CAPITULO III
3. BASE E SISTEMA DE REFERÊNCIA DE UM ESPAÇO VETORIAL
Consideremos um conjunto de vetores linearmente independentes de um espaço vetorial V. Diz-se que este conjunto de vetores constitui uma base E de V, se todo vetor de V for uma combinação linear dos vetores de E.
O fato de E ser uma base de V equivale dizer que E gera V e que a dimensão de V, indicada por dimV, é igual ao número de vetores de E.
Os conceitos acima motivam os exemplos que seguem: 3.1. ESPAÇO VETORIAL DE DIMENSÃO 1
Suponha que V1 é o espaço vetorial sobre , cujos vetores são classes de equivalência de segmentos orientados equipolentes consideradas numa reta r.
Fig 3.1
Os vetores de V1 têm a direção de r.
Se v for um vetor não nulo (forma um conjunto LI ), então v pode constituir uma base E de V1 que será denotada por E = (v).
A Fig 3.1 sugere que E = (v) é uma base de V1, pois os demais vetores de V1 podem ser escritos a partir de v. Isto é, a cada vetor w de V1, existe real tal que
wv
. O número é chamado de coordenada de w em relação a E.
Uma base de V1 possui exatamente um vetor não nulo, logo, dimV1= 1. 3.2. ESPAÇO VETORIAL DE DIMENSÃO 2
Suponha que V2 é o espaço vetorial sobre , cujos vetores são classes de equivalência de segmentos orientados equipolentes consideradas num plano .
Fig 3.2 Os vetores de V2 estão no plano .
Vimos em 2.2.2, exemplo (b) citado, que dois vetores não nulos e não paralelos r r
wv, v
r
v w
formam um conjunto LI e, em exemplo 2.1(1), exercícios resolvidos, que três vetores coplanares formam um conjunto LD. Portanto, se considerarmos vetores u e v não nulos e não paralelos e qualquer outro vetor w de V2, segue que {u, v, w} é LD. Assim, existem
1
, 2 e 3 reais não todos iguais a zero tal que 1u2v3w 0. Sendo 30, então 1 2
3 3
w u v
. Entende-se que os vetores u e v formam um conjunto LI e constituem uma base E para V2 e que os demais vetores de V2 são escritos como combinação linear de u e v. A base E é denotada por E = (u,v). 3.2.1. SISTEMA DE REFERÊNCIA – V2
Observe a construção abaixo:
Consideremos os vetores uOU1
e vOU2
com as respectivas direções das retas r e s não paralelas. Seja w AB um vetor de V2.
Existe um único ponto P em tal que w AB OP .
Conduzindo por P paralelas as retas s e r têm-se os pontos P1 em r e P2 em s. Os vetores OP1
e u são paralelos, logo, OP1
= u para algum real. Analogamente,
2
OP = v para algum real.
Os pontos O, P1, P e P2 (nesta ordem) são vértices de um paralelogramo, logo,
2 1
OP P P v.
Temos que w OP OP 1P P1 , assim, wOP u v. Isto mostra que E gera V2, isto é, todo vetor de V2 é uma combinação linear dos vetores u e v de E. A Fig 3.3 sugere que ao adotar um referencial (O, u, v) em V2, onde O é um ponto fixo e os vetores u e v (nesta ordem) formam uma base E de V2, se estabelece uma correspondência biunívoca entre os vetores de V2 e os pontos do plano . Assim, a cada vetor w u v, , , fica associado, univocamente, um ponto P de coordenadas
( , ) E do plano. Isto é, se (u, v) é base de V2, então todo vetor w se exprime de maneira única como combinação linear de ue v.
s B P2 P( , )
U2 w
w
v A r
Portanto, w OP u v = ( , ) E.
Não havendo dúvidas quanto a base utilizada, a notação acima pode ser simplificada w = ( , )
Os reais e são chamados, indiferentemente, de coordenadas tanto para o ponto P em relação ao referencial (O, u, v) quanto para indicar a decomposição de w. Uma base de V2 é formada com exatamente dois vetores, logo, dimV2 = 2.
Operações com os vetores de V2 em relação a (O, u, v):
Adição: Sejam os vetores g( , ) 1 1 e h( , 2 2)
de V2 Mostremos que g h ( 1 2, 12)
g h ( , ) 1 1 +( , 2 2)= (1u1v) + (2u2v) = = ( 1 2)u + ( 1 2)v
= = ( 1 2, 12)
Produto de vetor por escalar: Sejam g( , ) 1 1 um vetor de V2 e . Mostremos que g( 1, 1)
g ( , )1 1 = ( 1u1v) = 1u1v = ( 1, 1). O vetor nulo possui suas coordenadas iguais a zero, 0 (0,0) , visto que a extremidade P do vetor coincide com a origem O.
