O Estuda o processo de valorização

(1)

Prof. Marcio Gomes

Email: [email protected]

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MATEMÁTICA

(2)

Matemática Financeira??

O

Estuda o processo de valorização

(3)

Símbolos e convenções

O J =Juros

O C = Capital = _{P ou PV} O i =taxa de juros

O n = número de períodos = prazo

O S ou M= Montante = J+C (sempre) = F ou FV

O DC = Desconto Comercial, _{DB=Desconto Bancário, ou por}

fora

O DR = Desconto Racional, _{ou por dentro} O VA = Valor Atual

(4)

Símbolos e convenções

O

a.d. ou ad = ao dia

O

a.m. ou am = ao mês

O

a.b. ou ab = ao bimestre

O

a.t. ou at = ao trimestre

O

a.q. ou aq = ao quadrimestre

O

a.s. ou as = ao semestre

(5)

Definição de Capital

O

Do

ponto

de

vista

da

(6)

Definição de Juros

O Podemos definir Juros como o rendimento

obtido ou pago por um indivíduo que tenha

aplicado ou tomado emprestado uma quantia sob determinadas condições, por exemplo:

O Emprestei R$ 100,00(PV) a um amigo. Depois de

(7)

Definição de taxa de Juros

O

É a razão entre os juros recebidos(

ou

pagos

) no final de um período de

tempo e o capital aplicado

(ou

emprestado

).

(8)

Exemplo para fixação da

taxa de Juros

O

Qual a taxa de juros cobrada num

empréstimo de R$ 1.000,00, cujo valor a

ser resgatado será de R$ 1.400,00?

Solução:

𝐢 = _{𝐏𝐕 =}𝐉 𝟏𝟒𝟎𝟎,𝟎𝟎 − 𝟏𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎_{𝟏𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎} = _{𝟏𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 = 𝟎, 𝟒𝟎 = 𝟒𝟎%}𝟒𝟎𝟎,𝟎𝟎

(9)

Capitalização Simples

O

É aquela em que a taxa de juros

incide somente sobre o capital

inicial, ou seja,

O

Não incide, pois, sobre os juros

(10)

Cálculo dos Juros Simples

O SEMPRE são aplicados sobre o Valor Presente(PV)

J = PV



i



n

Onde:

J = valor dos juros

PV = valor do capital inicial ou valor presente i= taxa de juros

(11)

J = PV



i



n

Sabendo-se que:

Logo:

FV = PV+J

e

FV = PV(1+ i



n)

Obs. A taxa(i) e o prazo(n), devem estar na mesma base. Como a taxa normalmente é imposta, ajusta-se o prazo.

(12)

(13)

EXERCÍCIO DE SALA 1

O Qual o valor dos juros correspondentes a um

empréstimo de R$ 10.000,00, pelo prazo de 5 meses, sabendo-se que a taxa cobrada é de 2% ao mês?

DADOS:

PV = R$ 10.000,00 i(%) = 2% am.

n = 5 meses J = ?

𝑱 = 𝑷𝑽. 𝒊. 𝒏

𝑱 = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝟎, 𝟎𝟐 ∙ 𝟓 𝑱 = 𝑹$ 𝟏. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎

(14)

EXERCÍCIO DE SALA 2

O Um capital de R$ 25.000,00, aplicado durante 7 meses, rende juros de R$ 7.875,00. Determine a taxa correspondente?

DADOS:

PV = R$ 25.000,00 i(%) = ?

n = 7 meses J = R$ 7.875,00

SOLUÇÃO

𝒊 = _{𝑷𝑽 ∙ 𝒏}𝑱

𝒊 = _{𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 ∙ 𝟕}𝟕𝟖𝟕𝟓, 𝟎𝟎

(15)

EXERCÍCIO DE SALA 3

O Uma aplicação de R$ 50.000,00 pelo prazo de 180

dias obteve um rendimento de R$ 8.250,00. Qual a taxa anual correspondente a essa aplicação?

DADOS:

PV = R$ 50.000,00 i (%) = ? anual

n = 180 dias

J = R$ 8.250,00

SOLUÇÃO: _{𝒊 =} 𝑱

𝑷𝑽 ∙ 𝒏

𝒊 = _{𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 ∙ 𝟏𝟖𝟎 𝒅𝒊𝒂𝒔}𝟖𝟐𝟓𝟎, 𝟎𝟎

𝒊 = _{𝟗𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎}𝟖𝟐𝟓𝟎, 𝟎𝟎

(16)

OUTRA SOLUÇÃO PARA O

EXERCÍCIO DE SALA 3

O Uma aplicação de R$ 50.000,00 pelo prazo de 180

dias obteve um rendimento de R$ 8.250,00. Qual a taxa anual correspondente a essa aplicação?

