Um elemento finito de casca para a analise de problemas com não linearidade geometrica

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA

UM ELEMENTO FINITO DE CASCA PARA A ANÁLISE DE PROBLEMAS COM NÃO-LINEARIDADE GEOMÉTRICA

DISSERTAÇÃO SUBMETIDA À UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM ENGENHARIA MECÂNICA

ROGÉRIO/APIMENTA MOURÃO

UM ELEMENTO FINITO DE CASCA PARA A ANÁLISE DE PROBLEMAS COM NÃO LINEARIDADE GEOMÉTRICA

ROGÉRIO PIMENTA MOURÃO .

ESTA DISSERTAÇÃO FOI JULGADA ADEQUADA PARA A OBTENÇÃO DO TÍTULO DE

MESTRE EM ENGENHARIA

ESPECIALIDADE ENGENHARIA MECÂNICA, ÁREA DE CONCENTRAÇÃO PROJETO, APROVADA EM SUA FORMA FIN AL PELO .CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO, EM ENGENHARIA MECÂNICA

CARLOS ALBERTO ORIE

OS SELKE - Ph.D.

. BERENET SN/OEIJER -/ t»r.-In g COORDENADOR DO CURSO '

BANCA EXAMINADORA:

CARLOS -ALBERT' CAMPO| SELKE - Ph.D. PR6STDENTE’

DOMINGOS BOECHAP'aLVES - D. Sc.

)VÍS SF

CLOVÍS SPERB D E f B A l O T T Õ S ^ ^ h .D

Á

Á- 0

Ag r a d e c i m e n t o s

À CAPES, pelo apoio fin a n ceiro;

ao p ro f. Carlos A lb erto de Campos Selke, pela orientação deste trabalho;

ao colega Jun, em especial, pelas incontáveis inform ações e dicas e ao Ipira, pelo program a g rá fic o ;

ín d ic e

1 INTRODUÇÃO 1

1.1 H istórico e pesquisa b ib lio g rá fic a 1

1.2 D efin ição do tema da d issertação 3

2 ABORDAGEM NÃO LINEAR DA MECÂNICA DO CONTÍNUO 4

2.1 Formulação lagran giana atu alizada 4

2.2 Tensões e deform ações ' 5

2.3 Equações de equ ilíb rio increm entais 8

3 FORMULAÇÃO DO ELEMENTO 10

3.1 Sistemas de coordenadas 10

3.2 D iscretização da geom etria e do campo de deslocamentos 15 3.3 D iscretização da equação de equ ilíb rio increm entai 17

4 ELIMINAÇÃO DO TRAVAMENTO ("LO CKING") E ESTABILIZAÇÃO DOS MODOS

ESPÚRIOS 21

4.1 Subintegração e modos de en ergia ze ro 21

4.2 E stab ilização dos modos espúrios 21

4.2.1 Obtenção'’ do operador 25

\

4.2.2 Construção da m a triz de estab ilização 25

4.2.3 Contribuição das fo rç a s de estab ilização ao vetor resíduo 30

5 EXEMPLOS NUMÉRICOS 31

5.1 Análise linear 32

5.1.1 "Patch te s t"' 32

5.1.2 Placas 36

5.1.2.1 Placa quadrada 36

5.1.2.2 Placa circu la r engastada , 39

5.1.3 Cascas 42

5.2 Análise não linear 47

5.2.1 Placa engastada submetida a fle x ã o pura 47

5.2.2 V iga simplesmente apoiada com carregam ento de fle x ã o 50

r I

5.2.4 Flexão não linear de um tubo 55 6 CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES 58 6.1 Conclusões 58 6.2 Recomendações 60 ANEXO BIBLIOGRAFIA

SiMBOLOGIA

1- LETRAS LATINAS

3p - espessura do elem ento no nó p; b - fo r ç a de corpo p res c rita ;

Bl - m a triz deform ação-deslocam ento linear; Bq - m a triz deform ação-deslocam ento não linear;

<y

B - m a triz deform ação-deslocam ento de estabilização; d - graus de liberdade globais de translação;

d’ - graus de liberdade locais de translação; D - rig id e z de fle x ã o ;

D - m a triz de propriedades m ateriais; K

D - m a triz de co e ficie n te s de estab ilização; e - vetores de base do sistem a global;

■

■

K, f*-, r

e ’ - vetores,.de base do sistem a nodal; e - vetores de base do sistem a local; E - módulo de elasticid ade;

f ’ - fo rç a s de estab ilização;

F - tensor gra d ien te de deform ação;

"F - v eto r de reações internas na con figu ração q' " ’ ; G - módulo de elasticid ade tran sversal;

G ,H,R,S,T,V - m a trizes d^ mudança de base; h - v e to r de modos í ^ ú r i o s ;

h - espessura;

I - momento de in é r^ a ; I - m a triz identidad^;

■í

J - determ inante da m atri^’ jacobiana em coordenadas globais; J’ - determ inante da m a triz jacobian á «Hri coordenadas locais;

k - fa t o r de co rreç ã o para distribu ição das tensões cisalhantes; Kl - m a triz de r ig id e z linear;

K(j - m a triz de rig id e z geom étrica; - m a triz de estab ilização; 1,, m,, n, - cossenos d ireto res;

n - normal u n itária à s u p erfíc ie do domínio; Np - função de in terpolação do nó p;

- ponto gen érico do domínio de interesse, na con figu ração q - carregam en to distribuído;

r ,s ,t - coordenadas naturais;

"R - v eto r carregam en to na con figu ração 6" ’ ; S - fr o n te ir a do domínio de interesse;

S - segundo ten sor tensão de P io la -K ir c h h o ff;

s - v eto r da base ortogonal para construção do operador de estab ilização; t - tra çã o su p erfic ia l p rescrita ;

u - deslocam entos globais;

U ’ - v e t o r ‘ deslocam ento da normal ao nó p;

p

U - en ergia de deform ação;

V - porção do domínio de interesse; ° x - coordenadas da con figu ração inicial;

‘ x - coordenadas no sistem a global de um ponto em uma con figu ração conhecida; - coordenadas no sistem a global de um ponto em uma con figu ração a determ inar; /s

X - coordenadas no sistem a nodal; x ’ - coordenadas no sistem a local; Wj - trabalh o virtu al interno; Wj; - trabalho virtu al externo; Z - normal nodal unitária.

a,p - pontos de in tegração numérica; 5 - varia çã o de uma grandeza;

y - operador de estab ilização;

Ad - v eto r de graus de liberdade globais; Ad’ - v e to r de graus de liberdade locais;

Ae - ten sor increm ento de d eform ação de G reen -Lagran ge; y

Ac - increm ento de deform ação de estab ilização;

Ae - increm ento lin ear de deform ação em coordenadas globais; Ae - increm ento lin ear de d eform ação em coordenada locais; Ae’ - increm ento linear de deform ação em coordenadas locais; Atj - increm ento não lin ear de deform ação;

AS - increm ento do segundo tensor tensão de P io la -K ir c h h o ff; Au - increm ento de deslocam ento em coordenadas globais; Au’ - increm ento de deslocamento em coordenadas lo c a is ;' Acr^ - increm ento de tensão de estab ilização;

e - ten sor d eform ação de G reen -Lagran ge; e - d eform ação gen era liza d a de estab ilização; H - curvatura;

f - c o e fic ie n te de Poisson; p - massa esp ecifica ;

0- - ten sor tensão de Cauchy;

<r - tensão gen era liza d a de estab ilização.

- con figu ração de um dado domínio de interesse. 2 - LETRAS GREGAS

Re s u m o

N este trabalh o é desenvolvido um elem ento fin ito de casca adequado ao estudo de problem as não lin eares envolvendo grandes rotações e deslocamentos.

Foi escolhido um elem ento fin ito isoparam étrico biquadrático de 9 nós baseado no P rin cíp io dos Trabalhos V irtuais. A excessiva rig id e z à fle x ã o inerente a este elem ento é elim inada pela subintegração das m a trizes de r ig id e z e os modos espúrios de en ergia ze ro daí decorrentes são estab ilizad os pela introdução de um operador m atem ático especialm ente construído.

P ara v e r ific a r a e fic iê n c ia e a v ersatilid a d e do elem ento implementado, foram estudados casos de placas, tira s , vigas e cascas. Os resultados mostram bom desempe­ nho do elemento, confirm ando a robustez de sua form ulação.

