Classificação e Topologia de Variedades Singulares Parametrizadas por Multigermes

Texto

(1)CLASSIFICAÇÃO E TOPOLOGIA DE VARIEDADES SINGULARES PARAMETRIZADAS POR MULTIGERMES ROBERTA GODOI WIK ATIQUE Orientador: Prof. Dr. David Mond Co-orientadora: Profa. Dra. Maria Aparecida Soares Ruas Tese apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas de São Carlos da Universidade de São Paulo, como parte dos requisitos necessários para obtenção do título de Doutor em Ciências - Área: Matemática. USP - São Carlos Março - 1998.

(2) A Mariana.

(3) Agradeço a ti, á Deus, pelas bençãos que tens derramado sobre nossas vidas, em especial pela conclusão deste trabalho. Por que estás abatida, ó minha alma? Por que te perturbas dentro de mim? Espera em Deus, pois ainda o louvarei, a ele, meu auxilio e Deus meu. Salmo 42:5.. Grandes cousas fez o Senhor por nós; por isso, estamos alegres. Salmo 126:3..

(4) AGRADECIMENTOS Ao Evandro, o meu agradecimento todo especial pelo apoio sempre presente, por ter me suportado quando estava insuportável, por ter deixado tudo aqui e me acompanhado até a Inglaterra. Aos meus pais, com muito carinho, por tudo que sempre fizeram por mim. Tive a honra de trabalhar com dois nomes importantes em Teoria de Singularidades. Mais do que isto, encontrei dois amigos que me ensinaram, incentivaram e colaboraram decisivamente para a realização deste trabalho. Aos meus orientadores David Mond e Maria Aparecida Soares Ruas meu mais sincero agradecimento. À Minam e Camilo pela acolhida em Coventry. Aos colegas do Departamento de Matemática do ICMSC-USP. Ao Mathematics Institute da Universidade de Warwick, Inglaterra. À CAPES..

(5) RESUMO Neste trabalho obtemos a classificação dos multigermes simples de C2 em C3 bem como resultados sobre sua topologia. Para estes multigermes mostramos que o complementar do conjunto de bifurcação é um espaço de Eilenberg-MacLane. Para alguns multigermes de C' em CP de codimensão 1 e coposto 1, mostramos que sua forma real admite uma perturbação real cujo discriminante tem o mesmo tipo de homotopia que seu correspondente complexo.. ABSTRACT In this work we obtain the classification of simple multigerms of maps from 2-space to 3-space and also some results about their topology. For some codimension 1 and corank 1 multigerms from C" to CP, we show that we can find a real form and a real perturbation such that the inclusion of the real discriminant in that of the complexification induces an isomorphism on the vanishing homology..

(6) Sumário 1 Introdução. 1. 2 Classificação de multigermes simples de O em 0. 5. 2.1 Introdução. 5. 2.2 Resultados Gerais. 7. 2.3 Classificação de bigermes. 18. 2.4 Classificação de trigermes. 27. 2.5. Adjacências. 35. 2.5.1. Adjacências de bigermes. 35. 2.5.2. Adjacências de trigermes. 36. 3 A topologia do complementar do conjunto de bifurcação. 37. 3.1 Introdução. 37. 3.2 O conjunto de bifurcação. 38. 4 A topologia da imagem de uma perturbação estável. 45. 4.1 Introdução. 45. 4.2 Método Goryunov-N1ond. 46. 4.3 O número de Milnor da imagem de certos monogermes e trigermes. 50.

(7) 4.4 Invariantes 4.4.1 Bigermes 4.4.2 Trigermes. 55 56 59. 61 5 Multigermes de Accodimensão 1 61 5.1 Introdução 62 5.2 Aumentação 5.3 Classificação de alguns multigermes de Ae-codimensão 1 . . . 70 5.4 Topologia 86 6 Multigermes de Accodimensão arbitrária 6.1 Introdução 6.2 Resultados gerais 6.3 Topologia da aumentação. 11. 98 98 99 100.

(8) Capítulo 1 Introdução Classificar germes e encontrar formas normais é um problema clássico em teoria de singularidades. O conhecimento das formas normais permite estudar o comportamento de tais germes, em especial, sua topologia. Uma outra questão é encontrar formas reais para germes complexos e para suas perturbações de modo que o discriminante real tenha o mesmo tipo de homotopia que seu correspondente complexo. Este trabalho tem por objetivo explorar os conceitos acima para multigermes. Assim, obtemos a classificação dos multigermes simples de C2 em C3 bem como resultados sobre sua topologia. Para estes multigermes mostramos que o complementar do conjunto de bifurcação é um espaço de Eilenberg-MaeLane, K(tr, 1). Para multigermes de Cri em CP, n > p, de Ae-codimensão 1 e coposto 1, mostramos que as mudanças na topologia do discriminante complexo resultante de uma deformação do germe, podem ser observadas no correspondente real. A classificação dos multigermes simples de C2 em e , que é obtida no Capítulo 2, completa a classificação dos germes simples iniciada por D.Mond.. 1.

(9) Em [26] Mond classifica os monogermes simples de R2 em R3 e obtem resultados parciais para bigermes. Em particular, Mond dá a lista dos monogermes simples, que vale também para o caso complexo. Nosso método de classificação consiste em mostrar que a A-classificação de multigermes de 01 em Cn+1 se reduz à classificação de germes de funções definidas em 0+1, segundo o subgrupo Kv do grupo de contato K. No caso dos trigermes mostramos que existe uma forma normal dada por germes de funções numa variedade com bordo. Assim, a A-classificação de tais trigermes é equivalente à classificação (devida a V.I.Arnold) de germes de funções numa variedade com bordo com respeito a um subgrupo do grupo K. Este fato é importante visto que alguns monogermes são obtidos destas mesmas funções. No Capítulo 3 mostramos que o complementar do conjunto de bifurcação de um multigerme simples de C2 em C é um espaço de Eilenberg-MacLane K(z-, 1). Este resultado foi obtido por V.V.Goryunov em [3] para os monogermes simples. Dado um multigerme f de C" em Cn+1, finitamente determinado, (n, n+ 1) no domínio das boas dimensões segundo Mather, podemos construir uma fibração definida na imagem de um desdobramento versai de f com valores no complementar do conjunto de bifurcação. A fibra tem o tipo de homotopia de um bouquet de n-esferas. O número de esferas no bouquet é chamado número de Milnor da imagem de f. Os monogermes da forma(x, y2, yp(x , y2)) e os trigermes simples possuem o mesmo conjunto de bifurcação, a saber o discriminante da correspondente função do bordo. Logo surge a questão: qual a relação entre as fibrações acima descritas? No Capítulo 4 mostramos que as fibras são homotópicas. Para isto usamos o método desenvolvido por D.Mond e V.V.Goryunov, que 2.

(10) utiliza sequências espectrais, para calcular o número de Milnor da imagem de um germe. Os resultados acima descritos estão reunidos no artigo On the classification of rnultigerms of rnaps frorn C2 to C3 under A-eguivalence, que foi submetido para publicação no Quartely Journal of Mathematics, da Universidade de Oxford, Inglaterra. Em sua tese de doutorado na Universidade de Warwick, T.Cooper classifica multigermes de Cri em C1+1 de coposto 1 e Accodimensão 1. Ele também prova que tais multigermes têm número de Milnor da imagem igual a 1 e possuem formas reais com boas perturbações reais. Resultados análogos foram obtidos por D.Mond para monogermes de Cri em 09, n > p, de coposto 1 e Aecodimensão 1, substituindo imagem por discriminante. O método de Cooper consiste na aumentação, que é um processo através do qual se obtem novos multigermes de Accodimensão 1 a partir de multigermes também de Aecodimensão 1. Ele obtem uma classificação de multigermes primitivos (não aumentados) de Cri em O' e mostra que alguns resultados sobre a topologia de germes podem ser.estendidos para suas aumentações. No Capítulo 5 descrevemos as técnicas acima, que são utilizadas para mostrar que multigermes de CL em CP , n > p, de coposto 1 e Accodimensão 1 são quasihomogêneos, logo têm número de Milnor do discriminante igual a 1, e possuem formas reais com boas perturbações reais. Estes resultados reforçam a conjectura de que todas as singularidades de codimensão 1 possuem formas reais com boas perturbações reais, e estão reunidos no preprint Vanishing topology of codirnension I rnultigerms over IR and C. Um resultado central do Capítulo 5 mostra que o discriminante de uma perturbação estável da aumentação é a suspensão do discriminante de uma perturbação estável do germe. No Capítulo 6 definimos aumentação para 3.

(11) multigermes de codimensão arbitrária e mostramos um resultado análogo ao acima descrito.. 4.

(12) Capítulo 2 Classificação de multigermes simples de C2 em C3 2.1 Introdução Nosso objetivo neste capítulo é obter a lista completa dos multigermes simples de C3 em C3. A lista dos monogermes simples de C3 em C3 obtida por D.Mond em [26] é a seguinte: A, — codim. Nome. f (x, y) = (x, y, O). O. Imersão. f (x, y) = (x, y2 xY). O. Cross — cap (So). Monogerme. 5.

(13) — codim Nome. Monogerme. Sk. f (x,Y) = (x, Y2 , Y3 + xk+1Y),. k >1. fix, v) = (x, y2, x2y. k >2. k. Bk. k >3. k. Ck. 4. F4. k. Hk. y2k-1-1N , ). f (x, O = (x, Y 2 , xy3 + xkY),. f (x, y) = (x, Y 2 , x3Y + Y3). f (x,y) = (x, 4, xY + y3k-1),. k >2. Existem 5 multigermes de e em C3 de 4-codimensão 1, que são: 1.Si. 2.Contato não transversal de duas folhas imersas. 3.Intersecção de cross-cap e plano imerso. 4.Intersecção quadrupla. 5.Intersecção de 3 folhas imersas, duas a duas transversais onde cada folha tem contato do tipo A1 com a intersecção das outras duas. Em [18], C.Hobbs e N.Kirk obtem a lista de multigermes simples de R2 em R3 usando um método diferente.. 6.

