Simulação Computacional de Estruturas de Concreto por Meio da Mecânica do Dano

(1)

GUSTAVO DE ASSIS GUELLO

Simulação Computacional de

Estruturas de Concreto por Meio

da Mecânica do Dano

Dissertação apresentada à Escola Politécnica da Universidade de São Paulo para obtenção do título de Mestre em Engenharia.

SÃO PAULO

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(3)

GUSTAVO DE ASSIS GUELLO

Simulação Computacional de

Estruturas de Concreto por Meio

da Mecânica do Dano

Dissertação apresentada à Escola Politécnica da Universidade de São Paulo para obtenção do título de Mestre em Engenharia.

Área de Concentração Engenharia de Estruturas Orientador

Prof. Dr. Túlio Nogueira Bittencourt

SÃO PAULO

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Ficha catalográfica

Guello, Gustavo de Assis

Simulação Computacional de Estruturas de Concreto por Meio da Mecânica do Dano / Gustavo de Assis Guello. – São Paulo, 2002.

Dissertação (Mestrado) – Escola Politécnica da Universidade de São Paulo, 2002.

Orientador: Prof. Dr. Túlio Nogueira Bittencourt

1. Mecânica do Dano. 2. Elementos Finitos I. Título

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A Deus, ao meu pai Ariovaldo, à minha mãe Jairma, às minhas irmãs Anna Cristina, Patrícia e Camila, à Camila e à minha avó Anita.

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AGRADECIMENTOS

A Deus pela vida.

À minha família pela paciência e compreensão. À Camila pelo amor e incentivo ao meu trabalho.

Aos grandes amigos do LMC e LEM, Mara, César, Lorenzo, Cristiano, Luis Fernando, Estela, Célio, Wang, Eduardo Prado, Eduardo Campelo, Adriane, Cristian, Krishna, Carlos Henrique, Telmo, Fernanda, Helen, Wayne, Rafael, Ana, Paola, Umberto e tantos outros que sempre mantiveram o bom humor e com quem compartilhei momentos importantes da minha vida.

Aos funcionários do departamento pela atenção e ajuda. À Marly que esteve sempre ao lado de todos os alunos dando conselhos nos momentos difíceis.

Ao meu orientador Túlio Nogueira Bittencourt pelo apoio, incentivo e amizade nestes anos de trabalho.

Ao Prof. Luiz Fernando da PUC-Rio pelos conselhos.

Ao Prof. Sérgio Proença por compartilhar seus conhecimentos e mostrar sempre o melhor caminho.

(8)

SUMÁRIO

Primeiro Capítulo ... 1

INTRODUÇÃO ... 1

1.1. Introdução... 1

1.2. Justificativa e objetivos... 4

1.3. Descrição do conteúdo da dissertação ... 7

Segundo Capítulo ... 8

COMPORTAMENTO MECÂNICO DO CONCRETO... 8

2.1. Microestrutura... 8

2.2. Modelos constitutivos ... 12

2.3. Evidências experimentais de dano no concreto... 15

Terceiro Capítulo... 21

MECÂNICA DO DANO ... 21

3.1. Fundamentos da Termodinâmica de Meios Contínuos ... 21

3.1.1. Definições... 21

3.1.2. Primeira Lei da Termodinâmica ... 22

3.1.3. Segunda Lei da Termodinâmica ... 25

3.1.4. Desigualdade de Clausius-Duhem ... 26

3.1.5. Método do estado local ... 27

3.1.5.1. Potencial termodinâmico ... 28

3.1.5.2. Potenciais de dissipação... 29

3.2. Mecânica do Dano... 30

3.2.1. Definição da variável de dano... 32

3.2.2. Definição de deformação equivalente... 34

3.2.3. Modelo de dano de Mazars... 36

3.2.3.1. Critério de dano... 38

3.2.3.2. Lei de evolução da variável de dano... 40

3.2.3.3. Dano a duas variáveis... 41

3.2.3.4. Análise paramétrica do Modelo da Mazars... 45

Quarto Capítulo... 54

SISTEMA COMPUTACIONAL QUEBRA2D-FEMOOP ... 54

4.1. Introdução... 54

4.2. QUEBRA2D... 55

4.2.1. Características do QUEBRA2D ... 58

4.2.1.1. Simulação de fraturamento bidimensional ... 58

4.2.1.2. Fadiga... 63

4.2.1.3. Modelo de Microestrutura do Concreto... 64

(9)

4.2.1.5. Pós-Processamento ... 66 4.2.2. Modelo de Dano... 68 4.2.2.1. Gerenciador de materiais... 68 4.2.2.2. Classe de materiais... 71 4.3. FEMOOP ... 73 4.3.1. Modelo de Dano... 74 Quinto Capítulo ... 77 EXEMPLOS ... 77

5.1. Exemplo de viga parede... 77

5.1.1. Descrição do problema ... 77

5.1.2. Análise... 78

5.1.3. Resultados ... 79

5.2. Exemplo de tirante de concreto armado ... 81

5.2.2. Análise... 82

5.3. Exemplo de Viga de Concreto Armado ... 87

5.3.2. Análise... 88

5.4. Exemplo de placa com entalhe ... 91

5.4.2. Análise... 92

5.5. Discussão dos resultados... 95

Sexto Capítulo... 98

CONCLUSÕES ... 98

(10)

LISTA DE FIGURAS

Figura 1-1 - Danificação Inicial do Concreto [BUSSAMRA (1993)]... 2

Figura 1-2 – Tela de pós-processamento do QUEBRA2D ... 6

Figura 2-1 - Modos de solicitação de uma Fissura [Shah (1995)]... 10

Figura 2-2 - Curva tensão-deformação de ensaio de compressão uniaxial ... 11

Figura 2-3 - Curva tensão-deformação de ensaio de tração uniaxial ... 11

Figura 2-4 – Classificação dos modelos constitutivos para concreto [ÁLVARES (1993)] ... 13

Figura 2-5 - Mapa de fissuração em diferentes níveis de deformação [VAN MIER (1985)] ... 16

Figura 2-6 - Emissão acústica registrada em ensaio com carregamentos e descarregamentos sucessivos [SPOONER et al. (1976)] ... 17

Figura 2-7 - Redução do E em ensaios com ciclos de carregamento e descarregamento... 18

Figura 2-8 - Redução progressiva da rigidez inicial [PROENÇA (1986)] ... 18

Figura 2-9 - Emissão acústica em ensaios de tração uniaxiais [MAJI & SHAH (1988)] ... 20

Figura 3-1 – Elemento de volume com dano ... 33

Figura 3-2 – Deformação equivalente... 35

Figura 3-3 - Curva σ x ε para carregamento e descarregamento...36

Figura 3-4- a-) Comportamento experimental; b-) modelo de Mazars. [ÁLVARES (1993)] ... 37

Figura 3-5 – Prova de tração unixial: definição de εd0... 39

Figura 3-6 – Superfície de ruptura [PEREGO(1989)]... 40

Figura 3-7 – Microfissuração a-) tração; b-) compressão. ... 41

Figura 3-8 – Tração uniaxial a-)experimental; b-)modelo de Mazars; Compressão uniaxial c-) experimental; d-)modelo de Mazars.[ÁLVARES (1993)] ... 44

Figura 3-9 – a-) Influência de A e β; b-) Lei constitutiva de material elastoplástico...47