3.3. ESPAÇO VETORIAL DE DIMENSÃO 3
Suponha que V3 é o espaço vetorial sobre , cujos vetores são classes de equivalência de segmentos orientados equipolentes considerados no espaço.
z
C D
A B
E
F
y
Sabemos do exemplo 2.1(2) que um conjunto de três vetores {u, v, w}, sendo u, v e w não nulos e não coplanares, é LI e que quatro vetores do espaço V3 formam um conjunto LD.
Portanto, se tomarmos os vetores u, v e w e um vetor t qualquer de V3, existirão escalares 1, 2, 3 e 4, não todos iguais a zero, tal que 1u2v3w4 t0. Sendo 40, então 1 2 3
4 4 4
t u v w
. Entende-se que os vetores u, v e w formam um conjunto LI e constituem uma base E para V3 e que os demais vetores de V3 são escritos como combinação linear de u, v e w. A base E é denotada por E = (u,v,w).
3.3.1. SISTEMA DE REFERÊNCIA – V3
Observe a construção abaixo:
Consideremos os vetores uOU1
, vOU2
e wOU3
com as respectivas direções das retas r, s e g. Seja t AB um vetor de V3.
Existe um único ponto P no espaço tal que tAB OP .
Conduzindo pela extremidade P do vetor t uma paralela a reta g , obtemos o ponto M no plano OU1U2 . Conduzindo por M paralelas as retas s e r obtemos P1 em r e P2 em s tais que OP1 = u e O P2
=
v
, , . Conduzindo por P um plano paralelo a OU1U2, temos o ponto P3 tal que OP3
= w, para algum real. g
P(
, , ) P3t B w s U3
w v U2 t P2
v M
O
Fig 3.4 u
P
1u
U1
Os pontos O, P1, M e P2 (nesta ordem) são vértices de um paralelogramo, logo,
2 1
OP P M v. Os pontos O, M, P e P3 (nesta ordem) são vértices de um paralelogramo, logo, MPw.
Temos que tOP OP 1P M MP1 , assim, t OP u v w. Isto mostra que E gera V3 .
A Fig 3.4 sugere que ao adotar um referencial (O, u, v, w) em V3, onde O é um ponto fixo e os vetores u, v e w (nesta ordem) formam uma base E de V3, se estabelece uma correspondência biunívoca entre os vetores de V3 e os pontos do espaço. Assim, a cada vetor t u v w, , , , fica associado, univocamente, um ponto P de coordenadas ( , , ) E do espaço. Isto é, se (u, v, w) é base de V3, então todo vetor t se exprime de maneira única como combinação linear de u, v e w.
Portanto, t u v w = ( , , ) E.
Não havendo dúvidas quanto a base utilizada, a notação acima pode ser simplificada w = ( , , )
Os reais , e são chamados, indiferentemente, de coordenadas tanto para o ponto P em relação ao referencial (O, u, v, w) quanto para indicar a decomposição de w. Uma base de V3 é formada com exatamente três vetores, logo, dimV2 = 3.
Operações com os vetores de V3 em relação a (O, u
, v,w):
Adição: Sejam os vetores f ( , , ) 1 1 1 e g( , , ) 2 2 2
de V3 Mostremos que f g ( 1 2, 1 2, 12)
f g ( , , ) 1 1 1 + ( , , ) 2 2 2 =
= (1u1v 1w) + (¨2u2v2w)
= = ( 1 2)u + ( 1 2)v
+ ( 1 2)w= = ( 1 2, 1 2, 12)
Produto de vetor por escalar: Sejam f ( , , ) 1 1 1 um vetor de V3 e . Mostremos que f ( 1, 1, 1)
f ( , , )1 1 1 = ( 1u1v1w) = 1u1v1w = =( 1, 1, 1).
Vetor oposto: Sejam f ( , , ) 1 1 1 um vetor de V3 e 1 . O vetor oposto de f
é o vetor f , tal que f 1.f 1.( , , ) ( 1 1 1 1, 1, 1).
