RESUMO DE
ESTABILIDADE VERTICAL NA
ATMOSFÉRICA
1. EQUILIBRIO HIDROSTÁTICO
peso
Pressão
de
Vertical
Gradiente
F
F
→
→
=
isto é,−
dp
=
g
ρ
dz
oug
dz
dp
ρ
−
=
ougdz
=
−
α
dp
⇒ A atmosfera está em movimento o tempo todo
MAS, em escalas maiores que a meso-escala, a atmosfera está praticamente em “equilíbrio hidrostático”:
⇒ ⇒ ⇒
⇒ pode-se definir “geopotencial” (ΦΦΦΦ) como:
Φ
=
d
gdz
por convenção, Φ = 0 em z = 0,( )
=
∫
Φ
z
zgdz
0 ⇒ ⇒ ⇒⇒ define-se “altura geopotencial” (Z), como
( )
( )
0
g
z
z
Z
=
Φ
onde
g
0 é a aceleração da gravidade em z=0 OBS. Até z ≈ 10 Km, Z ≈ z (Vide Tabela 3.1 do WH)Algumas aplicações da equação hidrostática:
p
dp
T
R
dp
d
Φ
=
−
α
=
−
d v ⇒T
d
(
p
)
g
R
d
g
Z
Z
p p v dln
1
2 1 2 1 ln ln 0 0 1 2−
=
∫
Φ
=
−
∫
Φ Φ ⇒
=
−
2 1 0 1 2ln
p
p
T
g
R
Z
Z
d v ,•
Equação hipsométrica
onde
(
)
≡
∫
1 2 ln lnln
ln
2 1p
p
p
d
T
T
p p v v ou, graficamente: ln p2 ln p1 ln p↓↓↓↓ Tv →→→→ A A Sugestões de exercícios:• Deduzir a eq. hipsomérica para uma atmosfera homogênea (ρ cte), e para
uma atmosfera isotérmica.
• Deduzir uma expressão da variação de pressão com a altura, para uma atmosfera homogênea, uma isotérmica, e uma com “lapse-rate” cte
⇒
lapse-rate de uma atmosfera com
θθθθ
constante
(lapse-rate adiabático seco)
dz
dp
pc
R
dz
dT
T
=
p1
• Usando a equação hidrostática, rearranjando, e usando a eq. estado:
p p
c
g
p
T
R
c
g
dz
dT
−
=
−
=
ρ
• Portanto, o lapse-rate de uma atmosfera adiabática seca é:
1 -p d
C
km
c
g
°
=
=
Γ
9
.
8
• Aplicando o logaritmo na equação de Poisson, deferenciando com θθθθ constante, e dividindo-se por dz:
⇒
Suposições (hipóteses):
• O ambiente está em equilíbrio hidrostático
• Em um dado nível as pressões do ambiente e
da parcela são iguais
• A parcela não se mistura com o ambiente
• O movimento da parcela não perturba o ambiente
• A parcela não troca calor com o ambiente
(processo adiabático)
“LAPSE RATE” ADIABÁTICO SECO e
⇒
⇒
⇒
⇒
Parcela não saturada que se move verticalmente,
muda de estado adiabaticamente (conserva
θθθθ
)
dz
dp
p
dz
dT
T
κ
=
1
onde pc
R
=
κ
⇒como a parcela se movendo está em equilíbrio dinâmico com o ambiente,
a variação vertical da pressão dp/dz depende
da densidade do ambiente e não da parcela.
'
'
'
'
'
RT
pg
RT
g
p
g
dz
dp
dz
dp
−
=
−
=
−
=
≡
ρ
(usando “linha” para o ambiente)
⇒ Substituindo na equação anterior:
'
T
T
c
g
dz
dT
p−
=
⇒ ou seja, uma parcela não saturada, subindo,
não esfria exatamente na mesma taxa de esfriamento de uma atmosfera com θ constante.
