INE 5118 – LISTAS DE EXERCÍCIOS – EXTRAS – TURMA 05202 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS
1) Num processo de fabricação de pratos de porcelana 8% destes pratos apresentam algum tipo de defeito (pontos salientes ou reentrâncias). No controle de qualidade apenas 90% dos defeituosos são retidos, sendo que os demais passam para a seção de empacotamento e são embalados em caixas contendo 6 unidades. Se você adquirir uma destas caixas:
a) Qual é a probabilidade de encontrar um prato defeituoso? (R.: 0,0461)
b) Qual é a probabilidade de encontrar no máximo 2 pratos defeituosos? (R.: 0,9999)
c) Para efeito de transporte estas caixas são acondicionadas em lotes de 10, qual é a probabilidade de que, ao analisarmos um destes lotes, tenhamos mais de 8 caixas com no máximo 2 pratos defeituosos? (R.: 1,0)
2) Em um sistema de transmissão de dados existe uma probabilidade igual a 0,05 de um dado ser transmitido erroneamente. Ao se realizar um teste para analisar a confiabilidade do sistema foram transmitidos 20 dados.
a) Calcule a probabilidade de que tenha havido erro na transmissão. (R.: 0,6415)
b) Calcule a probabilidade de que tenha havido erro na transmissão de exatamente 2 dos 20 dados. (R.: 0,1886)
c) Qual é o número esperado de erros no teste realizado? (R.: 1 erro)
3) Em um determinado processo de fabricação 10% das peças são defeituosas. As peças são acondicionadas em caixas com 5 unidades cada uma. As caixas só serão aceitas se apresentarem no máximo uma peça defeituosa. Pergunta-se:
a) Qual é a probabilidade de haver exatamente 3 peças defeituosas em uma caixa? (R.: 0,0081) b) Qual é a probabilidade de uma caixa ser aceita? (R.: 0,9185)
c) Qual é a probabilidade de que em um lote de 10 caixas pelo menos 8 sejam aceitas? (R.: 0,9579) 4) Em uma fábrica 3% dos artigos produzidos são defeituosos. O fabricante pretende vender 4000 peças recebendo 2 propostas:
Proposta 1: o comprador A examina uma amostra de 80 peças e pagará 60 u.m. por peça, se houver 3 ou menos defeituosas, caso contrário pagará 30 u.m. por peça apenas.
Proposta 2: o comprador examina 40 peças e está disposto a pagar 65 u.m. por peça, se todas forem perfeitas, porém pagará 20 u.m. por peça se houver alguma peça defeituosa.
Qual é a melhor proposta? (R.: proposta 1)
5) O sistema de atendimento utilizado por uma central telefônica possui telefonistas para atender às chamadas dos usuários. Uma certa telefonista recebe em média 0,20 chamadas por minuto, durante um turno de trabalho de 6 horas consecutivas. Qual é a probabilidade de que esta telefonista:
a) receba exatamente 3 chamadas nos primeiros 10 minutos? (R.: 0,1804) b) nos primeiros 10 minutos receba no mínimo 5 chamadas? (R.: 0,0526) c) na primeira hora receba 10 chamadas? (R.: 0,1048)
d) no turno completo receba no máximo 5 chamadas? (R.: aprox. 0,0)
e) Qual é a média de chamadas em ½ hora e em um turno completo? (R.: 6 chamadas, 72 chamadas) 6)Três equipes brasileiras de futebol disputam no mesmo dia 3 jogos no exterior. Admitindo que as suas probabilidades de vitória sejam: 0,4; 0,7 e 0,6.
a) Qual é o número esperado de vitórias nesse dia? (R.: 1,7)
7) Os defeitos em certo tipo de chapas de vidro aparecem à razão média de 5 para cada 10 m2 de chapa. Essas chapas são usadas na construção de janelas para uma instalação industrial. Sabendo que essas janelas medem 150 x 80 cm2.