A

b s t r a c t

In this work a shell fin it e elem ent f o r the study o f nonlinear problems undergoing la rge rota tion s and displacem ents is developed.

For this purpose, a displacem ent-based nine-node biquadratic isoparam etrlc elem ent was selected. The excessive s tiffn e s s inherent to this elem ent is avoided by the subintegration o f the s tiffn e s s m atrices, and the resu ltin g spurious ze ro energy modes are s ta b ilized by the introduction o f a mathem atical o p era to r specially constructed.

The resu its show a good perform an ce o f the element, provin g the robustness o f its form ulation.

CAPÍTULO 1

In t r o d u ç ã o

As estruturas de cascas têm uma ampla gama de aplicações industriais. P r o je tis ­ tas das áreas nuclear, aeroespacial e petroquím ica, en tre outras, estão constante­ mente envolvidos no cálculo de componentes como vasos de pressão, silos, asas de aeronaves, trocad ores de calor, com pressores, etc, onde preponderam elementos tipo casca. Não ra ro , algumas destas estruturas terã o ainda de u tiliza r em seu dim ensio- namento te o ria s que usam hipóteses de cálculo prevendo grandes deslocam entos ou ro ­ tações, casos em que a Elasticidade Lin ear forn ece resultados im precisos ou mesmo com pletamente incorretos.

Neste trabalho, desenvolve-se um elem ento fin ito biquadrático degenerado isopa- ram étrico de 9 nós para problemas de não linearidade geom étrica. Para e v ita r a e x ­ cessiva rig id e z à fle x ã o inerente a este elemento, ou seja, o travam ento ("lockin g"), usa-se o método da subintegração e, para elim inação dos modos fa ls o s de deform ação d ^ o r r e n te s , fa z - s e sua esta b iliza çã o por meio de um operador m atem ático especialm ente construído.

1.1 Histórico e pesquisa b ib lio g r á fic a

As equações básicas que descrevem o com portamento de cascas elásticas foram obtidas de form a sistem atizada inicialm ente por Love [25,26], no fin a i’ do século passado. Os postulados nos quais se baseou a te o ria de Love, também conhecida como prim eira aproxim ação de Love, preconizam que:

. a casca é fin a , ou seja, sua espessura é muito pequena em com paração com seu menor ra io de curvatura;

. as d eflex õ e s são pequenas, de ordem de gran deza in fe rio r à espessura; . as tensões normais tran sversais não são consideradas;

. as normais à su p erfície média se mantém normais e in extensíveis durante a deform ação.

i-as de ci-asci-as ni-as quais um ou mais dos postulados an teriores são abandonados. Neste con texto, a te o ria de F iü g g e -L u r’ e-Byrne, desenvolvida independentemente por estes autores, relaxou a hipótese de que a casca era fin a , retendo na relação d eform açâo-deslocam ento os term os h/R. R e is s n e r e t a l. [27] propuseram uma te o rlfi na qual os dois últim os postulados eram abandonados, perm itindo a incorporação de e fe i­ tos de cisalhamento.

A u tiliza çã o do método de elem entos fin ito s no estudo do- com portam ento de cas­ cas resultou inicialm ente em elementos cuja form oulação é baseada nas hipóteses de de Love. Estes logo se m ostraram lim itados, por se aplicarem somente a casos de cas­ cas fin a s e com cisalhamento d esprezível: além disto, como as equações de equ ilíb rio resultantes são de quarta ordem, é requ erida continuidade C*, o que im plica funções de in terpolação de m aior ordem. Estes elementos podem ainda apresentar não-conform idade (descontinuidade de deslocam entos) e ausência de alguns movimentos de corpo rígid o [29],

Na ten ta tiva de superar estas lim itações, desenvolveu-se o elem ento degenerado, baseado nas prem issas da te o ria de Reissner. A geom etria e o campo de deslocamentos são d escritos em term os de va riá veis da su p erfície média (coordenadas, translações e ro ta ções), as equações de equ ilíb rio são equações ' d ife re n c ia is de segunda ordenri e, conseqüentemente, sua form ulação requer apenas continuidade C°.

A form ulação de elem ento fin ito degenerado fo i apresentada pela p rim eira vez por Ahmad .et:>^al [1], que, a p a rtir de elem entos tridim ensionais quadráticos e cúbicos de casca, construíram elem entos de 9 e 12 nós onde, das hipóteses clássicas de Love, se conservou aquelas segundo as quais as normais à s u p erfície média perm a­ necem reta s e as tensões normais tran sversa is são desconsideradas.

/? ■ r \

Tais elementos, contudo, não apresentaram bons resultados para cascas finas, sendo excessivam ente rígid os e com baixa ta x a de convergência. Visando m elhorar este comportamento, Z ie n k ie w ic z e t al. [2] introduziram o método da in tegração reduzida, aplicando-o a um elemento de 8 nós.

A p a rtir destes estudos, diversos autores contribuíram para a m elhoria e popu- la rização dos elementos degenerados de casca. Bathe -e .B o lo u rc h i [3] desenvolveram um elemento para não linearidade geom étrica e de m aterial, ápiicando-o para form ulações lagrangiana atualizada e total. Surana [4], O liv e r e O n ate [5] e H siao e Chen [6J implementaram e stra tégia s de atualização da geom etria do elem ento que perm item gra n ­ des rotações, o que p ossibilita o uso de relativam en te poucos elem entos em casos severos de não linearidade geom étrica. M ilfo r d e S ch n o b rich [7] fiz e ra m um estudo com parativo entre as e stra tégia s de atu alização baseadas em rotações increm entais e em rotações fin ita s , concluindo que não houve d iferen ças s ig n ific a tiv a s en tre ambas nos casos que analisaram. Visando o aspecto da economia de tempo de processam ento computacional, Z ie n k ie w ic z et al. [2] e M ilfo r d e S ch n ob rich [7] propuseram o uso de

in tegração e x p líc ita das m a trizes no sentido da espessura do elemento.

Dois aspectos fundamentais para o bom desempenho dos elem entos de casca basea­ dos na interpolação do campo de deslocam entos são a subintegração e o con trole dos modos espúrios de energia zero. B ica n ic e H in to n [8] estudaram os modos espúrios que se desenvolvem em elem entos bidimensionais de 4, 8 e 9 nós, em malhas de um ou mais elementos. B e lytsch k o et al. [9-11] desenvolveram um método de estab ilização aplicável a problemas não lineares, demonstrando, através do prin cípio variacional de Hu-Washizu, a consistência m atem ática do operador construído. Huang e H in ton [12] e B elytsch k o et al. [13] desenvolveram um elemento de 9 nós em que os modos espúrios são eliminados via interpolação da deform ação.

Diversos outros autores obtiveram elem entos de cascas com elim inação de tr a v a - mento e modos espúrios, como V e rh e g g h e e P o w e ll (14], para casos bidimensionais, B ria ss o u lis [15], que estudou malhas com apenas alguns elem entos estabilizados e W h ite e A b el [16], que obtiveram um elem ento adequado a estudos de problemas com não linearidade geom étrica e a casos de p la stifica çã o.

1.2 Definição do tema da dissertação

Tendo por base estes estudos, resolveu -se implementar um elem ento de casca para problemas com não linearidade geom étrica que não apresentasse como d eficiên cia os fenômenos de travam ento e modos fa ls o s de en ergia zero.

Optou-se por um elem ento degenerado devido a seu bom desempenho em casos de cascas finas, uma vez que, tendo apenas um nó na direção tran sversal, não ocorre singularidade nas m a trizes de rig id e z quando a espessura se torn a pequena. A escolha de um elemento de 9 nós, deveu-se a sua pequena sensibilidade à d istorção (menor, por

,

Z'':

exemplo, do que o elemento.,>biquadrático de 8 nós) e a opção por um elemento baseado

^ r\

nas premissas da teor^ia dê Reissner fo i fe it a para acomodar os e fe ito s ífde cisalh a- mento.

CAPÍTULO 2

A

b o r d a g e m n ã o l i n e a r d a m e c â n i c a d o c o n t ín u o

Neste capítulo sSo d escritos os principais eoneeltos envolvidos na análise não lin ear de um meio contínuo. Inicialm ente, apresen ta-se a form u lação lagrangiana in­ crem entai atualizada, abordagem adotada neste trabalho. Em seguida, d efin em -se as tensões, deform ações e relações con stitu tivas em pregadas e, por fim , o Prin cíp io dos Trabalhos V irtuais, m ostrando-se como, a p a rtir dele, são obtidas as equações de equ ilíb rio incrementais.

