Vetores e Geometria Analítica
Pedro H A Konzen
Licença
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Prefácio
Nestas notas de aula são abordados tópicos sobre vetores e geometria analí-tica.
Agradeço aos(às) estudantes e colegas que assiduamente ou esporadicamente contribuem com correções, sugestões e críticas em prol do desenvolvimento deste material didático.
Sumário
Capa i Licença ii Prefácio iii Sumário vi 1 Vetores 1 1.1 Segmentos orientados . . . 1 1.1.1 Exercícios . . . 5 1.2 Vetores . . . 5 1.2.1 Adição de vetores . . . 6 1.2.2 Vetor oposto . . . 7 1.2.3 Subtração de vetores . . . 71.2.4 Multiplicação de vetor por um escalar. . . 7
1.2.5 Propriedades das operações com vetores . . . 8
2 Bases e coordenadas 11 2.1 Dependência linear . . . 11 2.1.1 Combinação linear . . . 11 2.1.2 Dependência linear . . . 12 2.1.3 Observações . . . 12 2.2 Bases e coordenadas . . . 16
2.2.1 Operações de vetores com coordenadas . . . 17
2.2.2 Dependência linear . . . 20
2.3 Mudança de base . . . 21
3 Produto escalar 25
3.1 Produto escalar . . . 25
3.1.1 Propriedades do produto escalar . . . 25
3.2 Ângulo entre dois vetores. . . 27
3.2.1 Desigualdade triangular . . . 29
3.3 Projeção ortogonal . . . 30
4 Produto vetorial 32 4.1 Definição. . . 33
4.1.1 Interpretação geométrica . . . 33
4.1.2 Produto vetorial via coordenadas . . . 34
4.1.3 Exercícios . . . 34
4.2 Propriedades do produto vetorial . . . 34
5 Produto misto 38 5.1 Definição. . . 38
5.1.1 Propriedades . . . 39
6 Estudo de retas e planos 41 6.1 Sistema de coordenadas no espaço . . . 41
6.2 Equações da reta . . . 44
6.2.1 Equação vetorial de uma reta . . . 44
6.2.2 Equações paramétricas de uma reta . . . 46
6.2.3 Equações da reta na forma simétrica . . . 47
6.2.4 Exercícios resolvidos . . . 48
6.3 Equações do plano . . . 51
6.3.1 Equação vetorial do plano . . . 51
6.3.2 Equações paramétricas do plano . . . 53
6.3.3 Equação geral do plano . . . 54
6.3.4 Exercícios resolvidos . . . 55
7 Cônicas 57 7.1 Elipse . . . 57
7.1.1 Equação reduzida da elipse. . . 59
7.2 Hipérbole . . . 60
7.2.1 Equação reduzida da hipérbole . . . 61
7.3 Parábola . . . 63
Respostas dos Exercícios 65
Referências Bibliográficas 66
Capítulo 1
Vetores
1.1
Segmentos orientados
Sejam dois pontos A e B sobre uma reta r. O conjunto de todos os pontos de r entre A e B é chamado de segmento AB.
Figura 1.1: Esboço de um segmento AB.
Associado a um segmento AB, temos seu comprimento (ou tamanho), o qual é definido como sendo a distância entre os pontos A e B. A distância entre os ponto A e B é denotada por |AB| ou |BA|.
A direção de um segmento AB é a direção da reta que fica determinada pelos pontos A e B.
Exemplo 1.1.1. Consideremos os segmentos esboçados na Figura 1.2. Os
segmentos AB e CD têm as mesmas direções, mas comprimentos diferentes. Já, o segmento EF tem direção diferente dos segmentos AB e CD.
Figura 1.2: Esboço referente ao Exemplo 1.1.1.
Se A e B são o mesmo ponto, então chamamos AB de segmento nulo e temos |AB| = 0. Um segmento nulo não tem direção.
Observemos que um dado segmento AB é igual ao segmento BA. Agora, podemos associar a noção de sentido a um segmento, escolhendo um dos pontos como sua origem e o outro como sua extremidade. Ao fazermos isso, definimos um segmento orientado. Mais precisamente, um segmento orientado AB é o segmento definido pelos pontos A e B, sendo A a origem e
B a extremidade. Veja a Figura 1.3.
Dizemos que dois dados segmentos orientados não nulos AB e CD têm a
mesma direçãoquando as retas AB e CD forem paralelas ou coincidentes. Exemplo 1.1.2. Consideremos os segmentos orientados esboçados na Figura
1.4. Observemos que os segmentos orientados AB e CD têm a mesma direção. Já o segmento orientado EF tem direção diferente dos segmentos AB e CD. Sejam dados dois segmentos orientados AB e CD de mesma direção, cujas retas AB e CD não sejam coincidentes. Então, as retas AB e CD determi-nam um único plano e a reta AC determina dois semiplanos (veja a Figura
Figura 1.3: Esboço de um segmento orientado AB.
Figura 1.4: Esboço referente ao Exemplo 1.1.2.
1.5). Assim sendo, dizemos que os segmentos AB e CD têm mesmo sentido quando os pontos B e D estão ambos sobre o mesmo semiplano.
Para analisar o sentido de dois segmentos orientados e colineares, escolhemos um deles e construímos um segmento orientado de mesmo sentido a este, mas não colinear. Então, analisamos o sentido dos segmentos orientados originais
Figura 1.5: Esboço de dois segmentos orientados AB e CD de mesmo sentido.
com respeito ao introduzido.
Dois segmentos orientados não nulos são equipolentes quando eles têm o mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido. Veja o exemplo dado na Figura1.6.
1.1.1
Exercícios
E 1.1.1. Mostre que dois segmentos orientados AB e CD são equipolentes
se, e somente se, os pontos médios de AD e BC são coincidentes.
1.2
Vetores
Dado um segmento orientado AB, chama-se vetor AB e denota-se −→AB,
qualquer segmento orientado equipolente a AB. Cada segmento orientado equipolente a AB é um representado de −→AB. A Figura 1.7 mostra duas
representações de um dado vetor −→AB.
Figura 1.7: Esboço de duas representações de um mesmo vetor.
O módulo (ou norma) de um vetor −→AB é o valor de seu comprimento e é
denotado por |−→AB|.
Dois vetores são ditos paralelos quando qualquer de suas representações têm a mesma direção. De forma análoga, definem-se vetores coplanares,
vetores não coplanares, vetores ortogonais, além de conceitos como ângulo entre dois vetores, etc. Veja a Figura 1.8.
Observemos que na Figura 1.8(direita) os vetores foram denotados por ~a, ~b e ~c, sem alusão aos pontos que definem suas representações como segmentos orientados. Isto é costumeiro, devido a definição de vetor.
Figura 1.8: Esquerda: esboços de vetores paralelos e de vetores ortogonais. Direita: esboços de vetores coplanares.
1.2.1
Adição de vetores
Sejam dados dois vetores ~u e ~v. Sejam, ainda, uma representação−→AB
qual-quer de u e a representação −BC−→ do vetor ~v. Então, define-se o vetor soma ~u+ ~v como o vetor dado por−→AC. Veja a Figura 1.9.
1.2.2
Vetor oposto
Um vetorvetorvetor ~v é dito ser opostoopostooposto a um dado vetor ~u, quando quaisquer represen-tações de ~u e ~v são segmentos orientados de mesmo comprimento e mesma direção, mas com sentidos opostos. Neste caso, denota-se por −~u o vetor oposto a ~u. Veja a Figura 1.10.
Figura 1.10: Representação geométrica de vetores opostos.
1.2.3
Subtração de vetores
Sejam dados dois vetores ~u e ~v. A subtração de ~u com ~v é denotada por ~u−~v e é definida pela adição de ~u com −~v, i.e. ~u − ~v = ~u + (−~v). Veja a Figura
1.11.
1.2.4
Multiplicação de vetor por um escalar
A multiplicação de um número real α > 0 (escalar) por um vetor ~u é de-notado por α~u e é definido pelo vetor de mesma direção e mesmo sentido de ~u com norma α|~u|. Quando α = 0, define-se α~u = ~0, i.e. o vetor nulo (geometricamente, representado por qualquer ponto).
Observação 1.2.1. • Para α < 0, temos α~u = −(−α~u).
Figura 1.11: Representação geométrica da subtração de ~u com ~v, i.e. ~u − ~v.
Figura 1.12: Representações geométricas de multiplicações de um vetor por diferentes escalares.