POREM, T e T’ são muito próximos (⇒ T/T’ ≈ 1).
d p parcela d dp
c
g
dz
dT
Γ
=
≈
−
≡
Γ
Assim:⇒
⇒
⇒
⇒
Parcela saturada que se move verticalmente,
em um processo pseudo-adiabático
(conserva
θθθθ
e)
p
e
p
−
s≈
a 1ª. Lei da Termo fica
p
dp
T
R
dT
c
dr
L
v s=
p−
d−
⇒ masp
dp
e
de
r
dr
p
e
r
s s s s s s≈
→
=
−
ε
onde = = = 0.622 v d d v R R M Mε
e, da hidrostática,dz
T
R
g
p
dp
d'
−
=
fazendo a aproximação:⇒ Assumindo novamente que T/T’ ≈ 1, e substituindo
essas duas ultimas equações na equação da 1ª. Lei:
gdz
dT
c
dz
T
R
g
e
de
r
L
p d s s s v
=
+
+
−
⇒ Dividindo por dz, usando a expressão equivalente
dz
dT
dT
de
dz
de
s s≡
e colocando em evidencia –dT/dz:dT
de
p
L
c
T
pR
e
L
g
dz
dT
s v p d s v sε
ε
+
+
=
−
≡
Γ
1
⇒ Podemos agora substituir es por rs, lembrando que s s
r
p
e
≈
ε
e 2T
p
r
R
L
T
R
e
L
dT
de
s d v d s v s=
=
+
+
=
Γ
2 21
1
T
r
R
c
L
T
r
R
L
c
g
s d p v s d v p sε
Então: (vide pg. 114 do Tsonis)OBSERVAÇÕES:
• Γs não é constante, e sim igual a Γd multiplicado por um fator
que é proporcional à pressão e à temperatura (lembrar que rs=f(p,T)).
A tabela abaixo mostra os valores de Γs para algumas pressões e temperaturas
3.3 3.7 4.3 20 4.0 4.6 5.3 10 5.1 5.8 6.5 0 6.4 7.1 7.7 -10 7.8 8.2 8.6 -20 8.7 9.0 9.2 - 30 500 700 1000 P (hPa) T (°C)
• Γs é sempre menor que Γd, mas se aproxima deste
quando a pressão aumenta ou a temperatura diminui
• Para levar em conta o efeito do vapor d’água na densidade,
3. EQUAÇÃO DO MOVIMENTO VERTICAL
DE UMA PARCELA
dz
dp
g
'
'
0
=
−
−
α
⇒ como a parcela pode ter aceleração, a 2ª. Lei de Newton fica:
dz
dp
g
dz
dp
g
z
dt
z
d
'
2 2α
α
=
−
−
−
−
=
≡
••⇒ como o ambiente está em equilíbrio hidrostático,
Observar que,
se ρ > ρ’ ⇒ a aceleração é negativa (a parcela é acelerada para baixo),
e vice-versa.
⇒ usando a equação de estado para o ambiente e para a parcela: ⇒ eliminando dp’/dz entre essas duas equações, resulta em:
ρ
ρ
ρ
α
α
α
−
=
−
=
•
•
'
'
'
g
g
z
'
'
v v vT
T
T
g
z
=
−
• •⇒ Vamos agora analisar um pequeno deslocamento da parcela,
de sua posição original z = 0, onde sua temperatura é Tv0. Sua temperatura em qualquer ponto z é
(expandindo em série de Taylor):
...
!
