6. TEORIAS DE POTÊNCIA ELÉTRICA 1

6. TEORIAS DE POTÊNCIA ELÉTRICA

1

A influência de distorções de forma de onda e de assimetrias nos sistemas polifásicos é um assunto quase tão antigo quanto o próprio sistema elétrico de corrente alternada [1-4]. No entanto, a definição de uma teoria de potência que se aplique em tais condições, ainda é um desafio da engenharia elétrica [5-11].

Neste contexto, é importante considerar o estudo das várias propostas de teorias de potência apresentadas ao longo dos últimos anos e da escolha ou aprimoramento daquela que mais se adeque às várias aplicações que uma teoria de potências possa vir a ter, ou seja, projetos e análises em sistemas de energia, projeto de compensadores passivos ou ativos, instrumentos de medição de energia ou monitoração da Qualidade de Energia (QE), eletrônica de potência, etc.

Assim, as próximas seções discutem a aplicação dos conceitos clássicos de potência e fator de potência, considerando inicialmente instalações com tensões senoidais e equilibradas e cargas lineares, evoluindo para o caso no qual as tensões de fornecimento podem ser assimétricas e as cargas não-lineares. Com isto, pretende-se demonstrar a necessidade de rever os conceitos de potência e fator de potência para tais condições de operação. Em seguida, as propostas de maior destaque internacional são discutidas e os pontos de convergência, apontados.

6.1 GENERALIZAÇÃO DOS CONCEITOS CLÁSSICOS DE POTÊNCIA

Até poucas décadas atrás, a grande maioria das cargas elétricas previa o uso de corrente contínua ou alternada senoidal "pura". Em função disso, os conceitos de potência ativa e reativa eram associados a essas duas formas "ideais" de tensão e corrente. No entanto, com o uso das técnicas não-lineares de controle eletrônico (retificação, inversão, chaveamento, etc.), começaram a aparecer aplicações em que outras formas de onda são utilizadas. Nestes casos, tornou-se necessário analisar a potência elétrica sob nova ótica, já que algumas parcelas adicionais podem se manifestar na forma de potências oscilatórias. Esse é o caso, por exemplo, de distorções harmônicas na corrente ou na tensão da rede e nas situações com desequilíbrio entre as fases.

Como a presença de harmônicos afeta a medida das grandezas elétricas básicas como tensão e corrente eficaz, torna-se importante estabelecer com clareza quais os efeitos indesejados que são provocados pelas formas não senoidais. Esse vai ser o tema de discussão deste Capítulo.

O objetivo principal é poder generalizar os conceitos tradicionais de potência ativa, reativa, aparente, média e instantânea, de maneira que assumam significado físico e possam ser utilizados para fins de controle ou de compensação das parcelas indesejadas.

Notação adotada:

• Variáveis temporais são representadas através de letras minúsculas (v, i, p, p~ );

• Grandezas médias e valores eficazes são representados através de letras maiúsculas ou por letra minúscula barrada (V,I,P, p );

• Fasores são representados através de letras maiúsculas, em negrito (V,I);

1 _{A elaboração deste capítulo contou com a participação do Prof. Dr. Fernando Pinhabel Marafão, da UNESP, a} quem agradecemos a cortesia pela cessão de conteúdo e resultados, principalmente na parte referente à teoria CPT e à comparação entre as teorias [54,55].

• Grandezas vetoriais (multivariáveis) são representadas através de letras em negrito e com ponto superior (v_&,V&,&,iI&_);

• Parâmetros reais e grandezas complexas também são representados por letras maiúsculas (S=P+jQ, Z=R+jX , Y=G+jB);

• Indicadores são representados por siglas maiúsculas (FP, FD, DHTV, DHTI).

Simbologia:

v, V, v &&,V tensões instantâneas e eficazes mono ou multivariáveis (V); i, I, i &&, I correntes instantâneas e eficazes mono ou multivariáveis (A); p, P potência ativa instantânea e média (W);

q, Q potência reativa instantânea e máxima (Var); s, S potência aparente instantânea e média (VA); FP, FD fator de potência e fator de deslocamento; Z, R, X impedância, resistência e reatância;

Y, G, B admitância, condutância e susceptância; DHTV, DHTI distorção harmônica total de tensão e corrente (%)

ω

freqüência angular (rd/s);

ϕ

ângulo de fase entre tensão e corrente senoidais (°);

I* corrente complexa conjugada; T período do sinal periódico.

6.1.1 Sistemas Senoidais Monofásicos: Definições e interpretação física

6.1.1.1 Potência instantânea monofásica

A potência instantânea transferida entre uma fonte e uma carga bipolar é definida pelo produto dos sinais de tensão e corrente:

v

i

Fonte _Carga

Figura 1 - Sistema de alimentação monofásica.

i

.

v

Esta definição aplica-se tanto para corrente contínua como alternada. Notar que a potência expressa o efeito combinado da fem (força eletromotriz) disponível entre os terminais no ponto de medição e a corrente que circula através da carga por conta dessa fem.

Caso monofásico senoidal:

Considerando que o sistema é monofásico senoidal, com a tensão e corrente dadas por:

v

(

t

)

=

V

_p

sen

ω

t

=

2

V

sen

ω

t

(2)

)

t

(

sen

I

2

)

t

(

sen

I

)

t

(

i

=

_p

ω

−

ϕ

=

ω

−

ϕ

(3)

onde: Vp , Ip são os valores de pico ou máximos das ondas senoidais;

e V , I são os valores eficazes das ondas senoidais.

O valor eficaz corresponde ao valor quadrático médio, definido para um sinal senoidal com período T, como sendo:

2

V

V

2

1

dt

v

T

1

V

_T p2 p 2

₌

₌

=

∫

₍₄₎

A potência instantânea, portanto, será dada por:

)

t

sen(

I

.t

sen

V

)

t

(

p

=

_p

ω

_p

ω

−

ϕ

(5)

desenvolvendo o produto, resulta:

[

VI .cos VI cos(2 t )

]

2 1 ) t ( p = p p ϕ − p p ω −ϕ (6)

ou, em termos dos valores eficazes:

) t 2 cos( VI cos VI ) t ( p = ϕ − ω −ϕ (7) ou ainda t 2 sen . sen VI ) t 2 cos 1 ( cos VI ) t ( p = ϕ − ω − ϕ ω (8)

Percebe-se de (6) ou (7) que a potência instantânea contém uma parte constante e uma parte oscilatória com o dobro da freqüência (2ω) das ondas de tensão e corrente.

A parte constante corresponde ao valor médio por período T:

∫

= = ϕ = T dt i. v T 1 P cos VI p (9)

e a parte oscilatória vale:

) t 2 cos( VI p~=− ω −ϕ (10)

Essa parte oscilatória pode ainda ser desenvolvida na forma: t 2 sen . sen VI t 2 cos . cos VI p~=− ϕ ω − ϕ ω (11)

Verificamos, portanto, que a parte oscilatória é composta de duas parcelas que oscilam em quadratura: uma parcela oscila com cos2ωt e vale P=VIcosϕ e a outra parcela oscila com sen2ωt e vale VIsenϕ. Essa segunda parcela que oscila em quadratura com a potência ativa P, é chamada de potência reativa:

ϕ =VIsen

Q (12)

Portanto, em termos das potências média (ativa) e reativa, a potência instantânea (8) pode ser expressa como sendo:

t 2 sen . Q ) t 2 cos 1 ( P ) t ( p = − ω − ω (13)

Como se vê na figura 2, a corrente pode ser decomposta em uma parcela senoidal em fase com a tensão e um segundo termo em quadratura com o primeiro. A parcela I da potência é devida exclusivamente à parte da corrente em fase com a tensão, enquanto a parcela II se deve ao termo em quadratura.

Figura 2 - Formas de onda de tensão, corrente e parcelas de potência instantânea.

6.1.1.2 Análise da potência em termos de fasores

A tensão e a corrente senoidais das equações (2) e (3), podem ser representadas através dos fasores correspondentes no plano complexo:

0 V V& = ∠ (14) ϕ − ∠ = I I& (15)

Define-se a potência aparente complexa S como sendo o produto:

ϕ

+

ϕ

=

ϕ

∠

=

=

V

.