2.1 Formulação la grangiana atualizada

Uma classe de problemas de engenharia que freqüentem ente se coloca em Análise Estru­ tural é o dimensionamento de peças e componentes utilizando te o ria s de elasticidade fin ita . Nestes" casos, a te o ria clássica da Elasticidade Lin ear não se aplica, haven­ do necessidade de uma abordagem mais adequada, que leve em consideração a grande variação da geom etria do domínio durante o processo de deform ação. Exemplos de p ro ­ blemas não lineares são aqueles nos quais os ângulos de ro ta çã o não podem mais ser aproxim ados pelos respectivos senos ou, no caso de placas e cascas, as d eflex õ e s são m aiores do que a metade de sua espessura.

As abordagens existen tes se classifica m segundo a con figu ração de re fe rê n c ia que usam para d escrever os parâm etros desejados. A form ulação lagran giana u tiliza as coordenadas m ateriais (do estado indeform ado), enquanto na form u lação euleriana as grandezas são medidas em coordenadas espaciais (da con figu ração deform ada). Ambas são conceitualm ente correta s mas, em Elasticidade, a form ulação lagrangiana é mais conveniente, por sua m aior aproxim ação com os aspectos fís ic o s dos problemas envol- ■ vidos, uma vez que sempre e x is tir á um estado indeform ado bem d efin ido para o qual o corpo reto rn a rá quando re tira d o o carregam ento. Situação oposta ocorre, por exemplo, em Mecânica dos Fluidos, onde a form ulaçãp euleriana é p refe rive lm e n te empregada.

Na form ulação lagrangiana, duas estra tég ia s podem ser usadas na escolha da con­ figu ra çã o onde as grandezas são medidas. Na prim eira, o estado antes da aplicação do

carregam en to é o de re fe rê n cia , ten do-se então a form ulação lagrangiana to ta l, en­ quanto na outra, a form u lação lagrangiana increm entai atualizada, uma m od ificação é introduzida de fo rm a que, sendo o carregam en to to ta l aplicado por passos, a con figu ­ ração de um estado in term ediário já conhecido é em pregada como re fe rê n c ia para de­ term inação do estado subseqüente. A Figu ra 1 apresenta um esquema desta form ulação, onde n^^^e são os estados in icial e fin a l, uma posição de equ ilíb rio in­ term ed iá ria conhecida e uma con figu ração increm entalm ente próxim a, a d eterm i­ nar.

No presente trabalho, em prega-se a form ulação lagrangiana atualizada, por ap re­ sentar term os mais sim plificados nas m a trizes resu ltantes de d iscretiza çã o das equações de equilíbrio.

Figura 1

Esquema da form ulação lagrangiana atualizada

2.2 Ten sões e d e fo rm a ç õ e s

Na form ulação lagrangiana atualizada, adotam -se algumas medidas de tensões e deform ações que perm item o mapeamento entre a con figu ração de re fe rê n c ia q'(I) e a

-, (2) quela a determ inar, Q

Tem -se, inicialm ente, o tensor gradien te de deform ação F, que incorpora as r o ­ tações e deslocamentos de corpo rígid o e as deform ações propriam ente ditas e é d e fi­ nido como

F.J =

a

2

x,

8 ^x, = ’

( 2 . 1)

onde *x e são as coordenadas em q'** e respectivam ente.

D e fin e-se em seguida o tensor d eform ação de G reen -Lagran ge medido em cord e- nadas do estado ta l que

2e = _ i _ (FT F - I ) ,

2

(2.2)

onde I é a m a triz identidade.

Sendo o incremento de deslocam ento dado por

AUi = 2xj - ix,

,

(2.3)

obtém -se, em term os de derivadas de deslocamentos, o tensor increm ento de deform ação de G reen -Lagran ge,

Ae,, = Aui , + Auj + Au . AUk

»J »* >J

(2.4)

3Au onde Au, =

> J

0 tensor Ae é decomposto em uma p arte linear,

Ae.i = Au, + AUj

» j (2.5)

e em uma não linear,

( 2. 6)

Com relação às tensões, é necessário d eterm in ar-se a tensão de Cauchy em V , com base nas coordenadas em Q . Esta atualização é fe it a por meio do segundo tensor tensão de P io la -K ir c h h o ff, sendo a relação entre eles dada por

ou

„ ' mn ■''■j _

,m ■'■n (2.8)

onde p é a massa esp ecífica .

A tensão de P io la -K ir c h h o ff pode ser decomposta em

2S = V + 2AS , (2.9)

1 1

onde V é a tensão de Cauchy no estado fi**' e o increm ento de tensão de P io la -K irch h o ff.

Devido à hipótese de tensões normais tran sversais nulas ((T33=0), o tensor tensão de Cauchy é expresso por

«^11 /^12 «^13

V = _{<^21 <^22 ®'23} (2.10)

.

«^31 0

Considerando-se que os estados de equ ilíb rio interm ediários são tomados s u fic i­ entemente próxim os, a seguinte rela çã o con stitutiva increm entai lin earizada é esta ­ belecida;

2AS,j - Ae,j,

.

(2 . 11)

• ^ ^

A m a triz d e ' propriedades m ateriais D, para m ateriais hookeanos isotrópicos, é dada por D = E Ei; E s I m é t r t c o 0 kG kG (2.12)

onde V é

0

c o e ficie n te de Poisson, E e G os módulos de elasticid ade e k o fa t o r de correção para distribu ição das tensões cisalhantes, tomado igual a 5/6, de acordo

com a te o ria de Reissner.

A d efin içã o de D como uma m a triz de quinta ordem pressupõe que ^AS e Ag sejam arran jados na fo rm a v e to ria l, como se segue:

2AS = ^ASj, ^AS22

Ae =

T

Agj, Ae₂₂ Ac A e , o Ae₁₃

(2.13)

2.3 P r in c íp io dos tr a b a lh o s v ir tu a is in c re m e n ta is

A form ulação do elem ento adotado se baseia no Prin cípio dos Trabalhos Virtuais o qual estabelece que, em um s»istem a con servativo em equ ilíb rio que s a tis fa ç a as condições de contorno essenciais, o trabalh o virtu al to ta l das fo rç a s externas é igual à variação da energia interna.

Considerando-se um volume *V pertencente a um corpo elástico e sua fro n te ir a *S, a equação de equ ilíb rio na con figu ração é dada por

der 1J

a>:

+ ‘ p bj = 0, (2.14)

onde bj é a fo r ç a de corpo p rescrita.

Supondo-se que trações s u p erficia is t sejam p rescrita s em uma porção 'S da fro n te ira , a seguinte expressão é definida:

>t, = 'cr,j nj, (2.15)

sendo nj o v eto r normal unitário.

Adm itindo-se que os campos de deslocamentos Uj e de deform ações Cy existam em

(1) . • '

n e se relacionem através de

E l . = u. - + u,. + u. Uk

.1 (2.16)

e que as derivadas de deslocamentos sejam muito menores do que a unidade, o trabalho produzido pelo campo de tensões quando p ercorrem este campo de d eform ações é igual ao trabalho das fo rç a s p rescrita s quando p ercorrem o campo de deslocamentos Uj.

Levando-se em conta (2 .8 ), (2.14) e (2.15), o trabalh o virtu al interno é dado por

ôWj = ?S,j dV _(2.17)

e o trabalho virtu al extern o por

ÔWe = bj ôu, dS + t, ôu, dS . (2.18)

Considerando-se agora as decomposições de Ae (Eqs. 2.5 e 2.6), a relação cons­ titu tiv a increm entai lin earizada (Eq. 2.10) e fazen d o -se a aproxim ação

ôGjj = 5e,j

,

obtém -se a form a fr a c a da equação de equ ilíb rio do sistem a para o estado Í2(2)

Dijui dV + V i j An,j dV =

(2.19) 2 t, ôu, dS + 2 5, ôu, dV - V ,j ôe,j dV .

A 'S u p e r fíc ie e o volume u tilizados na in tegração do carregam ento podem ser substituídos^por valores da con figu ração an terior, desde que a variação da g e o ­ m etria seja pequena.