3
1
2
1
3 3 3 2 2 2 0+
+
+
+
=
z
dz
T
d
z
dz
T
d
z
dz
dT
T
T
v v v v v⇒para pequenos deslocamentos, os termos
de ordem maior que 1 podem ser desprezados:
z
dz
dT
T
T
v≈
v0+
v(Observar que, se a variação de Tv for linear com a altura, esta aproximação é exata)
⇒o mesmo raciocínio pode ser feito para a
variação da temperatura virtual do ambiente com a altura:
z
dz
dT
T
T
v'
≈
v0+
v'
⇒ Assumindo as notações :dz
dT
v v≡
−
Γ
lapse-rate da temperatura virtual da parceladz
dT
vv
'
'
≡
−
as expressões da variação das temperaturas virtuais com a altura acima podem ser escritas como:
z
T
T
z
T
T
v
v
v
v
v
v
'
'
0
0
Γ
−
=
Γ
−
=
⇒ Substituindo essas expressões na equação do movimento:
(
)
z
z
T
g
z
v v v vΓ
−
Γ
Γ
−
=
• •'
'
0⇒ Mas
Γ
+
≈
Γ
−
=
Γ
−
0 0 0 0 0'
1
1
'
1
1
1
'
1
v v v v v v v vT
z
T
T
z
T
z
T
pois ' 1 0 << Γ v v T z⇒ Então a equação do movimento pode ser escrita como:
(
)
(
)
Γ
−
Γ
Γ
+
Γ
−
Γ
=
• • 2 0 0'
'
'
z
T
z
T
g
z
v v v v v v vou, desprezando o termo envolvendo z2
comparado com envolvendo z:
(
'
)
0
0=
Γ
−
Γ
+
• •z
T
g
z
v v va)
Γ
v−
Γ
v'
>
0
(lapse rate da temperatura virtual da parcela maior que o do ambiente)
0
2
=
+
•
•
z
z
λ
que tem a solução
( )
t
A
sen
( )
t
B
( )
t
z
=
λ
+
cos
λ
Neste caso a equação do movimento vertical da parcela toma a forma
A solução da equação diferencial do movimento vertical de uma parcela acima depende da constante,
e permite três possibilidades:
onde λ (chamada de “freqüência de Brunt-Väisälä”) é
(
'
)
0
0>
Γ
−
Γ
=
v v vT
g
λ
⇒ Como assumimos que o nível inicial é z = 0 ⇒ B = 0 e z(t) = A sen(λt), isto é,
a parcela oscila senoidalmente no tempo,
em torno de sua posição original, com um período τ = 2π / λ.
Este representa o caso “estável”,
b)
Γ
−
Γ
'
<
0
v v
Neste caso a equação do movimento vertical da parcela toma a forma
0
2
=
−
•
•
z
z
λ
que tem a solução
( )
t
-
t
e
B
e
A
t
z
=
λ
+
λ
onde λ é
(
'
)
0
0>
Γ
−
Γ
=
v v vT
g
λ
⇒ Como em t = 0, z(0) = 0, ⇒ A + B = 0. Então A = - B ≠ 0(a possibilidade A = B = 0 é descartada pois leva à solução trivial z(0) = 0)
Como A ≠ 0, quando t → ∞ , o deslocamento da parcela cresce exponencialmente
Este representa o caso “instável”,
onde a parcela sai do seu nível original e nunca
mais retorna a ele.
c)
Γ
v
−
Γ
v
'
=
0
Neste caso a equação do movimento vertical da parcela toma a forma
0
=
•
•
z
que tem a solução
( )
t
A
t
B
z
=
+
isto é, a parcela se desloca com velocidade constante (A).
Este representa o caso “neutro”,
onde a parcela sai do seu nível original e nunca mais
retorna a ele, porém, sem aceleração.
⇒ quando t → ∞ , o deslocamento da parcela cresce linearmente (lapse rate da temperatura virtual da parcela igual ao do ambiente)
⇒ No item anterior, vimos que a estabilidade da atmosfera
depende basicamente da relação entre o lapse-rate
(virtual) do ambiente e o lapse-rate (virtual) da parcela.
⇒ Como a parcela pode estar ou não saturada,
vamos determinar as condições de estabilidade para essas duas situações:
5. CONDIÇÕES DE ESTABILIDADE (ESTÁTICA)
para uma parcela NÃO-SATURADA E
⇒ Lapse rate para a parcela :
(
)
[
]
(
)
dz
dT
r
T
r
dz
d
dz
dT
v v v v61
.
0
1
61
.
0
1
+
=
+
=
−
≡
Γ
Então:Km
C
d v9
.
8
/
o=
Γ
≈
Γ
a) Parcela Não-Saturada
(pois rv é constante)⇒ Lapse rate para o ambiente:
(
)
[
]
(
)
dz
dr
T
dz
dT
r
T
r
dz
d
dz
dT
v v v v v'
'
61
.
