Apostila 4

(1)

F´ısica Experimental L1

Instrumenta¸

c˜

ao para o ensino 1

2

o

semestre de 2014

Apostila 4 - M´

etodos de ajustes gr´

aficos

Sum´

ario

1 Introdu¸c˜ao 1

2 Gr´aficos 1

2.1 Regras para a confeçcão de gráficos . . . 3

3 Ajustes lineares 4

3.1 O ajuste visual . . . 4 3.2 O método dos m´ınimos quadrados . . . 7 3.2.1 Desvio quadrático médio . . . 7

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Nas apostilas anteriores vimos como descrever nossa medida com incerteza instrumental e estat´ıstica. Conhecemos a fun¸cão de probabilidade que geralmente está envolvida com a distribui¸cão de erros estat´ısticos que cometemos no laboratório, a fun¸cão normal, e constru´ımos histogramas para observar o perfil dessa distribui¸cão.

Com isto conhecemos um dos princ´ıpios fundamentais de nossa disciplina: o princ´ıpio de que quanto maior a quantidade de dados, melhor é a nossa estimativa da distribui¸cão que rege a medida. Tanto a média quanto o desvio padrão tem estimativas melhores quanto mais dados forem retirados. Vamos agora discutir métodos para retirar informa¸cão f´ısica dessas distribui¸cões.

2 Gr´

aficos

Suponha que agora queremos medir não uma dada grandeza Y , mas a dependência desta grandeza com a varia¸cão de outra grandeza X. Podemos medir tanto a grandeza X quanto a grandeza Y sem problemas. Nosso problema agora passa a ser descobrir qual a dependência que a variável Y tem com a variável X.

Uma maneira simples e efetiva de estimar a dependência envolve a constru¸cão de um gráfico. A visualiza¸cão dos pontos no gráfico auxilia de forma mais efetiva do que a observa¸cão dos dados em uma tabela, por exemplo.

Exemplo 1 Uma mo¸ca decide registrar o peso de seu bebê nos primeiros meses de vida. Para tanto constrói a tabela abaixo. Com os dados da tabela, constru´ımos o gráfico que está abaixo. Qual das duas maneiras de exibir os dados você acha mais simples para visualizar a dependência do peso com os meses de vida do bebê: Pela tabela ou pelo gráfico?

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Tempo (meses) Peso (Kgf) 0 2,750 1 3,124 2 4,033 3 4,621 4 5,175 5 5,583 6 6,104 7 6,638 8 7,278 9 7,697 10 8,256 11 8,683 12 9,368

Podemos ver que os dados retirados pela mo¸ca na tabela tem incerteza de 1 grama enquanto esta informa¸cão é perdida no gráfico. Por outro lado, para confirmar o crescimento do peso com o passar dos meses através da tabela, é preciso fazer uma conta de cabe¸ca. Por exemplo, entre o mês 2 e 3 o peso passou de 4,033 Kgf para 4,621 Kgf, e uma conta é necessária para saber se o peso aumentou ou não. Isto não é um problema para quem observa o gráfico, pois é direto que o peso aumenta com o tempo.

Naturalmente, existem vantagens e desvantagens em se usar uma tabela, assim como em se usar um gráfico. Para alguns de nossos propósitos, o uso do gráfico será indicado. O seguinte exemplo ilustra mais uma vantagem da visualiza¸cão dos dados em um gráfico.

A figura ao lado mostra como a variável Y depende da variável X de três maneiras diferen-tes. Note que todas as três fun¸cões são crescentes assim como o gráfico do crescimento do bebê na página anterior. Em tabelas seria mais compli-cado perceber que estas curvas são tão diferentes entre si!

Esta figura tamb´em ilustra um fato bastante

curioso: nós conseguimos perceber que uma das curvas apresentadas é uma reta, enquanto não fazemos a menor idéia de quais são as outras curvas. O ser humano, por algum motivo, detecta

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facilmente retas. Isto torna o método gráfico bastante poderoso. Esta sensibilidade à reta nos permite fazer ajustes aos nossos dados, como veremos na se¸cão 3.

Antes de passar aos ajustes, vamos ver algumas regrinhas para confeçcão de gráficos.

2.1 Regras para a confec¸

c˜

ao de gr´

aficos

• No eixo horizontal (abscissa) é lan¸cada a variável independente, isto é, a variável cujos va-lores são escolhidos pelo experimentador; no eixo vertical (ordenada) é lan¸cada a variável dependente, isto é, aquela obtida em fun¸cão da primeira. Em outras palavras, lan¸ca-se a causa no eixo horizontal e o efeito no vertical.