Diferença de vetores: Dados f ( , , ) 1 1 1 e g( , , ) 2 2 2 . O vetor diferença
1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2
( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )
f g
Proposições: Fixada uma base de V3, tem-se as proposições: 1ª) Vetores paralelos: Os vetores f ( , , ) 1 1 1 e g( , , ) 2 2 2
, não nulos e sem coordenadas iguais a zero formam conjunto LD (são paralelos, // f g), se e somente se
1 1 1
2 2 2
. Caso apenas 2 0, então 10 e 1 1
2 2
. Segue raciocínio análogo
para2 0ou2 0.
2ª) Vetores coplanares: Os vetoresf ( , , ) 1 1 1 , g ( , , ) 2 2 2
e h ( , , ) 3 3 3 formam conjunto LD (são coplanares), se e somente se
1 1 1
2 2 2
3 3 3
D 0
.
Não demonstraremos esta proposição.
Esta proposição nos informa também que sendo D0 os vetores não serão coplanares e, neste caso, formam uma base para V3.
O vetor nulo possui suas coordenadas iguais a zero, 0 (0,0,0) , visto que a extremidade P do vetor coincide com a origem O. Logo, (O, 0,g, h) não é base de V3. 3.4. BASES ORTONORMAIS
Uma base de V2 é chamada de ortonormal se os seus vetores forem unitários (ver 1.1.3) e ortogonais (ver 1.1.7). A base ortonormal é denotada por E = ( , ) i j .
Um vetor v qualquer de V2 , em relação a base E = ( , ) i j , é dado por va i b j
e o 2 2
v a b .
1 Fig. 3.5 j
1 i
Temos que: i
= (1, 0) e j = (0, 1) 1
i e j 1 e i j
b
v bj j
a i
i Fig. 3.6
Os vetores a i e b j são ortogonais.
Utilizando Pitágoras, segue que v2 a i2 b j2. Daí, v2 a 2. i 2 b 2.j 2. Sendo i 1 e j 1,
temos 2 2 2 2 2
v a b a b .
Portanto, 2 2
Uma base de V3 é chamada de ortonormal se os seus vetores forem unitários e dois a dois ortogonais. A base ortonormal é denotada por E = ( , , ) i j k .
Um vetor v qualquer de V3 , em relação a base E = ( , , ) i j k , é dado por va i b j c k
e o 2 2 2
v a b c
.
3.5. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Vetores ortogonais: Consideremos dois vetores u e v em relação a base ortonormal E= ( , , ) i j k e o vetor soma u+v.
Se u e v são ortogonais, então vale a relação de Pitágoras: u v 2= u 2 + v 2,
daí, 2 2 2
1 1 2 2 3 3
(u v) (u v ) (u v ) = (u12 u22u32) + (
2 2 2
1 2 3
v v v ).
Simplificando a igualdade acima, temos a condição de ortogonalidade dos vetores:
u v1 1. u v2. 2u v3. 3 0 1
k j
i 1
1
Fig. 3.7
Temos que: i
= (1,0, 0), j = (0, 1, 0) e k = (0, 0, 1) 1
i , j 1 e k 1 i
j , i k e j k
c
k v j c k i r a i
b j Fig. 3.8
Temos que 2 2 2
r a b
. Utilizando Pitágoras v 2 r2 c k2.
Daí, v 2 r2 c 2. k2. Visto que 1
k , segue que v 2 a2 b2 c2 .
Portanto, 2 2 2
v a b c .
v u
u+v k
j i
Fig 3.9
Se u =
u u u1, ,2 3
e v
=
v v v1, ,2 3
, então u+v =
u1v u1, 2v u2, 3v3
. Os quadrados dos módulos destes vetores são:2 2 2 2
1 2 3
u u u u
2 2 2 2
1 2 3
v v v v
2
2 2 2
1 1 2 2 3 3
( ) ( ) ( )
3.4.1. OBTER UM VETOR A PARTIR DE DOIS PONTOS DADOS
Dados os pontos A(xA, yA) e B(xB, yB), em relação base ortonormal E = ( , ) i j de V2, obtenha o vetor v AB.
Dados os pontos A(xA, yA, zA) e B(xB, yB, zB), em relação base ortonormal E=( , , )i j k de V3, obtenha o vetor v AB.
z zB
Sabemos que v AB= AE EB , sendo, AE=A'D'= A'C ' C'D ' e EB=D'B'. Logo, v AB= A'C' C'D' D'B' .
Portanto, v AB= (xB xA) i+ (yB yA)j+ (zB zA)k.