(14) 2.2 Resultados Gerais Seja S um subconjunto de C'. Consideremos o conjunto das aplicações analíticas U. CP cujo domínio U é uma vizinhança de S em Cn. Neste. conjunto introduzimos a seguinte relação de equivalência: duas aplicações f:(1—).CPeg:V—). CP são equivalentes se existir uma vizinhança W. de S em Cri tal que flw = glw. As classes de equivalência são chamadas multigermes de f em S e denotadas por f : (C' , S). (C", f (S)). Quando. S consiste de um único elemento tais classes também são chamadas de mo-. nogermes. Usaremos o termo germe de uma maneira mais geral, podendo significar um monogerme ou multigerme. Consideraremos S um conjunto finito, ou seja, S =. , z,.}. É sufi-. ciente estudar multigermes onde f (S) = {O}, uma vez que a classificação de multigermes com f (S) finito e não unitário se reduz a este caso. O germe de f em; será chamado de ramo e denotado por f 0: (C', zi). (CP, O).. Dois multigermes f, g : S) (C P , O) são ditos A-equivalentes se (02, ;) e lk : (CP, O) existirem germes de difeomorfismos w(i) : (Cn, ;) (CP, O) tais que f(i) o cp(i) = 1,b o g(i), i = 1,..., r. Isto significa que para cada ramo podemos escolher uma mudança de coordenada na fonte enquanto que na meta a mesma mudança de coordenada deve ser aplicada para todos. Um multigerme f : (Cn , S). (C P , O) é dito A-simples se existe um. número finito de classes de A-equivalência tal que se f pertence a uma família F : (Cn x , S x {A0}). para qualquer (w1,. (CP x Cd , O) , F(x,. = ( fA(x), , fA„ = f , então. ,W , )) numa vizinhança suficientemente pequena de. S x {Ao} , o multigerme de fA em {wi,. wr} pertence a uma destas classes. de equivalência. Seja On o anel local dos germes de funções analíticas f : (C", O). 7. C e.

(15) Mn seu ideal maximal (f E Mn se f(0) = O). O conjunto dos monogermes. f: (C' , O) —> C P , denotado por O (n P), é um On-módulo livre de posto p. O submódulo consistindo dos germes que satisfazem f(0) = O é dado por Mn • O (n, p) . Assim o conjunto dos multigermes f : (Cm , S) —> (CP , O) é isomorfo à soma direta de r cópias de M n • 0(n, P) • O espaço tangente a f: (C, S) —> (O', O) segundo o grupo A é dado por (ver C.T.C.Wall [35]):. T A f = tf (M„0(n)s) + f (M I MA) Ç M,.9(f) onde 61(n) consiste dos germes em O de campos vetoriais em Cn, 0(n)s é a soma direta de r-cópias de 61(n) e 0(f) consiste dos germes em O de campos vetoriais ao longo de f. Neste caso 0(f) é a soma direta de 0(f(0), onde f(i) é ramo de f, e pode ser identificado com a soma direta de r-cópias de 0(n, p). O espaço tangente estendido é dado por. T A, f = t f (0(n)s) + (0(p)) Ç 0(f) e a Arcodimensão de f é dada por dime e(f) — dime N,Ae f onde N A, f = Pià é chamado de espaço normal a f. Seja R o grupo dos germes de difeomorfismos (CP, 0) —> (O', 0). Consideremos (X, O) um germe de um espaço analítico em (O', O) e seja. I C Op um ideal que define X, ou seja, o ideal dos germes de funções que se anulam em X. Denotamos por Rx o subgrupo de R consistindo dos germes. 'O E R tais que ii)*(/)=/, ou seja, 0(X) = X. Este grupo tem sido estudado por vários autores. As principais referências são: W.Bruce and M.Roberts [9], J.Damon [12], S.Izumiya and S.Matsuoka [19] e RPellikaan [31]. 8.

(16) Definimos /C (grupo de contato) como o grupo dos germes de difeomorfismos H : (CP x C,O) —> (CP x C,0), H(y,t) = @b(y),1-1(y,t)) onde ttP E R. e ii(y, O) = O. Este grupo age em CPI, da seguinte maneira: se hl, hz E 0p, h1 e h2 são /C-equivalentes se existir H E /C tal que H(y,hl(Y)) =(0(Y),h2(0(Y))), em outras palavras H leva o gráfico de no gráfico de hz. Podemos também definir o grupo /C como sendo o produto semi-direto de C e R. (onde C é o grupo dos germes de difeomorfismos H como acima onde tp é a identidade). Ou seja /C = R. • C. Denotamos por /Cx o subgrupo de /C dado por Kx = 12,x • C, em outras palavras /Cx é o grupo dos germes de difeomorfismos H como acima onde tP(X) = X. Seja 12.(k) = {/P E R./çb = id (rnodMik9} e 12.(P = 12.2e. n 1?.(k).. O. conjunto dos k-jatos de elementos de 12,x é dado por Jk12.x = Segundo R.Pellikaan [31], Jk12.x é um grupo de Lie que age algebricamente na variedade diferenciável Jk(p, 1). Definimos JkK x analogamente. O resultado seguinte reduz a A-classificação de multigermes para a classificação de de germes de funções. Teorema 2.2.1 Dados S'={.zi,. , zr _i} e S =sg"U{zr} subconjuntos de C". e f:(O', Si) —> (0+1, O) um multigerrne finitamente A-determinado, consideremos g,'"É: (C" ,S) —> (0+1, O) multigerrnes finitamente A-determinados tais que g(i) = D(0 = f(i) para i = 1,..., r-1. Então g e"ü são A-equivalentes se, e somente se, h e. TI. são K x-equivalentes onde h, h E On+1 .são equações. reduzidas que definem as imagens de g(r) e D(r) respectivamente e X é a imagem de f. Prova. Seja R,. o grupo dos germes de difeomorfismos cio : (C",. (el zr) •. 9. —>.

(17) Então g é A-equivalente a ã se, e somente se, g(r) é (Rr )< Rx)-equivalente a Se Sr) é (R,. x Rx)-equivalente a ã(') então existem b E Rx e cp E Rr tais que iPcpg(r) = ã(r)ocp. Portanto (Tio 0)-1(0) = h-1(0). Segundo C.Gibson [14, p.145], TioiP é C-equivalente a h. Como b E Rx, temos que Ti é Kx-equivalente a h. Reciprocamente, 71 Kx-equivalente a h implica que existe cP E Rx tal que h o Oé C-equivalente a ti. Assim, (0-1 o e)) (Cn) = ã(r)(Cn). Segue da unicidade da normalisação [24, Theorem 4.23] que dr' o g(r) é Ri-equivalente a ã(r). Portanto gfr) é (R,. x Rx)-equivalente a ã(r). Para a classificação de multigermes, Usaremos a técnica infinitesimal desenvolvida por J.Mather [23, Lemma 3.1]. Proposição 2.2.2 (Lema de Mather) Seja G um grupo de Lie que age numa variedade diferenciável M, e seja S uma subvariedade de M que sa-. tisfaz as seguintes propriedades: (1) Para qualquer x E S, TzG • x D T.S; (2) A dimensão de G • x independe de x E S;. (3) S é conexa. Então S está contida numa única G-órbita. Nosso objetivo é determinar as Kx-órbitas em. Op. usando o resultado. acima. Para isto precisaremos do Krespaço tangente e de um critério para Kx-determinação finita, ver [9] e [19].. 1O.

(18) Lema 2.2.3 Seja h E Op. Então T'12.2‘,, h = {e • hle E Der(log X)} = th(Der(log X)) T'R.x h = {e •hleE M pO(p)n Der(log X)} onde Der(log X) = {e E 0(p) e • h EI, V it E I} e I C. Op. é. um ideal que. define X .. Usaremos o programa Macaulay [8] para calcular Der(log X) onde necessário. O resultado seguinte é análogo ao que J.Bruce e M.Roberts obtem em [9]. Proposição 2.2.4 Se M kp +1 C. MpT72.2e. h + M kp +2 então h é k —. determinado. Prova. A prova é análoga ao caso R, ver C.Gibson [14, p.117].. Consideremos h E. Op. tal que jkh(0) = jki1(0). Temos de mostrar que it. é 'Rx-equivalente a h. Como. Op. é. um espaço vetorial, podemos ligar h e it por uma reta:. h(y) = H (y, t) = h(y)+ t(ii(y)— h(y)) t E [O, 1[ ht é uma família a 1-parâmetro de germes com ho = h e hi = it. Mostraremos que quaisquer dois germes desta família são R x-equivalentes. Seja it = — h E Milc,-1-1. Então h(y) = h(y) + tii(Y)• Se existir (/)(y, t) = tki(y) = (i)t,i(Y), • • ,i)e s p(y)) tal que ht o çbi .= h então a proposição segue. = O. Portanto. Se ht o (1)t = h então l(ht o çbt) = ah E. dçht. " (Y) + dt. 2_,t. dçht. (0t(Y)) • dt —(y) +(iio Ot)(y) = 11.

(19) Seja 22 = Ot(Y) e e(Y,t) = (t(Y) = (et,i(Y),• • • , et,p(Y)) tal que et(Ot(Y)) = ' tc (y). Portanto. f. Oh (u) • &i(u)) = sii(u) (—(u) • &i(u) + . ayayi. r P-N. P. 5. Oh 071 t. et,t = —71. OH :=1 uyi Se existir e, consideremos ( como um campo vetorial que depende de t e P. portanto Ot é o fluxo (com a condição inicial 00 = id). Se et E Der(log X) então Ot E Ra. para t suficientemente pequeno (ver Pellika.an [31, Remark 2.17]. Assim, para t suficientemente pequeno, ht é Rx-equivalente a h. Mas podemos provar este fato para qualquer to E C, ou seja, para todo s E C existe uma vizinhança U, de s em C tal que h, é Rx-equivalente a ht para todo t E U3. Como O e 1 podem ser ligados por uma reta em C, podemos concluir que 7/. = h1 está na Rx-órbita de h. E portanto h é k — Rxdeterminado. Resta mostrar a existência de (. Existe um homomorfismo natural entre os anéis Op. Op4.1. Se / é um. ideal em Op, denotaremos sua imagem em Op+1 por /e (ideal estendido, ver M.Atiyah [7]). Consideremos OH A -= {E —(y, t) • et,i(Y) / et E Der(log X) V t} ayi Temos que A é um ideal em 012-1-1. Afirmamos que (TRxh)e C A ±(n) k±1. De fato, se 77 • h E TRxh então. E. OH (y)) • ni(Y) = (Y1 t) • ni(y) = E(g—h(Y)± vyi Oyi ayi 12.

