Prof. Marcio Gomes
Email: marciogomesifba@gmail.com
https://sites.google.com/site/marciogomesifba
MATEMÁTICA
Matemática Financeira??
O
Estuda o processo de valorização
Símbolos e convenções
O J =Juros
O C = Capital = P ou PV O i =taxa de juros
O n = número de períodos = prazo
O S ou M= Montante = J+C (sempre) = F ou FV
O DC = Desconto Comercial, DB=Desconto Bancário, ou por
fora
O DR = Desconto Racional, ou por dentro O VA = Valor Atual
Símbolos e convenções
O
a.d. ou ad = ao dia
O
a.m. ou am = ao mês
O
a.b. ou ab = ao bimestre
O
a.t. ou at = ao trimestre
O
a.q. ou aq = ao quadrimestre
O
a.s. ou as = ao semestre
Definição de Capital
O
Do
ponto
de
vista
da
Definição de Juros
O Podemos definir Juros como o rendimento
obtido ou pago por um indivíduo que tenha
aplicado ou tomado emprestado uma quantia sob determinadas condições, por exemplo:
O Emprestei R$ 100,00(PV) a um amigo. Depois de
Definição de taxa de Juros
O
É a razão entre os juros recebidos(
ou
pagos
) no final de um período de
tempo e o capital aplicado
(ou
emprestado
).
Exemplo para fixação da
taxa de Juros
O
Qual a taxa de juros cobrada num
empréstimo de R$ 1.000,00, cujo valor a
ser resgatado será de R$ 1.400,00?
Solução:
𝐢 = 𝐏𝐕 = 𝐉 𝟏𝟒𝟎𝟎,𝟎𝟎 − 𝟏𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 = 𝟏𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 = 𝟎, 𝟒𝟎 = 𝟒𝟎%𝟒𝟎𝟎,𝟎𝟎
Capitalização Simples
O
É aquela em que a taxa de juros
incide somente sobre o capital
inicial, ou seja,
O
Não incide, pois, sobre os juros
Cálculo dos Juros Simples
O SEMPRE são aplicados sobre o Valor Presente(PV)
J = PV
i
n
Onde:
J = valor dos juros
PV = valor do capital inicial ou valor presente i= taxa de juros
J = PV
i
n
Sabendo-se que:
Logo:
FV = PV+J
eFV = PV(1+ i
n)
Obs. A taxa(i) e o prazo(n), devem estar na mesma base. Como a taxa normalmente é imposta, ajusta-se o prazo.
EXERCÍCIO DE SALA 1
O Qual o valor dos juros correspondentes a um
empréstimo de R$ 10.000,00, pelo prazo de 5 meses, sabendo-se que a taxa cobrada é de 2% ao mês?
DADOS:
PV = R$ 10.000,00 i(%) = 2% am.
n = 5 meses J = ?
𝑱 = 𝑷𝑽. 𝒊. 𝒏
𝑱 = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝟎, 𝟎𝟐 ∙ 𝟓 𝑱 = 𝑹$ 𝟏. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎
EXERCÍCIO DE SALA 2
O Um capital de R$ 25.000,00, aplicado durante 7 meses, rende juros de R$ 7.875,00. Determine a taxa correspondente?
DADOS:
PV = R$ 25.000,00 i(%) = ?
n = 7 meses J = R$ 7.875,00
SOLUÇÃO
𝒊 = 𝑷𝑽 ∙ 𝒏𝑱
𝒊 = 𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 ∙ 𝟕𝟕𝟖𝟕𝟓, 𝟎𝟎
EXERCÍCIO DE SALA 3
O Uma aplicação de R$ 50.000,00 pelo prazo de 180
dias obteve um rendimento de R$ 8.250,00. Qual a taxa anual correspondente a essa aplicação?
DADOS:
PV = R$ 50.000,00 i (%) = ? anual
n = 180 dias
J = R$ 8.250,00
SOLUÇÃO: 𝒊 = 𝑱
𝑷𝑽 ∙ 𝒏
𝒊 = 𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 ∙ 𝟏𝟖𝟎 𝒅𝒊𝒂𝒔𝟖𝟐𝟓𝟎, 𝟎𝟎
𝒊 = 𝟗𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟖𝟐𝟓𝟎, 𝟎𝟎
OUTRA SOLUÇÃO PARA O
EXERCÍCIO DE SALA 3
O Uma aplicação de R$ 50.000,00 pelo prazo de 180
dias obteve um rendimento de R$ 8.250,00. Qual a taxa anual correspondente a essa aplicação?