I

V

I

VI

cos

jVI

sen

S

_&

_&

*

(16) Portanto, considerando as equações (9) e (12) concluímos que a potência aparente complexa é dada por:

jQ

P

S

=

+

(17)

Usualmente o módulo da potência complexa, dado pelo produto dos valores eficazes da tensão e da corrente é denominado potência aparente. Os valores eficazes das grandezas são importantes para a especificação de uma instalação, ou seja, a bitola dos condutores é determinada pelo valor eficaz da corrente que deverá circular pelos mesmos, enquanto a tensão define a isolação necessária entre os condutores.

As potências ativa e reativa correspondem às projeções de S nos eixos real e imaginário do plano complexo, formando o triângulo de potências. Para relacionar as parcelas de potência do plano complexo com as do domínio do tempo, temos que lembrar da analogia com os vetores girantes usados na análise fasorial. A figura 3 mostra essa relação:

Figura 3 - Parcelas ortogonais de potência no plano complexo.

A evolução temporal das parcelas associadas a P e Q , de acordo com a figura (3), pode ser interpretada da seguinte forma: enquanto os círculos representam, no plano complexo, o Lugar Geométrico (LG) das parcelas girantes Qej2ωt _e

P(1- ej2ωt), as projeções ortogonais

ℑm[Qe

j2ωt ] = Q.sen2ωt e

ℜe[P(1- e

j2ωt_{)] = P(1-cos2ωt) representam as variações temporais desses vetores} girantes sobre os eixos do plano complexo.

Para encontrar a evolução temporal de S = P + jQ, é necessário fazer a soma temporal das ondas em quadratura Q.sen2

ωt

e P(1-cos2

ωt).

Naturalmente essa soma deve fornecer p, como mostrado na figura (4).

Figura 4 - Interpretação de p no plano complexo.

É interessante notar que, de acordo com a figura 4, deve haver uma distinção ente os conceitos de p(t) e s(t) já que P e S correspondem a círculos distintos. O LG de p(t) deve ser o círculo com raio P, enquanto que o LG de s(t) deve ser o círculo de raio S. Da mesma forma, o LG de q(t) deve ser o círculo de raio Q. Além de preservar as relações de quadratura no plano complexo das amplitudes das parcelas S = P + jQ, essa notação também preserva a relação de ortogonalidade no domínio do tempo, adotando-se as seguintes definições:

s(t) = p(t) + q(t) = P(1- cos2ωt) – Qsen2ωt (18)

p(t) = P(1-cos2ωt) (19)

q(t) = -Qsen2ωt (20) e, para manter a consistência, deve-se utilizar as seguintes formas matemáticas para relacionar tensão e corrente com as parcelas da potência instantânea:

s(t) = v(t).i(t) (21)

p(t )= v(t)• i(t) (22)

q(t) = v(t) x i(t) (23) onde (• ) significa produto escalar e (x) significa produto vetorial.

Como no produto escalar a contribuição do termo em quadratura é nula, essa operação automaticamente fornece apenas o produto das componentes em fase de v(t) e i(t). No produto vetorial, ao contrário, é a contribuição das componentes de v(t) e i(t) que estão em fase que se anula, sobrando apenas a das parcelas ortogonais entre si.

Estas considerações mostram que o problema com as teorias de potência instantânea já começam com as definições mais elementares adotadas tradicionalmente. Nos próximos itens veremos que os problemas com tais discrepâncias conceituais ainda se ampliam à medida que se tenta estender os conceitos para sistemas não senoidais, trifásicos e desbalanceados.

6.1.1.3 Potência consumida pela carga, perdas de transmissão e de geração

Voltando ao exemplo inicial, vamos considerar uma impedância ZS representando a rede de

alimentação, uma impedância ZG representando a fonte e uma impedância ZCrepresentando a

carga: v i Fonte ZG Carga ZS ZC e 1 2

Figura 5 - Sistema monofásico com perdas.

Se a tensão for medida no ponto 2, então o produto v.i mede a potência efetivamente consumida pela carga. Se, por outro lado, a tensão for medida no ponto 1, o produto v.i mede, além da potência consumida pela carga, também as perdas de transmissão na rede. O produto e.i inclui também as perdas de geração da fonte. Portanto, a potência obtida depende do ponto de medição escolhido. Quando as perdas a considerar são importantes, deve-se escolher cuidadosamente o ponto de medição. Uma escolha inadequada do ponto de medição pode gerar erros de tarifação e/ou de escolha do sistema de condicionamento de energia.

É claro que se a impedância e a corrente na rede forem conhecidas é possível calcular as perdas ôhmicas (as mais importantes em baixa tensão) através da relação:

∆ p = RS .i 2 (24) e, neste caso, saberíamos a potência instantânea consumida pela carga (pc), mesmo medindo a

tensão no ponto 1, pois:

pc = v1.i - ∆p (25)

No caso monofásico, Rs deve incluir a resistência dos dois condutores (ida e volta da corrente).

6.1.1.4 Fator de potência

Define-se como Fator de Potência (FP) a relação entre a potência ativa e a aparente:

S P

FP = (26)

Para o caso monofásico senoidal, essa relação também pode ser escrita como sendo: cos 1,0

VI cos VI

FP= ϕ= ϕ≤ (27)

Percebe-se que o FP mede a fração da potência máxima que poderia ser transferida, considerando as magnitudes de tensão e corrente dadas. A fração deixa de ser máxima quando a potência reativa é diferente de zero, ou seja, pode-se dizer que a potência reativa reduz o fator de utilização da linha. Essa é uma razão importante para se querer reduzir a circulação de potência reativa na rede. Além disso, a potência reativa, por ser uma energia oscilatória, com média nula, teoricamente não necessita de fonte primária de energia para existir. Basta excitar os campos

elétricos (em capacitâncias) ou magnéticos (em indutâncias) com tensões senoidais para essa energia reativa se estabelecer.

A rigor, portanto, não dá para eliminar a potência reativa de um circuito de corrente alternada, apenas se pode restringir o seu efeito, associando elementos reativos de forma a trocarem de energia reativa entre si. Esse é o processo de compensação reativa ou de correção de FP, realizado ao se instalar bancos de capacitores próximo de cargas indutivas (motores, reatores, indutores, etc).

6.1.1.5 Princípio da correção do FP

Um motor de indução é uma carga típica com FP indutivo (corrente atrasada em relação à tensão aplicada). Essa situação, comum em instalações industriais, causa um baixo FP, com “absorção” de potência reativa (Q>0). Para compensar o baixo FP conecta-se um capacitor em paralelo com o motor, de modo que a potência reativa “fornecida” pelo capacitor seja igual à potência reativa requerida pelo motor, como ilustrado nas Figuras 6 e 7.

v

i

Fonte

C

Motor

Figura 6 - Correção de FP de motor CA.

Sm Pm = Smin Qm Qcap =- Qm ϕ Antes da compensação: ϕ = = cos S P FP m m m Depois da compensação:

0

,

1

S

P

FP

min m max

=

=

Figura 7 - Compensação Reativa de Carga Indutiva.

Se, antes da compensação, a corrente na fonte estava atrasada de um ângulo ϕ em relação à tensão, após a compensação a corrente está em fase com a tensão. Considerando que a potência útil do motor não mudou, pode-se concluir que a corrente na fonte, após a compensação, ficou reduzida para seu valor mínimo, dado por:

ϕ = ϕ = = = Icos V cos VI V P V S I min min (28)

Portanto, a compensação do FP traz como benefício para a concessionária, a minimização da corrente na rede para o atendimento de uma dada carga P, alimentada na tensão V. Além de reduzir as perdas de transmissão, resulta uma folga na capacidade da linha, que permite atender novos consumidores, utilizando os mesmos condutores.