(20) ah A (Y)• ni(Y) + t. Portanto 77 • h = E. (y,t)• ni(y)— t E. A (y) • 71i(Y). (y)) • 7ji(y) e a afirmação segue. pois it E M; I 44 e ni E M. Por hipótese Mr C M pT7Zxh +Mir, então (Ati)e mep(TR]xh)t (milt,4-2)e. C M;(A + (mpk+i) (mr)6 C Mp+I A + Mp-bi(M;)k+1 aplicando o Lema de Nakayama (ver M.Atiyah [7]) (Mkp+1)e C M p+IA C A Portanto h E A, ou seja, existe eb, = et(Y), et E Der(log X), tal que E. o. (Y, t) et,z(Y) =. Proposição 2.2.5 Se Mkp+1. C. Mp. T Rxh +. + h*M1 • Mp então h é. k — Kx-determinado. Prova. Como na Proposição acima, a prova segue análoga ao caso K. (ver [33]). Nosso objetivo a seguir é encontrar uma relação entre as Accodimensões de f egea Kx,e-codimensão de h. Teorema 2.2.6 Dados S. = {z1, de Cn, consideremos f : (Ci , S). e S =. U {Zr } subconjuntos. (Cn+1 , O) um multigerme finitamente 13.

(21) A-determinado e g : (C", 5') -4 (C2+1, O) satisfazendo 9(0 = f(i) para i 1,. ,r — 1 e g(r) é uma imersão. Se h E 0,2+1 é uma equação reduzida que. define a imagem de g(r) e X éa imagem de f, então a seguinte sequência é exata. O. N ICx,e h -4 N Ag g N A, f. 0. A prova do Teorema 2.2.6 é baseada nos seguintes lemas. Definição 2.2.7 Sejam X e Y variedades diferenciáveis e f : X -4 Y uma aplicação diferenciável C". Seja q:Y TY um campo vetorial em Y. Dizemos que 77 admite um levantamento se existir e : X -4 TX, campo vetorial em X, tal que o) f(g) = t f (e), em outras palavras, n(f (x)) = df (e(x)).. Lema 2.2.8 Seja f : (C" , S). 0) um multigerme finitamente A(0,. determinado. Então o conjunto dos campos vetoriais que admitem levantamentos é igual a Der(log(X)) onde X é a imagem de f.. Prova. Consideremos 77 E Der(log X).. Como f é finitamente determinado, f é estável fora da origem; e as singularidades estáveis não isoladas são os cruzamentos normais. Logo podemos escolher um representante f : U C (04 ,S) (02+1,0) onde as únicas singularidades da imagem f(U)\{0} em 02+1 são cruzamentos normais. Seja Xe o conjunto dos pontos onde X é C', X1 o conjunto dos pontos em X que são cruzamentos normais e X2 = XVX0U X1). Em C" \f-1(X2) existe um único e tal que tf(e) = f(q). Como a codimensão de f'(X2)em C' é maior ou igual a 2, segue pelo Teorema de Hartog que e estende a um campo vetorial em 04. Como a equação t f (e) = to f (r7) vale em C" \f-1 (X2), uma vez que f é estável, ela vale em 04.. 14.

(22) Reciprocamente, suponhamos que 77 admita um levantamento. Seja y E X0. Então f-1 (y) consiste de um único ponto x e 77(y) = df(e(x)). Logo 77 é O. tangente a X e portanto 77 E Der(log. Lema 2.2.9 Com as mesmas hipóteses do Teorema 2.2.6, a seguinte sequência é exata. O. 0(g(r)) tg(r) (0 (n)) + wg(*)(Der(log X)). N. g. N. f. O. Prova Temos que NA =. 0(f) e 0(g)) riteg. Seja A = TÀ.eg n (o e 0(g0'))). Segue do Lema 2.2.8 que. o e e(gH). oe e(g(r)) A. —. o e (tg(r)(0(n))+. wg(*)(Der(log X)) —. 0(g(r)) tg(*)(0(n))+ wg(*)(Der(log X)) A inclusão de O e 0(g(r)) em 0(g) induz uma aplicação injetora. oe0(gM) A. NAgg. A projeção de 0(g) = 0(f) e 0(g(r)) em 0(f) induz uma aplicação sobrejetora : NAg g NAgf Resta mostrar que Im0 = ker Como di o .{b = O temos Im0 c ker Reciprocamente, seja (w, v) E 0(g) = 0(f) e e(g(r)) e [w, v] sua imagem no quociente NAgg. Suponhamos Ok, = O. Então w E T.Agf, ou seja, w = tf (e) + 4(77) onde e E 0(n)ã e 77 E 0(n + 1). Logo (w, 15. =.

(23) (tf (e)+wf (n), wg(r)(77))+. = [(O,v — w9(r)(17))] E Irwib• O. v—wg(r)(77)) e [cd,. Portanto ker çb C Imb.. Lema 2.2.10 Com as mesmas hipóteses do Teorema 2.2.6, 0(gM) tg(r)(0(n))+ wg(r)(Der(log X)) Prova. Sejam x = (xi,. NICx,e h. ,.x) e y = (Y1 • • • , Yn+i) as coordenadas em C'. e Cn+l respectivamente. Como dr) é uma imersão, após uma mudança de coordenadas podemos supor que g(r)(x) =(x, Mx))• Então h(y) = Yn+i yn). Para facilitar a notação, denotemos T = tg(r)(0(n))+wg(r)(Der(log X)). 0(g(r)) por çb(w) = (0,..., O,u./(dr))).. Seja cv E 0(h). Definimos çb : 0(h). Temos que çb(TIC x,eh) C T. De fato, se cv E TICx,e h então n-I-1. ah ,. n•v =E ni— ayi onde 71 = (771, • • • , 77n+i) E Der(log X) e v E 0(h). Consideremos e = (x)) para i = 1,...,n. Lo(eu • • • , en) E 0(n) dado por ei(x) = go .75(w) = tg(r)(e) +w(7]) E T. Portanto temos uma aplicação bem definida 0(g(r)). T. çb : NIC x,e h. Se (4; E 0(h) denotemos por [w] sua imagem em NIC2e,ch. Suponhamos = O. Logo existem =. , ti) E 0(n) e fi = (7') • • • , fin+1). Der(log X)) tais que (0,. 0, w(9(r))) = tdr). ±w9(r)(7"). ou seja, (O,. '1 )±7)(9(r)) i,1. en,Ee.,. = 16.

(24) portanto (g(r)) = fin-El(g(r))— E fii(g(T)),,' ax,. J=1 é uma equação que define a imagem de. + Erli g(r). Assim fi E 1/7.A.41 e to E TK,y,,h. Portanto (/) é injetora. Segue que = —. Temos que (/) é sobrejetora pois dado <" = (C • ri+i) E O( gfr)), seja • • ,( P(Y) = (n+1 (Yb • • • Yn) Ezn—i ect(yi, • • • , yn) E 0(h). Então a) , , o, p(g(d)) = (ci, • • • , cn-f-i) — (G, • • • , cn, Eã—ci) n. (o,. i.1 xi e portanto (P[n] = Kl. Corolário 2.2.11 Com as mesmas hipóteses do Teorema 2.2.6, se f é estável então NK x,eh é isomorfo a iV Observação 2.2.12 Teorema 2.2.6 não é verdadeiro se g(T) não é imersão. Por exemplo seja f (x, y) = (x, x, y) e g(2)(x,y) = (x, y2 , xy). Então se g é um bigerme cujos ramos são f e g(2), g tem Accodimensão 1 e h(X,Y,Z) = Z2 — X2Y tem Kx,e-codimensão infinita. Para calcular a A-codimensão temos o seguinte resultado devido a Leslie Wilson [18]. Proposição 2.2.13 Seja S = {z1,..., z7} e f :(C' (C', S) -4 (CP, O) uni multigerme A-finito. Se f é estável a Ae-codirnensão é zero. Se a Accodirnensão é estritamente maior que zero então ternos a seguinte relação: Ae — codimensão = Á — codirnensão + r(p — n) — p O. 17.

(25) 2.3 Classificação de bigermes No que segue denotaremos por (x, y) e (X, Y, Z) as coordenadas em C2 e C respectivamente. O seguinte resultado foi obtido por David Mond [26]. Proposição 2.3.1 (i) Seja f um bigerme (ISI= 2) de. em 0,onde cada. ramo é uma imersão. Então f é A-equivalente a (x,y,0). { (x,Y). (x. (x Y). So(x Y)). onde cp é chamada função de contato. (ii) Dois bigermes da forma (i) são A-equivalentes se, e somente se, as funções cp correspondentes são C-equivalentes. Corolário 2.3.2 Um bigerme da forma dada pela Proposição 2.3.1(i) é simples se, e somente se, a função de contato cio correspondente é simples, ou seja cp é uma das seguintes (ver RD: cp(x,. Ak. Dk. W(x ,. y). y). 2 ± yk-1-1. =. x. =. x. 2y yk-1 k > 4. E6 : Cp(X, y) = x3 + y4. ▪. :. k > 1. cp(x , y) = x3 + xy3. E3 : cp(x, y) = X3 + y5. 18.

(26) Consideraremos agora os bigermes onde um dos ramos é um cross-cap. Proposição 2.3.3 Seja f : (0 , 5). (e, O) um bigerme onde um dos seus. ramos é um cross-cap. Então f é A-equivalente a um dos seguintes (k > 1):. (a)[S0A01(k) :. {(x Y) (x•Y). (b)[So A kj(1) :. (x • Y 2 • xY). .Ae — codimensão k. (x1 c,x,Y). {(x,Y). Y2 xY). A, — codimensão k +1. (x,Y) 1— (x,xk+1,Y). (c)[SoAkRk + 1) :. {(x, Y). (x, Y 2 xY). A, — codimensão k + 2. (x, y) 1— (x, Y, Yk+1) Prova. I. Classificação.. Seja X a imagem de um cross cap. Suponhamos X = {(X, Y, Z)/Z 2 —. X2Y = 0}. Então Der (log X) =< (X, —2Y, O), (O, 2Z, X2),(X,O,Z), (Z, O, XY) > 0(3). Segue do Teorema 2.2.1 que as A-classes de tais bigermes são dadas pelas Kx-classes em 03. Consideremos primeiramente a ação de G = J11C x em M = 31(3,1). Seja. a = aX + bY + cZ um elemento em M. Segue do Lema 2.2.3 que TaJlIC x • a .< aX,aZ,bY,bZ,cZ > 03 (MOd MN) Seja S = {a E M/a. O, b. 0}. Segue do Lema de Mather que S está. contida numa única G-órbita. Prosseguindo desta maneira obtemos 5 órbitas em J (3, 1): aquelas de. X — Y, X, Y, Z, O 19.

