Um modelo de atribuição de trafego para analise de cenarios: aplicação a projetos ferroviarios da região sul

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO

UM MODELO DE ATRIBUIÇÃO DE TRÁFEGO PARA ANÁLISE DE CENÁRIOS? Á p l i c a ç a o a P r o j e t o s F e r r o v i á r i o s da Regi ao Sul

DISSERTAÇÃO SUBMETIDA Ã UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA PARA OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM ENGENHARIA

NÉVIO ANTÔNIO CARVALHO

FLORIANÓPOLIS

SANTA CATARINA - BRASIL MARÇO/ÔQ

I I

-UM MODELO DE ATRIBUIÇÃO DE TRÁFEGO PÁRA ANÁLISE DE CENÁRIOS?

I

A p l i c a ç ã o a P r o je t -o s F e r r o v i á r i o s d a R e g iS o S u l

NÈVIO ANTÔNIO CARVALHO

E s t a d i s s e r t a ç ã o f o i j u l g a d a adequada p a r a a o b te n ç ã o do t i t u l o de "MESTRE EM ENGENHARIA"

E s p e c i a l i d a d e E n g e n h a r ia de P rodu ção e a prov ada em sua forma f i n a l p e l o Program a de P ó s -G ra d u a ç ã o . P r o f . r R ic a r d o Miranda B a r c i a . Ph.D. Coordenador -Banca Examinadoras P r o f . : R ic a r d o M iranda B a r c i a , Ph.D. P r e s i d e n t e -P r o f . : N e ri dos S a n t o s , Dr . Eng.

à S a n d ra e G a b r i e l a , com. am or.

i v -AGRADECIMENTOS E x p r e s s o aq u i o s meus a g ra d e c im e n to s: - Ã P ro fC a > G la c i T r e v i s a n S a n t o s , p e i o i n c e n t i v o em to do s o s momentos e p e l o a p o i o d u r a n t e o p e r í o d o de graduação. - Áos c o l e g a s da P ó s -G r a d u a ç ã o , e s p e c ia lm e n t e ao s da p r i m e i r a turmá de T r a n s p o r t e s CJoão, Carmen, I ls o n 5 p e l a amizade e a p o i o d u r a n t e o Curso. - Aos c o l e g a s J o r g e D e s t r i J ú n io r e Fernando G a u t h ie r , p e l o a p o i o c o m p u ta c io n a l em t o d o s o s momentos. - Aos f u n c i o n á r i o s da P ó s -G r a d u a ç ã o e do Departamento de E n g e n h a r ia de P ro d u ç ã o C Z e l i t a , M a r g a r e t e , L u c ia , Namir, Al d a n e i , L u c i a n e , . . . . 5 p e l a c o l a b o r a ç ã o e amizade. - Ã CAPES, p e l o a p o i o f i n a n c e i r o . - Âo P r o f . R i c a r d o M. B a r c i a , p e l a o r i e n t a ç ã o g e r a l do t r a b a l h o , p e l a s s u g e s t S e s de im plem entação do modelo e p e l o a p o i o d u r a n t e o Curso. - Ao P r o f . Amir M. V a l e n t e , p e l a c o - o r í e n t a ç ã o nos a s p e c t o s e s p e c í f i c o s de p la n e ja m e n t o de t r a n s p o r t e s e fo r n e c im e n t o dos dados n e c e s s á r i o s á a p l i c a ç ã o do modelo. - E um a g ra d e c im e n t o muito e s p e c i a l ao p r o f . S é r g i o F. M a y e r le , p e l a c o - o r i e n t a ç ã o e to d o o t r a b a l h o de fo r m u la ç ã o e d e s e n v o lv im e n t o com pu tacio n al do modelo.

5NDICE

SUMÁRIO DAS T A B E L A S ... ... . . v i i i

SUMÁRIO DAS FIGURAS ... x

RESUMO... Xl' AB S T R Á C T ... / 1 . INTRODUÇÃO... ... i 1 . i . Ori gem... ... ... 2 I . 2. O b j e t i vos ... £ 1. 3. I m p o r t â n c i a ... 3 í . 4. O r g a n i z a ç ã o ... ... . ... .. 3 1 . 5. L i m i t a ç S e s ... ... 4.

2. EQUILÍBRIO EM REDES DE TRANSPORTES... - ... 5

2 .1 . I n t r o d u ç ã o ... ... 5 2 .2 . P r i n c í p i o s b á s i c o s de e q u i l í b r i o de t r á f e g o ... 8 2 .3 . M odelos de e q u i l í b r i o em r e d e s de t r a n s p o r t e s ... 15 2 . 3 . 1 . A t r i b u i ç ã o de t r á f e g o com demanda f i x a ... 15 2. 3. 1 . 1 . A l g o r i t m o de F r a n k -W o lf e ... 16 2. 3^1. 2 . A l g o r i t m o s mais r e c e n t e s ... 23 2 . 3 . 2 . A t r i b u i ç ã o de t r á f e g o com demanda e l á s t i c a ... 26 2. 4. E s c o lh a de um modelo p a r a o e stu d o p r o p o s t o ... 31

3. UM MODELO DE ATRIBUIÇÃO DE TRÁFEGO PARÁ ANÁLISE DE CENÁRIOS ...

3 .1 . I n t r o d u ç ã o ...

32

3 .2 . F a s e I : A t r i b u i ç ã o do t r á f e g o r o d o v i á r i o ...33 3. 2. 1. Dados de e n t r a d a ... ... ... 33 3. 2. 1 .1 . R e p r e s e n t a ç ã o da r e d e r o d o v i á r i a ... ..33 3. 2. í . 2. Demanda por t r a n s p o r t e ...33 3 . 2 . 2 . FunçSes e p ro c e d im e n to s u t i l i z a d o s ... ..35 3 . 2 . 3 . S a í d a dos r e s u l t a d o s ... ..3 6 3 .3 . F a s e I I : Q u a n t i f i c a ç ã o do t r á f e g o d e s v i a d o ... .. 37 3 . 3 . 1 . Dados de e n t r a d a ... ..37 3 . 3 . 2 . A l g o r i t m o de D i j k s t r a ... .. 38 3 . 3 . 3 . S a í d a dos r e s u l t a d o s ... .. 40 3 .4 . P o s s i b i l i d a d e s de u t i l i z a ç ã o do modelo ... 40

4. APLICAÇÃO Ã PROJETOS FERROVIÁRIOS DA REGIÃO SUL ... 42

4 .1 . I n t r o d u ç ã o ... 41 4 .2 . A t r i b u i ç ã o do t r á í e g o de c a r g a s na r e d e r o d o v i á r i a ... 42 4 . 2 . 1 . Zoneamento da r e g i ã o ... .42 4 . 2 . 2 . D e f i n i ç ã o da r e d e r o d o v i á r i a ... .44 4 . 2 . 3 . M a t r i z o rigem - d e s t i n o ... .45 4 .2 . 4. Carregam ento da r e d e ... .49 4 . 2 . 5 . Co m entários s o b r e a f a s e I ... ... ..51 4 .3 . Q u a n t i f i c a ç ã o do t r á f e g o d e s v i a d o ... ..52 4 . 3 . 1 . D e f i n i ç ã o da r e d e b i modal r o d o f e r r o v í á r i a ... ..52 -4 . 3 . 2 . C a r g a s e n v o l v i d a s ...5$ 4 . 3 . 3 . EquaçíSes de c u s t o p a r a a s s i m u l a ç õ e s , ...53 4 . 3 . 4 . S im u la ç S e s ... ..54 4. 3. 4 .1 . I m p la n t a ç ã o da F e r r o v i a L i t o r a l S u l. . . . 55 4. 3. 4. 2. I m p la n t a ç ã o da F e r r o v i a do F r a n g o ... ..56 4 .4 . A n á l i s e p a r c i a l de v i a b i l i d a d e dos t r e c h o s s im u la d o s . . . 62 v i

-4 . -4 . 1 . I n t r o d u ç ã o ... ....62

4. 4. 2. F e r r o v i a do Frango. . . ... ... 63

4 . 4 . 2 . 1 . V a l o r e s de c u s t o s e o u t r o s p arâm etro s u t i l i z a d o s ... .. . 63

