“Arte e Matemática”
Episódio: ”A Forma que se Transforma” Resumo
A série "Arte e Matemática" apresenta, de forma intuitiva e lúdica, a Matemática utilizada pelos artistas em obras de arte e expressões artísticas através da música, do cinema, das pinturas e das esculturas, além de estabelecer relações com outros fatos. O episódio “A Forma que se Transforma” enfoca uma geometria voltada aos conceitos de transformação contínua e transformação descontínua em corpos elásticos, presentes na arte, na natureza e no manuseio de massas numa confeitaria. A partir das características das transformações de corpos elásticos a topologia é apresentada de forma intuitiva. Exemplos de transformações contínuas, relacionados à natureza tais como o movimento dos astros, aparecem em forma de animações. Na confeitaria são mostradas transformações contínuas enquanto a massa é sovada através de transformações descontínuas, quando as roscas são moldadas, a partir de uma massa no formato de um disco. Já nas artes, são mostradas as transformações que os artistas plásticos utilizam para produzir obras com argila, folhas de papel, tecidos e chapas de metal ou madeira. A construção da cinta (anel ou fita) de Moebius, que consiste na construção de uma cinta com uma única face, utilizando uma tira de papel, cola e tesoura é mostrada, com detalhes, enquanto são apresentadas obras de arte, elaboradas a partir de transformações desta natureza. Problemas e teoremas clássicos da topologia são colocados e analisados, de forma ilustrada, possibilitando o desenvolvimento do pensamento matemático.
Palavras-chave
Geometria, topologia, transformações contínuas, faixa de Moebius, origami.
Nível de ensino Fundamental (9º ano). Componente curricular Matemática. Disciplinas relacionadas Arte.
Aspectos relevantes do vídeo
Na parte inicial do vídeo é mostrando uma ponte pênsil, que entrou em ressonância, transformando-se até romper suas estruturas. Nos 14 segundos que a ponte é mostrada, sob a ótica do que se vê, é possível perceber transformações contínuas enquanto a ponte se movimenta. O momento do rompimento caracteriza uma transformação descontínua.
Utilizando papel, caneta e um elástico, o professor Luiz Barco apresenta a topologia como uma geometria que estuda deformações contínuas dando destaque a existência de pontos interiores e exteriores ao objeto em questão, fato que não se
A ilustração do movimento dos planetas é mostrada como exemplo de movimento contínuo. A transformação de uma porção de argila em uma peça de cerâmica é mostrada para exemplificar uma transformação contínua enquanto a ceramista molda, sem furar, emendar, nem arrancar pedaços de argila. Ao arrancar um pedaço, a transformação é um exemplo de descontinuidade.
Trabalhos de Lucio Fontana com telas furadas e de outros artistas que usaram zíperes em suas telas, são mostrados para exemplificar a descontinuidade presente em quadros artísticos.
Ao apresentar o anel de Moebius o vídeo apresenta a construção deste a partir de uma tira de papel. Mostra ainda obras de arte com este tipo de transformação.
Numa confeitaria são mostradas as transformações feitas na massa para produção de uma rosca, a qual pode ser obtida a partir de uma esfera transformada em disco, através de uma transformação contínua, e o disco em rosca através de uma descontinuidade introduzida no disco. A outra forma que é mostrada para produzir roscas é através de junção das extremidades de uma tira de massa, que também caracteriza uma transformação descontínua. A partir de transformações contínuas em corpos elásticos no formato de rosca, o vídeo mostra que é possível formar uma xícara e vice versa.
O problema clássico das sete pontes de Königsberg é apresentado com animações. São mostrados esquemas com soluções intermediárias, transformando o problema dado em outro baseado na ligação de pontos de forma contínua, sem levantar o lápis ou a caneta.
O origami é apresentado, como a arte de transformar folhas de papel em diversas figuras, através de dobraduras. As dobraduras são transformações contínuas.
Os poemóbulis, criado por Julio Plaza e Augusto Campos, constituem uma forma de apresentar poemas sobre folhas descontínuas.
Duração da atividade.
Duas horas/aula. (Aproximadamente dois tempos de 45 min).
O que o aluno poderá aprender com esta aula Entender o significado da palavra topologia de forma intuitiva.
Identificar características de continuidade e descontinuidade em obras de arte e em objetos do dia a dia.
Distinguir transformações contínuas de transformações descontínuas. Conhecer as características do anel de Moebius.
Conhecer o problema clássico das sete pontes de Königsberg.
Conhecimentos prévios que devem ser trabalhados pelo professor com o aluno
Estratégias e recursos da aula/descrição das atividades Etapa 1 – mobilização
Motive os alunos para que fiquem curiosos sobre as novidades que irão ver no filme. Sugestões de perguntas: Quem já passou por uma ponte que balança? Quem já fez aviãozinho de papel, sem cortar a folha utilizada? Quem já brincou com massa de modelar ou argila? Quem já viu uma cinta ou anel com uma única face? Informe que o filme que eles assistirão trata de tudo isto, apresentando uma geometria que estuda as transformações contínuas, como as dobraduras para fazer aviãozinho, bem como as transformações descontínuas, que acontecem quando um objeto se rompe. Providencie folhas de papel, tesouras, lápis de cor ou de cera e cola, para serem utilizados em grupos de 3 a 5 alunos cada. Caso haja necessidade dos alunos trazerem o material de casa, avise-os com antecedência.
Etapa 2 – Exibição do Vídeo
Exiba o vídeo completo para os alunos. A duração deste é de 26 minutos. Pergunte se querem rever alguma parte. Reveja estas partes, se for o caso. Apresente novamente a parte sobre a cinta de Moebius que fica localizado entre 5min 1s até 7min 47s. As imagens apresentadas nas figuras 1 e 2 foram obtidas a partir do vídeo e mostram o início e final da parte a ser retomada.
