Grupos e álgebras de Lie

(1)

Carlos Jos´

e Matheus

jmatheus@ime.usp.br

Sociedade Brasileira de Matem´atica

Rio de Janeiro - RJ, Brasil 2014

(2)

Fl´avia Morgana de O. Jacinto Editora: SBM

Impresso na Gr´afica: Capa:

Patroc´ınio: Superintendˆencia da Zona Franca de Manaus (SUFRAMA)

Cataloga¸c˜ao Matheus, Carlos Jos´e

Grupos e ´algebras de Lie - Rio de Janeiro, RJ:

SBM, 2014, 45p., 20,5 cm - (Minicurso Col´oquio CO 2014 ) ISBN

1.Grupos de Lie.2.Geometria.3.Matem´atica. Carlos Jos´e Matheus.

III Colóquio de Matemática da Região Norte. (2014. Manaus) T´ıtulo. Série

(3)

(4)

Agradecimentos

Ao Professor Dr. Elon Lages Lima, em cujos livros encontrei a inspira¸c˜ao para este trabalho. Ao Professor Dr. Ivan de Azevedo Tribuzy, pelo est´ımulo e pelos bons conselhos.

`

(5)

Pref´

acio

A teoria matemática iniciada por S. Lie tem seus primeiros profundos resultados no final do século XIX. No século XX, principalmente a partir dos trabalhos de E. Cartan, C. Chevalley e H. Coxeter, a Teoria de Lie caminha cada vez mais ao lado da Geometria. Conseqüência dessa feliz união foi o surgimento de bel´ıssimas teorias, em tempos recentes, como a dos espa¸cos simétricos, variedades bandeira, a geometria das a¸cões isométricas, grupos cristalográficos, grupos de Lie métricos e muitas outras, com aplica¸cões em diversas áreas de pesquisa.

Historicamente ela decorre da idéia de uma ”versão geométrica” da Teoria de Galois, que trataria equa¸cões diferenciais a partir de uma correspondência entre subespa¸cos (topológicos) de uma variedade diferenciável (que poderiam ser variedades integrais) e subálgebras de uma álgebra associada à variedade ambiente, de modo análogo ao da correspondência de Galois, entre subcorpos de um corpo de ra´ızes de equa¸cões algébricas e subgrupos de um grupo de automorfismos associado.

Estas notas apresentam tópicos fundamentais da teoria de Lie, enfatizando a rela¸cão entre os grupos de Lie e suas álgebras de Lie. O cap´ıtulo 1 trata das álgebras de Lie, em uma tentativa de evidenciar a beleza e elegância dessa teoria algébrica. O cap´ıtulo 2 trata das variedades diferenciáveis, que vão formar o background para a apresenta¸cão dos grupos de Lie. O cap´ıtulo 3 trata dos grupos de Lie e de suas rela¸cões com as álgebras de Lie, passando por conceitos fundamentais como o da aplica¸cão exponencial e o da repre-senta¸cão adjunta.

Assumimos que o leitor tenha familiaridade com aspectos fundamentais da Teoria de Grupos, da Álgebra Linear e da Topologia, além de um conhecimento equivalente a quatro semestres de Cálculo Diferencial e Integral. Seria recomendável (mas não estritatmente necessário) um curso elementar em Geometria Diferen-cial das Superf´ıcies (como em [Carmo](2005)) e no¸cões de Topologia Algébrica, essencialmente a Teoria dos Espa¸cos de Recobrimento (como em [Lima](1998)).

(6)

Conte´

udo

1 ´Algebras de Lie 1

1.1 ´Algebras de Lie 1

1.2 Ideais e homomorfismos 3

1.3 Álgebras de Lie solúveis e nilpotentes 6 1.4 Álgebras de Lie semisimples 9

1.5 A forma de Killing 10

2 Variedades diferenci´aveis 12

2.1 Preliminares 12

2.2 A forma local das imers˜oes 14

2.3 Superf´ıcies em R3 ₁₅

2.4 O plano tangente 18

2.5 Subvariedades do espa¸_{co R}n 20 2.6 Variedades diferenci´aveis 23

2.7 O espa¸co tangente 26

2.8 Subvariedades 30

2.9 Fluxos e campos vetoriais 32

3 Grupos de Lie 38

3.1 Grupos de Lie 38

3.2 Grupos de Lie conexos 40

3.3 Subgrupos de Lie 43

3.4 A exponencial 44

(7)

Cap´ıtulo 1

´

Algebras de Lie

´

Algebras de Lie

Defini¸cão 1 Uma álgebra de Lie é um espa¸co vetorial g com um operador bilinear g × g → g dado por (X, Y ) 7→ [X, Y ] que satisfaz

[Y, X] = −[X, Y ]

e [[X, Y ], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y ] = 0 quaisquer que sejam X,Y ,Z em g.

A primeira das duas condi¸cões acima é chamada anti-simetria. A outra é conhecida como a identidade de Jacobi. As álgebras de Lie que vamos considerar serão todas de dimensão finita, reais ou complexas. O operador da defini¸cão acima é chamado o bracket (ou o colchete de Lie). O vetor [X, Y ] é o bracket dos vetores X e Y . Observemos que a primeira condi¸cão acima é equivalente a

[X, X] = 0 , ∀ X ∈ g.

Exemplo 1 Se g ´e uma ´algebra linear associativa (um espa¸co vetorial com um produto associativo), defina-se o bracket [X, Y ] dos vetores X e Y em g por

[X, Y ] = XY − Y X

onde XY indica o produto original da álgebra g. É fácil verificar a identidade de Jacobi (exerc´ıcio) e a anti-simetria é imediata. Portanto, com essa defini¸cão de bracket, g é uma álgebra de Lie.

Exemplo 2 Se g é a álgebra de todas as matrizes n × n com entradas reais ou complexas, com o produto usual de matrizes, define-se o bracket de duas matrizes em g conforme o exemplo anterior. A álgebra de Lie resultante ´_{e indicada com gl(n, R) ou gl(n, C).}

Exemplo 3 Se V é um espa¸co vetorial e g é a álgebra de todos os endomorfismos de V (que são as trans-forma¸cões lineares de V em V ) com a opera¸cão de composi¸cão, define-se o bracket da mesma forma

[l, m] = l ◦ m − m ◦ l e obtem-se uma ´algebra de Lie de endomorfismos de V .

Indicamos com Eij a matriz cuja entrada na linha i e coluna j ´e 1 e todas as outras entradas s˜ao nulas.

Ent˜ao {Eij/ 1 ≤ i, j ≤ n} ´e uma base para gl(n, R) (com os escalares reais) ou para gl(n, C) (quando se

consideram escalares complexos). Segue-se que a dimens˜_{ao real de gl(n, R) é n}2, que é a dimensão complexa de gl(n, C). A dimensão real de gl(n, C) é 2n2.

Exemplo 4 Uma matriz real n × n X ´e anti-sim´etrica se satisfaz Xt+ X = 0

(8)

onde Xt _{indica a transposta da matriz X e 0 ´}_{e a matriz nula n × n. Indica-se com so(n) o conjunto das}

matrizes reais anti-simétricas n × n. É fácil ver que so(n) é um subespa¸_{co vetorial de gl(n, R). Além disso,} se X, Y ∈ so(n), tem-se

[X, Y ]t= (XY − Y X)t= YtXt− Xt_Yt_{= (−Y )(−X) − (−X)(−Y ) = Y X − XY = −[X, Y ]}

e segue-se que so(n) ´e uma ´algebra de Lie, contida na ´_{algebra gl(n, R), com o mesmo bracket.} Se n = 3, as matrizes E23− E32=   0 0 0 0 0 1 0 −1 0   , E13− E31=   0 0 1 0 0 0 −1 0 0   e E12− E21=   0 1 0 −1 0 0 0 0 0  

formam uma base para a ´algebra de Lie so(3).

Defini¸cão 2 Se g é uma álgebra de Lie, uma subálgebra de Lie de g é um subespa¸co vetorial s de g que é, por sua vez, uma álgebra de Lie, com o bracket de g. Equivalentemente: s é um subespa¸co de g e [X, Y ] ∈ s, ∀ X, Y ∈ s.

O exemplo acima exibe a álgebra de Lie so(n) como sub´_{algebra de gl(n, R).} Exerc´ıcio: a dimensão de so(n) é n(n−1)₂ .

Sugest˜ao: obtenha-se uma base para so(n) que seja como a base de so(3) no exemplo 4 (observe-se que

3(3−1) 2 = 3).

Exemplo 5 Generalizando o exemplo anterior, se J ´e uma matriz n × n qualquer, o subespa¸co das matrizes X ∈ gl(n, R) que satisfazem

XtJ = −J X ´

e uma ´algebra de Lie, sub´_{algebra de gl(n, R) (verificar). No caso em que J =}

0 I −I 0

(com I = matriz identidade n × n) essa álgebra de Lie é conhecida como a álgebra real simpl´_{etica e indicada com sp(2n, R).} Exemplo 6 A álgebra de Lie das matrizes complexas n × n de tra¸co nulo

sl_{(n, C) = {X ∈ gl(n, C) / tr X = 0}} ´

e um exemplo fundamental na Teoria de Lie. Para n = 2, os vetores h = 1 0 0 −1 , e = 0 1 0 0 e f = 0 0 1 0

formam uma base (sobre o corpo dos complexos) para o espa¸_{co vetorial sl(2, C) e a estrutura de álgebra de} Lie é dada pelas rela¸cões

[h, e] = 2e , [h, f ] = −2f , [e, f ] = h. Exerc´ıcio: provar as rela¸c˜_{oes acima para sl(2, C).}

Ideais e homomorfismos

Defini¸cão 3 Se g é álgebra de Lie, um ideal de g é um subespa¸co h que satisfaz [X, Y ] ∈ h ∀ Y ∈ g , ∀ X ∈ h.

(9)

Observe-se que todo ideal ´e sub´algebra.

Exemplo 7 O centro de uma ´algebra de Lie g ´e o subespa¸co de g definido por Zg = {X ∈ g / [X, Y ] = 0 ∀ Y ∈ g}

(Zg é o conjunto dos vetores de g que comutam com todos os elementos de g). É fácil mostrar que Zgé um

ideal, e portanto uma sub´algebra.

Se k e h são subconjuntos de uma álgebra de Lie g, indica-se com [k, h] o subespa¸co gerado pelo conjunto {[X, Y ] / X ∈ k, Y ∈ h}. Com essa nota¸cão tem-se [h, h] ⊆ h, se h for subálgebra e [g, h] ⊆ h, se h for um ideal.

Se g é álgebra de Lie, define-se, para X ∈ g, a transforma¸cão adX por

adX(Y ) = [X, Y ] , Y ∈ g.