4. 4. 2. 2. B e n e f í c i o s do empreendimento . ... .. . 65

4. 4. 2 .3 . C u stos do empreendi mento ... .. 67

4 . 4 . 2 . 4. A n á l i s e dos r e s u l t a d o s ... 75 4 . 4 . 3 . F e r r o v i a L i t o r a l Sul ... .. 76 4 .4 . 3 .1 . C o n s id e r a ç õ e s i n i c i a i s ... 76 4. 4. 3. 2. B e n e f í c i o s do e m p r e e n d im e n t o ... .. 77 4. 4, 3 .3 . C u sto s do e m p r e e n d im e n t o ... 78 4 . 4 . 3 . 4. A n á l i s e dos r e s u l t a d o s ... .. 81 5. CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES... 85 5. i . C o n c lu s õ e s . ... .. 85 5. 2. Recomendações ... ... .. 8 6 BIBLIOGRAFIA ... 87 ANEXO I : Programa F a s e I ... 95 ANEXO I I : Programa F a s e I I ..._... 104 ANEXO I I I : M a p a - R e fe r é n c i a R o d o v i á r i o ... I l l

v i i i

-SUMARIO DAS TABELAS

T a b e la í - N o ta ç ã o b á s i c a u t i l i z a d a . ... ... 7

T ₁ H p 1 5> _d P — V â i f-Nf"* 1 _{V-viULj.uciuv«.iu<i/ jí^ V-- n i ^ Ji jy <3.C> G£_ oll-U3.yZiO GO}fv» / K '» â m f 1 t tr> r - ^ V “*> i*S o c í t i t*a r - % > s #*4 rs i r ^ c h o ... „ ... ... ... T a b e l a 3 - R e la ç ã o das zo n as de t r á f e g o ... .. -43 T a b e l a 4 - R e la ç ã o dos l o c a i s da p e s q u i s a ... ... 45 T a b e la 5 - C l a s s i f i c a ç ã o dos p r o d u t o s ... .. 46 T a b e la 6 - Ocupação p a d rã o dos v e í c u l o s r o d o v i á r i o s ... .. . 48 T a b e la 7 - R e s u l t a d o s do p r i m e i r o c a rregam en to ... 49 Tabela, 8 - R e s u l t a d o s do c a rre ga m e n to f i n a l ... 50 T a b e la 9 — D e s v i o de t r á f e g o p a r a os t r e c h o s e x i s t e n t e s - sem a i m p la n t a ç ã o da L i t o r a l Sul ... 57 T a b e l a 10 - D e s v io de t r á f e g o ~para os t r e c h o s e x i s t e n t e s - com a i m p la n t a ç ã o da L i t o r a l Sul ... 57 T a b e l a 11 - T a b e l a 10 - T a b e la 9 ... ... .. 57 T a b e la I S - F lu x o d e s v i a d o do r o d o v i á r i o p a r a a L i t o r a l Sul s o b d i f e r e n t e s c o n d iç õ e s de t a x a ç ã o ... 58 T a b e l a 13 - D e s v io de t r á f e g o p a r a os t r e c h o s e x i s t e n t e s - Sem a i m p la n t a ç ã o da F e r r o v i a do F r a n g o ... 60 T a b e la 14 - D e s v io de t r á f e g o p a r a os t r e c h o s e x i s t e n t e s - Com a i m p la n t a ç ã o da F e r r o v i a do F r a n g o ... 60 T a b e l a 15 - T a b e l a 14 - T a b e l a 1 3 ... 60 T a b e l a 16 - F lu x o s d e s v i a d o s do r o d o v i á r i o p a r a a F e r r o v i a do f r a n g o s o b d i f e r e n t e s c o n d i ç ò e s de t a x a ç ã o . . . . 61 T a b e l a 17 - V a l o r e s de f r e t e - b a s e e c u s t o o p e r a c i o n a l

Cem US&/t. KitD - F e r r o v i a do F r a n g o ... 6 6 T a b e l a 18 - C u sto de a q u i s i ç ã o de lo c o m o t iv a s e vagões

C N e c e s s id a d e s do 1 - ano da F e r r o v i a do F ra n g o ) . . . 69 T a b e l a 19 - Q u an tid a d e de lo c o m o t iv a s n e c e s s á r i a s ao

ate n d im e n to da demanda - F e r r o v i a do Frango ... 6Q T a b e la 20 - C u sto de a q u i s i ç ã o de lo c o m o tiv a s e vagões

CPara a v i d a ú t i l da F e r r o v i a do f r a n g o ) ... 70 T a b e l a £1 - C u sto s a n u a i s u n ifo rm e s e q u i v a l e n t e s r e f e r e n t e s

aos b e n e f í c i o s e c u s t o s da F e r r o v i a do Frango . . . . 72 T a b e la £2 - V a l o r e s de f r e t e - b a s e e c u s t o o p e r a c io n a l

Cem USffc/t. Km) - F e r r o v i a L i t o r a l Sul ... 77 T a b e l a 23 - C u sto de a q u i s i ç ã o de lo c o m o tiv a s e vagões

CPara a v i d a ú t i l da F e r r o v i a L i t o r a l Sul D ... 78 T a b e l a 24 - C u sto s a n u a i s u n ifo r m e s e q u i v a l e n t e s r e f e r e n t e s ao s b e n e f í c i o s e c u s t o s da L i t o r a l Sul ... 80 T a b e l a 25 - V a l o r e s de c u s t o s de c o n s t ru ç ã o e t e r m i n a i s p a r a que a c o n d iç ã o b e n e f í c i o s = c u s to s s e j a a t e n d i d a Cem USSMKnD ... 80 T a b e la 26 - C u sto s a n u a i s u n ifo rm e s e q u i v a l e n t e s p a ra v a l o r e s de c u s t o s de c o n s t ru ç ã o e t e r m i n a i s i g u a i s aos da F e r r o v i a do Frango - F e r r o v i a L i t o r a l Sul - ... 82

x

-SUMARIO DE FIGURAS

F i g u r a 1 - V i s ã o g e r a l do t r a n s p o r t e de c a r g a ... .. 1 F i g u r a £ - Formação do f l u x o pad rS o ... 6 F i g u r a 3 - P a ra d o x o de B r a e s s ... ... 12 F i g u r a 4 - G r á f i c o c o m p a r a tiv o dos c u s t o s a n u a is u niform es

e q u i v a l e n t e s C B e n e f í c i o s x C u s t o s )

- F e r r o v i a do F ra n g o CPor T re c h o ) ... 73 F i g u r a 5 - G r á f i c o c o m p a r a tiv o dos c u s t o s a n u a is u niform es

equi v a i e n t e s C B en ef i c i os x C u s t o s ) - F e r r o v i a do F ra n g o CComo um t o d o ) ... 74 F i g u r a 6 - G r á f i c o c o m p a r a t iv o dos c u s t o s a n u a i s uniform es e q u i v a l e n t e s C B e n e f í c i o s x C u s t o s ) - F e r r o v i a L i t o r a l Sul CPor T re c h o ) . ... 83 F i g u r a 7 - G r á f i c o c o m p a r a t iv o dos c u s t o s a n u a i s u n ifo rm e s e q u i v a l e n t e s C B e n e f í c i o s x C u s t o s ) - F e r r o v i a L i t o r a l Sul CComo um t o d o ) ... 84

E s t e t r a b a l h o a p r e s e n t a um modelo de e q u i l í b r i o de t r á f e g o p a r a a n á l i s e de c e n á r i o s , b a s e a d o no método das combinações co n v e x a s de F r a n k - W o l f e e i n c o r p o r a o a l g o r i t m o de D j k i s t r a p a r a a a l o c a ç ã o dos f l u x o s nos caminhos de c u s t o s mim mos.

