = ln |x| + C • P(ex) = ex+ C • P(sen x) = − cos x + C • P(cos x) = sen x + C • P(sec2_{x) = tan x + C} _{• P(sec x tan x) = sec x + C}

• P 1 1+x2 = arctan x + C • P _√1 1−x2 = arcsen x + C

Exemplo 66. Para calcular P(√x) notamos que √x = x12. Tomando a = 1/2 temos P x21= x 1 2+1 1 2 + 1 + C = 2 3x 3 2 + C

Podemos tamb´em calcular outras primitivas mais complicadas:

Exemplo 67. _{Queremos calcular P} √x+sen x. Vimos no exemplo 66 que P(√x) =

2 3x

3

2 + C e consultando a tabela vemos que P(sen x) = − cos x + C. Assim, 2

3x 3

2′=√x e (− cos x)′ = sen x Mas estas f´ormulas dizem-nos que

2 3x

3

2 − cos x′=√x + sen x Encontr´amos uma primitiva de√x + sen x logo

P(√x + sen x) = 2 3x

3

2 − cos x + C

Generalizando este ´ultimo exemplo temos o

Teorema 31: Se F é uma primitiva de f e G é uma primitiva de g então P(f(x)+ g(x)) = F (x) + G(x) + C e P(af(x)) = aF (x) + C. É usual escrever:

• P(f + g) = P(f) + P(g) • P(a f) = a P(f)

(39)

Demonstração. É uma consequência imediata das fórmulas (F + G)′ _{= F}′_{+ G}′

e (a · F )′_{= a · F}′_.

Exemplo 68. Vamos calcular as primitivas de f (x) = ex_{+ 3 sen x + x.}

P(ex+ 3 sen x + x) = P(ex) + 3P(sen x) + P(x) = ex+ 3(− cos x) +x 2 2 + C = ex− 3 cos x +1 2x 2_{+ C} Exemplo 69. PÇ ( √ t + 1)2_{− 1} t å = PÇ t + 2 √ t t å = P 1 + 2t−1 2 = P(1) + 2P(t−1 2) = t + 4√t + C

Sabendo a primitiva duma fun¸c˜ao f podemos calcular a primitiva de f (a x + b) com a, b constantes:

Exemplo 70. Vamos encontrar as primitivas de f (x) = cos(2x). f é da forma cos(u) com u = 2x e sabemos que P(cos u) = sen u. A derivada de sen(2x) é 2 cos(2x), e portanto a derivada de 1₂sen(2x) é cos(2x) e assim

P cos(2x)= 1

2sen(2x) + C

Exemplo 71. Vamos encontrar as primitivas de f (x) = _1−3x1 . f é da forma 1/u com u = 1 − 3x e uma primitiva de 1/u é ln |u|. A derivada de ln |1 − 3x| é −3 1

1−3x

logo a derivada de −13ln |1 − 3x| ´e 1 1−3x e assim, P Å ₁ 1 − 3x ã = −1 3ln |1 − 3x| + C

A constante C pode ser determinada se possuirmos informa¸cão extra sobre a fun¸cão F (x). Em aplica¸cões é frequentemente conhecermos, além da derivada F′_{(x) =}

f (x), o valor da fun¸c˜ao F num ponto.

Exemplo 72. Uma part´ıcula desloca-se com velocidade dada por v(t) = 5 1+t2. Sabemos também que a part´ıcula se encontra em x = 2 quando t = 1. Queremos calcular a trajectória da part´ıcula. x′_{(t) = v(t) logo x(t) é uma primitiva de v(t):}

P Å 5 1 + t2 ã = 5 P Å 1 1 + t2 ã = 5 arctan t + C

Portanto x(t) = 5 arctan t + C. Para calcular C, usamos a condi¸c˜ao x(1) = 2: x(1) = 5 arctan 1 + C = 5π₄ + C = 2 logo C = 2 −5π4

(40)

Concluimos que

x(t) = arctan t + 2 −5π₄

Exemplo 73. Vamos calcular f sabendo que f′_{(x) =} 1

x2, f (1) = 0 e f (−1) = 3. Uma primitiva de 1

x2 é −1_x. No entanto o dom´ınio de −_x1, R \ {0}, não é um intervalo. Em cada intervalo do dom´ınio vamos ter f (x) = 1

x+ C, mas a constante

C pode ser diferente em intervalos diferentes. Assim, • No intervalo ]0, +∞[ , f(x) = −1 x+ C1. Como f (1) = 0, f (1) = −1₁ + C1= 0 logo C1= 1 • No intervalo ] − ∞, 0[ , f(x) = −1 x+ C2. Como f (−1) = 3, f (−1) = − 1 −1 + C2= 3 logo C2= 2 Portanto f (x) =®− 1 x+ 1 x > 0 −1x+ 2 x < 0

14. Primitiva¸

c˜

ao por partes

Primitivando a f´ormula para a derivada do produto

( u(x)v(x) )′_{= u}′_{(x)v(x) + u(x)v}′_(x)

obtemos uv = P(u′_{v) + P(uv}′_{) que normalmente se escreve na forma:}

Teorema 32 (Primitiva¸cão por Partes): Se u e v são fun¸cões diferenciáveis, então

P (u′_{(x)v(x)) = u(x)v(x) − P (u(x)v}′_(x))

Esta f´ormula transforma o problema do c´alculo da primitiva dum produto P(u′_v)

no problema do c´alculo de outra primitiva P(u v′_{) obtida da primeira primitivando}

um dos factores e derivando o outro.

Uma situa¸c˜ao frequente ´e aquela em que v(x) = x e portanto v′_{(x) = 1:}

Exemplo 74. Queremos primitivar a fun¸c˜ao x cos x. Se derivarmos x e primitivar-mos cos x o resultado ´e bastante mais simples. Assim, tomaprimitivar-mos

v(x) = x e u′(x) = cos x donde u(x) = sen x Aplicando a regra de primitiva¸c˜ao por partes chegamos a

Px vcos xu′ = x vsen xu − P 1 v′· sen x_u = x sen x + cos x