Cap11 Sec3

(1)

Capítulo 11

Sequências e Séries

Infinitas

(2)

Em geral é difícil encontrar a soma exata de uma série.

Conseguimos fazer isso para as séries geométricas e a série ∑ 1/[n(n+1)].

Isso porque em cada um desses casos pudemos encontrar uma fórmula simples para a n-ésima soma parcial s_n.

Mas, geralmente, não é fácil calcular lim s_n .

→∞

(3)

Portanto, nas próximas seções,

desenvolveremos vários testes que nos permitem determinar se uma série é

convergente ou divergente sem encontrar sua soma explicitamente.

Em alguns casos, contudo, nossos métodos nos permitirão encontrar boas estimativas da soma.

Nosso primeiro teste envolve as integrais impróprias.

(4)

11.3 O Teste da Integral e

Estimativas de Somas

Nesta seção, aprenderemos como:

Encontrar a convergência ou divergência de séries e fazer boas estimativas de soma.

(5)

Começamos investigando as séries cujos

termos são os recíprocos dos quadrados de inteiros positivos:

Não existe uma fórmula simples para a soma s_n dos n primeiros termos.

TESTE DA INTEGRAL 2 2 2 2 2 2 1

1

1 ...

1

2

3

4

5

n

∞ =

=

+

∑

(6)

Mas a tabela de valores gerada por

computador dada na margem sugere que as somas parciais estão se aproximando de um número próximo de 1,64 quando n → ∞.

Assim, parece que a série é convergente.

Podemos confirmar essa impressão com um

argumento geométrico.

(7)

A figura mostra a curva y = 1/x2 _e

retângulos que estão abaixo da curva.

(8)

A base de cada retângulo é um intervalo de comprimento 1.

A altura é igual ao valor da função y = 1/x2

na extremidade direita do intervalo.

(9)

Dessa forma, a soma das áreas dos retângulos é: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 2 3 4 5 _n n ∞ = + + + + + =

∑

TESTE DA INTEGRAL

(10)

Se excluirmos o primeiro retângulo, a área total dos retângulos remanescentes será

menor que a área sob a curva y = 1/x2 _para

x ≥ 1, que é o valor da integral

Na Seção 7.8, no Volume I, descobrimos que essa integral imprópria é convergente e tem valor 1.

2

1

(1/

x

)

dx

∞

∫

(11)

Assim, a figura mostra que todas as somas parciais são menores que

Então, as somas parciais são limitadas.

2 ₁ 2 1 1 2 1 x dx ∞ +

∫

= TESTE DA INTEGRAL

(12)

Também sabemos que as somas parciais

são crescentes (porque todos os termos são positivos).

Portanto, as somas parciais convergem (pelo Teorema da Sequência Monótona) e, dessa maneira, a série é convergente.

(13)

A soma da série (o limite das somas parciais) é também menor que 2:

2 2 2 2 2 1

1

1 ...

2

1

2

3

4

n

∞ =

=

+

+ <

∑

(14)

A soma exata dessa série encontrada pelo matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783) é

π

2 _{/ 6.}

(15)

Agora vamos olhar para a série:

1

1 ...

1

2

3

4

5

n

∞ =

=

+

∑

(16)

A tabela de valores de sn sugere que as

somas parciais não estão se aproximando de um número;

Assim, suspeitamos que essa série possa ser

divergente.

Novamente usamos um desenho para a confirmação.

(17)

A figura mostra a curva y = 1/ .

Porém dessa vez utilizamos retângulos cujos topos estão acima da curva.

x

(18)

A base de cada retângulo é um intervalo de comprimento 1.

A altura é igual ao valor da função

y = 1/ na_x extremidade esquerda do intervalo.

(19)

Desse modo, a soma das áreas de todos os retângulos é: 1

1

1 ...

1

2

3

4

5

n

∞ =

+

+ =

∑

(20)

Essa área total é maior que a área sob a curva y = 1/ para x ≥ 1, que é igual à integral

Mas sabemos, a partir da Seção 7.8, no Volume I, que essa integral imprópria é divergente.

Em outras palavras, a área sob a curva é infinita. Assim a soma da série deve ser infinita; isto é, a

série é divergente. 1 (1/ x dx) ∞

∫

x TESTE DA INTEGRAL

(21)

O mesmo tipo de argumentação geométrica que usamos para essas duas séries pode ser usado para demonstrar o seguinte teste.

A demonstração é dada no fim desta seção.

(22)

Suponha que f seja uma função contínua, positiva e decrescente em [1, ∞) e seja

a_n = f(n).

Então, a série é convergente se e somente se a integral imprópria

for convergente. 1 n n a ∞ =

∑

1 f x dx( ) ∞

∫

O TESTE DA INTEGRAL

(23)

Em outras palavras,

Se for convergente, então é convergente.