• Deve-se agrupar convenientemente os pontos experimentais mediante a escolha de uma escala adequada. O gráfico da figura (a) é de pouca utilidade para análise se comparado com o da figura (b). Use todo o espa¸co dispon´ıvel, se poss´ıvel.

• A escala deve ser simples. Adotam-se valores múltiplos ou submúltiplos de números inteiros (0, 1, 2, 3, ...; 0,1; 0,2; 0,3; ..., 10, 20, 30, ..., 100, 200, ...). Uma escala complicada e/ou confusa pode dificultar muito a obten¸cão rápida de informa¸cões a partir do gráfico. • A escala adotada num eixo não necessita ser igual à do outro.

• A escolha da escala pode, às vezes, ser imposta por razões teóricas. Por exemplo, desejando-se incluir a origem (0,0) no gráfico para verificar se a curva passaria lá (ex-trapola¸cão).

• Se uma curva for tra¸cada sobre o gráfico, esta deve ser suave e cont´ınua. Nunca una os pontos experimentais por segmentos de reta, isto tem um significado em f´ısica experi-mental que certamente você não irá precisar usar.

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• Quando se trabalha com números muito grandes ou muito pequenos, a escala pode ser simplificada lan¸cando-se as potências de 10 juntamente com a unidade sobre os eixos ou usando-se múltiplos ou submúltiplos das unidades.

• S´ımbolos diferentes (como quadrados, c´ırculos, triângulos, etc) num mesmo gráfico são empregados para distinguir pontos experimentais relativos a condi¸cões diferentes.

• Importante: Escreva o nome ou a inicial da grandeza em cada eixo com letras maiúsculas e entre parênteses coloque a unidade correspondente. Deixe sempre leg´ıvel, evitando ter que colocar o nome dos eixos nas bordas do papel ou na ponta dos eixos onde a visibilidade é prejudicada.

• Após colocar cada ponto no gráfico, não escreva nos eixos os valores relativos a cada ponto, a não ser algum destes valores coincida com os da divisão adotada na escala. • A representa¸cão gráfica de uma grandeza afetada de uma incerteza é feita por uma barra

de incerteza que é um pequeno segmento de reta que abrange o intervalo no qual o valor verdadeiro da grandeza deve estar contido. Se houver incerteza nos dois eixos o ponto será representado por uma cruz ou uma figura geométrica cujas dimensões na dire¸cão dos eixos representam as barras de incertezas correspondentes.

• Em um espa¸co livre, na parte superior ou inferior da folha, escreva o t´ıtulo do gr´afico de forma clara e completa.

3 Ajustes lineares

Nesta se¸cão vamos explorar dois tipos de ajustes: o ajuste visual e o ajuste de maior probabilidade. Ambos os ajustes serão estudados sobre fun¸cões lineares por duas razões: a primeira é a facilidade que o ser humano tem em detectar retas, da´ı é útil saber como obter os parâmetros desta reta a partir de um gráfico; a segunda é devido à dificuldade, sendo a reta o ajuste mais simples depois da constante (média).

3.1 O ajuste visual

Vamos tomar os cinco últimos valores da tabela que a mo¸ca da se¸cão 2 construiu com o peso de seu bebê.

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Tempo (meses) 8 9 10 11 12 Peso (Kgf) 7,278 7,697 8,256 8,683 9,368

Construindo um gráfico com as expecifica¸cões da se¸cão anterior, obtemos um gráfico seme-lhente ao mostrado abaixo, na esquerda. É poss´ıvel reconhecer um comportamento aproxima-damente linear. O gráfico da direita ilustra poss´ıveis retas que descrevem aquele conjunto de pontos. Note que algumas delas sequer passam pelos pontos experimentais. Qual destas retas você acha que é mais provável de ter dado origem a este conjunto de dados?

Colocamos rótulos nas retas. A mais acima chamamos de reta A, a mais baixa de reta C e a do meio de reta B. Existem infinitas retas no plano, com diversas inclina¸cões e passando por infinitos pontos, mas acreditamos que existe uma reta mais provável e, dentre as desenhadas na figura acima, a reta B parece ser a mais provável.

Bem, é assim que funciona o método de ajuste visual: Uma reta é tra¸cada aos dados experimentais usando o próprio olho humano como critério. A reta que melhor se ajustar aos pontos é a reta mais provável. Depois de tra¸cada a reta, basta obter seus coeficientes angular e linear.