a) Em um grupo de 5 janelas qual é a probabilidade de que ao menos 4 delas não tenham nenhum defeito? (R.: 0,2544)
b) Em um grupo de 10 janelas qual é a probabilidade de que o número de não defeituosas seja inferior a 5? (R.: 0,2641)
8) Em uma via de alta velocidade há um retorno controlado por semáforo, conforme o desenho abaixo:
O tamanho L, do espaço utilizado para a formação da fila de espera do retorno, deverá ser dimensionado de forma a possibilitar que os veículos que desejam retornar estacionem, deixando livre o fluxo para os veículos que seguem em frente, evitando a ocorrência de congestionamento no tráfego. Qual deverá ser o valor de L, de forma que no máximo 5% das vezes em que o semáforo fecha ocorra congestionamento? Sabe-se que dos carros que chegam, 5% usam o retorno e que o ciclo de funcionamento do semáforo é de 60 segundos, e admitindo-se que o espaço médio ocupado por um veículo é de 6 metros (incluindo o espaço médio entre eles). (R.: L > 12 m)
9) Uma comissão responsável pelo recebimento de equipamentos em uma empresa faz testes em equipamentos selecionados aleatoriamente dentre os que chegam. Para avaliar uma determinada marca de transformadores de pequeno porte, a comissão selecionou aleatoriamente 18 dentre os que chegaram e classificará a marca como satisfatória se não existir nenhum defeituoso nesta amostra. Sabe-se que a produção destes equipamentos apresenta um percentual de 6% de defeituosos.
a) Qual é a probabilidade de que a marca venha a ser considerada satisfatória? (R.: 0,328)
b) Qual é a probabilidade de que no máximo uma amostra, de um grupo de 8 amostras destes transformadores (cada amostra com 18 transformadores) seja considerada satisfatória? (R.: 0,2035) 10) Certa peça de plástico de 10 cm3 é considerada defeituosa se aparecerem 2 ou mais defeitos. Os defeitos podem ser por impurezas ou por bolhas. Em média aparecem 0,005 impurezas por 1 cm3 e 0,3 bolhas por 2 cm3.
a) Qual é a probabilidade de um peça ser considerada defeituosa? (R.: 0,4589)
b) Em um grupo de 3 peças qual é a probabilidade de haver no máximo uma peça defeituosa? (R.: 0,5615)
11) Considere a produção de peças especificada no exercício acima. O custo de produção por peça é de 5 u.m., sendo que, se a peça é considerada defeituosa, ela volta para ser transformada em matéria prima, caso contrário é vendida por 10 u.m..
a) Qual é o valor esperado do lucro para este tipo de peça? (R.: 0,411 u.m.) b) Em 1500 peças produzidas qual é o lucro esperado? (R.: 616,5 u.m.)
S
L
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
12) Existe um processo para fabricação de eixos que apresenta comportamento praticamente normal com média de 3,062 mm e variância de 0,0001 mm2.
a) Qual é o percentual de eixos produzidos com diâmetro superior a 3,05 mm? (R.: 0,8849)
b) Se o diâmetro deverá ter no mínimo 3,04 mm e no máximo 3,08 mm, e se o custo por eixo é de 1,2 u.m. e é vendido por 5 u.m., e que eixos produzidos ou muito largos ou muito estreitos são perdidos, qual é o lucro esperado numa produção de 100 eixos? (R.: 355,1 u.m.)
13) Uma central telefônica de uma empresa recebe chamadas que tem um tempo (em minutos) distribuído uniformemente sobre o intervalo 0,5 - 5. Supondo que um dos troncos tenha recebido em um determinado dia 104 chamadas, calcule a probabilidade de que o tempo de utilização do tronco tenha ultrapassado 3,5 horas. (R.: 0,6624)
14) Sabe-se que a precipitação anual de chuva em certa localidade, cuja altura é medida em cm, é uma variável aleatória normalmente distribuída com altura média igual a 29,5 cm e desvio padrão de 2,5 cm de chuva. Qual é altura de chuva ultrapassada em cerca de 5% das medições? (R.: 33,6125 cm)
15) Um cerâmica embala caixas contendo 100 azulejos (15 x 15 cm). Os pesos destes azulejos distribuem-se normalmente com média de 200 gramas e variância de 100 gramas2. As caixas utilizadas para a embalagem apresentam o seu peso praticamente constante e igual a 180 gramas. a) A etapa de transporte das caixas para os caminhões é feita manualmente. O serviço de segurança do trabalho especifica um peso máximo de 30 kg a ser levantado por um trabalhador. Verifique qual é a probabilidade de que uma destas caixas ultrapasse o peso estabelecido? (R.: aprox. 0,0)
b) Se um caminhão vai transportar 1000 caixas, sabendo que o peso máximo permitido para a carga na rodovia em que vai transitar é de 22 toneladas, qual é a probabilidade de que atenda esta especificação? (R.: 0,9656)
16) Uma empresa produz televisores a garante a restituição da quantia paga se qualquer televisor apresentar algum defeito grave, no prazo de 6 meses. Ela produz televisores do tipo A- comum e do tipo B- Luxo, com um lucro respectivo de 1000 u.m. e 2000 u.m. caso não haja restituição, e com um prejuízo de 3000 u.m. e 8000 u.m. se houver restituição.