CAPÍTULO 3

Fo r m u l a ç ã o d o e l e m e n t o

Neste capítulo, d escreve-se o elem ento fin ito utilizado, íniciando-se pela a presentação dos sistem as de coordenadas necessários para a descrição da geom etria e determ inação de deslocamentos, deform ações e tensões. Em seguida, é fe it a a d is c re - tiza ç ã o da geom etria e do campo de deslocamentos e é obtida a equação fundamental de elementos fin ito s , a p a rtir da d iscretiza çâ o da equação do prin cíp io dos trabalhos virtu ais desenvolvida no Capítulo 2.

3.1 Sistemas de coordenadas

O elemento isoparam étrico degenerado de 9 nós origin ou -se de um elemento de 18 nós, onde se colapsou os nós que com partilham da mesma normal à s u p erfície média. A Figura 2 m ostra as principais c a ra c te rís tic a s deste elemento. P ara a com pleta des­ criçã o de sua geom etria, determ inação das m a trizes de rig id e z, v eto r de c a rg a ,v e to r resíduo, bem como para o cálculo do campo de deslocamentos, das d eform ações e tensões, são defin idos quatro sistemas de coordenadas, d escritos a seguir.

Figura 2

11

S istem a g lo b a l - x

É um sistem a ortogon al onde são d efin idas as coordenadas m ateriais de um ponto gen érico do elemento. O carregam ento, a m a triz de rig id e z global e os deslocamentos nodais também são expressos neste sistem a. Os vetores unitários são e^, 62 e 63.

Sistem a de coord en a d a s n a tu ra is - r , s , t

É o sistem a de coordenadas curvilin eas que perm ite o mapeamento do domínio real para o domínio de re fe rê n c ia do elem ento, através da m a triz jacobiana

J = _(3.1)

1 são defin idas neste sistema.

Devido à hipótese da te o ria de cascas de que as normais à s u p erfíc ie média p er­ manecem retilín ea s durante a deform ação , o eixo das coordenadas t também é retilín eo.

Os vetores de base deste sistem a são defin idos como se segue:

e . =

x , r | x ,r

■|x.,

Sistem a nodal - x

Em cada nó do elemento é defin ido um sistem a ortogonal c o -rota cio n a l, de form a A

que a direção de X j seja sempre coincidente com a direção da normal à su p erfície média neste nó. Sendo ‘ Xp 0 vetor posição do nó gen érico p na con figu ração Í2* ’ \ os p ^ - ''p ^ são paralelos à s u p erfíc ie média. P ortan to, o v e to r unitário 63, vetores x „ e x

’ , r - , s

12

Os demais vetores da base nodal são

A

e, =

63

X

63

A ^ /S

62 = 63 X Cj

As rotações nodais são d efin idas neste sistema.

Sistem a lo c a l - x ’

Em cada ponto de in tegra çã o do elem ento é defin ido um sistem a ortogonai c o- rotacion al, de form a sim ilar ao sistem a nodal. Sendo e,., Cg e os vetores da base natural no ponto de in tegração , tem -se

e| = 63 X e^,

e ’ = e. X e ’

2 ^ 1

e e ’ = e ’ X e ’

3 I 2

Para fa c ijid a d e de notação, os pontos de in tegração serão denominados pontos /3 neste trabalho.

As deform ações,' tensões e m a trizes de rig id e z e de propriedades m ateriais são defin idas no sistem a local. As m a trizes de estab ilização são obtidas em um sistem a sim ilar; construído em pontos de mesmas cooi^igyggj^ r e s, porém sobre a su p erfície média (t= 0 ). Estes pontos serão defin idos comc

T ra n s fo rm a ç ã o de coord en a d a s ^ '

V

As tran sform ações entre os sistem as global, nodal e local são fe ita s através das respectivas m a trizes de cossenos d ireto res.

13 T R = e i 62 63 (3 .2 ) S = 1 2 3 Portanto, X , - R,j X j x; = S,j Xj . (3.3)

Como m a trizes de tran sform a çã o en tre sistem as ortogon ais são ortogonais, tem -se ainda

- ^Ik ^Jk

= S,k Rjk Xj .

(3.4)

A m a triz de tran sform ação para deform ações, tensões e relação con stitu tiva é

T = i2 1 m 2 1 n21 í,m , m , n i í2 2 m 2 2 n22 m2 « 2 n z l z 12 3 m 2 3 ^23 m ^ rij >^3^3 21, 12 2m j 2n,n2 _{^ 1 ^^2"^ ^ 2^^ 1} mjH 2 +m2>^i n ,l2 +n 2l,

2

I

2

I

2

_2^3 [2^3+ l 2^2 fTí'^ri 2 "^^3^2 2 Í 3 Í r 2rn 3 m j ZngHj Í3mi+ í ^m.2 m3n j +nijn3 n^l 1 +^1^3 (3.5) onde fe z - s e ■> R = _^2 m 2 _^^2

.

^3 mg «3

Devido à hipótese de estado plano de tensões, as componentes de tensão no sis­ tema local são apenas cinco; fa z - s e , então, a redução da m a triz T, elim inando-se sua te rc e ira linha. Além disto, como a equação de equ ilíb rio d iscretiza d a é obtida em coordenadas locais de cada ponto de integração, é n ecessário fa z e r - s e a

14

tran sform a çã o en tre os vetores de graus de liberdade locais e globais.

Os graus de liberdade globais de cada nó são cinco: trê s tran slações segundo os eixos globais e duas rotações, em torn o de Cj e e j. Os graus de liberdade locais são em número de seis por nó: trés devidos à tran slação do nó e tré s o rigin á rios da r o ­ tação da normal ao nó. Sendo o v e to r dos graus de liberdade globais d efin id o como

Ad=

p p

(n ó p )

%

%

(3.6)

e o vetor dos graus de liberdade locais, no ponto de in tegração a.

Ad’ =

a tran sform ação entre eles é

d’ d ’ d> 2p 3p U>1 P U ’2p (n ó p ) 3p (3.7) Ad’ = Q Ad , (3 .8 )

A m a triz Q acima é form ad a de nove blocos semelhantes, dispostos diagonalmente. A expressão de cada bloco é

=

Sn S l2 ^13

^21 ^22 ^23 0

^31 ^32 ^33 y

onde i=l,9 , S,j é d efin ido em (3 .2 ) e

Vu

V,2

0

_{v „}

_Vl2

Vn

Vl2

(3.9)

V = G H .

A m a triz G é expressa por

G = R S ,

15

0 1

H = - 1 0

0 0

A m a triz Q é usada ainda na mudança de base para as m atrizes d eform ação-deslocam ento e para a m a triz de rigid ez.

3.2 Discretização da geometria e do campo de deslocamentos

A posição de qualquer ponto de um elemento de casca é dada pela soma de dois vetores: o v eto r posição de sua p ro jeçã o sobre a su p erfície média e o v eto r que de­ term ina a posição do ponto com relação a esta su p erfície.

J i) Considerando-se o estado de equ ilíb rio Q d iscretiza çã o, é expressa por

a geom etria do elemento, após a

>x = Np ixp + - g - t Np iZp . (3.10)

onde Np é a função de in terp elação do nó p, *Xp o vetor posição no nó p,

hp a espessura do elemento no nó p, t a distância do ponto à s u p erfície média

e *Zp a normal unitária à s u p erfície média no nó p.

As funções de interpolação empregadas e suas derivadas são apresentadas na T a ­ bela 1.