Figura 3-10- Curva σ x η para valores de A > 1...48

Figura 3-11 – Influência do parâmetro εd0... 51

Figura 3-12 – Influência do parâmetro AT... 51

Figura 3-13 – Influência do parâmetro BT... 52

Figura 3-14 – Influência do parâmetro BC... 52

Figura 3-15 – Influência dos parâmetros AC e BC... 53

Figura 4-1 - Quebra2D (Interface Windows)... 56

Figura 4-2 - Resultado de análise de fraturamento... 56

Figura 4-3 - Mtool... 57

Figura 4-4 - Inserção de fissura através do mouse ... 58

Figura 4-5 - Inserção de fissura através do teclado ... 59

Figura 4-6 - Malha com fissura não-coesiva... 59

Figura 4-7 - Quebra2D com fissura coesiva (Interface Unix)... 59

Figura 4-8 - Diálogos de parâmetros da fissura ... 60

(11)

Figura 4-10 - Diálogo para entrada dos parâmetros da propagação ... 61

Figura 4-11 - Primeiro passo da propagação... 62

Figura 4-12 - Etapa intermediária da propagação ... 62

Figura 4-13 - Etapa final da propagação ... 63

Figura 4-14 - Resultado de uma análise de fadiga [CARVALHO (1998)] ... 63

Figura 4-15 - Malha Inicial ... 64

Figura 4-16 - Malha com Lattice ... 64

Figura 4-17 - Diálogo para inserção de armadura... 65

Figura 4-18 - Viga com armadura (em azul)... 66

Figura 4-19 - Diálogo para seleção dos materiais ... 68

Figura 4-20 - Diálogo para modificação dos parâmetros do material (Gerais) ... 69

Figura 4-21 - Diálogo para modificação dos parâmetros do material (Softening) ... 69

Figura 4-22 - Diálogo para aplicação dos materiais... 69

Figura 4-23 - Seleção elemento a elemento ... 70

Figura 4-24 - Seleção de área... 70

Figura 4-25 - Elementos selecionados pela área ... 70

Figura 4-26 – Classe do Material de Dano... 71

Figura 4-27 - Estrutura de classes de Material ... 72

Figura 4-28 - FEMOOP (Interface Unix)... 73

Figura 4-29 - Estrutura de classes de materiais... 74

Figura 4-30 - Estrutura de classes de modelos constitutivos... 75

Figura 4-31 - Diagrama da solução [PEREGO (1990)] ... 76

Figura 5-1 - Geometria da Viga Parede ... 78

Figura 5-2 - Malha de Elementos Finitos... 78

Figura 5-3 - Mapa de Dano (QUEBRA2D) ... 79

Figura 5-4 - Mapa de Dano (PROENÇA[1991]) ... 80

Figura 5-5 - Curva Carga x Deslocamento... 81

Figura 5-6 - Geometria do Tirante ... 82

Figura 5-7 - Modelo do Tirante... 82

Figura 5-8 - Gráfico Força x Deslocamento... 83

Figura 5-9 - Mapa de dano do exemplo de Mazars... 84

Figura 5-10 - Mapa de dano para εdo = 7 x 10-5... 84

Figura 5-15 - Geometria das vigas ... 88

Figura 5-16 - Modelo das vigas ... 88

(12)

Figura 5-18 - Gráfico carga x deslocamento para viga normalmente armada... 90

Figura 5-19 - Gráfico carga x deslocamento para viga super armada ... 91

Figura 5-20 - Geometria da placa... 92

Figura 5-21 - Modelo da placa ... 92

Figura 5-22 - Gráfico Carga x Variação da Abertura do entalhe ... 94

Figura 5-23 - Mapa de Dano da placa para P = 12,6 kN... 94

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LISTA DE SÍMBOLOS

LETRAS ROMANAS

ar

Vetor de variáveis internas

A Variável

interna

A

T

Parâmetro de dano de Mazars

A

C

Parâmetro de dano de Mazars

B

T

Parâmetro de dano de Mazars

B

C

Parâmetro de dano de Mazars

D

Variável de Dano

D

T

Dano à tração

D

C

Dano

à

compressão

D

n

Dano na direção n

E Módulo

de

Young

~

E

Módulo de Young equivalente

F Força

aplicada

K Energia

cinética

nr

Versor

normal

P

ex

Potência das forças de volume e superfície

qr

Calor recebido por condução

Q

Taxa de transferência de calor

r

Calor gerado internamente

S Entropia

s Entropia

específica

S

0

Área com defeitos de um elemento

~

S

Área livre de defeitos

T Temperatura

u

Energia interna específica

U Energia

interna

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LETRAS GREGAS

σ Tensão

~ σ

Tensão

efetiva

ε Deformação

ε

e

Deformação

elástica

ε

d0

Deformação de início de danificação

~

ε

Deformação

equivalente

ρ Densidade

de

massa

Ψ Potencial de energia livre específica

λ Multiplicador

de

dano

α

C

Coeficiente de combinação de dano à

compressão

α

T

Coeficiente de combinação de dano à tração

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RESUMO

Guello, G. A. (2002). Simulação computacional de estruturas de concreto por meio da mecânica do dano. São Paulo. Dissertação (Mestrado) - Departamento de Engenharia de Estruturas e Fundações – Escola Politécnica da Universidade de São Paulo.

Neste trabalho são apresentados aspectos relativos à modelagem de estruturas de concreto por meio da Mecânica do Dano.

Inicialmente são apresentadas algumas evidências experimentais que revelam uma degradação das propriedades do concreto quando submetido a carregamentos monotônicos crescentes.

A seguir, o modelo de dano de Mazars é apresentado como uma forma de representar este fenômeno de perda de resistência. Este modelo foi escolhido por ser simples, uma vez que utiliza uma grandeza escalar para representar a danificação do material.

O modelo foi implementado no sistema QUEBRA2D-FEMOOP. O

QUEBRA2D é um programa gráfico responsável pelo pré e

pós-processamento, enquanto o FEMOOP é um pacote de elementos finitos incumbido da análise tensão-deformação.

Finalmente são discutidos alguns exemplos e dificuldades na implementação do modelo de dano de Mazars.

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ABSTRACT

Guello, G. A. (2002). Computational simulation of concrete structures through damage mechanics. Dissertação (Mestrado) - Departamento de Engenharia de Estruturas e Fundações – Escola Politécnica da Universidade de São Paulo.

This work presents some aspects related to modeling concrete structures through damage mechanics.

Initially, some experimental evidences of degradation of concrete properties when submitted to monotonic loading are presented.

The Mazars´s damage model is presented as a way of representing the loss of strength. It was chosen because it is a simple model that uses a scalar parameter to represent damage.

The model has been implemented in QUEBRA2D-FEMOOP.

QUEBRA2D is a graphics program responsible for the pre and pos

processing, while FEMOOP is a finite element package for the structural analysis.

Finally, some examples and problems of implementation of Mazars´s damage model are discussed.

(17)

Introdução 1

Primeiro Capítulo

INTRODUÇÃO

1.1. Introdução

O concreto armado é o material mais utilizado no Brasil para construção de estruturas civis e, mundialmente, uma das matérias-primas mais utilizadas.

Nas últimas décadas, pesquisadores têm desenvolvido cada vez mais trabalhos no sentido de explicar o comportamento deste material. O principal objetivo destas pesquisas é encontrar um modelo mecânico-matemático que descreva o comportamento tensão-deformação do material para diferentes situações de solicitação.

Devido à sua complexidade de comportamento, a formulação de um modelo constitutivo completo para o concreto torna-se algo difícil. Modelos têm sido formulados com base na teoria da

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Introdução 2

elasticidade, da plasticidade e mais recentemente na mecânica do dano e da fratura, cada qual com suas vantagens e desvantagens. Algumas das limitações dos modelos têm sido superadas com o acoplamento das diversas teorias como elastoplasticidade, plasticidade e fratura e plasticidade e dano.

