PO-3-Fluxo de custo mínimo

Problema de Fluxo de Custo

Mínimo

Definição

●

Dado um grafo G(V,E) com arestas capacitadas

e com custo não nulo. Encontrar o modo de

transferir f unidades de fluxo por G de modo

que o custo total seja mínimo, sem violar a

capacidade das arestas.

Modelagem matemática

●

Seja c

ij

o custo de transmitir uma unidade de fluxo

pela arco (i,j)

●

Seja u

ij

a capacidade do arco (i,j)

●

Seja x

ij

a quantidade de fluxo que passa pelo arco (i,j)

●

Seja r

ij

a capacidade residual do arco (i,j) (u

ij

-x

ij

ou x

ij

)

●

Seja b

i

a oferta (+) ou demanda (-) de fluxo dos

vértices

●

Condição:

∑

i∈V

Modelagem matemática

Minimizar

_∑

(i , j)∈E

c

_ij

x

_ij

Sujeito a

∑

j :(i , j)∈ E

x

_ij

−

∑

j :( j , i)∈E

x

_ji

=

b

_i

, ∀ i∈V

0≤ x

_ij

≤

u

_ij

∀ (

i , j)∈E

Algoritmo de Caminhos mínimos

sucessivos

●

Sucessive Shortest Path ou ssp

●

Utiliza várias vezes o algoritmo de caminhos

mínimos

●

Permite inviabilidade no equilíbrio de fluxo dos

nós, e vai removendo estas inviabilidades a

cada iteração

Definições adicionais

●

e(i) – desbalanceamento do nó i

●

cp

ij

– custo reduzido do arco (i,j)

●

p(i) – potencial do vértice i (neste caso o potencial está

ligado à distância do vértice a partir da fonte do fluxo)

●

d(i) distância da origem do fluxo até o vértice i

●

Seja Gr(G,X) a rede residual definida por um grafo G e um

fluxo X

e(i)=b

_i

+

∑

j :( j ,i)∈E

x

_ji

−

∑

j :( j ,i)∈ E

x

_ij

cp

_ij

=

c

_ij

−

p(i)+ p( j)

Definições adicionais

●

S – Conjunto de vértices com desbalanceamento

positivo

–

S = {i: e(i)>0}

●

T – Conjunto de vértices com desbalanceamento

negativo

–

T={i:e(i)<0}

●

Condição: não pode haver desequilíbrio de

demanda/oferta na rede. A soma das demandas e

ofertas deve ser igual a zero

Algoritmo SSP

Algoritmo SSP(Grafo G, Fluxo X, Conjunto S, Conjunto T)

Início

X[i][j] = 0 para todo i, j em G.V

p(i) = 0 para todo i em G.V

e(i) = b

_i

para todo i em G.V

Inicialize os conjuntos S = {i: e(i)>0} e T={i:e(i)<0}

enquanto ( !vazio(S) ) faça

Algoritmo SSP

Selecione um vértice l de T

Determine as distâncias mínimas d(j) em Gr(G,X)

de k para todos os outros j usando cp

_ij

Determine o caminho mínimo SP entre k e l

Atualize p(i)=p(i)-d(i) para todo i

alpha = min(e(k), -e(l), min(r

_ij

: (i,j) pertence a SP))

aumente alpha unidades de fluxo em SP

atualize X, Gr(G,X), os custos cp

_ij,

e(k), e(l), S e T

Exemplo

3 1 2 4 2,4 2,2 3,3 1,5 1,2 Custo,capacidade

Exemplo

3 1 2 4 2,4 2,2 3,3 1,5 1,2 cp ,capacidade residual E(1)=4 p(1)=0 E(4)=-4 p(4)=0 E(2)=0 p(2)=0 E(3)=0 p(3)=0

Exemplo

3 1 2 4 2,4 2,2 3,3 1,5 1,2 cp ,capacidade residual E(1)=4 p(1)=0 E(4)=-4 p(4)=0 E(2)=0 p(2)=0 E(3)=0 p(3)=0 S={1} _T={4}

Exemplo

3 1 2 4 2,4 2,2 3,3 1,5 1,2 cp ,capacidade residual E(1)=4 p(1)=0 E(4)=-4 p(4)=0 E(2)=0 p(2)=0 E(3)=0 p(3)=0 S={1} _T={4} d={0,2,2,3}