16 Nó _{Np Np} ♦ r ■ "p .. 1 ■ ( 1+ r ) (1+ s ) 4 ^ 4 ( l + 2r ) ( l + s ) 4 ( l + r ) ( l +2s) 2 — ( r - l ) ( l + s ) ^ (2r - l ) ( l + s ) 4 4 ( r - l ) ( l +2s) 3 ( l r ) ( l s) ( l -2r ) ( l - s ) 4 4 ( l - r ) ( l -2s) 4 ( l + r ) ( s 1 ) ^ ( l +2r ) ( s - l ) 4 ^ 4 ( l + r ) (2s - l ) 5 ^ 2 v i f 1 I 2 ) r 1 +1 - 1 - r s { l + s ) ( i - r2) í * 2 + s^ 6 ( r - l ) ( l - s2) 1 r - ---2 (1- S2) r s ( 1- r ) 7 ( l - r2) ( s - l ) r s (1- s ) ( l - r2) 1 s - —---2 8 ( l + r ) ( l - s2)

f

2' + rl (1- S2) - r s (1+ r ) 9 ( l - r2) ( i - s2) -2r ( l - s2) -2s ( l - r2) Tabela 1

Funções de interpelação e derivadas p/ o elemento de 9 nós biquadrático

Sendo- ;o -íelemento isoparam étrico, o campo de deslocamentos é discretizado através das mesmas funções de interpolação. O incremento de deslocamento é então representado por

Au = Np dp + t Np U ’ , (3.11) -•

sendo dp os graus de liberdade de translação e^^Jíy o f vetor deslocamento de ^Np devido às rotações e,^ e (Figu ra 3). No tratam ento das rotações, em pregou-se a e s tra tég ia sugerida por Surana [4], que perm ite grandes rotações entre dois estados de equilíbrio. Como rotações não são grandezas com utativas, d iferen tes resultados serão obtidos segundo a seqüência em que são consideradas. Tom ando-se a seqüência ©1 -> 02, o vetor que defin e a posição da normal atualizada com relação à normal an­ te r io r é dado por

U ’ = [cose, sene,, -sen e,, cose, cos02 - U- p

P or outro lado, sendo a seqüência ©2 0i, tem -se

17

(3.12)

U ’ = [sen e2, -sen e, c o s e2, cose, cos02 - ll- (3.13)

Surana considera, então, a média entre estes vetores, fazen do

sen©2 (1+cose,), — ^ sene, (l+ coseg), cosej coseg - 1 (3.14)

ressalvando que em casos onde se tem apenas rotações e, ou 82, deve-se em pregar as eqs. (3.12) ou (3.13), respectivam ente.

Figura 3

Atu alização do v e to r normal aos nós

Sendo o elem ento escolhido de classe C°, a continuidade da curvatura en tre e le ­ mentos não é garantida, o que pode leva r a im precisões em alguns casos mais d esfa vo ­ ráveis (cascas helicoidais, grandes variações de curvaturas, e tc). F a z-se, então, uma média entre as normais dos elem entos que com partilham de um nó, con form e su geri­ do por B elytsch k o e t al. [13].

3.3 D is c r e tiz a ç ã o da equ ação do p r in c íp io dos tra b a lh o s v ir tu a is in c re m e n ta is

A d iscretiza çã o da equação do princípio dos trabalhos virtu a is increm entais é fe it a introduzindo-se em (2.14) a expressão d iscretiza d a para o deslocam ento incre­ mentai (3.11) e dividindo-se o domínio V em e elem entos ta l que

18

V =

U

V®. e = l

Na con figu ração de equ ilíb rio a equação de equ ilíb rio lin earizada d isc re tiza d a resu lta em

( iRl + ’ Kg ) Ad = zR - 2F , (3.15)

sendo seus term os detalhados a seguir.

A m a triz de rig id e z lin ear glob al *Kl é obtida pela superposição das m a trizes de rig id e z elem entares.

=

L _IvIBT D iBl d v , (3.16)

sendo a in tegral avaliada numericamente utilizando a quadratura de Gauss.

A m a triz deform ação-deslocam ento linear 'B l é defin ida em coordenadas locais de cáda ponto de integração, sendo obtida através da d iscretiza çã o da p arte linear do incremento de deform ação;

’A e ’ = ‘Bl Ad . (3.17) ’ B ,= Sua expressão é Np,, 0 0 0 N p, 2 0 N p. 2 N p ,, 0 0 N p . 3 N p . 2 N p.3 0 N p,,

a ( )

onde d > x ’ - g - ( t Np)., 0 hp — ( t Np),2 0 hp hp — ( t N p ) , 2^ ( t _ N p ) . , 0 _p>>3 2 (n ó p ) ( t N J ._{P>’ 3} 0 ' 0 0 0 ( t Np), 2 ( t N p),, (3.18)

19

A montagem da m a triz de rig id e z geom étrica glob al 'K g é f e it a pela superposição das m a trizes elem entares

=

G G ‘(T ‘ B dV .G (3.19)

A m a triz 'B^ é obtida a p a rtir da d iscretiza çã o do v eto r das derivadas dos deslocamentos, resu lta i V ( â u ’ ) = l A u ’ *>i j A u ’ , A u ’ ■2 >-3 lAu* 2 * 2 l A u ’ 2 , 3 , A u ’ ' 3,j ■ r e l a ç ã o d i s c r e t i z a d a V ( A u ’ ) = iBg u ’ , 0 0 hp ( t Np) , j 0 0 2 N o 0 0 hp ( t N p) , 2 0 0 2 0 0 0 hp ( t N p) , 3 0 0 2 0 0 0 0 hp ( t Np ) , , 0 2 0 N , 0 0 hp ( t N p ) , 2 0 ‘^p> 1 2 0 N o 0 0 hp ( t Np),3 0 2 0 0 _{N p . ,} 0 0 hp 2 ( t N p ) , , 0 0 _{N p , 2 d.} hp ( t N p) , 2 T .(3 .2 0 ) (n ó p ) (3.21) (3.22)

20 1(T = ‘ o - l l ^<^12 ^ 0 'l 3 ‘ 0-12 ‘ 0-22 ‘ 0 -2 3 0 *^■13 ‘ ‘ ^2 3 0 O '<^11 ^0-12 ‘°"l3 ’ <^I2 ‘<^22 *°'23 • ’ *^23 0 'cr_n '12 12 ‘cr22 (3.23)

O v eto r de carregam en to é d efin id o em coordenadas globais. Conform e e x p lic i­ tado em (2.19), são consideradas cargas s u p erficia is e fo rç a s de corpo. Como c a rre ­ gamento su p erficial, adm item -se cargas pontuais, aplicadas sobre os nós da malha, e cargas distribuídas; como fo rç a s de corpo, o peso p róprio da estrutura.

O v e to r de reações internas resu lta do último term o de (2.19). A través da d iscretiza çã o, sua expressão é

2f = 2qT (ZBl 2(r) dV , (3.24)

onde o vetor de Cauchy ^cr é

CAPÍTULO 4

El i m i n a ç ã o do t r a v a m e n t o ( "l o c k in g" ) e e s t a b i l i z a ç ã o d o s m o d o s e s p ú r io s

Neste capítulo são d escritos os fenômenos de travam ento de cisalham ento e de membrana, comuns em cascas fin a s submetidas a esfo rço s fo r a da s u p erfície média. Em seguida, são citados os métodos em pregados para elim inação deste problema, com des­ taque para a subintegração da m a triz de rig id e z do elemento. Apresentam -se, então, os modos espúrios de energia zero, conseqüência da subintegração e o método de esta­ b iliza çã o u tiliza d o para sua elim inação .

4.1 S u b in te g ra ç ã o e modos de e n e r g ia z e r o

Os elementos lagrangianos são bastante adequados ao estudo de cascas conside­ rando o e fe ito de deform ação por cisalhamento, uma vez que, sendo de classe C°, u ti­ lizam funções de interpolação polinom iais de ordem mais baixa que os elementos h er-

mitianos. ^ ■

Contudo, ta is elementos apresentam uma séria d eficiên cia quando aplicados a cascas finas: os travam entos de cisalham ento e de membrana. 0 travam ento de

cisalha-j

mento se c a ra c te riz a pelo surgim ento de tensões cisalhantes muito m aiores do que o esperado, ocasionando uma excessiva rig id e z do elemento à fle x ã o , com o conseqüente travam ento da estru tu ra e a d eterio ra çã o do resultados. O travam ento de membrana traduz a incapacidade do elem ento de d esci^ ^ S | | | ^ ^ ^ ^ de fle x ã o pura sem apresentar

distensão de membrana. ’

Este fenômeno pode ser analisado em umá' viga com curvatura inicial submetida a momento fle t o r em sua extrem idade [11]. Considerando uma viga de largu ra unitária, a en ergia de deform ação é dada por

U = - E h^ r L _{(j)^ dx + k G h}

0 .X 12

r L

(w, - 0)2 dx + E h r L (u,x + w, ^ w,^)2dj< ,(4.1)

E e G os módulos de elasticidade, k a constante de cisalham ento e Wq a d e fle x ã o inicial da viga.

As parcelas do term o da d ire ita na equação acima correspondem, respectivam ente, às energias de d eform ação de fle x ã o , de cisalham ento e de membrana. Como a energia de fle x ã o va ria cubicamente com a espessura e as demais linearm ente, para vigas mui­ to fin a s pequenos valores da deform ação de cisalhamento ts = - <^ e de membrana c = u,^ + w,^ (ou até mesmo valores no lim ite da precisão do com putador) estarão associados a grandes valores de energia. O elemento será então muito rígid o à fle x ã o e apresentará valores in corretos para d eform ações e tensões de membrana e de cisa­ lhamento.