O concreto, mesmo antes da aplicação de qualquer carga, já apresenta um estágio de danificação. Os diversos fenômenos químicos e físicos que podem ocorrer durante a cura do concreto, como expansão da argamassa, retração, exudação e formação de lentes de água ao redor dos agregados e outros, originam microfissuras na interface argamassa-agregado e na argamassa (Figura 1-1).

Figura 1-1 - Danificação Inicial do Concreto [BUSSAMRA (1993)]

O comportamento não-linear do concreto, que se dá mesmo em baixos níveis de tensão, é influenciado pela microfissuração inicial e pela sua propagação durante o processo de carregamento.

É importante citar que a propagação das fissuras desenvolve-se na fadesenvolve-se de carregamento decorrente das diferentes

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Introdução 3

características de resistência e rigidez entre os agregados graúdos e a argamassa. Tais diferenças aliadas ao comportamento da interface entre os elementos citados são responsáveis pela baixa resistência à tração do concreto.

Um fenômeno também decorrente da evolução de microfissuras no concreto é o aparecimento de deformações permanentes. A relação entre evolução de microfissuras e deformações permanentes pode ser interpretada como uma conseqüência da heterogeneidade do material e do atrito entre as faces das fissuras, que impedem, em caso de descarregamento, um fechamento total das mesmas.

Outro fenômeno característico do concreto e materiais granulares em geral é a chamada resposta unilateral ou recuperação da rigidez do material quando da inversão do carregamento.

O comportamento mecânico global do concreto é diretamente influenciado por fatores tais como tipo de cimento, relação água-cimento, consumo de água-cimento, aditivos, textura e tamanho dos agregados, índice de vazios, etc. A escolha de quais destes fatores serão considerados na definição dos modelos constitutivos definirá a aplicação e a complexidade do modelo, ou seja, modelos mais completos explicam uma gama maior de problemas mas são mais difíceis de serem calibrados e aplicados.

A mecânica do dano contínuo é uma ferramenta para análise da deterioração do material em sólidos submetidos a ação de natureza mecânica ou térmica. Enquanto a mecânica da fratura lida

(20)

Introdução 4

com as condições de propagação de fissuras macroscópicas, a mecânica do dano contínuo estuda o efeito de microfissuras distribuídas na resposta do material. A teoria do dano descreve localmente a evolução dos fenômenos que se desenvolvem entre um estado inicial, relativo a uma situação de material íntegro, e um estado final, representado pela perda total da resistência. No caso do concreto, um material no qual a fissuração é o fenômeno dominante no comportamento não-linear, a mecânica do dano é sem dúvida capaz de formular modelos realistas.

O dano não é uma grandeza física mensurável diretamente, mas no âmbito de uma modelagem matemática é possível quantificá-la através de uma redução progressiva de uma propriedade mecânica global, como por exemplo, a rigidez do material.

1.2. Justificativa e objetivos

Como apresentado anteriormente, o comportamento do concreto armado é bastante complexo. Os modelos adotados para o dimensionamento e previsão do comportamento de estruturas de concreto são baseados na Resistência dos Materiais. Estes modelos contêm simplificações que são superadas em parte com a aplicação de fatores de segurança que reduzem a resistência do material e maximizam os carregamentos. Com o avanço da capacidade de simulação computacional, a quantidade de dados resultante do cálculo estrutural aumentou muito e a exigência da capacidade de análise do projetista também aumentou.

Portanto o desenvolvimento de modelos mais complexos que forneçam uma previsão mais realista do comportamento do material

(21)

Introdução 5

e da estrutura passa a ser importante para ampliar os conhecimentos dos projetistas sobre os fenômenos embutidos dos coeficientes de segurança. Isto levará à concepção de estruturas mais seguras.

Este trabalho está inserido nas atividades do grupo de Mecânica da Fratura e Mecânica do Dano que desenvolve uma série de modelos para previsão do comportamento do concreto dentro do Laboratório de Mecânica Computacional (LMC) da Universidade de São Paulo.

Este trabalho fornece uma ferramenta para a simulação e modelagem mais precisas de estruturas de concreto, através da implementação de um modelo constitutivo que permita uma análise realista do comportamento do concreto considerando a sua microfissuração. Para isto, foi escolhido um modelo formulado através da Mecânica do Dano.

O modelo de dano implementado foi o modelo de Mazars. Este modelo apresenta bons resultados na previsão de comportamento de algumas estruturas que serão discutidas no capítulo 5. A grande vantagem do modelo é sua simplicidade, pois sua calibração exige apenas ensaios simples de tração e compressão. Ele também permite o estudo de fadiga com a inserção de pequenas modificações.

Este modelo foi implementado no sistema computacional

QUEBRA2D-FEMOOP desenvolvido pelo LMC em conjunto com o

Grupo de Tecnologia em Computação Gráfica (TecGraf) do Departamento de Engenharia Civil da PUC-Rio. Neste mesmo

(22)

Introdução 6

ambiente também estão implementados modelos baseados na mecânica da fratura para a simulação de propagação de fissuras coesivas ou não-coesivas, além da análise de fadiga.

O QUEBRA2D é um sistema que explora recursos de computação gráfica para modelagem e visualização bidimensionais de sólidos contendo fissuras arbitrárias. O programa QUEBRA2D foi utilizado como interface para o programa FEMOOP (Finite Element Method - Object Oriented Programming), também desenvolvido no LMC e TecGraf, que é o responsável pela análise estrutural com a simulação da evolução do dano.

Figura 1-2 – Tela de pós-processamento do QUEBRA2D

O programa FEMOOP é baseado no paradigma da programação orientada para objetos, sendo desenvolvido utilizando-se a linguagem de programação C++. Um dos benefícios mais importantes da programação orientada para objetos é a extensibilidade do código, permitindo que novas implementações sejam feitas com pequeno impacto sobre o código já existente.

(23)

Introdução 7

1.3. Descrição do conteúdo da dissertação

A seguir está descrito, de forma resumida, o conteúdo de cada capítulo deste trabalho.

No primeiro capítulo foi feita uma introdução ao comportamento do concreto armado e a importância de modelos mais realistas para prever seu comportamento.

No segundo capítulo serão apresentadas algumas evidências experimentais sobre o comportamento do concreto e alguns modelos constitutivos que pretendem representar o comportamento deste material.

No terceiro capítulo, serão apresentados os fundamentos da termodinâmica dos meios contínuos e o modelo de dano de Mazars que foi implementado no sistema QUEBRA2D-FEMOOP.

O sistema QUEBRA2D-FEMOOP será descrito no quarto capítulo. As implementações que permitiram a simulação de estruturas por meio do modelo de Mazars também são apresentadas neste capítulo.

O quinto capítulo mostra os resultados numéricos obtidos que são comparados com resultados encontrados na literatura.

No último capítulo, são apresentadas as conclusões do trabalho e sugestões de continuidade da pesquisa.

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Comportamento Mecânico do Concreto 8

Segundo Capítulo

COMPORTAMENTO MECÂNICO DO CONCRETO O objetivo deste capítulo é fazer uma breve apresentação do comportamento mecânico do concreto. A discussão será feita em torno de ensaios de concreto de resistência normal, ou seja, não serão abordados aspectos de concretos de alta resistência, concreto com fibras e outros concretos especiais. Isto se justifica pelo escopo de aplicação do modelo de dano de Mazars.

2.1. Microestrutura

O concreto é um material resultante da mistura de diversos componentes: cimento, areia (agregado miúdo), brita (agregado graúdo), água e aditivos. Após a mistura, o concreto sofre uma série de reações químicas que conferem a sua resistência.

Após o endurecimento, é possível a identificação de três fases distintas: agregado graúdo, argamassa e zona de transição.

(25)

O agregado graúdo é o material inerte envolto pela argamassa. A argamassa é composta pelo agregado miúdo e por uma pasta de água e cimento.