Para cada X ∈ g, adX ´e um endomorfismo de g e a aplica¸c˜ao ad : g → End(g) dada por ad(X) = adX

satisfaz

ad([X, Y ]) = ad(X)ad(Y ) − ad(Y )ad(X) = [ad(X), ad(Y )] , ∀ X, Y ∈ g. Exerc´ıcio: provar a igualdade acima (sugest˜ao: identidade de Jacobi).

Defini¸cão 4 Se g e h são álgebras de Lie, um homomorfismo de g em h é uma transforma¸cão linear ϕ : g → h que satisfaz

ϕ([X, Y ]) = [ϕ(X), ϕ(Y )] , ∀ X, Y ∈ g

Se ϕ tem inversa (se ϕ é biun´ıvoca e sobre) então ϕ é chamada um isomorfismo. Duas álgebras de Lie são isomorfas se existe um isomorfismo entre elas. Indica-se com Hom(g, h) o conjunto de todos os homomor-fismos de g em h.

Observe-se que duas álgebras de Lie isomorfas são isomorfas como espa¸cos vetoriais e, em particular, têm a mesma dimensão.

Defini¸cão 5 Um endomorfismo ϕ : g → g de uma álgebra de Lie g é uma deriva¸cão se satisfaz ϕ([X, Y ]) = [ϕ(X), Y ] + [X, ϕ(Y )] , ∀ X, Y ∈ g

Exerc´ıcio: vimos acima que a aplica¸cão ad : g → End(g) é um homomorfismo. Além disso, para cada X ∈ g, o endomorfismo adX é uma deriva¸cão.

Exerc´ıcio: o n´ucleo de um homorfismo ϕ : g → h ´e definido por ker(ϕ) = {X ∈ g / ϕ(X) = 0}.

ker(ϕ) é um ideal de g. Se ϕ = ad : g → End(g), então ker(ϕ) = Zg, o centro da álgebra g.

Defini¸cão 6 Uma álgebra de Lie g é abeliana se [X, Y ] = 0 ∀ X, Y ∈ g. g é chamada simples se g não é abeliana e os únicos ideais de g são 0 e a própria g (g não tem ideal não trivial).

Exemplo 8 Toda álgebra de Lie unidimensional é abeliana. Realmente, se g é gerada por X, então, quais-quer que sejam Y, Z ∈ g, existem escalares α, β tais que Y = αX e Z = βX. E logo [Y, Z] = [αX, βX] = αβ[X, X] = 0. Portanto g é abeliana. Segue-se deste exemplo que se g é álgebra de Lie simples, então dim g ≥ 2.

(10)

Exemplo 9 A ´algebra de Lie formada pelo espa¸_{co R}3 _{com o produto vetorial ´}_{e um exemplo de ´}_{algebra de}

Lie simples. Realmente, o produto vetorial ´e a forma bilinear [ , ] : R3× R3

→ R3

dada por [X, Y ] = X × Y a partir das condi¸c˜oes i) X × Y ´e ortogonal ao plano gerado por X e Y

ii) kX × Y k é igual à área do paralelogramo gerado por X e Y

iii) {X, Y, X × Y } ´_{e base positiva de R}3 _{(compat´ıvel com a orienta¸}_c˜_{ao canˆ}

onica de R3_).

Observe-se que o produto vetorial está bem definido e que se segue das condi¸cões acima, por unicidade, que Y × X = −X × Y (exerc´ıcio). Se {e1, e2, e3} é a base canônica de R3 (com a métrica dada pelo produto

escalar), as condi¸c˜oes acima acarretam

e1× e2= e3 , e2× e3= e1 e e3× e1= e2

e segue-se da bilinearidade que

X × Y = 3 X k=1 xkek× 3 X s=1 yses= (x2y3− x3y2)e1+ (x3y1− x1y3)e2+ (x1y2− x2y1)e3= = x2 y2 x3 y3 e1− x1 y1 x3 y3 e2+ x1 y1 x2 y2 e3.

A anticomutatividade está verificada e a identidade de Jacobi é um exerc´ıcio fácil. Observe-se que (e1× e2) × e3+ (e2× e3) × e1+ (e3× e1) × e2=

= e3× e3+ e1× e1+ e2× e2= 0 + 0 + 0 = 0.

Al´em disso a ´algebra de Lie g definida pelo espa¸_{co R}3 _{com o produto vetorial ´}_{e uma ´}_{algebra de Lie simples.}

Realmente, se a ⊆ g ´e um ideal e a 6= 0, tome-se um vetor ˜X ∈ a, ˜X 6= 0, e construa-se a partir de ˜

X uma base ortonormal positiva {X, Y, Z}. Então Z = X × Y = [X, Y ] está em a (pois a é ideal) e Y = [Z, X] = −[X, Z] também está em a. Segue-se que a = g. Portanto os únicos ideais de g são 0 e g. Exerc´ıcio: A álgebra de Lie g no exemplo acima é isomorfa á álgebra de Lie so(3).

Sugest˜ao: o isomorfismo ´e dado por

e17→ E23− E32 , e27→ E13− E31 , e37→ E12− E21 .

Lema 1 Se a e b são ideais de uma álgebra de Lie g, então a + b, a ∩ b e [a, b] são também ideais. Em palavras: a soma, a interse¸cão e o bracket de ideais são ideais.

Prova

Sejam a e b ideais da álgebra de Lie g. Se Z ∈ a + b, então Z = A + B, com A ∈ a, B ∈ b. E logo, para qualquer X ∈ g, tem-se [A, X] ∈ a e [B, X] ∈ b, visto que a e b são ideais. Portanto

[Z, X] = [A + B, X] = [A, X] + [B, X] ∈ a + b.

Se X ∈ a ∩ b, ent˜ao, para qualquer Y ∈ g, tem-se [X, Y ] ∈ a (pois X ∈ a) e [X, Y ] ∈ b (pois X ∈ b). E logo [X, Y ] ∈ a ∩ b.

Finalmente, se X = λ1[A1, B1] + ... + λn[An, Bn] ∈ [a, b] e Y ∈ g ´e qualquer, temos

(11)

Mas λs[[As, Bs], Y ] = −λs[[Bs, Y ], As] − λs[[Y, As], Bs] = λs[As, [Bs, Y ]] + λs[[As, Y ], Bs] ∈ [a, b], s = 1, ..., n.

E logo [X, Y ] ∈ [a, b].

c.q.d.

´

Algebras de Lie sol´

uveis e nilpotentes

Indicamos com g1 _{o ideal [g, g] da ´}_{algebra de Lie g (sabemos, pelo lema acima, que g}1_´_{e um ideal). g}1

´e conhecido como o ideal dos comutadores.

Defini¸cão 7 A série dos comutadores para a álgebra de Lie g (também conhecida como a série derivada) é a cadeia de ideais

g0⊇ g1⊇ g2⊇ ... ⊇ gk⊇ ...

onde g0_{= g, g}1_{= [g, g], g}2_{= [g}1_{, g}1_{] e, para cada inteiro positivo k, g}k+1_{= [g}k_{, g}k_].

Uma álgebra de Lie g é solúvel se existe k tal que gk _{= 0.}

Observe-se que toda álgebra de Lie abeliana é solúvel.

Defini¸cão 8 A série central descendente para a álgebra de Lie g é a cadeia de ideais g0⊇ g1⊇ g2⊇ ... ⊇ gk⊇ ...

onde g0= g, g1= g1= [g, g], g2= [g1, g] e, para cada inteiro positivo k, gk+1= [gk, g].

Uma ´algebra de Lie g ´e nilpotente se existe k tal que gk = 0.

Observemos que toda álgebra de Lie nilpotente é solúvel (verificar).

Exemplo 10 A álgebra de Lie das matrizes 3 × 3 triangulares superiores, com entradas reais (subálgebra de gl_{(3, R)) é um exemplo ”canônico” de álgebra de Lie sol´}uvel. Observe-se que g3_{= 0.}

Exerc´ıcio: A álgebra de Lie do exemplo acima não é nilpotente.

Exemplo 11 A ´algebra de Lie das matrizes reais 3 × 3 triangulares estritamente superiores (sub´algebra da ´

algebra do exemplo anterior) é um exemplo importante de álgebra de Lie nilpotente, conhecida como a álgebra de Heisenberg real tridimensional. Seus elementoe são matrizes da forma

  0 a c 0 0 b 0 0 0  . ´

E costume dizer que ´e uma ´algebra nilpotente em dois passos (observe-se que g2= 0).

Exemplo 12 Se g é uma álgebra de Lie de dimensão 2, então ou bem g é abeliana ou g tem uma base {X, Y } que satisfaz [X, Y ] = Y . Fica, portanto, determinada a menos de isomorfismo a estrutura de qual-quer álgebra de Lie bidimensional.

Realmente, se {E, F } é uma base qualquer de g, sejam os escalares γ e δ tais que [E, F ] = γE + δF . Se [E, F ] = 0, então todos os brackets são nulos e g é abeliana (g1= 0). Caso contrário, sejam Y = [E, F ] =

γE + δF e X = αE + βF um vetor não múltiplo de Y (então αδ − βγ 6= 0 e {X, Y } é uma base de g). Temos

[X, Y ] = [αE + βF, γE + δF ] = (αδ − βγ)[E, F ] = (αδ − βγ)Y Se escolhermos α e β tais que αδ − βγ = 1, obteremos

(12)

Exerc´ıcio: Se dim g ≤ 2, então g é solúvel.

Defini¸cão 9 Se g é álgebra de Lie e a ⊆ g é ideal, o espa¸co vetorial quociente g/a adquire estrutura de ´

algebra de Lie com o bracket definido por

[X + a, Y + a ] = [X, Y ] + a . g/a ´e chamada a ´algebra de Lie quociente de g por a.

Se ˜X + a = X + a, ent˜ao ˜X − X ∈ a e, como a ´e ideal, [ ˜X − X, Y ] ∈ a, ∀ Y ∈ g. Equivalentemente: [ ˜X, Y ] + a = [X, Y ] + a, ∀ Y ∈ g. E logo

[ ˜X + a, Y + a] = [ ˜X, Y ] + a = [X, Y ] + a = [X + a, Y + a ]. Portanto a estrutura de ´algebra de Lie est´a bem definida em g/a.

Exerc´ıcio: A proje¸c˜ao π : g → g/a definida por

π(X) = X + a ´

e um homomorfismo de álgebras de Lie e ker(π) = a. Segue-se que todo ideal é o núcleo de algum homo-morfismo.

Exerc´ıcio: Se g é uma álgebra de Lie solúvel e h ⊆ g é subálgebra, então h também é solúvel.

Exerc´ıcio: Se ϕ : g → h é homomorfismo de álgebras de Lie, a imagem ϕ(g) de g por ϕ é uma subálgebra de Lie de h.

