Aula11-Arvores-DefinicoesTerminologiaPropriedades.pptx

(1)

Árvores

Matemá'ca Discreta II (Kenneth Rosen, Cap. 10)

Slides baseados no material da profa. Anjolina Grisi de Oliveira (Cin-‐UFPE)

Árvores

• Uma árvore é um grafo conexo não orientado e sem circuitos simples

Floresta

• Uma ﬂoresta é um grafo cujas componentes conexas são árvores

Teorema

• Um grafo não orientado é uma árvore se e somente se existe um único caminho simples entre qualquer par de vér'ces.

• Prova

• Assuma que G é uma árvore. Logo G é um grafo conexo e sem circuitos simples. Sejam x e y dois nós de G. Logo, como G é conexo, existe um caminho simples entre x e y. Adicionalmente, esse caminho é único, pois se exis'sse um outro caminho, o caminho formado através da combinação do caminho de x até y com o segundo caminho começando por y e chegando a x formaria um circuito, o que contraria a hipótese de que G é uma árvore.

Árvore Enraizada

Uma árvore T = (V,E) é denominado enraizada quando algum vértice v é escolhido como especial. Esse vértice v é a raiz da árvore.

Árvore Enraizada

Usualmente representamos graficamente a raiz no topo. Podemos transformar uma árvore sem raiz numa árvore enraizada simplesmente escolhendo um vértice como raiz.

(2)

Árvore Enraizada

ancestrais de j={e,c} descendentes de j={i,k} pai de j=e filhos de j={i,k} nível de j=2 altura da árvore =3 folhas={b,a,i,k,f,h,d} Raiz = c

Árvore Enraizada

O nível de um vértice é o tamanho do único caminho da raiz até ele.

nível de j=2

A altura da árvore é o maior nível entre os nós. É o tamanho do maior caminho da raiz até uma das folhas.

altura da árvore =3 Raiz = c

Árvore Enraizada

• A raiz de uma árvore não possui pai, e todo vér'ce v diferente de r, possui um único pai.

• Uma folha é um vér'ce que não possui ﬁlhos.

• Vér'ces que possuem ﬁlhos são chamados de vér'ces internos.

• Quando a raiz é o único nó do grafo ela é uma folha.

• O nível da raiz é zero, de seus ﬁlhos é 1.

• O nível de um nó é igual ao nível de seu pai mais um.

• Para dois vér'ces irmãos v e w, nível(v)=nível(w).

• A altura de uma árvore é o valor máximo de nível(r) para todo vér'ce v de T.

Subárvore

Seja T(V,E) uma árvore enraizada e v ∈ V.

Uma subárvore Tv de T é uma árvore enraizada cuja raiz é v, definida pelo subgrafo induzido pelos descendentes de v mais o próprio v.

A subárvore de raiz v é única para cada v ∈ V.

s v x w t u x v w

Árvore m-ária

• Uma árvore enraizada é chamada de m-‐ária se todo nó interno não possui mais que m ﬁlhos. A árvore é chamada árvore m-‐ária cheia se todo nó interno possui exatamente m ﬁlhos. Uma árvore m-‐ária com m=2 é chamada de árvore binária.

3-ária Binária

Árvore m-‐ária

• A árvore é chamada árvore m-‐ária cheia se todo nó interno possui exatamente m ﬁlhos. Uma árvore m-‐ ária com m=2 é chamada de árvore binária.

Binária cheia s x w t u v z -

(3)

Árvore m-‐ária

• Uma árvore enraizada m-‐ária de altura h é balanceada se todas as folhas estão no nível h ou

h-‐1.

Árvore Balanceada?

h=3 Nível(a) =1 Não está balanceada

Árvore Enraizada Ordenada

• Na deﬁnição de árvore enraizada, é irrelevante a

ordem em que os ﬁlhos de cada vér'ce v são considerados.

• Caso a ordenação seja relevante a árvore é denominada enraizada ordenada.

• Assim, para cada vér'ce v pode-‐se iden'ficar o primeiro filho de v (o mais a esquerda), o segundo filho (o segundo mais a esquerda), etc.

