Probabilidades - 9º ano
Visionamento do filme:
Dados e Homens
Em 1651 o Conde de Méré (viciado no jogo) viajava com Pascal ( homem que estudava religião e Matemática – inventor da máquina de calcular) e colocou-lhe a seguinte questão:
“ Eu e um amigo estávamos a jogar quando uma mensagem urgente nos obrigou a interromper o jogo. Tínhamos colocado em jogo 30 pistolas cada um ( 1 pistola = 2,5 € ). Ganharia as 60 pistolas o primeiro que obtivesse 3 vezes o número que escolheu no
lançamento de um dado. Eu tinha escolhido o 6 e quando o jogo foi interrompido já tinha saído o 6 duas vezes. O meu amigo tinha escolhido o 1 que apenas tinha saído uma vez”.
Como dividir as 60 pistolas?
Pascal interessou-se por este problema e iniciou uma correspondência com o seu amigo Fermat para analisar a situação. Essa correspondência marca o início da Teoria das Probabilidades.
Pascal Fermat
A importância das probabilidades na sociedade
METEREOLOGIAÉ pouco provável que chova durante esta semana.
SEGUROS
Porque é que um condutor com pouco tempo de carta paga mais seguro?
JOGOS
Porque é que o totoloto tem 49 números e não 10 ou 20?
Termos e conceitos
Experiência
• Lançamento de uma moeda • Lançamento de um dado • Totoloto
• Estado do tempo para a semana • Extracção de uma carta
• Tempo que uma lâmpada irá durar
• Furar um balão cheio • Deixar cair um prego
num copo de água
• Calcular a área de quadrado de lado 9 cm À partida o resultado é desconhecido À partida já conhecemos o resultado
Experiências aleatórias são experiências cuja realização
depende do acaso, ou seja, aquelas em que não é possível prever o resultado.
Experiências deterministas são experiências que se
caracterizam por produzirem o mesmo resultado, desde que sejam repetidas sob as mesmas condições.
Termos e conceitos
Conjunto de Resultados ou Espaço Amostral
Espaço Amostral
é o conjunto de todos os resultados possíveis de uma experiência aleatória e representa-se por ou S.EXPERIÊNCIA 1: Lançamento de um dado
Espaço Amostral = S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }
EXPERIÊNCIA 2: Jogo de futebol
Espaço Amostral = S = {Vitória, Empate, Derrota }
EXPERIÊNCIA 3: tirar uma bola de Totoloto
Termos e conceitos
Acontecimentos
Um acontecimento de uma experiência aleatória é cada um dos subconjuntos do espaço amostral.
EXPERIÊNCIA 1: Lançamento de um dado
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Acontecimento A: “Sair um nº par”
A = { 2, 4, 6 }
Acontecimento B: “ Sair um nº maior que 2”
B = { 3, 4, 5, 6 }
ACONTECIMENTOS CERTOS SÃO AQUELES QUE SE VERIFICAM
SEMPRE.
ACONTECIMENTOS IMPOSSÍVEIS SÃO AQUELES QUE NUNCA
SE VERIFICAM.
Alguns acontecimentos são elementares e outros compostos. Os acontecimentos ainda podem ser certos, outros impossíveis, outros prováveis, outros pouco prováveis e outros são
Acontecimentos elementares são aqueles que são
formados por um só elemento do conjunto de resultados.
Acontecimentos compostos são aqueles que são formados
por dois ou mais elementos do conjunto de resultados.
Termos e conceitos
Acontecimento
EXPERIÊNCIA: Lançamento de um dado equilibrado
Espaço Amostral = S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } ELEMENTAR COMPOSTO A: “ Sair o nº 3 ” A={ 3 } Só tem um elemento B: “ Sair o nº ímpar ” B={ 1, 3, 5 }
Tem mais do que um elemento
Modos de definir probabilidade de um acontecimento
Lei de LAPLACE
1749 - 1827
Definição clássica de probabilidade
Lei de LAPLACE
EXPERIÊNCIA: Lançamento de uma moeda
S = { F, V }
A moeda tem duas faces: F – frente; V - verso
Qual é a probabilidade de sair F no lançamento de uma moeda?
possíveis
casos
de
Número
favoráveis
casos
de
Número
F
P
Nº casos favoráveis = 1 Nº casos possíveis = 2
2
0
,
5
50
%
1
F
P
EXPERIÊNCIA: Lançamento de um dado equilibrado
6
1
possíveis
casos
de
nº
favoráveis
casos
de
nº
A
P
Calcula a probabilidade de cada um dos acontecimentos: A: “ Sair o número 5 “
1) Só há uma
face “5” Um dado tem 6 faces
2) B: “ Sair um número maior que 2 “
Nº casos favoráveis = 4 Nº casos possíveis = 6
3
2
6
4
B
P
B = { 3, 4, 5, 6 }Resolver os exercícios 2 e 3 do manual, página 14.
A probabilidade é uma forma de medir as hipóteses que um dado acontecimento tem de ocorrer.
A probabilidade pode ser indicada numa escala de 0 a 1 ou de 0% a 100% ( isto é, 0≤P(A)≤1 ou 0% ≤P(A)≤1 00%)
Impossível Pouco provável Equiprovável Provável Certo 0 ¼ ½ ¾ 1 0% 25% 50% 75% 100%
Note que o “pouco provável” e o “provável” correspondem a um intervalo, enquanto que impossível, equiprovável e certo
Problemas de contagem
Tabela de dupla entrada
Diagrama de árvore 1.ª moeda 2.ª moeda C (C,C) C P (C,P) C (P,C) P P (P,P) 2.ª moeda 1.ª moeda C P C (C,C) C,P) P (P,C) (P,P)
Cálculo de Probabilidades
EXPERIÊNCIA: Lançamento de dois dados
1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
Qual é o espaço de resultados?
Qual é a probabilidade de sair dois números
4
1
P
EXPERIÊNCIA: Ementa de restaurante Arroz de frango Bife grelhado Lampreia Sobremesa: Fruta da época Pudim Prato: Entrada: Sopa Canja
Quantas refeições diferentes podemos escolher, tendo cada uma, uma entrada, um prato e uma sobremesa?
Entrada Prato Sobremesa Refeição
S C A B L A B L F P F P F P F P F P F P ( S,A,F ) ( S,A,P ) ( S,B,F ) ( S,B,P ) ( S,L,P ) ( S,L,F ) ( C,A,F ) ( C,A,P ) ( C,B,F ) ( C,B,P ) ( C,L,F ) ( C,L,P )
12 refeições
diferentes!
Cálculo de Probabilidades
Escolhida uma refeição ao acaso qual é a probabilidade de comer arroz ou fruta?
3
2
12
8
P
Qual é a probabilidade de não comerLampreia nem Pudim?
Entrada Prato Sobremesa Refeição
S C A B L A B L F P F P F P F P F P F P ( S,A,F ) ( S,A,P ) ( S,B,F ) ( S,B,P ) ( S,L,P ) ( S,L,F ) ( C,A,F ) ( C,A,P ) ( C,B,F ) ( C,B,P ) ( C,L,F ) ( C,L,P )
3
1
12
4
P
Lei dos Grandes Números
Para um grande número de experiências, a frequência relativa de um acontecimento A é um valor aproximado da sua probabilidade.
Nota: Se os resultados não são equiprováveis, a única forma de
determinar um valor aproximado da probabilidade é aplicar a Lei dos Grandes Números.
