Mecânica Computacional

Mecânica Computacional

Engenharia Mecânica

José Carlos F Teixeira

* José Carlos F Teixeira (T)

jt@dem.uminho.pt; 253 510 236

Calendário (parte #2)

Semana 2ª Feira 3ª Feira 4ª Feira 5ª Feira 6ª Feira Sábado 1 18/02 a 23/02 2 25/03 a 02/03 3 04/03 a 09/03 4 11/03 a 16/03 5 18/03 a 23/03 25/03 a 30/03 6 01/04 a 06/04 7 08/04 a 13/04 8 15/04 a 20/04 9 22/04 a 27/05 T 25 Abril 10 29/04 a 04/05 T 1 Maio 11 06/05 a 11/05 T 12 13/05 a 18/05 13 20/05 a 25/05 T 14 27/05 a 01/06 T 15 03/06 a 08/06 T 16 10/06 a 15/06 T Trabalho 17 17/06 a 22/06 Teste 18 24/06 a 29/06 19 01/07 a 06/07 20 08/07 a 13/07 Férias e feriados Exames - Recurso

Lançamento das classificações Semana de Enterro da Gata

CALENDÁRIO PARA MECÂNICA COMPUTACIONAL

Calendário Escolar Ano Lectivo 2012/2013

* Bibliografia:

# Ferziger, J. H. e Peric, M. (1996) “Computational Methods for Fluid Dynamics”, Springer

# Patankar, S. V. (1980), “Numerical heat transfer and fluid flow”, Mc Graw Hill

# Teixeira, JC; Teixeira, SFC (2003), “Métodos Numéricos em Transferência de Calor”, Universidade do Minho

# Teixeira, SFC (1994), “Computação em Mecânica dos Fluidos”, Universidade do Minho

# Teixeira, JC (1996), “Equações de Navier-Stokes”, Universidade do Minho

Suporte Bibliográfico

Avaliação

* Trabalho computacional (grupos de 4 elementos) (60%)

* Teste final (40%)

* Motivação

* Programação: linguagem FORTRAN

* Equações fundamentais

* Discretização no espaço

* Discretização no tempo

Porquê simular a Transferência de Calor?

– A Transferência de Calor surge nas mais variadas situações:

– Estações de produção de energia

– Nas actividades relacionadas com a regulação térmica do corpo – No climatização dos edifícios

– Em inúmeros processos de transformação alimentar (congelação,

cozedura, ...)

– Em inúmeros processos industriais (fundição, soldadura,...)

– No desempenho de equipamentos eléctricos, por vezes limitados pela capacidade de remoção de calor (ex., processadores de pc)

 O interesse em simular a TC, surge assim

como resposta a uma necessidade de

compreensão e previsão, para lidar com este

fenómeno de forma mais efectiva.

Porquê simular a Transferência de Calor?

– O domínio do método de previsão da Transferência de Calor,

permite:

– Optimizar o desenho de equipamentos

– Escolher a melhor opção entre um conjunto de alternativas – Antever problemas de segurança na operação

– ...

 A capacidade de previsão, em regra, oferece

benefícios económicos e vantagens para o

bem-estar geral (

conforto, segurança,...).

Métodos de Previsão

– Previsão Experimental

– Previsão Teórica

 Sempre que possível, é recomendável seguir ambas e

comparar os resultados

 Previsão Experimental

– Informação mais precisa

– Frequentemente é proibitiva em termos de custos

– Muitas vezes apenas possível em modelos à escala (além das

limitações inerentes, requer extrapolação dos resultados...) – Medições nem sempre possíveis

Métodos de Previsão

 Previsão Teórica

Vantagens:

– Baixo custo

– Rapidez na obtenção de resultados

– Dados relevantes em todo o domínio (numa situação experimental

existem locais inacessíveis e interferências inevitáveis dos equipamento de medida com o meio)

– Capacidade de simular condições realistas (não há necessidade de

recorrer a modelos à escala, nem perigo em simular substâncias tóxicas ou corrosivas)

– Capacidade de simular situações ideais (simetria, fronteiras

Métodos de Previsão

Previsão Teórica (cont.)

