Autovalores do Laplaciano

(1)

Notas de Aula

Autovalores do Laplaciano

Rodney Josu´

e Biezuner

1

Departamento de Matem´atica

Instituto de Ciˆencias Exatas (ICEx)

Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG)

Notas de aula do curso T´opicos em An´alise: Autovalores do Laplaciano do Programa

de Pós-Gradua¸cão em Matemática, ministrado durante o segundo semestre do ano de 2006.

16 de novembro de 2006

(2)

Sum´

ario

1 Os Autovalores do Laplaciano 4

1.1 Motiva¸c˜ao para o Estudo dos Autovalores do Laplaciano . . . 4

1.1.1 Método de Expansão em Autofun¸cões . . . 4

1.1.2 Problema Isospectral . . . 6

1.2 Exemplos . . . 7

1.3 Princ´ıpio do M´aximo Fraco: O Laplaciano n˜ao possui Autovalores Negativos . . . 10

1.4 M´etodos Variacionais para Autovalores de Operadores Lineares . . . 12

1.5 Os Espa¸cos de Sobolev W1,2 _{e W}1,2 0 . . . 14

1.5.1 A Derivada Fraca . . . 14

1.5.2 Espa¸cos de Sobolev . . . 16

1.5.3 Propriedades dos Espa¸cos de Sobolev . . . 16

1.6 Existência e Unicidade de Solu¸cões para o Laplaciano através do Método Variacional . . . 18

1.6.1 Solu¸c˜oes Fracas . . . 18

1.6.2 Existˆencia, Unicidade e Regularidade de Solu¸c˜oes Fracas . . . 18

1.7 O Espectro do Laplaciano . . . 21

1.7.1 Existˆencia e Caracteriza¸c˜ao Variacional dos Autovalores do Laplaciano . . . 21

1.7.2 Compara¸c˜ao de Autovalores . . . 28

1.8 Conjunto Nodal e Dom´ınios Nodais de uma Autofun¸c˜ao . . . 30

1.8.1 Princ´ıpio do M´aximo Forte: o Primeiro Autovalor do Laplaciano ´e Simples . . . 30

1.8.2 Conjunto Nodal e Dom´ınios Nodais de Autofun¸c˜oes do Laplaciano . . . 32

1.9 Multiplicidade dos Autovalores do Laplaciano . . . 37

2 M´etodo de Diferen¸cas Finitas 39 2.1 O Caso Unidimensional . . . 39

2.1.1 S´eries de Taylor e Diferen¸cas Finitas em Uma Dimens˜ao . . . 39

2.1.2 Discretiza¸c˜ao . . . 40

2.1.3 Resolu¸c˜ao Num´erica do Problema de Autovalor Unidimensional . . . 42

2.2 O Caso Bidimensional . . . 44

2.2.1 A F´ormula dos Cinco Pontos . . . 45

2.2.2 Existência e Unicidade da Solu¸cão Discreta – Autovalores do Problema Bidimensional 47 2.2.3 Princ´ıpio do Máximo Discreto . . . 51

2.2.4 Convergência da Solu¸cão Discreta para a Solu¸cão Clássica . . . 51

2.3 Discretiza¸c˜oes de Ordem Superior . . . 55

2.3.1 Caso Unidimensional . . . 55

2.3.2 Caso Bidimensional: A F´ormula dos Nove Pontos Compacta . . . 56

2.4 Diferen¸cas Finitas em Coordenadas Polares . . . 61

2.5 Dom´ınios Arbitr´arios . . . 65

2.6 Exerc´ıcios . . . 67

(3)

3 Existˆencia e Unicidade de Solu¸c˜oes Discretas 69

3.1 Normas Matriciais . . . 69

3.2 Matrizes Diagonalmente Dominantes . . . 72

3.3 Teorema dos Discos de Gershgorin . . . 73

3.4 Propriedade FC . . . 76

3.5 Matrizes Irredut´ıveis . . . 81

3.6 Invertibilidade de Matrizes de Discretiza¸c˜ao . . . 83

3.6.1 Esquemas de Diferen¸cas Finitas para o Intervalo e para o Retˆangulo . . . 84

3.6.2 Esquema de Coordenadas Polares . . . 84

3.6.3 Esquema de Shortley-Weller . . . 85

4 Métodos Iterativos para a Resolu¸cão de Sistemas Lineares 86 4.1 Métodos Iterativos Lineares . . . 86

4.1.1 M´etodo de Jacobi . . . 87

4.1.2 M´etodo de Gauss-Seidel . . . 88

4.1.3 M´etodo SOR . . . 88

4.1.4 Compara¸cão da Velocidade de Convergência dos Três Métodos . . . 89

4.1.5 M´etodo de Jacobi Amortecido . . . 90

4.2 Análise de Convergência dos Métodos Iterativos Lineares . . . 91

4.2.1 Convergˆencia dos M´etodos Iterativos Lineares . . . 92

4.2.2 Velocidade de Convergˆencia dos M´etodos Iterativos Lineares . . . 94

4.2.3 Convergˆencia para Matrizes Sim´etricas Positivas Definidas . . . 96

4.3 Convergência dos Métodos Iterativos Lineares para as Matrizes de Discretiza¸cão . . . 97

4.3.1 Convergˆencia do M´etodo de Jacobi . . . 97

4.3.2 Convergˆencia do M´etodo de Gauss-Seidel . . . 99

4.3.3 Convergˆencia do M´etodo SOR . . . 101

4.3.4 Convergˆencia do M´etodo de Jacobi Amortecido . . . 109

4.3.5 Resumo . . . 110

4.4 M´etodo do Gradiente Conjugado . . . 110

4.4.1 M´etodos de Descida . . . 111

4.4.2 M´etodo da Descida Mais Acentuada . . . 113

4.4.3 M´etodo do Gradiente Conjugado . . . 114

5 M´etodos Multigrid 120 5.1 Suaviza¸c˜ao de Erros . . . 120

5.2 Operador Restri¸c˜ao e Operador Extens˜ao . . . 120

5.3 Ciclos V . . . 120

5.4 Multigrid Completo . . . 120

5.5 Convergˆencia . . . 120

5.6 Multigrid Adaptativo . . . 120

5.7 Multigrid Alg´ebrico . . . 120

6 M´etodo de Elementos Finitos 121 6.1 O Caso Unidimensional . . . 121

6.1.1 Formula¸c˜ao Variacional . . . 121

6.1.2 Elementos Finitos Lineares por Partes . . . 123

6.2 O Caso Bidimensional . . . 124

6.2.1 Formula¸c˜ao Variacional . . . 125

6.2.2 Triangula¸c˜oes e Elementos Finitos Lineares por Partes . . . 125

6.2.3 Interpreta¸cão Geométrica do Método de Elementos Finitos . . . 127

(4)

Rodney Josu´e Biezuner 3

7 Aproxima¸c˜ao de Autovalores do Laplaciano 131

7.1 Elementos Finitos . . . 131

7.1.1 Resultados Preliminares . . . 132

7.1.2 Convergˆencia dos Autovalores Discretos para os Autovalores Cont´ınuos . . . 137

7.1.3 Convergˆencia das Autofun¸c˜oes . . . 138

8 Métodos Numéricos para a Obten¸cão de Autovalores de Matrizes 140 8.1 Método das Potências . . . 140

8.1.1 Itera¸c˜ao Inversa e Itera¸c˜ao com Deslocamento . . . 141

8.2 Itera¸c˜ao de Subespa¸cos . . . 142

8.3 M´etodo QR . . . 144

8.3.1 O Algoritmo QR . . . 145

8.3.2 Implementa¸c˜ao Eficiente do Algoritmo QR . . . 148

8.4 M´etodos para Matrizes Esparsas . . . 149

8.4.1 Processo de Arnoldi . . . 149

8.4.2 Representa¸c˜ao Matricial do Processo de Arnoldi . . . 151

(5)

Cap´ıtulo 1

Os Autovalores do Laplaciano

Seja Ω ⊂ Rn_{um aberto limitado. O problema de autovalor para o laplaciano consiste em encontrar os valores}

λ tais que

−∆u = λu em Ω (1.1) admite solu¸cões não triviais, com alguma condi¸cão de fronteira imposta sobre u. A equa¸cão de autovalor do laplaciano também é conhecida como equa¸cão de Helmholtz. Nestas notas, consideraremos o problema de autovalor com condi¸cão de Dirichlet

½

−∆u = λu em Ω,

u = 0 sobre ∂Ω, (1.2) e o problema de autovalor com condi¸c˜ao de Neumann

   −∆u = λu em Ω, ∂u ∂η = 0 sobre ∂Ω. (1.3) O problema é tradicionalmente escrito nesta forma, com o sinal negativo multiplicando o laplaciano, porque assim todos os autovalores são não-negativos. No caso do problema de Dirichlet, este fato segue imediata-mente do princ´ıpio do máximo. De fato, este implica que todos os autovalores, se existirem, devem ser positivos, como veremos neste cap´ıtulo. Por outro lado, zero é um autovalor no problema de Neumann, pois as fun¸cões constantes são autofun¸cões associadas a este.