Árvore enraizada ordenada

• No caso de árvores binárias, se um nó interno possui

dois filhos, temos o filho da esquerda e o filho da

direita

• A árvore cuja raiz é o ﬁlho da esquerda de um vér'ce é chamada de subárvore da esquerda desse vér'ce.

a d c b e b d e Subárvore da esquerda de a

Teorema

• Uma árvore com n nós possui n-‐1 arestas.

Prova

Definimos uma bijeção entre as arestas e os vértices diferentes da raiz, de forma que associamos cada vértice terminal de uma aresta com ela própria. Como existem n-1 nós além da raiz, logo existem n-1 arestas na árvore.

Teorema

• Uma árvore m-‐ária cheia com i nós internos contem

n = mi + 1 nós.

Prova

Cada vértice com exceção da raiz é filho de um nó interno. Como cada um dos i nós internos possui m filhos, existem mi nós na árvore além da raiz. Consequentemente, a árvore contem n = mi + 1 nós.

(4)

Teorema

• Uma árvore m-‐ária cheia com

I.  n nós possui i=(n-‐1)/m nós internos e f = ((m-‐1)n +1)/m folhas

I.  i nós internos possui n = mi + 1 nós e f= (m-‐1)i + 1

folhas

II.  f folhas possui n = (mf – 1)/(m-‐1) nós e

i= (f-‐1)/(m-‐1) nós internos

Teorema -‐ Prova

• Uma árvore m-‐ária cheia com n nós possui i=(n-‐1)/m nós internos e f = ((m-‐1)n +1)/m folhas

• Vimos que n= mi + 1, logo i = (n-‐1)/m.

• Temos também que n = i + f, onde f é o número de folhas.

• Logo, f = n – i;

• f = n – (n-‐1)/m = (mn – (n-‐1))/m = (mn – n + 1)/m = ((m-‐1)n + 1)/m

Exemplo

• Suponha que alguém iniciou uma corrente de cartas.

Cada pessoa que recebe a carta é convidada a enviá-‐ la para outras quatro pessoas. Quantas pessoas receberam a carta, incluindo a pessoa que iniciou a corrente, se nenhuma pessoa recebeu mais que uma carta e se a corrente acabou depois que 100 pessoas leram a carta e não mais a enviaram? Quantas pessoas enviaram a carta?

Solução

A corrente pode ser representada usando uma

árvore 4-ária. Os nós internos correspondem às

pessoas que enviaram a carta, e as folhas às pessoas que não a enviaram.

Temos que 100 pessoas não enviaram a carta. Assim o número de folhas f é igual a 100.

Temos n = i + f e n = mi + 1.

Logo: 100 + i = 4.i + 1 => 3.i = 99 => i = 33

Resposta: 33 pessoas enviaram a carta

e (33*4+1)=133 pessoas a receberam

Teorema

Existem no máximo m

h

_{folhas em uma árvore}

m-ária de altura h.

Prova: por indução sobre a altura

≤ h-1 ≤ h-1 ≤ h-1

Cada uma dessas

subárvores possui altura no máximo h-1. Portanto, pela H.I. existem no máximo mh-1

folhas em cada uma delas. Como existem no máximo m dessas subárvores, cada uma com no máximo mh-1

folhas, então existem no máximo m.mh-1_{= m}h_folhas.

Aplicações: Árvore binária de busca

• Busca de itens numa lista.

• Cada vér'ce é rotulado por uma chave de forma que

a chave de um vér'ce é maior do que as chaves de todos os nós da subárvore da esquerda e menor do que as chaves dos nós da subárvore da direita.

55 30 80 45 90 32 35 20

(5)

Construindo uma árvore binária de

busca

• Procedimento recursivo que recebe uma lista de itens.

• O primeiro item da lista é a raiz da árvore.

• Para adicionar um novo item:

• Compare-‐o com os nós que já estão na árvore: comece pela raiz e siga para a esquerda se o item é menor que o item que rotula o nó que está sendo comparado ou siga para a direita, caso contrário.