DADOS:

PV = R$ 50.000,00 i (%) = ? anual

n = 180 dias = 0,5 ano J = R$ 8.250,00

𝑷𝑽 ∙ 𝒏

𝒊 = _{𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 ∙ 𝟎, 𝟓 𝒂𝒏𝒐𝒔}𝟖𝟐𝟓𝟎, 𝟎𝟎

𝒊 = _{𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎}𝟖𝟐𝟓𝟎

(17)

EXERCÍCIO DE SALA 4

O Sabendo-se que os juros de R$ 6.000,00

foram obtidos com aplicação de R$ 7.500,00, à taxa de 8% at, pede-se que se calcule o prazo.

DADOS:

PV = R$ 7.500,00 i (%) = 8% at

n = ?

J = R$ 6.000,00

SOLUÇÃO: _{𝒏 =} 𝑱

𝑷𝑽 ∙ 𝒊

𝒏 = _{𝟕𝟓𝟎𝟎, 𝟎𝟎 ∙ 𝟎, 𝟎𝟖}𝟔𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎

𝒏 = 𝟔𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎_𝟔𝟎𝟎

(18)

EXERCÍCIO DE SALA 5

O

Qual o capital, que à taxa de 4% am,

rende juros de R$ 9.000,00 em 1 ano?

DADOS: PV = ?

i (%) = 4% am

n = 1 ano = 12 meses J = R$ 9.000,00

SOLUÇÃO: _{𝑷𝑽 =} 𝑱

𝒊 ∙ 𝒏

𝑷𝑽 = _{𝟎, 𝟎𝟒 ∙ 𝟏𝟐}𝟗𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎

𝑷𝑽 = 𝟗𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎_{𝟎, 𝟒𝟖}

(19)

EXERCÍCIO DE SALA 6

O

Um empréstimo de R$ 23.000,00 é

liquidado por R$ 29.200,00 no final de

152 dias. Calcular a taxa mensal de juros?

DADOS:

PV = 23.000,00 i (%) = ? mensal n = 152 dias

J = FV – PV = R$ 6.200,00

𝑷𝑽 ∙ 𝒏

𝒊 = _{𝟐𝟑𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 ∙ 𝟏𝟓𝟐 𝒅𝒊𝒂𝒔}𝟔. 𝟐𝟎𝟎, 𝟎𝟎

𝒊 = 𝟔. 𝟐𝟎𝟎, 𝟎𝟎_{𝟑𝟒𝟗𝟔𝟎𝟎𝟎}

(20)

EXERCÍCIO DE SALA 7

O

Calcular o montante da aplicação de um

capital R$ 8.000,00, pelo prazo de 12

meses, à taxa de 3% am?

DADOS:

PV = 8.000,00 i (%) = 3% am n = 12 meses FV = ?

SOLUÇÃO: _{𝑭𝑽 = 𝑷𝑽(𝟏 + 𝒊 ∙ 𝒏)}

𝑭𝑽 = 𝟖𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎(𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟑 ∙ 𝟏𝟐) 𝑭𝑽 = 𝟖𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎(𝟏 + 𝟎, 𝟑𝟔)

(21)

EXERCÍCIO DE SALA 8

O Determinar o valor atual de um título cujo valor de resgate é de R$ 60.000,00, sabendo-se que a taxa de juros é de 5% am e que faltam 4 meses para o seu vencimento?

DADOS: PV = ?

i (%) = 5% am n = 4 meses

FV = 60.000,00

SOLUÇÃO: _{𝑷𝑽 =} 𝑭𝑽

𝟏 + 𝒊 ∙ 𝒏

𝑷𝑽 = _{𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟓 ∙ 𝟒}𝟔𝟎. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎

𝑷𝑽 = 𝟔𝟎. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎_{𝟏 + 𝟎, 𝟐}

(22)

EXERCÍCIO DE SALA 9

O Sabendo-se que certo capital, aplicado durante

10 semestres, à taxa de 36% aa rende R$ 72.000,00 de juros. Determinar o Montante.

DADOS:

PV = não informado

i (%) = 36% aa = 18% as n = 10 semestres

J = R$ 72.000,00 FV = ?

SOLUÇÃO

𝑷𝑽 = _{𝒊 ∙ 𝒏}𝑱

𝑷𝑽 = 𝟕𝟐. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎_{𝟎, 𝟏𝟖 ∙ 𝟏𝟎}

𝑷𝑽 = 𝟕𝟐. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎_{𝟏, 𝟖}

𝑷𝑽 = 𝟒𝟎. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎

𝑪𝒐𝒎𝒐: 𝑭𝑽 = 𝑷𝑽 + 𝒋

𝑭𝑽 = 𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎+72000,00

(23)

DESCONTO SIMPLES

(ou COMERCIAL ou BANCÁRIO)

O

É aquele em que a taxa de

(24)

DESCONTO SIMPLES

(Onde é aplicado)

O

Desconto de Duplicata

O

Desconto de Nota Promissória

O

Desconto de cheque pré-datado

O

Desconto de boleto de cartão

(25)

DESCONTO SIMPLES

(como calcular)

O

Onde:

O

D = desconto

O

FV = valor futuro ou Montante

O

d = taxa de desconto

O

n = prazo

(26)

DESCONTO SIMPLES

[como calcular o valor presente(PV)]

O

Onde:

O

PV = valor presente

O

FV = valor futuro ou Montante

O

D = desconto

(27)

EXERCÍCIO DE SALA 1

DESCONTO SIMPLES

O

Qual o valor do desconto simples de um

título de R$ 2.000,00, com vencimento

para 90 dias, à taxa de 2,5% am?