Entre o agregado graúdo e a argamassa, existe uma camada delgada com aproximadamente 10 a 50 µm de espessura chamada de zona de transição. Esta fase é menos resistente que as outras duas e, por isso, exerce grande influência na resistência do concreto. Esta fase surge durante o processo de cura quando um filme de água forma-se ao redor dos agregados (processo de exsudação), levando a uma relação água/cimento maior do que em regiões mais afastadas. Este processo gera microfissuras na zona de transição, principalmente na direção horizontal, que são chamadas de fissuras primárias.

Além disto, existem poros e microfissuras distribuídas heterogeneamente pelo sólido.

Para entender o processo de propagação das microfissuras, é importante definir os modos de abertura de uma fissura. O modo I é caracterizado por um esforço de tração uniaxial com a fissura se desenvolvendo num plano perpendicular ao do carregamento (Figura 2-1(a)).No modo II existe um escorregamento entre as faces da fissura provocado por um esforço cisalhante a aplicado na direção paralela ao defeito (Figura 2-1(b)). No modo III também é caracterizado pelo escorregamento entre as faces da fissura, mas o esforço cisalhante é aplicado na direção perpendicular à da fissura (Figura 2-1(c)).

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Figura 2-1 - Modos de solicitação de uma Fissura [Shah (1995)] Durante o carregamento da peça de concreto, existe uma fase inicial onde as deformações podem ser entendidas como resultado do afastamento das macromoléculas. Nesta etapa, as fissuras primárias permanecem estáveis e as deformações são reversíveis.

Na compressão uniaxial, o limite elástico localiza-se a 30% ou 40% da carga máxima. Com o crescimento do esforço (até 70% ou 80% da carga máxima), as microfissuras da zona de transição

crescem segundo os modos I e II (formando um ângulo de 45o com

a direção do carregamento). Estas deformações permanentes fazem com que a curva tensão-deformação desvie de uma linha reta. Acima de 80% da carga máxima, as fissuras propagam-se para a argamassa e inicia-se um processo de localização dos defeitos e, conseqüentemente, o surgimento de fissuras macroscópicas até a ruptura total do corpo. Este comportamento pode ser visualizado na curva tensão-deformação representado na Figura 2-2.

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Figura 2-2 - Curva tensão-deformação de ensaio de compressão uniaxial

Na tração uniaxial, o comportamento do concreto é significativamente diferente. O comportamento linear pode ser observado até 80% da carga máxima. Ao atingir a tensão máxima, a curva tensão-deformação apresenta uma queda acentuada. Após o limite elástico, as microfissuras propagam-se segundo o modo I numa direção perpendicular ao carregamento. Estas fissuras se localizam rapidamente, caracterizando a queda brusca da curva tensão-deformação (Figura 2-3).

(28)

2.2. Modelos constitutivos

Como visto no item anterior, o concreto é um material complexo e de difícil modelagem. Diversas pesquisas têm sido realizadas nas últimas décadas com o intuito de criar modelos que representassem as peculiaridades deste material (heterogeneidade, resposta assimétrica à tração e à compressão, mudanças nas propriedades mecânicas devidas à evolução da microfissuração, etc.).

Os modelos estão baseados em diversas teorias como elasticidade, plasticidade e dano, e tentam explicar alguns dos fenômenos comportamentais do concreto. Cada um deles exibe um bom desempenho dentro de uma determinada faixa de aplicabilidade.

Na Figura 2-4 está apresentada uma classificação para os diversos modelos constitutivos proposta em ÁLVARES (1993).

Os modelos elásticos não-lineares expressam uma relação não-linear reversível entre os estados de tensão e de deformação. Dentre eles, pode-se citar o modelo unidimensional de SAENZ (1965), os modelos isótropos de KUPFER & GERSTLE (1973) e CEDOLIN & DEI POLI (1977), o modelo ortotrópico de LIU, NILSON & SLATE (1972).

O modelo hiperelástico de OTTOSEN (1979) descreve com boa exatidão as fases de endurecimento (hardening) e amolecimento (softening) em situações uniaxiais, biaxiais e triaxiais.

(29)

Figura 2-4 – Classificação dos modelos constitutivos para concreto [ÁLVARES (1993)]

(30)

Os modelos hipoelásticos relacionam linearmente incrementos de tensão e incrementos de deformação. Desta forma, o modelo torna-se sensível à história do carregamento.

Todos os modelos elásticos não-lineares são adequados para descrever situações onde o carregamento é proporcionalmente crescente, pois não são capazes de descrever a história do carregamento. Eles também não prevêem as deformações permanentes do material.

Os modelos elastoplásticos representam bem situações de carregamento e descarregamento pois são capazes de considerar as deformações permanentes.

Outros modelos buscam a previsão da evolução de fissuras macroscópicas no concreto através da Mecânica da Fratura. Modelos de fissuração coesiva (HILLERBORG (1976)) prevêem uma zona de processos anelásticos na ponta da fissura. No concreto, este fenômeno pode ser explicado pela presença dos agregados graúdos ou fibras que formam pontes entre as faces da fissura. As fissuras também podem ser tratadas como distribuídas com a definição de uma lei de amolecimento.

Outra abordagem para a definição de modelos constitutivos é a observação da microestrutura. Estes modelos pretendem descrever o comportamento da pasta e do agregado e sua interação para explicar o comportamento macroscópico da estrutura.

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Alguns comportamentos que são influenciados pelo tempo, como deformação lenta, também podem ser representados através de modelos viscoelásticos e viscoplásticos.

A Mecânica do Dano supõe que o comportamento não-linear do concreto é resultado da microfissuração com a redução do módulo de elasticidade. O modelo de MAZARS (1984) será objetivo de estudo deste trabalho e está descrito no quarto capítulo.

2.3. Evidências experimentais de dano no concreto

Os métodos de ensaio para o estudo da fissuração podem ser divididos em duas categorias: métodos diretos e indiretos. Os métodos diretos avaliam a fissuração visualmente através do uso de petrografia e microscópio ótico. Os métodos indiretos avaliam a fissuração pela medida de outros fenômenos que podem ser relacionados com o surgimento e propagação das fissuras, como a emissão acústica.

Uma das primeiras aplicações do método direto para o estudo do efeito macroscópico da microfissuração foi desenvolvida por HSU (1963). A Figura 2-5 mostra a fissuração para vários níveis de deformação. Inicialmente existem apenas fissuras na interface pasta-agregado (Figura 2-5a). Quando o carregamento atinge 30% da carga máxima, as fissuras da interface começam a crescer e a curva tensão-deformação perde o comportamento linear. A partir de 70% da carga máxima, as fissuras propagam-se pela argamassa e começam a unir-se (Figura 2-5b). A partir de deformações de

3,0000, as fissuras só continuam estáveis se o carregamento for

(32)

Figura 2-5 - Mapa de fissuração em diferentes níveis de deformação [VAN MIER (1985)]

O método indireto por emissão acústica foi estudado por SPOONER et al. (1976) e MAJI & SHAH (1988). Nos ensaios realizados por SPOONER et al. (1976), registrou-se a emissão acústica em ensaio com ciclos de carregamento e descarregamento. A Figura 2-6 mostra os resultados obtidos. Observa-se que durante o primeiro descarregamento não houve nenhuma emissão e no recarregamento seguinte a emissão só foi registrada quando atingida a máxima deformação previamente atingida. Exceções podem ser observadas próximo ao pico e no ramo de softening.

(33)

Figura 2-6 - Emissão acústica registrada em ensaio com carregamentos e descarregamentos sucessivos [SPOONER et al. (1976)]

A inclinação inicial das curvas de recarregamento sofre progressiva redução em correspondência com a degradação do concreto (Figura 2-7). Este fato indica uma progressão do estado de danificação do material.