1.1 Motiva¸c˜

ao para o Estudo dos Autovalores do Laplaciano

1.1.1 M´

etodo de Expans˜

ao em Autofun¸c˜

oes

Vários problemas de equa¸cões diferenciais parciais podem ser resolvidos através do chamado método de expansão em autofun¸cões do laplaciano.

Considere o seguinte problema de Dirichlet para a equa¸c˜ao da onda em um aberto limitado Ω ⊂ Rn_:

       utt= c2∆u se x ∈ Ω e t > 0, u (x, 0) = f (x) se x ∈ Ω, ut(x, 0) = g (x) se x ∈ Ω, u (x, t) = 0 se x ∈ ∂Ω e t > 0,

onde c ∈ R, f ∈ C2¡_Ω¢ _{e g ∈ C}1¡_Ω¢_{. Se Ω ⊂ R}2_{, ent˜ao este problema modela as vibra¸c˜oes transversais}

de baixa amplitude de uma membrana fina fixada em um aro com o formato de ∂Ω: se ∂Ω ´e um retˆangulo, 4

(6)

Rodney Josué Biezuner 5 estamos estudando as vibra¸cões de uma membrana retangular; se ∂Ω é um c´ırculo, o estudo é o de uma membrana circular (um tambor usual), e assim por diante. Este problema pode ser resolvido pelo método

de separa¸cão de variáveis: supomos que a solu¸cão do problema pode ser escrita na forma u (x, t) = F (x) G (t) , x ∈ Ω e t > 0.

Substituindo esta express˜ao na equa¸c˜ao da onda, obtemos

F (x) G00_{(t) = c}2_{∆F (x) G (t) .}

Separando as vari´aveis, segue que

∆F (x) F (x) = 1 c2 G00_(t) G (t) = −λ

onde λ ∈ R é alguma constante a ser determinada. Como em geral G (t) não é a fun¸cão identicamente nula, a condi¸cão de fronteira implica que F (x) = 0 para x ∈ ∂Ω. Portanto, a fun¸cão F satisfaz o problema de Dirichlet para a equa¸cão de Laplace

½

−∆F (x) = λF (x) se x ∈ Ω,

F (x) = 0 se x ∈ ∂Ω,

ou seja, λ é um autovalor do laplaciano em Ω. Como veremos, os autovalores do laplaciano em Ω formam um conjunto enumerável {λn}n∈Ne existe um conjunto associado de autofun¸cões {Fn}n∈Nque constitui uma

base de Schauder (em outras palavras, um conjunto ortonormal completo) para L2_{(Ω). A solu¸c˜ao geral para}

a equa¸c˜ao diferencial ordin´aria

G00(t) = −λnc2G (t) ´e Gn(t) = ancos p λnt + bnsen p λnt.

Logo, a solu¸c˜ao do problema da onda ´e

u (x, t) = ∞ X n=1 ³ ancos p λnt + bnsen p λnt ´ Fn(x) ,

onde os coeficientes an, bn são determinados pelas condi¸cões iniciais (posi¸cão inicial e velocidade inicial da

membrana): f (x) = ∞ X n=1 anFn(x) , g (x) = ∞ X n=1 bn p λnFn(x) ,

ou seja, usando as rela¸c˜oes de ortonormalidade das fun¸c˜oes Fn,

an= Z Ω f (x)Fn(x) dx, bn= √1 λn Z Ω f (x)Fn(x) dx.

Assim, no caso bidimensional, os autovalores do laplaciano correspondem às freqüências naturais de vibra¸cão de uma membrana, enquanto que as autofun¸cões associadas correspondem aos modos naturais de vibra¸cão da membrana. Estas idéias se generalizam para fenômenos vibratórios em três ou mais dimensões.

(7)

O método de expansão em autofun¸cões também pode ser usado para resolver o problema de Neumann da equa¸cão da onda ou outros problemas mais gerais. Nestes casos, devem ser buscados os autovalores do laplaciano de acordo com a condi¸cão de fronteira considerada.

O método de expansão em autofun¸cões também pode ser usado para resolver o problema do calor com as condi¸cões de fronteira apropriadas. Por exemplo, para o problema de Dirichlet

   ut= K∆u se x ∈ Ω e t > 0, u (x, 0) = f (x) se x ∈ Ω, u (x, t) = 0 se x ∈ ∂Ω e t > 0, a solu¸c˜ao ´e dada por

u (x, t) = ∞ X n=1 ane− √ λnKt_F n(x) ,

onde os coeficientes ansão determinados pelas condi¸cão inicial (distribui¸cão de temperaturas inicial na placa

bidimensional ou no objeto tridimensional):

f (x) = ∞ X n=1 anFn(x) , isto ´e, an = Z Ω f (x)Fn(x) dx.

1.1.2 Problema Isospectral

Dada uma variedade Riemanniana compacta com fronteira (M, g), pode-se definir um operador laplaciano ∆gu = div (∇u). Em coordenadas locais, ele ´e um operador el´ıptico. Como no caso de abertos de Rn, o

laplaciano em variedades possui uma seq¨uência de autovalores (o seu espectro). Dizemos que duas variedades Riemannianas são isospectrais se seus espectros coincidirem, contando multiplicidades. Uma questão natural é a seguinte: duas variedades Riemannianas isospectrais são isométricas? Se considerarmos variedades n-dimensionais contida em Rn _{sob a métrica euclidiana, duas variedades serem isométricas é equivalente a}

elas serem congruentes do ponto de vista da geometria euclidiana clássica. Esta questão para dom´ınios planos foi colocada de maneira mais colorida por Bers e Kac em 1966 ([Kac]; o último atribui o problema a Bochner em meados dos anos 1950s) como “é poss´ıvel escutar o formato de um tambor?”, já que no caso de dom´ınios no plano os autovalores do laplaciano correspondem ao quadrado das freqüências naturais de vibra¸cão produzidas por uma membrana, como vimos na se¸cão anterior. Pode-se tra¸car as origens desta especula¸cão ao resultado obtido por Weyl em 1911 [Weyl] de que a área de um dom´ınio plano é determinada pelo espectro do laplaciano; em particular, dom´ınios com diferentes áreas nunca podem ter o mesmo espectro. Sabe-se também que o espectro determina o per´ımetro e o número de componentes conexas de um dom´ınio plano (veja [Kac] para referências). Kac, usando a desigualdade perimétrica (per´ımetro(Ω) > 4π área(Ω)) e o fato que a área e o per´ımetro são determinadas pelo espectro do laplaciano, conseguiu provar que se um dom´ınio plano possui o mesmo espectro de um disco de raio r, então ele é congruente ao disco, mostrando que existem dom´ınios que são determinados pelo espectro do laplaciano.

No entanto, a resposta a este problema no caso geral é negativa: o formato de um tambor não é aud´ıvel. No caso de variedades Riemannianas, Milnor já havia constru´ıdo em 1964 [Milnor] um par de variedades isospectrais não-isométricas de dimensão 16; vários outros exemplos se seguiram, incluindo superf´ıcies de Riemann (veja [GWW1] e [Protter], para referências) até que em 1980 Vignéras [Vigneras] obteve exemplos de variedades compactas isospectrais não-isométricas de qualquer dimensão n > 2. Entretanto, a questão de Kac para dom´ınios no plano permaneceu em aberta até 1992, quando Gordon, Webb e Wolpert ([GWW1]; veja [GWW2] para os detalhes completos), usando resultados de teoria de espa¸cos de recobrimento e teoria dos grupos, obtiveram um par de dom´ınios planos simplesmente conexos não-isométricos com os mesmos

(8)

Rodney Josué Biezuner 7 espectros de Dirichlet e de Neumann. Os contra-exemplos que eles obtiveram têm o formato de uma região poligonal, não-convexa, e o método permite a obten¸cão de uma larga cole¸cão de contra-exemplos. Os primeiros 54 autovalores do primeiro contra-exemplo de Gordon, Webb e Wolpert, que ficou conhecido como

os tambores GWW, foram encontrados experimentalmente por Sridhar e Kudrolli [Sridhar-Kudrolli]; eles

constru´ıram cavidades de microondas com o formato da região poligonal e mediram ressonâncias em ondas magnéticas transversais, que obedecem a equa¸cão de Helmoltz. Posteriormente, vários autores calcularam autovalores e autofun¸cões dos tambores GWW através de métodos numéricos; veja [Driscoll], [Heuveline] e as referências nestes artigos.

Uma demonstra¸cão mais simples e versátil do resultado de Gordon, Webb e Wolpert, foi dada por Berard [Berard2], usando a chamada técnica de transplanta¸cão de autofun¸cões, introduzida pelo próprio [Berard1]. Os dom´ınios são constru´ıdos a partir de transla¸cões, rota¸cões e reflexões de uma única forma, tal como um triângulo, sem sobreposi¸cões. Dada uma autofun¸cão em um dom´ınio, pode-se prescrever uma fun¸cão sobre o outro dom´ınio cujos valores sobre cada parte são combina¸cões lineares dos valores da autofun¸cão sobre várias das partes do primeiro dom´ınio. As combina¸cões são escolhidas de modo a satisfazer as condi¸cões de fronteira e igualar valores da fun¸cão e suas derivadas nas interfaces entre as partes. O resultado é uma autofun¸cão na segunda região tendo o mesmo autovalor. Para completar a prova de isospectralidade, basta mostrar que o procedimento é invert´ıvel. Usando esta técnica, Chapman [Chapman] obteve alguns exemplos que podem ser explicados em n´ıvel elementar através de dobraduras de papel e até mesmo um exemplo onde os autovalores do laplaciano podem ser calculados explicitamente (este exemplo consiste de dois dom´ınios cada um com duas componentes conexas, um retângulo e um triângulo isósceles reto; veja Exemplo 4 na próxima se¸cão).