• Quando o novo item é menor que um item cujo nó não tem filho da esquerda, adicione-‐o como filho da esquerda desse nó. Analogamente, quando o item é maior que o item cujo nó não tem filho da direita, adicione-‐o como filho da direita desse nó,

Construindo uma árvore binária de

busca

• Construa uma árvore binária de busca a par'r da seguinte lista: • 55,30,80,90,35,32,20,45 55 30 80 45 90 32 35 20

Exemplo: árvore binária de busca

• Use a ordem alfabé'ca para construir uma árvore

binária de busca com as palavras: mathema4cs,

physics, geography, zoology, meteorology, geology, psychology, e chemistry

Caminhado em árvores enraizadas e

ordenadas

• Procedimento universal para ordenar os seus nós:

1. Rotule a raiz com o inteiro 0. Em seguida rotule seus k ﬁlhos da esquerda para direita com 1,2,3,....,k.

2. Para cada vér'ce v no nível n com rótulo A, rotule

seus k ﬁlhos da esquerda para a direita com A.1, A.2, ...A.k.

Exemplo

₀ 3.1 3.2 3 2 1.1.1 1.1 1 1.2 1.1.2 1.1.2.3 1.1.2.1 3.1.2 3.3 3.1.1

Procedimento universal para ordenar

os nós

• Podemos ordenar os nós usando a ordem lexicográﬁca de seus rótulos.

• Os vér'ces x1.x2...xn < y1.y2...ym se

• existe um i, 0 ≤ i ≤ n, com x1= y1, x2=y2, ...xi-‐1 = yi-‐1 e xi< yi;

(6)

Ordem lexicográDica

• Exemplo n < m e xi=yi, para i =1,2,...,n. 1.2.2 < 1.2.2.1 ? n=3 < m=4 e 1=1, 2=2, 2=2 x1.x2....xn < y1.y2....ym se existe um i, 0 ≤ i ≤ n,

com x1= y1, x2=y2, ...xi-1 = yi-1 e xi< yi

1.2.1 < 1.2.2 ?

i=3: 1=1, 2=2 e 1<2

Algoritmos de caminhamento em

árvores

• Procedimentos para visitar sistema'camente todos os vér'ces de uma árvore

• Pré-‐ordem

• Ordem

• Pós-‐ordem

Caminhamento em pré-‐ordem

• Seja T uma árvore enraizada e ordenada com raiz r.

• Se T possui apenas r, então o caminhamento em pré-‐ordem de T é r.

• Caso contrário, sejam T1, T2,... Tn as subárvores de r

da esquerda para a direita. O caminhamento em pré-‐ordem começa visitando r e con'nua fazendo um caminhamento em pré-‐ordem em T1, em

seguida em T2, e assim sucessivamente até que Tn

seja percorrida em pré-‐ordem.

Exemplo

_a g h d c j e b f k p o n m i l

Paralelamente

Caminhamento em ordem

• Seja T uma árvore enraizada e

ordenada com raiz r.

•  Se T possui apenas r, então o

caminhamento em ordem de T é r. •  Caso contrário, sejam T₁, T₂,... T_nas

subárvores de r da esquerda para a direita. O caminhamento em ordem começa fazendo um percurso em ordem em T₁, em seguida visita r, e continua fazendo um caminhamento em ordem em T₂, em T₃, e finalmente em T_n .

(7)

Exemplo

Caminhamento em pós-ordem

• Seja T uma árvore enraizada e

ordenada com raiz r.

• Se T possui apenas r, então o

caminhamento em pós-ordem de T é r.

• Caso contrário, sejam T

₁

, T

₂

,... T

_n

as

subárvores de r da esquerda para a

direita. O caminhamento em pós-ordem

começa percorrendo T

₁

em pós-ordem,

em seguida T

₂

, T

₃

, ... T

_n

, e finaliza

visitando r.

Exemplo

Resumo: caminhamento em árvores

• Pré-‐ordem

• Primeira vez que a seta passa pelo vér'ce

• a, b, d, h, e, i, j, c, f, g, k • Ordem

• Folhas na primeira vez e vér'ces internos na segunda vez

• h, d, b, i, e, j, a, f, c, k, g

• Pós-‐ordem

• Segunda vez que passa pelo vér'ce (subida)

• h, d, i, j, e, b, f, k, g, c, a

Notação inDixa, pré-‐Dixa e pós-‐Dixa

• Podemos representar expressões complicadas, tais

como proposições compostas, combinações de conjuntos, e expressões aritmé'cas usando árvores enraizadas ordenadas.