Lema 2 Se g é álgebra de Lie solúvel e ϕ : g → h é um homomorfismo de álgebras de Lie, então a álgebra de Lie ϕ(g), imagem da álgebra de Lie g por ϕ, é solúvel.

Prova

Seja k ∈ N tal que gk_{= 0. Ent˜}_ao

ϕ(g)k= ϕ(gk) = ϕ(0) = 0

(observa-se que ϕ(g1_{) = ϕ([g, g]) = [ϕ(g), ϕ(g)] = ϕ(g)}1 _{e prova-se o caso geral por indu¸}_c˜_{ao sobre k).}

c.q.d. Corol´ario

Se g/a é álgebra quociente de uma álgebra de Lie solúvel g por um ideal a ⊆ g, então g/a é solúvel. Prova

Seja π : g → g/a a proje¸cão de g sobre g/a, dada por π(X) = X + a, para X ∈ g. Então π é um homomor-fismo e logo a imagem g/a = π(g) é solúvel, pelo lema acima.

c.q.d. Segue-se que subálgebras e álgebras quocientes de álgebras de Lie solúveis são solúveis. Com um racioc´ınio similar prova-se que subálgebras e álgebras quocientes de álgebras de Lie nilpotentes são também nilpotentes e, em particular, solúveis. O lema a seguir é uma rec´ıproca para esse fato, que tem grande utilidade.

Proposi¸cão 10 Se a ⊆ g é um ideal solúvel e a álgebra quociente g/a é solúvel, então a álgebra de Lie g é solúvel.

Prova

Sejam k ∈ N tal que (g/a)k = 0 e r ∈ N tal que ar = 0. Ent˜ao o homomorfismo proje¸c˜ao π : g → g/a, X 7→ X + a, satisfaz

(13)

e logo gk _{⊆ ker(π) = a. Portanto}

gk+r= (gk)r⊆ ar_{= 0}

e segue-se que g ´e sol´uvel.

c.q.d.

Exemplo 13 As álgebras de Lie tridimensionais são todas solúveis ou simples. Realmente, se g é álgebra de Lie com dim g = 3 e g não é simples, então g tem um ideal não trivial a, cuja dimensão tem que ser 1 ou 2. Em qualquer caso, sabemos que a é um ideal solúvel. Além disso, a dimensão da álgebra quociente g/a também tem que ser 2 ou 1. Logo g/a é, também, solúvel. Segue-se então da proposi¸cão acima que g é solúvel.

´

Algebras de Lie semisimples

Se g tem dimensão finita, a soma de todos os ideais solúveis em g é uma soma finita e, portanto, um ideal. A proposi¸cão abaixo afirma que esse ideal é solúvel.

Proposi¸cão 11 Se g é álgebra de Lie de dimensão finita, existe em g um único ideal solúvel que contem todos os ideais solúveis de g.

Prova

Sejam a e b ideais solúveis em g e seja h = a + b. Então h é um ideal em g e a é um ideal solúvel em h. Além disso, a interse¸cão a ∩ b é um ideal em b e, como b é solúvel, sabemos que o quociente b/a ∩ b é solúvel. Segue-se então do teorema do isomorfismo (veja-se [Garcia & Lequain](1985)) que

h/a = (a + b)/a ∼= b/a ∩ b

é solúvel. E da proposi¸cão 1 acima segue-se que a + b = h é solúvel. Por indu¸cão, concluimos que a soma de um número finito de ideais solúveis é um ideal solúvel.

Seja ent˜ao o ideal r definido por

r= X

asol´uvel

a

Como a dimens˜ao de g ´_{e finita, existe N ∈ N tal que r =}PN

s=1as, onde a1, ..., aN s˜ao todos os ideais sol´uveis

em g. E logo, se a ´e um ideal sol´uvel qualquer e X ∈ a, tem-se a = aspara algum s ∈ {1, ..., N } e

X ∼ 0 + ... + 0 + X + 0 + ... + 0 ∈ r.

Logo r é um ideal solúvel em g e contem todos os ideais solúveis de g. A unicidade segue da própria constru¸cão de r (se dois ideais em g são ambos solúveis e contem cada um todos os ideais solúveis de g, então um está contido no outro).

c.q.d. Defini¸cão 12 O ideal r da proposi¸cão acima é conhecido como o radical de g (ou o radical solúvel de g, se o contexto exigir) e é indicado com radg.

Defini¸cão 13 Uma álgebra de Lie g é semisimples se radg = 0. Em palavras: se g não tem ideal solúvel

(14)

Exerc´ıcio: Se g ´e semisimples, Zg= 0.

Observe-se que se g é álgebra de Lie solúvel, a álgebra derivada g1_{= [g, g] satisfaz g}1_{6= g. Pois se g}1 _{= g,}

teremos g2 = [g1, g1] = [g, g] = g1 = g, g3 = g e, a fortiori, gk _{= g, ∀ k ∈ N. Ou seja: não existirá k ∈ N} tal que gk = 0. Por outro lado, se g é simples, então g1 = g. Pois se g1 = 0, então g é abeliana e, por-tanto, não é simples (por defini¸cão). E se 0 6= g16= g, então g tem um ideal não trivial g1, e logo não é simples. Exerc´ıcio: Álgebras de Lie simples não são solúveis. Álgebras de Lie solúveis não são simples.

Exerc´ıcio: Toda ´algebra de Lie simples ´e semisimples. Exerc´ıcio: Encontrar o centro da ´_{algebra de Lie gl(n, R).}

A forma de Killing

Suponha-se que g é álgebra de Lie e dim g = n. Então, para cada X ∈ g fixo, o endomorfismo adX: g → g

´

e representado por uma matriz n×n em rela¸cão a alguma base de g (todo espa¸co vetorial de dimensão n é iso-morfo ao Rn). Se Y ∈ g, a composi¸cão de operadores fornece novamente um endomorfismo adXadY: g → g

que também é representado em rela¸cão àquela base de g pela matriz produto da matriz de adXpela matriz de

adY, que também é uma matriz n × n. Como o tra¸co da matriz que representa um endomorfismo em rela¸cão

a uma base de um espa¸co vetorial n˜ao depende da base escolhida, fica bem definido o tra¸co do endomorfismo adXadY: g → g, pela escolha de uma base de g e pelo c´alculo do tra¸co da matriz produto das matrizes de

adX e de adY em rela¸c˜ao `a base escolhida.

Isso define uma forma bilinear sobre g, conhecida como forma de Killing (ou forma de Cartan-Killing), conforme a defini¸c˜ao a seguir.

Defini¸cão 14 Se g é álgebra de Lie de dimensão finita, a forma de Killing de g é a forma bilinear simétrica B : g × g → K (K = R ou C) dada por

B(X, Y ) = tr adXadY.

Um resultado fundamental que relaciona a forma de Killing com a estrutura da álgebra de Lie é o celebrado critério da semisimplicidade, devido a E. Cartan.

Teorema 15 Se g é álgebra de Lie de dimensão finita, então g é semisimples se e somente se a forma de Killing Bg _{de g ´}_{e n˜}_{ao degenerada.}

Exemplo 14 Sabemos que a ´_{algebra de Lie g = sl(2, C) tem a base ”canˆonica” {h, e, f }, que define a} es-trutura de ´algebra ([h, e] = 2e, [h, f ] = −2f e [e, f ] = h). Tem-se, portanto, h, e, f ∈ [g, g] = g1_{, logo g}1_{= g}

e segue-se que g ´e simples e, portanto, semisimples.

O c´alculo de tr adXadY, com X, Y = h, e, f , fornece a matriz

[B] =   8 0 0 0 0 4 0 4 0  

que define a forma de Killing

B(X, Y ) = 8x1y1+ 4x2y3+ 4x3y2.

´

(15)

Exerc´ıcio: calcular a matriz [B].

Se g é uma álgebra de Lie solúvel de matrizes com entradas complexas, o espa¸_{co C}n _{tem uma base em}

rela¸cão `_{a qual todas as matrizes de g (vistas como matrizes de operadores lineares sobre C}n) são triangulares. O Teorema de Lie generaliza esse fato para qualquer álgebra de Lie solúvel sobre um corpo algebricamente fechado.

Teorema 16 Se g é uma álgebra de Lie sol´_{uvel sobre um corpo algebricamente fechado K, V é um espa¸co} vetorial não trivial de dimensão finita e π : g → EndV uma representa¸cão de g na álgebra dos endomorfismos de V , então existe uma seqüência de subespa¸cos

V = V0⊇ V1⊇ ... ⊇ Vm= 0

tal que cada Vi é invariante por π(X) para todo X ∈ g e dim Vi/Vi+1 = 1. Em conseqüência V tem uma

base em rela¸cão à qual todas as matrizes de π(X), com X ∈ g, são triangulares.

Se g for uma ´algebra de Lie nilpotente, o operador adX: g → g ´e nilpotente, qualquer que seja X ∈ g

(verificar). Em verdade a álgebra de Lie adg(cujos elementos são adX, com X ∈ g) é nilpotente se e somente

se g ´e nilpotente. O teorema de Engel generaliza esse fato e fornece uma rec´ıproca.

Teorema 17 Se V 6= 0 é um espa¸co vetorial de dimensão finita e g ⊆ EndV é uma álgebra de Lie de endomorfismos de V , todos nilpotentes, então

i) g ´e uma ´algebra de Lie nilpotente

ii) Existe um vetor w ∈ V , w 6= 0, tal que X(w) = 0 ∀X ∈ g.

iii) V tem uma base em rela¸cão à qual X é estritamente triangular, para todo X ∈ g. Exerc´ıcio: g é nilpotente se e somente se adgé nilpotente.

Sugest˜ao: Suponha que g3= 0 e prove que (adg)2= 0 sse g3= 0. E aplique-se indu¸c˜ao.

Realmente, se [[[X, Y ], Z], W ] = 0 ∀X, Y, Z, W , ent˜ao ad[[X,Y],Z]= 0 ∀X, Y, Z.

(16)

Cap´ıtulo 2

Variedades diferenci´

aveis

Preliminares

Os espa¸cos (topol´ogicos) que vamos estudar s˜ao localmente modelados pelo espa¸_{co R}n_{, o que diz que}

eles se comportam, em torno de cada ponto, topologicamente, como o Rn _{e a sua geometria difere}

”suave-mente” da geometria (euclidiana) de Rn_{. Um exemplo canˆ}_{onico (um exemplo ”visualiz´}_{avel” que traz em si}

a id´eia central) ´_{e o de uma superf´ıcie S em R}3_{, que pode ser pensada como obtida a partir de uma cole¸}_c˜_ao

enumerável de discos abertos, suavemente deformados e ”colados” sem dobras ou pontas. A defini¸cão de variedade diferenciável exige que tais espa¸cos topológicos tenham base enumerável, portanto pensar em uma cole¸cão enumerável de discos é justificável.