(27) Se h(X, Y,Z) = X —Y, segue de 2.2.5 que h é 1—Kx-determinado e tem Cx,e-codimensão 1. Consideremos agora germes cujo 1-jato é X, Y ou Z. Sejam. (x, 1 z) = x + Eiti+,=k aid,i xiyizi k a2(x, y, z) = Y + Ei÷j÷i, Cr3(X, Y, Z) = Z + Ei±j÷i=k elementos em Jk(3, 1). Então 710,JkCx • ai. =< X,ao,k,olfk ,Z > 03(mod.A43 ) 710.2 nx • az =< 13k,o,oX k, 1',Z > 03 (mod Mr1) Tos nx • a3 =.< X2, XY,-yo,k,0Yk,Z > 03(mod.A4r1) Analogamente temos as seguintes JkCx-órbitas em Jk(3, 1): aquelas de x _ yk, y xk, z yk (k > 2). Sejam hl (X, Y,Z) = h2 (X, Y,Z) = Y — Xk h3 (X, Y,Z) = Z — Yk segue de 2.2.5 que hi é k — Cx-determinado para i = 1, 2, 3. Também h1 e h2 têm Cx,e-codimensão k e h3 tem Cx,e-codimensão k +1. Portanto as .4-classes de tais bigermes e suas codimensões seguem dos Teoremas 2.2.1 e 2.2.6. Resta mostrar que se h tem 1-jato igual a O, h não pode ser simples. De fato, seja M o espaço das formas quadráticas em C3. A dimensão de M é 6. Se a E M então dim To.J2Cxa < 5. 20.

(28) Portanto a dimensão das órbitas de J21Cx em M é menor que a dimensão de M. Logo as órbitas formam uma família continua em M. Consequentemente, h não é Kx-simples. Este argumento de contar dimensões foi usado por V.I.Arnold [4][Lema 4.2] para mostrar que o coposto de um germe de função simples não excede 2. II. Os bigermes classificados em I são simples: (a) O espaço tangente a [80 A01(k) segundo o grupo A é dado por 2k-2} m2. M2 - {Y2. {x,. . M2. M2 - {y} \. m2. {y,. y2k. 1}. 0 + C{. , 1k-t}. M2. y2t o ri o. YO2i O. 0. O. ... .=1..... k-1. Usando o Teorema da Versalidade [35, p.499] temos que um desdobramento A-versal de [80t10](k) é dado por { (x, y) i- (x, y2 + uky, xy + uk+1Y) (x, y). (xk +uk _lxk-1 + • • • + UX, x, y). Se uk 0 ou uk+1 O então ft consiste de duas imersões que são transversais. Portanto h é A-equivalente ao ponto duplo ordinário: y, O). f Suponhamos uk =. (x, O, y). = O. Então h(X,Y,Z)--= X -721 Y - • • • -. Yk é uma equação que define a imagem do segundo ramo de h. 21. -.

(29) Se ui = • • • = ui_I = O e vii. O então jih(0) = X — uiYi. Segue da. classificação que h é PC-equivalente a X — P. Portanto fu é A-equivalente a [SoAo] (i), para i < k. (b) O espaço tangente a [SoAk](1) segundo o grupo A é dado por. M2 - {y,x, x2,• • • ,Xk} M2 - {X, . Xk} (. +C{ ( Xi O. M2. M2 -- {y}. ). O. M2. M2. O. i=1 k. Logo, um desdobramento A-versal de [SoAk](1) é dado por { (x, y) 1—> (x, y2 + uk+IY, xy + uk+2Y) gu Se uk+1. (x, y) r—> (x, Xk+1 + UkXk + • • • + U1X, y). O ou (uk+2. O e u1. O) então gu consiste de duas imersões. transversais. Suponhamos uk±i = ui = O e uk+2. O. Então gu consiste de duas. imersões que são tangentes na origem. Portanto gu é A-equivalente a (x, y) 1—> (x, y, O) (x, Y)'—> (x, 40(x, Y)) onde. 2 W(x,Y) —. x k-Fl -UkX k - • • • - 1L2X2. IX + Uk+2r. Segundo C.Gibson [14, p.129, Teorema 4.6], cpé R-equivalente a xt y2 onde P < k + 1. Portanto g,. é A-equivalente a (x, y)i—> (x, y, O) [Atc_ i]. (x, y)i—> (x, y, X2 + Ye). Também, análogo a (a), temos que gu é A-equivalente a [S0Ai](1), para algum i < k, ou a [S0A0](1). 22.

(30) (c) O espaço tangente a [SoAk](k + 1) segundo o grupo A é dado por m2 _ {y, y3, ... , y2k-1} (\ M2 M2 - {y} M2 _ {x, 2, ... , y2k} m2 _ y, y. {y, y. { ( y2i-1 o" ( O +c. H-• M2 2,... , yk} /. O \ }. O O , O O yi. O. y2i. /. »/. Logo, um desdobramento A-versal de [SoAk](k + 1 é dado por. ft Se 74+2. { (x, y) 1--).(x, Y2 + uk+1.Y, xY + uk+2x + uk-E3Y) (x, y). O 011 Uk+3. (x, y, yk+1 + nkyk + • • • + %V). O 011 (nk+i. O e u1. O) então fu consiste de duas. imersões transversais. Suponhamos Uk+2 = Uk+3 = UI = O e uk-1-1 O. Então j`u é A-equivalente a (x,. (x, y, O). (x, Y)1— (x, W(xIY)) ukyk - • — u2y2 . Como j2w(0) = yk+1_ onde yo(x, y) = x(y) _. — u27j2,. w é 7Z.-equivalente a x2 — y2. Portanto ju é A-equivalente a [A1]. Analogamente, Jt, é A-equivalente a [Soil](i + 1), i < k, ou ju é AO. equivalente a [S0il1](1).. Observação 2.3.4 O bigerme [Soila](k) é A-equivalente ao bigerme classificado por D.Mond [26]: (x,. (x, y, O). (x, Y)1— (Y2, xY + Y"+1, x) É o único bigerme em 2.3.3 cujos ramos são transversais. 23.

(31) Definição 2.3.5 Dizemos que a A-classe L de singularidades é adjacente. à A-classe K, e denotamos por L K, se todo multigerme f E L pode ser deformado em um multigerme em K por uma pertubação arbitrariamente pequena. Isto é equivalente a dizer que K especializa L. Assim, as A-classes às quais L é adjacente são aquelas que aparecem num desdobramento A-versal de qualquer multigerme em L. Proposição 2.3.6 Seja f : (C2 , S) —> (0,0) um bigerrne simples onde um. dos seus ramos é Sk (k > 0), então f é A-equivalente a (x, y) (x, y2, y3 ± xktly) [Sk AO} Prova. (X, y). (O, x, y). Seguiremos a prova de 2.3.3.. Seja X a imagem de Sk. Então Der(log X) =< (2X, 2(k + 1)Y,3(k + 1)Z), (0, 2Z, X2k+2+4Xk+1Y+3Y2), (X"+' +3Y, —2(k +1)XkY, 0),(Z,0, (k+ 1) (x2k-Ely xky2)) > 0(3). Calculando o espaço tangente e aplicando o Lema de Mather temos que as J1Kx-órbitas em J1(3,1) são aquelas de:. Se h(X, Y,Z) = X, então h é 1-Kx-determinado e tem Kx,e-codimensão 1. Suponhamos k = 1. Em J2(3,1) as J2Krórbitas de elementos cujo 1-jato é Y são aquelas de ho = Y + aX2 Como X2 0 Th0f2Kx ha, segue que ha é modal. Em J2(3,1) as J2Kx-órbitas de elementos cujo 1-jato é Z são aquelas de. — X2, Z — fiXY 24.

(32) aqui novamente temos modalidade: afirmamos que { (x, y) :—.(x, y2, y5 + x2y) 9:. (x, y). (x, y, x2). (x, y). (x,Y 2 '93 + x2 y). (x,. (x, y, x2 + uy). não é Á-simples. De fato, seja. uma perturbação de g. Seja h(X, Y, Z) = Z — uY — X2 uma equação que define o segundo ramo de gu. Segue da classificação acima que h não é Kxsimples. Portanto gu não é Á-simples. Logo g não é simples pois é adjacente a um bigerme não simples. Se k >1, como Sk é adjacente a Si, o único bigerme simples é [SkAol• Com o resultado seguinte completamos a classificação de bigermes simples de C2 em C. Proposição 2.3.7 Um bigerme de C2 em C onde um de seus ramos é Bk ou Hic, k > 2, não é simples. Prova. (a) Seja X a imagem de fi (x, y) = (x, y2, x2y + y5). Então. Der(log X) =< (2X, 2Y, 5Z), (X2 + 5Y2, —4XY, O), (O, 2Z, X4 + 6X2Y2 + 5Y4),(Z,O, 2X3Y + 2XY3) > 0(3). Se a = aX + bY + cZ E P(3, 1) então Ta J1K x • a =< aX + bY, aZ , bZ, cZ > 03(MOd Ne) Portanto a dimensão de qualquer órbita de fiKx em J'(3, 1) é menor que a dimensão de P(3,1). Consequentemente um germe em 03 não é Kx-simples.. 25.

(33) Existe também um argumento geométrico. Consideremos o bigerme. (x, y) 1—*(x, y2, x2y — y5) f. (z, y) 1—* (z, y,. + by). Consistindo do germe de uma imersão e do germe do B2 se interceptando transversalmente. Afirmamos que a e b são parâmetros modais. Se fato, seja (30 E 1Z.,'tal que ço({Z — aX — bY = 0}) = {Z — ãX —bY = 0}. Os planos X=0 e Z=0 são planos de simetria de X. Como 4(0) leva plano de simetria em plano de simetria, cbp(0) fixa o plano Z = O, pois não podemos ter cb,o(0)({Z = 0}) = {X = No plano Z = O temos três subespaços lineares que são preservados por 4(0): o cone tangente a Xsin9, ou seja, as retas X ±Y = O, e dw(0)(C). Logo {Z — aX —bY = O} n{z = o} é a quarta reta e seu cross-ratio com as outras três é um invariante de dw(0). Portanto f não é simples.. Figura 2.1: Intersecção do B2. 26. COM. um plano.