Suponha que o tempo para a ocorrência de algum defeito grave seja, em ambos os casos, uma variável aleatória com distribuição normal, respectivamente com médias de 9 meses e 12 meses, e variâncias de 4 meses2 e 9 meses2. Se você tivesse que planejar uma estratégia de marketing para a empresa você incentivaria as vendas dos aparelhos do tipo A ou do tipo B? (R.: B)
17) Certo tipo de resistências elétricas são consideradas aceitáveis se estiverem entre 45 e 55 ohms, e são consideradas ideais se estiverem entre 48 e 52 ohms. A produção destas resistências apresenta-se normalmente distribuída com uma resistência média de 53 ohms e desvio padrão de 3 ohms. Em um lote de 200 resistências aceitáveis, quantas resistências ideais devemos encontrar? (R.: 87)
18) Em uma linha de produção certo tipo de eixo apresenta o diâmetro com comportamento uniforme entre 3,5 mm e 3,8 mm.
a) Qual é a porcentagem de eixos com diâmetro superior a 3,7 mm? (R.: 33%) b) Qual é o diâmetro esperado para este tipo de eixo? (R.: 3,65 mm)
c) Se a aplicabilidade deste tipo de eixo exigisse um diâmetro de no máximo 3,72 mm, poderíamos considerar que esta linha de produção apresenta 80% dos eixos produzidos atendendo esta exigência? (R.: Não)
19) O tempo de vida de um determinado componente eletrônico distribui-se normalmente com média de 250 horas e variância de 49 horas2. Você adquire um destes componentes.
a) Qual é a probabilidade de que seu tempo de vida ultrapasse as 260 horas? (R.: 0,0778)
b) Qual deveria ser o prazo de garantia para estes componentes para que o serviço de reposição atendesse a somente 5% dos componentes adquiridos? (R.: 238,45 horas)
20) Em uma determinada cidade 20% dos habitantes utilizam o produto da marca X. Numa pesquisa realizada com 200 habitantes, qual é a probabilidade de que mais de 30 destes utilize tal produto? (R.: 0,9535)
21) Em um teste de múltipla escolha temos 200 questões, cada uma com 4 possíveis respostas, das quais apenas 1 é correta. Qual é a probabilidade de que um estudante acerte entre 25 e 30 questões de 80 dentre as 200 das quais ele não sabe nada? (R.: 0,1196)
22) Um dado honesto é lançado 100 vezes consecutivas.
a) Qual é a probabilidade de que em 18 ou mais destes lançamentos ocorra a face 2? (R.: 0,4129) b) Qual é a probabilidade de que ocorra face par em mais de 65 lançamentos? (R.: 0,001)
23) Em uma fábrica as falhas no equipamento industrial ocorrem segundo uma distribuição exponencial. Sabe-se que a probabilidade de que a primeira falha ocorra após uma hora de trabalho é de 0,22313.
a) Determinar a probabilidade de que a primeira falha ocorra após 3 horas de trabalho. (R.: 0,0111) b) Podemos afirmar que é de 0,91 a probabilidade de que a primeira falha ocorre antes dos 30 minutos iniciais de trabalho? (R.: Não)
24) Uma fábrica de lâmpadas especiais tem sua produção com um tempo de vida médio igual a 120 meses, seguindo um comportamento exponencial.
a) Qual é o percentual de lâmpadas com durabilidade superior a 100 meses? (R.: 0,4346)
b) Qual deve ser a garantia do fabricante para que deva repor apenas 5% da produção? (R.: 6,15 meses).
ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS(*) E TESTES DE HIPÓTESES
25) O que é estimação de parâmetros e qual a diferença entre estimação por ponto e por intervalo? Quando devemos usar uma e outra?
26) Uma empresa montadora de plugs está interessada em saber se deve trocar o processo atual de montagem por um novo processo sugerido por um especialista em tempos e movimentos. Sendo que, segundo o diretor de produção, a mudança só deveria ocorrer se houvesse diminuição no tempo de montagem no novo processo em relação ao atual. De registros anteriores sabe-se que o processo atual distribuição normal com média de 3,5 minutos. Com a finalidade de auxiliar na tomada de decisão você foi contratado para fazer a análise estatística dos tempos observados em 20 montagens de plugs (pelo novo processo) realizadas por um operário padrão, onde foram registrados os seguintes tempos (em minutos):
2,0 2,5 2,6 3,0 3,2 3,5 3,7 3,7 2,1 2,4 2,7 2,8 3,1 3,1 3,6 3,6 2,5 2,9 2,8 3,8 Considerando a situação acima exposta:
a) Faça a estimação da média do tempo de montagem dos plugs do novo processo.(*) R. Para 95%
de confiança 2,72 a 3,24 min.
b) Faça as especificações necessárias e estime o tamanho mínimo da amostra para a estimação da média. (*) R. Para 95% de confiança e precisão de 0,2 minutos, n >=29.
Com 95% de confiança, mudar para novo processo, t = -4,26
27) Os alunos do curso de computação da UFSC solicitaram à TELESC que aumentasse o tempo de utilização dos telefones públicos permitido por uma ficha telefônica (atualmente 3 minutos). Argumentam que os usuários necessitam de um tempo maior. A TELESC contratou você para fazer a análise de tempos de utilização e afirmou que não tem interesse em mudar o sistema atual devido aos altos custos da mudança. Como responsável pelo estudo você observou o tempo de 40 usuários, selecionados aleatoriamente, em um orelhão sorteado dentre os existentes na cidade. Foram obtidas as seguintes estatísticas amostrais: média = 185 segundos; desvio padrão = 10 segundos. Considerando que o tempo de utilização segue uma distribuição normal, resolva os seguintes itens: a) Faça a estimação da média populacional. (*) R. Com 95% de confiança, 181,80 a 188,20
segundos.
b) Especifique uma folga máxima e verifique se a amostra já coletada é suficiente para a estimação da média. (*)R. Com 95% de confiança e precisão de 1 segundo, n >= 385.
c) Fazendo a análise dos dados amostrais segundo um procedimento de testes de hipóteses, o que você recomendaria à TELESC? R. Com 95% de confiança aumentar o tempo. t = 3,16
d) Se o tempo médio real fosse de 182 segundos, qual seria a chance de você tomar uma decisão errada no item c? R. cerca de 66%.
e) Qual seria o tamanho mínimo de amostra necessário para:
- caso a média realmente fosse de 185 segundos isto pudesse ser identificado com 95% de probabilidade. R. Para significância de 5%, n >= 271.
- caso a média realmente fosse de 182 segundos isto pudesse ser identificado com 90% de probabilidade. R. Para significância de 5%, n >= 44.
28) Explique o que é erro tipo I e erro tipo II. Esses erros apresentam relacionamento entre si? 29) Por sugestão de um empregado está sendo testada uma modificação na bancada de trabalho. A modificação é testada durante diversos dias cronometrando-se o tempo gasto para fabricar uma unidade padrão de produção. A média observada em 120 observações foi de 48,7 segundos e é ligeiramente inferior ao tempo médio gasto anterior à alteração que era de 50,2 segundos e apresentava distribuição normal com desvio padrão de 6 segundos. Utilizando um nível de significância de 1%?