Uma a p l i c a ç ã o do modelo é a p r e s e n t a d a , e n v olv e n do numa p r i m e i r a e t a p a a c a l i b r a ç ã o de uma r e d e r o d o v i á r i a p a ra a R e giã o S u l , u t i l i z a n d o - s e f l u x o s de c a r g a s p a r a o carre ga m e n to da r e d e e

o tempo de viagem como im pedãncia. Numa segunda e ta p a ,

i n c o r p o r a - s e o s is t e m a f e r r o v i á r i o e x i s t e n t e e a n a l i s a - s e d o i s c e n á r i o s de im p la n t a ç ã o de t r e c h o s f e r r o v i á r i o s : a F e r r o v i a do F ran go C l i a a n d o o o e s t e de S an ta C a t a r i n a ao P o r t o de São F r a n c i s c o do Sui5 e a F e r r o v i a L i t o r a l Sul C i ig a n d o P o r t o A l e g r e à C u r i t i b a » em t r a ç a d o p a r a l e l o a BR-101Í. N e s ta e t a p a , o procedim en to de a t r i b u i ç ã o c o n s i s t e em i n d e x a r o f r e t e f e r r o v i á r i o como um p e r c e n t u a l do f r e t e r o d o v i á r i o e, a t r a v é s de s u c e s s i v a s v a r i a ç S e s , q u a n t i f i c a r os f l u x o s c o r re s p o n d e n te s . Os f l u x o s o b t i d o s s ã o u t i l i z a d o s p a r a uma a n á l i s e p r e l i m i n a r de v i a b i l i d a d e dos t r e c h o s . Os r e s u l t a d o s ind icam que, p a r a a F e r r o v i a do F ra n g o , um p e r c e n t u a l de t a r i f a ç ã o de 60S-Í do f r e t e • r o d o v i á r i o a tu a lm e n te p r a t i c a d o b a s t a r i a p a r a g a r a n t i r a v i a b i l i d a d e do i n v e s t i m e n t o , c o n s i d e r a n d o uma TMA de 12% ao ano e um per i o d o de v i d a ú t i l de 25 anos. Já p a r a a F e r r o v i a L i t o r a l S u l , a q u a n t id a d e de f l u x o d e s v i a d a da m od alid ade r o d o v i á r i a p a ra a f e r r o v i á r i a m o s t r a - s e i n s u f i c i e n t e p a r a g a r a n t i r o empr eendi mento.

x i i

-ABSTRACT

T h i s work p r e s e n t s a t r a f f i c e q u i l i b r i u m model f o r s c e n a r i o a n a l y s i s b a s e d on F r a n k -W o lf e convex c o m b in a tio n method and D j k i s t r a a l g o r i t h m f o r a s s i g n i n g f l o w on minimal c o s t paths.

An a p p l i c a t i o n i s made r e g a r d i n g the c o n s t r u c t i o n and o p e r a t i o n o f two r a i l w a y s i n th e S t a t e o f S an ta C a t a r i n a , The f i r s t p ro p o s e d r a i l w a y would l i n k th e West, o f th e Stax-e t o i t s C o a s t , w hereas t h e second one, P o r t o A l e g r e t o C u r i t i b a , by the c o a s t .

The f l o w s o b t a i n e d through t r a f f i c a ssignm en t were used to make a f e a s i b i l i t y s t u d y o f the pro p o se d r a i l w a y s . Trie r e s u l t s fo u n d i n t h i s s t u d y show t h a t the f i r s t r a i l r o a d would be ■ p r o f i t a b l e w h ereas t h e .second one, the sm all amount o f t r a f f i c s w i t c h e d from t h e highway mode t o the r a i l w a y one would make th e r e v e n u e s not s u f f i c i e n t t o cover th e in v e s tm e n t and o p e r a t i n g c o s t s .

INTRODUÇÃO

1 . I - ORIGEM DO TRABALHO

Em 1984, o N ú c le o de D esenvo lvim en to T e c n o ló g i c o de T r a n s p o r t e s CNDTT/UFSO d e s e n v o lv e u uma p e s q u i s a de campo nos p r i n c i p a i s c o r r e d o r e s r o d o v i á r i o s de f r o n t e i r a do E sta d o de Santa C a t a r i n a » e n v o lv e n d o o t r a n s p o r t e de c a r g a na r e g i ã o . E ste l e v a n t a m e n t o p o s s i b i l i t o u , e n t r e o u t r a s c o i s a s , a d e te rm in a ç ã o de uma m a t r i z O/D dos p ro d u to s d e t e c t a d o s na p e s q u is a . Em fu n ç ã o da d i s p o n i b i l i d a d e d e s t e s dados e de um i n t e r e s s e p e s s o a l em t r a b a l h a r com f l u x o s de c a r g a s , é que d e c i d i u - s e p e l a r e a l i z a ç ã o d e s t e t r a b a l h o . O t r a n s p o r t e de c a r g a pode s e r v i s t o , de um modo g e r a l , da s e g u i n t e forma: FIGURA 1 - V i s ã o g e r a l do t r a n s p o r t e de c a r g a

N e s t a r e p r e s e n t a ç ã o , t e m -s e as a t i v i d a d e s p r o d u t i v a s , que sSo e s p a c i a l m e n t e d i s t r i b u í d a s e que, p o r t a n t o , requerem s e r v i ç o s de t r a n s p o r t e p a r a o escoamento da p ro d u ç ã o ou p a r a a p r ó p r i a r e a l i z a ç ã o d e s t a s a t i v i d a d e s . P a r a o tra t a m e n t o d e s t e s f l u x o s , e x is t e m na l i t e r a t u r a duas a b o r d a g e n s a n a l í t i c a s : l o g í s t i c a * que e n g lo b a as a t i v i d a d e s de a d m i n is t r a ç ã o e d i s t r i b u i ç ã o de bens e c u j a s q u e s tS e s fu n d am e n ta is de t r a n s p o r t e s ão:

Ca) p a r a onde o s r e c u r s o s devem s e r movimentados e por qual r o t a ; Cb) quando os r e c u r s o s devem s e r movimentados.

- abordagem t r a d i c i o n a l de s i s t e m a s de t r a n s p o r t e de c a r g a , que e n fo c a sômente a movimentação no e s p a ç o e s e u s c u s t o s , sem c o n s i d e r a r a q u e s t ã o da estocagem.

1 . 2 - OBJETT VOS DO TRABALHO

Com e s t e t r a b a l h o , p r e t e n d e - s e b a sica m e n te a t i n g i r d o i s o b j e t i v o s , e x p r e s s o s p e l a s f a s e s I e I I do modelo p r o p o s t o :

* d e s e n v o l v e r um modelo de e q u i l í b r i o de t r á f e g o b a se a d o no p r i n c í p i o do e q u i l í b r i o do u s u á r i o e e x p e r i m e n t á - l o com dados r e a i s , com o o b j e t i v o de c a l i b r a r uma r e d e r o d o v i á r i a p a r a a Regi ão Sul do P aí s ;

• como a p l i c a ç ã o , o b j e t i v a q u a n t i f i c a r o t r á f e g o d e s v i a d o da r e d e r o d o v i á r i a com a i m p la n t a ç ã o de c e n á r i o s a l t e r n a t i v o s , com b a s e na r e d u ç ã o do s c u s t o s de t r a n s p o r t e e so b d i f e r e n t e s condiç25es de t a r i f a ç ã o . Com os v a l o r e s o b t i d o s , r e a l i z a r e s t u d o s de v i a b i l i d a d e dos c e n á r i o s c o n s i d e r a d o s .

O s e t o r de t r a n s p o r t e s , no B r a s i l , p e l o que o a u to r conhece, c a r e c e de m e t o d o l o g i a s p a r a a q u a n t i f i c a ç ã o de im pactos provocados p e l a movimentação d a s m e rc a d o ria s em um s i s t e m a de t r a n s p o r t e s . D e s ta fo rm a, o modelo p r o p o s t o t e n t a preencher e s t a la c u n a e b u s c a i n c e n t i v a r a produção de novos t r a b a l h o s de p e s q u i s a s o b r e o a s s u n to . 1 . 4 - ORGANIZAÇSO DO TRABALHO No c a p í t u l o 2, a p r e s e n t a - s e os p r i n c í p i o s b á s i c o s de e q u i l í b r i o de t r á f e g o , e a lg u n s modelos de a t r i b u i ç ã o com demanda f i x a e v a r i á v e l s ã o a n a l i s a d o s . O modelo de F r a n k -W o lf e , u t i l i z a d o p a r a a f a s e I do modelo p r o p o s t o , é d e t a lh a d o .

O c a p í t u l o s e g u i n t e a p r e s e n t a o modelo p r o p o s t o , e s t r u t u r a d o em duas f a s e s in d e p e n d e n te s : a p r i m e i r a é r e l a t i v a a um p r o c e s s o de a t r i b u i ç ã o de t r á f e g o com demanda f i x a e a segunda r e f e r e - s e à q u a n t i f i c a ç ã o do d e s v i o de t r á f e g o de uma m od alid ade p a r a o u t r a , com b a s e num a l g o r i t m o de mínimos c u s t o s .