(34)

Figura 2-7 - Redução do E em ensaios com ciclos de carregamento e descarregamento

Figura 2-8 - Redução progressiva da rigidez inicial [PROENÇA (1986)]

Já em níveis baixos de deformação, observa-se a redução do módulo de elasticidade. Mas na região pós-pico é que registra-se um aumento da taxa de redução do módulo (Figura 2-8).

(35)

No trabalho de MAJI & SHAH (1988), utilizou-se a emissão acústica para estudar a propagação de uma fissura inicial em espécimes de concreto sujeitos à tração uniaxial. Os resultados podem ser observados na Figura 2-9. Na região a frente da ponta da fissura, foram registrados pontos de emissão acústica (marcados com um x) que indicam a danificação daquela região. Com a evolução do carregamento, as microfissuras localizam-se e a fissura propaga. É interessante notar que mesmo na região anterior à ponta da fissura existem pontos de emissão. Isto demonstra que existem pontos de transmissão de carga mesmo após a definição da superfície da fissura.

(36)

Figura 2-9 - Emissão acústica em ensaios de tração uniaxiais [MAJI & SHAH (1988)]

(37)

Mecânica do Dano 21

Terceiro Capítulo

MECÂNICA DO DANO Este capítulo tem o objetivo de apresentar os principais aspectos do modelo de dano de Mazars. Primeiro serão discutidos alguns aspectos da Termodinâmica dos Meios Contínuos que visa garantir que o modelo constitutivo seja fisicamente admissível. A seguir, serão apresentados os fundamentos do Modelo de Dano de Mazars.

3.1. Fundamentos da Termodinâmica de Meios Contínuos 3.1.1. Definições

Na Mecânica dos Meios Contínuos, uma quantidade de matéria contínua e invariante é considerada um sistema termodinâmico. Estes sistemas podem ser muito pequenos desde que seja possível definir valores médios de fluxo de calor, temperatura e gradiente de deformações.

(38)

Quando é possível avaliar todas as informações necessárias para a caracterização do sistema, diz-se que o estado do sistema é conhecido. Informações como temperatura, propriedades do material, estado de deformação entre outras são ditas variáveis de

estado. Quando uma variável de estado pode ser expressa em

função de outras, tem-se uma equação de estado.

Um sistema está em equilíbrio termodinâmico quando as variáveis de estado não são alteradas com o tempo. Se existe uma mudança no tempo, o sistema sofre um processo.

Alguns fenômenos como plastificação e dano tem um caráter irreversível. A Termodinâmica garante que modelos constitutivos que descrevam tais fenômenos sejam formulados de maneira fisicamente coerente.

A seguir serão apresentados sucintamente os fundamentos da Termodinâmica que são utilizados para a definição de modelos de dano.

3.1.2. Primeira Lei da Termodinâmica

A Primeira Lei da Termodinâmica relaciona a potência mecânica, associada às ações externas, e a taxa de calor transferidas para dentro do sistema com a mudança da sua energia total. A energia interna, por unidade de massa, compõe juntamente com a energia cinética a energia total do sistema.

Considerando-se uma certa quantidade de massa que ocupa, num certo instante, o volume V limitado pela superfície S, define-se energia interna U como:

(39)

∫

⋅

=

V

dV

u

U

ρ

Equação 3.1

onde ρ é a densidade de massa e u a energia interna

específica.

A energia cinética K é expressa em função do vetor velocidade do ponto material na seguinte forma:

∫

⋅

• ⋅

=

V

v

K

dV

2

1 _r

_r

ρ

Equação 3.2

Seja Q a taxa de transferência de calor para o volume V. Ela está dividida em duas partes, a primeira composta pelo calor gerado internamente devido à ação de agentes externos representado pela variável r, e a segunda composta pelo calor recebido por condução através da superfície S representado pelo vetor qr:

∫

⋅ − • = S V q r Q ρ dV r nr dS Equação 3.3

O sinal negativo significa fluxo de calor de fora para dentro do volume.

A potência mecânica associada às forças de volume f e às forças que agem na superfície S expressa através Tensor das Tensões é definida como:

∫

• +

⋅

• =

S V ex

f

v

n

v

P

r

dV

(

σ

r

)

r

dS

Equação 3.4

(40)

A Primeira Lei da Termodinâmica garante a conservação de energia em um sistema e é expressa pela seguinte relação:

(

U

K

)

P

Q

dt

d

ex

+

=

+

Equação 3.5

Podemos escrever a Equação 3.5 em função da potência das

forças internas Pi. Para isto utilizamos o Princípio das Potências

virtuais:

a i

ex

P

+

=

Equação 3.6

Onde Pa é a potência das forças de inércia definida por:

dt

dK

v

dt

d

v

dt

v

d

P

V V a

=

∫

⋅

• =

∫

⋅

• dV

=

2

1 dV

r

ρ

Equação 3.7

Substituindo na Equação 3.5, temos:

Q P dt dU i + − = Equação 3.8 Ou seja,

(

)

∫

⋅ = + ⋅ − V V q div r D dt du dV : dV σ ρ r ρ

q

div

r

D

dt

du

₌

₊

_⋅

₋

_r

⋅

σ

ρ

:

Equação 3.9

onde σ é o Tensor das Tensões, D é o tensor taxa de

deformação, igual à parte simétrica do tensor gradiente de velocidade. O operador “:” representa o produto tensorial.

(41)

Para pequenos deslocamentos,

D

=

ε&

e a Primeira Lei pode

ser escrita na forma:

q

div

r

u

_&

=

⋅

_&

+

⋅

−

r

⋅

σ

ε

ρ

Equação 3.10

3.1.3. Segunda Lei da Termodinâmica

A Segunda Lei impõe um sentido para a conversão entre trabalho e energia (Primeira Lei) através da restrição de variação positiva de uma grandeza chamada Entropia.

A segunda Lei da Termodinâmica está relacionada com as variáveis de Temperatura e Entropia. A Temperatura T é representada por um campo escalar de valores positivos definidos em cada instante para todos os pontos do volume V.

A Entropia representa a variação de energia associada com a variação da temperatura e pode ser definida como:

∫

⋅ V V d s = S ρ Equação 3.11

Onde s é a entropia específica.

A Segunda Lei da Termodinâmica enuncia que a variação de entropia deve ser sempre maior ou igual à variação do calor produzido dividido pela temperatura:

S

n

q

V

S V V

d

T

-d

T

r

d

s

dt

d

_⋅

_≥

_⋅

r

_•

_v

∫

ρ

∫

ρ

Equação 3.12

(42)

A igualdade representa os processos reversíveis, enquanto a desigualdade representa os processos irreversíveis onde ocorre a produção interna de entropia.

Utilizando-se o teorema do divergente, chega-se à forma local: 0 ) T div( T r ≥ + ⋅ − ⋅s_& ρ qr ρ Equação 3.13 3.1.4. Desigualdade de Clausius-Duhem

A primeira e a segunda lei podem ser combinadas conduzindo a uma desigualdade que deve ser observada para que um processo seja termodinamicamente admissível. Isto significa que a energia total do sistema deve ser conservada e que a conversão entre potência e energia deve respeitar o sentido que leve a uma variação positiva da entropia. Esta desigualdade também descreve a irreversibilidade de alguns processos.