6.1.1.6 Efeito de harmônicas na rede monofásica

Vejamos o que ocorre se adicionarmos, por ex., uma 3a. harmônica na tensão medida, ou seja:

t

3

sen

V

t

sen

V

)

t

(

v

=

_1p

ω

₁

+

_3p

ω

₁ (29)

O valor eficaz dessa função periódica com período T será dado por:

(

)

2 3 2 1 2 p 3 2 p 1 T 2 _{V V V V} 2 1 dt v T 1 V=

∫

= + = + (30)

Essa expressão corresponde ao teorema de Pitágoras para o triângulo retângulo e mostra que a soma das magnitudes das tensões harmônicas não é direta, mas sim ortogonal,conforme figura 8:

V

V1

V3

Figura 8 - Valor eficaz de tensões harmônicas.

Essa conclusão pode ser estendida para um número qualquer N de harmônicas e se aplica também para correntes:

∑

= = N 1 h 2 h V V (31)

∑

= = N 1 h 2 h I I (32)

Neste ponto vale a pena introduzir o conceito de Distorção Harmônica Total (DHT) de tensão e de corrente: ₂ 1 50 2 h 2 h V _V V DHT

∑

= = (33) ₂ 1 50 2 h 2 h I I I DHT

∑

= = (34)

Essas duas grandezas, normalmente dadas em porcentagem, medem a razão entre a magnitude equivalente das 50 primeiras harmônicas em relação à magnitude da fundamental.

O que acontece quando se aplica uma tensão com harmônicas a uma carga? Vamos supor que a carga seja linear, com impedância Z=R+j

ωL. Supondo que R independa da freqüência,

teremos diferentes impedâncias para diferentes freqüências: L

j R

L

3

j

R

Z

₃

=

+

ω

₁ para h = 3 (36)

Conclui-se que o circuito se apresenta bem mais “indutivo” para as harmônicas do que para a fundamental (XL3 = 3XL1). Para elementos capacitivos, ocorre o contrário, a reatância diminui com o aumento da ordem harmônica (XC3 = 1/(3ω1C) = XC1/3).

Isto significa que as correntes harmônicas, além de terem suas amplitudes diminuídas em circuitos indutivos, sofrerão aumentos dos ângulos de atraso em relação às respectivas tensões harmônicas. Em circuitos capacitivos, a amplitude das correntes harmônicas aumenta proporcionalmente à ordem harmônica, ao passo que a defasagem diminui. Por essa razão os capacitores correm o risco de sofrer sobre-corrente quando submetidos a tensões distorcidas.

A potência em uma carga do tipo RL, nessas condições, pode ser expressa por:

)]

t

3

sen(

I

)

t

sen(

I

).[

t

3

sen

V

t

sen

V

(

vi

)

t

(

p

=

=

_1p

ω

₁

+

_3p

ω

_{1 1p}

ω

₁

−

ϕ

₁

+

_3p

ω

₁

−

ϕ

₃ (37) ou 1 i 3 v 3 i 1 v 3 i 3 v 1 i 1 v ) 3 i 1 )(i 3 v 1 (v vi p(t)= = + + = + + + (38)

Os dois primeiros termos de (38) podem ser interpretados como potências instantâneas da fundamental e da 3a. harmônica. Essas parcelas oscilatórias senoidais são do mesmo tipo já analisado anteriormente, e podem apresentar valor médio (P1 e P3) e parcela em quadratura (Q1 e Q3). Muda apenas a freqüência com que oscilam (2ω1 e 6ω1).

Os dois últimos termos correspondem à interação de freqüências distintas de tensão e corrente. Essas parcelas são oscilatórias e apresentam, por definição, valor médio nulo por período, uma vez que:

∫

ω ω =

Tsen a .tsen b .tdt 0 para ωb = kωa, k inteiro (39)

É muito difícil representar tais parcelas no plano complexo, justamente por oscilarem em freqüências distintas. Essa é uma das razões que complicam a sua visualização e interpretação física.

No entanto, os valores médios podem ser obtidos e interpretados com relativa facilidade como sendo: 3 1 3 3 3 1 1 1I cos V I cos P P V P= ϕ + ϕ = + (40) 3 1 3 3 3 1 1 1Isen VI sen Q Q V Q = ϕ + ϕ = + (41)

Notar que P1 e P3 são, de fato, somáveis, por serem médias temporais constantes. No entanto, Q1 e Q3 a rigor não são somáveis por se tratar de parcelas de potência que oscilam com freqüências distintas. A soma Q, portanto, não tem um significado físico que sirva para compensação reativa.

Por essa mesma razão, a potência aparente complexa dada por S = V.I* também não tem uma interpretação física clara. Se analisarmos o produto de fasores complexos:

S V.I* P jQ + =

= (42)

(

)(

23

)

2 1 2 3 2 1 2 _{V V .I I} S = + + (43)

e assumindo que os produtos de termos cruzados não contribuem para os valores médios, resulta: 2 3 2 1 2 3 2 3 2 1 2 1 2 _{V I V I S S} S = + = + (44) e, portanto: 2 3 2 1 2 3 2 1 2 Q Q P P S = + + + (45) S1 P1 Q1 S3 P3 Q3 S

Figura 9 - Potências aparente, ativa e reativa para sinais com 3a harmônica.

Apesar de ser comum encontrar esse tipo de figura (planar) para representar a combinação das potências, ela pode estar errada se levarmos em conta que as potências reativas, devidas às freqüências distintas, não são colineares, como representado, mas sim ortogonais, gerando uma representação espacial: S1 P1 Q1 S3 P3 Q3 S

Figura 10. Soma em quadratura das potências médias.

Podemos agora perceber a dificuldade em definir o FP na presença de harmônicas. O que seria a relação seguinte?

S

P

P

S

P

FP

₌

₌

1

+

3 (46)

Temos que lembrar que essas relações fasoriais correspondem apenas às parcelas médias por período (obtidas em função de valores eficazes das tensões e correntes). Os produtos cruzados nessa contas não são nulas instantaneamente, o que significa que podem existir interações entre freqüências que não estão sendo computadas através dos valores médios.

6.1.2 Extensão dos conceitos para sistemas trifásicos balanceados

Define-se como trifásico senoidal balanceado um sistema composto por três circuitos iguais interligados entre si na forma estrela (Y) ou triângulo (∆), e alimentado por três fontes alternadas senoidais com mesmas amplitudes e defasadas de 120o entre si.

va ia Fase A ZG ZS ZC ea 1 2 vb ib Fase B ZG ZS ZC eb 1 2 vc ic Fase C ZG ZC ec 1 ZS 2 Zn Neutro _i n

Figura 15. Sistema trifásico com retorno.

No caso senoidal balanceado, com seqüência a,b,c no sentido trigonométrico, teremos:

ea = 2 E senωt (62)

eb = 2E sen(ωt-120o) (63)

ec = 2 E sen(ωt-240o) (64)

No sistema balanceado a soma das tensões e correntes instantâneas é zero:

ea+ eb+ ec = 0 (65)

ia+ ib+ ic = in = 0 (66)

va+ vb+ vc = 0 (67)

Como não há corrente de retorno, também não há queda de tensão no neutro. Aliás, o condutor de retorno pode ser eliminado, sem afetar a operação balanceada.

A potência trifásica no ponto de medição 2 será definida como a soma das potências instantâneas nas três fases a,b,c:

c c b b a ai. v i. v i. v p= + + (68)

− − ω − + − ω − + ω −

=P{[1 cos2 t] [1 cos2( t 120)] [1 cos2( t 240)]} p

)]

240

t

(

2

sen

)

120

t

(

2

sen

t

2

[sen

Q

ω

+

ω

−

+

ω

−

−

(69) ou ainda: − − ω + − ω + ω −

=3P P[cos2 t cos2( t 120) cos2( t 240)] p

)]

240

t

(

2

sen

)

120

t

(

2

sen

t

2

[sen

Q

ω

+

ω

−

+

ω

−

−

(70)

Figura 16 - Potências trifásicas instantâneas como vetores girantes no plano complexo. É fácil verificar que cada soma entre colchetes em (70) resulta zero. Portanto, a potência trifásica reduz-se a:

p = 3P (71)

ou seja, a potência trifásica instantânea no caso equilibrado é constante e igual à potência média das três fases. Ao contrário do sistema monofásico, a potência instantânea transferida das fontes para as cargas no sistema trifásico senoidal balanceado não é oscilatória. Essa tem sido a grande motivação para se buscar manter o sistema trifásico senoidal e balanceado.