No c a p í t u l o 4 é f e i t a uma a p l i c a ç ã o do modelo, envolvendo: * na f a s e I , dad os O/D e uma r e d e r o d o v i á r i a da R e g iã o Sul do P a i s .

• ns f a s e I I , a d e f i n i ç ã o de uma r e d e r o d o - f e r r o v i á r i a e a im p la n t a ç ã o de 2 c e n á r i o s : F e r r o v i a do F ran go C e n t re Chapecó e Sao F r a n c i s c o do S u l ) e F e r r o v i a L i t o r a l Sul C e n t re P o r t o A l e g r e e C u r i t i b a ) . Uma a n á l i s e p a r c i a l de v i a b i l i d a d e dos 2 c e n á r i o s também é a p r e s e n t a d a .

No q u i n t o c a p i t u l o , a p r e s e n t a - s e a s c o n c lu s S e s e recojitendaçSes d e t r a b a l h o s de p e s q u i s a .

í . 5 - LI MI TAÇ5EÍS DO TRABALHO

Ás l i m i t a ç S e s s ã o r e l a t i v a s ao modelo p r o p o s t o e a a p l i c a ç ã o . - Em r e l a ç ã o ao modelo: na f a s e I_, o modelo a p r e s e n t a c o n v e r g ê n c ia l e n t a , o que f a z com que o tempo de CPU t o r n e - s e b a s t a n t e a l t o em r e d e s do p o r t e da u t i l i z a d a na a p l i c a ç ã o . Além d i s s o , as fun çS es de desempenho u s a d a s C e n v o lv e n d o apenas tempo de viagem ) tambèir li m i t a m a a b r a n g ê n c i a do modelo, no que s e r e f e r e ã e s p e c i f i c a ç ã o do comportamento do u s u â r i c do s e r v i ç o de t r a n s p o r t e s . O p ro c e d im e n to de c a l i b r a ç ã o a d o ta d o C a l t e r a ç & e s na v e l o c i d a d e em fu n c S o dos r e s u l t a d o s o b t i d o s ) ê o u t r o f a t o r l i m i t a n t e do modelo. Na f a s e I I , a q u a n t i f i c a ç ã o do d e s v i o de t r á f e g o com b a s e apenas no c u s t o de t r a n s p o r t e nem sempre r e p r e s e n t a o comportamento do u s u á r i o do s e r v i ç o .

- Em r e l a ç ã o a a p l i c a ç ã o : R e fe r e m -s e , b a s ic a m e n te , aos dados u t i l i z a d o s p a r a os e s t u d o s p a r c i a i s de v i a b i l i d a d e , os q u a is in c o rp o ra m apenas o t r á f e g o d e s v i a d o da m od alid a d e r o d o v i á r i a .

EQUILÍBRIO EM REDES DE TRANSPORTES £. 1 - INTRODUÇÃO Em fu n ç ã o do p o t e n c i a l p a r a a a n á l i s e de c e n á r i o s , os modelos a e e q u i l í b r i o de r e d e s destacam —s e d e n t r e os mais d i f u n d i d o s em p la n e ja m e n t o de t r a n s p o r t e s . A q u e s tã o c e n t r a l n e s t e s modelos ê a d e f i n i ç ã o das fu n ç S e s de demanda e de o f e r t a de t r a n s p o r t e e a b u s c a de uma s o l u ç ã o de e q u i l í b r i o p a r a os deslocam en tos e n í v e i s de s e r v i ç o dos componentes da rede.

Algumas c a r a c t e r í s t i c a s e s p e c i a i s dos s is t e m a s e mercados de t r a n s p o r t e tornam e s t e problem a r e l a t i v a m e n t e complexo, c o n s e q u ê n c ia fundam entalm ente de p e c u l i a r i d a d e s r e l a t i v a s à c o n f i g u r a ç ã o da r e d e e do p r o c e s s o de congestionam ento. De um l a d o , tem -s e as fu n ç S e s de o f e r t a Cgeralm ente d e f i n i d a s i n d i v i d u a l m e n t e p a r a c a d a a r c o da rede? e, de o u t r o , as fu n ç S e s de demanda que s â o d e f i n i d a s à n í v e l de p a r e s O/D e que dependem dc n í v e l de s e r v i ç o do caminho, o q u a l , em g e r a i , usa d i v e r s o s a r c o s da re d e . D e v e - s e c o n s i d e r a r que o n í v e l de s e r v i ç o de q u a lq u e r caminho p a r t i c u l a r ê a soma dos n í v e i s de s e r v i ç o s de to d o s os a r c o s que fazem p a r t e d e s t e caminho e que cada a r c o pode s e r usado por d i v e r s o s caminhos que unem d i f e r e n t e s p a r e s O/D CFERNANDEZ & FRIESZ 1983^.

Assim , p o d e - s e v i s u a l i z a r que um e q u i l í b r i o e n t r e o n í v e l de s e r v i ç o e o f l u x o não pode s e r o b t i d o p e l a c o n s i d e r a ç ã o de um par O/D i s o l a d o , i g n o r a n d o - s e a s o u t r a s fu n ç S e s de demanda e de o f e r t a

da r ©d e. A d e t e r m in a ç ã o do e q u i l í b r i o em r e d e s de t r a n s p o r t e s é e s s e n c i a l em m uitos e s t u d o s de t r a n s p o r t e , e n t r e os q u a i s a n á l i s e de i n v e s t i m e n t o s , s i s t e m a s de g e re n c ia m e n to de t r á f e g o e p o l í t i c a s de t a x a ç ã o . Quando o o b j e t i v o do e s t u d o e n v o lv e a q u a n t i f i c a ç ã o d© im p a c to s p r o v o c a d o s por d e te rm in a d o s c e n á r i o s , os procedim entos podem s e r d i v i d i d o s em duas f a s e s CSHEFFI 1985b):

C a) e s p e c i f i c a ç ã o matem ática do c e n á r i o , a t r a v é s de um c o n ju n to de i n f o r m a ç õ e s C r e p r e s e n t a ç ã o da r e d e de t r a n s p o r t e s , fun çS es de desempenho dos a r c o s , m a t r iz O/D, e t c ) que s ã o u t i l i z a d a s p a ra a p r e v i s ã o de um f l u x o p a d rã o de e q u i l í b r i o em cada componente da r e d e . E s t e f l u x o pode s e r v i s u a l i z a d o como o r e s u l t a d o do i n t e r r e l a c i o n a m e n t o de d o i s componentes, conforme f i g u r a a b a ix o : 6 -REDE DE TRANSPORTES USUÁRIOS _! 1 _TRANSPORTESREDE DE DES UTILIDADE <Vari.av«-l> Mi ri Deautilidokde FLUXO PADRAO F i g u r a 2 - Formação do f l u x o padrão. E s t a c a r a c t e r i z a ç ã o c o n f r o n t a o f a t o r d e c i s ã o de viagem do u s u á r i o , que t e n d e a m inim izar a d e s u t í l i d a d e a s s o c i a d a ao seu d e s lo c a m e n to Ctempo ou c u s t o como e x p r e s s S e s mais r e l e v a n t e s ) , e o uso da i n f r a e s t r u t u r a de t r a n s p o r t e , ao qual c o r r e s p o n d e a r e f e r i d a d e s u t i1i d a d e , que não é f i x a , em fu n ç ã o de sua

CfcO o f l u x o p a d rã o é u s a d o p a r a o c á l c u l o de uma s é r i e de medidas que c a r a c t e r i z a m o c e n á r i o em estudo.