Exemplo 2 Segundo o gráfico acima, o peso da crian¸ca cresce linearmente com o tempo de vida. Para conhecer a velocidade de crescimento, é útil conhecer os coeficientes da reta obtida visualmente. Para medir a reta precisamos tomar dois pontos desta reta. Observamos que a reta passa pelo ponto (X1, Y1) = (7,5; 6,6) e pelo ponto (X2, Y2) = (13; 9,8).

A reta ´e descrita pelo seu coeficiente angular A e seu coeficiente linear B pela express˜ao: Y = AX + B,

logo:

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Y2 = AX2+ B,

subtraindo obtemos o coeficiente angular: A = Y2− Y1 X2− X1 = 9,8-6,6 13-7,5 = 3,2 5, 5 = 0, 582Kgf/mˆes; o coeficiente linear pode ser obtido utilizando a f´ormula principal:

B = Yk− AXk, onde tanto faz usar k =1 ou k = 2, d´a o mesmo resultado (verifique!)

B = (6, 6) − (0, 582)(7, 5) = 2,235 Kgf,

Logo, a equa¸cão da melhor reta ajustada visualmente é Y = (0,582 Kgf/mês) X + (2,235 Kgf ).

Note que os coeficientes da reta possuem significado importante para a descri¸cão do fenômeno: O bebê provavelmente nasceu com 2,235 Kgf de peso e cresce a uma taxa de 0,582 Kgf a cada mês. Isto só é válido para o trecho que tomamos, isto é, para os cinco meses finais de vida, por isto vemos que a estimativa do peso de nascimento do bebê está dentro de um desvio alto de 19%, devido ao fato de que o crescimento no in´ıcio da vida é diferenciado.

Para obter uma incerteza para os coeficientes, é necessário tra¸car uma segunda reta. Esta segunda reta deve ser feita em gráfico separado para que os erros envolvidos na medida da primeira reta não influencie na nova medida. Repetindo o procedimento acima para a segunda reta, pode-se calcular seus coeficientes e, finalmente, coeficientes médios e seus desvios padrões (lembre-se que já sabemos como tirar a incerteza da média!).

Exemplo 3 Suponha que uma segunda reta foi tra¸cada cujos coeficientes deram A = 0,467 Kgf/mês e B = 3,563 Kgf. Agora temos uma segunda medida de uma reta boa para os dados. O resultado final será dado pela reta média, isto é, a reta constru´ıda com a média dos coeficientes.

A = 0,52 ± 0,04 Kgf/mˆes B = 2,9 ± 0,5 Kgf

A rigor, quanto mais retas tra¸carmos, mais dados tomamos, portanto, mais nos aproximamos do valor verdadeiro dos coeficientes, com incertezas cada vez mais baixas. No entanto, este método se torna bastante trabalhoso por repeti¸cão. Interessantemente, apenas duas medidas já deram resultado com dois algarismos significativos, o que é mais que suficiente quando se trata do crescimento mensal de um bebê.

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O método do ajuste visual, se bem feito, dá resultados muito bons para experimentos analisados sem o uso do computador. Trata-se de um método simples e rápido para estimar os parâmetros da reta quando a precisão não precisa ser muito elevada.

3.2 O m´

etodo dos m´ınimos quadrados

3.2.1 Desvio quadr´atico m´edio

Dados s˜ao conjuntos conjuntos de pares ordenados de medidas {Xi, Yi}, com i = 1, 2, . . . N.

Queremos encontrar a reta

Y (X) = AX + B (1)

que melhor se ajuste aos dados obtidos (note que X e Y podem ter sido obtidos por alguma substitui¸c˜ao de vari´aveis, caso em que podem ser dados e.g. pelos logaritmos de valores medi-dos).

Para tanto, precisamos nos resignar primeiro ao fato de que a rela¸cão linear observada em qualquer experimento não é uma rela¸cão perfeita, e que portanto é quase imposs´ıvel encontrar uma reta que passe por todos os dados de um conjunto com mais de dois pontos.

Isso ocorre porque medidas possuem flutua¸cões e incertezas, existindo uma dispersão natural nos valores obtidos: pragmaticamente, a melhor reta será sempre aquela que erra menos.

Precisamos nesse cenário realista definir o que significa errar menos. Precisamos de uma quantidade que nos forne¸ca o desvio da reta com rela¸cão ao conjunto de dados, e nos contentar em minimizar esse desvio. A reta a minimizá-lo será a melhor reta poss´ıvel (ou ’menos ruim’, para os pessimistas) dentro do conjunto de dados dispon´ıvel.

Para cada medida n, esse desvio ´e quantificado pelo res´ıduo δYi, definido como

δYi = Yi− Y (Xi) (2)

O res´ıduo nos fornece o qu˜ao distante uma reta escolhida passa de cada dado Yi.