Notar que as partes oscilatórias, proporcionais a P e Q, somam zero, restando apenas o valor correspondente ao centro do círculo de raio P, sobre o eixo real, e que vale 3P.

6.1.2.1 Energia ativa: parcela consumida pela carga, perdas de geração e transmissão

Da mesma forma que no caso monofásico, a parcela consumida pelas cargas é dada pelo produto das tensões medidas junto à carga (ponto 2) pelas correntes das respectivas fases.

Se as tensões forem medidas no ponto 1, estaremos incluindo as perdas de transmissão, sobre ZS. Como o sistema é balanceado não há perdas no neutro (in = 0) e só haverá perdas nos

condutores das fases.

Se utilizarmos as tensões das fontes no produto com as correntes, estaremos incluindo também as perdas de geração (ZG). Em todos os casos teremos potências trifásicas não oscilatórias (constantes), enquanto o sistema for senoidal e balanceado.

6.1.2.2 Energia reativa: parcelas utilizadas pelas cargas, pela geração e transmissão

Uma vez que o cálculo da potência instantânea fornece apenas a potência ativa P, como se obtém a potência reativa Q no sistema trifásico?

Para isso vamos fazer o cálculo da potência complexa utilizando fasores. Sabemos que o produto do fasor tensão de fase pelo conjugado do fasor corrente da mesma fase dá a potência aparente dessa fase. Portanto, no caso trifásico balanceado, devemos obter a soma das 3 fases:

* * * 3

Sa

Sb

Sc

Va

.

Ia

Vb

.

Ib

Vc

.

Ic

S

=

+

+

=

+

+

(72) =VI.∠ϕ+(V∠−120).(I∠120+ϕ)+(V∠−240).(I∠240+ϕ) (73) =3VI∠ϕ=3(VIcosϕ+jVIsenϕ) (74) =3 +P j3Q (75) Notar que essa soma é diferente da anterior (69) no domínio do tempo, onde as potências reativas das três fases se cancelavam ao longo do tempo. Nesta soma complexa se apresentam as demandas de potências ativa e reativa das três fases separadamente.

Discutir sobre a conveniência ou não dessa representação para o caso trifásico é importante, porque ela esconde o fato de que se pode compensar a demanda instantânea de reativos das fases sem a necessidade de elementos armazenadores de reativos, já que a soma instantânea é zero no caso senoidal balanceado. Essa interação entre fases também é um fenômeno complexo de se interpretar na presença de harmônicas.

Bastaria teoricamente utilizar chaves (eletrônicas) para fazer a transferência de reativos de uma fase para a outra, pois a todo instante se dispõe de reativos positivos (indutivos) e negativos (capacitivos) em alguma das fases. Através de uma lógica de chaveamento adequada se buscaria, a cada instante, os reativos necessários na fase onde estivessem disponíveis. Essa possibilidade só foi vislumbrada por Akagi/Nabae em 1983 [12], como será explorado adiante.

6.1.3 Potência e fator de potência em sistemas trifásicos desbalanceados

No caso das tensões ou correntes estarem desbalanceadas temos que analisar se o sistema tem ou não condutor de retorno. Caso haja condutor de retorno, haverá corrente nesse condutor, dada pela soma das correntes nas fases.

ia+ ib+ ic = in ≠ 0 (76)

Da análise de componentes simétricos [1], que essa soma corresponde a 3i0. Também sabemos que as componentes de seqüência positiva e negativa podem ser obtidas respectivamente pelas seguintes somas das tensões de fase:

(

c

)

2 b a a ₃ i ai. a i 1 i+ = + + (77)

(

2 _{b c}

)

a a i a i. ai. 3 1 i− = + + (78) onde a = e j120° é um operador de ganho unitário, que adianta a fase em 120°.

Pode-se mostrar que vale a soma:

0 a ia ia ia

Essa decomposição também pode ser aplicada para as tensões trifásicas desequilibradas. No caso de se medir as tensões de fase e de neutro com relação a uma referência comum qualquer (zero virtual), podemos expressar a potência trifásica em termos dos componentes simétricos, resultando: ) i. v i. v i. v ( 3 i. v i. v i. v i. v p 0 a 0 a a a a a n n c c b b a a + + + = + + = + + − − (80)

ou, desenvolvendo a tensão e corrente de neutro:

)

i

i

i

).(

v

v

v

(

i.

v

i.

v

i.

v

p

=

_{a a}

+

_{b b}

+

_{c c}

+

_a

+

_b

+

_{c a}

+

_b

+

_c (81)

)

i

i(

v

)

i

i(

v

)

i

i(

v

)

i.

v

i.

v

i.

v

(

2

p

=

_{a a}

+

_{b b}

+

_{c c}

+

_{a b}

+

_c

+

_{b a}

+

_c

+

_{c a}

+

_b (82) ou

)

v

v

(

i

)

v

v

(

i

)

v

v

(

i

)

i.

v

i.

v

i.

v

(

2

p

=

_{a a}

+

_{b b}

+

_{c c}

+

_{a b}

+

_c

+

_{b a}

+

_c

+

_{c a}

+

_b (83) No caso balanceado, as somas duplas entre parênteses fornecem o negativo da terceira variável (p.ex. ia+ib = -ic ou va+vb = -vc., de modo que essas parcelas se cancelam com a

primeira parte, resultando a expressão usual da potência p=3P, vista anteriormente.

No caso desbalanceado, todas as parcelas resultam oscilatórias, cuja soma não é constante como no caso balanceado. Quanto mais desequilibrado maior a amplitude da oscilação de potência resultante. Como todos os termos em (83) são produtos de senóides com freqüência fundamental, essas oscilações tem o dobro da freqüência fundamental, como no caso monofásico.

6.1.3.1 Efeito do desbalanceamento sobre sistemas trifásicos

Conclui-se que basta o sistema estar desequilibrado para que a potência trifásica se torne oscilatória. Isto tem um sério e indesejável impacto sobre motores elétricos, que desenvolvem conjugado oscilatório, mesmo sob carga mecânica constante.

No caso de sistemas de proteção, o desbalanceamento pode causar desligamento por sub ou sobretensão, e nos sistemas de medição pode causar erros causados por mau funcionamento do instrumento (elementos de indução), como também pelo tipo de conexão dos TP´s (∆ ou Y), que filtram componentes de seqüência zero.

Com base na análise monofásica, podemos escrever as potências por fase como sendo: p=P_a[1−cos(2ωt+ϕ_a)]+P_b[1−cos(2ωt+ϕ_b−120)]+P_c[1−cos(2ωt+ϕ_c−240)]−

) 240 t 2 sen( Q ) 120 t 2 sen( Q ) t 2 sen( Q_a ω +ϕ_a − _b ω +ϕ_b− − _c ω +ϕ_c− − (84)

onde ϕa, ϕb, ϕc, são os ângulos entre as tensões e correntes das respectivas fases. Pa = Va Ia cosϕa é a potência média na fase a

Qa = Va Ia senϕa é a potência reativa na fase a

A potência média corresponde à soma das potências ativas das 3 fases: c

b

a P P

P

p = + + (85)

Para assinalar que existe uma parcela oscilatória, costuma-se representar as partes como sendo:

p~

p

p

=

+

(86)

Figura 17 - Representação das potências para o caso desequilibrado.

p

tempo

P

p

=

p

~

Figura 18 - Potência trifásica média e oscilatória.

Uma vez que a potência trifásica não explicita as parcelas reativas. Para se achar tais valores, costuma-se recorrer ao cálculo por fasores, como no caso equilibrado:

* * * 3 Sa Sb Sc Va.Ia Vb.Ib Vc.Ic S = + + = + + (87)

)

I

V

I.