1.2.5
Propriedades das operações com vetores
As operações de adição e multiplicação por escalar de vetores têm proprie-dades importantes. Para quaisquer vetores ~u, ~v e ~w e quaisquer escalares α e β temos:
• associatividade da adição: (~u + ~v) + ~w = ~u + (~v + ~w); • elemento neutro da adição: ~u + ~0 = ~u;
• existência do oposto: ~u + (−~u) = ~0;
• associatividade da multiplicação por escalar: α(β~u) = (αβ)~u; • distributividade da multiplicação por escalar:
α(~u + ~v) = α~u + α~v, (1.1)
(α + β)~u = α~u + β~u; (1.2)
• existência do elemento neutro da multiplicação por escalar: 1~u = ~u.
Exercícios
E 1.2.1. Na figura abaixo, temos ~u =−→GJ e ~v =−−→AK. Assim sendo, escreva
os vetores −→RS, −→N I,−→AG, −−→N Q, −→AT e−→P E em função de ~u e ~v.
E 1.2.2. Sejam−→CA,−−→CMe−CB−→os vetores indicados na figura abaixo. Mostre
E 1.2.3. Sejam A, B, C, D, E e G os pontos dados na figura abaixo.
Escreva o vetor−DG−→ em função dos vetores −→AB e−AD−→.
E 1.2.4. Seja dado um vetor ~u 6= 0. Calcule a norma do vetor ~v = ~u/|~u|1.
Capítulo 2
Bases e coordenadas
Observação 2.0.1. Neste capítulo, vamos computar a solução de alguns
pro-blemas usando Python. Para tanto, utilizaremos a biblioteca de matemática simbólica SymPy.
Nos códigos Python apresentados ao longo deste capítulo, assumiremos que os seguintes comandos já estejam executados:
form sympy import *
2.1
Dependência linear
2.1.1
Combinação linear
Dados vetores ~u1, ~u2, . . . , ~un e números reais c1, c2, . . . , cn, com n inteiro
positivo, chamamos de
~
u= c1~u1+ c2~u2+ · · · + cn~un (2.1)
uma combinação linear de ~u1, ~u2, . . . , ~un. Neste caso, também dizemos
que ~u é gerado pelos vetores ~u1, ~u2, . . . , ~un ou, equivalentemente, que estes
vetores geram o vetor ~u.
Exemplo 2.1.1. Sejam dados os vetores ~v, ~w e ~z. Então, temos:
• ~u1 = 1 2~u+
√
2~z é uma combinação linear dos vetores ~v e ~z. • ~u2 = ~u − 2~z é uma outra combinação linear dos vetores ~v e ~z.
• ~u3 = 2~u − ~w + π~z é uma combinação linear dos vetores ~u, ~w e ~z. • ~u4 = 3
2~z é uma combinação linear do vetor ~z.
2.1.2
Dependência linear
Dois ou mais vetores dados são linearmente dependentes (abreviação, l.d.) quando um deles for combinação linear dos demais.
Exemplo 2.1.2. No exemplo anterior (Exemplo 2.1.1), temos:
• ~u1 e ~u2 dependem linearmente dos vetores ~u e ~z. • ~u3 depende linearmente dos vetores ~u, ~v e ~z. • Os vetores ~u4 e ~z são linearmente dependentes.
Dois ou mais vetores dados são linearmente independentes (abreviação, l.i.)quando eles não são linearmente dependentes.
2.1.3
Observações
Dois vetoresDois vetores quaisquer ~u 6= ~0 e ~v 6= ~0 são l.d. se, e somente se, qualquer uma das seguinte condições é satisfeita:
• um deles é combinação linear do outro, i.e.
~
u= α~v ou ~v = β~u; (2.2)
• ~u e ~v têm a mesma direção; • ~u e ~v são paralelos.
Observação 2.1.1. O vetor nulo ~0 é l.d. a qualquer vetor ~u. De fato, temos
~0 = 0 · ~u, (2.3)
Observação 2.1.2. Dois vetores não nulos ~u e ~v são l.i. se, e somente se,
α~u+ β~v = 0 ⇒ α = β = 0. (2.4)
De fato, se α 6= 0, então podemos escrever
~u= −β
α~v, (2.5)
i.e. o vetor ~u é combinação linear do vetor ~v e, portanto, estes vetores são l.d.. Isto contradiz a hipótese de eles serem l.i.. Analogamente, se β 6= 0, então podemos escrever
~v = −α
β~u (2.6)
e, então, teríamos ~u e ~v l.d..
Três vetores
Três vetores quaisquer ~u, ~v e ~w são l.d. quando um deles pode ser escrito como combinação linear dois outros dois. Sem perda de generalidade, isto significa que existem constantes α e β tais que
~u= α~v + β ~w. (2.7)
Afirmamos que se ~u, ~v e ~w são l.d., então ~u, ~v e ~w são coplanares. Do fato de que dois vetores quaisquer são sempre coplanares, temos que ~u, ~v e ~w são coplanares caso qualquer um deles seja o vetor nulo. Suponhamos, agora, que ~u, ~v e ~w são não nulos e seja π o plano determinado pelos vetores ~v e
~
w. Se α = 0, então ~u = β ~w e teríamos uma representação de ~u no plano π. Analogamente, se β = 0, então ~u = α~v e teríamos uma representação de ~
u no plano π. Por fim, observemos que se α,β 6= 0, então α~v tem a mesma
direção de ~v e β ~w tem a mesma direção de ~w. Isto é, α~v e β ~w admitem representações no plano π. Sejam −→AB e −BC−→ representações dos vetores α~v
e β ~w, respectivamente. Os pontos A, B e C pertencem a π, assim como o segmento AC. Como −→AC = ~u = α~v + β ~w, concluímos que ~u, ~v e ~w são
coplanares.
Reciprocamente, se ~u, ~v e ~w são coplanares, então ~u, ~v e ~w são l.d.. De fato, se um deles for nulo, por exemplo, ~u = ~0, então ~u pode ser escrito como a seguinte combinação linear dos vetores ~v e ~w
~
Neste caso, ~u, ~v e ~w são l.d.. Também, se dois dos vetores forem paralelos, por exemplo, ~u k ~v, então temos a combinação linear
~
u= α~v + 0~w. (2.9)
E, então, ~u, ~v e ~w são l.d.. Agora, suponhamos que ~u, ~v e ~w são não nulos e dois a dois concorrentes. Sejam, então −→P A = ~u, −P B−→ = ~v e −→P C = ~w
representações sobre um plano π. Sejam r e s as retas determinadas por P A e P C, respectivamente. Seja, então, D o ponto de interseção da reta s com a reta paralela a r que passa pelo ponto B. Seja, também, E o ponto de interseção da reta r com a reta paralela a s que passa pelo ponto B. Sejam, então, α e β tais que α~u =P E−→e β ~w =−P D−→. Como ~v =P B−−→=−→P E+−P D−→= α~u+ β ~w, temos que ~v é combinação linear de ~u e ~w, i.e. ~u, ~v e ~w são l.d..
Observação 2.1.3. Três vetores dados ~u, ~v e ~w são l.i. se, e somente se,
α~u+ β~v + γ ~w = 0 ⇒ α = β = γ = 0. (2.10)
De fator, sem perda de generalidade, se α 6= 0, podemos escrever
~ u= −β
α~v − γ
αw,~ (2.11)
e teríamos ~u, ~v e ~w vetores l.d..
Quatro ou mais vetores
Quatro ou mais vetores são sempre l.d.. De fato, sejam dados quatro
vetores ~a, ~b, ~c e ~d. Se dois ou três destes forem l.d. entre si, então, por definição, os quatro são l.d.. Assim sendo, suponhamos que três dos vetores sejam l.i. e provaremos que, então, o outro vetor é combinação linear desses três.
Sem perda de generalidade, suponhamos que ~a, ~b e ~c são l.i.. Logo, eles não são coplanares. Seja, ainda, π o plano determinado pelos vetores ~a, ~b e as representações ~a =−→P A, ~b =−P B−→, ~c =−→P C e ~d =−P D−→.
Figura 2.1: Quatro vetores são l.d..
Consideremos a reta r paralela a−→P C que passa pelo ponto D. Então, seja E
o ponto de interseção de r com o plano π. Vejamos a Figura2.1. Observamos que o vetor−→P E é coplanar aos vetores−→P Ae−P B−→e, portanto, exitem números
reais α e β tal que
−→
P E = α−→P A+ β−P B.−→ (2.12)
Além disso, como−−→ED tem a mesma direção e sentido de−→P C = ~c, temos que
−−→
ED= γ−→P C (2.13)
para algum número real γ. Por fim, observamos que −−→
P D=−→P E+−−→ED
= α−→P A+ β−P B−→+ γ−→P C
= α~a + β~b + γ~c.