0
'
'
61
.
0
1
'
'
61
.
0
1
'
'
+
+
=
+
=
−
≡
Γ
(
)
dz
dr
T
r
v v v'
'
61
.
0
'
'
61
.
0
1
'
=
+
Γ
+
Γ
OBS.: o segundo termo dessa equação pode não ser desprezível, portanto, na análise da estabilidade de uma parcela, devemos comparar o lapse-rate da temperatura virtual do ambiente com o lapse-rate da parcela.
de uma parcela não-saturada são:
a parcela é estaticamente INSTÁVEL
Se
ΓΓΓΓ
v’ >
ΓΓΓΓ
da parcela é estaticamente NEUTRA
Se
ΓΓΓΓ
v’ =
ΓΓΓΓ
da parcela é estaticamente ESTÁVEL
Se
ΓΓΓΓ
v’ <
ΓΓΓΓ
d⇒ Lapse rate para a parcela :
(
)
[
]
(
)
(
)
dz
dr
T
r
dz
dr
T
dz
dT
r
T
r
dz
d
dz
dT
s s s s s s v v61
.
0
61
.
0
1
61
.
0
61
.
0
1
61
.
0
1
+
Γ
+
=
+
+
=
+
=
−
≡
Γ
Neste caso o segundo termo é muito menor que o primeiro, e podemos aproximar essa equação para:
s
v
≈
Γ
Γ
⇒ Lapse rate para o ambiente: o mesmo Γv’ acima.
a parcela é estaticamente INSTÁVEL
Se
ΓΓΓΓ
v’ >
ΓΓΓΓ
sa parcela é estaticamente NEUTRA
Se
ΓΓΓΓ
v’ =
ΓΓΓΓ
sa parcela é estaticamente ESTÁVEL
Se
ΓΓΓΓ
v’ <
ΓΓΓΓ
s⇒ ASSIM, as condições para de estabilidade estática
Como Γd (=9.8°C/Km) > Γs,
os critérios acima podem ser combinados como:
a parcela é absolutamente INSTÁVEL Se ΓΓΓΓv’ > ΓΓΓΓd
a parcela é condicionalmente INSTÁVEL Se ΓΓΓΓd > ΓΓΓΓv’ > ΓΓΓΓs
a parcela é absolutamente ESTÁVEL Se ΓΓΓΓv’ < ΓΓΓΓs
Obs.:
• O termo “absolutamente” significa que o critério vale tanto para uma parcela não-saturada como saturada
• O termo “condicionalmente instável” significa que a parcela é
estável se estiver não saturada e instável se ficar saturada.
• Para um ambiente não saturado vale a equação de Poisson: p d c R
p
T
=
1000
'
'
'
θ
, ou, melhor, p d c R v vp
T
=
1000
'
'
'
θ
, ondeT
'
(
1
0
.
61
r
)
T
'
v
v
=
+
⇒
⇒
⇒
• Aplicando o logaritmo e diferenciando:
(
'
)
'
1
'
1
'
'
'
'
'
'
'
1
'
'
'
'
1
'
'
1
v d v p v v v v d p d v v p d v v v vT
c
g
T
T
g
T
R
p
c
p
R
T
dz
dp
c
p
R
dz
dT
T
dz
d
Γ
−
Γ
=
+
Γ
−
=
−
−
Γ
−
=
−
=
θ
θ
de uma parcela não-saturada
a parcela é estaticamente INSTÁVEL
Se d
θθθθ
v’/dz < 0
a parcela é estaticamente NEUTRA
Se d
θθθθ
v’/dz = 0
a parcela é estaticamente ESTÁVEL
Se d
θθθθ
v’/dz > 0
podem também ser expressas como:
• Para uma parcela saturada
pode-se usar o mesmo raciocínio,
substituindo θ por θe,
que é constante para processos adiabáticos saturados.
a parcela é estaticamente INSTÁVEL
Se d
θθθθ
e’/dz < 0
a parcela é estaticamente NEUTRA
Se d
θθθθ
e’/dz = 0
a parcela é estaticamente ESTÁVEL
Se d
θθθθ
e’/dz > 0
⇒ Nos itens anteriores mostramos que a estabilidade de uma parcela depende
da relação entre o lapse-rate do ambiente e Γd ou Γs.