DADOS:
PV = R$ 50.000,00 i (%) = ? anual
n = 180 dias = 0,5 ano J = R$ 8.250,00
SOLUÇÃO: 𝒊 = 𝑱
𝑷𝑽 ∙ 𝒏
𝒊 = 𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 ∙ 𝟎, 𝟓 𝒂𝒏𝒐𝒔𝟖𝟐𝟓𝟎, 𝟎𝟎
𝒊 = 𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎𝟖𝟐𝟓𝟎
EXERCÍCIO DE SALA 4
O Sabendo-se que os juros de R$ 6.000,00
foram obtidos com aplicação de R$ 7.500,00, à taxa de 8% at, pede-se que se calcule o prazo.
DADOS:
PV = R$ 7.500,00 i (%) = 8% at
n = ?
J = R$ 6.000,00
SOLUÇÃO: 𝒏 = 𝑱
𝑷𝑽 ∙ 𝒊
𝒏 = 𝟕𝟓𝟎𝟎, 𝟎𝟎 ∙ 𝟎, 𝟎𝟖𝟔𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎
𝒏 = 𝟔𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟔𝟎𝟎
EXERCÍCIO DE SALA 5
O
Qual o capital, que à taxa de 4% am,
rende juros de R$ 9.000,00 em 1 ano?
DADOS: PV = ?
i (%) = 4% am
n = 1 ano = 12 meses J = R$ 9.000,00
SOLUÇÃO: 𝑷𝑽 = 𝑱
𝒊 ∙ 𝒏
𝑷𝑽 = 𝟎, 𝟎𝟒 ∙ 𝟏𝟐𝟗𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎
𝑷𝑽 = 𝟗𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎, 𝟒𝟖
EXERCÍCIO DE SALA 6
O
Um empréstimo de R$ 23.000,00 é
liquidado por R$ 29.200,00 no final de
152 dias. Calcular a taxa mensal de juros?
DADOS:
PV = 23.000,00 i (%) = ? mensal n = 152 dias
J = FV – PV = R$ 6.200,00
SOLUÇÃO: 𝒊 = 𝑱
𝑷𝑽 ∙ 𝒏
𝒊 = 𝟐𝟑𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 ∙ 𝟏𝟓𝟐 𝒅𝒊𝒂𝒔𝟔. 𝟐𝟎𝟎, 𝟎𝟎
𝒊 = 𝟔. 𝟐𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟑𝟒𝟗𝟔𝟎𝟎𝟎
EXERCÍCIO DE SALA 7
O
Calcular o montante da aplicação de um
capital R$ 8.000,00, pelo prazo de 12
meses, à taxa de 3% am?
DADOS:
PV = 8.000,00 i (%) = 3% am n = 12 meses FV = ?
SOLUÇÃO: 𝑭𝑽 = 𝑷𝑽(𝟏 + 𝒊 ∙ 𝒏)
𝑭𝑽 = 𝟖𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎(𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟑 ∙ 𝟏𝟐) 𝑭𝑽 = 𝟖𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎(𝟏 + 𝟎, 𝟑𝟔)
EXERCÍCIO DE SALA 8
O Determinar o valor atual de um título cujo valor de resgate é de R$ 60.000,00, sabendo-se que a taxa de juros é de 5% am e que faltam 4 meses para o seu vencimento?
DADOS: PV = ?
i (%) = 5% am n = 4 meses
FV = 60.000,00
SOLUÇÃO: 𝑷𝑽 = 𝑭𝑽
𝟏 + 𝒊 ∙ 𝒏
𝑷𝑽 = 𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟓 ∙ 𝟒𝟔𝟎. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎
𝑷𝑽 = 𝟔𝟎. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟏 + 𝟎, 𝟐
EXERCÍCIO DE SALA 9
O Sabendo-se que certo capital, aplicado durante
10 semestres, à taxa de 36% aa rende R$ 72.000,00 de juros. Determinar o Montante.
DADOS:
PV = não informado
i (%) = 36% aa = 18% as n = 10 semestres
J = R$ 72.000,00 FV = ?
SOLUÇÃO
𝑷𝑽 = 𝒊 ∙ 𝒏𝑱
𝑷𝑽 = 𝟕𝟐. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎, 𝟏𝟖 ∙ 𝟏𝟎
𝑷𝑽 = 𝟕𝟐. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟏, 𝟖
𝑷𝑽 = 𝟒𝟎. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎
𝑪𝒐𝒎𝒐: 𝑭𝑽 = 𝑷𝑽 + 𝒋
𝑭𝑽 = 𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎+72000,00
DESCONTO SIMPLES
(ou COMERCIAL ou BANCÁRIO)
O
É aquele em que a taxa de
DESCONTO SIMPLES
(Onde é aplicado)
O
Desconto de Duplicata
O
Desconto de Nota Promissória
O
Desconto de cheque pré-datado
O
Desconto de boleto de cartão
DESCONTO SIMPLES
(como calcular)
O
Onde:
O
D = desconto
O
FV = valor futuro ou Montante
Od = taxa de desconto
O
n = prazo
DESCONTO SIMPLES
[como calcular o valor presente(PV)]
O
Onde:
O
PV = valor presente
O
FV = valor futuro ou Montante
O
D = desconto
EXERCÍCIO DE SALA 1
DESCONTO SIMPLES
O
Qual o valor do desconto simples de um
título de R$ 2.000,00, com vencimento
para 90 dias, à taxa de 2,5% am?
