MAT 1108 - CD 5-matrizes determinates e sistemas

(1)

Uma matriz quadrada A de ordem n diz-se invertível, ou não singular, se, e somente se, existir uma matriz que indicamos por A–1, tal que:

A ⋅ A–1= A–1⋅ A = I_n onde I_né a matriz identidade de ordem n. Observação

Pode-se provar que:

1º-) Se A ⋅ A–1= I então A–1⋅ A = I.

2º-) A é invertível se, e somente se, det A ≠ 0. 3º-) det A–1₌

Exercícios

1. Determinar x de modo que a matriz seja invertível.

Devemos ter det A ≠ 0 ≠ 0 12 – 2x – 3 ≠ 0

2x ≠ 9 x ≠

2. Obtenha a matriz inversa da matriz:

I — det. A = 2 → (

∃

A– 1₎ II — seja A– 1₌ A

⋅

A– 1= I

→

⋅

= = a – c = 1 b – d = 0 2c = 0

∴

c = 0 2d = 1

∴

d = a – 0 = 1

∴

a = 1 b – = 0

∴

b = Resposta: A– 1₌ 1 0 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

⎤

⎥

⎦

1 0 0 1

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

a – c b – d 2c 2d

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

1 0 0 1

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

a b c d

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

1 – 1 0 2

⎡

⎢

⎣

⎤

⎥

⎦

a b c d

⎡

⎢

⎣

A=⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ 1 1 0 2 – 9 2

⏐

1 0 2 2 x 1 1 3 0

⏐

A= x ⎛ ⎝ ⎜ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟⎟ 1 0 2 2 1 1 3 0 1 det A

Aula 35

MATRIZ INVERSA

setor 1108

11080509 11080509-SP

(2)

3. Seja . O valor de x tal que det é: a) 1 d) 4 b) 2 e) 0 c) 3 det A– 1=

⇒

det A = x – 1 det A = = 15 – 3 x Assim: x – 1 = 15 – 3x 4x = 16

∴

x = 4

• Leia os itens 1 a 5, cap. 3.

• Resolva os exercícios 1 (a, b), 2, 3 e 4, série 3.

• Resolva os exercícios 5 a 7, série 3.

Tarefa Complementar Tarefa Mínima

Livro 1 — Unidade IV

Caderno de Exercícios — Unidade III

ORIENTAÇÃO DE ESTUDO

⎜

5 x 3 3

⎜

1 x – 1 A x – – 1 1 1 = A=⎛ x ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 5 3 3 I. NOÇÕES GERAIS 1. EQUAÇÃO LINEAR

Chamamos de equação linear nas incógnitas x₁, x₂, …, x_n, toda equação do tipo

a₁⋅ x₁+ a₂⋅ x₂+ … + a_n⋅ x_n= b onde,

a₁, a₂, …, a_nsão números quaisquer chamados coeficientes e b também é um número chamado termo independente.

2. SISTEMA LINEAR

É um conjunto de n (n ⭓1) equações lineares nas mesmas incógnitas. Exemplos: x + 2 y + 3 z = 14 1. x – 2 y + z = 1 3 x + z = 7 x + y – z = 0 2. 2 x – y + z = 0 x – y – z = 0 3. 2x + y + z = 1 3x – y – 7z = 4

Chamamos de sistema linear homogêneo aquele onde todos os termos independentes valem zero. É o caso do exemplo 2.

3. SOLUÇÃO DE UM SISTEMA

Chamamos de solução de um sistema linear, todo conjun-to ordenado de números (α1, α2, …, αn) que colocados, res-pectivamente, nos lugares de x₁, x₂, …, x_n fazem com que todas as equações fiquem sentenças verdadeiras (isto é, igual-dades numéricas).