Exemplo

3 1 2 4 2,4 2,2 3,3 1,5 1,2 cp ,capacidade residual E(1)=4 p(1)=0 E(4)=-4 P(4)=-3 E(2)=0 P(2)=-2 E(3)=0 P(3)=-2 S={1} _T={4} d={0,2,2,3}

Exemplo

3 1 2 4 2,4 2,2 3,3 1,5 1,2 cp ,capacidade residual E(1)=4 p(1)=0 E(4)=-4 P(4)=-3 E(2)=0 P(2)=-2 E(3)=0 P(3)=-2 S={1} _T={4} d={0,2,2,3} SP = 1->3->4 alpha =2

Exemplo

3 1 2 4 2,4 2,0 3,3 1,3 1,2 cp ,capacidade residual E(1)=4 p(1)=0 E(4)=-4 P(4)=-3 E(2)=0 P(2)=-2 E(3)=0 P(3)=-2 S={1} _T={4} d={0,2,2,3} SP = 1->3->4 alpha =2 -2,2 -1,2

Exemplo

3 1 2 4 0,4 2,3 0,3 1,2 cp ,capacidade residual E(1)=2 p(1)=0 E(4)=-2 P(4)=-3 E(2)=0 P(2)=-2 E(3)=0 P(3)=-2 S={1} _T={4} 0,2 0,2 X={(1->3,2), (3->4,2)}

Exemplo

3 1 2 4 0,4 2,3 0,3 1,2 cp ,capacidade residual E(1)=2 p(1)=0 E(4)=-2 P(4)=-3 E(2)=0 P(2)=-2 E(3)=0 P(3)=-2 S={1} _T={4} 0,2 0,2 d={0,0,1,1} X={(1->3,2), (3->4,2)}

Exemplo

3 1 2 4 0,4 2,3 0,3 1,2 cp ,capacidade residual E(1)=2 p(1)=0 E(4)=-2 P(4)=-4 E(2)=0 P(2)=-2 E(3)=0 P(3)=-3 S={1} _T={4} 0,2 0,2 d={0,0,1,1} SP = 1->2->3->4 alpha =2 X={(1->3,2), (3->4,2)}

Exemplo

3 1 2 4 0,2 2,3 0,1 -1,2 cp ,capacidade residual E(1)=2 p(1)=0 E(4)=-2 P(4)=-4 E(2)=0 P(2)=-2 E(3)=0 P(3)=-3 S={1} _T={4} X={(1->3,2), (3->4,2)} 0,2 0,4 d={0,0,1,1} 0,2 SP = 1->2->3->4 alpha =2

Exemplo

3 1 2 4 0,2 1,3 0,1 0,2 cp ,capacidade residual E(1)=0 p(1)=0 E(4)=0 P(4)=-4 E(2)=0 P(2)=-2 E(3)=0 P(3)=-3 S={} _T={} X={(1->3,2), (1->2,2), (2->3,2), (3->4,4)} 0,2 0,4 0,2

Algoritmo Escala de Capacidades

Seja Gr(G,x,delta) uma rede residual de um

grafo G com fluxo x, em que os arcos possuem

capacidade no mínimo delta. Neste caso a rede

Gr(G,x,1) é a rede residual tradicional

Algoritmo Escala de Capacidades

Algoritmo escalaCapacidades(Fluxo x, Grafo G,

Vértice s, Vértice t)

Início

x[i][j]=0 para todo i,j em G.V

p(i)=0 para todo i em G.V

delta= 2^piso(ln(max(u

_ij

:(i,j) pertence a G.E))

defina Gr(G,x,delta)

Algoritmo Escala de Capacidades

Para cada (i,j) em Gr(G,X) Faça

Se(r

_ij

>=delta & cp

_ij

<0) Então

Passe r

_ij

unidades de fluxo em (i,j)

Atualize X e e(i) para todo i

fim se

fim para

S(delta) = {i: e(i)>=delta}

T(delta) = {i: e(i)<=-delta}

Algoritmo Escala de Capacidades

Enquanto(!vazio(S(delta)) &

!vazio(T(delta))) Faça

Selecione um vértice k de S(delta)

Selecione um vértice l de T(delta)

Determine d(j) para todo j partindo de k

em Gr(G,X,delta) observando cp

_ij

Seja P o caminho mínimo de k para l

em Gr(G,X,delta)