Dados:
F V = R$ 2.000,00
n = 90 dias = 3 meses d = 2,5% am
D = ?
SOLUÇÃO
𝐃 = 𝐅𝐕 ∙ 𝐝 ∙ 𝐧
𝐃 = 𝟐𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 ∙ 𝟎, 𝟎𝟐𝟓 ∙3
EXERCÍCIO DE SALA 2
DESCONTO SIMPLES
O Qual a taxa mensal de desconto utilizada
numa operação de desconto a 120 dias, cujo valor de resgate é de R$ 1.000,00 e cujo valor atual é de R$ 880,00??
Dados:
F V = R$ 1.000,00 PV = R$ 880,00
n = 120 dias = 4 meses d = ?
SOLUÇÃO
𝐃 = 𝐅𝐕 − 𝐏𝐕
𝐃 = 𝟏𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 − 𝟖𝟖𝟎,𝟎𝟎 𝐃 = 𝑹$ 𝟏𝟐𝟎, 𝟎𝟎
EXERCÍCIO DE SALA 3
DESCONTO SIMPLES
Uma duplicata no valor de R$ 6.800,00 é descontada por um banco, gerando um crédito de R$ 6.000,00 na conta do cliente. Sabendo-se que a taxa cobrada pelo banco é de 3,2% am, determinar o prazo de vencimento da duplicata.
Dados:
F V = R$ 6.800,00 PV = R$ 6.000,00 d = 3,2% am
n = ?
SOLUÇÃO
𝐃 = 𝐅𝐕 − 𝐏𝐕
𝐃 = 𝟔. 𝟖𝟎𝟎, 𝟎𝟎 − 𝟔. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 𝐃 = 𝑹$ 𝟖𝟎𝟎, 𝟎𝟎
EXERCÍCIO DE SALA 4
DESCONTO SIMPLES
Calcular o valor líquido creditado na conta de um cliente, correspondente ao desconto de uma duplicata no valor de R$ 34.000,00, com prazo de 41 dias, sabendo-se que o banco está cobrando nessa operação uma taxa de desconto de 4,7% am.
Dados:
F V = R$ 34.000,00 PV = ?
d = 4,7% am
n = 41 dias 1,37 meses
Cálculo do desconto
𝐃 = 𝐅𝐕 ∙ 𝒅 ∙ 𝒏
𝐃 = 𝟑𝟒. 𝟎𝟎𝟎,𝟎𝟎 ∙ 𝟎, 𝟎𝟒𝟕 ∙ 𝟏, 𝟑𝟕
𝑷𝑽 = 𝑭𝑽 − 𝑫
𝐃 ≅ 𝑹$ 𝟐. 𝟏𝟖𝟗, 𝟐𝟔
Cálculo do valor presente
EXERCÍCIO DE SALA 5
DESCONTO SIMPLES
RESOLUÇÃO EXERCÍCIO DE SALA 5
DESCONTO SIMPLES
Dados: F V = ?
PV = 70.190,00 d = 5,2% am
n = 37 dias 1,23 meses
Cálculo do desconto
𝐃 = 𝐅𝐕 ∙ 𝒅 ∙ 𝒏
Como não temos o valor de FV e:
𝐃 = 𝐅𝐕 − 𝑷𝑽
Substituindo uma na outra:
𝐅𝐕 − 𝐏𝐕 = 𝐅𝐕 ∙ 𝒅 ∙ 𝒏 𝐅𝐕 = (𝐅𝐕 ∙ 𝒅 ∙ 𝒏) + 𝐏𝐕 𝐅𝐕 − (𝐅𝐕 ∙ 𝒅 ∙ 𝒏) = 𝐏𝐕
𝐅𝐕(𝟏 − 𝒅 ∙ 𝒏) = 𝐏𝐕 𝐅𝐕 = (𝟏 − 𝒅 ∙ 𝒏)𝑷𝑽
𝐅𝐕 ≅ (𝟏 − 𝟎, 𝟎𝟓𝟐 ∙ 𝟏, 𝟐𝟑)𝟕𝟎𝟏𝟗𝟎, 𝟎𝟎
𝐅𝐕 ≅ 𝟕𝟎𝟏𝟗𝟎,𝟎𝟎(𝟎, 𝟗𝟒)