Exercícios
E 2.1.1. Sendo −→AB+ 2−BC−→ = ~0, mostre que −→P A, −P B−→ e −→P C são l.d. para
E 2.1.2. Sejam dados três vetores quaisquer ~a, ~b e ~c. Mostre que os vetores
~u= 2~a −~b, ~v = −~a − 2~c e ~w = ~b + 4~c são l.d..
Em construção ...
2.2
Bases e coordenadas
Seja V o conjunto de todos os vetores no espaço tridimensional. Conforme discutido na Subseção 2.1.2, se ~a, ~b e ~c são l.i., então qualquer vetor ~u ∈ V pode ser escrito como uma combinação linear destes vetores, i.e. existem números reais α, β e γ tal que
~
u= α~a + β~b + γ~c. (2.14)
A observação acima motiva a seguinte definição: uma base de V é uma sequência de três vetores l.i. de V .
Seja B = (~a,~b,~c) uma dada base de V . Então, dado qualquer ~v ∈ V , existe um único terno de números reais α, β e γ tais que
~
v = α~a + β~b + γ~c. (2.15)
De fato, a existência de alpha, β e γ segue imediatamente do fato de que
~a, ~b e ~c são l.i. e, portanto, ~v pode ser escrito como uma combinação linear
destes vetores. Agora, para verificar a unicidade de alpha, β e γ, tomamos
α0, β0 e γ0 tais que
~v = α0~a+ β0~b + γ0~c. (2.16)
Subtraindo (2.16) de (2.15), obtemos
~0 = (α − α0)~a + (β − β0)~b + (γ − γ0)~c. (2.17) Como ~a, ~b e ~c são l.i., segue que1
α − α0 = 0, β − β0 = 0, γ − γ0 = 0, (2.18)
i.e. α = α0, β = β0 e γ = γ0.
Figura 2.2: Representação de um vetor ~u = (u1, u2, u3)B em uma dada base
B = (~a,~b,~c).
Com isso, fixada uma base B = (~a,~b,~c), cada vetor ~u é representado de forma única como combinação linear dos vetores da base, digamos
~
u= u1~a+ u2~b + u3~c, (2.19) onde u1, u2 e u3 são números reais fixos, chamados de coordenadas do ~u na base B. Ainda, usamos a notação
~u= (u1, u2, u3)B, (2.20)
para expressar o vetor ~u nas suas coordenadas na base B. Vejamos a Figura
2.2.
Exemplo 2.2.1. Fixada uma base B = (~a,~b,~c), o vetor ~u de coordenadas
~
u= (−2,√2, − 3) é o vetor ~u = −2~a +√2~b − 3~c.
2.2.1
Operações de vetores com coordenadas
Na Seção 1.2, definimos as operações de adição, subtração e multiplicação por escalar do ponto de vista geométrico. Aqui, veremos como estas operação são definidas a partir das coordenadas de vetores.
Sejam B = (~a,~b,~c) uma base de V e os vetores ~u = (u1, u2, u3)B e ~v = (v1, v2, v3)B. Isto é, temos ~ u= u1~a+ u2~b + u3~c, (2.21) ~ v = v1~a+ v2~b + v3~c. (2.22) Então, a adição de ~u com ~v é a soma
~u+ ~v = u1~a+ u2~b + u3~c | {z } ~ u + v1~a+ v2~b + v3~c | {z } ~ v (2.23)
= (u1+ v1)~a + (u2+ v2)~b + (u3+ v3)~c, (2.24) ou seja
~
u+ ~v = (u1+ v1, u2+ v2, u3+ v3)B. (2.25)
Exemplo 2.2.2. Fixada uma base qualquer B e dados os vetores ~u =
(2, −1, −3)B e ~v = (−1, 4, −5)B, temos
~
u+ ~v = (2 + (−1), −1 + 4, −3 + (−5))B = (1,3, − 8)B. (2.26)
Podemos usar o SymPy para manipularmos vetores em coordenadas. Para computarmos a soma neste exemplo, podemos usar os seguintes comandos2:
u = Matrix([2,-1,-3]) v = Matrix([-1,4,-5]) u+v
De forma, análoga, o vetor oposto ao vetor ~u é −~u= −(u1~a+ u2~b + u3~c
| {z }
~ u
) (2.27)
= (−u1)~a + (−u2)~b + (−u3)~c, (2.28) ou seja,
− ~u= (−u1, −u2, −u3)B. (2.29)
Exemplo 2.2.3. Fixada uma base qualquer B e dado o vetor ~v = (2, −1, −3)B,
temos
− ~v = (−2, 1, 3)B. (2.30)
Usando o Sympy, podemos computar o oposto do vetor ~v com os seguintes comandos:3:
2Veja a Observação2.0.1no ínicio deste capítulo. 3Veja a Observação2.0.1no ínicio deste capítulo.
v = Matrix([2,-1,-3]) -v
Lembrando que subtração de ~u com ~v é ~u − ~v := ~u + (−~v), segue
~
u − ~v = (u1 − v1, u2− v2, u3− v3)B. (2.31)
Exemplo 2.2.4. Fixada uma base qualquer B e dados os vetores ~u =
(2, −1, −3)B e ~v = (−1, 4, −5)B, temos
~u − ~v = (2 − (−1), −1 − 4, −3 − (−5))B = (3, − 5,2)B. (2.32)
Usando o Sympy, podemos computar ~u − ~v com os seguintes comandos:4:
u = Matrix([2,-1,-3]) v = Matrix([-1,4,-5]) u-v
Com o mesmo raciocínio, fazemos a multiplicação de um dado número α pelo vetor ~u. Vejamos, por definição,
α~u= α(u1~a+ u2~b + u3~c
| {z }
~ u
) (2.33)
= (αu1)~a + (αu2)~b + (αu3)~c, (2.34) ou seja,
α~u= (αu1,αu2, αu3). (2.35)
Exemplo 2.2.5. Fixada uma base qualquer B e dado o vetor ~v = (2, −1, −3)B,
temos 1 3~v = −2 3, 1 3,1 B . (2.36)
Usando o Sympy, podemos computar o oposto do vetor 1
3~v com os seguintes comandos:5:
v = Matrix([2,-1,-3]) 1/3*v
4Veja a Observação2.0.1no ínicio deste capítulo. 5Veja a Observação2.0.1no ínicio deste capítulo.
2.2.2
Dependência linear
Dois vetoresNa Subseção2.1.3, discutimos que dois vetores ~u, ~v são l.d. se, e somente se, um for múltiplo do outro, i.e. existe um número real α tal que
~u= α~v, (2.37)
sem perda de generalidade6.
Fixada uma base B = (~a,~b,~c), temos ~u = (u1, u2, u3)B e ~v = (v1, v2, v3)B.
Com isso, a equação (2.37) pode ser reescrita como
(u1, u2, u3)B = α(v1, v2, v3)B = (αv1, αv2, αv3)B, (2.38)
donde
u1 = αv1, u2 = αv2, u3 = αv3. (2.39) Ou seja, dois vetores são linearmente dependentes se, e somente se, as co-ordenadas de um deles forem, respectivamente, múltiplas (de mesmo fator) das coordenadas do outro.
Exemplo 2.2.6. Vejamos os seguintes casos:
a) ~u = (2, − 1, − 3) e ~v = 1, − 1 2, − 3 2 são l.d., pois 2 = 2 · 1 2, −1 = 2 · −1 2 , −3 = 2 · −3 2 . (2.40) b) ~u = (2, − 1, − 3) e ~v = 2, − 1 2, − 3 2
são l.i., pois u1 = 1 · v1, enquanto
u2 = 2v2.
Três vetores
Na Subseção2.1.3, discutimos que três vetores ~u, ~v e ~w são l.i. se, e somente se,
α~u+ β~v + γ ~w = ~0 ⇒ α = β = γ. (2.41)
Seja, então, B = (~a,~b,~c) uma base de V . Então, temos que a equação
α~u+ β~v + γ ~w = ~0 (2.42)
é equivalente a
α(u1,u2,u3)B+ β(v1,v2,v3)B+ γ(w1,w2,w3)B = (0, 0, 0)B. (2.43)
Esta por sua vez, nos leva ao seguinte sistema linear
u1α+ v1β+ w1γ = 0 u2α+ v2β+ w2γ = 0 u3α+ v3β+ w3γ = 0 (2.44)
Lembremos que um tal sistema tem solução única (trivial) se, e somente se, o determinante de sua matriz dos coeficientes é nulo, i.e.
u1 v1 w1 u2 v2 w2 u3 v3 w3 6 = 0. (2.45)
Exemplo 2.2.7. Fixada uma base B de V , sejam os vetores ~u = (2,1,−3)B,
~ v = (1, − 1,2)B e ~w = (−2,1,1)B. Como u1 v1 w1 u2 v2 w2 u3 v3 w3 = 2 1 −2 1 −1 1 −3 2 1 (2.46) = −2 − 4 − 3 + 6 − 4 − 1 = −8 6= 0. (2.47)
Exercícios
Em construção ...2.3
Mudança de base
Sejam B = (~u,~v, ~z) e C = (~r, ~s,~t) bases do espaço V . Conhecendo as coor-denadas de um vetor na base C, queremos determinar suas coorcoor-denadas na base B. Mais especificamente, seja
~
Agora, tendo ~r = (r1, r2, r3)B, ~s = (s1, s2, s3)B e ~t = (t1, t2, t3)B, então (z1, z2, z3)C = z1(r1, r2, r3)B+ z2(s1, s2, s3)B+ z3(t1, t2, t3)B (2.49) = (r1z1+ s1z2+ t1z3) | {z } z01 ~ u (2.50) + (r2z1+ s2z2+ t2z3) | {z } z0 2 ~v (2.51) + (r3z1+ s3z2+ t3z3) | {z } z03 ~ w (2.52) o que é equivalente a z10 z20 z30 = r1 s1 t1 r2 s2 t2 r3 s3 t3 | {z } MCB z1 z2 z3 , (2.53) onde ~z = (z0 1, z 0 2, z 0 3)B.