No entanto, o res´ıduo δYi pode ser tanto positivo quanto negativo, e portanto n˜ao possui

m´ınimo. Precisamos ent˜ao encontrar a reta que minimize os tamanhos dos res´ıduos de todas as medidas ao mesmo tempo.

Uma forma de definir uma quantidade possitiva simples, que seja suave (ao contrário da fun¸cão módulo) e que possua significado mais profundo em distribui¸cões de probabilidade é tomar o quadrado de δYi. Definimos, assim, o res´ıduo quadrático pela expressão

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Para avaliarmos a qualidade da reta com rela¸cão a todos os dados, somamos os res´ıduos quadráticos para obter sua variância, denotada como σY, da forma

σ_Y2 = h(δY )2i = N X i=1 [Yi− Y (Xi)]2 N (4)

Segunda a Eq. (1) , no ponto Xi a reta com parˆametros quaisquer A e B possui valor

Y (Xi) = AXi+ B. Com essa substitui¸c˜ao, a equa¸c˜ao acima se torna

σ_Y2 = h(δY )2i = N X i=1 (Yi− AXi− B)2 N (5)

Em outras palavras, a quantidade a ser minimizada é a variância das distâncias δYi entre Yi

medido e o valor Y (Xi) da reta no ponto Xi correspondente. Onde a maximiza¸c˜ao da variˆancia

está associada à minimiza¸cão da soma dos quadrados: Q(Xi, Yi) =

N

X

i=1

(Yi− AXi− B)2. (6)

Por isto este método é conhecido como o método dos m´ınimos quadrados, mas vemos que se trata de uma manifesta¸cão do princ´ıpio da máxima probabilidade.

Que valor de A minimiza a soma dos quadrados (equa¸c˜ao 6)? Vamos variar A e encontrar quando a derivada ´e nula:

∂ ∂AQ(Xi, Yi) = N X i=1 2(Yi− AXi− B)(−Xi) = 0,

utilizando que a soma ´e comutativa, vemos que a express˜ao acima pode ser escrita como:

N X i=1 YiXi ! − A N X i=1 X_i2 ! − B N X i=1 Xi ! = 0, (7)

onde a resposta precisa de uma valor para o coeficiente B. Por isto vamos procurar que valor de B minimiza a soma dos quadrados:

∂ ∂BQ(Xi, Yi) = N X i=1 (−2)(Yi− AXi− B) = 0,

e utilizando que a soma ´e comutativa, vemos que a express˜ao pode ser escrita como:

N X i=1 Yi ! − A N X i=1 Xi ! − BN = 0, (8)

onde usamos que a soma de todas as medidas ´e N :

N X i=1 B = B N X i=1 1 = BN.

(10)

Observe bem as equa¸cões 7 e 8. Elas correspondem a um sistema linear de duas equa¸cões e duas incógnitas (é importante entender que aqui as variáveis são A e B, enquanto as somas podem são dadas pelas medidas realizadas):

SX2A + S_XB = S_XY

SXA + N B = SY

onde os coeficientes Si da esquerda s˜ao dados por:

SX2 = N X i=1 X_i2, SX = N X i=1 Xi (9)

e os coeficientes Si da direita s˜ao dados por:

SXY = N X i=1 YiXi, SY = N X i=1 Yi. (10)

Calculando, apartir dos dados obtidos, os coeficientes via as equa¸c˜oes 9 e 10, o sistema pode ser resolvido e encontramos os valores de A e de B da reta mais prov´avel:

A = N SXY − SYSX

∆ , B =

SYSX2 − S_XYS_X

∆ , (11)

onde ∆ ´e dado por:

∆ = N S_X2 − (S_X)2, (12)

isto ´e, basicamente o determinante da matriz dos coeficientes da esquerda.

Exemplo 4 Vamos resolver o exemplo 3 procurando agora qual a reta que mais se ajusta àquela do crescimento do peso do bebê. Segundo as equa¸cões 9, 10, 11 e 12, precisamos apenas realizar algumas somas. Repetimos na próxima página a tabela com os dados e fazemos as respectivas somas na última linha. Não é necessária a constru¸cão da tabela para resolver o problema, mas resolvemos exibir aqui para melhor entendimento do processo envolvido na solu¸cão do problema.

A partir dos dados da tabela, calculamos o valor de ∆:

∆ = N SX2 − (S_X)2 = 5 · 510 − (50)2 = 50.