a) Estime um intervalo de confiança para o tempo médio da modificação. (*) R. 47,29 a 50,11 s. b) Teste a hipótese de que o tempo médio populacional agora é menor. R. Sim, Z = -2,73
30) Com o fim de controlar a entrada de sua matéria-prima uma empresa estuda o tempo de atraso na entrega dos seus pedidos. Supondo população normalmente distribuída e, conhecendo os tempos de atraso de matéria-prima (em dias) dos últimos meses, referentes a 20 pedidos:
5 1 0 3 6 10 2 3 4 1
5 3 1 6 6 9 0 0 1 0
a) Estime o atraso médio na entrega de matéria-prima com confiança de 95%. (*)R.: 2,136 a 4,464 dias.
b) Se o desvio padrão da população fosse conhecido e igual a 2 dias, qual seria a resposta do item a? (*)R. 2,564 a 4,036 dias.
c) O tamanho da amostra é suficiente para uma precisão de 0,5 dias, supondo o desvio padrão da população igual a 2 dias? (*)R. Não, n = 109
31) Numa análise do controle de qualidade da produção de peças mecânicas foi coletada uma amostra aleatória referente a uma determinada dimensão (em mm), que forneceu os seguintes valores:
176 177 174 182 181 192 171 167 178 176 179 181 177 165 179 192
Com base nesta amostra:
a) Determine um intervalo de confiança para o valor médio real desta dimensão. (*) R. Para 90%
de confiança, 174,75 a 181,12 mm.
b) Qual é o tamanho da amostra necessária para se determinar um intervalo de confiança de 90% para a média com folga de 2 mm? (*) R. n >= 36
c) Não foi suposta a normalidade da distribuição de probabilidade da variável em análise. Isto seria necessário para a solução dos itens a e b?
32) Suponha que se desejar estimar uma proporção populacional com precisão de 0,01 e com 95%. Uma amostra piloto de 30 elementos foi coletada e forneceu proporção amostral de 0,25. A amostra colhida é suficiente? (*) R. Não, n >= 12433.
33) Para conhecer a popularidade de determinado governo foi colhida uma amostra com a opinião de 1000 habitantes do estado, onde verificou-se que, de maneira geral, apenas 100 pessoas declararam-se satisfeitas com a administração estadual. Admitindo um nível de significância de 10%, solucione os itens abaixo.
a) Estime qual o percentual da população que está satisfeita com o governo. (*) R. 8,44% a
11,56%
b) Qual é o tamanho da amostra necessária para o procedimento de estimação se a administração estipulou uma folga máxima de 1,5%? R. n>=1083
c) Considerando que a administração, a priori, decidira que se o percentual de descontentes fosse superior a 40% deveria-se redirecionar o plano governamental. Utilizando a informação amostral o que se pode concluir? R. Redirecionar o plano. Z = -19,33
d) Se o percentual real de descontentes fosse de 50% e o governo desejasse identificar isto com 95% de probabilidade, a amostra piloto é suficiente? R. Sim, n >= 211
34) Uma Cia. de aviação observou que, durante um mês, 216 dos 2800 passageiros que haviam comprado passagem (feito reserva) não comparecem para embarque.
a) Com base nestes dados calcule um intervalo de 99% de confiança para proporção populacional de passageiros que não comparecem ao embarque. (*) R. 6,416% a 9,013%.
b) A companhia adota uma política de vendas de passagens num número superior ao permitido pelo vôo, sendo este excedente calculado supondo-se que 10% dos passageiros não comparecem ao embarque. A amostra colhida ratifica tal política? R. Para 1% de significância, sim, Z = -4.
35) Uma montadora de veículos recebeu de um fornecedor um lote de 5000 conjuntos necessários ao sistema do limpador de párabrisas. A montadora efetua o controle de qualidade retirando uma amostra aleatória de 100 destes conjuntos.
a) Supondo-se que a amostra apresentou 7 conjuntos defeituosos, construa um intervalo de 95% de confiança para a proporção real de defeituosos no lote. (*) R. 2% a 12%.
b) A montadora pretende mudar de fornecedor e decide fazer isto se o percentual de defeituosos for superior a 5%. Que atitude deve tomar a montadora, com base na informação amostral? R. Para
5% de significância, Não mudar, Z =0,69
c) Supondo que o verdadeiro percentual de defeituosos fosse de 6,5%, qual é a probabilidade da empresa mudar de fornecedor no item b (tomar uma decisão errada)? R. 96,71%