A matriz MCB é chamada de matriz de mudança de base de C para B. Como
os vetores ~r, ~s e ~t são l.i., temos que a matriz de mudança de base MBC tem
determinante não nulo e, portanto é invertível. Além disso, observamos que
MBC = (MCB)−1. (2.54)
Exemplo 2.3.1. Sejam dadas as bases B = (~a,~b,~c) e C = (~u,~v,~w), com
~u = (1,2,0)B, ~v = (2,0, − 1)B e ~w = (−1, − 3,1)B. Seja, ainda, o vetor
~z = (1, − 2,1)B. Vamos encontrar as coordenadas de ~z na base C.
Há duas formas de proceder. A primeira consiste em resolver, de forma direta, a seguinte equação
~
z = (−1, − 3,1)B = (x,y,z)C. (2.55)
Esta é equivalente a
−~a −3~b + ~c = x~u + y~v + z ~w (2.56) = x(~a + 2~b) + y(2~a − ~c) + z(−~a − 3~b + ~c) (2.57) = (x + 2y − z)~a + (2x − 3z)~b + (−y + z)~c. (2.58)
Isto nos leva ao seguinte sistema linear x+ 2y − z = −1 2x − 3z = −3 −y+ z = 1 (2.59)
Resolvendo este sistema, obtemos x = 6/5, y = 4/5 e z = 9/5, i.e.
~ z = 6 5, 4 5, 9 5 C . (2.60)
Outra maneira de se obter as coordenadas de ~z na base C é usando a matriz de mudança de base. A matriz de mudança da base C para a base B é
M = 1 2 − 1 2 0 −3 0 −1 1 . (2.61)
Então, a matriz de mudança da base B para a base C é MBC = M−1. Logo,
(x,y,z)C = MBC(−1, − 3,1)B.
Exercícios
Em construção ...
2.4
Bases ortonormais
Uma base B = (~a,~b,~c) é dita ser ortonormal se, e somente se, • ~a, ~b e ~c são dois a dois ortogonais;
• |~a| = |~b| = |~c| = 1.
Observação 2.4.1. (Teorema de Pitágoras) Se ~u ⊥ ~v, então |~u + ~v|2 = |~u|2+ |~v|2.
Proposição 2.4.1. Seja B = (~i,~j,~k) uma base ortonormal e ~u = (u1,u2,u3)B.
Então, |~u|=qu2
Demonstração. Temos |~u|2 = |u1~i+u2~j+u3~k|2. Seja π um plano determinado por dadas representações de ~i e ~j. Como ~i, ~j e ~k são ortogonais, temos que
~k é ortogonal ao plano π. Além disso, o vetor u1~i+ u2~j também admite uma representação em π, logo u1~i+u2~j é ortogonal a ~k. Do Teorema de Pitágoras (Observação 2.4.1), temos
|~u|2 = |u1~i+ u2~j|2+ |u3~k|2. (2.62)
Analogamente, como ~i ⊥ ~j, do Teorema de Pitágoras segue
|~u|2 = |u1~i|2+ |u2~j|2+ |u3~k|2 (2.63)
= |u1|2|~i|+ |u2|2|~j|+ |u3||~k|2 (2.64) = u2 1+ u 2 2+ u 2 3. (2.65)
Extraindo a raiz quadrada de ambos os lados da última equação, obtemos o resultado desejado.
Exemplo 2.4.1. Se ~u = (−1,2, −√2)B e B é uma base ortonormal, então
|~u|=
q
(−1)2+ 22+ (−√2)2 =√7. (2.66)
Exercícios
E 2.4.1. Seja B = (~a,~b,~c) uma base ortogonal, i.e. ~a, ~b e ~c são l.i. e dois a
dois ortogonais. Mostre que C = (~a/|~a|,~b/|~b|,~c/|~c|) é uma base ortonormal. Em construção ...
Capítulo 3
Produto escalar
3.1
Produto escalar
Ao longo desta seção, assumiremos B = (~i,~j,~k) uma base ortonormal no espaço. O produto escalar dos vetores ~u = (u1,u2,u3) e ~v = (v1,v2,v3) é o número real
~
u · ~v = u1v1+ u2v2 + u3v3. (3.1)
Exemplo 3.1.1. Se ~u = (2, − 1,3) e ~v = (−3, − 4,2), então
~u · ~v = 2 · (−3) + (−1) · (−4) + 3 · 2 = 4. (3.2)
3.1.1
Propriedades do produto escalar
Quaisquer que sejam ~u, ~v, ~w e qualquer número real α, temos: • Comutatividade: ~u · ~v = ~v · ~u. Dem.: ~ u · ~v = (u1,u2,u3) · (v1,v2,v3) (3.3) = u1v1+ u2v2+ u3v3 (3.4) = v1u1+ v2u2+ v3u3 (3.5) = ~v · ~u. (3.6)
• Distributividade com multiplicação por escalar:
Dem.:
(α~u) · ~v = (αu1,αu2, αu3) · (v1,v2,v3) (3.8) = (αu1)v1+ (αu2)v2+ (αu3)v3 (3.9) = α(u1v1) + α(u2v2) + α(u3v3) (3.10)
= α(u1v1+ u2v2+ u3v3) = α(~u · ~v) (3.11) = u1(αv1) + u2(αv2) + u3(αv3) (3.12) = (u1,u2,u3) · (αv1,αv2,αv3) (3.13)
= ~u · (α~v). (3.14)
• Distributividade com a adição: ~u · (~v + ~w) = ~u · ~v + ~u · ~w. Dem.:
~
u ·(~v + ~w) = (u1,u2,u3) · ((v1,v2,v3) + (w1,w2,w3)) (3.15) = (u1,u2,u3) · [(v1+ w1,v2+ w2,v3+ w3)] (3.16) = u1(v1+ w1) + u2(v2+ w2) + u2(v2+ w2) (3.17) = u1v1+ u1w1+ u2v2+ u2w2+ u3v3+ u3w3 (3.18) = u1v1+ u2v2+ u3v3+ u1w1+ u2w2+ u3w3 (3.19) = ~u · ~v + ~u · ~w. (3.20) • Sinal: ~u · ~u ≥ 0 e ~u · ~u = 0 ⇔ ~u = ~0. Dem.: ~u · ~u= u21+ u22+ u23 ≥0. (3.21) Além disso, observamos que a soma de números não negativos é nula se, e somente se, os números forem zeros.
• Norma: |u|2 = ~u~u.
Dem.: Como fixamos uma base ortonormal B, a Proposição 2.4.1 nos garante que |u|2 = u2 1+ u 2 2+ u 2 3 = ~u · ~u. (3.22) Exemplo 3.1.2. Sejam ~u = (−1,2,1), ~v = (2, − 1,3) e ~w = (1,0, − 1).
• Comutatividade:
~
u · ~v = −1 · 2 + 2 · (−1) + 1 · 3 = −1, (3.23) ~
v · ~u= 2 · (−1) + (−1) · 2 + 3 · 1 = −1. (3.24)
• Distributividade com a multiplicação por escalar:
(2~u) · ~v = (−2,4,2) · (2, − 1,3) = −4 − 4 + 6 = −2, (3.25) 2(~u~v) = 2(−2 − 2 + 3) = −2, (3.26)
~u ·(2~v) = (−1,2,1) · (4, − 2,6) = −2. (3.27)
• Distributividade com a adição:
~u ·(~v + ~w)) = (−1,2,1) · (3, − 1,2) = −3 − 2 + 2 = −3, (3.28) ~ u · ~v+ ~u · ~w = (−2 − 2 + 3) + (−1 + 0 − 1) = −3. (3.29) • Sinal: ~ w ~w= 1 + 0 + 1 = 2 ≥ 0. (3.30) • Norma: |u|2 = (−1)2+ 22+ 12 = 6, (3.31) ~ u · ~u= (−1) · (−1) + 2 · 2 + 1 · 1 = 6. (3.32)
Exercícios
Em construção ...3.2
Ângulo entre dois vetores
O ângulo formado entre dois vetores ~u e ~v não nulos, é definido como o menor ângulo determinado entre quaisquer representações ~u = −→OAe ~v =−OB−→.