Recordamos algumas defini¸c˜oes e resultados do c´_{alculo em R}n _{que lan¸}_{cam bases s´}_{olidas para a teoria}

das variedades diferenci´aveis.

Defini¸cão 18 Se U e W são subespa¸cos topol´_{ogicos de R}n, um homeomorfismo de U sobre W é uma bije¸cão cont´ınua ξ : U → W cuja inversa é cont´ınua. U e W são ditos homeomorfos se existe um homeomorfismo entre eles.

Observe-se que uma bije¸c˜ao pode ser de classe C∞ sem que sua inversa seja cont´ınua (por exemplo, ξ : [0, 2π) → S1 dada por ξ(t) = (cos t, sen t) (veja-se [Lima](2006)).

Um homeomorfismo preserva a topologia. Em particular, se um dos dois subconjuntos for aberto, o outro tamb´em o ser´a.

Defini¸c˜ao 19 Um homeomorfismo de classe Ck _{(com k ≥ 1) ´}_{e um difeomorfismo de classe C}k _{(ou um}

Ck_{-difeomorfismo) se o homeomorfismo inverso tem classe C}k_{. Se ξ : U → W ´}_{e um difeomorfismo, U e W}

s˜ao ditos difeomorfos (Ck_{-difeomorfos, se ξ ∈ C}k_{). Escreve-se ξ : U ∼}_{= W .}

Se um homeomorfismo tem classe Ck_{, o homeomorfismo inverso pode ser apenas cont´ınuo. Um exemplo}

´

e o da fun¸c˜ao c´_{ubica f : R → R, dada por f (x) = x}3_{, que ´}_{e suave e tem inversa cont´ınua (dada por}

f−1(x) = √3

x, para x ∈ R) porém não derivável em x = 0. Em contraste, se um homeomorfismo ξ, de classe Ck_{, tem inversa deriv´}_{avel, ent˜}_{ao o homeomorfismo inverso ´}_{e de classe C}k_{. Ou seja: ξ e ξ}−1 _s˜_{ao C}k

-difeomorfismos. Isso decorre da regra da cadeia, como veremos adiante. Em particular, um homeomorfismo suave com inversa deriv´avel ´e um C∞-difeomorfismo.

Defini¸c˜_{ao 20 Se um ponto p ∈ R}n _{tem uma vizinhan¸}_{ca aberta U na qual est´}_{a definido um difeomorfismo}

ξ : U ∼_{= W (com W ⊆ R}n _{aberto), dizemos que ξ ´}_{e um difeomorfismo em torno de p. Uma aplica¸}_c˜_ao

ξ : M → N entre subespa¸cos (topol´_{ogicos) de R}n _´_{e um difeomorfismo local se cada ponto p ∈ M tem}

uma vizinhan¸ca aberta U restrita `a qual ξ ´e um difeomorfismo sobre um aberto ξ(U ) ⊆ N . Em s´ımbolos: ξ|U : U ∼= ξ(U ).

Exerc´ıcio: Um homeomorfismo ser´a um difeomorfismo (global) se for um difeomorfismo local.

Um dos pilares fundamentais de todo o cálculo diferencial nos espa¸cos euclidianos (que se generaliza ao cálculo em variedades diferenciáveis) é o teorema da aplica¸cão inversa, que apresentamos a seguir. A versão com hipóteses mais fracas utiliza o conceito de aplica¸cão fortemente diferenciável, conforme a defini¸cão abaixo.

(17)

Defini¸c˜ao 21 Uma aplica¸c˜_{ao f : U → R}n

definida em um aberto U ⊆ Rm _´_{e fortemente diferenci´}_{avel no}

ponto q ∈ U se existe uma transforma¸c˜_{ao linear T : R}m_{→ R}n _{tal que}

f (x) − f (y) = T (x − y) + ρ(x, y)|x − y| , ∀ x, y ∈ U onde ρ : U → Rn _satisfaz _lim

x, y→qρ(x, y) = 0.

Toda aplica¸c˜_{ao f : U → R}n _{fortemente diferenci´}_{avel em q ´}_{e deriv´}_{avel em q, com f}0_{(q) = T .}

Teorema 22 Se a aplica¸c˜_{ao ξ : U → R}n

, definida no aberto U ⊆ Rn _´_{e fortemente diferenci´}_{avel no ponto}

q ∈ U e a derivada ξ0(q) : TqU ∼= Rn → Rn é um isomorfismo, então ξ : U → ξ(U ) é um homeomorfismo e

o homeomorfismo inverso ξ−1: ξ(U ) → U ´e fortemente diferenci´avel no ponto ξ(q).

Uma demonstra¸cão cuidadosa do teorema acima está em [Lima](2006). Segue-se da regra da cadeia que a derivada do homeomorfismo ξ−1 : ξ(U ) → U no ponto ξ(q) é dada por

(ξ−1)0(ξ(q)) = ξ0(q)−1. Exerc´ıcio: provar a igualdade acima.

Se ξ ´e de classe C1 _{em torno de q, a regra da cadeia, combinada com o teorema acima, permite}

con-cluir que ξ−1 ´e de classe C1 _{em torno de ξ(q). Realmente a transforma¸}_c˜

ao Ψ : Gl(Rn

) → Gl(Rn_{), definida}

por

Ψ(T ) = T−1

que leva o automorfismo T ∈ Gl(Rn) no automorfismo inverso T−1 é uma bije¸cão suave (verificar) e a derivada (ξ−1)0 da aplica¸cão inversa satisfaz, pelo que vimos acima,

(ξ−1)0◦ ξ(q) = Ψ ◦ ξ0_{(q), ∀ q,}

e logo (ξ−1)0= Ψ ◦ ξ0◦ ξ−1_.

Se ξ ∈ C1, ent˜ao (ξ−1)0∈ C0 _{e logo ξ}−1_{∈ C}1_.

O mesmo racioc´ınio permite concluir que se ξ é um homeomorfismo de classe Ck e ξ−1 é derivável, então ξ é um Ck-difeomorfismo, para k = 1, ..., ∞.

A forma local das imers˜

oes

Defini¸c˜ao 23 Uma aplica¸c˜_{ao ϕ : U ⊆ R}m_{→ R}n_´_{e uma imers˜}_{ao se a derivada ϕ}0

(q) : Rm_{→ R}n _´_{e biun´ıvoca,}

para todo q ∈ U .

Observe-se que se ϕ é imersão então n ≥ m.

Exemplo 15 A inclus˜_{ao i : R}m_{→ R}n _{dada por i(x) = (x, w), onde w ´}

e um vetor constante em Rn−m_{, ´}_e

um exemplo canˆonico de imers˜ao.

A forma local das imersões afirma que, localmente, toda imersão é, topologicamente, uma imersão canônica. Teorema 24 Se ϕ : U → Rn

, definida no aberto U ⊆ Rk_{, ´}_{e fortemente diferenci´}_{avel no ponto q ∈ U e a}

derivada ϕ0_{(q) : R}k _{→ R}n _´

e biun´ıvoca, existe um homeomorfismo ξ : Z → V × W , de um aberto Z ⊆ Rn_,

Z 3 ϕ(q), sobre um aberto V × W 3 (q, 0) em Rk_{× R}n−k_{, fortemente diferenci´}_{avel no ponto ϕ(q), tal que}

ξ ◦ ϕ(x) = (x, 0) , ∀ x ∈ V.

(18)

Prova

Se {w1, w2, ..., wn−k} ´e uma base para o complementar da imagem de ϕ0(q) em Rn, a aplica¸c˜ao Φ : U ×

Rn−k → Rn definida por Φ(x, y) = Φ(x1, ..., xk, y1, ..., yn−k) = ϕ(x) + n−k X s=1 ysws

tem, no ponto (q, 0), a matriz jacobiana

[Φ0(q, 0)] = [∂1ϕ(q) ... ∂kϕ(q) w1 ... wn−k]

e, como ϕ0(q) é biun´ıvoca, o posto de Φ0(q, 0) é n. E logo Φ0(q, 0) é um isomorfismo. Pelo teorema da aplica¸cão inversa, sabemos que existe uma vizinhan¸ca Z do ponto Φ(q, 0) onde está definido um homeomorfismo ξ, fortemente diferenciável em Φ(q, 0), cujo homeomorfismo inverso é a restri¸cão de Φ a uma vizinhan¸ca do ponto (q, 0), que pode ser escolhida da forma V × W , com q ∈ V ⊆ U e 0 ∈ W ⊆ Rn−k (ξ = Φ|−1_{V ×W}). E segue-se que, para todo x ∈ V , temos

ξ(ϕ(x)) = ξ(ϕ(x) + 0) = ξ(Φ(x, 0)) = (x, 0)

c.q.d. Defini¸c˜ao 25 Uma imers˜_{ao ϕ : U → R}n _´_{e chamada um mergulho se ϕ ´}_{e um homeomorfismo sobre sua}

imagem ϕ(U ) (com a topologia induzida de Rn_).

Segue-se da forma local das imersões que toda imersão é localmente um mergulho.

Exemplo 16 A curva γ : (−2, ∞) → R2 _{dada por γ(t) = (t}3_{− 4t, t}2_{− 4) ´}_{e um exemplo de imers˜}_{ao suave e}

biun´ıvoca que n˜ao ´e um mergulho. Realmente, tem-se kγ(t)k < 1 para t = 2 e lim

t→−2+kγ(t)k = 0 < 1. Como

kγk é uma fun¸cão cont´ınua, existe ε > 0 tal que kγ(t)k < 1 ∀t ∈ (−2, −2 + ε) ∪ (2 − ε, 2 + ε). No entanto, como kγ(0)k = 4 > 1, vemos que a pr´_{e-imagem da bola B}2 (de centro (0, 0) e raio 1) por γ não é conexa. Mas a interse¸c˜_{ao da imagem de γ com B}2é conexa (pois γ é cont´ınua e lim

t→−2γ(t) = (0, 0) = γ(2)). Portanto

a aplica¸cão inversa da imersão γ (definida na imagem de γ) não é cont´ınua.

Exerc´ıcio: provar que a curva γ do exemplo acima ´e uma imers˜ao biun´ıvoca.

(19)

Superf´ıcies em R

3

Defini¸c˜_{ao 26 Uma curva regular em R}n _´_{e uma imers˜}

ao suave γ : I → Rn_(n˜_{ao necessariamente biun´ıvoca),}

definida em um intervalo I ⊆ R. A menos que se indique o contr´ario, o intervalo I ser´a aberto, com 0 ∈ I. Indicamos com tr γ o conjunto γ(I) = {γ(t) / t ∈ I}, chamado o tra¸co de γ.