E s t e c a p í t u l o a p r e s e n t a os p r i n c í p i o s b á s i c o s de e q u i l í b r i o de t r á f e g o , que fo rn e c e m a b a s e p a r a p r e v i s ã o de padr&es de f l u x o em uma r e d e de t r a n s p o r t e s . A lgu n s modelos de r e d e s » fundam entados no c o n c e i t o de e q u i l í b r i o , s ã o d i s c u t i d o s . O número de t r a b a l h o s a p r e s e n t a d o s na l i t e r a t u r a c r e s c e u enormemente d u r a n t e os ú lt im o s 15 anos. A p r e s e n t a —s e aqui os modelos r e l e v a n t e s no c o n t e x t o d e s t e t r a b a l h o . Á n o ta ç ã o a d o t a d a n e s t e t e x t o é a p r e s e n t a d a a b a ix o : SÍMBOLO DESCRIÇÁO Ã K S K_{r s} C o n ju n to de a r c o s da r e d e C o n ju n to de C e n t r o i d e s de o rigem Conde os f l u x o s s ã o g e r a d o s 5 C o n ju n t o de C e n t r ó i d e s de d e s t i n o Cpara onde os f l u x o s s ã o a t r a i d o s 5

C o n ju n t o de caminhos que levam do no de

q X CL o rig e m r_ ao de d e s t i n o s M a t r i z o r ig e m —d e s t i n o , que f o r n e c e o d e s ­ lo ca m e n to e n t r e r e s. F lu x o no a r c o a t c Tempo de viagem no a r c o a t C X J> c a C Função de desempenho do a r c o a : R e la ç ã o e n t r e o f l u x o e o tempo de viagem F lu x o no caminho k que l i g a a s r ® V a r i á v e l i n d i c a t i v a , que assume o v a l o r : í : Se o a r c o f a z p a r t e do caminho 0: Em c a s o c o n t r á r i o T a b e l a 1 - N o ta ç ã o b á s i c a u t i l i z a d a

40 e f e i t o do c o n g e stio n a m e n to é o exemplo mais c l a r o d e s t a v a r i a b i 1 1d a d e .

2. Ê - PR IN CÍPIO S BÀSICOS DE EQUILÍBRIO DE TRÁFEGO

De m a n eira a s e o b t e r uma s o l u ç ã o de e q u i l í b r i o em r e d e s de t r a n s p o r t e s » n e c e s s i t a - s e a d e te rm in a ç ã o da q u a n tid a d e de f l u x o s o b r e ca d a a r c o da r e d e , o que r e p r e s e n t a a e s s ê n c i a do problema de e q u i l í b r i o de t r á f e g o , O número de u s u á r i o s — ou u nidad es de f l u x o s o b r e cada a r c o s e r á uma c o n s e q u ê n c ia d i r e t a das d e c i s õ e s tomadas p e i o s u s u á r i o s , in d iv i d u a lm e n t e » em r e l a ç ã o ao caminho â s e r s e g u id o .

N e s t e c o n t e x t o » n e c e s s i t a —s e f a z e r algumas s u p o s iç õ e s s o b r e o comportamento dos u s u á r i o s na e s c o lh a e n t r e os d i v e r s o s caminhos d i s p o n í v e i s p a r a a r e a l i z a ç ã o dos deslocam en tos. Os d o is p r i n c i p i o s de WARDROP, e s t a b e l e c i d o s em 1Ô52 e de a c e i t a ç ã o g e r a l , b a l i z a r a m o conhecim ento que s e tem h o j e s o b r e o assu n to , Quando da a p r e s e n t a ç ã o dos p r i n c í p i o s , WARDROP não f o r n e c e u um método p a r a o c á l c u l o dos f l u x o s de e q u i l í b r i o , o que coube a BECKMANN, McGUI RE & WINSTEN que, em 1956 CApud FLORI AN Í9845 form ularam matematicamente o problem a p a r a os c a s o s de demanda f i x a e v a r i á v e l .

O p r i m e i r o p r i n c i p i o , em sua v a r i a n t e de tempo de viagem como im p e d â n c ia , a s s e g u r a que:

"N o e q u i l i b r i a , nenhum tisu árto pode r e d u z i r seu tem po de u i agem po r mudança u n i l a t e r a l de r o t c "

e

-2

O c o n c e i t o de im pe dâ n c ia » no c o n t e x t o d e s t e t r a b a l h o » r e f e r e - s e & uma medida de r e s i s t ê n c i a ao de sloc a m en to dos f l u x o s nos a r c o s da r e d e . O term o tem po de v ia g e m deve s e r e n te n d id o como uma im p e d â n c ia g e n é r i c a Ca u t i l i z a ç ã o de o u t r a medida de ím pedân cía, como o c u s t o de viagem , não a l t e r a o con teú do do p r i n c í p i o . } .

Os f l u x o s que s a t i s f a z e m e s t e p r i n c i p i o s ã o usualmente r e f e r i d o s como / lu x o s o tim is ta d o s d o u s u á r i o , c a r a c t e r i z a n d o o que s e c o n v e n c io n a chamar de c o n d iç ã o de e q u i l í b r i o do u s u á r i o , e x p r e s s a p e l o s e g u i n t e c o n ju n t o de equaçSes e com not&ção i n c l u í d a na t a b e i a í : Min ZCx) =

r x

[

E s t e è um problem a de program ação, con h ecido como

t r a n s f o r m a ç ã o de Beckmann , onde a equação C2. í b ) r e p r e s e n t a as r e s t r i ç õ e s de c o n s e rv a ç ã o de f l u x o , c o n f ig u r a n d o o que s e denomina um p r o c e s s o de a lo c a ç ã o com pleta Ctodos os f l u x o s devem s e r

3

Um p a d rã o de f l u x o que s a t i s f a ç a a s c o n d iç S e s de e q u i l í b r i o de WARDROP em uma r e d e de t r a n s p o r t e s pode s e r o b t i d o p e l a r e s o l u ç ã o de um problem a de program ação convexa com r e s t r i ç S e s l i n e a r e s . E s t e f a t o é amplamente comprovado na l i t e r a t u r a e s p e c i a l i z a d a .

1 0 -a l oc -a d o s n-a r e d e ) . E s t a s r e s t r i ç & e s s ã o fo r m u la d a s em termos de f1uxos nos cami n h o s .

P a r a que a s o l u ç ã o d e s t e problem a a p r e s e n t e r e s u l t a d o s f i s i c a m e n t e s i g n i f i c a t i v o s C i n e x i s t é n c i a de f l u x o s n e g a t i v o s ) , s ã o e s t a b e l e c i d a s a s c o n d iç S e s de não n e g a t i v í d a d e C 2 .1 c ).

As r e i a ç d e s de i n c i d ê n c i a C £ . i d ) expressam os f l u x o s nos a r c o s em term os dos f l u x o s nos caminhos, ou s e j a , o f l u x o s o b r e um a r c o ê i g u a l a soma dos f l u x o s e n t r e to d o s os p a r e s O/D que usam aquei e a rc o .

E s t a f o r m u l a ç ã o também ê con h ecida como uma a t r i b u i ç ã o d e s c r i t i v a , em f u n ç ã o de r e p r e s e n t a r um comportamento mais próximo da r e a l i d a d e do que a fo r m u la ç ã o que serè. a p r e s e n t a d a a s e g u i r , c o n h e c id a como a t r i b u i ç ã o norm ativa e que r e p r e s e n t a os f l u x o s o t im i z a d o s do s i s t e m a , c a r a c t e r i z a d o s p e l o segundo p r i n c i p i o de WARDROP:

Á f o r m u l a ç ã o de o t im i z a ç ã o do s is te m a i n c o r p o r a uma fu n ç ã o o b j e t i v o , que é o tempo de viagem t o t a l g a s t o na rede. O f l u x o p a d rã o que r e s o l v e e s t e programa minimiza e s t a fu n ç ã o o b j e t i v o e s a t i s f a z a s r e s t r i ç S e s de c o n s e r v a ç ã o de f l u x o CSHEF^I Í 9 8 5 b ).

E s t e program a pode s e r e x p r e s s o como:

“ No e o x ii l í b r i o , o tem po de v ia g e m m é d io é -um m ín im o **

x t ( x ) C2. £ a)

Z

k k

C > 0 ¥ r , s » k C2. 2c>

k

O f i u x o p a d rã o que minimiza e s t e programa não r e p r e s e n t a g e r a lm e n t e uma s i t u a ç ã o de e q u i l í b r i o , ou s e j a » os u s u á r i o s são c a p a z e s de d i m i n u i r seu tempo de viagem por mudanças u n i l a t e r a i s de r o t a .

SHEFFI C1985b5 a s s i n a l a : " . . . a im p o r tâ n c ia da fo rm u la ç ã o de o t i m i z a ç ã o do s is t e m a e do p a d rã o de f l u x o r e s u l t a n t e ê que o v a l o r da f u n ç ã o o b j e t i v o pode s e r v i r como um parâm etro p e l o qual d i f e r e n t e s p a d rS e s de f l u x o podem s e r medidos. Com e f e i t o , o tempo de viagem t o t a l — c o n s i d e r a n d o - s e todo o s is t e m a — è uma medida u s u a l do desempenho de uma r e d e em um determ in ad o c e n á r i o “ .