Da Análise Tensorial temos:

q T 1 q div T 1 T q

div r = r− ₂⋅gradT •r Equação 3.14

E combinando as duas Leis da Termodinâmica, obtém-se a seguinte desigualdade

(

⋅ −u

)

+ ⋅ − 1 • ≥0

⋅ grad T q

T s

T & & σ ε& r

(43)

Pode-se trabalhar com uma nova variável Ψ denominada energia livre:

Ts

u

ρ

ρ −

=

Ψ

Equação 3.16

Derivando esta energia em relação ao tempo, tem-se:

)

T

s

(

u

s

T

s

T

_&

&

_&

&

=

ρ

u

−

ρ

−

ρ

⇒

ρ

(

−

)

=

−

Ψ

+

ρ

Ψ

Equação 3.17

Substituindo na Equação 3.15, obtém-se:

(

Ψ

+

)

−

1 ⋅

≥

0 −

⋅

grad

T

q

T

s

&

r

&

ρ

ε

σ

Equação 3.18

Processos nos quais a desigualdade de Clausius-Duhem é verificada a cada instante são denominados "termodinamicamente admissíveis".

3.1.5. Método do estado local

O método do estado local [GERMAIN (1973)] determina que, num certo instante, o estado termodinâmico de um sistema é completamente definido pelo conhecimento dos valores de um certo número de variáveis que dependem apenas do ponto considerado. Como as derivadas no tempo destas variáveis não estão presentes na definição do estado, qualquer evolução pode ser considerada como uma sucessão de estados em equilíbrio.

As variáveis de estado podem ser divididas em dois grupos: observáveis e internas.

(44)

As variáveis observáveis são aquelas que podem ser diretamente medidas em ensaios. Elas, geralmente, são a temperatura e o tensor das deformações.

As variáveis internas são escolhidas arbitrariamente em função dos fenômenos que são considerados no modelo.

3.1.5.1. Potencial termodinâmico

Definidas as variáveis de estado que se julga serem relevantes ao modelo, define-se um potencial termodinâmico do qual derivam-se as leis de estado. Utilizando-se o potencial da energia livre Ψ já definido na Equação 3.16, pode-se escrever:

) , , (ε T ra Ψ = Ψ Equação 3.19

onde ar é um vetor de variáveis internas.

Derivando-se a expressão acima em relação ao tempo, tem-se: a a T T r r & & & ⋅ ∂ Ψ ∂ + ⋅ ∂ Ψ ∂ + ⋅ ∂ Ψ ∂ = Ψ ε ε Equação 3.20

Substituindo a Equação 3.20 na Equação 3.18: 0 1 s ⋅ − • ≥      ∂ Ψ ∂ − ⋅       ∂ Ψ ∂ + + ⋅       ∂ Ψ ∂ − grad T q T a a T T r &r r & & ρ ε ε σ Equação 3.21

Considerando-se um processo elástico com temperatura

constante (T&=0) e uniforme(grad T =0) e onde não haja variáveis

(45)

Mecânica do Dano 29 ε σ ∂ Ψ ∂ = Equação 3.22

Para um processo puramente térmico, a Equação 3.21 é satisfeita se: T ∂ Ψ ∂ − = s ρ Equação 3.23

A Equação 3.22 e a Equação 3.23 mostram a associação entre as variáveis σ e s e as variáveis de estado ε e T, respectivamente. Analogamente, é possível definir uma variável termodinâmica associada ao vetor de variáveis internas:

k a A ∂ Ψ ∂ = − Equação 3.24

Substituindo a Equação 3.22, a Equação 3.23 e a Equação 3.24 na Equação 3.21: 0 1 ≥ • − ⋅ grad T q T a A &r r Equação 3.25

A Equação 3.25 representa a soma da dissipação associada à evolução das variáveis internas e da dissipação de calor.

3.1.5.2. Potenciais de dissipação

O potencial termodinâmico descreve a relação entre variáveis de estado e suas variáveis associadas. Para completar o modelo constitutivo, é necessária a definição das leis de evolução das variáveis internas. Isto é conseguido através do potencial de dissipação.

(46)

Definem-se as leis complementares de evolução das variáveis internas a partir de um potencial de dissipação Φ, de modo que:

A

a

∂

Φ

∂

−

=

&r

Equação 3.26

(

grad

T

)

T

q

∂

Φ

∂

=

r

_{Equação 3.27}

Valendo a lei da normalidade e associando-se o potencial de dissipação com a função F que representa, por exemplo, o critério de danificação, a lei evolutiva de dano assume a seguinte forma:

    = = > < = < = ∂ ∂ = 0 F e 0 F se 0 0 F e 0 F ou 0 F se 0 com & & & & & & λ λ λ Y F D Equação 3.28

onde λ é um multiplicador de dano e Y é a variável associada a variável D.

3.2. Mecânica do Dano

O comportamento físico não-linear de sólidos é uma manifestação de mudanças irreversíveis na sua microestrutura. No concreto, estas mudanças estão predominantemente ligadas ao desenvolvimento de microfissuras. Este processo tem início já durante a cura do concreto e evolui até a localização das microfissuras e formação de um defeito macroscópico. Como essa fissuração ocorre de forma distribuída, a mecânica do dano é capaz de formular modelos muito realistas para o concreto.

Segundo JASON & HULT, a mecânica do Dano difere-se da Mecânica da Fratura nos seguinte aspecto:

(47)

• Na Mecânica do Dano, a resistência de uma estrutura carregada é determinada em função da evolução de um campo de defeitos continuamente distribuídos;

• Na Mecânica da Fratura, a resistência de uma estrutura carregada é determinada em função de evolução de um defeito particular. O meio em volta da fissura é assumido com intacto.

O dano não é uma grandeza física diretamente mensurável. Ela pode ser determinada através da redução progressiva de uma propriedade mecânica, como, por exemplo, o módulo de elasticidade.

Com o intuito de estudar a ruptura associada à deformação lenta em metais, KACHANOV & RABOTNOV introduziram em 1958 as primeiras idéias sobre danificação de meios contínuos. A partir de então, vários outros estudos sobre a mecânica do dano têm sido realizados – BROBERG (1974), LEMAITRE & CHABOCHE (1978), PAPA (1990).

A terminologia Mecânica do Dano Contínuo (“Continuum Damage Mechanics”) por JASON & HULT designar modelos da Mecânica do Contínuo que tratam das respostas de materiais considerando o processo de danificação. Em 1985, LEMAITRE & CHABOCHE formularam as bases teóricas baseadas na Termodinâmica dos Processos Irreversíveis.

Dentre os modelos de dano existentes, destacam-se KACHANOV (1984) e MURAKAMI (1981) modelando a deterioração lenta do material, LEMAITRE (1984), MARIGO (1985),

(48)

LEMAITRE e CHABOCHE (1984) e LEMAITRE (1984) na interação dano-fadiga, SIMO & JU (1987), TAI (1990) e HAN &MOU (1993) sobre dano em materiais dúcteis, MAZARS (1984) sobre dano em estruturas de concreto armado e LA BORDERIE, PIJAUDIER-CABOT & MAZARS (1991) em dano em estruturas de concreto armado e concreto com fibras sujeitas a carregamento cíclico e FLOREZ-LÓPEZ (1993) tratando do dano em pórticos de concreto armado.

Estes modelos de dano podem ser classificados como escalares ou isotrópicos e anisotrópicos, segundo a natureza da variável de dano usada. Os modelos escalares são conceitualmente simples e tem a vantagem de um número reduzido de parâmetros a identificar. Por outro lado, eles podem ter sua aplicação restrita a algumas situações. Os modelos anisotrópicos onde a variável de dano é uma grandeza tensorial apresentam uma gama de aplicação maior, porém com uma enorme complexidade de identificação dos parâmetros do modelo.

O modelo de Mazars, que é objeto de estudo deste trabalho, é um modelo escalar indicado para o estudo de estruturas de concreto submetidas a carregamentos proporcionais ou cíclicos.

3.2.1. Definição da variável de dano

Considere-se um sólido com dano do qual é retirado um elemento de volume representativo. Entenda-se “representativo” um elemento com dimensões suficientemente grandes para considerar a distribuição de microdefeitos contínua e suficientemente pequeno para ser considerado como um ponto material do contínuo.