Todos os contra-exemplos dados nas referências acima são de dom´ınios não-convexos ou com quinas. Watanabe ([Wat1], [Wat2]) determinou a existência de uma classe não-enumerável de dom´ınios suaves que não é um disco (incluindo exemplos convexos e não-convexos) que são determinados pelos espectros de Dirich-let ou de Neumann do laplaciano. Outros exemplos de dom´ınios determinados pelo espectro do laplaciano, com a propriedade adicional de serem anal´ıticos reais e simétricos com respeito a reflexões em rela¸cão a um eixo horizontal e a um eixo vertical, foram dados por Zelditch [Zelditch]. A identifica¸cão de todas as classes de dom´ınios que são determinados pelo espectro do laplaciano é um problema em aberto.

1.2 Exemplos

Exemplo 1. Os autovalores do laplaciano para o problema de Dirichlet no caso unidimensional ½ −u00_{= λu} _{em [0, L] ,} u (0) = u (L) = 0, s˜ao λn= n 2_π2 L2 , n ∈ N.

As autofun¸c˜oes correspondentes s˜ao

un(x) = sennπx

L .

¤

Exemplo 2. Os autovalores do laplaciano para o problema de Dirichlet no retˆangulo R = [0, a] × [0, b] ⊂ R2

½ − (uxx+ uyy) = λu em R, u = 0 sobre ∂R, s˜ao λnm= π2 µ n2 a2 + m2 b2 ¶ , n, m ∈ N.

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As autofun¸c˜oes correspondentes s˜ao unm(x, y) = sennπx a sen mπy b . ¤

Exemplo 3. Os autovalores do laplaciano para o problema de Dirichlet em um triˆangulo is´osceles reto

T ⊂ R2 _{com lado menor de comprimento c}

½ − (uxx+ uyy) = λu em T, u = 0 sobre ∂T, são λnm= π2 µ n2 c2 + m2 c2 ¶ , n, m ∈ N. As autofun¸cões correspondentes são

unm(x, y) = sennπx c sen mπy c − sen mπx c sen nπy c . ¤

Exemplo 4. [Chapman] A partir dos Exemplos 2 e 3 podemos construir dois dom´ınios planos isospectrais Ω1 e Ω2 que não são isométricos. De fato, cada Ωié a união disjunta de um retângulo e um triângulo

is´osceles reto:

Ω1= R1∪ T1,

Ω2= R2∪ T2,

onde R1é um quadrado unitário, R2é um retângulo de comprimento 2 e altura 1 e T1e T2são triângulos

is´osceles retos, os lados menores do primeiro tendo comprimento 2 e os do segundo com comprimento

√

2. Os autovalores de um dom´ınio que é a união disjunta de várias componentes conexas (incluindo as fronteiras de cada componente) é a união dos autovalores de cada componente, as autofun¸cões do dom´ınio sendo as fun¸cões que são iguais às autofun¸cões em cada componente e zero nas demais. De acordo com os Exemplos 2 e 3, segue que os espectros dos dom´ınios Ω1 e Ω2 são dados por

ΛΩ1 = © π2¡_n2_{+ m}2¢ª n,m∈N∪ ½ π2 µ n2 4 + m2 4 ¶¾ n,m∈N , ΛΩ2 = ½ π2 µ N2 4 + M 2 ¶¾ N,M ∈N ∪ ½ π2 µ N2 2 + M2 2 ¶¾ N,M ∈N .

ΛΩ2 ⊂ ΛΩ1: Seja λ ∈ ΛΩ2 um autovalor da forma π2 µ

N2

2 + M2 ¶

, N, M ∈ N. Se N ´e par, tomamos

n = N

2 e m = M , obtendo

N2

4 + M2 = n2+ m2; se N ´e ´ımpar, escolhemos n = max (N, 2M ), m = min (N, 2M ), produzindo N 2 4 +M2= n2 4 + m2

4 . Se λ ∈ ΛΩ2´e um autovalor da forma π2 µ N2 2 + M2 2 ¶ ,

N, M ∈ N, escolhemos n = N + M e m = |N − M |, de modo que N

2 2 + M2 2 = n2 4 + m2 4 . ΛΩ1 ⊂ ΛΩ2: Se λ ∈ ΛΩ1 ´e um autovalor da forma π

2¡_n2_{+ m}2¢_{, n, m ∈ N, escolhemos N = 2n} e M = m, obtendo n2_{+ m}2 ₌ N2 4 + M 2_{. Seja λ ∈ Λ} Ω2 um autovalor da forma π 2 µ n2 4 + m2 4 ¶ ,

(10)

n, m ∈ N. Se n ´e par, tomamos N = m e M = n

2, de modo que n2 4 + m2 4 = N2 4 + M 2_{; se m ´e par,} tomamos N = n e M = m

2 para produzir o mesmo resultado. Portanto,

ΛΩ1 = ΛΩ2

embora Ω1 e Ω2 n˜ao sejam congruentes. Observe que, como requer o resultado obtido por Weil

(discutido na se¸c˜ao anterior), Ω1 e Ω2 possuem a mesma ´area igual a 2, o mesmo per´ımetro igual a

8 + 2√2 e obviamente o mesmo n´umero de componentes conexas. ¤

Exemplo 5. Os autovalores do laplaciano para o problema de Dirichlet no paralelep´ıpedo P = [0, a]×[0, b]× [0, c] ⊂ R3 ½ − (uxx+ uyy+ uzz) = λu em P, u = 0 sobre ∂P, são λnmk = π2 µ n2 a2 + m2 b2 + k2 c2 ¶ , n, m, k ∈ N. As autofun¸cões correspondentes são

unmk(x, y) = sennπx a sen mπy b sen kπz c . ¤

Exemplo 6. Os autovalores do laplaciano para o problema de Dirichlet no disco D =©x ∈ R2_{: kxk 6 R}ª

   − µ urr+1 rur+ + 1 r2uθθ ¶ = λu se 0 < r < 1 e 0 < θ < 2π, u = 0 se r = R e 0 < θ < 2π, são λnm= ³ αn,m R ´2 , n = 0, 1, 2, . . . , m = 1, 2, . . . onde αn,mé o m-ésimo zero positivo da fun¸cão de Bessel do primeiro tipo Jn

Jn(r) = ∞ X k=0 (−1)k k!(k + n)! ³ r 2 ´2k+n .

As autofun¸c˜oes correspondentes s˜ao

u0m(r, θ) = J0(λ0mr) ,

u1nm(r, θ) = cos nθJn(λnmr) e u2nm(r, θ) = sen nθJn(λnmr) .

Note que para m = 1, 2, . . . temos duas autofun¸cões distintas para um dado autovalor, isto é, tais autovalores têm multiplicidade pelo menos igual a 2. ¤

Exemplo 7. Os autovalores do laplaciano para o problema de Dirichlet na bola B =©x ∈ R3_{: kxk 6 R}ª

   − µ urr+ 2 rur+ 1 r2 ¡ uθθ+ cot θ uθ+ csc2θuφφ ¢¶ = λu se 0 < r < 1, 0 < θ < 2π e 0 < φ < π u = 0 se r = R, 0 < θ < 2π e 0 < φ < π s˜ao λnm= µ_α n+1 2,m R ¶2 , n = 0, 1, 2, . . . , m = 1, 2, . . .

(11)

onde α_n+1

2,mé o m-ésimo zero positivo da fun¸cão de Bessel do primeiro tipo Jn+12

Jn+1 2(r) = ∞ X k=0 (−1)k k!Γ¡k + n + 1 2+ 1 ¢³ r 2 ´2k+n+1 2 . `

A cada autovalor λnmcorrespondem 2n + 1 autofun¸c˜oes

uknm(r, θ, φ) = jn(λnmr) Yn,k(θ, φ) , k = −n, −n + 1, . . . , −1, 0, 1, . . . , n − 1, n,

onde jn é a fun¸cão de Bessel esférica do primeiro tipo

jn(r) =

r

π

2rJn+1 2(r), e Yn,k são as harmônicas esféricas

Yn,k(θ, φ) = s 2n + 1 4π (n − k)! (n + k)!P k n(cos θ) eikφ, com Pk

n sendo a fun¸c˜ao de Legendre

P0 n(r) = 1 2n_n! dn drn ¡ r2_{− 1}¢n_, Pk n(r) = (−1) k¡ 1 − r2¢k/2 dk drkP 0 n(r) , se 0 6 k 6 n, Pnk(r) = (−1)k (n + k)! (n − k)!P −k n (r) , se − n 6 k < 0. ¤

1.3 Princ´ıpio do M´

aximo Fraco: O Laplaciano n˜

ao possui

Auto-valores Negativos

1.1 Lema. (Princ´ıpio do M´aximo Fraco) Seja Ω ⊂ Rn _{um aberto limitado. Seja u ∈ C}2_{(Ω) ∩ C}0_(Ω).

Se ∆u > 0 em Ω, ent˜ao max Ω u = max∂Ω u; Se ∆u 6 0 em Ω, ent˜ao min Ω u = min∂Ω u.