Desvantagens:

– Não esquecer que a utilidade dos resultados duma simulação depende da validade do modelo matemático

– Os problemas com a simulação podem ser de dois tipos:

Grupo A - Situações em que é viável obter uma boa

representação matemática do fenómeno em análise (ex.,

transferência de calor; escoamento laminar,...)

Grupo B - Situações para as quais não existe um modelo

matemático adequado (escoamento turbulento; escoamentos

Métodos de Previsão

Previsão Teórica (cont.)

Desvantagens

da Previsão Teórica – Grupo A

– Normalmente não apresenta inconvenientes, mas...

– Por ex., em problemas com: geometrias complexas, propriedades dos fluidos variáveis e com grande

sensibilidade, a simulação pode-se revelar complexa e cara. – Qdo o modelo matemático admite mais do que uma solução,

Derivada substantiva

ex: variação da temperatura durante uma viagem





C



f x y z t

, , ,

dt dz z C dt dy y C dt dx x C t C dt dC _{      }

















z C u y C u x C u t C Dt DC z y x _        _{  } 



u



C t C Dt DC       

Conservação da massa





u u u u



_x

,

_y

,

_z                                 massa de saída de taxa massa de entrada de taxa massa de acumulação de taxa

Conservação da massa

Volume de controlo

acumulação fluxo     tdV t x y z V



   . .

 

u_y x z yy. .

 

u_y x z y. .

   

u_y u x z y  y y y    . .

Conservação da massa

Volume de controlo

em regime estacionário

 

 

 

           t   x ux  y uy  z uz      





 t   . u           xi y j zk

 

D Dt u  _{  . }   ou:    .u , u x u y u z x y z 0 0      

Conservação do ‘momentum’

Lei de Newton (dinâmica)

acumulação

 

 _{ } F ma d dt m u  



.                                            sistema no forças das soma momentum de saída de taxa momentum de entrada de taxa momentum de acumulação de taxa A t u dV c 



_V   

 

 

 

A x y z t u i x y z t u j x y z t u k c     x    y    z            

Conservação do ‘momentum’

tensor de tensões

alterações de ‘momentum’

próprio movimento do fluido através das faces do volume de controlo (convecção);

Conservação do ‘momentum’ (convecção)

taxa de entrada/saída de momentum

xx nas faces xx

taxa de entrada/saída de momentum

xx nas faces yy

taxa de entrada/saída de momentum

xx nas faces zz



u u

_{x x x}

.

 

y z

.



u u

_{x x x x}

.

 

y z

.



u u

_{y x y}

.

 

x z

.



u u

_{y x y y}

x z



.

 

.



u u

_{z x z}

.

 

x y

.



u u

_{z x z z}

.

 

x y

.









 

 

 

 _ 

y z

u u

u u

x z

u u

u u

x y

u u

u u

x x x _{x x x x y x y} y x y y z x z _{z x z z}

.

.

.

.

.

.

































 _ 

Conservação do ‘momentum’ (atrito)

taxa de entrada/saída de momentum

xx nas faces xx

taxa de entrada/saída de momentum

xx nas faces yy

taxa de entrada/saída de momentum

xx nas faces zz



_{xx x}

.

 

y z

.



_{xx x x}

.

 

y z

.



_{xy y}

.

 

x z

.



_{xy y y}

x z



.

 

.



_{xz z}

.

 

x y

.



_{xz z z}

.

 

x y

.