Proposição 3.2.1. Dados ~u e ~v, temos
~u · ~v = |~u||~v| cos α, (3.33) onde α é o ângulo entre os vetores ~u e ~v.
Demonstração. Tomamos as representações ~u =−→OA e ~v =−OB−→. Observamos
que ~u − ~v =−→BA. Então, aplicando a lei dos cossenos no triângulo 4OAB,
obtemos
|−→BA|2 = |−→OA|2+ |OB|−−→2−2|−→OA||−OB|−→ cos α, (3.34)
ou, equivalentemente,
|~u − ~v|2 = |~u|2+ |~v|2−2|~u||~v| cos α (3.35) (~u − ~v) · (~u − ~v) = |~u|2+ |~v|2−2|~u||~v| cos α (3.36)
~
u · ~u −2~u · ~v + ~v · ~v = |~u|2+ |~v|2−2|~u||~v| cos α (3.37) |~u|2+ |~v|2−2~u · ~v = |~u|2+ |~v|2−2|~u||~v| cos α (3.38) donde
~
u · ~v = |~u||~v| cos α. (3.39)
Exemplo 3.2.1. Vamos determinar ângulo entre os vetores ~u =
√ 3 2 , 1 2,0 ! e ~u = 12, √ 3 2 ,0 ! . Da Proposição 3.2.1, temos cos α = ~u · ~v |u| · |v| (3.40) = √ 3 2 1 · 1 = √ 3 2 . (3.41) Portanto, temos α = π/6.
Observação 3.2.1. O ângulo entre dois vetores ~u e ~v é:
• agudo se, e somente se, ~u · ~v > 0; • obtuso se, e somente se, ~u · ~v < 0. Se ~u,~v 6= ~0, então:
3.2.1
Desigualdade triangular
Dados dois vetores ~u e ~v temos
|~u+ ~v| ≤ |~u| + |~v|, (3.42)
esta é conhecida como a desigualdade triangular. Para demonstrá-la, começamos observando que
|~u+ ~v|2 = (~u + ~v) · (~u + ~v) (3.43)
= ~u · ~v + ~v · ~v + ~u · ~v + ~v · ~u (3.44) = |~u|2+ |~v|2+ 2~u · ~v. (3.45) Agora, vamos estimar ~u · ~v. Pela Proposição 3.2.1, temos
~u · ~v = |~u||~v| cos α, (3.46)
onde α é o ângulo entre ~u e ~v. Mas, então:
~
u · ~v ≤ |~u||~v||cos α|. (3.47)
Daí, como | cos α| ≤ 1, temos
~
u · ~v ≤ |~u||~v|, (3.48)
a qual é chamada de desigualdade de Cauchy-Schwarz1.
Exercícios
E 3.2.1. Verifique que (??) é equivalente a (3.1) no caso de bases
ortonor-mais.
Em construção ...
1Augustin-Louis Cauchy, 1798-1857, matemático francês. Fonte: Wikipeida. Hermann
3.3
Projeção ortogonal
Sejam dados os vetores ~u = −→OA, ~v = −OB 6−→ = ~0. Seja, ainda, P a interseção
da reta perpendicular a OB que passa pelo ponto A. Observemos a Figura
3.1. Com isso, definimos a projeção ortogonal de ~u na direção de ~v por −→
OP. Denotamos
−→
OP = proj~v~u. (3.49)
Figura 3.1: Ilustração da definição da projeção ortogonal. Da definição, temos que
proj~v~u= α~v (3.50)
para algum número real α. Além disso, temos proj~v~u= ~u +
−→
AP . (3.51)
Portanto
α~v = ~u +−→AP . (3.52)
Tomando o produto escalar com ~v em ambos os lados desta equação, obtemos
pois−→AP ·~v = 0, uma vez que−→AP ⊥ ~v. Daí, lembrando que ~v ·~v = |v|2, temos α= ~u · ~v |~v|2 (3.54) e concluímos que proj~v~u= ~ u · ~v |~v|2~v. (3.55)
Exemplo 3.3.1. Sejam ~u = (−1,1, − 1) e ~v = (2,1, − 2). Usando a equação
(3.55), obtemos proj~v~u= (−1,1, − 1) · (2,1, − 2) |(2,1, − 2)|2 (2,1, − 2) (3.56) = −4 + 1 + 42 + 1 + 2(2,1, − 2) (3.57) =29,1 9, −2 9 . (3.58) Em construção ...
Exercícios
Em construção ...Capítulo 4
Produto vetorial
De agora em diante, vamos trabalhar com um base ortonormal B = (~i,~j,~k) dita com orientação positiva, i.e. os vetores ~i =−OI→, ~j =−→OJ e ~k =−−→OK estão
dispostos em sentido anti-horário, veja Figura 4.2.
4.1
Definição
Dados vetores ~u e ~v, definimos o produto vetorial de ~u com ~v, denotado por
~
u ∧ ~v, como o vetor:
• se ~u e ~v são l.d., então ~u ∧ ~v = ~0. • se ~u e ~v são l.i., então
– |~u ∧ ~v|= |~u||~v| sen α, onde α é o ângulo entre ~u e ~v,
– ~u ∧ ~v é ortogonal a ~u e ~v, e
– ~u, ~v e ~u ∧ ~v formam uma base positiva.
4.1.1
Interpretação geométrica
Sejam dados ~u e ~v l.i.. Estes vetores determinam um paralelogramo, veja Figura ??. Seja, então, h a altura deste paralelogramo tendo ~u como sua base. Logo, a área do paralelogramo é o produto do comprimento da base com sua altura, neste caso
|~u|h= |~u||~v| sen α. (4.1)
Ou seja, o produto vetorial ~u ∧ ~v tem norma igual à área do paralelogramo determinado por ~u e ~v.
4.1.2
Produto vetorial via coordenadas
Dados ~u = (u1,u2,u3) e ~v = (v1,v2,v3) em uma base ortonormal positiva, então ~ u ∧ ~v = u2 u3 v2 v3 ~i − u1 u3 v1 v3 ~j+ u1 u2 v1 v2 ~k. (4.2)
Observação 4.1.1. Uma regra mnemônica, é
~ u ∧ ~v = ~i ~j ~k u1 u2 u3 v1 v2 v3 . (4.3)
Exemplo 4.1.1. Dados os vetores ~u = (1, − 2,1) e ~v = (0,2, − 1), temos
~u ∧ ~v = ~i ~j ~k u1 u2 u3 v1 v2 v3 (4.4) = ~i ~j ~k 1 −2 1 0 2 −1 (4.5) = 0~i + ~j + 2~k (4.6) = (0,1,2). (4.7)
4.1.3
Exercícios
Em construção ...4.2
Propriedades do produto vetorial
Nesta seção, discutiremos sobre algumas propriedades do produto vetorial. Para tanto, sejam dados os vetores ~u = (u1,u2,u3), ~v = (v1,v2,v3), ~w = (w1,w2,w3) e o número real γ.
Da definição do produto vetorial, temos ~u ⊥ (~u ∧ ~v) e ~v ⊥ (~u ∧ ~v), logo
Em relação à multiplicação por escalar, temos γ(~u ∧ ~v) = (γ~u) ∧ ~v = ~u ∧ (γ~v). (4.9) De fato, (γ~u ∧ ~v) = ~i ~j ~k γu1 γu2 γu3
v1 v2 v3 (4.10) = ~i ~j ~k u1 u2 u3 γv1 γv2 γv3 = ~u ∧ (γ~v) (4.11) = γ ~i ~j ~k u1 u2 u3 v1 v2 v3 = γ(~u ∧ ~v). (4.12) (4.13)
Também, vale a propriedade distributiva com a operação de soma, i.e.