Em particular, se u satisfaz ∆u = 0 em Ω, ent˜ao u atinge o seu m´aximo e o seu m´ınimo na fronteira de Ω.

Prova: Sejam

M = max

Ω u e m = max∂Ω u

e suponha por absurdo que m < M . Ent˜ao existe um ponto x0∈ Ω\∂Ω tal que u (x0) = M . Defina a fun¸c˜ao

v (x) = u (x) +M − m

4d2 |x − x0| 2

(12)

Rodney Josu´e Biezuner 11 d = diam Ω. Se x ∈ ∂Ω, temos v (x) 6 m +M − m 4d2 d 2₌ 3 4m + M 4 < M,

e como u (x0) = v (x0) = M , segue que o máximo de v também é assumido em um ponto de Ω\∂Ω, digamos

em x. Mas, como x ´e um ponto de m´aximo para v, devemos ter ∆v (x) 6 0,

enquanto que, pela defini¸c˜ao de v e pelo fato de u satisfazer a equa¸c˜ao de Laplace, para todo x temos ∆v (x) = ∆u (x) +M − m

2d2 >

M − m

2d2 > 0,

uma contradi¸c˜ao. Isso mostra que u atinge o seu m´aximo em ∂Ω.

Para provar a segunda afirma¸c˜ao, basta considerar −u e observar que min u = − max(−u). ¥ Defina a parte positiva e a parte negativa de uma fun¸c˜ao u respectivamente por

u+_{= max(u, 0),}

u−_{= min(u, 0).}

1.2 Corol´ario. Seja Ω ⊂ Rn _{um aberto limitado. Seja λ ∈ R, λ 6 0. Seja u ∈ C}2_{(Ω) ∩ C}0_(Ω).

Se −∆u − λu 6 0 em Ω, ent˜ao

max

Ω u 6 max∂Ω u

+_.

Se −∆u − λu > 0 em Ω, ent˜ao

min

Ω u > min∂Ω u −_.

Em particular, se u satisfaz −∆u = λu em Ω, ent˜ao

max

Ω |u| = max∂Ω |u|

de modo que se o problema de Dirichlet

½

−∆u = λu em Ω, u = 0 sobre ∂Ω,

possuir solu¸cão u ∈ C2_{(Ω) ∩ C}0_{(Ω), então a solu¸cão é trivial. Conseqüentemente, o problema de}

Dirichlet para o laplaciano n˜ao possui autovalores negativos ou nulos.

Prova. Assuma primeiro −∆u − λu 6 0 em Ω. Se u 6 0 em Ω, ent˜ao o corol´ario vale trivialmente. Logo, podemos assumir que Ω+ _{= {x ∈ Ω : u(x) > 0} 6= ∅. Como −λu > 0 em Ω}+_{, temos que ∆u > 0 em Ω}+_.

Segue do Princ´ıpio do M´aximo Fraco que

max

Ω+ u = max∂Ω+u.

Mas u = 0 em ∂Ω+_{∩ Ω, logo o m´aximo deve ser atingido em ∂Ω. O caso −∆u − λu 6 0 segue do primeiro}

(13)

1.4 M´

etodos Variacionais para Autovalores de Operadores

Lin-eares

Nesta se¸cão vamos rever os métodos variacionais para a obten¸cão de autovalores para operadores lineares definidos em espa¸cos de dimensão finita providos de produto interno. A teoria será então generalizada mais tarde para obter a existência e algumas propriedades básicas dos autovalores do laplaciano. Em primeiro lugar, discutiremos o Princ´ıpio de Rayleigh, que afirma que o menor autovalor de um operador linear pode ser encontrado como o m´ınimo de um certo funcional, enquanto que o seu maior autovalor é o máximo deste mesmo funcional:

1.3 Teorema. (Princ´ıpio de Rayleigh) Seja V um espa¸co vetorial com produto interno de dimens˜ao n e

T : V −→ V um operador linear auto-adjunto. Sejam λ16 . . . 6 λn os autovalores de T , de modo que

λ1 é o menor autovalor de T e λn é o maior autovalor de T . Então

λ1= min x∈V x6=0 hT x, xi kxk2 = minx∈V kxk=1 hT x, xi (1.4) e λn= max x∈V x6=0 hT x, xi kxk2 = maxx∈V kxk=1 hT x, xi (1.5) Prova: Seja B = {v1, . . . , vn} uma base ortonormal de autovetores de T correspondentes aos autovalores

λ16 . . . 6 λn de T . Ent˜ao, para todo x = n P i=1 xivi∈ V temos hT x, xi = * T Ã _n X i=1 xivi ! , n X j=1 xjvj + = * _n X i=1 xiT vi, n X j=1 xjvj + = * _n X i=1 λixivi, n X j=1 xjvj + = n X i,j=1 hλixivi, xjvji = n X i,j=1 λixixjhvi, vji = n X i=1 λix2i.

Portanto, para todo x ∈ V , x 6= 0, vale

λ1kxk2= n X i=1 λ1x2i 6 hT x, xi 6 n X i=1 λnx2i = λnkxk2

O m´ınimo é atingido em x = v1, ou em qualquer outro autovetor de T associado a λ1, e o máximo é atingido

em x = vn, ou em qualquer outro autovetor de T associado a λn. ¥

O quociente

hT x, xi kxk2

´e chamado o quociente de Rayleigh.

Os demais autovalores de T , λ2, . . . , λn−1, s˜ao pontos de sela e podem ser encontrado atrav´es de um

princ´ıpio de minimax:

1.4 Teorema. (Princ´ıpio de Minimax para Autovalores) Seja V um espa¸co vetorial com produto interno de

(14)

T . Ent˜ao, se Wj denota o conjunto dos subespa¸cos de V de dimens˜ao j, temos

λj = min W ∈Wj   max x∈W kxk=1 hT x, xi   = min W ∈Wj  max x∈W x6=0 hT x, xi kxk2   . (1.6) ou, dualmente, λj = max W ∈Wj−1   min x⊥W kxk=1 hT x, xi   = max W ∈Wj−1   min x⊥W x6=0 hT x, xi kxk2   . (1.7)

Prova: Provemos primeiro (1.6). Seja W ⊂ V um subespa¸co de dimens˜ao j. Primeiro mostraremos que max

x∈W kxk=1

hT x, xi > λj.

Seja B = {v1, . . . , vn} uma base ortonormal de autovetores de T correspondentes aos autovalores λ1, . . . , λn.

Seja Z = hv1, . . . , vj−1i. Como Z⊥= hvj, . . . , vni, temos

n > dim¡W + Z⊥¢= dim W + dim Z⊥− dim¡W ∩ Z⊥¢= j + n − (j − 1) − dim¡W ∩ Z⊥¢,

de modo que

dim¡W ∩ Z⊥¢_{> 1}

e existe um vetor x ∈ W ∩ Z⊥ _{tal que kxk = 1. Escrevendo x =} Pn k=j xkvk, temos kxk = n P k=j x2 k= 1, donde hT x, xi = * _n X k=j xkT vk, n X l=j xlvl + = * _n X k=j xkλkvk, n X l=j xlvl + = n X k,l=j λkxkxlhvk, vli = n X k=j λkx2k > λj n X k=j x2 k= λj.

Para completar a demonstra¸c˜ao, devemos encontrar um subespa¸co W ⊂ V de dimens˜ao j tal que hT x, xi 6

λj para todo x ∈ W com kxk = 1. Tomemos W = hv1, . . . , vji. Temos

hT x, xi = * _j X k=1 xkT vk, j X l=1 xlvl + = * _j X k=1 xkλkvk, j X l=1 xlvl + = j X k,l=1 λkxkxlhvk, vli = j X k=1 λkx2k 6 λj j X k=1 x2 k= λj.

O minimax ´e atingido em vj.

Vamos agora provar o princ´ıpio dual (1.7). Seja W ⊂ V um subespa¸co de dimens˜ao j − 1. Primeiro mostraremos que

min

x⊥W kxk=1

hT x, xi 6 λj.

Como antes, B = {v1, . . . , vn} ´e uma base ortonormal de autovetores de T correspondentes aos autovalores

λ1, . . . , λn. Seja Z = hv1, . . . , vji. Como W⊥ tem dimens˜ao n − (j − 1), temos

(15)

de modo que

dim¡W⊥_{∩ Z}¢_{> 1}

e existe um vetor x ∈ Z tal que x ⊥ W e kxk = 1. Escrevendo x = Pj

k=1 xkvk, temos kxk = j P k=1 x2 k = 1, donde hT x, xi = * _j X k=1 xkT vk, j X l=1 xlvl + = * _j X k=1 xkλkvk, j X l=1 xlvl + = j X k,l=1 λkxkxlhvk, vli = j X k=1 λkx2k 6 λj j X k=1 x2 k= λj.