 

_

 

 

 

y z



_{xx x}





_{xx x x}



x z



_{xy y}





_{xy y y}



x y



_{xz z}





_{xz z z}  

Conservação do ‘momentum’ (outras forças)

Forças de pressão e gravíticas

finalmente





 

y z p

_x



p

_xx





g

_x

  

x y z

 























































t

u

x

u u

y

u u

z

u u

x

y

z

p

x

g

x x x y x z x xx xy xz x

 

































 























Du

Dt

p

x

x

y

z

g

x xx xy xz x

 

















 

Conservação do ‘momentum’

Equações constitutivas

 



 





xx x

u

x

U

 

2



2



3



 











yy y

u

y

U

 

2



2



3



 



 





zz z

u

z

U

 

2



2



3







 







xy yx x y

u

y

u

x



 



















 







xz zx x z

u

z

u

x



 















 







zy yz z y

u

y

u

z



 















Conservação do ‘momentum’

 

x z x y x x x

_g

x

u

z

u

z

x

u

y

u

y

u

x

u

x

x

p

Dt

Du

_















































_

























_











































_

_







.



3

2

2







 













Du

Dt

p

x

u

x

u

y

u

z

g

x x x x x

 

















 

2 2 2 2 2 2























Du

Dt

p

y

u

x

u

y

u

z

g

y y y y y

 

















 

2 2 2 2 2 2







 













Du

Dt

p

z

u

x

u

y

u

z

g

z z z z z

 

















 

2 2 2 2 2 2

a 2 dimensões:

 

 

0       y u x u_x  y  x P dy u u u y dx u u u x x y x x x x _          _           _    _{   } y P dy u u u y dx u u u x y y y y y x _                         _{   }

Equação da energia





i z zz z yz z xz y zy y yy y xy x zx x yx x xx S z u y u x u z u y u x u z u y u x u T k u p Dt Di                                             grad 





i z zz z yz z xz y zy y yy y xy x zx x yx x xx S z u y u x u z u y u x u z u y u x u T k Dt DT c                                          grad



k T



S_i u p Dt Di         grad  

 

2 2 2 2 2 2 2 2 u y u z u x u z u x u y u z u y u x u_x y _{z x} y _{x z} y _{z  }                                                                                  

Equações de conservação (eq Navier-Stokes)

Massa Momentum x Momentum y Energia

 

0     u t   

   

x _x



_ux



_Sx x p u u t u _{ }         grad    

   

y



y



y y _{u S} y p u u t u            grad    

   

iu p

  

u k T



S_i t i _{     }   grad    

Equações de conservação (Simplificações)

Escoamento incompressível (ρ=cte)

Momentum xx

 





0 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0                              z u y u x u k u j u i u k z j y i x u z y x z y x 

   

x _x



_ux



_Sx x p u u t u            grad    _

   

x _x



_ux



_Sx x p u u t u _{ }         grad 1 _  

Equações de conservação (Simplificações)

Escoamento invíscido (Euler)

Momentum xx

   

x x Sx x p u u t u           _{ }

 

 0     u t   

Equações de conservação (Simplificações)

creeping flow (Stokes)

(Re<<1)

Momentum xx

ex: meios porosos, micro fluidos

 

 0     u t   



grad



  0     x x S u x p _

Equações de conservação (Simplificações)

Aproximação de Boussinesq , g cte gravidade em zz

   

i _i



_ui



_Si i p u u t u _{ }         grad    _



g r



grad g S_i   _i   .



g z



z S_z  _z   





z p z g p z z       ~  0  i S

Equações de conservação (Simplificações)

Aproximação de Boussinesq (cont)

se não constante (g cte)

Tratar a parte variável apenas no termo de fonte (massa)





i i i g g g ₀  ₀    



  0



gi  0gi



T T0



Equações de conservação (Simplificações)

Camada limite

* Termo difusivo na direcção principal desprezável * ux >> uy * dp/dy << dp/dx a 2D:

  







 

2 2 y u x p y u u x u u t ux x x y x _x                   _

Equações de conservação

Formulação diferencial Formulação integral Teorema de Gauss

    

 u 



S_ t       grad 

 