V

I.

V

_{a a}

∠

ϕ

_a

+

_{b b}

∠

ϕ

_b

+

_{c c}

∠

ϕ

_c

=

(88)

Por analogia ao caso equilibrado temos que:

)

Qc

Qb

Qa

(j

Pc

Pb

Pa

jQ

P

S

₃

=

₃

+

₃

=

+

+

+

+

+

(89)

Sc Sb Sa Pc Pb Pa S P FP 3 3 3 + + + + = = (90)

Notar que esse valor pode ser calculado como uma média por período T em função dos valores eficazes das tensões, correntes e respectivas defasagens.

A equação (89) sugere uma soma direta das potências por fase, cuja representação gráfica é mostrada na figura seguinte:

S

3

Qa+Qb+Qc

Pa+Pb+Pc

Q

3

P

3

Figura 19 - Potências trifásicas para o caso desbalanceado (no caso balanceado as potências por fase são iguais).

6.1.3.2 Compensação reativa trifásica

Parece óbvio que a correção do FP trifásico, tanto no caso balanceado como desbalanceado, requer o cancelamento das potências reativas das três fases. No caso balanceado isso pode ser obtido pela conexão de capacitores (iguais) em paralelo com a carga. No caso desbalanceado a compensação exigiria capacitores distintos por fase, e isso perpetuaria a condição de desequilíbrio da rede. O melhor que se pode fazer nesse caso é conectar capacitores iguais, calculados pela potência reativa média. Isso não compensa o FP de cada fase, porém não introduz novo desequilíbrio na rede. Pode-se perceber que a fase a será sobre-compensada enquanto que a fase b será sub-compensada.

b

a

Q

3

/3

S

3

P

3

/3

Q

3

P

3

Figura 20. Compensação reativa pela média das 3 fases.

6.1.4 Potência e Fator de Potência em Sistemas Trifásicos Desbalanceados e com Formas de Onda Não-Senoidais

Ainda falta analisar o efeito de harmônicas no sistema trifásico, balanceado ou desebalanceado. No entanto, como vimos para o caso monofásico, as análises com componentes

harmônicas são bem mais complexas, devido às interações entre freqüências. No caso trifásico, essa situação se complica ainda mais, pois existem também interações entre as fases.

A questão central é: como se pode medir e compensar a potência não-ativa e o FP nessas

condições?

A teoria tradicionalmente mais aceita e utilizada, no tratamento deste caso geral, é a teoria proposta por Budeanu em 1927 [3]. Muitas normas e recomendações para medição, tarifação e compensação de energia, assim como grande parte dos equipamentos disponíveis no mercado, baseiam-se nos conceitos definidos por este autor. Entretanto, como será discutido a seguir, tal teoria apresenta vários pontos equivocados e pode levar a conclusões enganosas, principalmente em relação à compensação de reativos e distorções do sistema. Desta forma, faz-se necessário o estudo de teorias alternativas e a definição e validação de novos conceitos.

6.2 TEORIAS DE POTÊNCIA PARA CIRCUITOS TRIFÁSICOS NÃO-LINEARES

Ao longo dos últimos cem anos, mas sobretudo nas últimas três décadas, diversas contribuições têm sido apresentadas e as principais propostas vêm de especialistas de três grandes grupos de estudos: o grupo de estudos do IEEE para Situações Não-Senoidais, o qual é presidido pelo professor Alexander E. Emanuel [5,13,14]; o grupo de estudos presidido pelo professor Alessandro Ferrero, o qual vem se reunindo na Itália a cada dois anos, desde 1991, em encontros específicos sobre definições de potência (International Workshop on Power

Definitions and Measurements under Non-sinusoidal Conditions) [6,15-20]; e por fim, apesar de

não constituírem um grupo formal, destacam-se os esforços de vários pesquisadores sobre as propostas de teorias de potências instantâneas, principalmente relacionando definições de potência, com técnicas de filtragem ativa [12,21-25].

Buscando discutir, identificar as possíveis fontes de confusões e eventuais soluções para as questões anteriores, este capítulo apresenta um histórico detalhado de algumas teorias e o cálculo de potência sob condições não-ideais de transferência de energia.

As definições e comentários apresentados a seguir têm o objetivo de criar um contexto no qual se possa observar as diferentes linhas de pesquisa e identificar as semelhanças e diferenças entre elas, principalmente no que tange o objetivo pelo qual cada proposta de teoria de potência foi desenvolvida (medição, análise, tarifação ou compensação).

A seguir, as principais teorias serão analisadas de acordo com o domínio do equacionamento proposto, domínio da freqüência ou do tempo.

6.2.1 Ferramentas matemáticas básicas

Antes de iniciar o estudo das propostas de teoria de potência mais relevantes, faz-se necessário uma breve revisão de alguns conceitos matemáticos, os quais foram utilizados por diferentes autores para a definição de diversas parcelas de potência.

6.2.1.1 Valor Eficaz ou Valor RMS

O valor eficaz por fase e por freqüência harmônica é dado por: 2 0 1 . T h h V v dt T =

∫

(91)

Onde “V” representa o valor eficaz e “v” representa a variável instantânea. O valor eficaz total por fase pode ser calculado como:

∫

= T 0 2_(t)dt v T 1 V ( 92)

Note que este valor total é diferente da simples soma dos valores eficazes de cada componente espectral.

6.2.1.2 Série Trigonométrica e Transformada de Fourier

Através da Série Trigonométrica de Fourier pode-se decompor um sinal temporal periódico qualquer f(t), em um somatório de sinais temporais de freqüências distintas, múltiplas entre si, ou seja: 0 0 0 1 ( ) [ cos( . . ) sin( . . )] 2 h h h a f t a hω t b hω t ∞ = = +

∑

+ (93) 0 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) _h( ) f t = f t + f t + f t +Lf t (94)

Por outro lado, a Transformada de Fourier permite efetuar uma decomposição correspondente, mas neste caso, no domínio da freqüência, ou seja:

1 2

( ) ( ) ( ) h( )

F jω =F jω +F jω +L+F jω (95)

Figura 21 – Função temporal composta por fundamental e terceira harmônica

6.2.1.3 Álgebra Vetorial

Considerando dois vetores tridimensionais instantâneos (v, i), tais como: a b c v v v v     =       a b c i i i i     =       (96)

o produto escalar entre os dois vetores é definido como:

. . . ( )

a a b b c c

v i⋅ =v i +v i +v i = p t (97)

e equivale ao produto do vetor v pelo vetor i transposto: _v.i T

A Norma Euclidiana ou Norma 2 destes mesmos vetores pode ser calculada como:

2 2 2

( ) a b c

v = v v⋅ = v +v +v . (98)

Outra definição importante é a de ortogonalidade de vetores. Diz-se que dois vetores são ortogonais se satisfazem a seguinte relação (o valor médio do produto escalar é nulo):

0 0 1 1 ( ) ( . . . ) 0 T T a a b b c c v i dt v i v i v i dt T

∫

⋅ ⊥ =T

∫

+ + = (99)

Assim, se for possível decompor um sinal qualquer em uma parcela proporcional e outra ortogonal ao sinal original, tem-se:

v v i⇒i +i_⊥ (100) onde: 2 2 2 v v i = i + i_⊥ (101) v v v v i⋅ = ⋅v i + ⋅v i_⊥ = ⋅v i (102) pois v i⋅ ⊥v = 0 (103)

6.2.1.4 Valores Coletivos (Buchholtz)

Instantâneos: i i i i c , b , a 2 ⋅ = =

∑

= υ υ ∑ v v v v c , b , a 2 ⋅ = =

∑

= υ υ ∑ (104) Eficazes:

∫

= ⋅ = ∑ ∑ T 0 2 2 _{i dt i i} T 1 I ∑ =

_∫

∑ = ⋅ T 0 2 2 _{v dt v v} T 1 V (105)

6.2.2 Propostas no domínio da freqüência

A maioria destas propostas tem como motivação principal a definição de grandezas que possam ser aplicadas a sistemas de medição e tarifação de energia.