Algoritmo Escala de Capacidades

Atualize p(i)=p(i)-d(i) para todo i em G.V

Aumente delta unidades no fluxo de P

Atualize X, S(delta), T(Delta), Gr(X,delta)

Fim Enquanto

delta=delta/2

Fim Enquanto

Fim

Exemplo

3 1 2 4 2,35 4,15 5,50 2,64 7,5 Custo,capacidade 5 10,40 2,20

Exemplo

3 1 2 4 2,35 4,15 5,50 2,64 7,5 Cp,capacidade e(1)=40 p(1)=0 e(4)=-40 p(4)=0 e(2)=0 p(2)=0 e(3)=0 p(3)=0 5 e(5)=0 p(5)=0 10,40 2,20

Exemplo

3 1 2 4 2,35 5,50 2,64 Cp,capacidade e(1)=40 p(1)=0 e(4)=-40 p(4)=0 e(2)=0 p(2)=0 e(3)=0 p(3)=0 5 e(5)=0 p(5)=0 10,40 2,20 Delta = 16 S={1} T={4}

Exemplo

3 1 2 4 2,35 5,50 2,64 Cp,capacidade e(1)=40 p(1)=0 e(4)=-40 p(4)=0 e(2)=0 p(2)=0 e(3)=0 p(3)=0 5 e(5)=0 p(5)=0 10,40 2,20 Delta = 16 S={1} T={4}

Exemplo

3 1 2 4 2,35 5,50 2,64 Cp,capacidade e(1)=40 p(1)=0 e(4)=-40 p(4)=0 e(2)=0 p(2)=0 e(3)=0 p(3)=0 5 e(5)=0 p(5)=0 10,40 2,20 Delta = 16 S={1} T={4} l=4

Exemplo

3 1 2 4 2,35 5,50 2,64 Cp,capacidade e(1)=40 p(1)=0 e(4)=-40 P(4)=-7 e(2)=0 P(2)=-2 e(3)=0 P(3)=-19 5 e(5)=0 P(5)=-17 10,40 2,20 Delta = 16 S={1} T={4} l=4

Exemplo

3 1 2 4 0,35 0,50 14,64 Cp,capacidade e(1)=40 p(1)=0 e(4)=-40 P(4)=-7 e(2)=0 P(2)=-2 e(3)=0 P(3)=-19 5 e(5)=0 P(5)=-17 0,40 0,20 Delta = 16 S={1} T={4} l=4

Exemplo

3 1 2 4 0,19 0,34 14,64 Cp,capacidade e(1)=24 p(1)=0 e(4)=-24 P(4)=-7 e(2)=0 P(2)=-2 e(3)=0 P(3)=-19 5 e(5)=0 P(5)=-17 0,40 0,20 Delta = 16 S={1} T={4} l=4 0,16 0,16 X={(1-2,16), (2-4,16)}

Exemplo

3 1 2 4 0,19 0,34 14,64 Cp,capacidade e(1)=24 p(1)=0 e(4)=-24 P(4)=-7 e(2)=0 P(2)=-2 e(3)=0 P(3)=-19 5 e(5)=0 P(5)=-17 0,40 0,20 Delta = 16 S={1} T={4} l=4 0,16 0,16 X={(1-2,16), (2-4,16)}

Exemplo

3 1 2 4 0,3 0,18 14,64 Cp,capacidade e(1)=24 p(1)=0 e(4)=-24 P(4)=-7 e(2)=0 P(2)=-2 e(3)=0 P(3)=-19 5 e(5)=0 P(5)=-17 0,40 0,20 Delta = 16 S={1} T={4} l=4 0,32 0,32 X={(1-2,32), (2-4,32)}

Exemplo

3 1 2 4 0,18 14,64 Cp,capacidade e(1)=8 p(1)=0 e(4)=-8 P(4)=-7 e(2)=0 P(2)=-2 e(3)=0 P(3)=-19 5 e(5)=0 P(5)=-17 0,40 0,20 Delta = 16 S={} T={} 0,32 0,32 X={(1-2,32), (2-4,32)}

Exemplo

3 1 2 4 0,18 14,64 Cp,capacidade e(1)=8 p(1)=0 e(4)=-8 P(4)=-7 e(2)=0 P(2)=-2 e(3)=0 P(3)=-19 5 e(5)=0 P(5)=-17 0,40 0,20 Delta = 16/2=8 0,32 0,32 X={(1-2,32), (2-4,32)} -15,15