Nota: A expressão de v acima, exibindo os vetores da base ( , , ) i j k , é chamada por alguns autores de expressão cartesiana de v ou forma algébrica dev .
--- y
yB B
v Fig.3.10 yA A C
j
x i xA xB
Sabemos que
v AB= AC CB . Logo,
v AB= (xB xA) i + (yB yA) j
zA v
B A
k j yA E yB y
xA i A’ v B’ xB C’ D’
EXEMPLO 3.1
1) Dados os pontos A(2,1,3) e B(5,3,1), em relação a base ortonormal E= ( , , )i j k , obtenha o vetor v AB.
Solução:
v AB= (52) i+ (31) j + (13) k = 3 i + 2 j 2 k.
2) São dados os vetores u(2,1,0), v(0, 1, 2) e w ( 3, 0, 1) em relação a uma base de V3. Pede-se:
a) u v
Solução: u v = (2,1,0) + (0, 1, 2) = (2+0, 1+(1), 0+2) = (2, 0, 2) b) u2v3w
Solução: u2v3w = (2,1,0) + 2 (0, 1, 2) 3(3, 0, 1) = = (2,1,0) + (0,2, 4) + (9, 0, 3) = = (2+0+9, 12+0, 0+4+3) = (11, 1, 7)
3) Os vetores u(2,1,0), v(0, 1, 2) e w ( 3, 0, 1) podem formar uma base para V3 ? Solução:
2 1 0
D 0 1 2 4
3 0 1
(0).
Os vetores u, v e w não são coplanares. Logo, podem formar uma base para V3. 4) Determinar m de modo que os vetores u(2,0,1), v(0, , 2)m e w ( 3, 0, )m formem uma base de V3.
Solução:
O conjunto dos vetores deverá ser LI, isto é, eles não podem ser coplanares. 2
2 0 1
D = 0 m 2 2 3 0
-3 0 m
m m
m0 e 3
2 m .
5) Dados os vetores i= (1,0,0) , j= (0,1,0), k= (0,0,1), mostre que u= (x,y,z) é combina- ção linear de i,j e k.
Solução:
Devemos ter escalares a, b e c tais que a i+ b j + c k = u ( I ) Substituindo i,j, k e u em ( I ), tem-se
Portanto, a = x , b = y e c = z
Assim, u = a i+ b j + c k = x i+ y j + z k.
6) Verifique se os vetores u(6, 1, 2) e v(2, 6, 3) , dados em relação a base ( , , ) i j k , são ortogonais .
Solução:
A soma dos produtos das correspondentes coordenadas de u e v é igual a zero, isto é, (6 . 2) + (1 . 6) + (2 . 3) = (12) + (6) + (6) = 0. Assim, u e v são ortogonais. 7) Verifique se ( 2 , 13 , 3 )
182 182 182
u , ( 2 , 1 , 3 )
14 14 14
v e ( 3 , 0, 2 )
13 13
w
, dados em relação a base E = ( , , ) i j k , formam uma base ortonormal de V3.
Solução:
Os vetores devem ser respectivamente ortogonais:
u v, pois 2 . 2 13 . 1 3 . 3 4 13 9 0
182 14 182 14 182 14 182 . 14
u w, pois 2 . 3 13 . 0 3 . 2 6 0 6 0
182 13 182 13 182 13 182 . 14
v w, pois 2 . 3 1 . 0 3 . 2 6 0 6 0
14 13 14 13 14 13 182 . 14
Os módulos dos vetores devem ser iguais a 1:
2 2 2 2 2 2
2 2 13 3 2 ( 13) ( 3) 4 169 9
1
182 182
182 182 182
u
2 2 2 2 2 2
2 2 1 3 2 1 ( 3) 4 1 9
1
14 14
14 14 14
v
2 2 2 2 2
2 3 2 2 3 0 (2) 9 0 4
0 1
13 13
13 13
w
Portanto, (u, v, w) é uma base ortonormal de V3.
8) Escreva o vetor t(1,2,3) como combinação linear dos vetores u (6,1,2), v(2, 1,2) e w ( 3,1, 1) , dados em relação a uma base E de V3.
Solução:
Devemos ter escalares x, y e z tais que x (6,1,2) + y (2, 1,2) + z (3,1, 1) = (1,2,3). E, daí, ( 6x + 2 y 3 z, 1x 1y + 1z, 2x + 2 y 1 z ) = (1,2,3).