6.2.2.1 Definições propostas por Budeanu (1927)

O método proposto em [3], por sua simplicidade, ainda é a base de conceitos aceitos e utilizados, seja no universo acadêmico, nas concessionárias de energia ou na indústria. Originalmente, tal método foi proposto para sistemas monofásicos.

A proposta baseia-se na definição da Potência Aparente como: 2 B D 2 B Q 2 P 1 h Vh I.h 2 S ∑∞ + + = = = (106)

onde Vh e Ih são as tensões e correntes eficazes da componente harmônica h.

Assim, S deveria representar a máxima capacidade de geração ou transmissão de energia em um dado sistema elétrico, com uma carga que consumisse uma Potência Ativa média P, dada por: ∫ = ∑ ∞ = φ = ∑ ∞ = = T 0vi.dt T 1 1 h Vh.Ih cos h 1 h Ph P (107)

e ainda demandasse na forma de campos eletromagnéticos uma dada Potência Reativa calculada por: ∑ ∞ = φ = ∑ ∞ = = 1 h Vh I.hsin h 1 h Qh B Q (108)

sendo esta, ortogonal à Potência Ativa, por definição. Deve-se observar que o termo Potência Reativa, aqui é definido usando todo o conteúdo harmônico dos sinais. O ângulo Φh é a defasagem entre tensões e correntes da componente harmônica h. Budeanu também definiu a parcela de potência DB, a qual foi denominada de Potência Distorciva e seria expressa pela combinação quadrática: 2 B Q 2 P 2 S B D = − − (109)

A Potência Distorciva é constituída por produtos cruzados de tensões e correntes harmônicas, de diferentes ordens e só será zero se as componentes harmônicas forem nulas. DB é uma formulação matemática que fecha o chamado “tetraedro de potências”.

A proposta de Budeanu é bastante interessante em se tratando da compreensão da existência de uma parcela de potência que contém os efeitos distorcivos do sistema em análise. Entretanto, uma vez que DB não parte diretamente dos sinais reais (mensuráveis) das tensões e correntes, depara-se com alguns problemas quando da sua implementação em sistemas de medição, análise ou compensação de energia.

• Principais dificuldades e inconsistências do método:

Uma das grandes dificuldades na implementação do método de Budeanu é baseada na necessidade de decompor as tensões e correntes medidas em componentes ortogonais (seno e

cosseno). O que pode ser feito com facilidade para sinais puramente senoidais, mas no caso da presença de distorções, se torna uma tarefa complexa, principalmente porque deveria ser feita para cada freqüência, independentemente. Considerando que as ferramentas computacionais hoje disponíveis, simplesmente não existiam quando da proposta de Budeanu, pode-se imaginar a dificuldade da aplicação do método proposto.

Além disto, em determinados casos, a utilização do método de Budeanu resulta em inconsistências, como no caso de um circuito linear puramente reativo, sendo alimentado por uma tensão distorcida. Neste caso as correntes também serão distorcidas, mas DB indicará um valor igual a zero [26]. A falta de associação das componentes de potência com os fenômenos físicos que as originam, bem como o fato desta proposta ter sido desenvolvida para sistemas monofásicos, são algumas outras limitações do método.

Um dos objetivos mais perseguidos tem sido o cálculo de parcelas de potência que possam ser diretamente associadas com as perdas e eliminadas através de algum tipo de compensador, sem influir no valor das outras parcelas de potência. No caso da teoria de Budeanu, principalmente pelo fato de não isolar as correntes ativas e reativas das correntes harmônicas, tal objetivo não é facilmente atingido.

Entretanto, sabendo que o método de Budeanu é provavelmente o mais difundido e utilizado na engenharia elétrica, fica uma pergunta: Como pode tal método ter sido adotado e utilizado com bons resultados?

• Simplificações e a teoria convencional:

Na verdade a melhor resposta é que simplificações foram feitas no equacionamento anterior, de forma que apenas as componentes de freqüência fundamental fossem consideradas. E é fato que tal simplificação era válida e extremamente útil até algumas décadas atrás, quando as distorções de corrente e principalmente de tensão, podiam ser desprezadas. Assim:

1 cos 1 I. 1 V 1 P = φ (110) e ainda demandasse na forma de campos eletromagnéticos uma dada Potência Reativa calculada por:

1

sin

1

I.

1

V

1

B

Q

=

φ

(111) 2 1 B Q 1 P I. V 1 S = _{1 1} = + (112)

Neste sistema senoidal, o tetraedro de potências é reduzido para o famoso “triângulo de potências”, onde DB = 0. Agora sim, o valor de QB1 poderia ser usado para o projeto de um compensador de energia passivo (capacitivo ou indutivo).

Outra definição extremamente importante em sistemas puramente senoidais, como os descritos pelo equacionamento anterior, é o fator de potência:

1 1 1 cos P FP S φ = = . (113)

o qual, nestas condições, também é conhecido como fator de deslocamento. Mesmo não tendo sido proposto pela primeira vez por Budeanu [2], o fator de potência tem sido utilizado em conjunto com suas definições e aplicado à tarifação de energia ou mesmo para projeto de instalações e sistemas de potência (por exemplo, projeto de cabos e transformadores).

Além da consideração de sinais senoidais, outra simplificação bastante utilizada para sistemas multi-dimensionais, é a de sistemas equilibrados. Assim, os valores de P, QB e S, para sistemas trifásicos, por exemplo, podem ser definidos como:

1 cos 1 I. f 1 V . 3 3 1 P = φ φ (114) 1 sin 1 I. f 1 V . 3 3 1 B Q = φ φ (115) 1 1 f I. V . 3 3 1 S = φ (116)

onde o índice f representa tensões de fase.

Nos sistemas elétricos atuais, nos quais distorções de forma de onda e assimetrias estão quase sempre presentes, as simplificações acima discutidas perdem sua validade e as equações originais, as quais contemplam todo o espectro harmônico, deveriam ser utilizadas em conjunto com algum tipo de adaptação para sistemas polifásicos assimétricos, como por exemplo, as definições de médias aritméticas ou geométricas propostas pelo IEEE Standard Dictionary e discutidas em [27]. Entretanto, tem-se constatado e discutido que tais simplificações ou modificações não produzem resultados confiáveis nos sistemas elétricos atuais, especialmente no caso de circuitos com condutor de retorno e, deveriam ser abandonadas [5,6,9-11,18,26].

Interessantes propostas de aprimoramento da teoria de Budeanu podem ser encontradas em [28,29].

6.2.2.2 Definições propostas por Czarnecki (1988)

Czarnecki é um dos grandes críticos no que se refere à utilização da teoria de Budeanu [26]. Além disto, utilizando-se de uma abordagem vetorial bastante sofisticada, este autor defende uma proposta que busca associar as parcelas de potência ativa, reativa, harmônica, etc. com suas respectivas variáveis de origem (tensões e correntes) e os fenômenos físicos associados.

Apesar do método proposto em [30] utilizar a definição de corrente ativa apresentada por Fryze no domínio do tempo [4], sua abordagem foi desenvolvida no domínio da freqüência e se aplica tanto para sistemas monofásicos, quanto polifásicos.

A motivação, bem como as principais contribuições de Czarnecki, estão centradas na busca por uma metodologia de decomposição dos sinais de corrente e potência que estivesse tão relacionada quanto possível, aos fenômenos físicos do sistema elétrico que as origina. Como apresentado a seguir, sua proposta utiliza os valores das várias condutâncias (G), susceptâncias (B) e admitâncias (Y) dos circuitos elétricos, bem como procura encontrar as parcelas de corrente relacionadas com harmônicos, assimetrias, reativos, etc.

Inicialmente, o autor assume uma fonte trifásica senoidal equilibrada, alimentando um circuito trifásico assimétrico e define condutância e susceptância equivalente utilizando algumas das ferramentas matemáticas discutidas anteriormente, como segue:

Assim, partindo da norma da tensão RMS, que permite incluir harmônicas h∈N, de modo que: 2 h 2 2 2 1 V ... V V V = + + + (117)

Vh é o valor eficaz de cada harmônica.