(49)

Seja S a área de uma das faces do elemento, definida por um

versor nr (Figura 3-1). Considere S~ como sendo a área que

efetivamente resiste aos esforços. A diferença:

S S

S₀ = − ~ Equação 3.29

define a área de defeitos.

Figura 3-1 – Elemento de volume com dano

A medida local de dano é definida segundo LEMAITRE & CHABOCHE (1985) como sendo:

S S D S n 0 0 lim → = Equação 3.30

A variável de dano assume valores no intervalo de 0 < Dn < 1,

sendo que Dn = 0 representa o material íntegro e Dn = 1 indica um

estado de total deterioração.

O dano isotrópico corresponde a uma situação onde a variável

de dano é uniforme em qualquer direção nr, ou seja, apenas uma

(50)

n r∀ = D_n

D Equação 3.31

3.2.2. Definição de deformação equivalente

Considerando-se apenas a área da seção livre de dano como responsável por equilibrar os esforços, define-se tensão efetiva para um caso unidimensional como sendo:

~ ~ S F = σ Equação 3.32

onde F é a força aplicada na seção do elemento

representativo e S~ é a área efetiva.

A área efetiva pode ser escrita em função da variável D através da seguinte relação:

) 1 ( ~ 0 S D S S S = − = − Equação 3.33

Substituindo-se a Equação 3.33 na Equação 3.32, temos:

D − = 1 ~ σ σ Equação 3.34 Obviamente, σ ≥~ σ e, em particular: σ

σ =~ para material íntegro;

∞ →

σ~ para material aproximando-se do seu estado totalmente

danificado.

No caso tridimensional de dano isótropo, o operador (1-D) se aplica a todas as componentes do tensor das tensões e, portanto:

(51)

Mecânica do Dano 35 ) 1 ( ~ D − = σ σ Equação 3.35

LEMAITRE & CHABOCHE (1985) apresentaram a hipótese de deformação equivalente a fim de obter um modelo coerente com a hipótese do meio contínuo:

“O estado de deformação, unidimensional ou tridimensional, de um material com dano é obtido da lei do comportamento do material íntegro onde a tensão normal é substituída pela tensão efetiva.” (Figura 3-2)

Figura 3-2 – Deformação equivalente

Considerando um material elástico linear, pode-se escrever a seguinte relação tensão-deformação:

E

e

σ

ε = ~ Equação 3.36

(52)

Mecânica do Dano 36 E D e ) 1 ( − = σ ε Equação 3.37

A partir da relação anterior pode-se definir um módulo de Young para um meio contínuo com resposta equivalente ao meio deteriorado:

E D

E~=(1− ) Equação 3.38

A relação anterior fornece uma maneira indireta de determinar-se a variável de dano para materiais elásticos a partir de medidas do módulo de elasticidade para um ensaio com ciclos de carregamento e descarregamento (Figura 3-3).

Figura 3-3 - Curva σ x ε para carregamento e descarregamento

3.2.3. Modelo de dano de Mazars

O modelo proposto por MAZARS (1984) baseia-se em algumas evidências experimentais observadas em ensaios uniaxiais de corpo de prova em concreto. Para tanto, foram formuladas algumas hipóteses básicas para a formulação do modelo:

(53)

• Concreto comporta-se como meio elástico danificável, sendo desprezadas deformações permanentes evidenciadas em ensaios com descarregamento (Figura 3-4);

Figura 3-4- a-) Comportamento experimental; b-) modelo de Mazars. [ÁLVARES (1993)]

• Dano é causado apenas por extensões (alongamentos), ao menos um deles numa das direções principais. Isto implica que a ruptura desenvolve-se no modo I ou no modo misto I + II;

• Considera-se o dano isótropo, apesar de evidências

experimentais mostrarem que o dano leva a uma anisotopia. Isto não impede que seja considerada a assimetria de comportamento na tração e na compressão;

• Dano é representado por uma variável escalar D (0 < D < 1), cuja evolução ocorre somente quando for superado um valor limite para o “alongamento equivalente”.

(54)

As hipóteses básicas evidenciam o comportamento microestrutural do concreto, onde a degradação do material ocorre pela microfissuração distribuída causada por tensões de tração. Isto exige a definição de um alongamento equivalente que representa o estado local de extensão:

2 3 2 2 2 1

~

+ + +

+

<

>

+

<

>

<

=

ε

Equação 3.39

onde <εi>+ é a parte positiva do alongamento na direção i e é

definido como:

[

]







≤

>

=

+

=

>

<

₊

0 se

,

0

0 se

,

2

1

i i i i i i

_ε

ε

Equação 3.40 3.2.3.1. Critério de dano

No modelo de Mazars, admite-se que quando a deformação equivalente atinge um determinado valor limite inicia-se a evolução do dano. Este critério pode ser escrito como uma função f na seguinte forma:

0 )

(

~

)

,

~

(

D

=

−

S

D

≤

f

ε

com S(0) = εd0 Equação 3.41

onde D representa a variável de dano, εd0 corresponde à

deformação máxima em ensaios de tração uniaxial (Figura 3-5) e S(D) é uma função que liga a deformação de início de danificação e a variável de dano.

(55)

Figura 3-5 – Prova de tração unixial: definição de εd0

A forma da fronteira inicial f no espaço das tensões principais é mostrado na Figura 3-6. Também estão representados os resultados elástico experimental obtidos por KUPFER (1969) e uma

superfície dita corrigida obtida multiplicando-se ε~ por um

coeficiente γ < 1. Esta correção foi proposta para diminuir as

diferenças entre o resultado do modelo e a curva experimental na região de compressão biaxial. Neste trabalho será usada a curva inicial.

Quando f = 0, a expressão de S(D) pode ser escrita como: 2 3 2 2 2 1 ~ ) (D =ε = <ε >₊ +<ε >₊ +<ε >₊ S Equação 3.42

Esta representação define uma superfície esférica de raio S(D) no espaço das deformações principais. Isto garante a mesma importância para os três componentes da deformação.

(56)

Figura 3-6 – Superfície de ruptura [PEREGO(1989)]

3.2.3.2. Lei de evolução da variável de dano

Admitindo-se a continuidade dos fenômenos no tempo, a lei de evolução da variável de dano que atende os princípios da termodinâmica (LEMAITRE & CHABOCHE (1985)) é definida como:

    = = > < < = < = + sef 0ef 0 ~ ) ~ F( 0 f e 0 f ou 0 f se 0 & & & & ε ε D Equação 3.43

onde F(ε~) é uma função contínua e positiva da deformação

equivalente ε~ de modo que D& ≥0paraqualquer ε&~. Isto garante que a variável de dano cresce continuamente, o que representa o comportamento físico observado.

A função F(ε~) deve ser capaz de reproduzir o comportamento

(57)

No caso particular de uma prova uniaxial e supondo carregamento monotônico crescente é possível obter de forma explícita o valor de D para uma determinada deformação ε:

∫

= ε ε ε ε 0 1 1) ( ) ( F d D Equação 3.44

3.2.3.3. Dano a duas variáveis

Para representar o comportamento não simétrico do concreto na tração e na compressão, é necessário definir-se duas leis de evolução de dano diferentes para cada situação.

Na tração, as microfissuras desenvolvem-se na direção perpendicular à direção de aplicação do carregamento. Na compressão, a microfissuração desenvolve-se paralelamente ao carregamento (Figura 3-7).