~ u ∧(~v + ~w) = ~u ∧ ~v + ~u ∧ ~w. (4.14) De fato, temos ~ u ∧(~v + ~w) = ~i ~j ~k u1 u2 u3 v1+ w1 v2+ w2 u3+ w3 (4.15) = ~i ~j ~k u1 u2 u3 v1 v2 v3 + ~i ~j ~k u1 u2 u3 w1 w2 w3 (4.16) = ~u ∧ ~v + ~u ∧ ~w. (4.17)
Observamos que o produto vetorial não é comutativo, entretanto
De fato, temos ~u ∧ ~v = ~i ~j ~k u1 u2 u3 v1 v2 v3 (4.19) = − ~i ~j ~k v1 v2 v3 u1 u2 u3 (4.20) = −~v ∧ ~u. (4.21)
Também, o produto vetorial não é associativo sendo (~u ∧ ~v) ∧ ~w, em geral, diferente de ~u ∧ (~v ∧ ~w). Com efeito, temos
(~i ∧~i) ∧ ~j = ~0, (4.22)
~i ∧(~i ∧ ~j) =~i ∧ ~k = −~j. (4.23)
Por outro lado, suponhamos que ~u, ~v e ~w são l.i. e seja π um plano determi-nado por ~u e ~v. Então, ~u ∧ ~v é ortogonal a π. Como (~u ∧ ~v) ∧ ~w é ortogonal a ~u ∧ ~v e a ~w, temos que (~u ∧ ~v) ∧ ~w também pertence a π. Logo, ~u, ~v e (~u ∧ ~v) ∧ ~w são l.d. e existem α e β tais que
(~u ∧ ~v) ∧ ~w = α~u + β~v. (4.24) Vamos determinar α e β. Para tanto, consideremos uma base ortonormal
B = (~i,~j,~k) tal que ~i k ~u e ~j ∈ π. Nesta base, temos ~ u= (u1,0,0) (4.25) ~v = (v1,v2,0) (4.26) ~ w= (w1,w2,w3). (4.27) Também, temos ~u ∧ ~v = ~i ~j ~k u1 0 0 v1 v2 0 (4.28) = (0,0,u1v2) (4.29)
e (~u ∧ ~v) ∧ ~w = ~i ~j ~k 0 0 u1v2 w1 w2 w3 (4.30) = (−u1v2w2,u1v2w1,0). (4.31) Daí, temos α(u1,0,0) + β(v1,v2,0) = (−u1v2w2,u1v2w1,0), (4.32) donde −u1v2w2 = αu1+ βv1, (4.33) u1w1v2 = βv2. (4.34) Resolvendo, obtemos α= −v1w1− v2w2 = −~v · ~w (4.35) β = ~u~w. (4.36) Portanto, temos
(~u ∧ ~v) ∧ ~w = −(~v · ~w)~u + (~u · ~w)~v. (4.37) Usando a identidade acima, obtemos
~ u ∧(~v ∧ ~w) = −(~v ∧ ~w) ∧ ~u (4.38) = (~w · ~u)~v − (~v · ~u)~w (4.39) = (~u · ~w)~v − (~u · ~v)~w. (4.40)
Exercícios
Em construção ...Capítulo 5
Produto misto
Ao longo deste capítulo, assumiremos trabalhar com uma base ortonormal positiva B = (~i,~j,~k).
5.1
Definição
O produto misto de três vetores ~u, ~v e ~w, nesta ordem, é definido por
Em coordenadas, temos [~u,~v,~w] := ~u ∧ ~v · ~w (5.2) = ~i ~j ~k u1 u2 u3 v1 v2 v3 · ~w (5.3) = u2 u3 v2 v3 ~i − u1 u3 v1 v3 ~j (5.4) + u1 u2 v1 v2 ~k ! ·(w1,w2,w3) (5.5) = u2 u3 v2 v3 w1− u1 u3 v1 v3 w2 + u1 u2 v1 v2 w3 (5.6) = w1 w2 w3 u1 u2 u3 v1 v2 v3 (5.7) = u1 u2 u3 v1 v2 v3 w1 w2 w3 (5.8)
Exemplo 5.1.1. Dados os vetores ~u = (1,−1,0), ~v = (1,0,2) e ~w = (1,−1,1),
temos [~u,~v,~w] = u1 u2 u3 v1 v2 v3 w1 w2 w3 (5.9) = 1 −1 0 1 0 2 1 −1 1 = 1. (5.10)
5.1.1
Propriedades
Valem as seguintes propriedades: a) [~u,~v,~w] = −[~v,~u,~w]
b) [~u,~v,~w] = −[~u,~w,~v]
d) [~u,~v,~w] = ~u ∧ ~v · ~w = ~u · ~v ∧ ~w
e) [α~u,~v,~w] = [~u,α~v,~w] = [~u,~v,α~w] = α[~u,~v,~w] f) [~u + ~u0,~v, ~w] = [~u,~v,~w] + [~u0,~v, ~w]
Em construção ...
Exercícios
Capítulo 6
Estudo de retas e planos
Observação 6.0.1. Neste capítulo, assumimos que os códigos Python têm
o seguinte preambulo:
from sympy import *
from sympy.plotting import plot3d_parametric_line
6.1
Sistema de coordenadas no espaço
Um sistema de coordenadas no espaço é constituído de um ponto O e uma base de vetores B = (~e1, ~e2, ~e3) no espaço. Dado um tal sistema, temos que cada ponto P determina de forma única um vetor −→OP = (x,y,z) e vice-versa.
Assim sendo, definimos que o ponto P tem coordenadas (x,y,z).
O ponto O é chamado de origem (do sistema de coordenados) e tem coor-denadas (0,0,0). Dado um ponto P = (x,y,z), chama-se x de sua abscissa,
y de sua ordenada e z de sua cota. As retas que passam por O e têm,
respectivamente, as mesmas direções de ~e1, ~e2 e ~e3 são chamadas de eixo
das abscissas, eixo das ordenadas e eixo das cotas. Os planos que
con-tém O e representantes de dois vetores da base B são chamados de planos
Figura 6.1: Sistema de coordenadas ortonormal.
Salvo explicitado ao contrário, trabalharemos com sistemas de
coordena-das ortogonais, i.e. sistema cuja base B = (~i,~j,~k) seja ortonormal. Mais
ainda, estaremos assumindo que a base é positiva. Veja a Figura6.1.
Observação 6.1.1. (Relação entre pontos e vetores) Seja dado um vetor
−→
AB. Sabendo as coordenadas dos pontos A = (xA,yA,zA) e B = (xB,yB,zB),
temos que as coordenadas do vetor−→AB são:
−→
AB=−→AO+−OB−→ (6.1)
= −−→OA+−OB−→ (6.2)
= −(xA,yA,zA) + (xB,yB,zB) (6.3)
= (xB− xA,yB− yA,zB− zA). (6.4)
Exemplo 6.1.1. Dados os pontos A = (−1,1,2) e B = (3, − 1,0), temos que
o vetor−→AB tem coordenadas:
−→
AB= (3 − (−1), − 1 − 1,0 − 2) = (4, − 2, − 2). (6.5)
Observação 6.1.2. (Ponto médio de um segmento) Dados os pontos A =
(xA,yA,zA) e B = (xB,yB,zB), podemos calcular as coordenadas do ponto
médio M = (xM,yM,zM) do segmento AB, do fato de que
−−→
AM = −−→M B.
Portanto
donde 2xM = xA+ xB (6.7) 2yM = yA+ yB (6.8) 2zM = zA+ zB. (6.9) Logo, temos M = xA+ xB 2 , yA+ yB 2 , zA+ zB 2 .
Exemplo 6.1.2. Dados os pontos A = (−1,1,2) e B = (3, − 1,0), temos que
o ponto médio do segmento AB tem coordenadas:
M = −1 + 3 2 , 1 + (−1) 2 , 2 + 0 2 ! = (1,0,1). (6.10)
Exercícios resolvidos
ER 6.1.1. Sejam A = (−1,2,1), B = (1, − 2,0) e C = (x,2,2) vérticesconsecutivos de um triângulo isósceles, cujos lados AC e BC são congruentes. Determine o valor de x.
Solução. Sendo os lados AC e BC congruentes, temos |−→AC| = |−BC|−→. As
coordenadas de −→AC são −→ AC = (x − (−1),2 − 2,2 − 1) = (x + 1,0,1) (6.11) e as coordenadas de −BC−→ são −−→ BC = (x − 1,2 − (−2),2 − 0) = (x − 1,4,2). (6.12) Então, temos |−→AC|= |−BC| ⇒−→ q(x + 1)2+ 02+ 12 =q(x − 1)2+ 42+ 22 (6.13) ⇒(x + 1)2+ 02+ 12 = (x − 1)2+ 42+ 22 (6.14) ⇒ x2+ 2x + 1 + 1 = x2 −2x + 1 + 16 + 4 (6.15) ⇒4x = 19 (6.16) ⇒ x= 19 4 . (6.17) ♦
ER 6.1.2. Sejam A = (−1,2,1), B = (1, − 2,0) e M o ponto médio do
intervalo AB. Determine as coordenadas do ponto P de forma que 2AP =
AM.