(34) Mais geralmente, não existe bigerme simples onde um dos ramos é Ao Ck ou F4 pois estes últimos são adjacentes a f1 (B2)• (b) Seja X a imagem de gi(x, y) =(x, y3, xy + y5). Então Der(log X) =< (4X, 3Y, 5Z), (X2+5YZ, —3XY, 5Y3), (5Y3+XZ, —3YZ, —5X Y2), (9XY25Z21 3Y3, —5X2Y), (29X2Y + 25Y2Z,18XY2 — 15Z2, —5X3) >9(3). Se o- = aX + bY + cZ E J1(3,1) então J1 K x • o- =< aX + bY + cZ , 4aX + 3bY + 5cZ > 03 (MO d Ne) Como em (a), não existe germe em 03 que é Cx-simples.. O. 2.4 Classificação de trigermes Lema 2.4.1 Um trigerme (1,91 = 3) de C2 em O cujos ramos são imerioes não duas a duas tangentes, é A-equivalente a. : f. Prova. {(x, y). (x, y, 0). (x, y). (x, O , y). (x ,y). (x, h3(x, V)). Segue do fato que podemos escolher coordenadas na meta tais que. os planos tangentes às imersões são Y = 0, Z = O e um outro plano que se O. projeta bijetivamente sobre Z = 0.. Seja R5 um subgrupo de R. consistindo de germes de difeomorfismos cp : (0,0) 1—). (0,0), cp = ((Pu (P2), que fixa a reta y = O, ou seja, cp2(x, O) = 0. Consideremos /C5 = RÕ • C (produto semi-direto). Então T/C6113. fI3 aX. 27. (9f13 J 13 >02 dy.

(35) O resultado seguinte mostra que a A-classificação de tais trigermes é equivalente à classificação de germes de funções numa variedade com bordo com respeito a C5 (ver [3], [26]). Proposição 2.4.2 Sejam { (z,y) 4(x, y, O). (x, y) 4(x, y, O). (x, y) 4(x, O, y). (x, y) 4(x, O, y). (x, y) A.(x, Y,fi3(x, Y)) e f :. (x, y) 4(x, y,. 713(x, y)). então f é A-equivalente a 7 se, e somente se, f13 é Cã -equivalente a 713. (i) (ii) Se f é finitamente A-determinado. TAef =. 02. 02. (02. 02 — {1,X,. . . , XN} 02 — {1, X,. . . , XN}. 02 TiCfe5 fia. 71,C fu. 02. (0. O. O. 00. 0. 0. 0. 0 ) +C { ( 00. xi. A(02 x O x 02). ±. 0 0. 2ay &x.i. 0 0 0 ,. O xi xi 0 0 0. onde N E N é tal que x'' -j9:E Titcjfi3 e xN e ÇÉ TiVjf13, e A indica a diagonal de 02 X {O} X 02.. Prova. (i) Suponhamos f A-equivalente a 7.. Então existem germes de difeomorfismos cpi : (e,O) -4 (c2, O), cpi = = 1, 2, 3, e 7.P :(c2, O) -4 (C3, O), 7,b = (01, 02) 03), tais que. (1) tp f. ' h.. (2) ip o f2 o cgl = f2.. 28.

(36) (3)2P f3 Wa 1 =13. Seja K : (C2 xC, (O ,0)). (C2 x C, (O, O)) dado por K (x, y, t) = (cp3(x,y),. 03 (X, y, t)). Como id; é um difeomorfismo local, segue de (1) e (2) que LP(0). O e. portanto K é um difeomorfismo local Segue também de (1), (2) e (3) que ciozz(x, O) = O. (1') (2') 03 (x, y, O) = O. (3') K(x, y, fis(x,Y)) = (403(x, Y), f ia(cd03(x Y)))• Portanto 113 é e-equivalente a 113. Reciprocamente, suponhamos fia /Cs-equivalente a 113. Então existe um germe de difeomorfismo (C2 xC, (0,0)). K: (C2 xC, (0,0)). K(x,y,t) 1-+ (k(x,y),0(x,y,t)). satisfazendo (a) k : (C2 , O). (0 , O), k(x,. =(ki(x, v),k2(x, y)), é um germe de difeo-. morfismo tal que k2(x, O) = O. (b) 0(x, y, O) = O (c) K(x, y, fia(x, Y)) = (k(x, Y),fia(k(x, Y))).. É fácil ver que (a') Kohok-i = A. (b') K 0 12 0. = h, onde 0(x, y) = (ki(x, O),0(x, O, y))•. 29.

(37) (b')Koholc1 = J. Portanto f é it-equivalente a .r.. Go É. imediato.. Corolário 2.4.3 Com as mesmas hipóteses de 2.4.2, N A, f é isomorfo a N1Cfis Corolário 2.4.4 Um trigerme simples de C2 em C3 cujos ramos são imersões que não são duas a duas tangentes, é A-equivalente a um dos seguintes:. (x, y):—> (x,y,0) (k > O). (a)[8k] : {(x, y) 1—> (x,0,y) (x,. y). ( x,. y. Xk+1). (x, y) 1--> (x, y, O) (k > 2). (x, y) 1—> (x,0,y) (b)[Bk] : { (x, y) 1—> (x, y, x2. ± Yk). (x, y) 1—> (x, y, O) (e) [Cd :. (x, y). (x, O, y). (x, y). (x, y, xy + xk). (k > 3). (x, y) 1—> (i, y, 0) (d) [F4]: { (x,Y) i—). (x,O,Y) (x,Y) i— (x, Y ,13 +y2). Prova. Segue do Lema 2.4.1 e da Proposição 2.4.2 que, neste caso, a classi30.

(38) ficação é dada pela classificação de germes em 02 segundo a /Cá equivalência, O. ver [1] e [26].. Com o seguinte resultado completamos a classificação dos trigermes simples de C2 em O. Proposição 2.4.5 Um trigerme simples de C2 em C3 cujos ramos são imersões duas a duas tangentes, não é simples. Prova. Suponhamos primeiramente que as imersões têm contato. Suponhamos, sem perda de generalidade, que uma das imersões seja a canônica. Então no plano Z = O temos 4 retas (cada par dado pelo contato de uma imersão com a canônica) e seu cross-ratio é um invariante por difeomorfismos na fonte e na meta. Portanto o trigerme não pode ser simples. O caso geral é adjacente ao discutido acima e portanto não é simples. O. A classificação de quadrigermes (151 = 4) é análoga a 2.3.3 onde consideramos X a imagem do ponto triplo ordinário: { (x, y) F-+ (x, y, O) (x, y) F-+ (x, O, y) (x, y) F-3 (O, x, y) Portanto temos o seguinte Teorema 2.4.6 A lista abaixo consiste nos multigermes simples de C2 em C segundo „A equivalência.. 31.

(39) As — codim. Nome. f (x, Y) = (x, Y , O). O. Imersão. f (x, Y) =(x, Y 2 , xY). O. Cross — cap(80). k > 1. k. Sk. k >2. k. Bk. k >3. k. Ck. 4. F4. k. Hk. A, — codim. Nome. M onogerme. f (x, y). , 2, x2y ± y2k+1‘ ). = (x, y. f (x, Y) =(x, Y 2 , xY3 + xk Y),. f (x, Y) =(x, Y2: X3Y ± Y5). f (x, Y) = (x, Y3, xY + Y 3k-1),. k >2. Bigerme. Ponto Duplo Ordinário. f:. {(x, Y) 1—). (x, y, O). k. [Ak]. k. [Dd. (x, Y) 1—). (x, Y , x2 + yk41). f. (x7 y). (XI. 2y. x. yk-1). k >4. 32.

(40) : {(x,y) i— (x, y, O). 6. f (x, y) '— (x, y, x3 + y4) : {(x,y) i— (x, y, O). 7. f (x, y) '— (x ,y, x3 ± xY3) : {(x, y) i— (x, y, O) f. 8. (x, y) '— (x, y, x3 + y5). : {(x, Y) '— (x, Y 2 , xY) f. k. [SoAo](k). k + 1. [S0Ak] (1). k +2. [Sok] (k + 1). k + 1. [SkAo]. A, — &adira. Nome. (x, u) i— (xk , x, u). (x, u) i— (x, Y 2 , xY) f : { (x,Y) '— (x,xk+1 ,y). {(x, Y) '— (x, Y2 , xY) f: (x, u) i— (x , Y , Yk+1) {(x,y) '— (x, y2, y3 f :. ± xk+i y). (x, y) i— (O, x, y). Trig errne. (x, y) i— (x, y,0) Ponto Triplo. f. O. (x, y) i— (x , O , y). Ordinário : {(x, y) i— (O, x, y). 33.

(41) (x, y) H+ (x, y, O). f:. k. [Sk]. k >2. k. [Bk]. k >3. k. [Ck]. 4. [F4]. (x, y) 1-* (x, O, y) {(x,. Y) H+ (x Y Y + xk+1). (x, y) H+ (x, y, O) (x, y) 1-* (x, O, y). f. : {(x,. y). (x y, x2 + Yk). (x, y) H+ (x, y, O) (x, y)i-+ (x, O, y). f. : {(x,. y). (x, y, xY + x k). (x, y) H+ (x, y, O). f:. (x, y) 1-* (x, O, y) {(x, Y) 1-* (x,. xa + Y2) ite - codirn Nome. Quadrigerme (x, y) 1-* (x, y, O) f. Qk. (x,. H+ (x, y, + xic). * k > 1 exceto nos casos explicitados. * Em parênteses temos o número de pontos triplos na imagem de uma perturbação estável (ver o capítulo 4 desta tese).. 34.

(42) 2.5 Adjacências 2.5.1 Adjacências de bigermes. [SOA. [S0111](2) [S0A0](3) -Hig0A0] 2) [SzAo]. [S11151 35. [S0A0](1). Ponto Duplo Ordinário.

(43) 2.5.2 Adjacências de trigermes [F4]. [Ck]. — [C4] —. [Bk]. [B4]. [Sk]. [S4]. [C2]. [B3]. [S3]. 36. a.. [B2]. [S2] -- [Si]. Ponto Triplo Ordinário.

(44) Capítulo 3 A topologia do complementar do conjunto de bifurcação 3.1 Introdução Em seus trabalhos sobre classificação de germes, V.I.Arnold mostra que, em muitos casos, o complementar do conjunto de bifurcação é um espaço de Eilenberg-MacLane K(7r, 1). Em [3] V.V.Goryunov mostra que no caso da classificação de monogermes simples de O em C3 dada por D.Mond, este mesmo resultado vale, ou seja, o complementar do conjunto de bifurcação é um espaço do tipo K(7r, 1). Neste capítulo estendemos o resultado de Goryunov para os multigermes simples de C2 em C3 obtidos no capitulo 2. Como a classificação de alguns multigermes recai sobre os resultados de Arnold, veremos que o mesmo acontece aqui, ou seja, alguns conjuntos de bifurcação são análogos aos de Arnold e portanto já sabemos serem do tipo K(7r, I).. 37.