Exemplo 17 A curva γ : R → R2 _{dada por γ(t) = (t}3_{− 4t, t}2_{− 4) ´}_{e uma curva regular (observe que}

γ0_{(t) 6= 0, ∀ t ∈ R). Tem-se γ(−2) = γ(2) = 0, logo γ n˜ao ´e biun´ıvoca. Observemos, no entanto, que tr γ} pode ser obtido colando-se os tra¸cos dos mergulhos γ1: (−∞, 1) → R2 e γ2: (−1, ∞) → R2 dados por

γ1(t) = γ(t) ∀ t ∈ (−∞, 1) e γ2(t) = γ(t) ∀ t ∈ (−1, ∞).

Exemplo 18 A imers˜_{ao γ : R → R}3 dada por γ(t) = (etcos t, et_{sen t, 5t) define uma curva regular em R}3. A proje¸c˜ao de tr γ no plano xy ´e uma espiral.

Defini¸c˜_{ao 27 Uma superf´ıcie regular parametrizada em R}n _´_{e uma imers˜}

ao suave ψ : U → Rn _(n˜_ao

neces-sariamente biun´ıvoca), definida em uma regi˜_{ao U ⊆ R}2. A menos que se indique o contrário, a região U será aberta e simplesmente conexa, com (0, 0) ∈ U .

Exemplo 19 A imers˜_{ao suave ψ : U = R}2_{→ R}3 _{dada por ψ(t, s) = (t, s, t}2_{+ s}2_{) ´}_{e uma superf´ıcie regular}

parametrizada em R3_{, cuja imagem ´}_{e um parabol´}_{oide de revolu¸}_c˜_{ao (com v´}_{ertice na origem). A matriz}

jacobiana de ψ em um ponto (t, s) ∈ U ´e dada por   1 0 0 1 2t 2s  

e, portanto, a derivada de ψ em (t, s) ´e a transforma¸c˜ao ψ0(t, s) : (u, w) 7→ (u, w, 2tu + 2sw), evidentemente biun´ıvoca, quaisquer que sejam t, s ∈ R.

Exemplo 20 Mais geralmente, o gr´afico de qualquer fun¸c˜_{ao suave f : U → R, definida em uma regi˜ao} U ⊆ R2_{, ´}_{e uma superf´ıcie regular parametrizada. Pois a aplica¸}_c˜

ao ψ : U → R3 _{dada por}

ψ(t, s) = (t, s, f (t, s)) ´

e suave, tem derivada em cada ponto (t, s) ∈ U dada por

ψ0(t, s)(u, w) = (u, w, ft(t, s)u + fs(t, s)w)

(que é, portanto, biun´ıvoca) e, vista como aplica¸cão de U sobre ψ(U ), tem uma inversa, dada pela restri¸cão a ψ(U ) da proje¸cão canˆ_{onica π : R}3 → R2_{. Como π ´}_{e suave, temos que ψ ´}_{e um C}∞_{-difeomorfismo. Em}

(20)

Exerc´ıcio: Se ψ : (0, 2π) × (0, 2π) → R4 _´_{e dada por}

ψ(t, s) = (cos t, sen t, cos s, sen s )

ent˜ao ψ ´_{e uma superf´ıcie regular parametrizada em R}4_{, cuja imagem ´}_{e um toro T}2

= S1_{× S}1 _{menos um}

equador e um meridiano.

A id´eia de superf´ıcie regular ´_{e a de um subconjunto bidimensional S ⊂ R}3_{que, em torno de cada ponto,}

´

e uma superf´ıcie regular parametrizada, de tal forma que se possam apresentar em S as no¸cões importantes do cálculo diferencial (como comprimento, ângulo, velocidade, área, etc.) de maneira inequ´ıvoca.

Defini¸cão 28 Um subconjunto S no espa¸_{co R}3 é uma superf´ıcie regular se cada ponto de S tem uma vizinhan¸_{ca aberta W ⊆ R}3 cuja interse¸cão com S é imagem de uma imers˜_{ao suave e biun´ıvoca ψ : U → R}3, definida em uma regi˜_{ao U ⊆ R}2_.

Como toda imersão é localmente um mergulho, podemos, diminuindo U se necessário, supor que S é obtida colando-se imagens de superf´ıcies regulares parametrizadas. A forma local das imersões permite con-cluir que cada uma das tais superf´ıcies parametrizadas tem inversa cont´ınua (pois continuidade é propriedade local), sendo portanto um homeomorfismo e, em verdade, um difeomorfismo. Segue-se que uma superf´ıcie regular S ´_{e localmente difeomorfa ao R}2_{. A grosso modo podemos pensar em S constru´ıda com imagens de}

discos do plano por aplica¸c˜oes que preservam a topologia. Exemplo 21 A esfera S2

⊂ R3_{, dada pela equa¸}_c˜_{ao x}2_+y2_+z2_{= 1, ´}_{e uma superf´ıcie regular. Se (q}

1, q2, q3) =

q ∈ R3_{, sejam as regi˜}_{oes U}+

r e Ur−, r = 1, 2, 3, definidas por

U_r+_{= {q ∈ S}2/ qr> 0} e Ur−= {q ∈ S 2_{/ q}

r< 0}.

Então cada tal região é um gráfico. Por exemplo, U₃− é o gráfico da fun¸cão suave f : B2 → R, dada por (x, y) 7→ −p1 − x2_{− y}2_{, (com B}2_{= {x}2_{+ y}2

< 1}) e S2_{= ∪}3

r=1(Ur+∪ Ur−).

Exemplo 22 A curva α : R → R3 _{dada por}

α(t) = (a sen t cos t, b sen2t, k cos t) tem o tra¸co contido na superf´ıcie S, dada por x_a22 +

y2

b2 +

z2

k2 = 1 (que ´e um elips´oide com semi-eixos a, b, k

e centro na origem). Pode-se escrever α : I → S.

O plano tangente

Se F (u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) : U ⊆ R2 _{→ R}3 _´_{e uma aplica¸}_c˜_{ao suave e p = (u}

0, v0) ∈ U , a

derivada de F no ponto p ´e a transforma¸c˜ao linear F0(p) determinada pela matriz   xu(u0, v0) xv(u0, v0) yu(u0, v0) yv(u0, v0) zu(u0, v0) zv(u0, v0)   Se w = (u, v) ∈ R2_{, ent˜}_{ao F}0_{(p)w ´}

e o vetor em R3 _{cujas coordenadas na base canˆ}_{onica s˜}_{ao x}

u(u0, v0)u +

xv(u0, v0)v , yu(u0, v0)u + yv(u0, v0)v e zu(u0, v0)u + zv(u0, v0)v.

Exerc´ıcio: Se α : I → U ´_{e uma curva suave, definida em um intervalo I ⊆ R (com 0 ∈ I), que} satis-faz

(21)

ent˜ao (F ◦ α)0(0) = F0(p)w.

Observe-se que (F ◦α)0(0) ´e independente da escolha da curva suave α (desde que α satisfa¸ca as condi¸c˜oes α(0) = p e α0(0) = w).

Embora seja um exerc´ıcio fácil, é muito importante (e freqüentemente útil) saber que F0(p)w = (F ◦ α)0(0), onde α é qualquer curva suave com α(0) = p e α0(0) = w.

Mais geralmente, se F : U ⊆ Rm _{→ R}n _´_{e uma aplica¸}_c˜_{ao cujas fun¸}_c˜_{oes coordenadas s˜}_{ao suaves, a}

derivada de F em um ponto q ∈ U ´e definida pela matriz jacobiana de F em q e, raciocinando como acima, conclui-se que, para todo w ∈ Rm, F0(q)w = β0_{(0), onde β = F ◦ α, com α : I → R}m qualquer curva suave que satisfa¸ca α(0) = q, α0(0) = w.

O vetor w pode ent˜_{ao ser identificado com a classe das curvas suaves α : I → R}m que satisfazem α(0) = p e α0_{(0) = w.}

Se γ : I → R3 _{for uma curva suave, com ˜}_{I 3 0, γ(0) = α(0) = p e γ}0_{(0) = α}0_{(0) = w, escreveremos}

α ∼ γ. Essa é uma rela¸cão de equivalência e o vetor w = α0(0) pode ser identificado com a classe [α]. O espa¸_{co tangente a R}3 _{em um ponto q ´}_{e definido pelo conjunto T}

qR3 de todos os vetores em q. TqR3 ´e um espa¸co vetorial, isomorfo ao pr´_{oprio R}3_.

Se S ´_{e uma superf´ıcie regular em R}3_{e α : I → S ´}_{e uma curva suave em S, a velocidade α}0_{(0) ´}_{e um vetor}

em R3_{tangente `}_{a superf´ıcie S no ponto q = α(0). Considerando somente as curvas suaves que tˆ}_{em seu tra¸}_co

contido em S, podemos definir o plano TqS tangente a S em q pela cole¸c˜ao de todos os vetores velocidade

de tais curvas. Um vetor w ∈ R3 est´a em TqS se existe uma curva α : I → S tal que α(0) = q, α0(0) = w.

Observa¸cão 1 Se u = α0(0) e w = β0(0) são vetores tangentes `_{a superf´ıcie S ⊂ R}3, linearmente indepen-dentes, em um ponto q ∈ S, o plano tangente TqS é o plano normal ao produto vetorial Nq = u × w que

passa por q.

Um vetor w ∈ R3 _tamb´_{em pode ser pensado como uma deriva¸}_c˜_{ao no espa¸}_{co das fun¸}_c˜_{oes suaves}

f : R3_{→ R. Realmente, um vetor w com origem em q ∈ R}3 _satisfaz

(λf + g)0(q)w = λf0(q)w + g0(q)w e (f g)0(q)w = g(q)f0(q)w + f (q)g0(q)w,

(22)

quaisquer que sejam as fun¸c˜oes f, g ∈ C∞_(R3_{) e o n´}

umero λ ∈ R (observe-se, por exemplo, que (f g)0(q)w = = ∂(f g)_∂w (q) = _∂w∂f(q)g(q) + f (q)_∂w∂g(q)).

Um vetor w = α0(0) ∈ TqS, tangente a uma superf´ıcie S em um ponto q ∈ S, satisfaz

((λf + g) ◦ α)0(0) = λ(f ◦ α)0(0) + (g ◦ α)0(0) e ((f g) ◦ α)0(0) = g(α(0))(f ◦ α)0(0) + f (α(0))(g ◦ α)0(0)

onde α ´e uma curva em S que passa por q. Uma superf´ıcie S tem um plano tangente em cada ponto e esse plano tangente varia suavemente.

Um fato notável é que essa defini¸cão de vetor tangente não depende do espa¸_{co ambiente R}3 em que a superf´ıcie está imersa. Assim como a classe de equivalência de curvas suaves contidas em S que passam pelo ponto q. Um vetor tangente w é identificado com um elemento do espa¸co (vetorial) das deriva¸cões lineares sobre as fun¸cões reais suaves definidas em S. Em verdade, se duas fun¸cões suaves definidas em S coincidem em uma vizinhan¸ca aberta do ponto q, qualquer das tais deriva¸cões lineares vai associar o mesmo valor a ambas e, logo, um vetor tangente a S em q deve ser definido como uma deriva¸cão linear sobre um espa¸co de classes de equivalência de fun¸cões suaves em torno de q.

