Figu ra 27
52
V iga fle tid a - con figu rações deform adas in term ediárias
A Tabela 8 apresenta os resultados de deslocamento h orizon tal da extrem idade livre, norm alizados com relação àqueles obtidos por Surana (u/u) . Não se f a z um estudo com parativo de tensões, uma vez que o autor não apresenta estes dados. São
'n
apresentados, contudo, os valores de tensão cisalhante obtidos
P a s so u/u o-xz 2 1 . 0 0 5 3 0 .0 1 1 0 4 1 . 0 0 1 7 0 .2 2 7 2 6 0 . 9 9 8 1 1 .4 48 3 8 0 . 9 9 6 3 4 .6 7 8 7 10 0 . 9 9 7 8 8 .7 2 5 2 T ab ela 8
V iga fle tid a - deslocamentos norm alizados
Observa-se que, em term os de deslocamentos, a concordância é muito boa, mesmo para as con figurações fin ais. Porém, o crescim ento de segundo uma ta x a superior ao aumento do carregam ento aplicado indica o surgim ento de travam ento de cisalham en- to, o que deve ser confirm ado através de um estudo de convergência.
5.2.3. Cilindro puncionado
0 cilin d ro m ostrado na Figu ra 29 é submetido a uma carregam ento concentrado em sua seção média. Devido às condições de contorno e a sua geom etria, o c o rre rá "snap- through", fenômeno de ponto lim ite onde o corpo perde sua estabilidade a um d eterm i nado va lo r de carregam ento, passando a apresentar relação carga-deslocam en to decres cente até um ponto de mínimo, a p a rtir do qual esta relação se torn a novamente cres cente.
P ara que o modelo possa d escrever este com portamento, o carregam en to não é a - plicado diretam ente, mas controlado através da p rescrição de deslocamentos. Aplicou- se neste exem plo um deslocamento de 30,0, em doze incrementos iguais, para uma es pessura de 12,7, o que c a ra c te riz a não linearidade geom étrica.
P ara análise dos resultados, é computada a reação v e rtic a l no ponto A (F igu ra 29), correspondente ao deslocam ento imposto. 0 g r á fic o da Figu ra 30, que “m ostra a relação das d eflex õ e s v ertica is em A e B com a reação, com parando-a com os resultados obtidos por S u ran a [4], indica que o modelo descreve com boa precisão o fenômeno de "snap-through". Resultados numéricos da reação em A e d eflex ã o em B, norm alizados com relação aos de Surana, são apresentados na T ab ela 9, onde w e P são, respectivam ente, a d eflex ã o em B e a reação em A obtidos no presente estudo e w e P os^resultados obtidos por Surana. Não são apresentados resultados de tensões na referência<í'corisultada.
5 4
R = 2 5 4 0
^■=0.1 rad
L = 2 5 4
E = 310 2.7 5 V - 0 . 3 £k h = l í apoiado (ü k_ > B A apoiado Figu ra 29 Cilindro puncionado <u V_ > Figu ra 3055 P a s so w / w P / P 2 1 . 0 0 5 5 1 . 0 177 4 0 . 9 9 6 8 1 . 0 4 4 3 6 0 . 9 9 3 3 1 . 0071 8 0 . 9 9 9 5 0 . 9 2 9 7 10 1 . 0 0 0 3 0 . 9 4 6 1 12 1 . 0 0 10 0 . 9 5 5 9 T ab ela 9
Cilindro puncionado - resu ltados norm alizados de d e fle x ã o e fo r ç a
Foi f e it a uma ten ta tiva de se estudar o fenômeno de ponto lim ite em um modelo s im ila r, ao apresentado, porém com espessura de 6,35. De acordo com vários autores [4,5,30], surge, neste caso, o fenômeno do "snap-back", no qual, além da inversão da inclinação da curva carga-deslocam ento, o co rre também a mudança de sentido da reação
esta te n ta tiv a não f oi bem sucedida, havendo perda da no pon^p^:;j^'.\. Contudo,
convergência , no. processo de Newton-Raphson. Recomenda-se, neste caso, o uso de métodos mais sofistica d os, como o método do com prim ento de arco [35,36].
5.2.4 Flexão, .n ão'lin ear de um tubo
Em um tubo longo submetido a fle x ã o , se desenvolvem resu ltan tes de tensão t r a - tiva s em sua regiã o extern a e com pressivas na regiã o interna. E s ta s , resultantes têm componentes ra diais dè- sentidos opostos, que provocam a o valização das seções tra n s- versais no porção cen tral M o tubo. Como conseqüência, a resisténcia^.^o, tubo diminui gradativam ente com a aplicação do carregam ento, até a tin g ir-s e um ponto lim ite, a p a rtir do qual a estrutura perde sua estabilidade.