2 e V P G ≡ (118) 2 e V Q B ≡− (119)

e, para um sistema trifásico (R,S,T), define as potências ativa e reativa totais como:

{

*

}

T T * S S * R R e V I V I V I R P= + + (120)

{

*

}

T T * S S * R R m V I V I V I I Q = + + (121)

As correntes trifásicas da fonte são decompostas em três componentes ortogonais:

i

i

i

i

=

_a

+

_r

+

_g (122) v . G i _a = _e (123) ) t ( d dv . B i 1 e r ω = (124) r a g

i

i

i

i

=

−

−

(125)

Como essas componentes são mutuamente ortogonais, os valores RMS satisfazem: 2 g 2 r 2 a 2 i i i i = + + (126) v . G i_a = _e (127) v . B i_r = _e (128)

(

2

)

2 e 2 e 2 g i G B .v i = − + (129)

Neste modelo aparece a separação clara entre corrente reativa e corrente harmônica. O autor generaliza ainda mais, introduzindo distorção harmônica na fonte, e assumindo que as harmônicas introduzidas pela carga sejam distintas das existentes na fonte. Seguindo o caminho análogo ao anterior, o método é aplicado para cada harmônica e as parcelas correspondentes são então somadas, resultando uma decomposição em 5 componentes ortogonais de corrente, designadas por: g u s r a i i i i i i = + + + + (130)

satisfazendo a relação de ortogonalidade:

2 g 2 u 2 s 2 r 2 a 2 i i i i i i = + + + + (131)

de modo que

i

2 corresponde ao valor da corrente CC que produz o mesmo efeito térmico que as correntes das fases

i

_R

,

i

S

,

i

_T produziriam em um sistema trifásico simétrico.

ia: correntes ativas similares às de Fryze (como será discutido a seguir) para ondas não-senoidais:

v

.

G

i

_a

=

_e (132)

ir: correntes reativas devido a indutores e capacitores nas diferentes freqüências harmônicas:

fonte

da

harmônico

conj.

N

v

.

B

i

_u 2 1 2 n N n 2 ne r u

=

















=

∑

∈ (133)

is: correntes devido à dispersão com a freqüência (scattered current):

(

G G

)

v i 2 1 2 n 2 Nv n e ne s       − =

∑

∈ (134)

iu: correntes de desequilíbrio:

(

)

[

]

12 Nv n 2 n 2 ne 2 ne 2 n u i G B . v i       + − =

∑

∈ (135)

ig: correntes geradas devido à não-linearidade ou variação de parâmetros da carga: carga da harmônico conj. N i i _g 2 1 Ng n 2 n g  =       =

∑

∈ (136) Desta forma, multiplicando-se cada termo de norma das correntes identificadas pela norma da tensão em um PAC qualquer, resultaria em termos de potência a seguinte relação:

2 2 2 2 2 2

r s u g

S =P +Q +D +D +D (137)

A proposta de Czarnecki, apesar de interessante, não tem sido muito utilizada por outros autores, provavelmente pela complexidade do equacionamento no domínio da freqüência. No entanto, é interessante notar que tal proposta, além de auxiliar na compreensão dos fenômenos físicos que compõe o sistema elétrico, poderia ser implementada tanto em sistemas de análise e monitoração de energia, quanto em sistemas de condicionamento de energia, desde que utilizando sistemas adequados de processamento digital de sinais [31].

Seja do ponto de vista de análise, quanto de controle, a proposta parece muito interessante se o objetivo for a identificação, tarifação ou compensação das “correntes” de distúrbio, entretanto, ainda deixa algumas dúvidas como, por exemplo: como atribuir responsabilidades ou compensar distúrbios na “tensão” de fornecimento, ou ainda, o que mudaria nas decomposições propostas se a tensão fundamental do sistema for assimétrica (este tipo de distúrbio parece não ter sido abordado)? Além disto, destaca-se que, por se tratar de uma definição no domínio da freqüência, eventuais inter-harmônicos presentes nos sinais de tensão e corrente, podem não ser interpretadas corretamente. Para isto, a complexidade matemática e implementacional das análises seriam ainda maiores.

No entanto, é importante destacar que Czarnecki tem sido um dos autores mais ativos nas discussões sobre teorias de potência. Como resumido, sua abordagem objetiva subdividir a corrente de um sistema ou circuito elétrico em várias sub-parcelas, cada qual associada com um tipo diferente de fenômeno físico e conseqüentemente, responsável por uma componente de potência distinta. Czarnecki também tem contribuído para discussões como a necessidade ou não da definição de potência aparente, visto que esta é muito mais uma interpretação matemática do que física; bem como para estudos de compensadores ativos ou passivos; e ainda para desmistificar determinadas teorias [26,32,33] ou questionar sobre quais seriam os verdadeiros requisitos para uma “teoria de potências”.

Uma vez que o foco de sua proposta é a associação com os fenômenos físicos, em trabalhos recentes o autor vem denominando tal proposta de Teoria das Componentes Físicas de Corrente, do inglês, Theory of the Current's Physical Components (CPC) [33].

Como será visto adiante, a abordagem de Czarnecki no domínio da freqüência tem muitas semelhanças com as definições de Depenbrock no domínio do tempo [17].

6.2.2.3 Definições da IEEE Standard 1459 (2000)

Desde o princípio da década de 90, o IEEE definiu um “Grupo de Trabalho'” (Working

Group) para Situações Não-Senoidais. Tal grupo é presidido pelo professor A. Emanuel, um dos

grandes responsáveis pela publicação em 2000, da recomendação IEEE STD 1459-2000 [34]. Em 1990, um tutorial foi organizado, contendo 12 trabalhos de autores como o próprio Emanuel, Czarnecki, Arseneau, Cox, Filipski, Baghzouz, Gunther, dentre outros, os quais abordavam os problemas das definições e instrumentação usuais, sob formas de onda distorcidas ou assimétricas, bem como novas propostas [5]. De certa forma, os trabalhos deste tutorial formaram a base para os trabalhos seguintes do grupo. Provavelmente os dois trabalhos mais referenciados do grupo são de 1996. No primeiro deles, as principais questões sobre as definições de potência em condições não-ideais foram explicitadas em um questionário distribuído para várias concessionárias de energia e depois discutidas ponto a ponto [13]. No segundo, uma metodologia alternativa foi proposta para adequar as definições de potência para o caso geral com distorções e assimetrias [14].

Assim, em [14] o grupo sugere algumas definições como, por exemplo, a utilização de valores de tensão e corrente “equivalentes” para o sistema trifásico, bem como a “Potência Aparente Efetiva”, como uma alternativa ao cálculo da potência aparente de forma “vetorial” ou “aritmética”, como proposta pelo próprio IEEE anteriormente. Neste trabalho o grupo também defende a separação da contribuição das ondas fundamentais de seqüência positiva, das outras parcelas de potência, bem como define várias parcelas de potência como, por exemplo, as potências não-ativa (tudo que não gera P) e não-fundamental (h≠ ), parcela atribuída aos 1 harmônicos, inter-harmônicos e suas interações.

A seguir, os principais conceitos e definições apresentadas na proposta da STD 1459 são resumidos e discutidos.

Sistemas trifásicos equivalentes:

Os sistemas elétricos trifásicos normalmente são projetados para gerar, transmitir e distribuir a energia elétrica, sob formas de ondas senoidais e em condições praticamente equilibradas e simétricas, conectadas em delta ( ∆ ) ou em estrela ( Υ ), como ilustrado na Figura 23.

Quando duas cargas, uma ligada em Y e outra em ∆ , são equivalentes em termos de potência consumida, isto pressupõe que ambas causam as mesmas perdas de transmissão. Em condições balanceadas e sob tensões simétricas resulta a conhecida relação entre os valores das

impedâncias das duas formas de conexão (Z∆ = 3ZY). Essa hipótese também é feita para analisar sistemas desbalanceados, sob condições não-senoidais.