(45) 3.2 O conjunto de bifurcação O conjunto de bifurcação E de um germe de (R2, S) em (R3, O) (ver por exemplo [3]) é o conjunto dos valores do parâmetro A de uma deformação Ar miniversal para os quais as imagens das correspondentes aplicações têm singularidades mais complicadas que em posição geral, isto é, são não estáveis. As singularidades de uma imagem em posição geral são o cross-cap e intersecções transversais de 2 ou 3 planos (pontos duplos e triplos). Como vimos no capítulo 2, existem 5 singularidades não estáveis que ocorrem estavelmente em famílias a 1-parâmetro de aplicações R2 -4 R3. Elas correspondem a 5 componentes (no caso mais geral) de E. A seguir descrevemos estas componentes que denotamos por E1, , E5. El: fusão/nascimento de 2 cross-caps. Este fenômeno ocorre com os monogermes, quando são adjacentes a SI. E2:contato não transversal de dois planos imersos. Ocorre quando dois ramos não singulares se interceptam e os planos tangentes no ponto de intersecção coincidem.. E3:intersecção de cross-cap e imersão. Ocorre quando um ramo não singular intercepta um cross-cap transversalmente. Como se trata de codimensão 1, o plano imerso deve interceptar transversalmente a curva de pontos duplos do cross-cap. E4:ponto triplo não transversal. Ocorre quando dois ramos não singulares se interceptam transversalmente e um terceiro ramo não singular intercepta esta curva de pontos duplos tangencialmente. E5:ponto quadruplo transversal.. 38.

(46) Definição 3.2.1 Um espaço topológico do tipo K(ir,n) (ou um espaço de Eilenberg-MacLane), onde ir é um grupo e ri é um inteiro maior ou igual a 1, é um espaço Y conexo por caminhos que satisfaz Ir,7(Y,tio) = O para q n e Ir„(Y, yo) é isornorfo a Ir.. Teorema 3.2.2 O complementar do conjunto de bifurcação de um rnultigerme simples de C2 em C3 é um espaço do tipo K(i-,1). Prova. O resultado já é conhecido para os monogermes [31.. Sabe-se que, no caso complexo, o complementar do conjunto de bifurcação é um espaço conexo. Para bigermes de imersões a única componente de E não vazia é E2. Neste caso E coincide com o conjunto de bifurcação da função de contato e portanto seu complementar é um espaço do tipo K(ir, 1) [4]. De fato, consideremos o caso [AA. A função de contato é dada por cp(x,y) = x2 + yk+1. Seja fx. (x, y). (x, y, O). (x , y). (x , y ,. (x, y)). um desdobramento Arminiversal de [Ak], onde cpÀ(x, y) = x2 + yk+1 + Ak-tYk-1 + • • • + AlY + Ao.. Seja Ui uma vizinhança no domínio de ft). Como ambos os ramos são se interceptam: ) imersões, pontos duplos somente ocorrem quando f},1) e fr D2 (A) n (UI x U2)"--1 {(x, Y) wx(x, y) = o} Como 1 O ). (de) . (1 0. O. 2x 1 ) an. O 1( dg)) =( O O. 8y. 39.

(47) a intersecção de ji:.) e ff) não é transversal quando x = 0 e. = O. tlY. Assim, E é dado por. f (o,) = = a, No caso dos trigermes, o conjunto de bifurcação coincide com o conjunto de bifurcação da função do bordo. De fato, consideremos o caso [.Bk]. Seja (x, y) 1-4 (x, y, O) (x, y) i— (x, O, y) g), : { (x, Y) '— (x, V, PA(x, Y)) um desdobramento ite-miniversal de [Bk], onde p),(x, y) „,_ x2 ±yk ± Ak_iyk- 1+ • • + Aly + Ào• •. Como todos os ramos são imersões temos que Ei e E3 são vazios. E2: Seja U, uma vizinhança no domínio de gr Pontos duplos não transversais são provenientes de gr) e g(),3): D2(g A) n(Ui. x U3) '--,J. {(x, y)/pA(x, y) = O} .= f 1 O \. 1 O \ O 1 (dg(An)= (. (dg). O 1 \2X t/. O 0/. () 1 (3) Logo g>, e gA se interceptam tangencialmente quando { /4(0, y) = O. ELI:. Temos que D2 (g),) n (Ui x U2) 2g: {(x, o)} 40.

(48) D3(gx) n (ui x U2 X U3) {(x,0) / px(x, O) = 0} Também, (1, O, O) é um vetor tangente à imagem de D2(g A) n (Ui x U2) e (-2x, — 24, 1) é um vetor normal ao plano tangente à imagem de gi3). Assim, gr) intercepta a curva de pontos duplos D2(g A) n (U1 x U2) tangencialmente quando x = 0. Logo temos x = O e pA(x, O) = O. Portanto E4 = {À0 = 0}. Portanto E = E2 U E4 = {79(74(0, y)) = O} U {À0 = 0}, onde 79(74(0, y)) é o discriminante de /4 (O, y). Logo o conjunto de bifurcação de [Bk] coincide com o conjunto de bifurcação de Bk e portanto seu complementar é um espaço do tipo K(71-,1) [1]. Resta portanto mostrar para os bigermes[50,40](k), [SoAk](1), [SoAk](k+ 1), [Sk Ao] e o quadrigerme (2k44. Mostraremos estes casos nos lemas seguinO. tes. Lema 3.2.3 (i) Um desdobramento Ag -versal de [80,40](k) é dado por {(x, y). (x, y2, xy). fÁ. Y) onde pA (x) = x". (PA(i),. ± • • • ± AlX. Y). AO.. (ii) Um desdobramento Arversal de [SoAd(1) é dado por {(x,y). (x, y2, xy) (x, (i), y). Y) onde pA (x) = Ik+1. AkIk. ± • • • ± AlX. ÀO•. Em ambos os casos o conjunto de bifurcação tem 2 componentes: {À0= (iii) 0} e a outra dada pelo discriminante de pA. Portanto o complementar de E é um espaço do tipo K(r,1).. 41.

(49) Lema 3.2.4 (i) Um desdobramento .Ag-versal de [SoA k](k +1) é dado por (x,y))—). (x, y2 + ay, xy) (x,. 1(x,. (Y)). ‘1Y AZ1. onde p),(y)= yk-I-1 4. • kyk ± 4-1?-1 + • • • ± ) (ii) O conjunto de bifurcação tem 3 componentes: {À0=.0}, {Px( —a2. =O}. e {D(p),(y2 + ay)) = 0}. Ck+2 \ E é um espaço do tipo K(r,1). Lema 3.2.5 (i) Um desdobramento Ag-versai de [Sk Ao] é dado por A onde. px(x,. y). =. y. {(x,Y) (x , y). (x, Y 2 • YPx(x, P2)) (O, x y). k-I-1 ± À• kxk ± Ak-IXk-1 ± • • • ± ÀIX AO.. x. (ii) O conjunto de bifurcação tem 2 componentes: {À0 =0} e {7)(p),(x,0)) = 0}. Portanto Ck+1\E é um espaço do tipo K(r,1). Lema 3.2.6 Um desdobramento Aeversal de Cjk+1 é dado por y). (x,y O). (x, y). (x, O , y). (x,Y))— (0,x,Y) (x. (x • Px(x Y)). onde p),(x,y)=- y + xk+1 + Àk xk +.+ Ai x + Ào. (ii) O conjunto de bifurcação tem 2 componentes: {À0 =0} e {D(p),(x, O)) = 0}. Portanto Ck+1\E é um espaço do tipo K(r,1). Faremos somente a demonstração do Lema 3.2.4. Os demais são análogos. Prova(Lema 3.2.4) (ii) Temos que E1 e E5 são vazios. 42.

(50) Ey: D2(fx) n (ui xu,). {(x,. y2)/ Y2 = Y? + aYi, Px(Y2) — xyl = O}. I 1 (4e)(xivi). (df},2))(.,v2) =. O 2yi + a. x. 1. o). O. 1. o t(Y2). Um vetor normal ao plano tangente à imagem de f5,1) é (—yi (2y1+a),—x,2y1+ y,(y2), 1). a) e um vetor normal ao plano tangente à imagem de f12) é (O, —t Logo fr) e f},2) se interceptam tangencialmente quando yi = O. Portanto pontos duplos não transversais ocorrem quando pÀ(0) = O, ou seja, Ào = O. Temos então Ey = P10 = 0}. E3: um ponto (xo, Yo) é um cross-cap de f},1) se 2y0 + a = O e xo = O (ver [15, pag 179]). O ramo imersivo deve ser transversal a curva de pontos duplos do cross-cap: D2(fÀ) n (ui x ui). { (xl, Yb x2, y2) / fil)(xl, Yi) = .41) (x2, Y2)} { (o, yi, o, y2) / Y1 + y2 + a = O}. Assim, fr) intercepta f12) e g) é um cross-cap no ponto de intersecção se 2y+ a = O e p(y2 + ay) = O. Portanto E3 é dada por: 2y+a= O 1 px(y2 + ay) = 24:. ponto triplo não transversal. D3(A) n (ui xul x u2) {(0, y) /pÀ(y2 + ay) = O}. Um vetor tangente à imagem de D2(fÀ) n(Ui xu1) é dado por (O, 2y + a, O) e um vetor normal ao plano tangente à imagem de ff) é (O, _j(y2 + ay), 1). 43.

(51) -1(y2+ay) -= Assim a condição de não transversalidade implica que (2y + a) •9 dy O. Portanto. ,(y2 ai = {7)(p). + ay)) =. (iii) Seja P o espaço dos polinômios de grau k +1 com coeficiente dominante 1. Consideremos cp : Ck+2 CX P dada por ZI) • • •(Z. (10(z0, ZI? • • • Zk+1) = (ZO:(Z. Zk+I)). Temos que yo-1(Cx P E) = { (zo, , zk+i) k + zj5é ü, ; —zg/4, i = 1,. zi Vi. Seja Y = Cx P\E e ft = cp-1(ex P\ E). —> I/. é uma aplicação de recobrimento e portanto ir( 1) Então 92 ir(Y) para n > 2. Seja. 5k+1 =. ..• Zak-E1) Zi. O, zi. zi Vi. j}. e tk :Y —> 5k+1. dada por tk(zo,z,. • • , zk+i) = (zi, • • • , zk+i)• Então IP é uma fibração cujas fibras são isomorfas a C menos 2(k + 1) pontos distintos . A fibra é portanto um espaço do tipo K(r,1). Como 5k+1 é um espaço do tipo K(r,1)( ver [30]), segue da sequência de homotopia de uma fibração [34] que ft é um espaço do tipo K(r,1). Portanto Ck+2 \ E é um espaço do tipo K(r,1).. 44. O.