De acordo com E m m erlin g (34), a tensão máxima no ponto lim ite é
<r^ = 0.320 E h (5.7)
onde E é o módulo de elasticidade
e h e r são a espessura e o ra io do tubo, respectivam ente.
Esta fle x ib iliz a ç ã o , por sua vez, resu lta em uma curvatura do tubo m aior do que aquela esperada pela te o ria linear de vigas. Este com portamento não linear é conhe cido como e fe ito B razier.
56
P ara in vestiga r a capacidade do elem ento 122 em descrever o e fe ito B ra zler, fo i f e it o um modelo representando um qu arto do tubo (aproveitando as sim etrias radial e a x ia l), com uma malha de 16x8 elem entos (Figu ra 31). O momento fo i simulado através de carregam ento distribuído, nodalizado para os nós da extrem idade. A fim de minimi z a r os e fe ito s locais na re g iã o de aplicação do carregam en to (e fe it o de S aint- Venant), a f ile i r a de elementos da extrem idade fo i e ita muito mais ríg id a do que as demais. Além disto, devido à grande im precisão no cálculo das tensões nesta região, estes elementos também fora m desconsiderados no cálculo do v eto r resíduo.
cr-Mx r ^ ■
(
M■E
)
M y-L/2 I y-L - ’P~TT/2 1 ’ 77-hr^ Figura 31Tubo fle tid o - G eom etria, carregam ento e malha
Os parâm etros adotados neste problem a são:
módulo de elasticidade: para os elementos da extrem idade, E=2.1xl0^ p^ára os demais elementos, E=2.1xl0^
coe ficie n te de Poisson: v’=0,.'3 espessura do tubo: h=2 ‘ ra io médio: r=20
comprimento: L=320.
0 momento aplicado sobre o modelo é 8x10^, dividido em 20 passos iguais.
O g r á fic o da Figura 32 m ostra o resu ltado obtido, na fo rm a de momento adimensi- onal com relação à curvatura adimensional. 0 momento adimensional é d efin ido por
57
M r2 / 12(1-1^2)
(5.8)
enquanto a curvatura adimensional é
r2 / 12(1- y2) (5.9)
R h
Figu ra 32
T u ^ ^ fle t id o - relação momento x curvatur^a ^
Foram obtidos resultados coerentes até o valor de M„ igual a 0,70 (14^ passo), após o qual não houve mais convergência no processo ite ra tiv o de Newton-Raphson.
Ainda que não se tenha alcançado o. ponto lim ite com o modelo proposto, a análise do resultado m ostra que,na f a i x a estudada, e x is te uma relação não linear entre carregam ento e curvatura, com fle x ib iliz a ç ã o do tubo devido à ovalização das seções transversais.
CAPÍTULO 6
Co n c l u s õ e s e Re c o m e n d a ç õ e s
Neste capítulo são fe it a s observações sobre os aspectos considerados mais r e le - \ vantes do trabalho. São apresentadas as principais conclusões, fe it a s à luz dos r e - sultados obtidos pelo elennento desenvolvido e, como contribuição ao aprofundamento trabalho, são apontadas algumas possibilidades de continuidade nos aspectos d e fi- cientes ou pouco explorados.
feTl"*^Conclusões
0 o b jetivo prim ordial deste trabalho fo i desenvolver um elem ento de casca base- ' A .
ado no Prin cípio dos Trabalhos V irtu ais para re so lv er problemas com não linearidade geométr.iça ífgpandes deslocamentos e ro ta çõ es) e se aplicasse a cascas fin as e sem i- espessasl
Neste- séntido, fo i implementado um elemento isop aram étrico degenerado biquadrátÍG0V>de-;ã^^s, com in tegração de Gauss reduzida e estab ilização dos modos de deform ação de en ergia zero. Este elem ento recebeu a denominação 122 e o elemento sim ilar, porém com in tegração com pleta (3x3x2 pontos de Gauss), testado para e fe ito s de comparação, fo i denominado 133.
O elemento estab ilizad o f o i submetido a um "patch te s t", seqüência de casos de deform ação constante èm malha , plana distorcida, sendo considerado aprovado. Foi também re a liza d o um teste de fle x ã o pura lin ear em um quarto de cilin d ro engastado, com malha regu la r e distorcida, sugerido por W h ite ■'•e A b el [31] como um "patch test" de casca, sendo obtidos resultados semelhantes aos citados por estes autores.
