6/Maio/2015 – Aula 18
8/Maio/2015 – Aula 19
Aplicações:
- nanotecnologias;
- microscópio por efeito de túnel. Equação de Schrödinger a 3 dimensões.
Conclusão da aula anterior
3º – oscilador harmónico simples
4º – barreira de potencial, probabilidade de transmissão.
3º – oscilador harmónico simples
Considere uma partícula sujeita a uma força de restituição linear dada por F = - k x .
x é o deslocamento relativamente à posição de
equilíbrio (x = 0) e k é uma constante.
Quando a partícula é deslocada da sua posição de equilíbrio e libertada, começa a oscilar em torno de x = 0 com um movimento
harmónico (movimento semelhante ao dos átomos numa rede
A diferença de energia entre estados consecutivos é igual a
Se a partícula estiver num certo estado e passar para o estado de energia
imediatamente abaixo, vai
perder um quantum de energia
– exactamente a quantidade de energia de um fotão.
Diagrama de níveis de energia. Os níveis estão igualmente espaçados (com separação hhhhωωω ) e o ω estado
3º – oscilador harmónico simples (cont.)
E
n- E
n-1= h
ω
= h
ν
Curvas a azul Probabilidades clássicas correspondentes às mesmas energias. Classicamente, a partícula está
mais tempo nas
3º – oscilador harmónico simples (cont.)
Curvas a vermelho Densidades de probabilidade para os estados com n = 0, 1 e 2. Do ponto de vista quântico, em certas regiões sobre o eixo
E n er g ia
4º – barreira de potencial
Se uma partícula estiver num poço de potencial com paredes finitas, as suas funções de onda penetram as paredes.
Consideremos agora o caso de uma partícula que incide numa
barreira de potencial suficientemente fina.
A resolução da equação de Schrödinger permite obter as funções de onda desta partícula.
4º – barreira de potencial, probabilidade de transmissão
(cont.)O coeficiente de reflexão é igual à probabilidade da partícula ser reflectida pela barreira.
Dado que a partícula só pode ser transmitida ou reflectida
Uma solução (aproximada) da equação de Schrödinger (quando a barreira for suficientemente alta ou larga) é dada por:
(
)
2T
+
R
=
1
Efeito de túnel quântico: decaimento alfa
Um exemplo (natural) do efeito de túnel quântico é o decaimento
(radioactivo) das partículas alfa.
Este tipo de decaimento radioactivo (decaimento alfa) acontece quando um núcleo radioactivo (por ex, urânio 238) emite uma
partícula alfa ( constituída por 2 protões + 2 neutrões ). O potencial nuclear é uma
combinação dum poço de potencial
(causado pela força atractiva nuclear) e duma barreira de potencial (causada pela repulsão de Coulomb).
A partícula alfa é “apanhada” no poço com uma energia de cerca de 5 MeV.
Para o Urânio 238, o tempo médio para que uma partícula alfa ligada ao núcleo possa escapar por efeito de túnel é de ≈≈≈≈ 4,5.109
anos …
Efeito de túnel quântico: decaimento alfa (cont.)
Dentro do núcleo
Fora do núcleo
Aplicação: nanotecnologias
Nanotecnologias
Desenvolvimento e aplicação de dispositivos com dimensões entre 1 e 100 nm.
As nanotecnologias utilizam o confinamento de partículas em
poços de potencial.
Por exemplo: quantum dot .
É uma pequena região que cresce num cristal de silício que actua como um poço de potencial.
Contacto metálico Substrato Contacto metálico “Canal de electrões” (AsGa) (AsAl)
Aplicação: nanotecnologias (cont.)
Exemplo
Os electrões movem-se no semicondutor de AsGa. Atingem a barreira criada pelo quantum dot.
Uma ponta de prova ( “tip” )
condutora ( < 1nm) é colocada muito próximo ( ≈≈ 1 nm≈≈ ) da
superfície que se pretende analisar.
Aplicação: microscópio por efeito de túnel
Quando a ponta de prova está próxima da nuvem electrónica em torno dos átomos da superfície, os electrões vão atravessar a distância superfície-ponta por efeito de túnel, com uma probabilidade T = e -2 ααααL.
Se os sensores piezoeléctricos
Aplicação: microscópio por efeito de túnel (cont.)