Logo, temos o sistema linear de equações:
6 2 3 1
1 1 1 2
2 2 1 3
x y z x y z x y z
Vamos resolvê-lo utilizando a
regra de Cramer
: a) Obter o valor do determinante das incógnitas6 2 3
1 1 1
2 2 1
= 12 (0)
b) Obter o valor do determinante com os termos da coluna da variável x substituída pelos termos independentes de variáveis (segundos membros das equações do sistema)
1 2 3
2 1 1
3 2 1
x
= 12
c) Obter o valor do determinante com os termos da coluna da variável y substituída pelos termos independentes de variáveis (segundos membros das equações do sistema)
6 1 3
1 2 1
2 3 1
y
= 24
d) Obter o valor do determinante com os termos da coluna da variável z substituída pelos termos independentes de variáveis (segundos membros das equações do sistema)
6 2 1
1 1 2
2 2 3
y
= 36
e) Calculo dos escalares x, y e z:
x = x =
12 12
= 1 , y = y
= 24 12
= 2 e z = z
= 36 12
= 3. Portanto,
1 (6,1,2) + 2 (2, 1,2) + 3 (3,1, 1) = (1,2,3) Assim,
1 u + 2 v + 3 w = t
---
Nota: O sistema linear ( I ) acima pede ser resolvido por
Inversão de Matrizes
6 2 3 1
1 1 1 2
2 2 1 3
x y z
x y z x y z
( I )
6 2 3
1 1 1
2 2 1
. x y z
= 1
2 3
.
Temos que
x y z
=
1
6 2 3
1 1 1
2 2 1
. 1
2 3
( II )
Observação: Chamamos M =
6 2 3
1 1 1
2 2 1
de matriz das incógnitas
Obtenção da matriz M1 ( inversa da matriz das incógnitas x, y e z) : Sabe-se que: ( III )
a) Determinante da matriz das incógnitas
6 2 3
1 1 1
2 2 1
= 12 . O Fato de ser
diferente de zero indica que existe M1.
b) A matriz cof M, chamada Matriz dos Cofatores, é obtida substituindo-se cada elemento da matriz M pelo correspondente Complemento algébrico.
Exemplificando:
A posição onde esta o 6 (1ª linha e 1ª coluna) em M é substituída por 1 1
2 1
= 1. O determinante 2x2 foi obtido suprimindo-se 1ª linha e 1ª coluna de . O seu sinal é mantido porque ocupa a “posição par” ( no da linha + no da coluna = par).
A posição onde esta o 2 (1ª linha e 2ª coluna) é substituída por ( 1 1
2 1)= 3. Houve troca de sinal no determinante 2x2, obtido suprimindo-se 1ª linha e 2ª coluna, porque o 2 ocupa “posição ímpar” ( no da linha + no da coluna = ímpar).
Procedendo assim, obtemos cof M =
1 3 4
4 12 8
1 9 8
M1 = 1
Tc) A matriz
cof M
T, transposta da matriz dos cofatores, é construída do seguinte modo: sua primeira linha é igual a primeira coluna de cof M, sua segunda linha é igual a segunda coluna decof M e a sua terceira linha igual a terceira coluna de cof M
cof M
T =1 4 1
3 12 9
4 8 8
d) Aplicando ( III ), segue que M1 = 1
cof M
T =
1 12
1 4 1
3 12 9
4 8 8
=
1 12 1 3 1 12
1 4 1 3 4
1 3 2 3 2 3
Voltando ao sistema ( II ), temos: x y z = 1
6 2 3
1 1 1
2 2 1
. 1 2 3 =
1 12 1 3 1 12
1 4 1 3 4
1 3 2 3 2 3
. 1 2 3 =
(1 12).1 (1 3).2 (1 12).3 ( 1 4).1 (1) . 2 (3 4).3 ( 1 3).1 ( 2 3).2 (2 3).3
Logo, x y z =
(1 12) ( 2 3) (3 12) ( 1 4) ( 2) (9 4) ( 1 3) ( 4 3) (6 3)
= 1 2 3 Assim,
1 u + 2 v + 3 w = t.
--- EXERCÍCIOS PROPOSTOS 3.1
1) Dados os vetores i= (1,0) ej= (0,1), mostre que u= (x,y) é combinação linear deiej. 2) Dados os vetores a= (1,2) e b= (3,4) em relação a base ortonormal, escreva u= (3,6) como combinação linear de a e b.