Para te s ta r a e fic iên c ia do processo de subintegração na elim inação dos tr a v a - mentos de membrana e de cisalham ento e a e fic iê n c ia da esta b iliza çã o na supressão dos modos espúrios decorrentes desta subintegração, submeteu-se o elemento in icia l mente a estados de deform ação lineares; foram escolhidos casos que se complementas sem no que se r e fe r e à geom etria e ao tip o de solicita çã o presente.
No exem plo do te to de S cord elis-Lo, casca cilín d rica submetida a carregam ento de peso próprio, desenvolvem -se essencialm ente tensões de membrana, enquanto no c i lindro puncionado diam etralm ente ocorrem com plexos estados de d eform ações de membra na e cisalhamento. O caso da s e m i-e s fe ra é útil tanto para v e rific a ç ã o do travam en-
lindro puncionado diam etralm ente ocorrem com plexos estados de deform ações de membra na e cisalhamento. O caso da s e m i-e s fe ra é ú tíi tanto para v e rific a ç ã o do travam en- to de membrana quanto da capacidade do elemento em rep resen tar corretam en te os m ovi mentos de corpo rígid o , uma vez que os elem entos afastados da re giã o de aplicação das cargas praticam ente rotacionam sem se deform arem .
Os resultados destes testes mostram que o elemento 122 apresenta alta ta x a de convergência, ao con trá rio do elem ento 133, indicando a elim inação da rig id e z exces siva e o con trole dos modos espúrios. Cabe observar que não é f e it a a estab ilização dos modos espúrios não-com unicáveis, ou seja, aqueles possíveis somente em malhas de um único elemento.
Foram estudados quatro casos de não linearidade geom étrica. 0 p rim eiro consis tiu de uma placa engastada submetida a fle x ã o pura, o segundo de uma viga apoiada com mo ííènto em suas extrem idades ,o te rc e ir o de um cilin d ro submetido a um c a rre g a mento controlado de m aneira que o co rra o "snap-through" e o últim o do estudo do e - f e it o B ra zier em tubo fle tid o . Em todos estes exemplos os resultados fora m muito próxim os à solução te ó ric a ou a resultados obtidos por outros pesquisadores.
Os ^testes realizad os m ostram ,portanto, que o elem ento implementado é adequado ao estudo não linear de cascas f i nas e sem i-espessas. Algumas observações, porém, devem ser feita s .
Nas m a trizes adicionadas no âm bito do processo de estab ilização, são utilizados fa to re s de. ájijste. numérico sem embasamento fís ic o . Ainda que em todos os casos te s - tados estes*;/atores tenham sido tomados igual a um, nada se pode a firm a r a p rio ri a resp eito de domínios mais complexos. O uso de fa to re s de aju ste viola um dos c rité rio s sugeridos por B ath e e D v o rk in [32] a serem observados por bons elementos de casca.
Com relação' ao prócedim ento ite ra tiv o usado para se alcançar a convergência da solução dentro de cada^passoKde aplicação de carga, optou^-íserpèlo método de- N ew ton - Raphson padrão, com atuajiz^ção das m a trizes de rig id e z a cada iteração. Isto porque nos casos não lineares^hão se obteve a convergência com o método de Newton-Raphson m odificado, onde as m a trizes são atualizadas apenas no in ício do passo. Este com por tamento é relatad o por P a ris h [33], o qual ressalta que neste últim o método a con vergên cia é garan tid a apenas quando se tem pequenos incrementos de carga. M ilfo r d e S ch n ob rich [7] obtiveram resultados semelhantes.
Outro aspecto de im portância na análise não linear, principalm ente quando as rotações são grandes, é a e s tra té g ia em pregada para atu alização das normais nodais à su p erfície média. Vários métodos foram propostos [3-6,18,33], optando-se neste tr a balho por aquele adotado por Surana [4], M ilfo r d e S ch n o b rich [7], analisando o fenômeno do "snap-through" em arco raso e em casca c ilín d rica apoiada, compararam as estra tégia s de atualização lin earizadas e não linearizadas, observando não
convergência no método lin ea riza d o quando se aplicavam grandes incrementos de carga conjuntamente com o uso do método de Newton-Raphson m odificado.
6.2 R ecom en d ações
Algumas sugestões para continuidade do presente trabalho ou para m elhoria de certos aspectos do program a computacional desenvolvido são fe it a s agora.
P ara e v ita r o uso de fa to re s numéricos de ajuste na obtenção das m a trizes de estab ilização, outros métodos de elim inação dos modos espúrios podem ser implementa dos. Entre estes, o uso de funções de interpolação assumidas para deform ações, os métodos de decomposição modal ou o uso de outros princípios variacion ais que não o /; Prin cípio dos Trabalhos Virtuais.