Por outro lado as defini¸cões de superf´ıcies e planos tangentes podem ser naturalmente estendidas ao caso em que a superf´ıcie, em vez de ser bidimensional, tem dimensão k em um espa¸co euclidiano que, em vez de ser tridimensional, tem dimensão n ≥ k.

Subvariedades do espa¸

_{co R}

n

Uma subvariedade no espa¸_{co R}n é a generaliza¸cão natural da id´_{eia de superf´ıcie em R}3. Como a forma local das imersões é verdadeira em dimensão n, podemos considerar subvariedades regulares parametrizadas, que são imagens de abertos k-dimensionais por aplica¸cões que preservam a topologia, e proceder como antes. Defini¸cão 29 Um subconjunto M no espa¸_{co R}n ´_{e uma subvariedade (k-dimensional) de R}n se cada ponto de M tem uma vizinhan¸_{ca aberta W ⊆ R}n cuja interse¸cão com M é imagem de uma imersão suave e biun´ıvoca ψ : U → Rn_{, definida em uma regi˜}

ao U ⊆ Rk_.

Exemplo 23 O toro T2 _∼

= S1× S1

⊂ R4 _´

e uma subvariedade de R4_{. Se q ∈ T}2_{, existem t, s ∈ [0, 2π) tais}

que q = (eit_{, e}is_{). Pode-se tomar U = (−π, π) × (−π, π) se t = 0 ou s = 0 e U = (0, 2π) × (0, 2π), caso}

contr´ario.

Se ϕ : U → Rn _´

e um mergulho suave, definido em um aberto U ⊆ Rk_{, segue-se da forma local das}

imersões que ϕ é um C∞-difeomorfismo sobre ϕ(U ) e o difeomorfismo inverso é dado por ϕ−1 = π ◦ ξ|ϕ(U )

onde ξ : Z → U × W ⊆ Rn _´_{e o difeomorfismo constru´ıdo na demonstra¸}_c˜

ao do teorema 5 e π : U × W → Rk

´

e a proje¸c˜ao canˆonica. Realmente, π ◦ ξ ◦ ϕ(q) = π(q, 0) = q, ∀ q ∈ U .

Uma subvariedade k-dimensional M de Rn ´_{e localmente difeomorfa ao R}k. Al´em disso M tem um espa¸co vetorial k-dimensional tangente em cada ponto, que varia suavemente.

Se α : I → M ´e uma curva suave, o vetor velocidade α0(0) ´_{e um vetor de R}n tangente a M em q = α(0). O espa¸co tangente `_{a subvariedade M ⊆ R}n no ponto q ´e definido por

(23)

Um vetor w em um ponto q ∈ Rn _{pode ser definido (como uma deriva¸}_c˜_{ao no espa¸}_{co das fun¸}_c˜_{oes suaves} f : Rn_{→ R) por} w(f ) = f0(q)w = ∂f ∂w(q). Tem-se ent˜ao w(λf + g) = λw(f ) + w(g) e w(f g) = g(q)w(f ) + f (q)w(g). quaisquer que sejam f, g ∈ C∞_(Rn_{), λ ∈ R.}

Se α : I → M ´e suave e fizermos w = α0_{(0), teremos}

w(f ) = α0(0)f = (f ◦ α)0(0).

Como α(I) ⊂ M , tem-se f ◦ α = f_|_M◦ α. Isso sugere que o espa¸co tangente TqM possa ser obtido como um

espa¸co de deriva¸cões lineares sobre as restri¸cões à subvariedade M das fun¸c˜_{oes suaves em R}n_{. Portanto um}

vetor tangente a M é uma deriva¸cão linear sobre o espa¸co C∞(M ) das fun¸cões suaves definidas em M . Observemos que se f : M → R é a restri¸cão a M de uma fun¸cão suave definida em um aberto de Rn que contém M , então a fun¸cão f ◦ ϕ−1é suave, qualquer que seja a parametriza¸c˜_{ao ϕ : U ⊆ R}k → M . Isso fornece uma defini¸cão rigorosa de fun¸c˜_{ao suave definida em uma subvariedade de R}n.

Suponhamos que a subvariedade M ⊆ Rn _{seja (globalmente) parametrizada por um mergulho ϕ : U ⊆}

Rk → Rn(ent˜ao M = ϕ(U ) ⊆ Rn). Fixemos um ponto q ∈ U . Como ϕ ´e um difeomorfismo sobre a imagem, sabemos que a derivada ϕ0(q) ´_{e um isomorfismo de R}k _{sobre ϕ}0

(q)Rk _{que, portanto, tem dimens˜}_{ao k ≤ n.}

Então ϕ0_(q)Rk é um subespa¸_{co vetorial k-dimensional de R}n, com base no ponto ϕ(q) ∈ M . Tudo leva a crer que ϕ0_(q)Rk é o espa¸co tangente à subvariedade M no ponto ϕ(q). Essa afirma¸cão é verdadeira. Lema 3 Se M = ϕ(U ) ⊆ Rn _´

e imagem de um mergulho ϕ : U → Rn

definido em um aberto U ⊆ Rk_{, ent˜}_ao,

para todo q ∈ U , tem-se ϕ0_(q)Rk_{= T}

ϕ(q)M , o espa¸co tangente a M em ϕ(q).

Prova

Se w ∈ ϕ0_(q)Rk

, existe u ∈ Rk _{tal que w = ϕ}0_{(q)u. Tome-se uma curva suave α : I → U que satisfa¸}_ca

α(0) = q e α0(0) = u. Segue-se que

w = ϕ0(q)u = ϕ0(α(0))α0(0) = (ϕ ◦ α)0(0) e a curva suave ϕ ◦ α : I → M satisfaz ϕ ◦ α(0) = ϕ(q). Logo w ∈ Tϕ(q)M .

Reciprocamente, se w ∈ Tϕ(q)M ent˜ao w = β0(0), onde β : I → M ´e uma curva suave tal que β(0) = ϕ(q).

Como ϕ é biun´ıvoca, para cada t ∈ I existe um único ponto qt∈ U tal que ϕ(qt) = β(t). Seja então a curva

α : I → U dada por α(t) = qt. Pelo corolário da forma local das imersões, temos que α é uma curva suave.

Al´em disso, ϕ ◦ α(t) = ϕ(qt) = β(t), para todo t ∈ I. E logo β = ϕ ◦ α. Tem-se tamb´em α(0) = q (pois

ϕ(α(0)) = β(0) = ϕ(q)) e α0(0) ∈ TqRk ∼= Rk. Portanto

w = β0(0) = (ϕ ◦ α)0(0) = ϕ0(q)α0(0) ∈ ϕ0_(q)Rk.

c.q.d. Vemos, em particular, que o espa¸_{co tangente a uma subvariedade k-dimensional de R}n (em um ponto qualquer) ´e um espa¸co vetorial de dimens˜ao k.

(24)

Mais geralmente, se ϕ : U → Rn _´

e um mergulho de um aberto U ⊆ Rm

em Rn _{tal que a imagem}

ϕ(U ) est´_{a mergulhada em uma subvariedade k-dimensional N ⊆ R}n _{(com m ≤ k ≤ n), o espa¸}_{co tangente `}_a

subvariedade ϕ(U ) ⊆ N em um ponto ϕ(q)

ϕ0_(q)Rm= {(ϕ ◦ α)0(0) / α : I → U, α(0) = q} ´

e um subespa¸co vetorial do espa¸co tangente Tϕ(q)N = {β0(0) / β : I → N, β(0) = ϕ(q)}.

Observamos, como antes, que as defini¸cões acima não dependem dos respectivos ambientes euclidianos. Observa¸cão 2 Se as fun¸c˜_{oes f, g : M → R coincidem em uma vizinhan¸ca de um ponto q ∈ M , todos os} vetores tangentes w ∈ TqM associam o mesmo valor a f e a g. Identificam-se então duas fun¸cões que

coincidam em alguma vizinhan¸ca aberta de q. A classe de equivalência obtida leva o nome de germe de fun¸cões suaves em q. Um vetor tangente a M no ponto q é, portanto, uma deriva¸cão linear definida no espa¸co dos germes de fun¸cões suaves em q.

Exerc´ıcio: se o germe [f ] no ponto q ∈ M tem um representante constante em alguma vizinhan¸ca de q, ent˜ao w([f ]) = 0, ∀w ∈ TqM .

Se M ´_{e subvariedade k-dimensional de R}n, sabemos que todo ponto q ∈ M tem uma vizinhan¸ca difeomorfa a um aberto de Rk (pois M é obtido colando-se imagens de parametriza¸cões). Sejam ϕ : U → M e ψ : V → M mergulhos suaves, definidos em abertos U, V ⊆ Rk, tais que q ∈ ϕ(U )∩ψ(V ). Indiquemos com ξ um difeomorfismo (dado pela forma local das imersões) que satisfaz π◦ξ_|ϕ(U ) = ϕ−1e com η um difeomorfismo

tal que π ◦ η|ψ(V )= ψ

−1_{. Ent˜}_{ao a mudan¸}_{ca ψ}−1_{◦ ϕ = π ◦ η}

|ψ(V )◦ ϕ : ϕ

−1_{(ϕ(U ) ∩ ψ(V )) → ψ}−1_{(ϕ(U ) ∩ ψ(V ))}

´

e suave, com inversa

(ψ−1◦ ϕ)−1= ϕ−1◦ ψ = π ◦ ξ|ϕ(U )◦ ψ : ψ

−1_{(ϕ(U ) ∩ ψ(V )) → ϕ}−1_{(ϕ(U ) ∩ ψ(V ))}

tamb´em suave.

Logo ψ−1◦ ϕ : ϕ−1_{(ϕ(U ) ∩ ψ(V )) → ψ}−1_{(ϕ(U ) ∩ ψ(V )) ´}_{e um C}∞_{-difeomorfismo.}

Exerc´ıcio: Se q ∈ U ∩ V , com U = ϕ( ˜U ), V = ψ( ˜V ) e ϕ, ψ parametriza¸c˜oes em M como acima, defina x = ϕ−1: U ∼= ˜U e y = ψ−1 : V ∼= ˜V e conclua que a mudan¸ca

y ◦ x−1 : x(U ∩ V ) → y(U ∩ V ) ´

(25)

Variedades diferenci´

aveis

Defini¸cão 30 Um espa¸co topológico E é um espa¸co de Hausdorff se quaisquer dois pontos distintos em E têm vizinhan¸cas disjuntas. Diz-se que E tem base enumerável se existe uma cole¸cão enumerável de abertos em E tal que todo aberto em E é uma união desses abertos básicos. Um espa¸co de Hausdorff E é localmente euclidiano se cada ponto em E tem uma vizinhan¸_{ca homeomorfa a um aberto em R}n, para algum n fixo. Defini¸cão 31 Uma variedade diferenciável de dimensão n é um espa¸co topológico localmente euclidiano M , com base enumerável, em que cada ponto q tem uma vizinhan¸ca aberta U ⊆ M na qual está definida uma aplica¸c˜_{ao suave x : U → R}n

de tal forma que se y : V → Rn _´_{e uma das tais aplica¸}_c˜_{oes e U ∩ V 6= ∅, a}

mudan¸ca

y ◦ x−1 : x(U ∩ V ) → y(U ∩ V ) ´

e suave.