¨ R. u = 3 a 3) Escreva, se for possível, o vetor u= (6,25,9) como sendo combinação linear dos vetores a= (1,2,0), b= (3,8,4) e c= (1,7,1) em relação a uma base de V3. Justifique o motivo caso não seja possível escrevê-lo.
¨ R. u = a + 2b+ c 4) Escreva, se for possível, o vetor u= (6,5,3) como sendo combinação linear dos vetores a= (2,1, 0), b= (2, 8, 0) e c= (1, 5, 0) em relação a uma base de V3. Justifique o motivo caso não seja possível escrevê-lo.
5) Escreva, se for possível, o vetor u= (6,5,0) como sendo combinação linear dos vetores a= (2,1, 0), b= (12, 8, 0) e c= (10, 5, 0) em relação a uma base de V3. Justifique o motivo caso não seja possível escrevê-lo.
R. u 3a b 0c ou 0 3 5
u a b c. Os vetores a, b, c e u são coplanares, sendo a//c e a não paralelo a b. Portanto, ae b ou be c formam uma base do plano. 6) Escreva, se for possível, o vetor u= (6,5,0) como sendo combinação linear dos vetores a= (2,1, 0), b= (4, 2, 0) e c= (6, 3, 0) em relação a uma base de V3. Justifique o motivo caso não seja possível escrevê-lo.
R. Não é possível escrever a CL. Os vetores a, b, c e u são coplanares. Temos a//c//b, logo, não formam uma base do plano e u tem a direção diferente de a, bou c. 7) Escreva, se for possível, o vetor u= (12,6,0) como sendo combinação linear dos vetores a= (2,1, 0), b= (4, 2, 0) e c= (6, 3, 0) em relação a uma base de V3. Justifique o motivo caso não seja possível escrevê-lo.
R. u a b c, 5u a2b c e muitas outras mais. Os vetores a, b, c e u são coplanares e a//c//b//u. Assim, aou bou c forma uma base da reta com direção de u. 8) Fixada uma base de V3, tem-se os vetores u
= (3,2,5), v = (1,2,5) e w = (5,2,5). Pede: a) calcular (u+ v), (u 2v + w) e (2u v + 3w) .
b) determinar x e y de modo que se tenha w = x u + y v.
R. a) (4,4,10), (6,0,0) e (20,8,20) b) x = 2 e y = 1. 9) Os vetores u(1,5,2), (0,1, 1)v e w(3, 13,4) podem formar uma base para V3 ? R. Não 10) Dados os vetores v = 2i3j + k e w = 3ij 2 k, determinar
a) o vetor oposto de w R. (-3,1,2) b) v + w R. (5,-4,-1) c) w v R. (1,2,-3) d) 4v R. (8, -12, 4) e) 3
2 v
w
R. (10, 9/2, 11/2)
11) Determinar o módulo dos vetores
12) Sabendo-se que u é versor de v se u= v v
, pede-se determinar o versor de
a) v i 2j2k. R. 1 2 2
3 3 3
u i j k
b) v2 i j k R. 2 1 1
6 6 6
u i j k
c) v = (1, 0, 0) R. u = v 13) Verificar se são ou não paralelos os vetores
a) u2 i j 4k e 1 1
2 4
v i jk
R. //u v b) r(3,0,2) e s(6,0,4) R. //r s c) a ( 3,2,1) e b ( 3, 1,0) R. a // b
14) Dados os vetores u e v em relação a base ortonormal ( , , ) i j k , verifique se são ortogonais .
a) u2 i j 4k e v i 2 jk R. sim b) u2i3 jk e v5i2 jk R. não c) u6i3 jk e v3i7j3k R. sim 15) Determinar as coordenados do vetor no plano xy que forma ângulo de 30º com o eixo das abscissas, sentido positivo, e tem módulo 2 .
R. (( 6, 2) 2 2 e
6 2
( , )
2 2
16) Se M(9,5) é ponto médio de um segmento de reta de extremidade A(7,2), determinar, em relação ao sistema ortonormal, as coordenadas da outra extremidade. R. (25, 8) 17) Dados os pontos A(3, 1, 2) e B(2, 1, 0) em relação a base ortonormal, determinar as coordenadas do ponto P que esta a 2/5 de A para B. R.(13/5, 1/5, 6/5) 18) Dados os pontos A(2, 1), B(11, 0) e C(3,1) em relação a base ortonormal,determinar as coordenadas do ponto D tal que AB CD . R. (12, 0) 19) Dados os pontos R(1, 0, 2), S(2, 1, 3 ) e T(0, 1, 2) em relação a base ortonormal, determinar as coordenadas do ponto U tal que 2RS 1TU
2
. R. (4, 5, 18) 20) Se u 2 i j , v i 2j e w4i3j, escrever o vetor w como combinação linear dos vetores u e v. R. 11 10
3 3
w u v
22) Dados os pontos A(0, 6), B(2, 1) e C(4,2) em relação a base ortonormal. Sabendo-se que M é ponto médio do segmento BC e que o ponto P esta a ¼ de C para A.