^ ^ 'A extensão da aplicação deste elem ento para m ateriais h ip erelásticos é de gran de interesse, uma vez que aumenta a cada dia a u tiliza çã o de polím eros e m ateriais tipo bom acha na indústria. Neste sentido, várias subrotinas do program a HIPERMAT do G ru p ^ ra ^ tò n á lis e de Tensões do Depto. de Eng. Mecânica da UFSC, desenvolvido para elementòs'^sólidos por Fonseca [29], poderiam ser adaptadas para elem entos de casca.
Para m elhoria da perform ance do program a implementado, su gere-se o uso de métodos de sólução mais e ficien tes, que façam uso de processam ento veto ria l ou p ara lelo, como o^i^^todo de gradien tes conjugados. Observou-se que, em casos envolvendo 60
m aior temjDO de^r-p^sessamento. a resolução do sistem a de equações consome aproxim ada- mente a m etade-do tempo total.
A fim dé se com provar a e fic iê n c ia do elemento desenvolvido, recom enda-se te s tá -lo em geom etrias mais complexas. Nestes casos se te ria também- uma melhor ava - liação da influência dos fa to re s numéricos de estab ilização no com portam ento do e le mento.
ANEXO
Me t o d o l o g ia d e s o l u ç ã o d é p r o b l e m a s n ã o l in e a r e s
Conform e apresentado no Capítulo 2, problemas não lin eares podem ser resolvidos através de sucessivas etapas in term ediárias, onde em cada uma a con figu ração de e - qu ilíbrio é determ inada recursivam ente através de uma análise de convergência.
N este anexo ap resen ta-se a m etodologia de solução em pregada neste trabalho, m ostrando-se, de form a seqüencial, os passos necessários à obtenção dos parâm etros de interesse.
O flu x o gram a do program a computacional implementado é apresentado em seguida.
A-1 Dgsc||j,ção g e r a l da m e to d o lo g ia
1® etapa; Entrada de dados do modelo
Nesta e ^ p à é estab elecid a, a geo m etria do domínio, malha, propriedades do m ate r ia l e condições de, contorno de deslocam ento e fo rça .
, VV
2^ etapa. Iníposição do carregam ento
~ ^
^ j jNo método de Newton-Raphson, o carregam ento é imposto por passos . São admi tidas cargas nodais concentradas, carregam en to de su p erfície e fo r ç a s de corpo.
3® etapa. M ontagem -.das/^^trizes de rig id e z
'
'
'
As m a trizes d e - r ig id e z lin ear e geom étrica são recalculadas a cada itera çã o no processo de Newton-Raphson padrão, confòrm e Equações 3.16 e 3.19 P ara superposição, as m atrizes de rig id e z' elem entares sãp transform adas para o sistem a de coordenadas globais.
4® etapa. Montagem da m a triz de e stab ilização
O método de con trole de modos espúrios empregado envolve a construção de uma m a triz de estab ilização (Equação 4.17), cujos elementos são obtidos a p a rtir de um operador m atem ático adequado. Esta m a triz é atualizada a cada itera çã o e adicionada
(1) Cada etapa de aplicação de uma nova parcela do carregam ento é denominada
passo e cada etapa, dentro de um mesmo passo, para busca da convergência é
às m a trizes de rig id e z, con form e m ostrado na Equação 4.18.
5® etapa. Obtenção dos deslocam entos nodais increm entais e das reações de apoio
N esta etapa, a equação de equ ilíb rio increm entai d iscretiza d a re fe re n te à con fig u ra çã o itera çã o i,
Ad“ ’ = 2R - (A-1)
é resolvida para As m a trizes de rig id e z são armazenadas em banda e o sistem a de equações resolvido pelo método da elim inação de Gauss.
A cada iteração, são obtidos os incrementos das reações de apoio, da seguinte f orma;
AP' = Ad'. (A -2 )
A reação de apoio to ta l eqüivale à soma dos incrementos até a itera çã o presen te:
p ‘ = p'"* + AP' (A -3 )
6^ ■etápa. Atu alização de parâm etros
Uma" vez de^terminados os deslocamentos nodais da itera çã o presente, são atu ali zadas as coórderiãBas e vetores normais nodais, bem como os deslocamentos nodais acu mulados.
7s etapa. Cálculo das deform ações e tensões
As deform ações , iriçrementais lineares de G reen -La gran ge' no ^ estado itera çã o i, são determinadas^ através de
Ae = (FT F - I), (A -4 )
onde o tensor gradien te de deform ação é
Fij = --- (A -5 )
3 * X ,
e I é a m a triz identidade. ‘
A través da relação con stitu tiva lin earizada
Bi b l i o g r a f i a
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