Exemplo

3 1 2 4 0,18 14,64 Cp,capacidade e(1)=8 p(1)=0 e(4)=-8 P(4)=-7 e(2)=0 P(2)=-2 e(3)=0 P(3)=-19 5 e(5)=0 P(5)=-17 0,40 0,20 Delta = 8 0,32 0,32 X={(1-2,32), (2-4,32)} -15,0 15,15

Exemplo

3 1 2 4 0,18 14,64 Cp,capacidade E(1)=-7 p(1)=0 e(4)=-8 P(4)=-7 e(2)=0 P(2)=-2 e(3)=15 P(3)=-19 5 e(5)=0 P(5)=-17 0,40 0,20 Delta = 8 0,32 0,32 X={(1-2,32), (1-3,15), (2-4,32)} 15,15 T={4} S={3}

Exemplo

3 1 2 4 0,18 14,64 Cp,capacidade E(1)=-7 p(1)=0 e(4)=-8 P(4)=-7 e(2)=0 P(2)=-2 e(3)=15 P(3)=-19 5 e(5)=0 P(5)=-17 0,40 0,20 Delta = 8 0,32 0,32 X={(1-2,32), (1-3,15), (2-4,32)} 15,15 S={3} T={4}

Exemplo

3 1 2 4 0,18 0,64 Cp,capacidade E(1)=-7 P(1)=-14 e(4)=-8 P(4)=-21 e(2)=0 P(2)=-16 e(3)=15 P(3)=-19 5 e(5)=0 P(5)=-41 0,40 24,20 Delta = 8 0,32 0,32 X={(1-2,32), (1-3,15), (2-4,32)} 1,15 S={3} T={4} l=4

Exemplo

3 1 2 4 0,18 0,64 Cp,capacidade E(1)=-7 P(1)=-14 e(4)=-8 P(4)=-21 e(2)=0 P(2)=-16 e(3)=15 P(3)=-19 5 e(5)=0 P(5)=-41 0,40 24,20 Delta = 8 0,32 0,32 X={(1-2,32), (1-3,15), (2-4,32)} 1,15 S={3} T={4} l=4

Exemplo

3 1 2 4 0,18 0,56 Cp,capacidade E(1)=-7 P(1)=-14 e(4)=-8 P(4)=-21 e(2)=0 P(2)=-16 e(3)=15 P(3)=-19 5 e(5)=0 P(5)=-41 0,40 24,20 Delta = 8 0,32 0,32 X={(1-2,32), (1-3,15), (2-4,32)} 1,15 S={3} T={4} l=4 0,8

Exemplo

3 1 2 4 0,18 0,56 Cp,capacidade E(1)=-7 P(1)=-14 e(4)=0 P(4)=-21 e(2)=0 P(2)=-16 e(3)=7 P(3)=-19 5 e(5)=0 P(5)=-41 0,40 24,20 Delta = 8 0,32 0,32 X={(1-2,32), (1-3,15), (2-4,32), (3-4,8)} 1,15 S={} T={} 0,8

Exemplo

3 1 2 4 0,18 0,56 Cp,capacidade E(1)=-7 P(1)=-14 e(4)=0 P(4)=-21 e(2)=0 P(2)=-16 e(3)=7 P(3)=-19 5 e(5)=0 P(5)=-41 0,40 24,20 Delta = 8/2=4 0,32 0,32 X={(1-2,32), (1-3,15), (2-4,32), (3-4,8)} 1,15 0,8 4,5

Exemplo

3 1 2 4 0,18 0,56 Cp,capacidade E(1)=-7 P(1)=-14 e(4)=0 P(4)=-21 e(2)=0 P(2)=-16 e(3)=7 P(3)=-19 5 e(5)=0 P(5)=-41 0,40 24,20 Delta =4 0,32 0,32 X={(1-2,32), (1-3,15), (2-4,32), (3-4,8)} 1,15 0,8 4,5

Exemplo

3 1 2 4 0,18 0,56 Cp,capacidade E(1)=-7 P(1)=-14 e(4)=0 P(4)=-21 e(2)=0 P(2)=-16 e(3)=7 P(3)=-19 5 e(5)=0 P(5)=-41 0,40 24,20 Delta =4 0,32 0,32 X={(1-2,32), (1-3,15), (2-4,32), (3-4,8)} 1,15 S={3} T={1} 0,8 4,5