Determinar a medida do segmento MP. R. 5/2 23) Dados os pontos A(1, 2, 3), B(0, 1, 1) e C(1, 0, 1) em relação a base ortonormal, determinar a medida da mediana do triângulo ABC, correspondente ao vértice A. R. 26 / 2 24) Dados os pontos A(3, 5), B(1, 0) e C(2,8) em relação a base ortonormal, determinar as coordenadas do ponto D tal que o quadrilátero ABCD seja um paralelogramo.
R. (2, 3) 25) Dados os pontos A(3, 5), B(1, 0) e C(2,8) em relação a base ortonormal, classificar o triângulo ABC quanto a medida dos seus lados.
R. isósceles --- 3.5. MUDANÇA DE BASE
Acreditamos que o conceito de mudança de base será entendido ao resolvermos o seguinte problema:
Sendo conhecidos, em relação a uma base E = (e1, e2, e3) de V3, um dado vetor u= (
x
E,y
E,z
E) e, também, os vetores que compõem uma outra base F = (f1,f2,f3) de V3, pelas equações:
11 1 21 2 31 3
1
12 1 22 2 32 3
2
13 1 23 2 33 3
3
f a e a e a e
f a e a e a e
f a e a e a e
, ( I ) obtenha as coordenadas de u em relação a base F, isto é, u= (
x
F,y
F,z
F).Solução:
Devemos ter u= (
x
E,y
E,z
E) = (x
F,y
F,z
F).Então, u=
x
E e1+y
E e2+z
E e3 =x
F f1+y
F f2 +z
F f3. ( II ) Substituindo ( I ) em ( II ), segue quexE e1
+ yE e2
+ zE e3
= xF (a e11 1a e21 2a e31 3
) + yF (a e12 1a e22 2a e32 3
)+ zF (a e13 1a e23 2a e33 3
)
e1 f1 E F u= (
x
E,y
E,z
E) O e2 f2 O’ u= (x
F,y
F,z
F) ?e3 Fig. 3.11 f3
Efetuando-se os produtos indicados do 2º membro da igualdade e evidenciando os elementos da base E, temos:
xE e1
+yE e2
+zE e3
= (xF a11+yF a12+zF a13)e1
+(xF a21+yF a22+zF a23)e2
+(xF a31+yF a32+zF a33)e3
Comparando os membros da igualdade acima, obtemos o sistema de equações:
E 11 F 12 F 13 F
E 21 F 22 F 23 F
E 31 F 32 F 33 F
x a x a y a z y a x a y a z z a x a y a z
O sistema pode ser colocado na forma matricial
E E E E x y z =
11 12 13
21 22 23
31 32 33 E F
a a a
a a a
a a a
. F F F F x y z
A matriz MEF =
11 12 13
21 22 23
31 32 33 E F
a a a
a a a
a a a
será chamada de matriz mudança da base E
para F. Observe que as coordenadas de f1,f2ef3 são, respectivamente, os elementos das colunas da matriz MEF .
A matriz das coordenadas de u na base F é obtida multiplicando-se a matriz M EF-1
pela matriz de u na base E: F F F F x y z
= -1 EF M E E E E x y z
Notação: -1 EF
M = MFE é a matriz mudança da base F para E.
--- EXEMPLO 3.2
1) Dados, em relação a uma base E = (e1, e2, e3), o vetor u= 2e1 + 3e2 e3 e os vetores f1 = e1 + 3e2 e3
f2= e1
+ e2 + e3
f3= 2e1
e2 + 3e3
que compõem uma outra base F = (f1, f2
,f3). Determine u = uF
Temos o sistema matricial E 2 3 1 = E F
1 1 2
3 1 1
1 1 3
. F F F F x y z
e queremos obter o
sistema F F F F x y z = -1 EF
1 1 2
3 1 1
1 1 3
. E 2 3 1 .