A lg u n s a u t o r e s , e n t r e os q u a i s SHEFFI C1985bí, mencionam que ê n e c e s s á r i o f a z e r uma d i s t i n ç ã o e n t r e os tempos de viagem p e r c e b i d o s e o b s e r v a d o s , o que l e v a á fo r m u la ç ã o de modelos de e q u i l í b r i o e s t o c á s t i c o s , os q u a i s não s ã o a n a l i s a d o s n e s t e estudo.

Em g e r a l , os f l u x o s ótim os do s iste m a s ã o d i f e r e n t e s dos f l u x o s ótim os do u s u á r io . . . P a r a g ra n d e s r e d e s d e s c o n g e s t i o n a d a s a d i f e r e n ç a pode s e r pequena, j á que p a r a tempos de viag e m c o n s t a n t e s nos a r c o s não há d i f e r e n ç a e n t r e os f l u x o s ó tim o s do s i s t e m a e do u s u á r io . Com o aumento do f i u x o e n t r e os p a r e s O-D, o s p a d rõ e s t o rn a m -s e b a s t a n t e d i f e r e n c i a d o s , porque a l g u n s a r c o s c a r r e g a r ã o uma q u a n tid a d e de f l u x o próxima às suas c a p a c i d a d e s " CSHEFFI 19 8 5 b } .

Um c o n f r o n t o e n t r e os 2 pa d rS e s p e rm ite uma i n t e r e s s a n t e c o n s t a t a ç ã o , i l u s t r a d a p e l o s e g u i n t e exemplo num érico, sem elhante

ao apresentadc^ por SHEFFI C1985b5: a s fü n ç S e s de desempenho e s t S o i n d i c a d a s s o b r e o s a r c o s uni d i r e c i o n a d o s e com f l u x o O-D e n t r e os p a r e s 1 -* 4 de 12 u n id a d e s : 1 £ -* 4 3 4 CaJ Cbj> F i g u r a 3 - P a r a d o x o de B r a e s s : C a) Rede o r i g i n a i Cb5 A créscim o de um a r c o

D evido a s i m e t r i a e n t r e os caminhos d& r e d e Ca5„ o f l u x o de e q u i l í b r i o do u s u á r i o pode s e r r e s o l v i d o d ir e t a m e n t e , a t r i b u i n d o - s e metade do f l u x o â cada caminho:

f 1* = C1 -+2->45 = 6 u n id a d e s de f l u x o i f 1* = Cí-»3->45 = 6 u n id a d e s de f l u x c 2 Õs f l u x o s em t o d o s os a r c o s , n e s t e c a s o , sSo i g u a i s : x = x = x = x = 6 u n id a d e s de f l u x o , 12 2 4 13 34

e os tempos de viagem nos a r c o s — o b t i d o s á p a r t i r das r e s p e c t i v a s f u n ç S e s de desempenho— assumem v a l o r e s de:

t = t = £ 6 uni dados de tempo

12 3 4

t = t = £4 u n id a d e s de tempo

2 4 13

Em r e l a ç ã o ao tempo de viagem nos caminhos, o r e s u l t a d o a p r e s e n t a uma s i t u a ç ã o de a c o rd o com o c r i t é r i o de e q u i l í b r i o do u s u á r io :

C** = C** - 50 uni dades de tempo

C o n s i d e r a n d o - s e to d o o s is t e m a , o tempo de viagem t o t a l n& r e d e é de C5 0 + 5 0 )x6 = 600 u n id a d e s de C f l u x o . tempo).

Com a e x p a n sã o da r e d e Cem C b ) ) t e um con seq u ente nove caminho C1-►3-»£-*4) , a s o l u ç ã o de e q u i l í b r i o a p r e s e n t a » nos a r c o s :

x = x = x = 4 u n id a d e s de f l u x o

12 3 2 3 4

x = x = 8 uni dad es de f1uxo

2 4 IS

t = t = £4 uni dades de temoo

12 3 4 t = 8 u n id a d e s de tempo 3 2 t = t = 32 u n id a d e s de tempo» 24 13 ^ e nos caminhos; f i * = f 4* = f 4^ = 4 u n id a d e s de f l u x o 1 2 3 C44 = C4+ = C1+ = 56 u n id a d e s de tempo í 2 3

com tempo de viagem t o t a l na r e d e de C56 x 3 ) x 4 = 672 uni dades de C f 1uxo . tempo) .

v i agem t o t a l CÔOO •+ 672) , como o tempo de viagem experim en tad o p e i o u s u á r i o C 50 •» 563 aumentou. D e sta forma, a a d i ç ã o do a r c o C3-+2) p i o r o u a s i t u a ç ã o .

E s t a a p a r e n t e c o n t r a d i ç ã o , co n h e cid a como p a ra d o x o de B ra& ss, pode s e r e x p l i c a d a da s e g u i n t e forma: c aumento no tempo de viagem ê o r i g i n a d o p e l a c o n d i ç ã o de e q u i l i b r í o do u s u á r i o , onde cada um m inim iza o seu p r i p r í o tempo de viagem, sem c o n s i d e r a r o e f e i t c d e s t a a ç ão s o b r e os o u t r o s u s u á r i o s do siste m a . E ste p ro c e d im e n to , ob v ia m en te , não o t im i z a a fu n ç ã o o b j e t i v o do s i s t e m a , j á que o f l u x o é d i s t r i b u í d o de a c ord o com a fu n ç ã o o b j e t i v o de e q u i l í b r i o do u s u á r io .

O p a r a d o x o de B r a e s s , c u j a o c o r r ê n c i a j á f o i comprovada em situ a ç íS e s p r á t i c a s , é i m p o r t a n t e p a r a a a n á l i s e de in v e s t im e n t o s em r e d e s de t r a n s p o r t e s , em fu n ç ã o da mensuraçSc dos e f e i t o s da a d i ç ã o ciou e l i m i n a ç ã o ) dos a r c o s s o b r e o sistem a.

DAFERMOS & NAGURNEY Cl 984) apresentam um o u t r o a p a r e n t e p a ra d o x o : mostram que um aumento na demanda de viagem a s s o c i a d a L um d e te rm in a d o par O/D C to d as as o u t r a s permanecendo f i x a s ) sempre r e s u l t a em um aumento nos c u s t o s dos u s u á r i o s d e s t e par O/D, ao p a s s o que os c u s t o s dos u s u á r i o s em o u tr o s p a r e s 0/D pode di mi nui r .

A n a l i s a d a s e s t a s qu est& es b á s i c a s de e q u i l i b r í o de t r á f e g o , d e s c r e v e - s e a lg u n s modelos de a t r i b u i ç ã o baseados no p r i n c i p i o i n i c i a i de WARDROP, que r e p r e s e n t a a s i t u a ç ã o de e q u i l í b r i o dc u s u á r i o . Como a s s i n a l a d o a n t e r io r m e n t e , e s t e p r i n c í p i o c o n f i g u r a uma melhor a p ro x im aç ã o da r e a l i d a d e , j á que r e p r e s e n t a o comportamento i n d i v i d u a l do tomador de d e c i s ã o C u s u á r io do s is t e m a de t r a n s p o r t e s ) .

2 . 3 - MODELOS DE EQUILÍBRIO EH REDES DE TRANSPORTES

Inúm eros a l g o r i t m o s tem s i d o p r o p o s t o s com b a s e no 1 - p r i n c i p i o de WARDROP p a r a a o b ten ção de s o l u ç S e s de e q u i l í b r i o em pro b le m a s de a t r i b u i ç ã o de t r á f e g o . Ás s e g u i n t e s c a t e g o r i a s podem s e r i d e n t i f i c a d a s : - a t r i b u i ç ã o de t r á f e g o com demanda f i x a ; - a t r i b u i ç ã o de t r á f e g o com demanda e l á s t i c a ; - m odelos de e q u i l í b r i o combinados. N e s t e e s t u d o , d á - s e a te n ç ã o e s p e c i a l aos modelos da p r i m e i r a c a t e g o r i a , Os modelos de e q u i l í b r i o combinados não s ã o a n a l i s a d o s n e s t e e s t u d o » en quanto os de demanda e l á s t i c a s ã o brevemente r e f e r e n c i ados.