Exemplo: No sistema

x + y = 7 x – y = 3

O conjunto (5, 2) é solução, pois ↓ ↓

x y 5 + 2 = 7 (V) 5 – 2 = 3 (V)

Porém, o conjunto (3, 4) não é solução, pois 3 + 4 = 7 (V)

3 – 4 = 3 (F)

4. CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA

Dado um sistema linear, se ele tiver pelo menos uma solução diremos que é possível, caso contrário diremos que é impossí-vel (ou que suas equações são incompatíveis).

Se o sistema for possível e tiver uma só solução chamare-mos o sistema de determinado.

Se o sistema for possível e tiver mais de uma solução cha-maremos o sistema de indeterminado.

Em resumo: determinado Possível Sistema indeterminado Impossível

Aula 36

SISTEMAS LINEARES — NOÇÕES GERAIS DE CRAMER

(3)

Exemplos: 1. O sistema

x + y = 10 x – y = 2

é possível e determinado, pois só admite a solução (6, 4). 2. O sistema

x – y = 0 3x – 3y = 0

é possível e indeterminado, pois admite as soluções (0, 0), (4, 4), (– 7, – 7), , (π, π), …, (α, α) … α ∈ ⺓ 3. O sistema x + y = 1 x + y = 2 é claramente impossível. 4. O sistema x + 2 y = 3 0 ⋅ x + 0 ⋅ y = 1

é impossível (a última equação nunca é satisfeita). OBSERVAÇÃO

O sistema homogêneo sempre admite solução (pelo menos a nula). Portanto o sistema homogêneo é sempre possível. Exemplo:

O sistema

3 x + 2 y + 5 z = 0 2 x + y – 4 z = 0

admite a solução nula (0, 0, 0), pois 3 ⋅ 0 + 2 ⋅ 0 + 5 ⋅ 0 = 0 (V) 2 ⋅ 0 + 0 – 4 ⋅ 0 = 0 (V) II. TEOREMA DE CRAMER

Consideremos o sistema linear a₁x + b₁y = c₁

a₂x + b₂y = c₂ Sejam,

o determinante da matriz dos coeficientes.

O teorema de Cramer afirma que:

“Se D ≠ 0, então o sistema linear é determinado e a solução única (x, y) é dada por

” Justificativa: O sistema linear a₁x + b₁y = c₁ I a₂x + b₂y = c₂ II de I : substituindo em II : a₂b₁x + b₂c₁– a₁b₂x = b₁c₂ (a₂b₁– a₁b₂) x = b₁c₂– b₂c₁ ou ainda: logo: , (D ≠ 0)

Substituindo em uma das equações teremos que , (D ≠ 0)

OBSERVAÇÃO:

O teorema que acabamos de verificar para sistemas de duas equações a duas incógnitas é válido também para qualquer sistema de n equações a n incógnitas (desde que, D ≠ 0).

O enunciado geral é:

“Se um sistema de n equações a n incógnitas tiver D ≠ 0, então ele será determinado e o valor de cada incógnita é dado por uma fração que tem D no denominador, e, no numerador, o de-terminante da matriz dos coeficientes, substituindo-se a coluna dos coeficientes da incógnita, pela coluna dos termos indepen-dentes do sistema.” y D D y = x D D x = x b c b c a b a b = 2 1 1 2 1 2 2 1 – – ⇒ =x b c b c a b a b 1 2 2 1 2 1 1 2 – – a x b c a x b c 2 2 1 1 1 2 + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟= – y c a x b = 1 1 1 – x D D e y D D x y = = .

o determinante da matriz de substituição dos termos independentes na 2ª- coluna. D y a c a c = 1 1 2 2

o determinante da matriz de substituição dos termos independentes na 1ª- coluna. D c b c b x = 1 1 2 2 D a b a b = 1 1 2 2 1 2 1 2 , ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟

(4)

Exercícios

1. Resolver, aplicando a regra de Cramer: x + y = 1 – 2 x + 3 y – 3 z = 2 x + z = 1 D = = 2 D_x= = _ 2 D_y= = 4 D_z= = 4 Logo, x = = – 1 y = = 2 z = = 2 S = {(– 1, 2, 2)}