Para completar a demonstra¸c˜ao, devemos encontrar um subespa¸co W ⊂ V de dimens˜ao j − 1 tal que

hT x, xi > λj para todo x ⊥ W com kxk = 1. Tomemos W = hv1, . . . , vj−1i. Ent˜ao W⊥ = hvj, . . . , vni e

para todo x ∈ W⊥ _{com kxk = 1 temos}

hT x, xi = * _n X k=j xkT vk, n X l=j xlvl + = * _n X k=j xkλkvk, n X l=j xlvl + = n X k,l=j λkxkxlhvk, vli = n X k=j λkx2k > λj n X k=j x2k= λj.

O maximin ´e atingido em vj. ¥

1.5 Os Espa¸cos de Sobolev W

1,2

e W

₀1,2

Para generalizar os métodos variacionais discutidos na se¸cão anterior para encontrar os autovalores do Lapla-ciano, é necessário definir um espa¸co de fun¸cões dotado de um produto interno adequado. Para dom´ınios limitados, o espa¸co adequado para se trabalhar é o espa¸co de Sobolev.

1.5.1 A Derivada Fraca

Seja Ω um aberto de Rn_{. Suponha que u ∈ C}1_{(Ω) é uma fun¸cão real continuamente diferenciável. Se}

ϕ ∈ C∞

0 (Ω) é uma fun¸cão suave com suporte compacto em Ω, segue da fórmula de integra¸cão por partes que

Z Ω u∂ϕ ∂xidx = − Z Ω ∂u ∂xiϕ dx (1.8)

para i = 1, . . . , n. N˜ao h´a termos de fronteira exatamente porque ϕ tem suporte compacto em Ω. Defini¸c˜ao. Seja Ω ⊂ Rn _{um subconjunto aberto e u ∈ L}1

loc(Ω). Dizemos que uma fun¸c˜ao vi ∈ L1loc(Ω) ´e

uma derivada fraca de u, se _Z

Ω u∂ϕ ∂xidx = − Z Ω viϕ dx, (1.9) para toda ϕ ∈ C∞

0 (Ω). Se este for o caso, denotamos

vi= ∂u

∂xi. (1.10)

Dizemos que u é fracamente diferenciável se todas as derivadas fracas de primeira ordem de u existirem. O espa¸co vetorial das fun¸cões fracamente diferenciáveis é denotado por W1_(Ω).

(16)

Rodney Josu´e Biezuner 15 Quando existe, vi ´e ´unicamente determinada a menos de conjuntos de medida nula. Claramente C1(Ω) ⊂

W1_{(Ω): o conceito de derivada fraca é uma extensão do conceito clássico de derivada que mantém a validade}

da fórmula de integra¸cão por partes. Exemplo 1. Sejam n = 1, Ω = (0, 2) e u(x) = ½ x se 0 < x 6 1, 1 se 1 6 x < 2. Então, se v(x) = ½ 1 se 0 < x 6 1, 0 se 1 6 x < 2, temos u0_{(x) = v(x). De fato, dada ϕ ∈ C}∞

0 ((0, 2)), temos Z ₂ 0 uϕ0_{dx =} Z ₁ 0 xϕ0_{dx +} Z ₂ 1 ϕ0_dx = ϕ(1) − 0 − Z ₁ 0 ϕ dx + 0 − ϕ(1) = − Z ₂ 0 vϕ dx. ¤ Exemplo 2. Sejam n = 1, Ω = (0, 2) e u(x) = ½ x se 0 < x 6 1, 2 se 1 6 x < 2.

Então u não possui uma derivada fraca. Com efeito, suponha por absurdo que exista uma fun¸cão

v ∈ L1 loc((0, 2)) satisfazendo _Z 2 0 uϕ0_{dx = −} Z 2 0 vϕ dx, para toda ϕ ∈ C∞ 0 ((0, 2)). Ent˜ao − Z 2 0 vϕ dx = Z 1 0 xϕ0_{dx + 2} Z 2 1 ϕ0_{dx = ϕ(1) − 0 −} Z 1 0 ϕ dx + 0 − 2ϕ(1) = −ϕ(1) − Z 1 0 ϕ dx, ou seja, ϕ(1) = Z 1 0 ϕ dx + Z 2 0 vϕ dx. para toda ϕ ∈ C∞

0 ((0, 2)). Escolhendo uma seqüência de fun¸cões-teste (ϕm) ⊂ C0∞((0, 2)) satisfazendo

ϕm(1) = 1, 0 6 ϕm6 1 e ϕm(x) → 0 para todo x 6= 1, obtemos atrav´es do teorema da convergˆencia

dominada de Lebesgue que 1 = lim m→∞ϕm(1) = limm→∞ ·Z ₁ 0 ϕmdx + Z ₂ 0 vϕmdx ¸ = 0, uma contradi¸c˜ao. ¤

(17)

Estes exemplos não são acidentais. É poss´ıvel provar que uma fun¸cão real em uma variável real possui uma derivada fraca se e somente se ela for absolutamente cont´ınua (a menos de modifica¸cões em conjuntos de medida nula); em particular, isso implica que ela é diferenciável no sentido clássico em quase todo ponto. No caso de fun¸cões de várias variáveis, pode-se provar que uma fun¸cão u ∈ L1

loc(Ω) ´e fracamente diferenci´avel

se e somente se ela é igual, a menos de um conjunto de medida nula, a uma fun¸cão que (1) é absolutamente cont´ınua em quase todos os segmentos em Ω paralelos aos eixos coordenados e (2) as derivadas parciais de

u s˜ao localmente integr´aveis. Para maiores detalhes, veja [Biezuner].

1.5.2 Espa¸cos de Sobolev

Seja Ω um aberto de Rn_{. Definimos}

W1,2_{(Ω) =} ½ u ∈ W1_{(Ω) : u ∈ L}2_{(Ω) e} ∂u ∂xi ∈ L2_{(Ω) para todo i = 1, . . . , n} ¾ . (1.11)

W1,2_{(Ω) ´e claramente um espa¸co vetorial. Ele ´e munido da norma}

kuk_W1,2_(Ω)= ÃZ Ω |u|2+ n X i=1 Z Ω ¯ ¯ ¯ ¯_∂x∂u_i ¯ ¯ ¯ ¯ 2!1/2 . (1.12) Definimos tamb´em W01,2(Ω) = fecho de C0∞(Ω) em W1,2(Ω).

Em ambos os espa¸cos vetoriais normados W1,2_{(Ω) e W}1,2

0 (Ω) definimos o produto interno

hu, vi = Z Ω uv + n X i=1 Z Ω ∂u ∂xi ∂v ∂xi = hu, viL 2_(Ω)+ n X i=1 ¿ ∂u ∂xi, ∂v ∂xi À L2_(Ω) . (1.13)

Desta forma, a norma definida acima é derivada deste produto interno. Ela também é equivalente à norma

kuk_W1,2_(Ω)= µZ Ω |u|2 ¶1/2 + n X i=1 ÃZ Ω ¯ ¯ ¯ ¯_∂x∂u i ¯ ¯ ¯ ¯ 2!1/2 = kuk_L2_(Ω)+ n X i=1 ° ° ° °_∂x∂u_i ° ° ° ° L2_(Ω) .

1.5.3 Propriedades dos Espa¸cos de Sobolev

Assumiremos os resultados a seguir sem demonstra¸c˜ao (veja [Biezuner] para a demonstra¸c˜ao destes resulta-dos).

1.3 Teorema. W1,2_{(Ω) ´e um espa¸co de Hilbert. Em particular, W}1,2

0 (Ω) tamb´em ´e um espa¸co de Hilbert.

1.4 Teorema. C∞_{(Ω) ∩ W}1,2_{(Ω) ´e denso em W}1,2_{(Ω). Se Ω um aberto com fronteira de classe C}1_{, ent˜ao}

C∞_{(Ω) ∩ W}1,2_{(Ω) ´e denso em W}1,2_(Ω).

Os seguintes resultados caracterizam o espa¸co W₀1,2(Ω):

1.5 Teorema. Se u ∈ W1,2_{(Ω) satisfaz supp u ⊂⊂ Ω, ent˜ao u ∈ W}1,2 0 (Ω).

Se Ω ⊂ Rn _{´e um aberto com fronteira de classe C}1 _{e se u ∈ W}1,2_{(Ω) ∩ C(Ω), ent˜ao u ∈ W}1,2

0 (Ω) se e

(18)

Rodney Josué Biezuner 17 As propriedades de imersão compacta dos espa¸cos de Sobolev são as que lhe conferem a sua grande utilidade. Recordamos os conceitos de imersão cont´ınua e imersão compacta:

Defini¸c˜ao. Seja E um subespa¸co vetorial normado de um espa¸co normado F (ou seja, a norma em E não precisa necessariamente ser a norma induzida de F ). Dizemos que a inclusão E ⊂ F é uma imers˜ao (cont´ınua) se a aplica¸cão inclusão I : E → F definida por Ix = x for cont´ınua. Denotamos este fato por

E ,→ F.

Se, além disso, a aplica¸cão inclusão for compacta, dizemos que a imersão E ,→ F é compacta. Denotaremos a imersão compacta de um espa¸co vetorial normado E em um espa¸co vetorial normado

F por

E ,→→ F.