(52) Capitulo 4 A topologia da imagem de uma perturbação estável 4.1 Introdução Dado um multigerme f de. em en+1, finitamente determinado, (n, n + 1). no domínio das boas dimensões segundo Mather, podemos construir uma fibração definida na imagem de um desdobramento versai de f com valores no complementar do conjunto de bifurcação. A fibra tem o tipo de homotopia de um bouquet de n-esferas. O número de esferas no bouquet é chamado número de Milnor da imagem de f. Os monogermes Sk, Bk, Ck e Eli isto é, da forma (x, y2, yp(x, 1/2)), e os trigermes [Sk], [Bk], [Ck] e [F4], possuem o mesmo conjunto de bifurcação, a saber o discriminante da correspondente função do bordo (ver [3, pag.62] e a prova do Teorema 3.2.2). Logo surge a questão: qual a relação entre as fibrações acima descritas? Neste capítulo mostraremos que as fibras são homotópicas Para isto usaremos o método desenvolvido por D.Mond e. 45.

(53) V.V.Goryunov [16]. Na seção 4.2 trataremos deste método, com uma breve introdução sobre sequências espectrais, cuja referência é [34]. Em [27] D.Mond define os invariantes C, T e p,(120(f)/Z2) para monogermes de C em C, que são o número de cross-caps e pontos triplos presentes na imagem de uma perturbação estável do germe e o número de Milnor da singularidade isolada D2(f)/7L2 respectivamente. Na seção 4.4 discutiremos esta questão dos invariantes para multigermes.. 4.2 Método Goryunov-Mond Um módulo bigraduado E sobre um anel R é uma coleção de 11-módulos E,,t para todo par de inteiros s and t. Uma diferencial d:E —> E de bigrau (—r,r —1) é uma coleção de homomorfismos d: E3, —>. para todo s. e t, tais que &=O. O módulo de homologia H(E) é o módulo bigraduado dado por = [ker(d:E,,t. Es-r,t+r-1)] d(Es+r,t-r-I-1). Uma sequência espectral E é uma sequência {E',dr}, r > 1, tal que (a)Er é. um módulo bigraduado e dr é uma diferencial de bigrau (—r,r — 1). em E. (b) Existe um isomorfismo H(Er) Para definir o limite de uma sequência espectral, identificamos Er+1" COM H(Er). Seja Z1 o módulo bigraduado Zal,t = ker(d : ELt Es1-1,t) e Bi o B'. Seja módulo bigraduado j Então B1 c Z1 e E2 = Z'/ ni. Z(E2) o módulo bigraduado Z(E2)3,t = ker(d2: Es2,t. EL,2_ 24+1) e B(E2) ° módulo bigraduado B(E 2).3,t =d2(EF2,-i) Lt • Pelo Teorema do isomorfismo de 46.

(54) Noether, existem submódulos bigraduados Z2 e B2 de Z1 contendo BI tais que Z(E2) t = Z / B31,, e B(Ez),,t = .882,t/.aon.sitt para todo s e t. Segue que B2 C Z2 e B1 c B2 C Z2 c Z1 Prosseguindo por indução, obtemos submódulos B1 c B2 C ... C Br C ... C Zr C ... C Z2 C Zi tais que Et = Z'7 Br . Definimos os módulos bigraduados Zc° = nrZr , Be° =. u,.Br e E' = Zecl B°3. O módulo bigraduado Ec° é chamado limite da sequência espectral E, e os termos Er da sequência espectral são aproximações sucessivas de Ec°. Dizemos que a sequência espectral E converge se para todo s e t existe um inteiro r(s,t)> 1 tal que para r > r(s,t), dr :Esr,t E i é trivial. Então Est é isomorfo a um quociente de Eslit e E:c; é isomorfo ao limite da sequência Et) E3,t)+1 Dizemos que uma sequência espectral colapsa no N° termo se dr =O para r > N. Portanto Esr,t =Effs e Ers Sejam X e Y espaços topológicos e f :X Y contínua. Seja Dk(f) o conjunto dos pontos k-múltiplos de f: Dk(f) = fechoUxi, • • • xk) E XV f(x1)= • • • = f(xk), xi xi se i j}. para 1 < k < co. O grupo simétrico Sk age em Dk (f) permutando os fatores. Portanto Sk age em He(Dk(f);(2). Se a E Sk, denotemos por o-* sua ação em. 47.

(55) He(Dk(f);Q:2):. : He(Dk(f); Q). He(Dk(f); [0. (a)]. [a] A parte alternada é dada por:. Altk He(Dk(f);Q) = {c E He(Dk (f); Q)/V a E Stc, usc = sign(a)c} Existem aplicações contínuas 62'k : Dk (f) -÷ Dk-1(f), (x i,. , Xi,. (xi, • • • , xk) =. , xk) para i < k.. Temos então si/ : Ht(Dk(f); Q) -4 He(Dk-1(f);Q) para f= O, 1, .... Definimos. e, : Altk He(Dk (f);Q) -4 A14_1 He(Dk-1(f); Q) por 1. El: (C) = k. E(-1)i-Fiesi,k(c). Proposição 4.2.1 s!'k = sk. Seja f : (C', S) -÷ (en+1 , 0) um multigerme finitamente A-determinado de coposto < 1, ou seja, cada ramo tem coposto < 1, (ri, n+1) no domínio das boas dimensões segundo Mather. Seja F : (Cn x Cd , S x {0}) -÷ (Cn+1 x Cd , (0,0)), F(x,t) = (ft(x),t), um desdobramento versai de f eF:U. V. um representante de F (usaremos a mesma letra) que é próprio, finito a um, F(U) c V, F-i(o) n u = Sx {O} e /rei(F) = {(y,t) / o germe de em f ' (y) n Ele não é estável} é um subconjunto analítico de V, onde Ut = {x E C' /(x, t) E U}. Seja 7r : C"' Xed -4 Cd a projeção natural. ft. Segundo W.L.Marar [21] existem vizinhanças W e Z da origem em CP e 48.

(56) Cd respectivamente, tais que WxZc Ve. (W x 2) : F 1(WxZ) -*. WxZ é um representante finito de F e a restrição da projeção ir : WxZ. Z. a irei(F)n (w x z) é própria e finita a um. Um tal representante é chamado um bom representante. Teorema 4.2.2 ([21],Teorema 4.1) Seja F : F 1(WxZ). WxZ um. bom representante de um desdobramento .A.-versal F de f como acima. Então existem c >Oeuma vizinhança Tc Zc Cd da origem, tais que a restrição F : F-1(ir-1(T \E)). Y n(.73E xT\E)) é topologicamente localmente trivial. sobre T\E, com respeito a projeção ir : .E3,x(T\E). T\E onde BE é a. bola fechada em CP de centro na origem e raio e, E c Cd é o conjunto de bifurcação de FeYéa imagem de F.. E. Corolário 4.2.3 ([21],Corolário 4.2) São consequências imediatas de 4.2.2: (i) As aplicações ft : F-'(ir-1(t)). Y n (.8,x {t}) têm o mesmo tipo to-. pológico, para todo t E T\ E. (ii) 7rY n (.8,x(T\E)) : Y n (BE x (T\ E)). T\E é a projeção de uma. fibração localmente trivial. A fibra Yt = Y n (13,x{t}) sobre t E T\E é a imagem da aplicação ft acima. (iii) 7r o F: F-1(7r -1(T\E). T\E é a projeção de uma fibração localmente. trivial. A fibra Xt = F-1(ir -1(t)) é o domínio de ft. Definição 4.2.4 A aplicação ft : Xt de f.. Yt é dita uma perturbação estável. Segue de [28] que Yt tem o tipo de homotopia de um bouquet de nesferas. O número de esferas no bouquet é chamado de número de Milnor 49.

(57) da imagem de f e denotado por pi(f). Portanto p/(f) = rank HnOzt; Para calcular a homologia de Yt usaremos o seguinte método desenvolvido por V.V.Goryunov e D.Mond [16]. Teorema 4.2.5 Seja f como acima. Então Hn(Yt; = ep+q.„ Eirq, onde Epl,q. =. A1tp+1Hq. (DP+1. (h);. Q). e dlcP+1 • El —> pl *. 4.3 O número de Milnor da imagem de certos monogermes e trigermes Segue de [22] que se f : (C2,0). (Cn+1, O) é um monogerme finitamente. A-determinado de coposto 1, Dk(ft) é uma fibra de Milnor de Dk(f), que é uma intersecção completa com singularidade isolada de dimensão n — k + 1 ou vazio, quando k < n, + 1 , e consiste no máximo do ponto {O} quando k > n+ 1. Então Dk(ft) tem o tipo de homotopia de um bouquet de esferas. O seguinte resultado é o Teorema 2.6 de [16]. Teorema 4.3.1 Nestas circunstâncias, a sequência espectral descrita no Teorema 4.2.5 colapso no termo El e portanto H„(Yt; Q). Auk. Hn—k-E1(Dk (h);. Quando f é um multigerme, Dk(ft) é uma união disjunta de fibras de Milnor que correspondem às componentes conexas de Dk(f). 50.

(58) Consideraremos o caso n = 2. Como monogermes da forma f (x, y)= (x, y2, YP(x, y2)) e trigermes da forma ,-* (x, y, O) g: {(x, y) )---* (x, O , y) (x , Y) 1-4 (x,Y,P(x,Y)) têm o mesmo conjunto de bifurcação, temos dois fibrados sobre o mesmo espaço base. Além disso em cada fibrado as fibras têm o tipo de homotopia de um bouquet de 2-esferas. Teorema 4.3.2 f e g têm o mesmo número de Milnor da imagem. A demonstração do teorema 4.3.2 é baseada nos seguintes lemas. Definição 4.3.3 O número de Milnor do bordo de p é definido como 02. (P2 \ koz,Yay) Observação 4.3.4 O número de Milnor do bordo de p é a Te-codimensão de p Lema 4.3.5 Para o monoyerme f (x, y) = (x, y2, yp(x, y2)), pi (f) = Prova Temos que H i(D2(ft)) = lit (D2 (ft)) e 1-11-"(D2 (ft)) onde Ht (D2 (f t)) = H1(D2 (ft) /Z2) é a parte invariante com respeito à involução que troca cópias de C2 e 1-11-(D2(ft)) = Alt2 H i(D2 (h)) é a parte alternada. Também D2 (ft) = {(x, y, x, -y) pt (x, y2) = O} 51. {(x, y) / pt(x, y2) =- O}.