Os elementos de casca apresentam com portamento sim ilar aos de viga.

Existem basicamente três métodos para o tratam ento do travam ento o m étodo m is­ to , no qual os campos de deslocamentos e tensões são d iscretiza d os independentemen­ te, o m étod o da d ecom posição m odal, onde os deslocamentos são p rojetad os em uma base escolhida de form a a m inim izar as tensões parasitas e o m étod o da s u b in teg ra ç ã o . N este trabalho, apenas este último será empregado, existin do vasta lite ra tu ra sobre os demais métodos como, por exemplo, [21] e [22] para o p rim eiro e [22], [23] e [24] para o. segundo.

O método da subintegração consiste em u tiliza r um esquema de in tegração de Gauss uma ordem abaixo do necessário para a in tegração exa ta das m a trizes de r ig i ­ dez. Como, para o elem ento bi-qu adrático, o esquema exa to é 3x3x2 pontos (nas direções r,s e t, respectivam en te), usa-se um esquema 2x2x2.

Contudo, este método deve ser empregado cuidadosamente pois, dependendo do pro­ blema estudado (malha, condições de contorno, e tc), as m a trizes de rig id e z podem

\ «

resu lta r singulares ou quase singulares. A conseqüência, então, é que^ a malha irá apresentar campos de deslocamento sem en ergia de d eform ação associada; são os modos espúrios ou modos de en ergia zero.

A obtenção de um modo de energia zero é f e it o como se segue. Suponha-se que 22

sejam impostas as seguintes translações .,i;

U , = U2 = U3^ = U4 = 1 ,

U5 = Uj, = U7 = líg = -1 (4.2)

e Ug = 0.

Ou seja, aos nós de v é rtic e é imposto um deslocamento un itário positivo, aos nós no meio das arestas um deslocamento unitário negativo e 0 nó cen tral do elemento é mantido fix o .

e as derivadas Au, = Gr^s^-r^-s^ e Au2 = 0 Au, = 2 r(3 s 2 -l) Au, = 2 s(3 r2 -l) *,s 23 Au, = AUo = 0 . ,r

Assim, nos pontos r = ± e s = ± (pontos de in tegração 2x2), /~~3

todas as derivadas são nulas e, conseqüentemente, todas as componentes de deform ação. Desta form a, nenhuma en ergia de deform ação é associada ao campo de des­ locamentos estabelecido em (4 .2 ); este campo expressa, portanto, um modo espúrio do elemento estudado. 0 elemento de 9 nós apresenta sete modos de en ergia zero, sendo dois possíveis somente em uma malha de um elemento apenas, pois não são comunicáveis, enquanto os demais podem se propagar em malhas maiores.

Dos modos não comunicáveis, também denominados modos incom patíveis, um é de translação, tendo a expressão

1-3x2

2

1-3x2 1 .

(4.3)

e o outro de rotação, sendo expresso por

='2 X , ■ = Cn 1-3x2 2 l * - 3 p h :rfí (4.4)

24 VS {/ N\y y // // 2><1 (1- 3 x * ) u= c , X, ( 1 - 3 x p v = c , x j ( 1 - 3 x p 5, - C2X2(1-3x ? )

Figura 4 - Modos espúrios não comunicáveis

Dos modos comunicáveis, ou com patíveis, três são de translação.

Ui = c. x2 + -3

1 2 1 2 , i = l ,3 (não soma em i) (4.5)

e dois de rotação.

0 , = C; + x2 -3 X^ x2

1 2 1 2 i= l,2. (não soma em i) (4.6)

25 r

-J

---1_

/ " 1

u-c, (xj +X,’ -3x| x; ) V - C , (x^ +x’, -3x*, x*.) W“ Cj (x*, *x; -3x’ x\ ) 0^'C^ (x; ‘ x\ -3x; x’ )

Figura 5 - Modos espúrios comunicáveis

4.2 E s ta b iliz a ç ã o dos modos esp ú rio s

4.2.1 O btenção do o p e ra d o r

0 con trole dos modos espúrios pode ^^er fe it o adicionando-se aos elementos da m a triz de rig id e z um operador form ulado de maneira a , por um lado, não in te r fe r ir nos campos de deslocamentos reais e, por outro, in trodu zir rig id e z na direção destes autovetores. Uma J u stificativa conceituai deste método é desenvolvida por B elytsch k o e t al [24], que mostram, através do princípio variacional de Hu-Washizu, que esta estab ilização eqüivale a recu perar a parcela dos term os da diagonal da m a triz de rig id e z perdidos na in tegração reduzida. Este operador é freqüentem ente re fe rid o como operador -y e o elemento fin it o que o u tiliza , por extensão, elem ento y.

P ara s a tis fa z e r as condições acima, o operador y é obtido como combinação line­ a r dos vetores de uma base ortogon al aos movimentos de corpo ríg id o e aos campos de deslocam ento lin ear e quadrático; além disto, deve te r uma componente p ara lela ao v e to r dos modos espúrios (Eq. 4.2). O operador é construído nos pontos oc, definidos no Capítulo 3.

Os seguintes vetores definem qualquer campo de deslocamentos até segunda ordem, onde ( x ’ )p são as coordenadas do nó p no sistem a local do ponto a genérico;

26 s , = X = y = X2 = ( x p , ( X| ) 2 ( x ; ) , ( x; ) 2 ( x ; ) ^ (x | )| ( x ; ) " ( x ; ) l (x ;)g ( x ’ L (x;)"g (4.7) x y = ( x ; x ; ) . ( x ; x; ) 2 (X ’x ’ )g

Construir um operador ortogon al a Sj garan te que os movimentos de corpo rígid o não serão afetados, isto é, não su rgirá energia de deform ação devido a este campo de deslocamentos. Semelhantemente, sendo o operador tomado ortogon al a x e y, isto é, aos campos de deslocamentos lineares, ga ra n te-se que os estados de deform ação de membrana constantes não são afetados. Finalmente, para se g a ra n tir que o elemento represen te corretam en te os estados de fle x ã o e torção puras, fa z - s e o operador o rto ­ gonal aos vetores x^

quadráticos.

P ara constru ir este operador, u ^ Schmidt, d efin in d o-se a seguinte base;

e x y , que representam os campos de deslocamento

-27 s , = X - _{' 1 »} c.

-I

i = 1 3 *♦

-I

S i . s i 2 X j . Si s i . Si 2 y

1

• Sl Si , o j . o j i = 1 i = I 5

-I

_{i = ]} x ^ Y i - s , s , .s,

o vetor de modos espúrios m ostrado em (4.2) é comumente denominado v eto r h. A o rtogon alização deste v eto r com relação à base s, resu lta em

" h . s ,

r = h - > --- s, . (4.8)

S j . S j

1= 1

A norm alização deste v eto r pela componente máxima resulta, então, na expressão do operador:

r

= --- . (4.9)

4.2.2 C on stru çã o da m a triz de e s ta b iliz a ç ã o

Uma vez obtido o operador 3", d efin e m-se^ asjtdefQKmações gen eralizadas de estab i­ lização em cada ponto de in tegração a, ^

c “ = Ad’ , (4.10)

onde Ad’ é o v eto r dos graus de liberdade locais (Eq. 3.7).

A m a triz deform ação-deslocam ento de estab ilização tem a expressão

onde as m atrizes que a compõem são d efin idas como 28 L , = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (4.12)

As tensões gen eralizadas de e stab ilização são defin idas através da relação constitutiva

(4.13)

onde a m a triz de coeficie n te s de esta b iliza çã o é

êml gm2 0 g f 0. gcl Sc2 (4.14)

Os c oeficien tes acima são fa to re s de aju ste numérico, introduzidos para ponde­ ra r a rig id e z devida ao procedim ento de estab ilização fre n te à rig id e z origin al do modelo. Esta ponderação é n ecessária pois, se os elem entos da m a triz de estab ilização são muito pequenos fr e n te aos elementos das m a trizes linear e geom étrica, alguns modos de en ergia ze ro podem p ers is tir; se, por outro lado, são muito maiores, pode o co rrer enrigecim ento a r t ific ia l do modelo.