_

_

_

_









        CV CV CV CV dV S dV dV u dV t     grad 





   A CV dA dV n a a

Equações de conservação

(significado) Em estado estacionário:





_





_





_             CV A A CV dV S dA dA u dV t  n  n grad  





_





_



     CV A A dV S dA dA u  _  n grad n 

Classificação dos problemas

* Em equilíbrio

* Evolutivos (no tempo)

EQUILÍBRIO Φ=T 0 2 2 2 2       y x  

Classificação dos problemas

EVOLUTIVOS Φ=T 2 2 x t      _ 

Classificação dos problemas (resumo)

Tipo problema Equação Exemplo Condições

Equilíbrio Elíptica 



grad





0 Fronteira Evolutivos com dissipação Parabólica











grad      t Fronteira e iniciais Evolutivos sem dissipação Hiperbólica









grad 2 2 2      c t Fronteira e iniciais Condições de fronteira

Diferenças Finitas

1D

Diferenças Finitas

derivada



  

x x x x x i i x xi                   0 lim

Diferenças Finitas

Séries de Taylor FDS:

    















_H x n x x x x x x x x x x x x x i n n n i i i i i i i i                                                  ! ... ! 3 ! 2 3 3 3 2 2 2

   





_H x x x x x x x x x x x i i i i i i i i i i i                                     3 3 2 1 2 2 1 1 1 6 2     

Diferenças Finitas

BDS: CDS:

   





_H x x x x x x x x x x x i i i i i i i i i i i                                     3 3 2 1 2 2 1 1 1 6 2     

    

 









 





x x



x H x x x x x x x x x x x x x x x x i i i i i i i i i i i i i i i i i i i                                                   3 3 1 1 3 1 3 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 6 2     

Diferenças Finitas

FDS: BDS: CDS: erro:

   

1 1              i i i i i x x x x x   

   

1 1 1 1                i i i i i x x x x x   

   

i i i i i x x x x x              1 1   

 

2 x   

Diferenças Finitas

Aproximação polinomial: outros:

 

 

   

x x x x x x i i i i i              _{ } 6 6 3 2   ₁  ₂ 

  

 



 



  





₁



1 2 2 1 2 1 1 2 1                            i i i i i i i i i i i i x x x x x x x x x x x x    

Diferenças Finitas

Erro por não uniformidade da malha:

se: FDS; BDS i e i r x x    _1



  









x

  

x



x H x x x x x x x i i i i i i i i i i T                                    3 3 1 3 3 1 2 2 1 2 2 1 6 2   





i i e T _x x r            2₂ 2 1   i i T x x           2₂ 2  

Diferenças Finitas

Segunda derivada FDS BDS i i i i i x x x x x                              1 1 2 2   







 





 

1



2 1 1 1 1 1 1 1 2 2                         i i i i i i i i i i i i i i x x x x x x x x x x x    

Diferenças Finitas

Segunda derivada CDS



1 1



2 1 2 1 2 2 2 1                                i i i i i x x x x x   







 





_{1 1}



₁



₁



1 1 1 1 1 1 2 2 2 1                            i i i i i i i i i i i i i i i i x x x x x x x x x x x x x    

 

2 1 1 2 2 2 x x i i i i              _ _ 

Diferenças Finitas

Série de Taylor (erro malha não uniforme)

derivadas cruzadas







 













 



_H x x x x x x x x x x x x x x x x x x i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i                                           3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 2 1                    y x y x   2

Volumes finitos; difusão

Formulação diferencial

Formulação integral

Aplicando o Teorema de Gauss:

    

 u 



S_ t       grad 

 

_

_

_

_









        CV CV CV CV dV S dV dV u dV t     grad 





_





_





_             CV A A CV dV S dA dA u dV t  n  n grad  

Volumes finitos; difusão

Só difusão: a 1D:



grad



 0 





CV A dV S dA _  n

 