Como a aplica¸cão inclusão é linear, o fato de existir uma imersão E ,→ F é equivalente à existência de uma constante C tal que

kxk_F 6 C kxk_E para todo x ∈ E.

Em particular, se (xn) é uma seq¨uência de Cauchy em E, então (xn) também é uma seqüência de Cauchy

em F ; logo, se xn → x em E, então xn→ x em F também. É claro que se E tem a norma induzida de F ,

então a inclusão E ⊂ F é uma imersão, com C = 1. Quando existe uma imersão E ,→ F , dizer que ela é compacta é equivalente a dizer que seq¨uências limitadas de (E, k·k_E) possuem subseqüências convergentes em (F, k·k_F).

1.6 Teorema. (Teorema da Imers˜ao de Sobolev) Seja Ω ⊂ Rn _{um aberto. Ent˜ao}

W1,2(Ω) ,→ L2(Ω),

W₀1,2(Ω) ,→ L2_(Ω).

Prova: Usando a norma equivalente introduzida acima, se E = W1,2_{(Ω) ou se E = W}1,2

0 (Ω) temos kuk_E= kuk_L2_(Ω)+ n X i=1 ° ° ° °_∂x∂u_i ° ° ° ° L2_(Ω) > kuk_L2_(Ω). ¥

1.7 Teorema. (Teorema de Rellich–Kondrakhov) Seja Ω ⊂ Rn _{um aberto limitado com fronteira de classe}

C1_{. Ent˜ao}

W1,2_{(Ω) ,→}_{→ L}2_{(Ω) ,}

Se trocarmos W1,2 _{por W}1,2

0 , o resultado é válido para abertos arbitrários.

1.8 Teorema. (Desigualdade de Poincar´e) Seja Ω ⊂ Rn _{um aberto limitado. Ent˜ao}

kuk_L2_(Ω)6 µ |Ω| ωn ¶1/n k∇uk_L2_(Ω).

para todo u ∈ W01,2(Ω) (aqui ωn ´e o volume da bola unit´aria em Rn).

Observe que o Teorema 1.8 não é válido se trocamos W₀1,2 por W1,2 _{porque as fun¸cões constantes pertencem}

(19)

1.6 Existˆ

encia e Unicidade de Solu¸c˜

oes para o Laplaciano atrav´

es

do M´

etodo Variacional

De agora em diante, Ω ⊂ Rn _{ser´a sempre um aberto limitado.}

1.6.1 Solu¸c˜

oes Fracas

Defini¸c˜ao. Seja f ∈ L2_{(Ω). Dizemos que u ∈ W}1,2

0 (Ω) ´e uma solu¸c˜ao fraca para o problema de Dirichlet

½ ∆u = f em Ω, u = 0 sobre ∂Ω, (1.14) se Z Ω ∇u · ∇v = − Z Ω f v para todo v ∈ W₀1,2(Ω) .

Se os dados do problema de Dirichlet (1.14) são suficientemente regulares e a solu¸cão fraca também é suficientemente regular, então ela é uma solu¸cão clássica:

1.9 Proposi¸c˜ao. (Solu¸cões Fracas Regulares são Solu¸cões Clássicas) Sejam f ∈ C0_{(Ω). Se existir uma}

solu¸c˜ao fraca u ∈ C2_{(Ω) ∩ C}0¡_Ω¢_{para o problema}

½

∆u = f em Ω,

u = 0 sobre ∂Ω, então u é uma solu¸cão clássica.

Prova: Pela Primeira Identidade de Green, para todo v ∈ C∞

0 (Ω) temos Z Ω ∇u · ∇v = Z ∂Ω ∂u ∂νv − Z Ω (∆u) v = − Z Ω (∆u) v. Da´ı e da defini¸c˜ao de solu¸c˜ao fraca segue que

Z Ω (∆u) v = Z Ω f v para todo v ∈ C∞ 0 (Ω), ou seja, ∆u = f em Ω. Al´em disso, como u ∈ W01,2(Ω) ∩ C0

¡

Ω¢, segue da caracteriza¸c˜ao dos espa¸cos W01,2(Ω) que u = 0 em ∂Ω. ¥

1.6.2 Existˆ

encia, Unicidade e Regularidade de Solu¸c˜

oes Fracas

Quando uma solu¸cão fraca existe ela é única:

1.10 Proposi¸c˜ao. (Unicidade da Solu¸c˜ao Fraca) Seja f ∈ L2_{(Ω). Se existir uma solu¸c˜ao fraca para o}

problema _½

∆u = f em Ω,

u = 0 sobre ∂Ω, então ela é única.

(20)

Rodney Josué Biezuner 19 Prova: O resultado segue imediatamente da estabilidade fraca da equa¸cão de Poisson, isto é, se u1, u2 ∈

W1,2_{(Ω) satisfazem}

∆u1= f1, ∆u2= f2 em Ω

para f1, f2∈ L2(Ω), e

u1− u2∈ W01,2(Ω) ,

ent˜ao existe uma constante C = C (n, Ω) tal que

ku1− u2kW1,2_(Ω)6 C kf1− f2kL2_(Ω). (1.15) De fato, temos _Z Ω ∇ (u1− u2) · ∇v = − Z Ω (f1− f2) v,

para todo v ∈ W₀1,2(Ω), em particular para v = u1− u2. Portanto segue da desigualdade de Poincar´e que

k∇u1− ∇u2k2_L2_(Ω)= Z Ω |∇ (u1− u2)|2 = Z Ω (f1− f2) (u1− u2) 6 kf1− f2k_L2_(Ω)ku1− u2k_L2_(Ω) 6 C kf1− f2kL2_(Ω)k∇u1− ∇u2kL2_(Ω), donde k∇u1− ∇u2kL2_(Ω)6 C kf1− f2kL2_(Ω).

Novamente usando a desigualdade de Poincar´e, isso ´e suficiente para estabelecer (1.15). ¥

No caso do problema de Dirichlet para a equa¸cão de Poisson, a existência de uma solu¸cão fraca é imedi-atamente estabelecida pelo equivalente ao princ´ıpio de Dirichlet visto no in´ıcio do cap´ıtulo anterior: 1.11 Teorema. (Existência da Solu¸cão Fraca) Sejam f ∈ L2_{(Ω). Então existe uma única solu¸cão fraca}

u ∈ W01,2(Ω) para o problema _½

∆u = f em Ω,

u = 0 sobre ∂Ω. (1.16)

Prova: Considere o funcional de Dirichlet I : W₀1,2(Ω) → R definido por

I (v) = 1 2 Z Ω |∇v|2 dx + Z Ω f v.

Afirmamos que um ponto cr´ıtico u deste funcional é uma solu¸cão fraca de (1.16). De fato, se u é um ponto cr´ıtico de I, então a derivada direcional de I na dire¸cão de qualquer v ∈ W₀1,2(Ω) é igual a 0, logo

0 = d dt[I (u + tv)|t=0= d dt · 1 2 Z Ω |∇ (u + tv)|2+ Z Ω f (u + tv) ¯ ¯ ¯ ¯ t=0 = Z Ω ∇u · ∇v + Z Ω f v para todo v.

Para provar o teorema, basta então encontrar uma fun¸cão u ∈ W₀1,2(Ω) que minimiza I, isto é, u tal que

I (u) = min v∈W1,2 0 (Ω) µ 1 2 Z Ω |∇v|2 dx + Z Ω f v ¶ ,

(21)

pois um ponto de m´ınimo é um ponto cr´ıtico de um funcional diferenciável. Pela desigualdade de Poincaré, o funcional I é limitado por baixo, pois

I (v) = 1 2k∇vk 2 L2_(Ω)+ Z Ω f (v − g) + Z Ω f g > 1 2k∇vk 2 L2_(Ω)− ¯ ¯ ¯ ¯ Z Ω f (v − g) ¯ ¯ ¯ ¯ + Z Ω f g > 1 2k∇vk 2 L2_(Ω)− kf k_L2_(Ω)k(v − g)k_L2_(Ω)+ Z Ω f g > 1 2k∇vk 2 L2_(Ω)− C kf k_L2_(Ω)k∇ (v − g)k_L2_(Ω)+ Z Ω f g > 1 2k∇vk 2 L2_(Ω)− C kf k_L2_(Ω)k∇vk_L2_(Ω)+ Z Ω f g − C kf k_L2_(Ω)k∇gk_L2_(Ω), e a fun¸c˜ao real h (t) = t 2

2 − at + b ´e limitada por baixo para t ∈ R, quaisquer que sejam os valores de a, b ∈ R. Podemos ent˜ao definir

I0= inf

v∈W1,2 0 (Ω)

I (u) .

Seja (um)m∈N uma seq¨uˆencia minimizante para I, isto ´e,

I (um) = 1 2 Z Ω |∇um|2 dx + Z Ω f um→ I0. ´

E fácil ver, que o funcional I é convexo. De fato, isto é uma conseq¨uência imediata da convexidade da fun¸cão

x 7→ |x|2 I (tu + (1 − t) v) = Z Ω |t∇u + (1 − t) ∇v|2 dx + Z Ω f (tu + (1 − t) v) 6 Z Ω h t |∇u|2+ (1 − t) |∇v|2 i dx + t Z Ω f u + (1 − t) Z Ω f v = tI (u) + (1 − t) I (v) .

