A LGORITMOS S KIPL

ESTRUTURAS DEDADOS E

ALGORITMOS

SKIPLIST Adalberto Cajueiro

Departamento de Sistemas e Computação Universidade Federal de Campina Grande 1

S

L

Surgiram como uma ideia probabilistica para árvores balanceadas

Tempo esperado das operações com alta probabilidade O(log(n))

Fácil de implementar e de entender

2

Communications of the ACM, June 1990, 33(6) 668-676.

3

Q

P

Quanto tempo leva no pior caso para pesquisar em uma lista ordenada?

 O(n).

4

Q

P

Quanto tempo leva no pior caso para pesquisar em uma lista ordenada?

O(n).

Como podemos melhorar a pesquisa em listas encadeadas?

5

E

Linhas de ônibus podem implementar uma skip list

 Linha local (para em todos os pontos)

 Linha expressa (poucas paradas)

6

E

Como fazer para ir da estação 1 para a 5?

Linha azul na estação 1 e desce na 4

Depois pegar a linha vermelha e descer na 5

7

1 2 3 4 5 6

S

L

(D

)

Skip list é uma estrutura de dados probabilística, baseada em listas encadeadas, com eficiência comparadaa das árvores binária de pesquisa

Basicamente uma skip list é uma variaçãode uma lista encadeada ordenada onde a cada nó são acrescentados vários ponteiros para elementos a frente, de modo que a pesquisa possa

rapidamente pular partes da lista (daí o nome)

Uma skip list tem a propriedade de manter seus itens ordenados

8

S

L

Balancear probabilisticamente um estrutura de dados é mais fácil que manter o balanceamento de forma explicita.

Para algumas aplicações, skip lists são mais naturais que árvore e levam a algoritmos mais simples e fáceis de implementar.

Performance melhorada por um fator constante em relacao a algoritmos de balanceamento

Skip lists são eficientes em uso de espaço.

9

E

10 Nós sentinelas

S

L

(D

)

11 niveis

nós

forward links

nó cabeçalho nó vazio

-∞ _∞

S

L

(D

)

Nível (altura) máximo

 Maior altura que um nó pode ter em uma skip list

Nível (altura)

 A altura da skip list é a altura do maior nó, ou seja, a quantidade de referências do nó com maior número de apontadores forward.

Probabilidade

 Probabilidade é o valor usado no algoritmo para determinar aleatoriamente o nível (altura) de cada nó

E

Um nívelpossui determinado numeros de nós que é menor ou igual ao número de nós da camada adjacente inferior

Todos os níveis possuem nós ordenados.

altura

nível

No de nivel 4 No de nivel 3 No de

nivel 2 No de nivel 1

13

C

S0possui todos os elementos além do -∞ e ∞

Todos os Sipossuem -∞ e ∞

 onde cada Si ⊆ S0

14 S0

Sh

E

Inicializacao de uma skip list com nivel maximo 7 e probabilidade de 0,5.

O HDR (header) guarda o inicio da lista (menor valor possivel).

O elemento NIL guarda a maior chave possivel da skip list. Ele fica no final da lista.

Todos os níveis terminam com NIL.

-∞ ∞

15

-

∞

∞

E

Insercao dos nós 9,7,5,3,6,14,8,12 com respectivas alturas (níveis) sendo 2,1,1,2,2,1,1,5

determinados aleatoriamente.

Os nós sao colocados em ordem crescente

16 Usando nível máximo como altura da skip list.

E

Insercao dos nós 9,7,5,3,6,14,8,12 com respectivas alturas (níveis) sendo 2,1,1,2,2,1,1,5

determinados aleatoriamente.

Os nós sao colocados em ordem crescente

17 Sem usar nível máximo como altura da skip list.

S

L

Altura de uma skip list

 Não depende da distribuição das chaves

 Espera-se que cada nível tenha 50% do anterior

 Logo a altura esperada é h = log n

A randomizaçãoé quem vai dizer isso

I

Que estruturas compõem uma skip list?

Como implementá-las?

19

I

Como implementar as classes SkipNode e

SkipList?

20

I

Como implementar as classes SkipNode e

SkipList?