Solução. As coordenadas do ponto médio são
M = −1 + 1 2 , 2 + (−2) 2 , 1 + 0 2 ! =0,0,1 2 . (6.18)
Agora, denotando P = (xP,yP,zP), temos
2AP = AM ⇒ 2(xP −(−1),yP −2,zP −1) = 0 − (−1),0 − 2,12 −1 (6.19) ⇒(2xp+ 2,2yP −4,2zP −2) = 1, − 2, − 12. (6.20) Portanto 2xP + 2 = 1 ⇒ xP = − 1 2 (6.21) 2yP −4 = −2 ⇒ yP = 1 (6.22) 2zP −2 = − 1 2 ⇒ zP = 3 4. (6.23) Logo, P = (−1/2,1,3/4). ♦
Exercícios
Em construção ...6.2
Equações da reta
6.2.1
Equação vetorial de uma reta
Seja r uma reta dada, ~v um vetor paralelo a r e A um ponto de r (veja a Figura 6.2). Assim sendo, P é um ponto de r se, e somente se, existe λ ∈ R
tal que −→
Esta é chamada equação vetorial da reta r.
r A
P
~v
Figura 6.2: Equação vetorial de uma reta.
Observe que para obtermos uma equação vetorial de uma dada reta, podemos escolher qualquer ponto A ∈ r e qualquer vetor ~v k r, ~v 6= ~0. O vetor ~v escolhido é chamado de vetor diretor.
Exemplo 6.2.1. Seja r a reta que passa pelos pontos A = (−1, − 1, − 2) e
B = (2,1,3) (veja a Figura6.3). O vetor
~v =−→AB= (2 − (−1),1 − (−1),3 − (−2)) = (3,2,5) (6.25)
é um vetor diretor de r. Desta forma, uma equação vetorial da reta r é
−→
x −2 −1 0 1 2 3 y −2 −1 0 1 2 z −2 −1 0 1 2 3 4 A = (−1, −1, −2) B = (2, 1, 3) ~v r
Figura 6.3: Esboço da reta discutida no Exemplo 6.2.1.
6.2.2
Equações paramétricas de uma reta
Seja r uma reta que passa pelo ponto A = (xA,yA,zA) e tenha vetor diretor
~v = (v1,v2,v3). Assim, P = (x,y,z) ∈ r se, e somente se, existe λ ∈ R tal que −→ AP = λ~v. (6.27) Equivalentemente, (x − xA,y − yA,z − zA) = λ(v1,v2,v3). (6.28) Então, x − xA= λv1, (6.29) y − yA= λv2, (6.30) z − zA= λv3, (6.31)
donde
x= xA+ λv1, (6.32)
y = yA+ λv2, (6.33)
z = zA+ λv3, (6.34)
as quais são chamadas de equações paramétricas da reta r.
Exemplo 6.2.2. A reta r discutida no Exemplo 6.2.1 tem equações
para-métricas
x= −1 + 3λ, (6.35)
y= −1 + 2λ, (6.36)
z = −2 + 5λ. (6.37)
De fato, tomando λ = 0, temos (x,y,z) = (−1, − 1, − 2) = A ∈ r. E, tomado
λ = 1, temos (x,y,z) = (−1 + 3, − 1 + 2, − 2 + 5) = (2,1,3) = B ∈ r. Ou seja,
as equações paramétricas acima representam a reta que passa pelos pontos
A e B.
Com o Sympy, podemos plotar o gráfico de r usando o seguinte código1:
var('lbda',real=True)
plot3d_parametric_line(-1+3*lbda,-1+2*lbda,-2+5*lbda,(lbda,-1,2))
6.2.3
Equações da reta na forma simétrica
Seja r uma reta que passa pelo ponto A = (xA,yA,zA) e tem ~v = (v1,v2,v3) como vetor diretor. Então, r tem as equações paramétricas
x= xA+ v1λ, (6.38)
y = yA+ v2λ, (6.39)
z = zA+ v3λ. (6.40)
Isolando λ em cada uma das equações, obtemos
x − xA v1 = y − yA v2 = z − zA v3 , (6.41)
as quais são as equações da reta na forma simétrica.
Exemplo 6.2.3. No Exemplo 6.2.2, consideramos a reta r de equações
pa-ramétricas
x= −1 + 3λ, (6.42)
y= −1 + 2λ, (6.43)
z = −2 + 5λ. (6.44)
Para obtermos as equações de r na forma simétrica, basta isolarmos λ em cada equação. Com isso, obtemos
x+ 1 3 = y+ 1 2 = z+ 2 5 . (6.45)
6.2.4
Exercícios resolvidos
ER 6.2.1. Seja r a reta que passa pelo ponto A = (−1, − 1, − 2) e tem
~v = (3,2,5) como vetor diretor. Determine o valor de x de forma que P =
(x,0,1/2) seja um ponto de r.
Solução. P = (x,0,1/2) é um ponto de r se, e somente se, existe λ ∈ R tal
que −→ AP = λ~v. (6.46) Ou seja, x −(−1),0 − (−1),1 2 −(−2) = λ(3,2,5). (6.47) Ou, equivalentemente, x+ 1,1,5 2 = λ(3,2,5). (6.48)
Usando a segunda coordenada destes vetores, temos
1 = λ · 2 ⇒ λ = 12. (6.49)
Assim, da primeira coordenada dos vetores, temos
x+ 1 = λ3 ⇒ x + 1 = 3 2 (6.50) ⇒ x= 3 2 −1 = 1 2. (6.51)
♦
ER 6.2.2. Seja r a reta de equações paramétricas
x= 1 − λ, (6.52)
y= λ, (6.53)
z = −3. (6.54)
Determine uma equação vetorial de r.
Solução. Nas equações paramétricas de uma reta, temos que os coeficientes
constantes estão associados a um ponto da reta. Os coeficientes de λ estão associados a um vetor diretor. Assim sendo, das equações paramétricas da reta r, temos que A = (1,0,−3) ∈ r e ~v = (−1,1,0) é um vetor diretor. Logo, temos que a reta r tem equação vetorial
−→
AP = λ~v, (6.55)
com A = (1,0,3) e ~v = (−1,1,0).
♦
ER 6.2.3. Sabendo que r é uma reta que passa pelos pontos A = (2, − 3,1)
e B = (−1,1,0), determine o valor de t tal que
x= 2 + tλ, (6.56)
y= −2 + 4λ, (6.57)
z = 1 − λ, (6.58)
sejam equação paramétricas de r.
Solução. Para que estas sejam equações paramétricas de r, é necessário que
~
v = (t,4, − 1) seja um vetor diretor de r. Em particular, ~v k −→AB. Logo,
existe β ∈ R tal que
(t,4, − 1) = β(−1 − 2,1 − (−3),0 − 1) = β(−3,4, − 1). (6.59) Das segunda e terceira coordenadas, temos β = 1. Daí, comparando pela primeira coordenada, temos
♦
ER 6.2.4. Seja r uma reta, cujas equações na forma simétrica são
x+ 1 2 = y −2 3 = 1 − z 2 . (6.61)
Determine equações paramétricas desta reta e faça um esboço de seu gráfico.
Solução. Podemos obter equações paramétricas desta reta a partir de suas
equações na forma simétrica. Para tanto, basta tomar o parâmetro λ tal que
λ= x+ 1 2 , (6.62) λ= y −2 3 , (6.63) λ= 1 − z 2 . (6.64)
Daí, isolando x, y e z em cada uma destas equações, obtemos
x= −1 + 2λ, (6.65)
y= 2 + 3λ, (6.66)
z = 1 − 2λ. (6.67)
Para fazermos um esboço do gráfico desta reta, basta traçarmos a reta que passa por dois de seus pontos. Por exemplo, tomando λ = 0, temos A = (−1,2,1) ∈ r. Agora, tomando λ = 1, temos B = (1,5, − 1) ∈ r. Desta forma, obtemos o esboço dado na Figura6.4.
x −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 y −2 0 2 4 6 8 z −3 −2 −1 0 1 2 3 4 A = (−1, 2, 1) B = (1, 5,−1)
Figura 6.4: Esboço do gráfico da reta r do Exercício Resolvido 6.2.4.
♦
6.3
Equações do plano
Um plano π fica unicamente determinado por um ponto A ∈ π e dois vetores linearmente independentes ~u,~v ∈ π2.