A convexidade da fun¸c˜ao x 7→ |x|2 por sua vez pode ser provada do seguinte modo:

|tx + (1 − t) y|2− t |x|2− (1 − t) |y|2=¡t2_{− t}¢_|x|2_{+ 2t (1 − t) x · y +}h_{(1 − t)}2_{− (1 − t)}i_|y|2 = −t (1 − t) |x − y|26 0. Logo, I06 I µ uk+ ul 2 ¶ 61 2I (uk) + 1 2I (ul) → I0 quando k, l → ∞. Por outro lado, temos

1 2 Z Ω |∇ (uk− ul)|2 dx = Z Ω |∇uk|2 dx + Z Ω |∇ul|2 dx − 2 Z Ω ¯ ¯ ¯ ¯∇ µ uk+ ul 2 ¶¯_¯ ¯ ¯ 2 dx = Z Ω |∇uk|2 dx + 2 Z Ω f uk+ Z Ω |∇ul|2 dx + 2 Z Ω f ul − 2 Z Ω ¯ ¯ ¯ ¯∇ µ uk+ ul 2 ¶¯ ¯ ¯ ¯ 2 dx − 4 Z Ω f µ uk+ ul 2 ¶ = 2I (uk) + 2I (ul) − 4I µ uk+ ul 2 ¶ ,

(22)

Rodney Josué Biezuner 21 donde conclu´ımos que (∇um) é uma seq¨uência de Cauchy em L2(Ω). Pela desigualdade de Poincaré temos

que

kuk− ulk_L2_(Ω)6 C k∇uk− ∇ulk_L2_(Ω),

logo (um) também é uma seq¨uência de Cauchy em L2(Ω) e portanto (um) é uma seqüência de Cauchy em

W01,2(Ω), ou seja, existe u ∈ W01,2(Ω) tal que um→ u em W01,2(Ω). Em particular, segue que I (u) = I0.

Como um→ u em L2(Ω) e ∇um→ ∇u em L2(Ω), temos que

1 2 Z Ω |∇um|2 dx + Z Ω f um→ 1 2 Z Ω |∇u|2 dx + Z Ω f u,

e conclu´ımos que u ´e o minimizador do funcional de Dirichlet I. ¥

Se a fronteira e os dados do problema são suficientemente regulares, pode-se provar que uma solu¸cão fraca é uma solu¸cão clássica (veja [Gilbarg-Trudinger] ou [Biezuner] para os detalhes):

1.12 Teorema. Seja Ω ⊂ Rn _{um aberto limitado com fronteira de classe C}∞_{. Seja f ∈ C}∞_{(Ω).. Se}

u ∈ W₀1,2(Ω) ´e uma solu¸c˜ao fraca de ½

∆u = f em Ω,

u = 0 sobre ∂Ω, ent˜ao u ∈ C∞¡_Ω¢_.

1.7 O Espectro do Laplaciano

1.7.1 Existˆ

encia e Caracteriza¸c˜

ao Variacional dos Autovalores do Laplaciano

Para o problema de Dirichlet, o espa¸co natural para aplicar o m´etodo variacional ´e W₀1,2(Ω), enquanto que para o problema de Neumann trabalharemos em W1,2_{(Ω). Examinaremos primeiro o problema de autovalor}

do laplaciano para condi¸c˜ao de fronteira de Dirichlet.

Defini¸c˜ao. Dizemos que u ∈ W01,2(Ω) ´e uma solu¸c˜ao fraca para o problema de autovalor do laplaciano

para condi¸c˜ao de fronteira de Dirichlet ½ −∆u = λu em Ω, u = 0 sobre ∂Ω, se Z Ω ∇u · ∇v = λ Z Ω uv para todo v ∈ W₀1,2(Ω) . (1.17) Aceitaremos o seguinte resultado de regularidade sem demonstra¸c˜ao.

1.13 Teorema. Seja Ω ⊂ Rn_{um aberto limitado com fronteira de classe C}∞_{. Seja λ ∈ R. Se u ∈ W}1,2 0 (Ω)

´e uma solu¸c˜ao fraca de _½

−∆u = λu em Ω, u = 0 sobre ∂Ω, ent˜ao u ∈ C∞¡_Ω¢_.

1.14 Teorema. Seja Ω ⊂ Rn _{um aberto limitado. Ent˜ao o problema de autovalor}

−∆u = λu em Ω, u ∈ W01,2(Ω)

possui um n´umero infinito enumer´avel de autovalores

(23)

tais que

λj→ ∞,

e autofun¸c˜oes {uj} que constituem um sistema ortonormal completo para L2(Ω), isto ´e,

v =

∞

X

i=1

αiui

para todo v ∈ L2_{(Ω). Em particular,}

kvk2_L2_(Ω)=

∞

X

i=1

hv, uii2L2_(Ω).

Al´em disso, para todo v ∈ W₀1,2(Ω) vale

k∇vk2_L2_(Ω)=

∞

X

i=1

λihv, uii2_L2_(Ω).

Prova: Generalizando o princ´ıpio de Rayleigh, gostar´ıamos de obter o primeiro autovalor do laplaciano como o m´ınimo do funcional de Rayleigh:

λ1= inf

u∈W₀1,2(Ω)\{0}

h−∆u, ui_L2_(Ω)

kuk2_L2_(Ω)

.

No entanto, nossas fun¸cões estão em W₀1,2(Ω) e em geral não possuem derivadas parcias de segunda ordem e portanto seus laplacianos não estão definidos. Porém, lembrando que C∞

0 (Ω) ´e denso em W01,2(Ω) e a

primeira identidade de Green para fun¸c˜oes em C∞

0 (Ω) toma a forma h−∆u, ui_L2_(Ω)= Z Ω (−∆u) u = Z Ω h∇u, ∇ui − Z ∂Ω u∂u ∂η = h∇u, ∇uiL2_(Ω) consideramos o funcional I : W01,2(Ω) \ {0} → R definido por

I (u) = R Ω|∇u| 2 R Ωu2 = h∇u, ∇uiL2(Ω) hu, ui_L2_(Ω) =k∇uk 2 L2_(Ω) kuk2_L2_(Ω) . Afirmamos que se λ1= inf u∈W₀1,2(Ω)\{0}I (u) , (1.18)

ent˜ao existe u ∈ W₀1,2(Ω), u 6= 0, tal que

−∆u = λ1u,

ou seja, λ1 ´e um autovalor do laplaciano. Para provar isso, observe em primeiro lugar que o funcional I

´e invariante por escala, no sentido de que I (αu) = I (u) para todo α 6= 0, logo podemos considerar uma seq¨uˆencia minimizante (uk) ⊂ W01,2(Ω) que satisfaz kukk_L2_(Ω)= 1 para todo k. Em particular,

k∇ukk2L2_(Ω)→ λ1,

logo (uk) ´e uma seq¨uˆencia limitada em W01,2(Ω). Segue do Teorema de Rellich-Kondrakhov que, a menos

de uma subseq¨uˆencia, uk → u em L2(Ω) e, portanto, kuk_L2_(Ω)= 1, o que implica em particular que u 6= 0. Afirmamos que uk → u em W01,2(Ω). De fato, valem as identidades

k∇ (uk− ul)k2L2_(Ω)+ k∇ (uk+ ul)k2L2_(Ω)= 2 k∇ukk2L2_(Ω)+ 2 k∇ulk2L2_(Ω),

(24)

Rodney Josu´e Biezuner 23 A segunda identidade implica que kuk+ ulk2_L2_(Ω) → 4 quando k, l → ∞. Usando a primeira identidade juntamente com a desigualdade

k∇ (uk+ ul)k2_L2_(Ω)> λ1kuk+ ulk2_L2_(Ω), que segue da defini¸c˜ao de λ1, obtemos

k∇ (uk− ul)k2L2_(Ω)6 2 k∇ukk2L2_(Ω)+ 2 k∇ulk2L2_(Ω)− λ1kuk+ ulk2L2_(Ω)→ 0

quando k, l → ∞, isto é, (∇uk) é uma seq¨uência de Cauchy em L2(Ω), o que prova a afirma¸cão. Segue que

λ1= k∇uk2L2_(Ω)

e o Teorema de Poincaré implica que λ1 6= 0. Vamos denotar u = u1. Para mostrar que u1é uma solu¸cão

fraca de −∆u1= λ1u1, observe que para todo v ∈ W01,2(Ω) fixado temos

I (u1+ tv) =

h∇ (u1+ tv) , ∇ (u1+ tv)iL2_(Ω)

h(u1+ tv) , (u1+ tv)iL2_(Ω)

= k∇u1k

2

L2_(Ω)+ 2t h∇u1, ∇viL2_(Ω)+ t2k∇u1k2L2_(Ω)

ku1k2L2_(Ω)+ 2t hu1, viL2_(Ω)+ t2ku1k2L2_(Ω)

onde |t| ´e suficientemente pequeno para que o denominador nunca se anule. Como u1 ´e um m´ınimo para

este funcional, segue que 0 = dI dt (u + tv) ¯ ¯ ¯ ¯ t=0 = ³

2 h∇u1, ∇viL2_(Ω)+ 2t k∇u1k2L2_(Ω) ´ ku1+ tvk2L2_(Ω)− ³ 2 hu1, viL2_(Ω)+ 2t ku1k2L2_(Ω) ´ k∇ (u1+ tv)k2L2_(Ω) ku1+ tvk4L2_(Ω) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ t=0 =2 h∇u1, ∇viL2(Ω)ku1k 2 L2_(Ω)− 2 hu1, viL2_(Ω)k∇u1k2L2_(Ω) ku1+ tvk4L2_(Ω) =2 h∇u1, ∇viL2(Ω)− 2λ1hu1, viL2(Ω) ku1+ tvk4L2_(Ω) , ou seja, _Z Ω ∇u1· ∇v = λ1 Z Ω u1v para todo v ∈ W₀1,2(Ω).