2. Para que valores de m o sistema:

é possível e determinado? a) m ≠3 b) m ≠– 3 c) m ≠6 d) m = 6 e) ∀m, m ∈IR. Devemos ter: D ≠ 0 D = ≠ 0

∴

2m – 12 ≠ 0

∴

m ≠ 6

3. Resolver pela Regra de Cramer: (a ≠ b) D = = a – b Dx= = b – a = – (a – b) Dy= = a2_{– b}2_{= (a + b) (a – b)} x = = = – 1 y = = = a + b S = {(– 1, a + b)}

• Leia os itens 1, 2, 3, 5 e 6, cap. 4. • Resolva os exercícios 1, 2, 3 e 11, série 4.

Tarefa Complementar Tarefa Mínima

Livro 1 — Unidade IV

ORIENTAÇÃO DE ESTUDO (a + b) (a – b) a – b D_y D – (a – b) a – b D_x D ⏐ ⏐ ⏐ a b b a ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ b 1 a 1 ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ a 1 b 1 ⏐ ⏐ ⏐ ax + y = b bx + y = a ⏐ ⏐ ⏐ m 3 4 2 ⏐ ⏐ ⏐ mx + 3y = 7 4x + 2y = 9 ⎧ ⎨ ⎩ D_z D D_y D D_x D ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ 1 1 1 – 2 3 2 1 0 1 ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ 1 1 0 – 2 2 – 3 1 1 1 ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ 1 1 0 2 3 – 3 1 0 1 ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ 1 1 0 – 2 3 – 3 1 0 1 ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ ⎧ ⎨ ⎩ ⎧ ⎨ ⎩

(5)

SISTEMAS ESCALONADOS

1. DEFINIÇÃO

Consideremos um sistema linear onde, em cada equação há pelo menos um coeficiente não nulo. Diremos que o sistema está na forma escalonada (ou escalonado) se o número de coe-ficientes nulos, antes do primeiro coeficiente não nulo, aumen-ta de equação para equação.

Exemplos:

1)

2)

3)

2. RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA ESCALONADO

Há dois tipos de sistemas escalonados a considerar, ve-jamos quais são, e como se resolvem.

1º- tipo) Número de Equações Igual ao de Incógnitas Nesse caso, o sistema será determinado e cada incógnita é obtida resolvendo-se o sistema de “baixo para cima”.

Exemplo:

de III ⎯⎯→ z = 2

em II ⎯⎯→ 3y – 2 = 1 ⎯→ y = 1 em I ⎯⎯→ x + 2 + 2 = 4 → x = 0

Solução: (0, 1, 2)

2º- tipo) Número de Equações é Menor que o de Incóg-nitas

Nesse caso, escolhemos as incógnitas que não aparecem no começo de nenhuma equação (variáveis livres) e as transpomos para o 2º- membro.

Em seguida, para cada variável livre atribuímos um valor arbitrário e resolvemos o sistema nas incógnitas do 1º- membro. O fato de atribuirmos valores arbitrários a algumas das incógnitas faz com que o sistema tenha mais do que uma solução e seja, portanto, indeterminado.

Exemplo:

A única variável livre é z (não aparece no começo de ne-nhuma equação). Transpondo z para o 2º- membro, teremos

atribuindo a z um valor arbitrário α, teremos

então,

II ⎯→ y = 2 + α

em I ⎯→ x – (2 + α) = 4 – α →x = 6

Portanto, as soluções do sistema são as triplas ordenadas (6; 2 + α; α), onde αé um número qualquer (real ou complexo). Eis algumas: α= 1 ⎯→ (6; 3; 1) α= – 6 ⎯→ (6; – 4; – 6) α= 0 ⎯→ (6; 2; 0) 3. ESCALONAMENTO DE UM SISTEMA A) Sistemas Equivalentes

Dados dois sistemas lineares S₁e S₂, diremos que eles são equivalentes se tiverem o mesmo conjunto solução.