Se a ponta de prova percorrer toda a superfície, mantendo a corrente
constante, então a ponta de prova vai traçar o perfil atómico da superfície.
Amostra
Electrões “de túnel”
Aplicação: microscópio por efeito de túnel (cont.)
Imagem topográfica por
Um átomo de Xenon numa superfície de níquel (IBM) – sobreposição de
Aplicação: microscópio por efeito de túnel - imagens
Superfície de cobre (IBM)
Átomos de Xe implantados numa superfície de níquel para formar a palavra ‘IBM’
Átomos de
Aplicação: microscópio por efeito de túnel – imagens (cont.)
Aplicação: microscópio por efeito de túnel – imagens (cont.)
Aplicação: microscópio por efeito de túnel – imagens (cont.)
Imagens de grafite (resolução atómica)
Aplicação: microscópio por efeito de túnel – imagens (cont.)
Microscópio por efeito de túnel
Primeiro microscópio STM (1985, IBM)
Equação de Schrödinger a 3 dimensões
E
=
p
x 2+ p
y 2+ p
z 2→ E
ψ
( x,y,z)
= -
h
2∂
2ψ
+
∂
2ψ
+
∂
2ψ
d
2Ψ
( )
x
dx
2= -
2m
h
2E-U
(
)
Ψ
∂
2
Ψ
∂x
2
+
∂
2
Ψ
∂y
2
+
∂
2
Ψ
∂z
2
= -
2m
h
2
E-U
(
)
Ψ
(
x,
y, z
)
Equação de Schrödinger a 3 dimensões (cont.)
Poço de potencial 3D com paredes infinitas, em que U(x,y,z) = 0 no
interior e U = ∞∞∞∞ no exterior: Partícula confinada
Tem-se
ψ
ψ
ψ
ψ
(x,y,z) = 0 nas 6 faces do cubo:x = 0, x = L ; y = 0, y = L ; z = 0, z = L.
A função de onda espacial pode ser descrita como o produto de funções de
(x,y,z ) independentes:
x
y
z
L
L
Equação de Schrödinger a 3 dimensões (cont.)
Níveis de energia permitidos:
h
2π
22m L
2n
x2+ n
y2+ n
z2(
)
=
h
28mL
2n
x2+ n
2y+ n
z2(
)
= E
E
n 1,n2,n3=
h
2π
22m L
2n
12+ n
22+ n
32(
)
= E
1(
n
12+ n
22+ n
32)
Equação de Schrödinger a 3 dimensões (cont.)
O nível de energia mais baixo para o poço cúbico ocorre para
n1 = n2 = n3 = 1 e tem o valor
E
1,1,1=
3 h
2
π
22m L
2= 3E
1O primeiro nível de energia excitado pode ser obtido de três maneiras diferentes:
Um nível de energia com mais do que uma função de onda associada chama-se
degenerado.
a) b)
Equação de Schrödinger a 3 dimensões (cont.)
Neste caso, para o 1º nível excitado:
E211 = E121 = E 112 = 6 E1
(grau de degeneração = 3).
Diagrama de níveis de energia Em a) os níveis de energia são
Uma partícula está confinada a uma caixa tri-dimensional com lados
L1, L2 = 2 L1 e L3 = 4 L1 . Determine:
a) os números quânticos n1, n2 e n3 que correspondem aos 10 estados de menor energia;
b) os estados degenerados.
a) As energias são dadas por
E
n
1
,n
2,n
3=
h
2
π
2
2m
n
1
2
L
1
2
+
n
2
2
L
2
2
+
n
3
2
L
2
3
Para uma caixa de lados L1, L2 = 2 L1 e L3 = 4 L1 tem-se:
E
n 1,n2,n3=
h
2π
22m
n
12L
12+
n
2 24L
12+
n
3 216L
12
=
h
28mL
12n
12+
n
2 24
+
n
3216
=
Uma partícula está confinada a uma caixa tri-dimensional com lados L1, L2 = 2 L1 e L3 = 4 L1 . Determine: a) os números quânticos n1, n2 e n3 que correspondem aos 10
estados de menor energia; b) os estados degenerados.
b)
h
2
128mL
1
2
As energias, em unidades de são as seguintes: n1 n2 n3 E 1 1 1 21 1 1 2 24 1 1 3 29 1 2 1 33 1 1 4 36 1 2 2 36 1 2 3 41 1 1 5 45 1 2 4 48