Figura 1 Figura 2 Caro Professor. Apresentaremos algumas sugestões de atividades para a Etapa 3, que é a parte onde os alunos investigam e respondem às questões envolvendo assuntos presentes no vídeo. Escolha a que melhor atender seus objetivos, ou porquê não, misturar, adaptar e ampliar uma ou mais delas para sua aula.
Etapa 3 – Atividade 1
Organize os alunos em pequenos grupos, para que cada grupo construa três cintas de Moebius usando fitas de papel e cola.
Para que os alunos percebam que a cinta formada tem somente uma face, solicite a eles, que pintem ou tracem uma linha em um das cintas, num único sentido, de forma contínua até encontrar o ponto onde a pintura ou a linha foi iniciada.
Utilizando a segunda cinta, peça para que cortem a mesma ao meio, de modo que a largura fique com a metade da medida atual, assim como foi mostrado no
única face. Os alunos podem utilizar a pintura conforme procedimento adotado anteriormente para verificar o número de faces da cinta obtida.
Peça para que investiguem o que acontece se a terceira cinta for cortada ao meio duas vezes em vez de uma única vez. Quando isto é feito, duas fitas são obtidas, uma dentro da outra.
Seguem algumas sugestões de questões que podem ser respondidas em pequenos grupos para apresentação e discussão no grande grupo.
a) As transformações realizadas a partir das tiras de papel, para construir as cintas de Moebius foram transformações contínuas. Por quê?
b) Uma tira de papel e uma cinta de Moebius são topologicamente iguais? Porque?
c) Quais são as diferenças entre uma tira de papel e uma cinta de Moebius. d) Quais são as diferenças entre a cinta de Moebius e as cintas obtidas a
partir de um e/ou dois cortes?
Professor, seguem abaixo orientações sobre o objetivo e as respostas das perguntas acima.
É importante enfatizar que, uma transformação só é contínua quando for realizada sem furar, sem emendar e sem cortar. Se uma ou mais destas três ações ocorrer, a transformação não é contínua, ou seja, é descontinua.
Considerando a primeira pergunta, que aparece no item a, espera-se que os alunos lembrem que foi feita uma emenda para formar cada uma das cintas a partir das tiras de papel utilizadas. Devido a este fato, as transformações não foram contínuas.
No item b, é possível perceber que uma tira de papel e uma cinta de Moebius são topologicamente diferentes. Pois não é possível transformar uma na outra sem cortar ou juntar. Não há como tirar o espaço interno da cinta sem cortar a cinta e não tem como fazer a cinta sem juntar extremidades da tira. Outras colocações que mostram diferenças também podem ser consideradas.
Considerando o item c, entre as possíveis interpretações que os alunos podem das, um fato a destacar é a diferença entre o número de faces da tira de papel, que são duas e da cinta de Moebius, que tem uma única face.
A última questão espera-se que os alunos obsevaram que, ao fazer um corte, da forma como foi mostrado no vídeo, a nova cinta formada aparece com mais torções que a cinta de Moebius. Além disto, a fita obtida por uma divisão na largura possui duas faces distintas, enquanto a fita de Moebius possui somente uma face. Já ao cortar novamente a cinta obtida no último corte, são obtidas duas fitas idênticas, similares da que foi cortada por último, contendo duas faces e não uma só, como a cinta de Moebius e com mais torções.
Etapa 3 – Atividade 2.
Comente ou reapresente a parte do vídeo entre 10min 45s até 12min. As imagens de início e final estão apresentadas nas figuras 3 e 4 respectivamente.
Figura 3 Figura 4
Desafie os alunos a fazerem transformações contínuas sem furar novamente, sem emendar e nem tirar pedaços usando algumas peças iniciais, feitas com massa de modelar. As peças iniciais podem ser: esferas; roscas e outras peças com dois furos. A partir destas sugira que formem utensílios domésticos ou outros objetos, deste que sejam transformações contínuas, ou seja, sem furar, cortar ou tirar pedaços.
Etapa 3 – Atividade 3.
Organize uma oficina com um professor de artes para construção de origamis enfatizando que as transformações que serão feitas com o papel são transformações contínuas. Veja algumas dicas de como organizar uma oficina ou uma aula para a confecção de origamis endereço a seguir:
http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=26876
Pequenos vídeos, que mostram como formar determinadas figuras de animais entre outras, podem subsidiar a organização da oficina ou a aula. Seguem alguns endereços:
Borboleta de origami- http://www.youtube.com/watch?v=sRAKSE7sJw0 Cisne de origami- http://www.youtube.com/watch?v=Tsj4BDzRqZQ
Pássaro de origami- http://www.youtube.com/watch?v=1xDq914IGOs
Etapa 3 – Atividade 4.
Escolha algumas atividades a partir das que estão relatadas no artigo “Topologia:
Uma Proposta Metodológica para o Ensino Fundamental”, de autora de Marlene
Rodrigues Rissi e Valdeni Soliani Franco, professores da rede estadual do estado do Paraná, o qual pode ser acessado no Portal dia a dia, no seguinte endereço:
http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/2210-8.pdf. As atividades apresentadas neste artigo estão relacionadas com a apresentação do vídeo
“A Forma que se Transforma” da TV Escola.
Sites recomendados: http://objetoseducacionais.mec.gov.br http://portaldoprofessor.mec.gov.br http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br http://www.dominiopublico.gov.br http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica http://www.youtube.com
Questões para discussão
A continuidade é uma característica do conjunto dos números reais? A descontinuidade é uma característica do conjunto dos números inteiros?
Considerando o tecido utilizado para confeccionar a roupa que vestimos hoje, é possível identificar algumas transformações contínuas ou descontínuas feitas sobre o tecido?