Exemplo

3 1 2 4 0,22 0,52 Cp,capacidade E(1)=-7 P(1)=-14 e(4)=0 P(4)=-21 e(2)=0 P(2)=-16 e(3)=7 P(3)=-19 5 e(5)=0 P(5)=-41 0,40 24,20 Delta =4 0,28 0,28 X={(1-2,32), (1-3,15), (2-4,32), (3-4,8)} 1,15 S={3} T={1} 0,12 4,5 0,7 l=1

Exemplo

3 1 2 4 0,22 0,52 Cp,capacidade E(1)=-3 P(1)=-14 e(4)=0 P(4)=-21 e(2)=0 P(2)=-16 e(3)=3 P(3)=-19 5 e(5)=0 P(5)=-41 0,40 24,20 Delta =4 0,28 0,28 X={(1-2,28), (1-3,15), (2-4,28), (3-4,12)} 1,15 S={} T={} 0,12 4,5 0,7

Exemplo

3 1 2 4 0,24 0,50 Cp,capacidade E(1)=-3 P(1)=-14 e(4)=0 P(4)=-21 e(2)=0 P(2)=-16 e(3)=3 P(3)=-19 5 e(5)=0 P(5)=-41 0,40 24,20 Delta =4/2=2 0,26 0,26 X={(1-2,28), (1-3,15), (2-4,28), (3-4,12)} 1,15 S={3} T={1} 0,14 4,5 0,9 l=1

Exemplo

3 1 2 4 0,24 0,50 Cp,capacidade E(1)=-1 P(1)=-14 e(4)=0 P(4)=-21 e(2)=0 P(2)=-16 e(3)=1 P(3)=-19 5 e(5)=0 P(5)=-41 0,40 24,20 Delta =2 0,26 0,26 X={(1-2,26), (1-3,15), (2-4,26), (3-4,14)} 1,15 S={} T={} 0,14 4,5 0,9

Exemplo

3 1 2 4 0,24 0,50 Cp,capacidade E(1)=-1 P(1)=-14 e(4)=0 P(4)=-21 e(2)=0 P(2)=-16 e(3)=1 P(3)=-19 5 e(5)=0 P(5)=-41 0,40 24,20 Delta =2/1=1 0,26 0,26 X={(1-2,26), (1-3,15), (2-4,26), (3-4,14)} 1,15 S={3} T={1} 0,14 4,5 0,9

Exemplo

3 1 2 4 0,25 0,50 Cp,capacidade E(1)=-1 P(1)=-14 e(4)=0 P(4)=-21 e(2)=0 P(2)=-16 e(3)=1 P(3)=-19 5 e(5)=0 P(5)=-41 0,40 24,20 Delta =1 0,25 0,25 X={(1-2,26), (1-3,15), (2-4,26), (3-4,14)} 1,15 S={3} T={1} 0,15 4,5 0,10 l=1

Exemplo

3 1 2 4 0,25 0,50 Cp,capacidade E(1)=0 P(1)=-14 e(4)=0 P(4)=-21 e(2)=0 P(2)=-16 e(3)=0 P(3)=-19 5 e(5)=0 P(5)=-41 0,40 24,20 Delta =1 0,25 0,25 X={(1-2,25), (1-3,15), (2-4,25), (3-4,15)} 1,15 S={} T={} 0,15 4,5 0,10

Exemplo

3 1 2 4 0,25 0,50 Cp,capacidade E(1)=0 P(1)=-14 e(4)=0 P(4)=-21 e(2)=0 P(2)=-16 e(3)=0 P(3)=-19 5 e(5)=0 P(5)=-41 0,40 24,20 Delta =1/2=0,5 0,25 0,25 X={(1-2,25), (1-3,15), (2-4,25), (3-4,15)} 1,15 S={} T={} 0,15 4,5 0,10

Exemplo

3 1 2 4 0,25 0,50 Cp,capacidade E(1)=0 P(1)=-14 e(4)=0 P(4)=-21 e(2)=0 P(2)=-16 e(3)=0 P(3)=-19 5 e(5)=0 P(5)=-41 0,40 24,20 Delta =1/2=0,5 0,25 0,25 X={(1-2,25), (1-3,15), (2-4,25), (3-4,15)} 1,15 S={} T={} 0,15 4,5 0,10 Critério de parada