Se for divergente, então é divergente. 1 f x dx( ) ∞

∫

1 n n a ∞ =

∑

1 f x dx( ) ∞

∫

1 n n a ∞ =

∑

O TESTE DA INTEGRAL

(24)

Quando você usar o Teste da Integral

lembre-se de que não é necessário começar a série ou a integral em

n

= 1.

Por exemplo, testando a série

usamos OBSERVAÇÃO 2 4

1 (

3)

n

∞ =

−

∑

2 4

1 (

x

3)

dx

∞

−

∫

(25)

Também não é necessário que f seja sempre decrescente.

O que é importante é que f seja decrescente a partir de certo ponto, isto é, decrescente para x maior que algum número N.

Então, é convergente.

E assim, é convergente pela Obs. 4 da Seção 11.2 OBSERVAÇÃO n n N a ∞ =

∑

1 n n a ∞ =

∑

(26)

Teste a série quanto à convergência ou divergência.

A função f(x) = 1/(x2 _{+ 1) é contínua, positiva e}

decrescente em [1, ∞). EXEMPLO 1 2 1 1 1 n n ∞ = +

∑

(27)

Assim usamos o Teste da Integral:

(28)

Então, é uma integral convergente e, dessa forma, pelo Teste da

Integral, a série ∑ 1/(n2 _{+ 1) é convergente.} 2

1

1/(

x

1)

dx

∞

+

∫

(29)

Para que valores de p a série é

convergente? 1

1

p n

n

∞ =

∑

(30)

Se p < 0, então Se p = 0, então

Em qualquer dos dois casos,

Assim, a série dada diverge pelo Teste para Divergência (11.2.7).

lim(1/

p

)

n→∞

n

= ∞

lim(1/

p

)

1

n→∞

n

=

lim(1/ p) 0 n→∞ n ≠

(31)

Se p > 0, então a função f(x) = 1/xp _é

claramente contínua, positiva e decrescente em [1, ∞).

(32)

Encontramos no Capítulo 7, no Volume I [veja 7.8.2], que: É convergente se p > 1 É divergente se p ≤ 1 1

1

p

dx

x

∞

∫

(33)

Segue do Teste da Integral que a série

∑

1/n

p _{converge se}

_{p > 1 e diverge se}

0 < p ≤

1.

Para p = 1, esta é a série harmônica discutida no Exemplo 7 da Seção 11.2.)

(34)

Para usar o Teste da Integral, precisamos ser capazes de calcular e, portanto, precisamos ser capazes de encontrar uma primitiva de f.

Com frequência, isto é difícil ou impossível, de modo que precisamos também de outros testes para a convergência.

1 f x dx( ) ∞

∫

(35)

A série no Exemplo 2, chamada p-série, é

importante para o restante deste capítulo;

Desse modo, resumimos os resultados do Exemplo 2 para referência futura como a seguir.

(36)

A p-série

é

convergente

se p >

1 e divergente

se p ≤

1

Resultado 1 1

1

p n

n

∞ =

∑

p-SÉRIE

(37)

A série

é convergente porque ela é uma p-série com p = 3 > 1. 3 3 3 3 3 1

1

1 ...

1

2

3

4

n

∞ =

=

+

∑

p-SÉRIE EXEMPLO 3a

(38)

A série

é divergente porque ela é uma p-série com p = ⅓ < 1. 1/ 3 ₃ ₃ ₃ ₃ 1 1

1

1 ...

2

3

4

n

∞ ∞ = =

=

= +

+

∑

p-SÉRIE EXEMPLO 3b

(39)

Não devemos inferir a partir do Teste da

Integral que a soma da série é igual ao valor da integral.

De fato enquanto que

Portanto, em geral, OBSERVAÇÃO 2 2 1 1 6 n n

π

∞ = =

∑

1 1

( )

n n

a

f x dx

∞ _∞ =

≠

∑

_∫

2 1 1 1 dx x ∞ =

∫

(40)

Determine se a série converge ou diverge.

A função f(x) = (ln x)/x é positiva e contínua para

x > 1 porque a função logaritmo é contínua.

Mas não é óbvio se f é decrescente ou não.

1

ln

n

∞ =

∑

(41)

Assim, calculamos sua derivada:

Então, f’(x) < 0 quando ln x > 1, isto é, x > e. Segue que f é decrescente quando x > e.

2 2

(1/ )

ln

1 ln

'( )

x x

x

f x

x

−

=

(42)

Assim podemos aplicar o Teste da Integral:

Como essa integral imprópria é divergente, a série Σ (ln n)/n também é divergente pelo Teste da

Integral. 2 1 1 1 2

ln

(ln )

lim

2 (ln )

lim

2

t t t t t

x

dx

x

t

∞ →∞ →∞ →∞

⎤

=

_⎥

⎦

=

= ∞

∫

(43)

Suponha que possamos usar o Teste da Integral para mostrar que uma série ∑ a_n é convergente e que queremos encontrar uma aproximação para a soma s da série.