Diversos procedim entos foram propostos para determ inação destes coeficien tes. V erh egg h e & P o w e ll [14] sugerem, para placas planàs,, a adoção de um valor único, igual ao m aior elemento da d iago n ah ^ M ^ ^ àtlU iz de rjigidez lin ear elem entar. Este método, contudo, conduz a resultados de fl,exãó excessivam ente rígid o s quando ap lica­ do a cascas. W h ite & A b el [16] sugerem os seguintes valores:

SmZ ” ^m2 g f " (4.15) a g , i = 1.25 F , C,, a g c2 = 1-25 F , 4 ^ - C,2 a

O fa t o r Fg é um parâm etro numérico sem sign ificad o fís ic o . Nos casos mais sim­ ples, normalmente pode ser tomado igual à unidade. 0 parâm etro h é a espessura do elemento, enquanto é o jacobiano no ponto a considerado, medido em coordenadas locais.

O fa t o r C ^i é obtido como se segue. Inicialm ente, a m a triz de rig id e z linear defin ida em (3.16) é expressa na form a

29

2m l —

(4.16)

_

•

a=i

onde é a contribuição à rig id e z do ponto de in tegração a.

C o n sid e re-s e -a g o ra o conjunto form ado pelos elementos da diagonal de que multiplicam os graus ‘‘ de liberdade uj (Eq. 3.7). O fa t o r é tomado igual ao m aior elemento deste conjunto!

Os fa to re s C^-2> 'C f, C^j e são obtidos de form a sim ilar considerando-se, respectivam ente, os conjuntos dos elem entos (K )ij relacionados aos graus de lib e r­ dade uó , u4 , u; e u ; .

p p *p

B elytsch k o et al. [1 0] sugerem, p a r a ; isotrópicos, os seguintes valo­ res:

li2 Sml ~ Sm 2 “ 256 Ã~

2 56 0 A

30 IN T l = 1 -1 ' ’ (h T.bi) G h (hT.bj) dr ds , INT2 = r 1 -1 J-1 r 1 . 2 ( 1 - ^ '^)- 'a A = 1 -1 1 -1 J a dr ds.

sendo E, G e p módulos de elasticid a de e c o e ficie n te de Poisson, h a espessura do elemento,

o jacobiano no ponto a,

h o vetor dos modos espúrios, d efin ido em (4.2) e

b = ■ ^ , sendo N as funções de interpolação apresentadas na Tabela 1. d

Neste trabalho, adotou-se o procedim ento sugerido por White e Abel, por sua m aior sim plicidade e precisão.

Sendo as m a trizes e defin idas con form e exp licitad o, a m a triz de e stab ilização é expressa por

^ (B^)T .

a=i

(4.17)

A adição das m a trizes de rig id e z linear e geom étrica à m a triz de estab ilização é fe it a na formà-"Sá?t

, ■ QT

á=i

Bl D Bl + Bg cr Bg + (B?^ )^ B^

Q

(4.18)

4.2.3 C o n trib u iç ã o das f o r ç a s de e s ta b iliz a ç ã o ao v e to r re s íd u o

A reação sobre os nós, energeticam ente correspondente às tensões de estab ilização, é adicionada, a cada iteração, ao vetor elem entar das reações in te r­

nas. í

Estas fo rç a s são calculadas através de

Ad . (4.19)

A atu alização das fo rç a s de estab ilização é f e it a como se segue. Ao fin a l de uma iteração, as d eform ações e tensões de estab ilização increm entais são calculadas através de

A c ^ = A d ’

A<r^ = Ae^ ,

'Y 'V

onde ’ B e 'D se re fe re m à con figu ração inicial do passo atual, antes da p rim eira iteração. 0 increm ento de tensão de e stab ilização é, então, acrescentado à tensão de

>y

estab ilização in icial do passo, 'tr e as fo rça s nodais de estab ilização calculadas através de

+ Aa-^). (4.21)

onde o operador gr é calculado na con figu ração Q**'.

As fo rç a s de esta b iliza çã o são introduzidas na equação de equ ilíb rio d is c re ti- zada adicionando-as às reações internas (Eq. 3.24). O v eto r passa a ser d eterm i­ nado, portanto, da seguinte form a:

31 (4.20) 4 (4.22) = 2QT y (2Bl + f ) (d et 2Í ) a=i L 1^1 .

onde a e 13 são pontos de in tegração defin idos no Capítulo 3 e w „ são pesos de ap

CAPITULO 5

Ex e m p l o s n u m é r ic o s

Apresentam -se nesta seção os resultados de problemas resolvidos para validação do elem ento e com provação de sua e ficiên cia . Foram selecionados exem plos lin eares e não lineares e, para dem onstrar a versa tilid a d e do elemento, fora m resolvidos casos de vigas e placas (quadrada e c irc u la r) e u tilizadas variadas condições de c a rre g a ­ mento (carga s concentradas e distribu ídas e peso p róprio).

A implem éntação computacional da form ulação desenvolvida neste trabalh o resu l­ tou no program a CASCA, c o d ifica d o em linguagem FORTRAN-77. U tilizo u -s e o método ite - ra tiv o de Newton-Raphson padrão, onde as m atrizes de rig id e z são recalculadas a cada itera çã o e, para solução do sistem a de equações, o método da elim inação de Gauss. A v e rific a ç ã o da^'convergência fo i f e it a em cada iteração, em term os dos resíduos de fo rç a s e deslocamentos. O c r ité r io adotado fo i

|Ad|| ||AR||

--- s 10-'» e --- ^ 10-3 ^ (5.1)

I | u l I

M

r

I I

onde I |Ad| I e | |u| | s ã o ia s normas do vetor de deslocamentos nodais da itera çã o atuai e do v eto r de deslocam entos to ta is acumulados e | AR e ( | R | as normas do vetor resíduo de fo r ç a e do v eto r carregam en to to ta l, respectivam ente.

Em quase todos os exem plos lineares p erm itiu -se a ^iteração da solução, caso o lim ite para convergência não tivesse sido alcançado na p rim eira resposta. Este p ro ­ cedim ento eqüivale ao m étodo ite ra tiv o de Loubinac (19, p. 101], que visa a m elhoria dos resultados de tensões.

P ara e fe ito s de com paração, fo i testado também o elem ento com esquema de in te­ gra çã o 3x3x2, denominado 133; o elem ento desenvolvido neste trabalh o recebeu a deno­ minação 122.

Um conjunto padrão de testes para elementos de vigas, placas, cascas e elemen­ tos tridim ensionais é proposto por M acN ea l e H a rd e r [33], com o o b je tiv o de v e r if i­ car a m aioria dos parâm etros que possam a fe ta r s u a . precisão. P ara os elem entos de

placas e cascas, fora m propostos naquela re fe rê n c ia os seguintes problem as e testes: "patch te s t", testes para placa apoiada e engastada, te to de S co rd elis-L o e casca se m i-e s fé ric a . Todos estes casos fora m incluídos neste trabalho.

Em todos os casos analisados as grandezas empregadas, como dimensões, força s, pressões e peso próprio, são expressas em unidades coerentes.

5.1 A n á lis e lin e a r

5.1.1 "Patch te s t"

O "patch te s t" consiste em subm eter-se uma malha não regu la r de elementos a uma seqüência de casos de d eform ação constante. A aprovação nestes testes garan te que o elem ento con vergirá para a solução e x a ta à medida em que a malha f o r refin ada.

N este trabalh o, seguiu-se o "patch te s t" recomendado por Huang e H in ton [12], que consiste em subm eter-se uma malha d istorcid a de cinco elem entos a estados puros de tração, fle x ã o , cisalham ento de membrana e tran sversal e to rção (F igu ra 6).

P ara os testes de tração e cisalhamento, u tilizo u -se uma fo r ç a por umidade de com prim ento de F=60,0, devendo ser encontradas nos casos (a ), (b ), (d ) e (e ) as ten ­ sões

33

■

Nos "testes d ^ file x ã o e torção, usou-se um momento por unidade de comprimento de M=0,06, devençjò^^ ^ ^ icontradas. nos pontos de integração, a tensão

M t

tr = — = 0.207846, (5.3)

onde t é a distância do ponto de in tegração à su p erfície média da placa e I o momen­ to de in ércia da seção, dado por

h3

Os resultados obtidos são m ostrados na T ab ela 2, em term os de números de a lg a ­ rismos s ig n ific a tiv o s concordantes com a solução analítica.