2 .3 .1 - ATRIBUIÇÃO DE EQUILÍBRIO COM DEMANDA FIXA

O exem plo a p r e s e n t a d o a s e g u i r i l u s t r a o problem a de a t r i b u i ç ã o de t r á f e g o com demanda f i x a : a á r e a de i n t e r e s s e é r e p r e s e n t a d a por uma r e d e (com a r c o s » nós e c e n t r ó i d e s d e f i n i d o s por zoneam ento) e as e s t i m a t i v a s dos deslocam en tos e n t r e cada par de nós s ã o c o n h e c id a s e f i x a s . P ara a dete rm in aç ã o do volume de t r á f e g o em cada a r c o » n e c e s s i t a - s e p re v e r as r o t a s que os m o t o r i s t a s s e l e c i o n a r ã o . Um e q u i l í b r i o e x i s t e quando um m o t o r is t a não pode r e d u z i r s e u tempo de viagem p e l a mudança de r o t a e n t r e su a o rigem e se u d e s t i n o . Assim, n e c e s s i t a - s e d e te rm in ar como o t r á f e g o e n t r e os p a r e s de zonas d í s t r i b u i r - s e - á nos a r c o s da r e d e , no e q u i l í b r i o .

E x istem algum as a b o rd a g e n s h e u r í s t i c a s p a r a a r e s o l u ç ã o do problem a de e q u i l í b r i o , t a i s como o método de r e s t r i ç ã o de c a p a c id a d e C u t i l i z a d o p e l a U.S. F e d e ra l Hignway Á d m i n i s t r a t i o n - FHWÁ - que d e s e n v o lv e u um p a c o t e de p la n e ja m e n to de t r a n s p o r t e s u r b a n o s , em 1977) e t é c n i c a s de a l o c a ç ã o in c re m e n ta l C u t i l i z a d a s no DODOTRÁNS d e s e n v o l v i d o p e l o M. I . T. em 19705. Em modelos mais

r e c e n t e s , e s t a s a b o r d a g e n s h e u r í s t i c a s foram p ra tic a m e n t e abandonadas e a u t i l i z a ç ã o de program as e q u i v a l e n t e s de m in im iza ç ã o convexa c o n s o l i d o u - s e em l a r g a e s c a l a ,

BECKMANN e t a l. C a p u d MATSOUKIS & MI CHÁLOPOULOSC19865 j> foram os p r i m e i r o s a m ostrar que a a t r i b u i ç ã o de a c o rd o com o p r i n c i p i o de Wardrop pode s e r e x p r e s s a como um problem a de m inim ização convexa com r e s t r i ç õ e s l i n e a r e s , dado que o tempo de viagem em cada a r c o da r e d e é uma f u n ç ã o c r e s c e n t e com o f l u x o de t r á f e g o s o b r e o a rc o . Em su a form a mais s i m p l e s , e s t e problem a e d e s c r i t o p e l a s e q u aç õ es C2. 1 ) > v i s t a s a n te r io r m e n te ,

N e s t a form a, o número de r e s t r i ç õ e s t o r n a - s e um s é r i o o b s t á c u l o p a r a a p l i c a ç õ e s r e a i s , onde normalmente t r a b a l h a - s e com um g ra n d e número de nós e a r c o s . O a l g o r i t m o de F r a n k -W o lf e , a p r e s e n t a d o em 1956 p a r a a r e s o l u ç ã o de problem as de program ação q u a d r á t i c a , ameniza e s t a d i f i c u l d a d e .

2 . 3 . 1 . 1 - ALGORITMO DE FRANK-WOLFE CCOMBINAÇÕES CONVEXAS)

2 . 3 . 1 . 1 . 1 - ESTRUTURA GERAL

O a l g o r i t m o das com binações convexas r e s o l v e , por ap ro x im aç õ es l i n e a r e s s u c e s s i v a s , o problem a de e q u i l í b r i o do u s u á r io . N e s t e a l g o r i t m o , um problem a l i n e a r é fo rm u la d o , c u j a s o l u ç ã o ótim a ê usada p a r a a d e f i n i ç ã o de uma d i r e ç ã o de busca p a r a a mini mi z a ç ã o da e q u aç ã o C 2 .1 a ).

E n c o n tra d a a d i r e ç ã o de b u s c a , c a l c u l a - s e o tamanho do movimento n e s t a d i r e ç ã o por um método de red u ç ã o de i n t e r v a l o s e o b te m -s e uma e s t i m a t i v a dos f l u x o s de e q u i l í b r i o . O a l g o r i t m o p r o s s e g u e , a t ê que um c r i t é r i o de c o n v e r g ê n c ia s e j a s a t i s f e i t o .

SHEFFI C1985b) a p r e s e n t a um su m ário do a l g o r i t m o , qual s e j a :

-«- P a s s o

• P a s s o

O : I n i c i a l i z a ç ã o . R e a l i z a r uma a t r i b u i ç ã o tu d o ou nada b a s e a d a num tempo de viagem com f l u x o l i v r e . I s t o g e r a um c o n ju n t o de f l u x o s i n i c i a i s nos a r c o s < x J >.

O I n i c i a l i z a r um co n tad or n; = 1.

í : A t u a l i z a ç ã o dos tempos. Baseado no f l u x o c o r r e n t e , c a l c u l a r o tempo de viagem a t u a l i z a d o t n = t Cxr'2,

ct a c

2 : Busca da d i r e ç ã o . Com o tempo de viagem a t u a l i z a d o , r e a l i z a r o p rocedim en to de a t r i b u i ç ã o , o que produz um c o n ju n t o de f l u x o s a u x i l i a r e s < y n > Cver a e q u aç S e s £.65 e a c o r r e s p o n d e n t e d i r e ç ã o de busca , n r> rv o : = y - x . a ' a c

$ : Tamanho do p a ss o . E n co n trar ot que r e s o l v a : r> rt k ^ n rv r— • r X + O í C y - X 3 M ino<cx<í

2

A adoção de uma s o l u ç ã o i n i c i a l com a r e d e v a z i a ^ ^ s t ê n c i a de f lu x o 5 J u s t i f i c a - s e p e l a p r ó p r i a n a t u r e z a das f u n c ò e s de desempenho a o s a r c o s , u t i l i z a d a s em g ra n d e p a r t e das

Ca5 I n i c i a l i z a ç ã o

normalmente, um componente que r e p r e s e n t a o tempo de va aaeir. com í 1 uxo l i v r e a d i c i o n a d o á o u t r a p a r c e l a que depende do f l u x o s o b r e

D e sta form a, em r e d e s d e s c o n g e s t io n a d a s a s o l u ç ã o i m c i a l e s t a r á b a s t a n t e próxima á s i t u a ç ã o de e q u i l í b r i o .

Cb5 Busca da D i r e ç ã o

O o b j e t i v o ê e n c o n t r a r uma d i r e ç ã o d e sc e n d e n te p e i a m in im ízação de uma aprox im aç ã o l i n e a r p a r a a fu n ç ã o o b j e t i v o C2. 1 a5 no ponto da s o l u ç ã o c o r r e n t e . M inim izar e s t a fu n ç ã o l i n e a r i z a d a , s u j e i t a á um c o n ju n t o de r e s t r i ç õ e s l i n e a r e s , ú um problem a de program ação l i n e a r que tem sua s o l u ç ã o em um ponto extrem o da r e g i ã o v i â v e i .

A l i n h a que l i g a os po n to s da s o l u ç ã o c o r r e n t e , x r\ com a s o l u ç ã o do problem a l i n e a r i z a d o , den otada yn, é a d i r e ç ã o de bu sc a. E s t e p a s s o , e n tã o , e n v o lv e a s o l u ç ã o do programa l i n e a r :

a p i i c a ç S e s de r e d e s de t r a n s p o r t e s . E sta s funç&es incorpo ram ,

o a rc o .

y

c o n s i d e r a n d o - s e a s r e s t r i ç S e s do problem a o r i g i n a i , ou s e j a 4: Min Z^Cy) = Y t " y _{ÍJà a a} C2. 6a ) s. a. L C = qrs C2- 6b;: £ o C 2. 6 c ) com r e l a ç S e s de i n c i d ê n c i a : yc. * I - \ C < ! k C£- 7:1 N e s t e program a l i n e a r » y^ é? a v a r i á v e l a u x i l i a r que r e p r e s e n t a o f l u x o no a r c o a , enquanto g[~ é a v a r i á v e l a u x i l i a r de f l u x o p a r a o caminho k que l i g a o par r - s .