21

public class SkipNode<V> { SkipNode<V>[] forward; int height;

int key; V satteliteData;

public SkipNode(int key, int height, V satelliteData){ this.key = key;

this.height = height;

this.satteliteData = satelliteData; this.forward = new SkipNode[height]; }

}

I

(I

)

22

public interface SkipList<V> { public void insert(int key, V newValue); public void insert(int key, V newValue, int height); public void remove(int key);

public int height();

public SkipNode<V> search(int key); public int size();

public SkipNode<V>[] toArray(); }

I

23

public class SkipListImpl<V> implements SkipList<V> { SkipNode<V> root;

SkipNode<V> NIL; int level; int maxLevel;

boolean useMaxLevelAsLevel; double probability; }

E

Como representar o nó NIL?

24

public class SkipNode<V> { SkipNode<V>[] forward; int height;

int key; V value; }

public class SkipListImpl<V> implements SkipList<V> {

…

int infinito = Integer.MAX_VALUE; NIL = new

E

Como criar uma skip list vazia?

25 public classSkipListImpl<V> {

...

booleanuseMaxLevelAsLevel; doubleprobability = 0.5;

public SkipList (int maxLevel, boolean maxLevelAsLevel){ if(maxLevelAsLevel){

this.level = maxLevel; } else{

this.level = 1; }

this.maxLevel = maxLevel;

root = new SkipNode<V>(menosInfinito,maxLevel,menosInfinito); NIL = new SkipNode<V>(infinito,maxLevel,infinito); connectRootAndNIL();

} }

public classSkipListImpl<V> { ...

booleanuseMaxLevelAsLevel;

doubleprobability = 0.5;

public SkipList (int maxLevel, boolean maxLevelAsLevel){ if(maxLevelAsLevel){

this.level = maxLevel; } else{

this.level = 1; }

this.maxLevel = maxLevel;

root = new SkipNode<V>(menosInfinito,maxLevel,menosInfinito); NIL = new SkipNode<V>(infinito,maxLevel,infinito);

connectRootAndNIL();

} }

E

Como criar uma skip list vazia?

26 void connectRootAndNIL(){

for i:0 level root.forward[i] = NIL; }

S

L

(P

)

Como pesquisar em uma skip list?

Como pesquisar o nó 8?

27

S

L

(P

)

Como pesquisar em uma skip list?  Como pesquisar o nó 8?

 Comece atravessando os apontadores forward que nao levam a um elemento menor que o procurado.

 Depois siga para o elemento menor e aplique o mesmo raciocinio ate descer ao nivel 1.

 Depois é só seguir o apontador forward do nivel 1 do

ultimo nó visitado. 28

S

L

(P

)

Como pesquisar em uma skip list?

Como pesquisar o nó 8?

29

S

L

(P

)

Como pesquisar em uma skip list?

 Pesquise as chaves 9,15,13,17.

S

L

(P

)

Como pesquisar em uma skip list?

Pesquise as chaves 9,15,13,17.

31

S

L

(P

)

Como pesquisar em uma skip list?

 Pesquise as chaves 9,15,13,17.

32

S

L

(P

)

Como pesquisar em uma skip list?

Pesquise as chaves 9,15,13,17.

33

S

L

(P

)

Como pesquisar em uma skip list?

 Pesquise as chaves 9,15,13,17.

34

S

L

(P

)

Como pesquisar em uma skip list?

Pesquise as chaves 9,15,13,17.

35

S

L

(P

)

Como pesquisar em uma skip list?

 Pesquise as chaves 9,15,13,17.

x

S

L

(P

)

Como seria o algoritmo da pesquisa?

37

S

L

(P

)

Como seria o algoritmo da pesquisa?

pesquisa(list,key) x := list.root

for i := list.level downto 1 do while x.forward[i].key < key do

x := x.forward[i] x := x.forward[1]

if x.key = key then return x.value

else return “A chave não existe”

Para andar ate o ultimo no com mesma altura

38

S

L

(I

)

Como funciona a insercao em uma skip list?

Como inserir o nó 10?

O nivel do nó vai ser gerado aleatoriamente

Precisa de uma funcao randomica

Vamor supor que foi nivel randomico gerado foi 1

39

S

L

(I

)

Como funciona a insercao em uma skip list?