Necessitamos obter a matriz -1 EF
M =
-1
EF
1 1 2
3 1 1
1 1 3
= MFE .
Procedimento para obter MFE: (Exemplo 3.1 (8) – nota)
M = MEF = det M cof M (cof M)T M1 = 1
TM
cof
E F
1 1 2
3 1 1
1 1 3
4 E F
4 8 4
1 5 2
3 7 2
E F
4 1 3
8 5 7
4 2 2
FE
1 1/ 4 3/ 4
2 5/ 4 7 / 4
1 1/ 2 1/ 2
Assim, F F F F x y z = FE
1 1/ 4 3/ 4
2 5/ 4 7 / 4
1 1/ 2 1/ 2
. E 2 3 1 = F 2 2 1 .
Portanto, u = uF
= 2 f1 2f2 + f3.
2) Dada uma base E = (e1, e2, e3) de V3 e os vetores f1 = e1+ 2e2 , f2 = e1 e3 e f3 = e2
+ e3, pede-se que a) Verifique se F = (f1, f2
,f3) é também uma base de V3.
b) Sendo F uma base de V3 , obter a matriz MEF de mudança de base de E para F . c) Sendo v2 f1 f2 f3, obter as coordenadas de v em relação a base E. d) Sendo F uma base de V3 e w2e1 e2 e3
, obter as w em relação a base F. Solução:
a) Consideremos o determinante formado pelas coordenadas dos vetores f1, f2
e f3,
D =
1 2 0
1 0 1
0 1 1
O fato de ocorrer D0 significa que os vetores f1,f2 e f3 não são coplanares e, daí, formarem um conjunto LI. Portanto, F = (f1, f2
,f3) é base de V3. b) A matriz MEF é obtida dispondo-se as coordenadas de f1
,f2 e f3
, respectivamente, como sendo as suas respectivas colunas.
MEF =
EF
1 1 0
2 0 1
0 1 1
c) Temos que v2 f1 f2 f3. Substituindo os vetores f1
,f2 e f3
dados na base E, obtemos: v2(e12 ) (e2 e1e3) ( e2e3)
= e15e32e3
. d) Devemos construir o sistema matricial:
F F F F x y z
= -1 EF M E 2 1 1
Obtenção de -1 EF
M :
M = MEF = det M cof M (cof M)T M1 = 1
TM
cof
E F
1 1 0
2 0 1
0 1 1
1 E F
1 2 2
1 1 1
1 1 2
E F
1 1 1
2 1 1
2 1 2
FE
1 1 1
2 1 1
2 1 2
Assim, F F F F x y z = F E
1 1 1
2 1 1
2 1 2
. E 2 1 1 = F 0 2 1 .
Portanto, u = uF
= 0 f1 + 2f2+ 1f3.
--- EXERCÍCIOS PROPOSTOS 3.2
1) Dada uma base E = (e1, e2
, e3) de V3 e os vetores f1
= e2+ e3
, f2 = e1
+ e3 e f3 = e1
+ e2, pede-se que
a) Sendo v2f13 f2 f3, obter as coordenadas de v em relação a base E. b) Verifique se F = (f1,f2,f3) é também uma base de V3.
c) Sendo F uma base de V3 , obter a matriz MEF de mudança de base de E para F . d) Sendo F uma base de V3 , obter a matriz MFE de mudança de base de F para E . e) Sendo F uma base de V3 e w2e1 e2 e3
R. a) v 2e13e 2e3 b) D = 20, F é base de V3 c) MEF =
0 1 1 1 0 1 1 1 0
d) MFE =
FE
1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2
e) w = 1f10f22f3
2) Dada uma base E = (e1, e2, e3) de V3 e os vetores f1
= e2+ e3 , f2 = e1 e3 e f3 = e1 e2, pede-se que
a) Verifique se F = (f1, f2
,f3) é também uma base de V3.
b) Sendo F uma base de V3 , obter a matriz MEF de mudança de base de E para F . c) Sendo F uma base de V3 , obter a matriz MFE de mudança de base de F para E . d) Sendo F uma base de V3 e w e1 5e2
, obter as w em relação a base.
R. a) D = 20, F é base de V3 b) MEF =
0 1 1
1 0 1
1 1 0
c) MFE =
FE
1/ 2 1/ 2 1/ 2
1/ 2 1/ 2 1/ 2
1/ 2 1/ 2 1/ 2
d) w = 6f12f22f3