(59) {(x,e)/Pt(x, e) = o}. D2(ft)/7Z2. A involução que age em D2(ft) se reduz a (x, y). (x, —y).. Seja o número de pontos fixos desta ação. Portanto r_ #{(x, O). Pt(x, C)) =O}. Segue do Teorema do ponto fixo de Lefschetz que (D2 (ft)) + rank lir(D2 (ft)). = 1 — rank. Aplicando o Teorema 4.2.5 e observando que D3(f) = 0 temos que rank H2 (lit;(Q) rank Alt2 (D2 (b);. Ir(f). — 1 + rank 11? (D2 (ft)). =. Como D2(h) / Z2 é uma fibra de Milnor de D2(f)/ Z2 temos gr(f)=. — 1 +14p). Segue de [2, pag.211] que 02. L4(p) = dim (PR 22.) + dim Ox 8y) 7. Portanto gr (f ) = (p). Lema 4.3.6 Seja g o trigerme (x, Y) 1— (x, Y , O) g : {(x, y) i-- (x, O , y) (x, Y) 1-- (x, Y , P(x , Y)) então pi (g) = IMA .. 52.

(60) Prova Temos que D2 (g) n(ui. :-=2 {(x, o)} x u2) = {(x, o,x,o)}-. .1312(gt) n(u2 xu3). D2 (gt) n(tf,. D3 (gt) n(ui. = {(x, y, x,0)/y= pi(x, O)} 9--2 {(x, y) I y = pt(x,0)}. x u3) {(x,y,x,y) I pt(x,y) = O}. {(x,y) I pt(x,y) = O}. x U2 X U3) = {(X,0, X, O,X, O)I pt(x, O) = O} {(x, O) I pt(x, O) = O}. Como D'(g)consiste da união disjunta de 3 conjuntos abertos (U1, U2, U3), = Ho (D1 (gt); = Q3. Denotemos por temos que A/ti Ho (D1 (gi); i = 1,2,3, as classes destes abertos. Denotemos por aij, i,j = 1, 2, 3, a curva D2(gt)n (ui xtfi). Logo Ho(D2(gt); Q) é gerado pelas classes destas curvas. Denotemos estas classes por {ai) }. Portanto A/t2 Ho(D2 ( gt); Q) < [cri.2] — [a21]2 [ais] — [asi], [a23] — [a32]>. Seja E = #{(x , O) I pt(x, O) = O}. Então D3(g) n (ui xui xus), i,i,s = 1,2,3, consiste de E pontos. Denotemos estes pontos por ns,. Assim D3(gi) consiste de 6E pontos.. , n3.. Portanto Ho(D3(gt);Q) é gerado pelas classes destes pontos, que denotaremos da mesma maneira para facilitar a notação, e Alt3 Ho(D3(gt); Q) =< pii23_) D1132 P213. + + P212 — 411 • • •. 7. 53. — Ple32 — 43 + + 42—41 > •.

(61) Logo a página El da sequência espectral em 4.2.5 é: ▪. o. = Ait3 Ho(D3(9t); Q) = Qt A 1.. ▪. = Alt2 H0(D2 (9h);. = Alt2. = Q3. (D2 (9t);. .I. Ed,0 = Alti Ho (D' (fie);. o. = Q3. Como (P23—PN2 —1t3+1 31±P3c12 —P:21) = [Ce231 —[a321 — kei31+[ceni-Ekei21 —[an] para todo k = 1,. , E, temos que f dimImA = 1 1 dimker A = E— 1. Como õ Gani — [a21]) = [LA] — [U2]. S([an] — [a311) = [U1] — [U3]. 5Ga231 — [a32]) = [U2] — [Us] segue que f dimlmõ = 2 dimkerõ = 1 Logo a página E2 da sequência espectral é: Qt-i. O. Alt2 111(D2(9t); O 54.

(62) Assim a sequência colapsa em E2 e H2(Yt;. Mas A/t2. (D2(9t); Q). 12) Q2-1 ED A/t2 Hl (D2 (9t); Q). c2-4 HI(D2(gt) n. (ui x u3);(W• Portanto. r (g) = rank H2(Yt; Q) = — 1 + it(p) = it6(p). 4.4 Invariantes (C3, O) um multigerme. Denotaremos também por 00,0 o anel local 0, dos germes de funções analíticas de (02,0) em C. Assim,. Seja f : (C2, S). 00,s é a soma direta de r-cópias de 00,0. Como cross-cap é um fenômeno que ocorre num ramo isoladamente, temos que o número de cross-caps C, presentes na imagem de uma perturbação estável de f , é a soma dos C , número de cross-caps presentes na imagem de uma perturbação estável de f(0, para i = 1,. ,r. Segundo Mond [27],. C, = dimc 00 , onde 72..0) é o ideal gerado pelos menores 2x 2 da matriz df(0. Também segundo Mond, o número de pontos triplos T na imagem de uma perturbação estável de f é dado por T = dimc. 0o,o F2(.f.(00 ,$)). onde f, (00,$) é 00,s considerado como um 0c3,0-módulo, via composição com f, e .F2(h(0c2,$)) é o segundo ideal de Fitting. 55.

(63) Mais geralmente, define-se o k-ésimo ideal de Fitting, Yk(f,(00,$)). Seja. uma apresentação de 00,s sobre Oc3,o, ou seja, uma sequêcia exata de 0C3 módulos, onde o morfismo a leva os elementos da base canônica de Oâ,0 nos , gq de 00,s, e as colunas da matriz À são as relações entre os. geradores. gi (com coeficientes em 0c3,0). Definimos Yk COMO o ideal em Oc3,0 gerado pelos menores (q - k)x(q - k) da matriz À. Estes ideais independem da escolha da apresentação.. 4.4.1 Bigermes (x,. (x, y2, xy). 1. f = [Sa.A01(k) : Temos 1 0 [df(1)1=. O 2y. kxk-1 o). ). e [df(2)] = \. \Y. 1. O. O. 1. oc, Logo Cl = &me <x,y; = 1 e C2 = O. COMO 00/41)(000 é dado por 00 < x, y2, xy > segue do Teorema da Preparação de Malgrange (ver por exemplo [15, Teorema.3.6]) que 00 é gerado (como um Oca-módulo via f(1)) por 1 e y. Via f(2), Oca é gerado por 1. Logo 00,s é gerado por (1, O), (y, O), (0,1). As relações são: XY(1, O) - Z(y, O) = O Z(1,0) - X(y, = O (X -Yk)(0,1) = O 56.

(64) Assim, o segundo ideal de Fitting, .F2(f,(02 e 02)), é gerado pelos menores lx1 da matriz XY —Z. o. Z —X. O X — Yk. O. O. ). Portanto T = dim 03 I.F2(b(02 e 02)) = k. {(x, y). (x, y2, xy). 2.f = iSci Ak1(1) :. (x, y) (x, xk+1, y) Análogo a 1., temos que C1 = 1 e como f(2) é uma imersão, C2 .= 0.. Também, 0c2,s é gerado por (1,0), (y, O), (0,1). As relações são: XY (1, O) — Z(y, O) = O Z(1,0) — X(y,0)= O (Xk+1 — Y)(0, 1) = Assim, o segundo ideal de Fitting, .F2(fik(02 e 02)), é gerado pelos menores 1 xl da matriz ( XY —Z Z —X \ O. o o. O Xk+1 — Y. Portanto T = dim 03 172(fs.(02 e 02)) = 1.. { (X, y). (x, y2, xy). 3.f =[So Ak Kk +1) : (x, y). (x, y, yk+1). Analogamente temos que C=leT =k+ 1. (x, y). (x, y2, y3 + xk+1Y). (x, y). (O, x, y). 4.f = [SkAo]. Temos C1 = k +1 e C2 = O.. 57.

(65) Via f(1), 0, é gerado (como um 0c3-módulo) por 1 e y . Via f(2), 0c2 é gerado por 1. Logo 0c2,5 é gerado por (1,0), (y, 0), (0,1). As relações são: Z(1. O) — (Y + Xk+i)(y, O) = O (y2 + xk+lr 0‘ -Z(y,. O) = O. X(0, 1) = O (02 e 02)), é gerado pelos menores. Assim, o segundo ideal de Fitting, 1x 1 da matriz (. _y•. Z. Y2 + X"'Y. —Z. O. o. Portanto T = dim 03 / .F2(.f.,(02 e 02)) = 1. 5. Para os bigermes da forma. (x, y) §-4(x, y, O) f (x, y) i-+ (s,. W(x, Y)). é imediato que C = T = 0. Concluindo, temos. A, — cod. C. T. [S0A0j(k). k. 1. k. [SoAk](1). k+1. 1. 1. [So Ak](k —1). k +2. 1. k+1. [SkAo:. k+1. k+1. 1. 58.

(66) 4.4.2 Trigermes Consideremos os trigermes da forma. (x, y)1-4(x, y, O) f : (x, y) 1-4(x, O, y) (x, y) 1-4(x, y, p(x, y)) Como cada ramo é uma imersão temos que C = 0. É imediato que aca,s é gerado (como um 00-módulo) por (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). Logo. T = dim. 473 < Z,Y,Z — p(X,Y) >. = dim. Oc < p(X,O) >. A seguir analisaremos os trigermes simples.. 1. f = [Sk]. Neste caso p(x,Y) = y + xk+1. Logo T = k +1. 2.f = [Bk]. Neste caso p(x,y) = x2 + yk. Logo T -= 2.. 3. f = [Cd. Neste caso p(x,y) = xy + xic . Logo T -= k. 4. f -= [F4]. Neste caso p(x, y) = X3 + y2. Logo T = 3 Concluindo, temos. A, — cod C. T. [Sk]. k. O. k+1. [Bk]. k. O. 2. [Ck]. k. O. k. [F4]. 4. O. 3. Observação 4.4.1 Para o caso de monogermes, em [27] Mond define um terceiro invariante. Como vimos, se f é finitamente determinado, D2(f) é 59.

(67) uma intersecção completa com singularidade isolada. Temos a ação de. Z2. em D2(f), que consiste na permutação dos fatores. Este novo invariante é o número de Milnor da singularidade isolada D2(f)/Z2, ii(D2(f)/Z2). Neste caso temos o seguinte resultado: (f) = C + T + ii(D2(f) /Z2) —1 No caso dos multigermes, D2(f) não é conexo, mas uma união de intersecções completas com singularidades isoladas. Logo não fica claro qual é o invariante correspondente a ji(D2(f)/Z2)• Uma possível definição seria po2(f)/z2). = E IL(D2(f(2))/z2) +E po2(f) n (Ui xU;)) i=1. iCj. Em vários exemplos, é possível verificar que dado um número natural positivo s, s < r, tal que f(i) não é imersão para i = 1,...,s e f(i) é imersão para i = s +1,...,r, então vale a seguinte relação pi(f)=. C +T + g(D2(f)/Z2) — 8 —. —1)(r — 2)/2. Acredito que a utilização do método das sequências espectrais de GoryunovMond pode ser usado para a obtenção deste resultado.. 60.