Exerc´ıcio: Segue-se da defini¸c˜ao que as mudan¸cas s˜ao difeomorfismos.

As aplica¸c˜_{oes x : U → R}n _s˜_{ao chamadas cartas locais. Se q ∈ U , x ´}_{e uma carta em torno de q. A}

cole¸cão de todos os pares (U, x) que satisfazem a defini¸cão acima é chamada uma estrutura diferenciável para a variedade M .

Mais geralmente, um atlas suave para um espa¸co localmente euclidiano (com base enumarável) M é uma cole¸cão A = {(Uλ, xλ) / λ ∈ Λ} (onde Λ é um conjunto de ´ındices), com Uλ aberto em M e xλ : Uλ→ Rn

suave, para todo λ ∈ Λ, que satisfaz i) M ⊆ ∪λ∈ΛUλ

ii) xµ◦ x−1λ ∈ C∞(xλ(U ∩ V ), xµ(U ∩ V )), ∀λ, µ ∈ Λ.

Uma estrutura diferenciável para M é um atlas suave maximal A para M , no sentido de que A contém qualquer atlas suave para M .

Os abertos Uλ em um atlas suave são chamados vizinhan¸cas parametrizadas. É fácil verificar que se

M for uma subvariedade de Rn _{e {(U}

λ, xλ) / λ ∈ Λ} for um atlas suave, a inversa x−1_λ : xλ(Uλ) → Uλ de

qualquer carta local ´e uma imers˜ao biun´ıvoca suave.

Exerc´ıcio: Subvariedades suaves de Rn s˜ao variedades diferenci´aveis.

Sugest˜ao: fa¸ca x = π ◦ ξ|ϕ(V ), y = π ◦ η|ψ(V ) (onde ξ e η s˜ao difeomorfismos dados pela forma local das

imers˜oes).

Exemplo 24 Se Ω ⊆ M é aberto em uma variedade diferenciável M , então Ω é uma variedade diferenciável, com a mesma dimensão que M . Realmente cada q ∈ Ω está na interse¸cão U ∩ Ω de uma vizinhan¸ca parametrizada U com Ω e essa interse¸cão é aberta em Ω. Al´_{em disso se x : U → R}n (supondo dim M = n) ´

e carta local suave, a restri¸c˜ao de x a U ∩ Ω ´e carta local para Ω. Finalmente, se q ∈ (Ω ∩ U ) ∩ (Ω ∩ V ) = Ω ∩ (U ∩ V ), tem-se que y_|_{V ∩Ω}◦ (x|U ∩Ω)

−1_{= (y ◦ x}−1₎

|x(U ∩V ∩Ω) : x(U ∩ V ∩ Ω) → y(U ∩ V ∩ Ω) ´e suave.

Exemplo 25 Um exemplo ”quase trivial” de variedade diferenciável é dado pelo espa¸_{co R}n. A cole¸cão A cujo único elemento ´_{e o par (R}n_{, i), em que i : R}n → Rn _´_{e a aplica¸}_c˜_{ao identidade, ´}_{e um atlas suave para}

Rn. Uma estrutura diferenci´avel ´e obtida acrescentando-se todos os pares (U, x), com U ⊆ Rn aberto, tais que x : U → x(U ) seja um difeomorfismo.

(26)

Exerc´ıcio: Se M é variedade diferenciável e A é um atlas suave para M , uma estrutura diferenciável para M é obtida acrescentando-se aos pares em A todos os pares da forma (V, y), com V aberto em M , que satisfa¸cam

y ◦ x−1∈ C∞(x(U ∩ V ), y(U ∩ V )) e x ◦ y−1∈ C∞(y(U ∩ V ), x(U ∩ V )) qualquer que seja o par (U, x) ∈ A.

Exemplo 26 Se M e N são variedades diferenciáveis, com dim M = m e dim N = n, a variedade produto M ×N é definida pelo atlas maximal que contém todos os pares da forma (U ×V, x×y), com (U, x) percorrendo um atlas suave para M e (V, y) percorrendo um atlas suave para N . A carta local x × y : U × V → Rm_{× R}n∼₌

Rm+n ´e definida por

x × y (q, p) = (x(q), y(p))

para todo (q, p) ∈ U × V . ´E f´acil verificar que (x × y)−1 = x−1× y−1 _{e que o atlas indicado ´}_{e um atlas}

leg´ıtimo, com a topologia produto (verificar). Tem-se dim(M × N ) = m + n.

Exemplo 27 O espa¸co (métrico) de todas as matrizes reais invert´ıveis n × n é uma variedade diferenciável, de dimensão n2_{, que leva o nome de grupo linear geral e se representa com Gl(n, R) (como veremos adiante,} Gl(n, R) é um grupo de Lie). Como uma matriz quadrada é invert´ıvel se e somente se o seu determinante é não nulo e o conjunto das matrizes que têm determinante nulo é fechado na ´_{algebra de Lie gl(n, R) ∼}= Rn2, vemos que Gl(n, R) é, a menos de um difeomorfismo, um aberto na variedade Rn2 e, pelo exemplo 24, é uma variedade diferenci´_{avel, com dim Gl(n, R) = n}2.

Exerc´ıcio: Toda variedade diferenciável é um espa¸co de Lindelöf. Exerc´ıcio: Toda variedade diferenciável conexa é conexa por caminhos.

Observa¸cão 3 É uma conseqüência da forma local das imersões que se ϕ : U → M é uma parametriza¸cão em uma subvariedade M ⊆ Rn, definida em um aberto U ⊆ Rk e ζ : V ⊆ Rm → ϕ(U ) é uma aplica¸cão suave, a composta ϕ−1◦ ζ : V → U é suave (veja-se [Lima](2006)). Pode-se dizer, portanto, que uma fun¸cão f : M → R é suave se, para toda parametriza¸cão ϕ : U → M , tem-se f ◦ ϕ suave. Realmente, se ψ : V → M ´

e outra parametriza¸c˜ao, com ψ(V ) ∩ ϕ(U ) 6= ∅, ent˜ao f ◦ ψ = f ◦ ϕ ◦ ϕ−1_{◦ ψ ´}_{e suave se e somente se f ◦ ϕ}

´ e suave.

Defini¸c˜_{ao 32 Se f : U ⊆ M → R é uma fun¸cão definida em um aberto U de uma variedade diferenciável} M , dizemos que f é suave se a fun¸cão

f ◦ x−1 _{: U ∩ W → R}

for suave, qualquer que seja o par (W, x) em um atlas suave para M (se U ∩ W = ∅, então f é trivialmente suave). Escreve-se f ∈ C∞(U ). C∞(M ) é o espa¸co (vetorial) de todas as fun¸cões suaves definidas em M . Defini¸cão 33 Se M, N são variedades diferenciáveis, uma aplica¸cão cont´ınua ψ : M → N é suave se para toda fun¸c˜_{ao suave g : U → R definida em um aberto U ⊆ N , a fun¸cão g ◦ ψ : ψ}−1_{(U ) → R é suave.} Escreve-se ψ ∈ C∞(M, N ).

Exerc´ıcio: Uma aplica¸cão cont´ınua ψ : M → N é suave se e somente se y ◦ ψ ◦ x−1 : x(W ) → y(ψ(W )) é suave, para todo aberto W ⊆ U ∩ ψ−1(V ), quaisquer que sejam os pares (U, x) em um atlas suave para M e (V, y) em um atlas suave para N .

Exerc´ıcio: se M, N, R são variedades diferenciáveis e ψ : M → N e η : N → R são aplica¸cões suaves, então a aplica¸cão η ◦ ψ : M → R é suave (composta de aplica¸cões suaves é suave).

Exerc´ıcio: Se ψ : M → N ´e suave, ent˜_{ao, com g : N → R, tem-se g ◦ ψ ◦ x}−1 suave ∀ (U, x) se e so-mente se g ◦ y−1 _{suave ∀ (V, y).}

(27)

Exerc´ıcio: ψ ∈ C∞(M, N ) se e somente se todo ponto em M tem uma vizinhan¸ca U ⊆ M tal que ψ|U

´e suave (suavidade ´e propriedade local).

O espa¸

co tangente

Se M ´e uma variedade diferenci´avel e q ∈ M , diremos que duas fun¸c˜_{oes f : U → R e g : V → R,} definidas em vizinhan¸cas abertas de q, tem o mesmo germe em q se elas coincidirem em alguma vizinhan¸ca aberta de q. Em s´ımbolos: se existe W ⊆ U ∩ V , aberto em M , tal que f (˜q) = g(˜q), ∀ ˜q ∈ W . Escreveremos f ∼ g.

Exerc´ıcio: A rela¸cão ∼ é uma rela¸cão de equivalência no conjunto das fun¸cões suaves em torno de q. Defini¸cão 34 Se M é variedade diferenci´_{avel e f : U → R é uma fun¸cão suave em torno de q ∈ M , o germe} de f em q é a classe de equivalência (definida pela rela¸cão de equivalência ∼ acima) que f representa. Em palavras: [f ] é a classe de todas as fun¸cões suaves que coincidem com f em alguma vizinhan¸ca aberta de q.

Defini¸cão 35 Um vetor tangente a uma variedade diferenciável M em um ponto q ∈ M é uma deriva¸cão linear definida no espa¸co vetorial dos germes de fun¸cões suaves em torno de q. O espa¸co tangente a M em q é o espa¸co vetorial de todos os vetores tangentes a M em q, indicado com TqM .

Exerc´ıcio: O espa¸co dos germes de fun¸cões suaves em q é uma álgebra linear e o subespa¸co dos germes de fun¸cões suaves que se anulam em q é um ideal.