ˆ ˆ  0         



i dA S dV x i A   0                      S dV x A x A w e    0           

 

dA S dV x k A_k  

Volumes finitos; difusão

0                      S dV x A x A w e   

Volumes finitos; difusão

                  PE P E e e e x A x A                       WP W P w w w x A x A    

Volumes finitos; difusão

P P u S S dV S_   







 0                   _{u P P} WP W P w w PE P E e e S S x A x A        u E e PE e W w WP w P P w WP w e PE e _{A S} x A x S A x A x _                          _       Agrupando:

onde:

Volumes finitos; difusão

u E E W W P P a a S a       W a a _E a _P w WP w _A x   e PE e _A x   P P W a S a  

Exemplo:

Volumes finitos; difusão

K W/m 1000 m 01 . 0 2 2   k A

Linear

Expandindo em séries de Taylor

Interpolação



_e



P E e e        1                   PE P E e e e x A x A     P E P e e x x x x    



 





... 2 1 ₂ 2                x x x x x_{e P E e} e P E e e      

Up-wind

Expandindo em séries de Taylor

Interpolação

 

 

      0 . se , 0 . se , e E e P e n u n u   









... 2 2 2 2                       x x x x x x e P P e P e    

QUICK (quadratic upwind interpolation) Erro de 3ª ordem!!

Interpolação



D U





U UU



U e  g   g      ₁   ₂ 









x_De x_UU



x_De xUU_UU



x x x x g      1









x_U e x_UUU



x_DD x_UUe



x x x x g      2

TDM (Thomas)

                                                                   n n n n n n n n n b b b b x x x x d l u d l u d l u d 1 2 1 1 2 1 1 1 1 2 2 2 1 1

TDM (Thomas)

i i i i i n n n i i i i i i i i d x u b x n i d b x b m b b u m d d d l m n i 1 1 1 1 1 1 faça 1 até 1 Desde faça 1 até 1 Desde                       3. 2. 1.

Derivada temporal

Integração no tempo

 

_S x T k x t T c_p              

 

 

 

 

                 t Δt t Δt t t Δt t t p dVdt SdVdt x T k x dVdt t T c CV CV CV 

 





 

  _                                   t Δt t t t t e w e w t t t p dt S Vdt x T kA x T kA dV dt t T c 

 

_{dt dV c}

_

_{T T}

_

_V t T c _{p P P} e w t t t p           

 

   0

Onde calcular temperatura?

Integração no tempo







_

 _  

_

                        t Δt t t t t WP W P w PE P E e P P p dt S Vdt x T T A k x T T A k V T T c    0







T T



t dt T _{P P} t t t P    



  0 1  

explicito

Integração no tempo





S x x T T k x T T k x T T k x T T k x t T T c WP W P w PE P E e WP W P w PE P E e P P p                                                                0 0 0 0 0 1 0  





S x x T T k x T T k x t T T c WP W P w PE P E e P P p                                      0 1 0 0 0 0 x k t x c_p     2 

Crank-Nicholson Implícito

Integração no tempo

2 1   k x c t _p 2     1  

Convecção-difusão (estacionário)

Exemplo (1D; s/ termo fonte)

Convecção





_





_



     CV A A dV S dA dA u  _  n grad n 



u



 



 



S   grad





       dx d dx d u dx d _{ } 

 

0  dx u d 

integrando

Convecção



 



w e w e _dx d A dx d A uA uA _                    



uA

 

_e  uA



_w 0

Fluxos nas faces

Convecção

dx D u F   e  



_{E P}



_w



_{P W}



e w w e e F D D F        

 

_{e w}

 

_w e u F u F     w e e e dx D dx D                 0   _w e F F

Interpolação nas faces (diferenças centrais) transporte

Convecção

2 2 P W w E P e           dx u D F Pe    

Interpolação nas faces (upwind) Fluxos faces

Convecção

W w P e      ; 