⇒ MAS existem situações meteorológicas (por exemplo em grandes cadeias
de montanhas) nas quais toda uma camada atmosférica é levantada ou abaixada.
⇒isso afeta o lapse-rate da atmosfera, e portanto,
afeta a estabilidade da parcela ?
⇒ Vamos tratar do caso de uma camada com uma diferença finita de pressão
entre a base e o topo dessa camada (por exemplo, 50 hPa)
Da equação hidrostática, essa diferença de pressão é diretamente proporcional à massa por unidade de área contida nessa coluna.
Vamos supor que nenhuma massa adicional é adicionada ou retirada da camada, de tal forma que essa diferença de pressão permaneça constante.
ESTABILIDADE CONVECTIVA ou POTENCIAL
⇒ A relação entre T’ e θ’,
diferenciando a equação de Poisson em forma logarítmica:
z
p
p
c
R
z
z
T
T
p d∂
∂
=
∂
∂
−
∂
∂
'
'
'
'
1
'
'
1
θ
θ
⇒ Usando a hidrostática e resolvendo para θ’:
'
'
'
'
1
'
'
1
T
c
g
z
T
T
z
d pΓ
−
Γ
=
+
∂
∂
=
∂
∂
θ
θ
a) Processos não-saturados
⇒Para tirar vantagem do fato da diferença de pressão
constante na camada,
é desejável converter a derivada em altura para derivada de pressão, como :
'
'
'
p
z
z
p
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
θ
θ
, e, da hidrostáticag
p
z
'
1
'
=
−
ρ
∂
∂
podemos reescrever a equação acima como:
(
)
'
'
'
'
'
'
'
'
1
p
g
R
T
g
p
d d d−
Γ
=
−
Γ
−
Γ
Γ
−
=
∂
∂
ρ
θ
θ
⇒como num processo adiabático seco θ’ é conservado,
a diferença de θ’ entre o topo e a base da camada também é conservada.
Alem disso,
estamos analisando o caso onde a diferença de pressão na camada é constante.
'
'
'
1
p
∂
∂
θ
θ
e, portanto(
Γ
d
−
Γ
'
)
=
c
te
p'
OU SEJA:
• Quando a camada é levantada, a pressão decresce, e o lapse-rate do ambiente (Γ’) vai diminuindo
e se aproximando de Γd
(PORTANTO, desestabilizando uma camada estável)
• Quando a camada é abaixada, a pressão aumenta, o lapse-rate do ambiente (Γ’) vai aumentando
e se distanciando de Γd
(PORTANTO, estabilizando mais ainda uma camada estável)
EM RESUMO, para uma camada não-saturada, elevar (abaixar) a camada instabiliza (estabiliza) essa camada
para futuros movimentos de parcelas.
MAS, se a camada subir muito, a ponto de causar a saturação de toda a camada, o resultado é completamente diferente:
⇒esta situação pode ser vista mais facilmente
com o uso de um diagrama:
tefigrama, três situações,
onde uma camada inicialmente isotérmica
(portanto estaticamente estável tanto para processos adiabáticos secos como saturados),
de 50 hPa de espessura, que é elevada em 300 hPa, saturando-se completamente nos três casos.
Assim, cada ponto da camada,
após uma expansão adiabática seca preliminar, atinge a condensação
ao longo da mesma linha adiabática saturada.
Conseqüentemente, o lapse-rate após a ascensão é exatamente o adiabático saturado
e a camada se torna neutra
em relação a qualquer deslocamento posterior de parcelas saturadas.
No caso (a),
assumimos que
θθθθ
e é
constante na camada
⇒Assim, o topo da camada atinge a saturação
ao longo de uma adiabática saturada que está à direita (é maior)
daquela onde a base da camada atinge a saturação.