Suponha como hip´otese de indu¸c˜ao que obtivemos (λ1, u1) , . . . , (λj−1, uj−1) satisfazendo

ui∈ W01,2(Ω) ,

λ16 . . . 6 λj−1,

−∆u = λiu em Ω,

e

hui, uki_L2_(Ω)= δik

para todos 1 6 i, k 6 j. Definimos

Hj =

n

v ∈ W₀1,2(Ω) : hv, uiiL2_(Ω)= 0 para i = 1, . . . , j − 1 o

(25)

Em outras palavras, Hj ´e o subespa¸co de Hilbert ortogonal ao subespa¸co de dimens˜ao finita gerado pelas

autofun¸c˜oes u1, . . . , uj−1. Defina

λj = inf u∈HjI (u) .

Como o ´ınfimo est´a tomado sobre um espa¸co menor, segue que

λj> λj−1.

O fato de que Hj ´e um subespa¸co fechado de W01,2(Ω) permite repetir o mesmo argumento acima para obter

uj∈ Hj tal que kujk_L2_(Ω)= 1, λj= k∇ujk 2

L2_(Ω). Tamb´em analogamente obtemos Z Ω ∇uj· ∇v = λj Z Ω ujv

para todo v ∈ Hj e a rela¸cão é trivialmente verdadeira para todo v ∈ W01,2(Ω), já que uj é ortogonal ao

subespa¸co gerado por u1, . . . , uj−1. Portanto uj ´e uma solu¸c˜ao fraca de −∆u = λju em Ω.

Para ver que λj → ∞, suponha por absurdo que λj → λ0. Ent˜ao obtemos uma seq¨uˆencia (uj) ⊂ W01,2(Ω)

de autofun¸c˜oes associadas aos autovalores λk tais que kujk_L2_(Ω)= 1 e

k∇ujk2_L2_(Ω)= λj → λ0.

Em particular, podemos usar novamente o Teorema de Rellich-Kondrakhov para concluir que uj → u em

L2_{(Ω). Mas isso ´e um absurdo, pois a seq¨}_{uˆencia (u}

j) ´e ortonormal em L2(Ω) e portanto satisfaz

kuk− ulk2L2_(Ω)= kukk2L2_(Ω)+ kulk2L2_(Ω)= 2. Falta apenas provar os resultados de expans˜ao. Para v ∈ W₀1,2(Ω), escreva

αi= hv, uiiL2_(Ω) e vk= k X i=1 αiui, wk= v − vk.

Para todo i 6 k temos

hwk, uii = * v − k X i=1 αiui, ui + = hv, uii − αi = 0.

Da´ı, como uié solu¸cão fraca, para todo i 6 k temos também

h∇wk, ∇uiiL2_(Ω)= λihwk, uiiL2_(Ω)= 0, donde

hwk, wkiL2_(Ω)= hv, vi_L2_(Ω)− hvk, vkiL2_(Ω),

h∇wk, ∇wkiL2_(Ω)= h∇v, ∇vi_L2_(Ω)− h∇vk, ∇vkiL2_(Ω). Desta ´ultima identidade segue que

(26)

Rodney Josu´e Biezuner 25 Por defini¸c˜ao de λk, h∇wk, ∇wki_L2_(Ω)> λk+1hwk, wki_L2_(Ω), logo kwkk2_L2_(Ω)= hwk, wki_L2_(Ω)6 1 λk+1 h∇v, ∇vi_L2_(Ω)→ 0. Em particular, conclu´ımos que

v = lim vk+ lim wk = ∞

X

i=1

αiui em L2(Ω) . (1.19)

Para provar a segunda expans˜ao, escreva

∇vk= k X i=1 αi∇ui, donde k∇vkk2L2_(Ω)= k X i=1 α2i h∇ui, ∇uii = k X i=1 α2iλihui, uii = k X i=1 λiα2i. Como h∇wk, ∇wki_L2_(Ω)+ h∇vk, ∇vki_L2_(Ω)= h∇v, ∇vi_L2_(Ω), segue que k∇vkk2L2_(Ω)6 k∇vk 2 L2_(Ω).

Somando-se a isso o fato que os λisão não-negativos, conclu´ımos que a série ∞

P

i=1

λiα2i converge, de modo que

k∇ (wk− wl)k2L2_(Ω)= k∇ (vl− vk)k2L2_(Ω)=

l

X

i=k+1

λiα2i

e portanto (∇wk) também é uma seq¨uência de Cauchy em L2(Ω), ou seja, (wk) converge em W01,2(Ω).

Conseq¨uentemente, em vista do resultado anterior, wk→ 0 em W01,2(Ω), logo

k∇vk2_L2_(Ω)= lim k∇vkk2L2_(Ω)+ 2 lim h∇vk, ∇wki + lim k∇wkk2L2_(Ω)=

∞

X

i=1

λiαi2.

Segue que (uj) é uma seq¨uência ortonormal e o fecho do subespa¸co gerado por (uj) é um espa¸co de Hilbert

contendo W₀1,2(Ω) contido em L2_{(Ω). Como W}1,2

0 (Ω) = L2(Ω), conclu´ımos que {uj} ´e um sistema

ortonor-mal completo para L2_{(Ω). ¥}

Observa¸c˜ao 1. Segue deste teorema, em particular, que aquelas fun¸cões v em L2_{(Ω) que não estão em}

W₀1,2(Ω) podem ser caracterizadas pelo fato queP∞_i=1λihv, uiiL2_(Ω) diverge.

Observa¸c˜ao 2. Pelo Teorema 1.13, se ∂Ω for de classe C∞_{, ent˜ao as autofun¸c˜oes do problema de Dirichlet}

estão em C∞¡_Ω¢_{e são solu¸cões clássicas.}

A demonstra¸cão do resultado equivalente para o problema de autovalor com condi¸cão de Neumann é análoga (veja [Jost]):

1.15 Teorema. Seja Ω ⊂ Rn _{um aberto limitado. Ent˜ao o problema de autovalor}

(27)

possui um n´umero infinito enumer´avel de autovalores

0 = λ06 λ16 λ26 . . . 6 λj6 . . .

tais que

λj→ ∞,

e autofun¸c˜oes {uj} que satisfazem

∂u

∂η = 0 sobre ∂Ω e constituem um sistema ortonormal completo para L2_{(Ω), isto ´e,}

v =

∞

X

i=1

αiui

para todo v ∈ L2_{(Ω). Em particular,}

kvk2_L2_(Ω)=

∞

X

i=1

hv, uii2L2_(Ω).

Al´em disso, para todo v ∈ W1,2_{(Ω) vale}

k∇vk2_L2_(Ω)=

∞

X

i=1

λihv, uii2L2_(Ω).

Na demonstra¸cão do Teorema 1.14 usamos o princ´ıpio de Rayleigh para obter o primeiro autovalor do laplaciano como o m´ınimo do funcional de Rayleigh. Como os autovalores do laplaciano formam uma seqüência infinita que cresce arbitrariamente em módulo, o funcional de Rayleigh para o laplaciano não possui um máximo. Entretanto, da mesma forma que no caso de operadores lineares em dimensão finita, podemos também derivar um princ´ıpio de minimax para obter os demais autovalores do laplaciano:

1.16 Teorema. Seja Ω ⊂ Rn _{um aberto limitado. Sejam}

0 < λ16 λ26 . . . 6 λj6 . . .

os autovalores do laplaciano com condi¸c˜ao de Dirichlet:

−∆u = λu em Ω, u ∈ W01,2(Ω) .

Ent˜ao, se Lj denota o conjunto dos subespa¸cos vetoriais de W01,2(Ω) de dimens˜ao j, temos

λj= min L∈Lj   max u∈L kuk=1 h∇u, ∇ui_L2_(Ω)   = min L∈Lj  max u∈L u6=0 h∇u, ∇ui_L2_(Ω) kuk2_L2_(Ω)   _(1.20) ou, dualmente, λj= max L∈Lj−1   min u⊥L kuk=1 h∇u, ∇ui_L2_(Ω)   = max L∈Lj−1  min u⊥L u6=0 h∇u, ∇ui_L2_(Ω) kuk2_L2_(Ω)   . (1.21)

O resultado an´alogo vale para os autovalores do laplaciano com condi¸c˜ao de Neumann trocando-se W01,2(Ω) por W1,2(Ω) e λj por λj−1.