Exemplo:

e

são equivalentes, pois ambos são determinados (D ≠ 0) e ad-mitem como solução

Já que sistemas equivalentes têm as mesmas soluções, o que iremos fazer é transformar um sistema linear qualquer num ou-tro equivalente, porém na forma escalonada. Isto, porque siste-mas escalonados são fáceis de se resolverem.

Precisamos então saber que recursos usar para transformar um sistema S₁num outro equivalente S₂, na forma escalonada.

Os recursos são os teoremas que veremos a seguir. – ;1 3 5 3 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ S x y y 2 2 3 3 5 + = = ⎧ ⎨ ⎩⎪– – S x y x y 1 2 3 2 1 + = + = ⎧ ⎨ ⎩⎪ x y y – = – = + ⎧ ⎨ ⎩⎪ 4 2 α α x y z y z – = – = + ⎧ ⎨ ⎩⎪ 4 2 x y z y z – – + = = ⎧ ⎨ ⎩⎪ 4 2 I II III x y z y z z + + = = = ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ 2 4 3 1 3 6 – x y z y z + + = = ⎧ ⎨ ⎩⎪ 5 0 – 4 1 0 2 1 x y z t z t t – – – + + + = + = = ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ w w w x y z y z z + + = = = ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ 3 1 4 2 5 –

Aulas 37 e 38

SISTEMAS LINEARES — SISTEMAS ESCALONADOS — ESCALONAMENTO

II I

(6)

Exemplo: Os sistemas

e

são equivalentes, pois S’ foi obtido a partir de S, substituindo a 2ª- equação de S, pela soma membro a membro, dela com a 1ª-. B) Escalonamento de um Sistema

Para escalonarmos um sistema, teremos que seguir vários passos, todos eles baseados nos teoremas 1 e 2.

Solução, de “baixo para cima”

z = 2, y = 3, x = 1 ∴ S = {(1, 3, 2)}

OBSERVAÇÃO

Se durante o escalonamento ocorrer: 1º-) Uma equação do tipo

0 ⋅x₁+ 0 ⋅x₂+ … + 0 ⋅x_n= b (b ≠ 0) então, o sistema será impossível, pois esta equação nunca será satisfeita.

2º-) Uma equação do tipo

0 ⋅x₁+ 0 ⋅x₂+ … + 0 ⋅x_n= 0

esta equação poderá ser suprimida do sistema, pois ela é veri-ficada por quaisquer valores das incógnitas.

Exercícios

1. Classificar e resolver os sistemas:

a) O sistema é SPD III 3z = 6

∴

z = 2 II y – 2 = – 1

∴

y = 1 I x – 1 + 2 = 6

∴

x = 5 S = {(5, 1, 2)} b) O sistema é SPI Variável livre: z =

α

,

∀α

II y +

α

= 1

∴

y = 1 –

α

I x – 1 +

α

+ 2

α

= 2

∴

x = 3 – 3

α

S = {(3 – 3

α

, 1 –

α

,

α

),

∀ α

}

a) x + y + z = 6 (– 2) (1) 2 x + 3 y + 4 z = 20 + – x + y + 2 z = 7 + x + y + z = 6 0 + y + 2 z = 8 (– 2) 0 + 2 y + 3 z = 13 + x + y + z = 6 0 + y + 2 z = 8 0 + 0 – z = – 3 (III) → z = 3 (II): y + 2