E s t e program a m inim iza o tempo de viagem t o t a l s o b r e a r e d e , com tempos de viagem nos a r c o s f i x o s Cnão d e p en d en tes do f l u x o ) . O tempo de viagem t o t a l g a s t o na r e d e é minim izado p e l a a lo c a ç ã o de t o d o s os u s u á r i o s nos caminhos com tempo de viagem mini mo e n t r e s u a s o r i g e n s e d e s t i n o s .

E s t a a l o c a ç ã o é r e a l i z a d a por um pro c e d im e n to de carregam en to

C o n s i d e r a n d o - s e que o tempo de viagem em um a r c o é uma fu n ç ã o do l 1uxo n a q u e l e a r c o somente, ou s e j a : tfZCx) _{= +} v G. ôx a

tu d o ou nada» c u j a j e s s ê n c i a é a d e te rm in a ç ã o dos caminhos mínimos e n t r e to d a s a s o r i g e n s e t o d o s os d e s t i n o s 5.

No c a s o de s e r e n c o n t r a d o 2 ou -*• caminhos mínimos, q u a lq u e r d e l e s pode s e r e s c o l h i d o p a r a a a lo c a ç ã o de f l u x o ou, e n tã o , os f l u x o s podem s e r d i v i d i d o s e n t r e e l e s . Uma vez e n c o n tra d o s os ! i u x o s nos caminhos» a t r a v é s das r e l a ç õ e s de i n c i d ê n c i a c a l c u l a - s e os f l u x o s nos a r c o s .

A s o l u ç ã o e n c o n t r a d a d e f i n e a d i r e ç ã o de b usca dr’ = yr'- x r\

Cc? Tamanho do P a s s o

A fim de s e p r e s e r v a r a r e g i ã o v i á v e l , a nova s o l u ç ã o x r,+í deve enco ntra, s e e n t r e x e y r\ Em o u t r a s p a l a v r a s , a busca p a r a uma d i r e ç ã o d e s c e n d e n t e g e r a um l i m i t e p a ra a l i n h a de busca p e l a c o n s i d e r a ç ã o de t o d a s as r e s t r i ç õ e s na d e te rm in aç ã o da d i r e ç ã o d e s c e n d e n t e 6.

Então, a l i n h a de b u s c a p a r a o tamanho do movimento do p a s s o pode s e r e n c o n tr a d a por q u a lq u e r método de re d u ç ã o de i n t e r v a l o s , como por exemplo o método de b u sc a de Bolzano. N e s t e c a s o , a d e r i v a d a da I unção o b j e t i v o C2.3]> em r e l a ç ã o â a ê dada por:

do. n + aCyn - x n>J= t Z g a g C2. e; E x istem d i v e r s o s métodos e f i c i e n t e s p a r a a d e te rm in a ç ã o de caminhos mínimos, e n t r e os q u a i s d e s t a c a m -s e os a l g o r i t m o s de M o o re-Pap e, D i j k s t r a e F lo y d.

y , sendo uma s o l u ç ã o do programa l i n e a r , n a tu ra lm e n t e e n c o n t r a - s e no l i m i t e da r e g i ã o v i á v e l .

CcD A t u a l i z a ç ã o do s F lu x o s

Uma vez e n c o n t r a d o cx^> o próximo p o nto pode s e r g e r a d o p e l a e q u ação C Ê .45, que pode s e r r e e s c r i t a :

x _n + a yn C2. 95

E s t a s o l u ç ã o é uma combinação convexa Cou média p o n d e ra d a ) de r> n x e y . Ce5 T e s t e de C o n v e r g ê n c i a . . . O c r i t é r i o de p a r a d a p a r a a r e s o l u ç ã o do program a de e q u i l í b r i o do u s u á r i o p o d e r i a s e r b a s e a d o nos v a l o r e s da fu n ç ã o o b j e t i v o . E n t r e t a n t o , e s t a fu n ç ã o é meramente uma c o n s t r u ç ã o matemática que c a r e c e de q u a lq u e r s i g n i f i c a d o comportamental ou económico. Consequentem ente, o c r i t é r i o de c o n v e r g ê n c ia deve s e r ba se a d o em c a r a c t e r í s t i c a s r e l e v a n t e s , como os f l u x o s e tempos de vi agem“CSHEFFI 1985b5 .

Uma medida p o s s í v e l s e n a a s i m i l a r i d a d e de tempos de viagem O-D s u c e s s i v o s . Denotando Ur> _rs como o tempo de viaqem mínimo e n t r e_*“ o par r_-s na n — èsiitia i t e r a ç S o , o a l g o r i t m o pode t e rm in a r s e , por exempi o :

r *

Um c r i t é r i o b a s e a d o na mudança dos f l u x o s também p o d e r i a s e r u t i l i z a d o .

2. 3. i . 1. 3 - EVIDÊNCIAS Da APLICABILIDADE DO MODELO

A a p l i c a ç ã o d e s t e a l g o r i t m o e v i d e n c i o u a lg u n s a s p e c t o s , que s â o b a s t a n t e r e a l ç a d o s por a lg u n s a u t o r e s :

e o f l u x o ê t i r a d o de caminhos c o n g e s t io n a d o s e a lo c a d o s em caminhos menos c o n g e s t i o n a d o s » em cada i t e r a ç ã o do método. E s t e p ro c e d im e n to i g u a l a os tempos de viagem e n t r e to d o s os caminhos e l e v a o s i s t e m a em d i r e ç ã o ao e q u i l í b r i o CSHEFFI 1985b>;

♦ a c o n t r i b u i ç ã o m a rg in al de ca d a i t e r a ç ã o p a r a a red u ç ã o do v a lo r da íu n ç S o o b j e t i v o e s u c e s s iv a m e n t e d e c r e s c e n t e CSHEFFI 1ôS5b>. «• o número de i t e r a ç õ e s r e q u e r i d a s p a ra a c o n v e r g ê n c ia é s i g n i f i c a t i v a m e n t e a f e t a d o p e l o n i v e l de c o n gestion am ento na red e . SHEFFIC1Õ85b5 demonstrou o e f e i t o do c o n gestion am en to em uma re d e de tamanho mêdio, com p a d r ã o de c o n v e r g ê n c ia b a s e a d o nos v a l o r e s da fu n ç ã o o b j e t i v o . N e s t a dem onstração, o e f e i t o dc c o n g e stio n a m e n to s o b r e a t a x a de c o n v e r g ê n c ia ê b a s t a n t e a c e n tu a d o ;

• de um ponto de v i s t a da v e l o c i d a d e de c o n v e r g ê n c ia , a e f i c i ê n c i a do a l g o r i t m o não é i n t e i r a m e n t e s a t i s f a t ó r i a . , em r a z ã o p r i n ci pai mente das d i r e ç õ e s de b u sc a dn g e r a d a s p e l a r e s o l u ç ã o dos

C

s u b p r o b i emas de program ação l i n e a r g e ra lm e n t e tenderem a s e r per pendi c u l ar ao g r a d i e n t e da fu n ç ã o o b j e t i v o ZCxn5, com o d e s e n v o lv im e n t o das i t e r a ç õ e s CFUKUSHIMÁ 19845. Como dem on stração d e s t e l a t o , s e j a ^ a s o l u ç ã o ótima do problem a s i t u a d a em uma f a c e S do c o n ju n t o v i á v e l , r e p r e s e n t a d a por seus p o n to s extrem os ...£ m. E ntão , p a r a um número de I t e r a ç õ e s s u f i c i e n t e m e n t e g ra n d e C p r o x im id a d e s da s o l u ç ã o ó t im a ), a s o l u ç ã o do p a s s o 2 do a l g o r i t m o c o i n c i d i r i a com um dos pontos e xtrem o s s , de m an eira que d _G é aproximadamente o r t o a o n a l ao g r a d i e n t e da f u n ç ã o o b j e t i v o em x n, Já que o g r a d i e n t e da fu n ç ã o