34

Caso a b c d e f

P r e c i são 3 3 3 9 8 3

Tabela 2

"Patch te s t" - resultados

Estes resultados indicam que, com excessão dos casos de cisalhamento, a p recisão no cálculo das tensões fico u aquém do esperado. Porém , como os testes des­ c rito s no Capítulo 5 demonstram, esta precisão fo i su ficien te para g a ra n tir um bom desempenho do elem ento em casos lineares e não lineares.

u,w,

6^

Tracão

(c ) p p ^p 0

Ci s al hament o

m e m b r a n a

(d)

U,W _{( )} ---- O--- Ô C is a l h a m e n t o

t r a n s v e r s a l

(e) Figura 6 "Patch te s t"

P

P

u,w,9

W hite e Abel [30] sugerem como "patch te s t" de casca o teste m ostrado na Figu­ ra 7. T ra ta -s e de um s eto r de cilin d ro engastado submetido a fle x ã o pura, usando-se para modeiamento malhas regu la r e distorcida. A solução te ó ric a para o deslocamento h orizon tal da extrem idade liv re é, segundo os autores,

35

u = 12 ( l - p 2 ) r2 (5.5)

Para os p arâm etros em questão, obtém -se u = 0,0019656.

L-10 R-iO h-1 E-10* V-0.3 Sol. exata: u -0 .0019656 y

\

y / \ K . s

\

lá ih a 'r'€ !,g u la i Malha d is to rc id o Figura 7

Setor de cilin d ro fle tid o

0 elemento u tiliza d o por White e Abel, denominado LAG9, e o elem ento 122 têm form ulação sim ilar. Na Tabela 3 apresentam -se os resultados obtidos, em term os do e rro com relação à solução teórica.

36 5.1.2. Placas E r r o c / r e i . à s o l . e x . E le m e n to M a lh a M a lh a r e g u 1 a r d is t o r c i d a L A C 9 0 .0 0 1 0 . 053 I 22 0 .0 0 1 0 .0 5 1 T ab ela 3

Resultados do setor de cilin d ro engastado

Foram resolvidos dois casos de placas quadradas e circu lares, variando-se es­ pessura, carregam ento e tip o de apoio.

5.1.2.1 Placa quadrada

Foi fe it o inicialm ente um estudo sobre os e fe ito s da variação da relação espessura/comprimento do lado. Uma placa simplesmente apoiada, submetida a c a rre g a ­ mento uniform em ente distribuído, fo i testada com relação h/a variando de 10‘ a 10^. Por sim etria, moclelou-se apenas um quarto do domínio, usando-se uma malha regu la r de quatfeo,^elementos (Figu ra 8). Os resultados obtidos são m ostrados no g r á fic o da Figura 9, s e n d ^ ^ ^ ^ a solução an a lítica é obtida u tiliza n d o-se a te o ria de placa fin a de T im osli^'|ço^ [1 7 ]. O bserva-se que mesmo para placas extrem a m en tev fin a s (t/ a = 10'*), nenhum doé^elementos apresenta travam ento.

37 --O-- <5--O-- ' » 10

S o l u ç ã o a na l í t i c a C17]:

= 0 . 0 0 4 0 6 2 q

D

D =

Eh'

Figura 8

Placa quadrada apoiada nos quatro lados

Figura 9

Placa apoiada - d eflex ã o no ponto central

Em seguida, fo i fe it o um estudo de convergência para o elem ento 122, usando-se malhas de 1, 4 e 16 elementos (Figu ra 10). Foram testadas placas simplesmente apoia­ da (SA) e engastada (EN), submetidas a carregam ento uniform em ente distribu ído (CD) e a carga concentrada no centro (CC). A solução an alítica, também segundo Timoshenko, é apresentada na T ab ela 4.

38

h=0.1 n-10

E-3x10^ V - 0 . 3

C a rre g o m e r.to : distribu íd o, q - IO ’ c o n c e n tr a d o , P=40

Figu ra 10

Malhas usadas no estudo de convergência para placa quadrada

C a n ^ g a m e n to C o n d . cont. S o l u ç ã o a n a l í t i c a - d e f i e x ã o c e n t r a l [ 1 7 ] , ^ Di s t r i^bu

1

a d , . Apo i o w = 0 . 0 0 4 0 6 2 = 1 . 4 7 9 x 1 0 - 3 í ^ ^ E n g a s t e w - 0 . 0 0 1 2 6 - 4 . 5 8 7 x 1 0 - ' * Concen t ra d o Apo i o w - 0 . 0 1 1 6 - 1 . 6 8 8 x 1 0 - 3 E n g a s t e w = 0 . 0 0 5 6 ... = 8 . 1 5 4 x 1 0 - ' » Tabela 4

Placa quadrada - solução an alítica

A Figura l l ( a ) m ostra os resultados norm alizados de d e fie x ã o no ponto cen tral, praticam ente convergidos a p a rtir da malha de quatro elementos.

Na Figura 11 (b ) são apresentados os momentos no ponto de in tegração mais próxim o do cen tro da placa, norm alizados com relação ao momento te ó ric o no ponto

39

cen tral. Estes resultados são computados somente para os casos com carregam en to dis­ tribuído, uma vez que, nos casos de carga concentrada, o co rre singularidade em torno do ponto de aplicação do carregam ento. Os resultados obtidos convergem por baixo do valo r exato, por ser máximo o momento no ponto central. D eve-se destacar ainda que, à medida que a malha vai sendo refin a d a , o ponto de in tegração pesquisado se a p ro x i­ ma do centro da placa.

Elem. por lado

(a)

o

■o o N D

E

o

c 1.10 1.05 1.00 0.95 -0.90 Figu ra 11

T este de convergência - resultados norm alizados

5.1.2.2 Placa .circular engastada

't . ^

O conjunto',d^'.^testes para placa circu la r também fo i rea liza d o e m ^ ^ ^

Na prim eira, uma placã>engastada submetida a uma carga concentrada^no,<fcéntr,o'^^foi testada com diversa^ 'pel^ ^ e^ A ^ p essu ra / raio . U tilizo u -se uma malha de 12 elementos para modelar um q u a rto 'd a pi^^'a, con^^çme m ostrado na F i ^ r a '12. Devido à distorção da malha, os resultados obtidos fõiVaiii' inferJor^s^'i^ti*'^so an terior. Enquanto o e le

-■iV. : ;

mento 122 apresentou d eflex õ es apenas * um 'p o u co ’ 'a b a ix o da solução exa ta (para ■"' V' ■ ' ■' ■) '■ '

'

h/a I02), o elemento 133 sofreu pronupeiado travam ento de cisalhamento (Figu ra 13).

40

P/4

Solucào analítica C17]: w. Pr^ 167tD

Figu ra 12

Placa circu la r engastada

Figura 13

Plarp circu la r - d eflex ã o ponto central

Na segunda etapa, o elemento 122 fo i submetido a um te s te de convergência, com r e ­ fin o de malha. Foi testada uma placa engastada, com carregam ento concentrado ou uni­ form em ente distribuído, sendo a solução teórica, ainda segundo Timoshenko, m ostrada

, /t j

41

C a r r e g a m e n to S o l u ç ã o a n a l í t i c a - d e f l e x ã o c e n t r a l [ 17] D i s t r i b u í d o w = —-— — q r ^ 64D = 1 . 7 0 6 x 1 0 - 2 C o n c e n tr a d o w = P r 2 lÔTtD = 8 .6 9 0 x 1 0 - '* T ab ela 5

Placa circu la r - solução an alítica

, E = 10

i'= 0 . 3

C a r r e g a m e n t o : d i s t r i b u í d o , q = lO

c o n c e n t r a d o , P = 0 . 0 4

Figura 14

Malhas usadas nòj/1:este de convergência para placa circu la r

Os resultados são m ostrados na Figura 15(a), para d eflex õ e s no ponto cen tral e na Figura 15(b) para momentos no ponto de Gauss mais próxim o do cen tro da placa. Assim como para a placa quadrada, somente fo i v e rific a d o momento no caso de c a rre g a ­ mento distribuído.

42

Num. elem.

(a)

Num. elem.

(b)

Figu ra 15

T este de convergência - resultados norm alizados

5.1.3. Cascas

Para o estudo lin ear de cascas, três casos foram resolvidos: o te to de S cordelis-Lo,.-o, cilin d ro puncionado e a casca hem isférica. Novamente foram testados os elem entos 122 , e 133, com diversas malhas. Os parâm etros u tilizados são

apresenta-V ■' ' dos na Tabela 6.