⋅

3 = 8 → y = 2 (I): x + 2 + 3 = 6 → x = 1 S = {(1, 2, 3)} SPD x y z x y z x y z + + = + + = + + = ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ 6 2 3 4 20 2 7 – x y z y z – + = + = ⎧ ⎨ ⎩⎪ 2 2 1 x y z y z z – – – + = = = ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ 6 1 3 6 x y z y z z + + = + = = ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ 2 9 5 2 4 x y z y z y z + + = + = = ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ 2 9 5 7 7 5 31 ( ) – – – x y z y z y z + + = = = ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ 2 9 3 3 15 1 3 7 5 31 – – – (– / ) – – – x y z y z x y z + + = = = ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ 2 9 3 3 3 15 3 2 4 (– ) – – – – – – x y z x y z x y z + + = + = = ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ 2 9 2 2 3 3 2 4 (– ) – – – – S x y y ’ 2 4 4 12 + = = ⎧ ⎨ ⎩⎪ S x y x y 2 4 2 3 8 + = + = ⎧ ⎨ ⎩⎪– TEOREMA 2

Se substituirmos uma equação de um sistema S, pela soma membro a membro, dela com uma outra multiplicada por um número obteremos um sistema S’ equivalente a S. TEOREMA 1

Multiplicando-se os membros de uma equação qualquer de um sistema S, por um número k ≠ 0, o novo sistema S’ será equivalente a S. + + +

(7)

b) x – y + z = 2 (– 2) (– 3) 2 x + y + z = 1 3 x + 0 y + 2 z = 5 x – y + z = 2 0 + 3 y – z = – 3 (– 1) 0 + 3 y – z = – 1 x – y + z = 6 0 + 3 y – z = – 3 0 + 0 + 0 = 2 (falso) SI S =

∅

c) 2 x + y + z = 1 (– 1) 0 + y – z = 1 2 x + 2 y + 0 = 2 + 2 x + y + z = 1 0 + y – z = 1 (– 1) 0 + y – z = 1 + (I) 2 x + y + z = 1 (II) 0 + y – z = 1 0 + 0 + 0 = 0 Variável livre: z =

α

,

∀α

(II): y –

α

= 1

∴

y = 1 +

α

(I): 2x + 1 +

α

+

α

= 1 2x = – 2

α

x = –

α

SPI S = {(–

α

, 1 +

α, α

),

∀α

}

a) x + y = – 1 (– 2)

⋅

(– 4) 2 x + y = 0 4 x + 3 y = – 2 x + y = – 1 – y = 2 (– 1) – y = 2 x + y = – 1 – y = 2 0 = 0

Como o número de equações na forma escalonada é igual ao número de incógnitas: SPD. II y = – 2 I x – 2 = – 1

∴

x = 1 S = {(1, – 2)} b) x – y + 2 z = 1 (– 3) 3 x – 2 y + 6 z = 4 x – y + 2 z = 1 y + 0 z = 1

Como o número de equações na forma escalonada é menor que o número de incógnitas: SPI.

Variável Livre: z =

α

,

∀α

II y = 1

I x – 1 + 2

α

= 1

∴

x = 2 – 2

α

S = {(2 – 2

α

, 1,

α

),

∀α

}

• Leia o item 4, cap. 4.

• Resolva os exercícios 7, 17 e 18, série 4.

• Resolva os exercícios 8, 19 e 20, série 4.

• Resolva os exercícios 25, 26, 27, 29 e 30, série 4. AULA 38 AULA 37 Tarefa Complementar AULA 38 AULA 37 Tarefa Mínima Livro 1 — Unidade IV

ORIENTAÇÃO DE ESTUDO x y z x y z – – + = + = ⎧ ⎨ ⎩⎪ 2 1 3 2 6 4 x y x y x y + = + = + = ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ – – 1 2 0 4 3 2 2 1 1 2 2 2 x y z y z x y + + = = + = ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ – 2 1 2 3 2 5 x y z x y z x z + + = + = + = ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ –

(8)

1. DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR

Discutir um sistema linear em função de um ou mais pa-râmetros significa dizer para que valores do(s) parâmetro(s) o sistema é

a) determinado b) indeterminado c) impossível Exemplos:

a) Número de equações igual ao número de incógnitas. Vamos discutir em função de m o sistema

m x + y = 1 x + m y = 1

Sabemos pelo Teorema de Cramer que se D ≠ 0, então o sistema é possível e determinado. Logo:

D ≠ 0 ⇔ m2_{– 1}_{≠ 0}⇔ _m_{≠ 1 e m ≠ – 1}

Resta analisar o que acontece com o sistema para m = 1 e m = – 1. Temos:

m = 1 o sistema será x + y = 1 x + y = 1

Escalonando-o obteremos { x + y = 1 que é um sistema indeterminado.

m = – 1 o sistema será – x + y = 1 x – y = 1 Escalonando-o obteremos – x + y = 1

0 ⋅x + 0 ⋅y = 2 que é um sistema impossível.

Em resumo

m ≠ 1 e m ≠ –1 ⎯⎯⎯→ sistema determinado m = 1 ⎯⎯⎯⎯⎯→ sistema indeterminado m = – 1 ⎯⎯⎯⎯⎯→ sistema impossível b) Número de equações diferentes do número de incógnitas.

1) Discutir segundo m o sistema: x + m y – z = 1 3 x + 2y – 3z = 4 Resolução: x + my – z = 1 ⋅ (– 3) 3 x + 2 y – 3z = 4 + x + m y – z = 1 0 + (2 – 3 m) y + 0z = 1 Da 2ª- equação temos:

2 – 3m ≠ 0 ⇒ sistema possível indeterminado 2 – 3m = 0 ⇒ sistema impossível

isto é:

sistema possível indeterminado sistema impossível

2) Discutir segundo m o sistema: x – 2 y = 3 2 x + y = 1 m x – y = 2 Resolução: x – 2 y = 3 ⋅(– 2) ⋅(– m) 2 x + y = 1 + m x – y = 2 + x – 2y = 3 0 + 5 y = – 5 0 + (2 m – 1) y = 2 – 3 m x – 2 y = 3 ⎯⎯⎯⎯→x = 1 0 + y = – 1 ⎯⎯⎯→y↑= – 1 0 + (2 m – 1) y = 2 – 3 m

Substituindo y = – 1 na última equação temos: (2 m – 1) (– 1) = 2 – 3 m

m = 1 isto é:

m = 1 ⇒ sistema possível determinado m ≠ 1 ⇒ sistema impossível

Exercícios

1. Discutir em função de k o sistema k x + y = 1 2 x + y = 3 D ≠ 0 ⇔ ≠ 0 ⇔ k ≠ 2 ∴ (SPD) Se k ≠ 2

→

SPD Se k = 2 2 x + y = 1 (– 1) 2x + y = 3 2x + y = 1 Resposta: k ≠ 2

⇒

SPD 0 + 0 = 2 (falso) k = 2

⇒

SI ⏐ ⏐ ⏐ k 1 2 1 ⏐ ⏐ ⏐ m m ≠ = ⎧ ⎨ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⇒ ⇒ 2 3 2 3 D m 1 1 m m – 1 (raízes 1ou –1) 2 = =

Aulas 39 e 40

SISTEMAS LINEARES — DISCUSSÃO

(9)

2. Discutir em função de k o sistema: D ≠ 0 ⇔ ≠ 0

⇔

k2– 1 ≠ 0

⇔

k≠ 1 e k ≠ –1 k = 1 x + y = 1 (– 1)

∴

x + y = 1 SPI x + y = 1 + 0 = 0 k = – 1 – x + y = 1 ( 1 ) x – y = 1 + – x + y = 1 0 + 0 = 2 SI k ≠ 1 e k ≠ –1