•  O nós internos representam operações

•  As folhas representam as variáveis ou valores

•  As operações são executadas na subárvore da esquerda e depois na direita

Notação infixa: exemplo

Árvore que representa a expressão ((x+y)^2) + ((x-4)/3):

•  A árvore binária é construída de baixo para cima.

•  Construímos a subárvore (x+y), depois a incorporamos como parte de uma subárvore maior que representa (x+y)^2.

+

x y

+ ₂

(8)

Notação infixa:

((x+y)^2) + ((x-4)/3)

•  Do mesmo modo a subárvore (x-4) é construída e incorporada à subárvore maior de (x-4)/3

+ x y + x y 2 ^ - x 4 - x 4 3 /

Notação infixa:

((x+y)^2) + ((x-4)/3)

Por último as subárvore de ((x+y)^2) e de

((x-4)/3) são combinadas para formar a expressão

toda + x y 2 ^ - x 4 3 / +

Caminhamento em ordem:

((x+y)^2) + ((x-4)/3) + x y 2 ^ - x 4 3 / +

Notação polonesa

• O operador precede seus dois operandos

• Ex: + x y à x+y

• Expressão pode ser avaliada da direita para a esquerda

• Quando encontrar um operador, realizar a

operação com os dois operandos imediatamente a direita

• Não necessita de parênteses

Qual é a forma pré-fixa (notação polonesa) da expressão

((x+y)^2) + ((x-4)/3) ?

Fazemos um caminhamento em pré-ordem

+ ^ + x y 2 / - x 4 3 + x y 2 ^ - x 4 3 / +

Qual o valor da expressão

+ - * 2 3 5 / ^2 3 4 ?

**+ - * 2 3 5 / ^2 3 4**

**+ - * 2 3 5 / 8 4**

**+ - * 2 3 5 2**

3

2 * 2 3 5 2

+ -

6 5 2

+ -

6 5 2

+ -

1 - 6 5

+

2

1 +

2

(9)

Qual é a forma pós-fixa da expressão

((x+y)^2) + ((x-4)/3) ?

Fazemos um caminhamento em pós-ordem

x y + 2 ^ x 4 – 3 / + + x y 2 ^ - x 4 3 / +

- Notação polonesa reversa - Interpretada da esquerda para direita

Qual o valor da expressão em notação

pós-fixa?

7 2 3 * - 4 ^9 3 / +

Encontre a árvore enraizada ordenada que representa a seguinte proposição composta (¬(pΛq))↔(¬p v ¬q) Λ p q ↔ p v ¬ q ¬ Λ p q ¬ p ¬ q ¬ p v ¬ q ¬ Λ p q ¬

Forneça a notação pré-fixa e pós-fixa dessa expressão (¬(pΛq))↔(¬p v ¬q) ↔ p v ¬ q ¬ Λ p q ¬ Pré-fixa: ↔¬Λpqv¬p¬q Pós-fixa: pqΛ¬p¬q¬v↔

A expressões em notação pré-fixa e pós-fixa não são ambíguas. Por esse motivo, são utilizadas em computação. Especialmente na construção de compiladores

Desenhe a árvore enraizada ordenada da seguinte expressão aritmética escrita usando a notação pré-fixa.