6.3.1
Equação vetorial do plano
Consideremos um plano π determinado pelo ponto A e os vetores ~u e ~v. Então, um ponto P ∈ π se, e somente se, −→AP é coplanar a ~u e ~v, i.e. −→AP, ~u
e ~v são linearmente dependentes. Ou seja,
P ∈ π ⇔ −→AP = λ~u + β~v, λ,β ∈ R, (6.68)
esta última é chamada de equação vetorial do plano.
Exemplo 6.3.1. Consideremos o plano π determinado pelo ponto A = (1,−
1,1) e pelos vetores ~u = (2, − 1,0) e ~v = (0,1,1) (Veja a Figura 6.5. Desta forma, uma equação vetorial para este plano é
−→
AP = λ~u + β~v, (6.69)
para λ,β ∈ R.
Figura 6.5: Esboço do plano π discutido no Exemplo6.3.1. Tomando, por exemplo, λ = −1 e β = 1, obtemos
−→
AP = λ~u + β~v (6.70)
= −(2, − 1,0) + (0,1,1) (6.71)
= (−2,2,1). (6.72)
Observando que as coordenadas do ponto P são iguais as coordenadas do vetor −→OP, temos
−→
OP =−→OA+−→AP (6.73)
= (1, − 1,1) + (−2,2,1) (6.74)
Ou seja, P = (−1,1,2) ∈ π.
6.3.2
Equações paramétricas do plano
Seja um plano π com A = (xA,yA,zA) ∈ π e os vetores ~u = (u1,u2,u3) ∈ π e ~v = (v1,v2,v3) ∈ π linearmente independentes. Então, todo o ponto P = (x,y,z) do plano π satisfaz
−→
AP = λ~u + β~v, (6.76)
para dados parâmetros λ,β ∈ R. Assim, temos
(x − xA,y − yA,z − zA) = λ(u1,u2,u3) + β(v1,v2,v3) (6.77) = (λu1+ βv1,λu2+ βv2,λu3+ βv3). (6.78) Portanto, temos x − xA= λu1+ βv1, (6.79) y − yA= λu2+ βv2, (6.80) z − zA= λu3+ βv3. (6.81) Ou, equivalentemente, x= xA+ λu1+ βv1, (6.82) y= yA+ λu2+ βv2, (6.83) z = zA+ λu3+ βv3, (6.84)
as quais são chamadas de equações paramétricas do plano.
Exemplo 6.3.2. No Exemplo6.3.1, discutimos sobre o plano π determinado
pelo ponto A = (1, − 1,1) e os vetores ~u = (2, − 1,0) e ~v = (0,1,1). Do que vimos acima, temos que
x= 1 + 2λ, (6.85)
y= −1 − λ + β, (6.86)
z = 1 + β, (6.87)
são equações paramétricas deste plano.
Podemos usar as equações paramétricas do plano para plotá-lo usando o Sympy. Para tanto, podemos usar os seguintes comandos:
from sympy import *
from sympy.plotting import plot3d_parametric_surface var('r,s',real=True)
plot3d_parametric_surface(1+2*r,-1-r+s,1+s,
(r,-2,2),(s,-2,2),show=True, xlabel='$x$',ylabel='$y$')
6.3.3
Equação geral do plano
Seja π o plano determinado pelo ponto A = (xA,yA,zA) e pelos vetores ~u =
(u1,u2,u3) e ~v = (v1,v2,v3). Sabemos que P = (x,y,z) ∈ π se, e somente se, −→
AP, ~u e ~v são linearmente dependentes. Ou, equivalentemente, o produto
misto [−→AP ,~u,~v] = 0. Logo,
0 = [−→AP ,~u,~v] (6.88) = x − xA y − yA z − zA u1 u2 u3 v1 v2 v3 (6.89) = −u1v2zA+ u1v3yA+ u2v1zA (6.90) − u2v3xA− u3v1yA+ u3v2xA (6.91)
+ x(u2v3− u3v2) + y(−u1v3+ u3v1) + z(u1v2− u2v1). (6.92) Observamos que a equação acima tem a forma geral
ax+ by + cz + d = 0, (6.93)
com a,b,c,d não todos nulos ou, equivalentemente, a2+ b2+ c2+ d2 6= 0. Esta última é chamada equação geral do plano.
Exemplo 6.3.3. No Exemplo6.3.1, discutimos sobre o plano π determinado
pelo ponto A = (1, − 1,1) e os vetores ~u = (2, − 1,0) e ~v = (0,1,1). Para encontrarmos a equação geral deste plano, tomamos P = (x,y,z) e calculamos 0 = [−→AP ,~u,~v] (6.94) = x −1 y + 1 z − 1 2 −1 0 0 1 1 (6.95) = −x − 2y + 2z − 3. (6.96)
Ou seja, a equação geral deste plano é
− x −2y + 2z − 3 = 0. (6.97)
6.3.4
Exercícios resolvidos
ER 6.3.1. Seja π um plano tal que A = (2,0, − 1) ∈ π, P = (0,1, − 1) ∈ π e
~
u= (1,0,1) ∈ π. Determine uma equação vetorial para π.
Solução. Para obtermos uma equação vetorial do plano π, precisamos de um
ponto e dois vetores l.i. em π. Do enunciado, temos o ponto A = (2,0,−1) ∈ π e o vetor ~u. Portanto, precisamos encontrar um vetor ~v ∈ π tal que ~u e ~v sejam l.i.. Por sorte, temos P = (0,1,−1) ∈ π e, portanto −→AP ∈ π. Podemos
tomar
~v =−→AP (6.98)
= (−2,1,0), (6.99)
pois ~v e ~u são l.i.. Logo, uma equação vetorial do plano pi é −→
AP = λ~u + β~v, (6.100)
= λ(1,0,1) + β(−2,1,0), (6.101) com λ,β ∈ R.
♦
ER 6.3.2. Seja π o plano de equações paramétricas
x= −1 + λ, (6.102)
y= β, (6.103)
z = 1 − λ + β. (6.104)
Determine o valor de zP de forma que P = (−1,2,zP) ∈ π.
Solução. Para que P = (−1,2,zP) pertença ao plano, devemos ter
−1 = −1 + λ, (6.105)
2 = β, (6.106)
Das duas primeiras equações, obtemos λ = 0 e β = 2. Daí, da terceira equação, temos
zP = 1 − 0 + 2 = 3. (6.108)
♦ Em construção ...
Capítulo 7
Cônicas
7.1
Elipse
Sejam F1,F2 pontos sobre um plano π, c a distância entre c1 e c2 e a > c. Chama-se elipse de focos F1 e F2 ao conjunto de pontos P tais que
|P F1|+ |P F2|= 2a. (7.1)
Figura 7.1: Ilustração de uma elipse de focos F1 e F2.
Dada uma tal elipse, identificamos 2c = |F1F2| como a distância focal. Os pontos A1 e A2 de interseção da elipse com a reta que passa pelos focos são chamados de vértices da elipse. O segmento A1A2 é chamado de eixo
maiorda elipse. Observamos que
|A1A2|= 2a. (7.2)
O ponto médio do segmento F1F2 é chamado de centro da elipse. Sejam B1 e B2 os pontos de interseção da elipse com a reta que passa pelo centro da elipse e é perpendicular ao segmento A1A2. Assim sendo, o segmento B1B2 é chamado de eixo menor da elipse. Vamos denotar
2b = |B1B2|. (7.3)
Chamamos de excentricidade da elipse o número
e= c
Notemos que 0 ≤ e < 1. Para e = 0, temos c = 0 e, portanto F1 = F2. Neste caso, a elipse é a circunferência de centro em F1 (ou F2) e diâmetro 2a. No que e tende a 1, a elipse tende ao segmento A1A2.
Por fim, notemos que o triângulo B1OF2 é retângulo, |OF2|= c, |F2B1|= a e |OB1|= b. Do teorema de Pitágoras segue
b2 + c2 = a2. (7.5)
7.1.1
Equação reduzida da elipse
Consideremos o sistema de coordenadas cartesianas. Sejam F1 = (−c,0) e
F2 = (c,0), c ≥ 0, os focos de uma dada elipse (veja a Figura 7.1). Se
P = (x,y) é um ponto da elipse, então
|P F1|+ |P F2|= 2a. (7.6) Como |P F1|= q (x + c)2 + y2, (7.7) |P F2|= q (x − c)2+ y2, (7.8) temos q (x + c)2+ y2+q(x − c)2+ y2 = 2a, (7.9) ou, equivalentemente, q (x + c)2 + y2 = 2a −q(x − c)2+ y2. (7.10) Elevando ao quadrado, obtemos
(x + c)2+ y2 = 4a2−4aq(x − c)2+ y2+ (x − c)2+ y2
. (7.11)
Por cancelamento e rearranjo dos termos, obtemos
aq(x − c)2+ y2 = a2− cx. (7.12) Elevando novamente ao quadrado, temos