Conseqüentemente,
o lapse-rate final da camada é menor
que lapse-rate adiabático saturado, e, portanto, a camada é estável
para quaisquer deslocamentos posteriores de uma parcela saturada.
No caso (b),
assumimos que
θθθθ
e
aumenta com a
Quando a base da camada atinge a saturação, e continua a se esfriar
com uma taxa adiabática saturada, o topo da camada ainda está se esfriando
com a taxa adiabática seca
(que é maior que a adiabática saturada) Conseqüentemente, no final da ascensão,
o lapse-rate que a camada adquire é maior que o adiabático saturado e, portanto,
essa camada é agora instável
para quaisquer deslocamentos posteriores de uma parcela saturada.
No caso (c),
assumimos que
θθθθ
e
diminui com a altura
na camada
⇒ Esses resultados independem
das condições e lapse-rates iniciais escolhidos. A estabilidade de uma parcela de ar de uma camada
que é levantada até se tornar completamente saturada só depende do
lapse-rate da temperatura potencial equivalente dessa camada. Assim,
a camada saturada é convectivamente INSTÁVEL Se ∂θ∂θ∂θ∂θe’/∂∂∂∂z < 0
a camada saturada é convectivamente NEUTRA Se ∂θ∂θ∂θ∂θe’/∂∂∂∂z = 0
a camada saturada é convectivamente ESTÁVEL Se ∂θ∂θ∂θ∂θe’/∂∂∂∂z > 0
⇒ Quando uma parcela de ar sobe na atmosfera,
uma certa quantidade de trabalho é efetuada
pela (ou contra a) força de flutuação (ou empuxo),
dependendo se o movimento é feito a favor ou contra essa força : • Se a força de flutuação é dirigida para baixo (empuxo negativo),
uma certa quantidade de trabalho tem que ser feita contra a flutuação;
• Se a força de flutuação é dirigida para cima (empuxo positivo), uma certa quantidade de trabalho é feita pela flutuação.
⇒ O trabalho (δW) para deslocar a parcela
de uma altura δz é dado por:
z
z
m
z
ma
z
F
W
δ
δ
δ
δ
=
=
=
••ou, por unidade de massa,
z
z
w
δ
δ
=
•
•
⇒ Lembrando que a equação do movimento vertical
de uma parcela é dada por:
b
T
T
T
g
g
z
v v v−
≡
=
−
=
• •'
'
'
ρ
ρ
ρ
⇒ o trabalho efetuado pela (ou sobre a) parcela,
para ir de um nível inicial “zi” para um nível final “zf” será:
∫
∫
=
∫
=
−
=
f i f i z z v v v f i z zdz
T
T
T
g
bdz
w
w
'
'
δ
⇒
Em uma radiosondagem
- Se zi for a superfície, e zf for o NCE,
esse trabalho (negativo) é chamado
de CINE (Convective INhibition Energy) - Se zi for o NCE, e zf for o NPE,
esse trabalho (positivo) é chamado
de CAPE (Convective Available Potential Energy)
⇒ Assim:
∫
−
=
NCE z z v v vdz
T
T
T
g
CINE
sup'
'
e∫
−
=
NPE NCE z z v v vdz
T
T
T
g
CAPE
'
'
⇒
MAS,
qual a relação entre CINE-CAPE
e a velocidade vertical (v
vert) da parcela ?
b
dt
dv
z
≡
vert=
• • oub
v
dz
d
dz
dv
v
dz
dv
dt
dz
dt
dv
vert vert vert vert vert=
=
=
=
2
2⇒ Então, integrando (e omitindo “vert”) :
2
2
2 sup 2 supv
v
bdz
CINE
NCE z z NCE−
=
=
∫
2
2
2 2 NCE NPE z zv
v
bdz
CAPE
NPE NCE−
=
=
∫
CAPE é a energia cinética máxima (na vertical e por unidade de massa) que uma parcela adquire ao atingir o NPE.
CINE é a energia cinética mínima (na vertical e por umidade de massa) que uma parcela deve ter na superfície para poder atingir o NCE