+ * + - 5 3 2 1 4

Em seguida, escreva a mesma expressão em notação infixa. - ₂ + 1 * 4 + ((((5-3)+2)*1)+4)

Mais aplicações de árvores

• Árvores de decisão

• Importantes para extração de regras / aprendizagem de máquina

• Código de preﬁxo

• Pode ser usado em compactação de arquivos ou criptograﬁa

• Sequências de bits menores para caracteres mais frequentes

• Considere o problema em que letras são codiﬁcadas por sequências de bits

• Uma maneira de garan'r que nenhuma sequência de bits corresponde a mais de uma sequência de letras, é escolher códigos de forma que a cadeia de bits para uma letra nunca

(10)

Código de preDixo

Exemplo

• Decodiﬁcação

• Percorrer a sequência de bits até encontrar uma folha

• Decodiﬁcar a sequência:

• 11111011100

Huffman Codes

• U'liza a frequência dos símbolos em uma sequência (probabilidade de ocorrência) e a codiﬁca u'lizando a menor quan'dade possível de bits, dentre todos os códigos de preﬁxo possíveis

• U'lizado em compressão de textos, imagens e áudio

Huffman Codes

• Algoritmo:

• Inicia com uma ﬂoresta de árvores com apenas um vér'ce, cada qual representando um símbolo

• Cada vér'ce tem a ele associado um peso (frequência)

• A cada passo, combinar duas árvores contendo o

menor peso total, introduzindo uma nova raiz

• Colocar a árvore com maior peso a esquerda e a de menor peso a direita

• Atribuir à árvore gerada a soma dos pesos das árvores compostas

Huffman Codes

Exemplo

• Codiﬁcar os seguintes símbolos de acordo com suas frequências:

• A: 0.08, B: 0.10, C: 0.12, D: 0.15, E: 0.20, F: 0.35. • Qual o número médio de bits usado para codiﬁcar

um caractere?

• A grosso modo, precisaríamos de:

• 6 valores è 3 bits (23₌₈₎

• U'lizando o algoritmo de huﬀman, temos:

• A:111 • B:110 • C:011 • D:010 • E:10 • F:00

• O tamanho médio de bits é:

3*0.08 + 3 .0.10 + 3 .0.12 + 3 .0.15 + 2 . 0.20 + 2 . 0.35 = 2.45.

Aula11-Arvores-DefinicoesTerminologiaPropriedades.pptx

Árvores

Árvores

Floresta

Teorema

Árvore Enraizada

Árvore Enraizada

Árvore Enraizada

Árvore m-ária

Árvore m-­‐ária

Árvore m-­‐ária

Árvore Balanceada?

Árvore Enraizada Ordenada

Árvore enraizada ordenada

Teorema

Teorema

Teorema

Teorema -­‐ Prova

Exemplo

Solução

Teorema

Existem no máximo m

folhas em uma árvore

m-ária de altura h.

Prova: por indução sobre a altura

Aplicações: Árvore binária de busca

Construindo uma árvore binária de

busca

Construindo uma árvore binária de

busca

Exemplo: árvore binária de busca

Caminhado em árvores enraizadas e

ordenadas

Exemplo

Procedimento universal para ordenar

os nós

Ordem lexicográDica

Algoritmos de caminhamento em

árvores

Caminhamento em pré-­‐ordem

Exemplo

Paralelamente

Caminhamento em ordem

•

Seja T uma árvore enraizada e

ordenada com raiz r.

Exemplo

Caminhamento em pós-ordem

•

Seja T uma árvore enraizada e

ordenada com raiz r.

•

Se T possui apenas r, então o

caminhamento em pós-ordem de T é r.

•

Caso contrário, sejam T

, T

,... T

as

subárvores de r da esquerda para a

direita. O caminhamento em pós-ordem

começa percorrendo T

em pós-ordem,

em seguida T

, T

, ... T

, e finaliza

visitando r.

Exemplo

Resumo: caminhamento em árvores

Notação inDixa, pré-­‐Dixa e pós-­‐Dixa

Notação infixa: exemplo

Notação infixa:

Notação infixa:

Caminhamento em ordem:

Notação polonesa

Qual o valor da expressão

+ - * 2 3 5 / ^2 3 4

+ - * 2 3 5 / 8 4

+ - * 2 3 5 / 8 4

Árvore m-‐ária

Árvore m-‐ária

Teorema -‐ Prova

_{folhas em uma árvore}

Caminhamento em pré-‐ordem

Notação inDixa, pré-‐Dixa e pós-‐Dixa

**+ - * 2 3 5 / ^2 3 4**

**+ - * 2 3 5 / 8 4**

**+ - * 2 3 5 / 8 4**

**+ - * 2 3 5 2**