(58)

Mazars define duas variáveis de dano distintas, DT e DC

representando, respectivamente, o dano na tração e o dano na compressão. Existem também duas leis de evolução distintas:

+ > < = ε ε& &_T F_T(~) ~ D (tração) Equação 3.45 + > < = ε ε& &_C F_C(~) ~ D (compressão) Equação 3.46

Para situações complexas onde estão presentes esforços de tração e compressão simultaneamente, a variável de dano pode ser

dfinida como uma combinação linear de DT e DC:

C C T

T

D

=

α

+

α

Equação 3.47

Os valores de αT e αC assumem valores entre 0 e 1 e devem

satisfazer as seguintes condições:

Para tração pura: αT = 1, αC = 0 ⇒ D = DT

Para compressão pura: αT = 0, αC = 1 ⇒ D = DC

No caso geral: αT + αC = 1

Os valores dos coeficientes de combinação são obtidos através das seguintes expressões:

+ +

∑

< > = V i T T i ε ε α Equação 3.48 + +

∑

< > = V i C C i ε ε α Equação 3.49

(59)

onde ε_T_i e ε_C_i são as componentes de deformação

determinadas pela pelas partes positiva e negativa,

respectivamente, do vetor de tensões principais _σ* associado a ε

pela relação elástica isótropa:

ε

σ

* ₀

D

=

Equação 3.50 Portanto: I E E i i T < >+ − < >+ + = ν σ ν

∑

σ ε 1 Equação 3.51 I E E i i C < >− − < >− + = ν σ ν

∑

σ ε 1 Equação 3.52

onde < σ >₊ é a parte positiva e < σ >₋ a parte negativa do

vetor de tensões _σ*_:

(

i i

)

i σ σ σ > = + < ₊ 2 1 Equação 3.53

(

i i

)

i σ σ σ > = − < ₋ 2 1 Equação 3.54 Finalmente, define-se:

∑

+ + +

₌

_<

_>

₊

_<

_>

i C i T V

ε

_i

ε

_i

ε

Equação 3.55

Neste trabalho serão estudados casos de carregamento monotônicos crescentes. Isto permite expressar as variáveis de dano na sua forma integral (Equação 3.44).

(60)

A partir de observações experimentais, Mazars propôs as seguintes expressões para as variáveis de dano:

)] ~ ( exp[ ~ ) 1 ( 1 ) ~ ( 0 0 d T T T d T B A A D ε ε ε ε ε − − − − = Equação 3.56 )] ~ ( exp[ ~ ) 1 ( 1 ) ~ ( 0 0 d C T C d C B A A D ε ε ε ε ε − − − − = Equação 3.57

onde AT, BT, AC, BC, εd0 são parâmetros característicos do

material a serem determinados através de ensaios. O método de obtenção experimental dos parâmetros pode ser encontrado em ÁLVARES (1993). A Figura 3-8 permite a comparação entre as curvas experimentais e as curvas fornecidas pelo modelo após a prévia calibração dos parâmetros citados.

Figura 3-8 – Tração uniaxial a-)experimental; b-)modelo de Mazars; Compressão uniaxial c-)experimental; d-)modelo de Mazars.[ÁLVARES

(61)

3.2.3.4. Análise paramétrica do Modelo da Mazars

Os parâmetros AT, BT, AC, BC, εd0 permitem ajustar o modelo

para representar adequadamente o comportamento do concreto. A seguir será discutida a influência de cada um dos parâmetros na resposta do modelo.

No caso de um ensaio uniaxial, pode-se escrever a lei constitutiva do material danificável como:

ε ε ε ε σ(~, )=E₀(1−D_H(~)) _~ se 0 ) ~ ( ~ se 0 ) ~ ( do d0    > ≠ ≤ = ε ε ε ε ε ε H H D D Equação 3.58 e )] ~ ( exp[ ~ ) 1 ( 1 ) ~ ( 0 0 d H H H d H B A A D ε ε ε ε ε − − − − = Equação 3.59

onde: H = T e ε =~ ε no caso de tração

H = C e ε~ −= ν 2ε no caso de compressão

Substituindo as definições acima na Equação 3.58 pode-se expressar σ em função de ε : ε ε ε σ( )=E₀(1−D( )) se 0 ) ( se 0 ) ( 0 0    > ≠ ≤ = H H D D ε ε ε ε ε ε Equação 3.60 onde: ε0H =ε0T =εd0 se tração ) 2 ( 0 0 0 ν ε ε ε − = = d C H se compressão

(62)

Pode-se reescrever a Equação 3.60 numa forma adimensional

dividindo-a pelo esforço σ0 correspondente ao início da danificação:

H H D ε η ρ =(1− ( )) Equação 3.61 onde oH H _ε ε η = _, 0 σ σ ρ =_H , σ =0 E0ε0H

Substituindo-se a Equação 3.59 na Equação 3.61, temos a lei constitutiva na forma adimensional:









>

+

−

≤

=

−

para

1

1 para

)

(

) 1 (

η

ρ

η β

e

A

H Equação 3.62 onde : β = βH = BHε0H

A relação tensão-deformação na forma adimensional apresenta uma expressão para a região elástica (η < 1) e outra para

a região não-linear que é influenciada pelos parâmetros AH, BH e

ε0H. Para avaliar esta influência, calculam-se as seguintes

quantidades: ) 1 ( ) 1 ( − − − = = _βη β η η ρ ς A e d d _dd_ηρ =0⇔1−βη=0 Equação 3.63 ) 1 ( 2 2 ) 2 ( ₋ − − = _β _βη β η η ρ _A _e d d      = = = − ⇔ = 0 0 0 2 0 2 2 B A d d βη η ρ Equação 3.64

(63)

A

−

=

∞ →

(

)

1 lim η

ρ

η Equação 3.65

No ponto onde se inicia o dano, a inclinação da curva vale:

) 1 ( ) 1 ( ₀ 1 H H B A A d d _ς _β _ε η ρ η − = − = =       + = Equação 3.66 Portanto:      > < = = < > = =       + = ₀_se ₁ 1 se 0 1 se 0 1 β β β ς η ρ η d d

As expressões acima evidenciam a influência dos parâmetros A e β na inclinação inicial do trecho não-linear. De fato, os valores mais elevados de A amplificam a inclinação da curva e o parâmetro β além de interferir na magnitude da inclinação, também determina o valor da mesma (Figura 3-9a).

Figura 3-9 – a-) Influência de A e β; b-) Lei constitutiva de material elastoplástico

(64)

Mecânica do Dano 48 Para A = 0, temos: 1 1 ) (η = ∀η ≥ ρ

ou seja, um comportamento similar a um material elastoplástico perfeito sem deformação residual (Figura 3-9b).

Observando a Equação 3.65, conclui-se que o valor de A determinam um assíntota horizontal. Quando A > 1, esta assíntota assume valores negativos, o que não tem nenhum significado físico. Portanto devem ser utilizados valores para A < 1. Existem casos em que a calibração do modelo leva a adotar valores de A > 1. Nestes

casos, deve existir a restrição ρ(η) = 0 para qualquer η > η*_(Figura

3-10).

(65)

Pode-se dividir o estudo paramétrico em dois casos: a) A inclinação inicial do trecho não-linear é negativa. Então: β > 1 e do B ε 1 ≥

O máximo da curva tensão-deformação é alcançado para η =1 (ε = ε0H) e vale:

1

max

=

ρ

Equação 3.67

Para valores de η maiores do que 1, a curva é sempre descendente com a concavidade voltada para cima e tende a uma assíntota horizontal ρ = 1-A.

Os ensaios mostram que esta é a forma da curva tensão-deformação para ensaios de tração uniaxial.

b) A inclinação inicial do trecho não-linear é positiva Então: β < 1 e do B ε 1 ≤

O máximo da curva é atingido em

β η = 1 e vale:       − + =1 1₍₁₋ ₎ 1 max _β β ρ e A Equação 3.68