Evolutas e filtros. Noções antigas e problemas modernos. Carlos J. S. Alves. CEMAT Departamento de Matemática Instituto Superior Técnico

Evolutas e filtros

Noções antigas e problemas modernos

Carlos J. S. Alves

CEMAT

Departamento de Matemática Instituto Superior Técnico

Pequeno enquadramento histórico

Antiguidade (Grécia)

Geometria - axiomatização

Construção porRégua e Compasso

- 400 AC

Idade Média

Desenvolvimento algébrico India, Islão, Europa: tentativa de resolução da equação 3º grau

Renascimento Italiano

Tartaglia, Cardan,… Resolução - equações 3º, 4º grau

1500 DC 400 DC

1600 DC

1700 DC

Desenvolvimento do Cálculo

Fermat, Descartes, Leibniz, Newton, Bernoulli … Geometria Analítica

Compasso - Evolutas

Jacob Bernoulli

(1654-1705)

Evolutas - motivação geométrica

A B C f P Tangente no ponto B B

aproximação local de uma curva através de uma recta (na vizinhança do ponto B)

Circunferência osculante no ponto B

aproximação local de uma

curva através de uma circunferência (na vizinhança do ponto B)

-3 -2 -1 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3 4 Espiral logarítmica

Evolutas -

dedução da fórmula

0. h fazer e sistema o resolver que Há . 1 que em )) ( )( ( ) ( )) ( )( ( ) ( osculante ncia circunferê da y) (x, centro o encontrar z abcissa uma Para → − =    + − + = + − − − − = − − f'(x) T(x) h z x h z T h z f y h z x h z T h z f y z Z+h Z-h (x,y) Funções Curvas 2D

Evolutas - exemplos

Posição dos centros de curvatura

Variação do raio de curvatura

Parábola

f(x) = x2_-3x-1

Elipse

(2 cos(t) , sin(t) ) Astróide

(cos3_{(t) , sin}3 _{(t) )}

Ciclóide

(t-sin(t), 1-cos(t))

Evolutas - outros exemplos

Catenária (fios suspensos) Tractrix (trela do cão) Espiral logarítmica (evoluta ~ involuta) “espiral de ouro”

Esquema de construção de um navio

Historicamente, muitas estruturas foram desenhadas recorrendo a régua e compasso. ... Como recuperar essa informação?

Evolutas - exemplo de aplicação

... determinação de centros de curvatura

Uma elipse pode ser desenhada aproximadamente colocando o compasso nos centros de

Evolutas - exemplo de aplicação

é possível determinar como foi feito um desenho?

Esquema de construção de um navio

Evolutas

-Um problema de arqueologia

A partir de poucas medições tentar saber como foi desenhado o casco de um barco: 3 centros - Bulgária 1 centro - Portugal -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 -10000 -5000 0 5000 10000 15000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 0 50 100 150 200 250 300

Inconclusivo face aos dados

- dados - Filipe Castro (U.Texas-Austin)

- simulação - C.A. & S. Valtchev (IST)

Evolutas

-Exemplos de aplicação

Até que ponto é circular a baía de S. Martinho do Porto?

Apenas podemos retirar pontos...

Precisamos de uma função 2 vezes diferenciável Possíveis soluções:

- Interpolação / mínimos quadrados - Regularização por filtros....

Regularização - filtros

Como lidar com informação imprecisa, com ruído?

f(x)=sin(x)+0.1sin(15x)

O cálculo da evoluta é largamente afectado pela perturbação

perturbação

Regularização - filtros

Filtro simples (grau 0)

1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 +ε −ε ε=0.1 ε=0.2 ε=0.4 original

Regularização - filtros

A função de filtro R_ε permite regularizar a função original f.

f(0) = < f , δ > = ∫_R f(x) δ(x) dx

f(0) ≈ < f , R_ε > = ∫_R f(x) R_ε(x) dx = ∫_[-ε,ε] f(x) 1/(2ε) dx

= f(ξ) ∫_[-ε,ε] 1/(2ε) dx = f(ξ), com ξ∈[−ε,ε]

(teorema do valor intermédio em integrais)

Outros pontos (y qualquer)

f(y) = < f , δ(.−y) > ≈ < f , R_ε (.−y) >

+ε −ε

Filtro simples (grau 0)

Não é possível definir uma derivada clássica –

funções de Heaviside >>> deltas de Dirac 1/(2ε)

Regularização - filtros

Filtro simples (grau 1)

+ε −ε

É possível definir uma derivada seccionalmente

+ε −ε

As mesmas ideias podem ser aplicadas à derivação:

< f ', R > = ∫_[-ε,ε] f '(x) R(x) dx = − ∫ _[-ε,ε] f(x) R'(x) dx = − < f, R' >

(integração por partes: notar que R(± ε)=0)

Isto permite introduzir a noção de derivação fraca

– derivação para funções não diferenciáveis no sentido clássico

1/ε

Mas não uma 2ª derivada >>> deltas de Dirac

Regularização - filtros

Filtro simples (spline)

+ε −ε

Permite aproximar 2ª derivada, com funções seccionalmente polinomiais

C1

Filtro geral (exponencial)

+ε −ε

C∞

Permite aproximar qualquer derivada 7a figura:

R(x) = K exp (-1/(1-x2_{)) para |x|<1,}

R(x) = 0, caso contrário

>> é infinitamente diferenciável, mas não é analítica K~2.25 (normaliza área=1)

0 200 400 600 800 1000 -100 0 100 200 300 400 500

Evolutas com filtros

aplicação às medições pontuais que definem a linha de água na fotografia aérea da baía

Linha que une os pontos medidos (que definem a baía)

Pontos da linha evoluta definidos após

regularização por filtro de ordem 2

- 4 -2 2 4 - 6 - 4 - 2 2 4 -4 -2 2 4 -4 -2 2 4

Aplica-se à refracção pela lei de Snell-Descartes

(exemplos de lentes e raios de refracção associados)

Outras curvas – Diacáusticas