Usando as equa¸cões 11 encontramos os coeficientes da reta mais provável, o coeficiente angular é: A = N SXY − SYSX ∆ = 5 · 417,986 − 41,282 · 50 50 = 0,5166 Kgf/mês, e o coeficiente linear é: B = SYSX2− SXYSX ∆ = 41,282 · 510 − 417,986 · 50 50 = 3,0904 Kgf.

Note que este resultado está inclu´ıdo no resultado do método de ajuste visual. No entanto, agora o procedimento nos garante que estes são os coeficientes da reta mais próxima ao conjunto de dados.

(11)

X Y X2 XY 8 7,278 64 58,224 9 7,697 81 69,273 10 8,256 100 82,56 11 8,683 121 95,513 12 9,368 144 112,416 Soma: Soma: Soma: Soma: SX = 50 SY = 41,282 SX2 = 510 S_XY = 417,986

Uma outra interpreta¸c˜ao

Até agora interpretamos que encontramos a curva que melhor se ajusta aos dados expe-rimentais, no entanto, é comum se dizer que o método dos m´ınimos quadrados serve para encontrar a curva mais provável de ter dado origem aos dados experimentais . Esta é uma outra interpreta¸cão.

Suponha que os dados que foram tomados por um estudante tenham sido sujeitos a erros sistem´aticos. Desta forma, os dados incluem estes erros e, dependendo do caso, podemos identificar a presen¸ca do erro e, talvez, a origem deste erro. Vamos a um exemplo final:

Exemplo 5 Um estudante que deseja conhecer o peso de uma viga met´alica de 5000 cm3 resol-veu pesar pequenas partes de volume substancialmente menores. Suas medi¸c˜oes deram origem `

a tabela abaixo.

Volume (cm3₎ ₁₀ ₂₀ ₃₀ ₄₀ ₅₀ ₆₀ ₇₀ ₈₀ ₉₀

Massa (g) 138 199 299 364 426 526 581 665 743

De acordo com esta tabela, quanto deve pesar os 5000 cm3_?

Como a densidade ´e a raz˜ao entre a massa e o volume, seria compreens´ıvel dividi-los, o que daria como resultado os valores mostrados na tabela abaixo.

Densidade (g/cm3₎ _13.8 _9.97 _9.97 _9.09 _8.52 _8.77 _8.30 _8.31 _8.25

Seu valor m´edio seria (9,4 ± 0,6) g/cm3_{. No entanto, note que os n´}_{umeros mostrados}

possuem uma tendˆencia decrescente. Para visualizar melhor o erro que estamos cometendo, vamos construir um gr´afico.

Como podemos ver, os pontos vibram devido a erros aleat´orios. Ajustamos, ent˜ao, a melhor reta que passa pelos pontos dados. Calculando os coeficientes para a reta temos SX = 450,

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SX2 = 28500, S_Y = 3941 e S_XY = 242490. Isto implica ∆ = 54000, logo A = 7,57 g/cm3 e

B = 59,2 g. A reta com estes coeficientes ´e mostrada na figura acima.

Note que o coeficiente B é não-nulo, isto é, a reta não passa pela origem. Bem, esperamos que a massa de uma viga de metal vá a zero quando o volume for a zero. Este é um exemplo de como erros sistemáticos atuam em nossas experiências. Por exemplo, o metal pode ter sido pesado junto com algum recipiente de 59,2 gramas, este erro soma valor à massa em todas as medidas e por isto o gráfico continua linear, mas não passa pelo valor nulo. Um erro sistemático na medida do volume também explicaria B 6= 0.

Uma vez que a densidade é a constante de proporcionalidade entre a massa e o volume, a inclina¸cão da reta será uma medida mais apurada da densidade do material, portanto ρ = 7,57 g/cm3. Compare este valor com os da tabela da página anterior. Aqueles pontos estão sujeitos ao erro sistemático que conseguimos eliminar na densidade ρ.

Agora podemos afirmar que, provavelmente, a massa da viga de metal de 5000 cm3 será 5000·7,57 = 37850 gramas ou 37,85 Kg (agora entendemos porque o estudante não mediu tudo de uma vez: muito pesado para se pôr na balan¸ca!). Com a influência do erro sistemático, seria medido pelo estudante algo em torno de 37,85 + 0,06 = 37,91 Kg.

4 Bibliografia

Qualquer d´uvida quanto a esta apostila pode ser endere¸cada ao professor Thiago Sobral no email tsobral2004@gmail.com. O desenvolvimento foi inspirado no livro:

Vanin, V. R., and O. Helene. ”Tratamento estat´ıstico de dados em f´ısica experimental.”2a edi¸c˜ao, E. Blutcher (1991).