Dados:

F V = R$ 2.000,00

n = 90 dias = 3 meses d = 2,5% am

D = ?

SOLUÇÃO

𝐃 = 𝐅𝐕 ∙ 𝐝 ∙ 𝐧

𝐃 = 𝟐𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 ∙ 𝟎, 𝟎𝟐𝟓 ∙3

(28)

EXERCÍCIO DE SALA 2

DESCONTO SIMPLES

O Qual a taxa mensal de desconto utilizada

numa operação de desconto a 120 dias, cujo valor de resgate é de R$ 1.000,00 e cujo valor atual é de R$ 880,00??

Dados:

F V = R$ 1.000,00 PV = R$ 880,00

n = 120 dias = 4 meses d = ?

SOLUÇÃO

𝐃 = 𝐅𝐕 − 𝐏𝐕

𝐃 = 𝟏𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 − 𝟖𝟖𝟎,𝟎𝟎 𝐃 = 𝑹$ 𝟏𝟐𝟎, 𝟎𝟎

(29)

EXERCÍCIO DE SALA 3

DESCONTO SIMPLES

Uma duplicata no valor de R$ 6.800,00 é descontada por um banco, gerando um crédito de R$ 6.000,00 na conta do cliente. Sabendo-se que a taxa cobrada pelo banco é de 3,2% am, determinar o prazo de vencimento da duplicata.

Dados:

F V = R$ 6.800,00 PV = R$ 6.000,00 d = 3,2% am

n = ?

SOLUÇÃO

𝐃 = 𝐅𝐕 − 𝐏𝐕

𝐃 = 𝟔. 𝟖𝟎𝟎, 𝟎𝟎 − 𝟔. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 𝐃 = 𝑹$ 𝟖𝟎𝟎, 𝟎𝟎

(30)

EXERCÍCIO DE SALA 4

DESCONTO SIMPLES

Calcular o valor líquido creditado na conta de um cliente, correspondente ao desconto de uma duplicata no valor de R$ 34.000,00, com prazo de 41 dias, sabendo-se que o banco está cobrando nessa operação uma taxa de desconto de 4,7% am.

Dados:

F V = R$ 34.000,00 PV = ?

d = 4,7% am

n = 41 dias  1,37 meses

Cálculo do desconto

𝐃 = 𝐅𝐕 ∙ 𝒅 ∙ 𝒏

𝐃 = 𝟑𝟒. 𝟎𝟎𝟎,𝟎𝟎 ∙ 𝟎, 𝟎𝟒𝟕 ∙ 𝟏, 𝟑𝟕

𝑷𝑽 = 𝑭𝑽 − 𝑫

𝐃 ≅ 𝑹$ 𝟐. 𝟏𝟖𝟗, 𝟐𝟔

Cálculo do valor presente

(31)

EXERCÍCIO DE SALA 5

DESCONTO SIMPLES

(32)

RESOLUÇÃO EXERCÍCIO DE SALA 5

DESCONTO SIMPLES

Dados: F V = ?

PV = 70.190,00 d = 5,2% am

n = 37 dias  1,23 meses

Cálculo do desconto

𝐃 = 𝐅𝐕 ∙ 𝒅 ∙ 𝒏

Como não temos o valor de FV e:

𝐃 = 𝐅𝐕 − 𝑷𝑽

Substituindo uma na outra:

𝐅𝐕 − 𝐏𝐕 = 𝐅𝐕 ∙ 𝒅 ∙ 𝒏 𝐅𝐕 = (𝐅𝐕 ∙ 𝒅 ∙ 𝒏) + 𝐏𝐕 𝐅𝐕 − (𝐅𝐕 ∙ 𝒅 ∙ 𝒏) = 𝐏𝐕

𝐅𝐕(𝟏 − 𝒅 ∙ 𝒏) = 𝐏𝐕 𝐅𝐕 = _{(𝟏 − 𝒅 ∙ 𝒏)}𝑷𝑽

𝐅𝐕 ≅ _{(𝟏 − 𝟎, 𝟎𝟓𝟐 ∙ 𝟏, 𝟐𝟑)}𝟕𝟎𝟏𝟗𝟎, 𝟎𝟎

𝐅𝐕 ≅ 𝟕𝟎𝟏𝟗𝟎,𝟎𝟎_{(𝟎, 𝟗𝟒)}

(33)