Tem-se, portanto, w(λ[f ] + [g]) = λw([f ]) + w([g]) e w([f ][g]) = [g](q)w([f ]) + [f ](q)w([g]), quaisquer que sejam os germes [f ] e [g] em q, onde se faz [f ](q) = f (q), com f um representante qualquer de [f ]. Observa¸c˜_{ao 4 Se ϕ : R}n ∼= Rn ´e um difeomorfismo e f ∈ C∞_(Rn), tomando no espa¸co Tϕ(q)Rn ∼= Rn a base

{e1, ..., en} = {ϕ0(q)e1, ..., ϕ0(q)en}

(onde ei = (ei)q, i = 1, ..., n), temos

∂f ∂ei

(ϕ(q)) = f0(ϕ(q))ei= f0(ϕ(q))ϕ0(q)ei= (f ◦ ϕ)0(q)ei= ∂i(f ◦ ϕ)(q).

Se Mk _´

e subvariedade de Rn _{e ϕ : U ∼}

= ϕ(U ) (com U ⊆ Rk aberto) ´e uma parametriza¸c˜ao em torno de ϕ(q) ∈ M , escolhamos no espa¸co tangente Tϕ(q)M a base

{e1, ..., ek} = {ϕ0(q)e1, ..., ϕ0(q)ek}

e suponhamos (diminuindo U se necessário) que ϕ é a restri¸cão a U = M ∩ Ω de um C∞_{-difeomorfismo}

ϕ : Ω ∼_{= ϕ(Ω) ⊆ R}n

definido em um aberto Ω ⊆ Rn_{. E que f ∈ C}∞_{(M ) ´}_{e a restri¸}_c˜_{ao a M de uma fun¸}_c˜_ao

suave f : Rn_{→ R. Ent˜ao, observando que e}

i ´e tangente a M e ei ´e tangente a U , obtemos

∂f ∂ei

(ϕ(q)) = ∂f ∂ei

(ϕ(q)) = ∂i(f ◦ ϕ)(q) = ∂i(f ◦ ϕ|U)(q) = ∂i(f ◦ ϕ)(q).

Podemos ent˜ao, chamando de x1, ..., xk as coordenadas dadas pela parametriza¸c˜ao ϕ, definir uma base em

Tϕ(q)M por ∂ ∂x1 (ϕ(q)), ..., ∂ ∂xk (ϕ(q)) = {ϕ0(q)e1, ..., ϕ0(q)ek} = {e1, ..., ek}

(28)

em que o i-´esimo vetor b´asico satisfaz ∂ ∂xi (ϕ(q))(f ) = ∂f ∂ei (ϕ(q)) = ∂i(f ◦ ϕ)(q).

Se tivermos q ∈ M (em vez de q ∈ U ), a igualdade acima se torna ∂

∂xi

(q)(f ) = ∂i(f ◦ ϕ)(ϕ−1(q).

Se Mk ´_{e subvariedade de R}n e x : U ∼= x(U ) ´e uma carta em torno de q ∈ M , a inversa x−1 : x(U ) → U ´

e um difeomorfismo e sua derivada (x−1₎0_{(x(q)) = x}0_(q)−1 _{: R}k _∼_{= T}

qM leva qualquer base de Tx(q)Rk ∼= Rk em uma base de TqM . Vamos indicar com

∂ ∂x1 (q), ..., ∂ ∂xk (q)

a base de TqM imagem da base canˆonica {e1x(q), ..., ekx(q)} de Tx(q)R

k_{. Todo vetor tangente w ∈ T}

qM é uma combina¸cão linear w = k X i=1 wi ∂ ∂xi (q) desses vetores básicos. Aplicando a uma fun¸cão f , temos

∂ ∂xi

(q)(f ) = ∂f ∂xi

(q) = ∂i(f ◦ x−1)(x(q)).

No caso de uma variedade diferenci´avel M , na inexistˆencia de uma base natural para TqM , definimos

os vetores tangentes b´asicos pela igualdade acima. Se x e y s˜ao duas cartas em torno de q, obtemos ∂ ∂yj (q) = k X i=1 ∂xi ∂yj (q) ∂ ∂xi (q)

Exerc´ıcio: Se M é variedade diferenciável e x : U ∼= x(U ) é carta local, com q ∈ U , considere a fun¸cão xs: U → R dada por xs= πs◦ x, onde πs: Rk → R é a proje¸cão no s-ésimo eixo, s ∈ {1, ..., k} ((x1, ..., xk)

s˜ao as coordenadas introduzidas pela carta x). Ent˜ao a base de TqM constru´ıda acima satisfaz

∂ ∂xi

(q)(xs) = δis

(29)

Exerc´ıcio: Se q ∈ U ⊆ M e w ∈ TqM ent˜ao w = Pk_i=1w(xi)_∂x∂

i(q), onde xi : U → R

n _´_{e a i-´}_esima

fun¸c˜ao coordenada associada `a carta x.

Se ψ : M → N é suave e α : I → M é uma curva suave, a composta ψ ◦ α é uma curva suave em N e a imagem do vetor velocidade α0(0) pela derivada de ψ no ponto q = α(0) ∈ M deve ser o vetor velocidade da curva ψ ◦ α no ponto ψ(q) (pelo menos ´_{e o que ocorre com as subvariedades de R}n). Queremos, portanto, definir uma transforma¸cão linear ψ0(q) : TqM → Tψ(q)N que leve vetores tangentes a M em q em vetores

tangentes a N em ψ(q). Se w ∈ TqM , poderemos saber o que ´e o vetor tangente ψ0(q)w ∈ Tψ(q)N se

soubermos o que ´e ψ0_{(q)w(f ), para f ∈ C}∞_{(N ). E como ψ ◦ f ∈ C}∞_{(M ), sabemos o que ´}_{e w(f ◦ ψ).}

Defini¸cão 36 Se ψ : M → N é uma aplica¸cão suave entre as variedades diferenciáveis M e N , a derivada ψ0(q) : TqM → Tψ(q)N de ψ no ponto q ∈ M é dada por

ψ0(q)w(f ) = w(f ◦ ψ)

quaisquer que sejam o vetor tangente w ∈ TqM e a fun¸c˜ao suave f ∈ C∞(N ).

Exerc´ıcio: ψ0(q) ´e linear.

Uma conseqüência da defini¸cão acima é a regra da cadeia para as variedades.

Teorema 37 Se ψ : M → N é uma aplica¸cão suave em torno de q ∈ M e η : N → R é uma aplica¸cão suave em torno de ψ(q) ∈ N , com M, N, R variedades diferenciáveis, então a aplica¸cão composta η ◦ ψ : M → R ´ e suave em torno de q e (η ◦ ψ)0(q) = η0(ψ(q))ψ0(q). Prova Se w ∈ TqM e f ∈ C∞(R), temos η0(ψ(q))ψ0(q)w(f ) = ψ0(q)w(f ◦ η) = w((f ◦ η) ◦ ψ) = w(f ◦ (η ◦ ψ)) = (η ◦ ψ)0(q)w(f ). c.q.d. Outro fato útil é que as aplica¸cões com derivada nula são constantes nas componentes conexas de uma variedade.

Lema 4 Se ψ : M → N é suave e ψ0(q) = 0 para todo q ∈ M , com M conexa, então ψ é constante em M . Prova

Sejam p ∈ M um ponto qualquer e W = ψ−1(ψ(p)) o conjunto dos pontos q ∈ M tais que ψ(q) = ψ(p). Então W 6= ∅ (pois p ∈ W ) e W = W (pois W é a pré-imagem de um ponto). Se q ∈ W , sejam (U, x) uma carta para M em torno de q e (V, y) uma carta para N em torno de ψ(q). Qualquer que seja ˜q ∈ U , tem-se

0 = ψ0(˜q) ∂ ∂xj (˜q) =X i ψ0(˜q) ∂ ∂xj (˜q)(yi) ∂ ∂yi (ψ(˜q)) = =X i ∂ ∂xj (˜q)(yi◦ ψ) ∂ ∂yi (ψ(˜q)) =X i ∂(yi◦ ψ) ∂xj (˜q) ∂ ∂yi (ψ(˜q)) para j = 1, ..., dim M . Como {_∂y∂

i(ψ(˜q))} ´e uma base de Tψ(˜q)N , obtemos

∂(yi◦ ψ)

∂xj

(30)

para todo ˜q ∈ U , i = 1, ..., dim N . E como j era qualquer, concluimos que a aplica¸c˜ao y ◦ ψ ◦ x−1: x(U ) → y(V )

´

e constante. Sendo x : U ∼= x(U ) e y : v ∼= y(V ) difeomorfismos, temos que ψ é constante em U . Isto é, ψ(˜q) = ψ(q) = ψ(p) para todo ˜q ∈ U . Em conseqüência, q ∈ W é um ponto interior. Como q ∈ W era qualquer, vemos que W é aberto em M . Portanto W = M .

c.q.d.

Subvariedades

Defini¸c˜ao 38 Se Nn _´_{e uma variedade diferenci´}_{avel, uma subvariedade de N ´}_{e um par (M, ψ), em que M}

´

e uma variedade diferenciável e ψ : M → N é uma imersão biun´ıvoca.

Se a imersão ψ : M → N não for biun´ıvoca, dizemos que (M, ψ) é uma subvariedade imersa.

Se a imers˜ao biun´ıvoca ψ : M → N for um mergulho, diz-se que (M, ψ) ´e uma subvariedade mergulhada. Exemplo 28 O par (I, α) com I = (−1, ∞) e α : I → R2 dada por

α(t) = (t3− t, t2) ´

e um exemplo de subvariedade em R2_{. Observe-se que n˜}_{ao ´}_{e mergulhada.}

Exemplo 29 O par (R2

, ϕ) com ϕ : R2_{→ R}3 _{dada por}

ϕ(t, z) = (t3− t, t2_{, z)}

´

e um exemplo de subvariedade imersa em R3_.

Exemplo 30 O c´ırculo S1 _´

e um exemplo de subvariedade mergulhada em R2_{. Observe-se que, em torno}

de cada ponto, a inclusão é um mergulho, o que não ocorre no caso do exemplo 28 acima (tome-se o ponto (0, 1) ∈ R2).

Exemplo 31 Um exemplo canˆonico de subvariedade mergulhada ´_{e dado pelo par (M, i), com M = R}k e i : Rk → Rn _{(n > k) dada por i(x}

1, ..., xk) = (x1, ..., xk, 0, ..., 0). Se π : Rn → Rn−k ´e a proje¸c˜ao nas

´

ultimas n − k coordenadas, tem-se i(M ) = π−1_{(0). Observe-se que M ´}_{e dada pelo sistema de equa¸}_c˜_oes

xk+1= ... = xn = 0.

Defini¸cão 39 Se (U, x) é uma carta em uma variedade diferenciável Mn _e _{r = (r}

k+1, ..., rn) ´e um vetor

(fixo) em Rn−k_{, o conjunto dos pontos q ∈ U que satisfazem}

xk+1(q) = rk+1, . . . , xn(q) = rn

´

e uma slice da carta (U, x).

Um resultado importante é que a imagem da restri¸cão de uma imersão a uma vizinhan¸ca aberta sufi-cientemente pequena de um ponto é uma slice.