No caso de correntes desequilibradas deve-se analisar se o sistema possui ou não condutor de retorno. Caso haja condutor de retorno, Figura 23a, poderá haver corrente nesse condutor, dada pela soma das correntes nas 3 fases.

r l b Ib v_b r l c Ic v_c r l a Ia v_a r_n l_n n C A R G A 0 In ≠≠≠≠ r l b Ie v_b r l c Ie v_c r l a Ie v_a r_n l_n n In=0 R R R R R R V_e V_eV_e

a) Sistema com carga desbalanceada b) Sistema equivalente Figura 23 - Sistema trifásico com condutor de retorno.

É claro que se a resistência e a corrente eficaz na rede forem conhecidas, é possível calcular as perdas em cada fase através da seguinte relação:

P I2r =

∆ (138)

Assim, a perda total para o sistema da Figura 23a será definida como as soma das perdas nas três fases mais a perda no condutor de retorno (neutro):

2 n n 2 c 2 b 2 a t r(I I I ) r I P = + + + ∆ (139)

Para uma dada potência na carga e condições otimizadas de operação, as correntes nas linhas serão mínimas se a carga for resistiva e balanceada, resultando FP = 1 (Figura 23b). Nessas condições, as intensidades das correntes eficazes serão dadas por I_a =I_b =I_c =I_e e

0

I_n = . Para as mesmas perdas de transmissão, tem-se a seguinte relação: 2

e t

3

rI

P =

∆

(140)

onde a corrente eficaz equivalente (Ie) é definida em função das perdas do sistema real, aplicadas a um sistema equivalente balanceado. Logo, igualando as equações (139) e (140) tem-se: (I I I I ) 3 1 I 2 n 2 c 2 b 2 a e = + + +ρ (141) onde r r_n =

ρ é a relação entre a resistência do condutor de retorno (rn) e a resistência dos condutores das fases (r), as quais em geral, não são iguais.

Uma análise semelhante é feita para a tensão eficaz equivalente (Ve), obtida considerando que a carga no circuito real (Figura 23a) consiste de grupos de cargas conectadas em Υ e em ∆ . Cada grupo é caracterizado por uma resistência equivalente RΥe R∆ respectivamente (Figura 23b), e a potência absorvida no sistema real, é dada em função das tensões eficazes de fase e de linha:

∆ + + + + + = R V V V R V V V P 2 ca 2 bc 2 ab Y 2 cn 2 bn 2 an T (142)

e, no modelo equivalente fictício, é dada em função da tensão eficaz equivalente: ∆

+

=

R

V

9

R

V

3

P

2 e Y 2 e e (143) Dado que R V

P= 2 , para o circuito da Figura 23b (equivalente) resulta: Υ Υ = R V 3 P 2 e _{, e} ∆ ∆ = R V 9 P 2 e

e, assim, tem-se a relação das potências absorvidas entre os grupos de cargas ligadas em ∆ e Y:

∆ Υ Υ ∆ Υ ∆ _{= =} = ξ R R 3 R V 3 R V 9 P P 2 e 2 e (144)

Substituindo a equação (142) nas equações (143) e (144) e igualando estas duas equações obtém-se: ξ + = ξ + + + + + Υ Υ 3R V 9 R V 3 R 3 V V V R V V V 2 e Y 2 e 2 ca 2 bc 2 ab Y 2 cn 2 bn 2 an

(

) (

)

) 1 ( 9 V V V V V V 3 V 2 ca 2 bc 2 ab 2 cn 2 bn 2 an e ξ + ξ + + + + + = (145)

considerando ξ =1 que, segundo a equação (144), implica potências iguais dos grupos de cargas em Y e em ∆ ou que P∆ = PΥ e R∆ = R3 Υ, resulta da equação (145):

(

) (

)

18 V V V V V V 3 V 2 ca 2 bc 2 ab 2 cn 2 bn 2 an e + + + + + = (146)

Para sistemas trifásicos com três condutores sem neutro (In =0) a equação (141) é simplificada para: (I I I ) 3 1 I 2 c 2 b 2 a e = + + (147)

Para a tensão equivalente efetiva com três condutores considera-se P_Υ =0, ξ →∞, ∞

→ Υ

(

V

V

V

)

9

1

V

2 ca 2 bc 2 ab e

=

+

+

(148)

Os valores Ve e Ie calculados dessa maneira representam valores por fase do sistema equivalente balanceado. A potência aparente efetiva total é definida como:

S =e 3VeIe (149) Esta definição de potência aparente é diferente das usadas nas definições clássicas, por incluir a corrente e resistência do condutor de retorno (neutro), além de considerar o sistema trifásico como um sistema polifásico de fato, e não um somatório de sistemas monofásicos.

Quanto à definição de potência ativa (P) existe um consenso de que seja calculado como o valor médio, sobre um ou mais períodos do sinal, do produto das tensões de fase-neutro pelas respectivas correntes:

(

i v i v i v

)

dt kT 1 P kT t t c c b b a a

∫

+ + + = (150)

onde T é o período das tensões e correntes, “t” é o instante inicial de integração e k é um número inteiro de períodos para o cálculo da média (em geral k=1).

Desta forma, o fator de potência efetivo é definido como a razão entre a potência ativa

equação (150) e a potência aparente efetiva (149):

e e _S

P

FP = ₍₁₅₁₎

Sistemas trifásicos equivalentes sob condições distorcidas

Como já discutido, as análises na presença de harmônicos ficam bem mais complexas, devido às interações entre freqüências. No caso polifásico, essa situação se complica ainda mais, pois aparecem também interações entre as fases.

Desta forma, a corrente e tensão efetiva foram separadas em duas componentes, as componentes fundamentais e harmônicas, ou seja:

2 eH 2 1 e e I I I = + (152) e eH2 2 1 e e

V

V

V

=

+

(153)

onde o índice “1” representa a componente fundamental 60/50Hz e “H” o conjunto das componentes harmônicas do sistema.

As componentes fundamentais equivalentes por fase da corrente e tensão por fase podem ser obtidas por:

(

2n1

)

2 1 c 2 1 b 2 1 a 1 e

I

I

I

I

3

1

I

=

+

+

+

ρ

(154) e

[

(

)

2

]

1 ca 2 1 bc 2 1 ab 2 1 c 2 1 b 2 1 a 1 e 3V V V V V V 18 1 V = + + + + + (155)

Assim, conhecendo V_e e V_e1, pode-se calcular a parcela correspondentes às harmônicas da

tensão: e21 2 e eH

V

V

V

=

−

(156)

Da mesma forma para a parcela de correntes tem-se: 2 1 e 2 e eH I I I = − (157)

Portanto, a potência aparente efetiva pode ser expressa por: 2 eN 2 1 e 2 e S S S = + (158)

onde o primeiro termo corresponde à potência aparente efetiva fundamental:

S =

e1

3

V

e1

I

e1 (159) e o segundo termo é a potência efetiva não-fundamental:

2e1 2 e

eN

S

S

S

=

−

(160)

Notar que essa parcela de potência, causada pela presença de componentes harmônicos e inter-harmônicos distintos nas tensões e correntes, tem caráter oscilatório.

Sistemas trifásicos equivalentes em condições desequilibradas

Para cargas desbalanceadas, define-se a potência aparente fundamental de desequilíbrio, pela diferença:

S

_U1

₌

S

_e2₁

₋

(

S

₁+

)

2 ₍₁₆₁₎

onde + 1

S é a potência aparente fundamental de seqüência positiva, dada por:

+

₌

+

₊

+

₌

+ + 1 1 2 1 2 1 1

(

P

)

(

Q

)

3

V

I

S

(162) Sendo: + + + + φ = 1 1 1 1 3V I cos P (163) e + + + + φ = _{1 1 1} 1 3V I sin Q (164)

Estas definições de potência ativa de seqüência positiva e potência reativa de seqüência positiva são similares às usadas em sistemas trifásicos senoidais equilibrados.

Assim, define-se também o fator de potência fundamental de seqüência positiva, como a relação entre a potência ativa e a potência aparente, ambas de seqüência positiva.