 Como inserir o nó 10?

 O nivel do nó vai ser gerado aleatoriamente

Precisa de uma funcao randomica

Vamor supor que foi nivel randomico gerado foi 1

40

S

L

(I

)

Como funciona a insercao em uma skip list?

Como inserir o nó 10?

O nivel do nó vai ser gerado aleatoriamente

Precisa de uma funcao randomica

Supor p = 0,5; random <= p (cria); random > p (nao cria)

41

S

L

(I

)

Como funciona a insercao em uma skip list?

 Como inserir o nó 4 e 15?

 Supor que random gera 0,0,1,0,0,0,1 nessa ordem

 Qual o nivel do no 4?

 Qual o nivel do no 15?

S

L

(I

)

Como funciona a insercao em uma skip list?

Como inserir o nó 4 e 15?

Supor que random gera 0,0,1,0,0,0,1 nessa ordem

Qual o nivel do no 4? (3)

Qual o nivel do no 15? (4)

43

I

44

S

L

(I

)

Como seria o

algoritmo da insercao?

45

S

L

(I

)

Como seria o

algoritmo da insercao?

Inserir(SkipList list, key, newValue)

SkipNode [] update = new SkipNode [1..list.maxLevel]; x := list.root

for i := list.level downto 1 do while x.forward[i].key < key do

x := x.forward[i] update[i] := x x := x.forward[1] if x.key = key

x.value := newValue else

int v := randomLevel() if v > list.level then

for i := list.level + 1 to v do update[i] := list.root list.level := v

x := makeNode(key, v, newValue) for i := 1 to v do

x.forward[i] := update[i].forward[i] update[i].forward[i] := x

Altera Ponteiros Pesquisa o local

Guarda Caminho

Caso o nível aumente e list nao seja o 1o header. Este algoritmo

insere ou atualiza os dados

46

I

for i: 1..v updade[1]

updade[4] updade[3]

updade[2]

x

47

S

L

(R

)

Como funciona a remocao em uma skip list?

 Como remover o nó 9?

 É só procurar pelo nó e guardar os nós a terem os apontadores forward a serem atualizados para os apontadores forward do nó removido.

S

L

(R

)

Como funciona a remocao em uma skip list?

Como remover o nó 9?

É só procurar pelo nó e guardar os nós a terem os apontadores forward a serem atualizados para os apontadores forward do nó removido.

49

S

L

(R

)

Como seria o

algoritmo da remoção?

Delete(SkipList list, key)

Node [] update = new Node[1..list.maxLevel]; x := list.root

for i := list.level downto 1 do while x.forward[i].key < key do

x := x.forward[i] update[i] := x x := x.forward[1] if x.key = key then

for i := 1 to list.level do

if update[i].forward[i] ≠ x then break update[i].forward[i] := x.forward[i]

while list.level > 1 and

list.root.forward[list.level] = NIL do list.level := list.level –1

Ajeita Altura Ajeita Ponteiros Pesquisa o local

Guarda Caminho

50

S

L

(R

)

updade[2] updade[4]

updade[3] updade[1]

x

for i := 1 to list.level do

if update[i].forward[i] ≠ x then break update[i].forward[i] := x.forward[i]

while list.level > 1 and list.root.forward[list.level] = NIL do list.level := list.level –1

51

S

L

Applet

 http://people.ksp.sk/%7Ekuko/bak/index.html  http://www.sccnet.com.br/jackson/SkipList/SkipListA

pplet/Applet.html

52

S

L

(A

)

O tempo de pesquisade uma skip list é proporcional a:

Pesquisa na Diagonal

O número de passos para baixo nos niveis (vezes) O número de pesquisas para frente

Por fatores probabilísticos tem grande chance

de serem O(log n)

A análise do método inserire removeré similar Em média, skip lists são mais rápidas do que

árvores AVL e outras árvores balanceadas de

pesquisa 53

S

L

(A

)

Complexidade de espaço

Usando-se fatores probabilísticos, calcula-se que o espaço provavelmente usado por uma skip list com n itens é deO(n)

R

Seção 7.5

1a edição

http://www.sable.mcgill.ca/~dbelan2/cs251/skip_li sts.html