⇒

SPD Resposta: k = 1

⇒

SPI k = – 1

⇒

SI 3. Discutir em função de m: D ≠ 0

⇔

≠ 0 2 + m + m2_{– 1 – 2 m – m}2≠ 0

⇔

_m

≠

₁ x + y + z = 1 (– 1) (– 1) Se m = 1 x + y + z = 0 x + y + 2 z = 1 x + y + z = 1 0 + 0 + 0 = – 1 (falso) SI 0 + 0 + z = 0 Resposta: m ≠ 1

⇒

SPD m = 1

⇒

SI

4. Discutir em função de a o sistema:

x – y = 2 (– 2) (– 1) 2 x – y = 5 x + y = a (1) x – y = 2 x – y = 2 (2) 0 + y = 1 (– 2)

∴

y = 1 (3) 0 + 2 y = a – 2 + 0 = a – 4 Resposta: a = 4

⇒

SPD a ≠ 4

⇒

SI

2. SISTEMAS LINEARES HOMOGÊNEOS

Sistemas lineares homogêneos são aqueles onde todos os termos independentes valem zero. Isto é:

a₁₁x₁+ a₁₂x₂+ … + a_1nx_n= 0 S a₂₁x₁+ a₂₂x₂+ … + a_2nx_n= 0

a_m1x₁+ a_m2x₂+ … + a_mnx_n= 0

Este tipo de sistema admite sempre a solução (α1, α2, …., αn) onde αi= 0 ∀i ∈ {1, 2, …, n} chamada solução nula, trivial ou imprópria.

PORTANTO OS SISTEMAS HOMOGÊNEOS SÃO SEMPRE POSSÍVEIS. Se o sistema for determinado, apresentará apenas uma solução (a nula); se for indeterminado apresentará, além da solução nula, outras soluções diferentes da nula, que são chamadas próprias.

OBSERVAÇÃO (VÁLIDA SOMENTE PARA SISTEMAS HOMOGÊNEOS)

Se o sistema homogêneo tiver n equações e n incógnitas, então, usando o teorema de Cramer, teremos

D ≠ 0 ⇔ sistema possível e determinado D = 0 ⇔ sistema possível e indeterminado

Exercícios

5. Discutir em função de k o sistema:

O sistema é homogêneo

– 3k – 2 4 6 –k 4 = 6 – k + 4 – 3k – 2 + 4 = – 4k + 12 Então: – 4k + 12 = 0 → k = 3

Resposta: k ≠ 3

⇒

SPD

(isto é, somente sol. trivial) k = 3

⇒

SPI

(além do trivial, outras soluções chamadas próprias) 1 –1 2 3 k 2 ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ 1 – 1 1 2 3 1 k 2 2 ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ x – y + z = 0 2x + 3y + z = 0 kx + 2y + 2z = 0

⎧

⎨

⎩

x – y = 2 2 x – y = 5 x + y = a

⎧

⎨

⎩

⏐ ⏐ ⏐ ⏐ 1 1 1 m 1 m 1 m 2 ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ x + y + z = 1 m x + y + m z = 0 x + m y + 2 z = 1

⎧

⎨

⎩

⏐ ⏐ ⏐ k 1 1 k ⏐ ⏐ ⏐ kx + y = 1 x + ky = 1 ⎧ ⎨ ⎩ (SPD) (SPD)

(10)

6. (FUVEST) O sistema linear é indeterminado para: a) todo m real b) nenhum m real c) m = 1 d) m = – 1 e) m = 0

Como o sistema é homogêneo, basta D = 0 = 0

1 – m – 1 = 0

∴

m = 0

• Resolva os exercícios 38, 40, 41 e 42, série 4.

• Resolva os exercícios 46 a 48, série 4. AULA 40 AULA 39 Tarefa Complementar AULA 40 AULA 39 Tarefa Mínima Livro 1 — Unidade IV

ORIENTAÇÃO DE ESTUDO ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ 1 1 1 1 0 1 0 1 m ⏐ ⏐ ⏐ ⏐ x + y + z = 0 x + z = 0 y + m z = 0

⎧

⎨

⎩