(44)

Claro, qualquer soma parcial

s

_n é uma aproximação para s, porque

Mas quão precisa é tal aproximação?

lim

_n

n→∞

=

s

ESTIMANDO A SOMA DE UMA SÉRIE

(45)

Para descobrir, precisamos estimar o tamanho do resto

R

_n

– s

_n

= a

_n+1

+ a

_n+2

+ a

_n+3

+ …

O resto R_n é o erro feito quando s_n, a soma dos n primeiros termos, é utilizada como uma

aproximação para a soma total.

ESTIMANDO A SOMA DE UMA SÉRIE

(46)

Usamos a mesma notação e ideias que no Teste da Integral, supondo que f é

decrescente em

[n, ∞).

(47)

Comparando as áreas dos retângulos com a área sob y = f(x) para x > n na

figura, vemos que:

1 2 ... ( )

n n n

n

R = a ₊ + a ₊ + ≤

∫

∞ f x dx

(48)

De maneira semelhante, vemos, a partir dessa figura, que:

1 2 1

...

( )

n n n n

R

a

₊

a

₊ ∞

f x dx

+

=

+

+ ≥

∫

(49)

Assim, demonstramos a seguinte estimativa para o seguinte erro:

(50)

Suponha que f(k) = a_k, onde f é uma função contínua, positiva, decrescente para x ≥ n e que ∑ a_n é convergente.

Se R_n = s – s_n, então

ESTIMATIVA DO RESTO – TESTE DA INTEGRAL

1

( )

n

( )

n

f x dx

R

n

f x dx

∞ ∞ +

≤

∫

Est. 2

(51)

Aproxime a soma da série ∑ 1/n3

usando a soma dos dez primeiros termos. Estime o erro envolvido nessa aproximação. Quantos termos são necessários para

garantir que a soma tenha precisão de 0,0005?

(52)

Em ambas as partes (a) e (b) precisamos conhecer

Com f(x) = 1/x3_{, que satisfaz as condições do}

Teste da Integral, temos:

( )

n

f x dx

∞

∫

3 2 2 2 2 1 1 lim 2 1 1 1 lim t n t n dx x x ∞ →∞ →∞ ⎡ ⎤ = _⎢− _⎥ ⎣ ⎦ ⎛ ⎞ = _⎜ − + _⎟ = ⎝ ⎠

∫

(53)

De acordo com a estimativa do resto em (2), temos:

Por conseguinte, o tamanho do erro é no máximo 0,005. 10 3 3 3 3 3 1

1

1 1.1975

1

2

3

10

n

s

n

∞ =

≈

=

+

+ ⋅⋅⋅ +

≈

∑

10 ₃ ₂ 10 1 1 1 2(10) 200 R dx x ∞ ≤

∫

= =

(54)

A precisão de 0,0005 significa que temos de encontrar um valor de n tal que R_n ≤ 0,0005

Como queremos 3 2

1

2

n n

R

dx

x

n

∞

≤

∫

=

2 1 0.0005 2n <

(55)

Resolvendo essa desigualdade, obtemos

:

ou

Precisamos de 32 termos para garantir precisão de 0,0005. ESTIMATIVA DO RESTO 1000 31.6 n > ≈ 2 1 1000 0.001 n > = EXEMPLO 5b

(56)

Se somarmos s_n em cada lado das desigualdades em (2), obteremos porque s_n + R_n = s. 1

( )

n n n n

s

∞

f x dx

s

∞

f x dx

+

∫

≤ ≤ +

∫

(57)

As desigualdades em (3) dão um limitante inferior e um limitante superior para s.

Eles fornecem uma aproximação mais precisa para a soma da série do que a soma parcial s_n.

(58)

Use (3) com n = 10 para estimar a soma da série: 3 1

1

n

∞ =

∑

(59)

1

1 s

dx

s

dx

x

∞ ∞

+

∫

≤ ≤

+

∫

(60)

Do Exemplo 5, sabemos que: De modo que, 3 2

1

2

n

x

dx

n

∞

=

∫

10 ₂ 10 ₂

1

1 2(11)

2(10)

s

+

≤ ≤

s

+

(61)

Usando s₁₀ ≈ 1,197532, obtemos: 1,201664 ≤ s ≤ 1,202532

Se aproximarmos s pelo ponto médio desse

intervalo, então o erro é no máximo metade do comprimento do intervalo.

Dessa forma, com erro

ESTIMATIVA DO RESTO 3 1 1 1.2021 n n ∞ = ≈

∑

< 0.0005 EXEMPLO 6

(62)

Se compararmos o Exemplo 6 com o Exemplo 5, veremos que a estimativa

melhorada em (3) pode ser muito melhor que a estimativas ≈ s_n.

Para fazer um erro menor que 0,0005, tivemos de usar 32 termos no Exemplo 5, mas apenas dez

termos no Exemplo 6.