Estrutura da Matéria Prof. Fanny Nascimento Costa

Estrutura da Matéria

Prof. Fanny Nascimento Costa

(

fanny.costa@ufabc.edu.br

)

Aula 06

• Revisão da última aula • Efeito fotoelétrico

• Dualidade onda-partícula • Princípio da incerteza

Relembrando...

Modelo Atômico de Rutherford

Voltemos à experiência de Rutherford



Experimento onde foi constatada a

existência do

núcleo atômico



O núcleo é

muito massivo

e sua massa é

muito maior

do que a massa do elétron



Isto foi observado por meio do espalhamento de

partículas

α

, que basicamente são átomos de He com

dois prótons

e

dois nêutrons

sem elétrons na

eletrosfera.

Relembrando...

Modelo Atômico de Rutherford



Elétrons em

órbita circular

deveriam irradiar continuamente

ondas eletromagnéticas

até cair

no núcleo:

Colapso atômico



A

física clássica

não conseguia

explicar este fenômeno



Era necessário uma nova teoria:

Relembrando...

Modelo Atômico de Bohr (1913)

• Foi desenvolvido visando explicar os

elétrons orbitando em torno do núcleo

• Pode-se fazer uma analogia macroscópica

com o

movimento dos planetas em torno

do Sol

• Também para o sistema solar não há

colapso dos planetas, ou seja, eles não

caem dentro do Sol

• Diferença básica: movimento de corpos

celestes é regido pela

Mecânica Clássica,

e o movimento dos elétrons em torno do

Postulados de Bohr

• O elétron move-se em torno do núcleo atômico sob a influência da força eletrostática (Coulombiana) entre o elétron e o núcleo e obedece as leis da Mecânica Clássica

• Ao contrário das infinitas órbitas do regime clássico, só é possível o elétron mover-se em órbitas no qual o momento angular orbital

L é um múltiplo

inteiro da constante de Planck dividido por

2π

• Um elétron em uma órbita definida não irradia energia eletromagnética. Então, a energia total

E

permanece constante

• Radiação eletromagnética é emitida se um elétron movendo-se inicialmente em uma órbita de energia

E

_i se move para uma órbirta de energia

E

_f

.

A

energia do fóton emitido é dada por:

2

nh

L

n







i f

h





E



E

Energia para os estados estacionários

do átomo de hidrogênio

1- Cenário:

movimento do elétron em torno do núcleo

2-Temos a

força que mantém o elétron ‘ligado’ ao núcleo

, que é a

força eletrostática

, e a

força que mantém o movimento em uma

órbita circular

, que é a

força centrípeta

. Para manter-se a

condição de estabilidade orbital:

força eletrostática

=

força

centrípeta

e – carga elétrica elementar V - velocidade do elétron r – raio da órbita Z – número atômico ε₀ - permissividade elétrica no vácuo 2 2 2 0

1

4

e c c e

Ze

v

F

F

m

r

r

F

F









2 2 2 0

1

4

mv

Ze

r





r

3-

O momento angular clássico

4- Considerando o

momento quantizado

=

momento angular clássico

,

pode-se determinar a velocidade do elétron na órbita, a qual

dependerá do valor de

n

5- Da equação de igualdade entre a

força centrípeta

e a

força

eletrostática

, temos que

Energia para os estados estacionários

do átomo de hidrogênio

L



mrv

,

1, 2,3,

n

mrv

n

v

n

mr









2 _{2 2} 2 2 0 0 0

4

4

n

4

n

Ze

mv r

mr

mr

mr















_

_







• Pode-se então obter o

raio da órbita do elétron em torno

do núcleo

• Fazendo o cálculo para a

primeira órbita eletrônica do

átomo de hidrogênio

(estado fundamental), Z = 1 e n = 1

Energia para os estados estacionários

do átomo de hidrogênio

raio de Bohr 2 2 0 ₂

4

n

r

mZe





12 2 0 34 31 19

8,85 10

/

1, 054 10

9,11 10

1, 60 10

C

N m

J s

m

kg

e

C



   





















11

5, 29 10

0,53Å

r







m



• A

energia total

é dada pela soma da

energia cinética

+

energia potencial

(eletrostática)

• A

energia cinética

é dada por:

• A

energia potencial eletrostática

é dada por:

Energia para os estados estacionários

do átomo de hidrogênio

E

 

K V

2 2 0

1

2

4

2

Ze

K

mv

r







2 2 2 0 0

4

4

r

Ze

Ze

V

dr

r

r







 



 

• A

energia total

é dada por:

• Usando

• Temos finalmente que

Energia para os estados estacionários

do átomo de hidrogênio

A quantização no momento angular orbital do elétron implica na quantização de sua energia total

2 2 2 0 0 0

4

2

4

4

2

Ze

Ze

Ze

E

K

V

K

r

r

r







  



 

 

2 2 0 ₂

4

n

r

mZe









2 4 2 ₂ 2 0

1

,

1, 2,3,

4

2

mZ e

E

n

n



 



Níveis de energia do átomo de

hidrogênio

• Pode-se, a partir da equação para os níveis de energia,

obter um diagrama de energias para o átomo de

hidrogênio

Frequência da radiação emitida

• Voltando à equação de energia para o átomo de

hidrogênio

• Temos pelo quarto postulado de Bohr

Frequência de emissão do fóton quando o elétron transita de um estado de maior para outro de menor energia





2 4 2 ₂ 2 0

1

,

1, 2,3,

4

2

mZ e

E

n

n



 



2 _{2 4} 3 2 2 0

1

1

4

4

i f f i

E

E

_{mZ e}

h

n

n









_

_

_

_



_{ }

_

_

_







_

_

Determinação do vetor de onda

• Definindo o

número de onda

• Obtém-se então a equação para o

número de onda

R_∞ é uma constante (teórica)

1

v

c









2 ₄ 2 3 2 2 0

1

1

1

4

4

_{f i}

me

Z

c

n

n

















_

_

_



_





_

_

2 2 2

1

1

f i

R Z

n

n





_



_





_





1-) As previsões essenciais do modelo de Bohr estão contidas nas

equações de

energia

e do

número de onda

2-) O estado normal de um átomo é quando o elétron tem menor energia

ou

n = 1

(estado fundamental)

3-) Em uma descarga elétrica, ou algum outro processo, o átomo recebe

energia devido a colisões, etc. O elétron deve sofrer uma transição

para um estado de maior energia, ou estado excitado (

n > 1

)

4-) Obedecendo a lei natural dos sistemas físicos, o átomo tenderá a

voltar ao seu estado de menor energia (estado fundamental)

5-) Em um grande número de processos de excitação e desexcitação,

todas as possíveis transições ocorrem, sendo emitido o espectro

completo

Aspectos principais do modelo de Bohr





2 4 2 ₂ 2 0 1 , 1, 2,3, 4 2 mZ e E n n



   2 2 2

1

1

f i

R Z

n

n





_



_





_





• Para o hidrogênio

Z = 1

• Supondo

n

_f

= 2 e n

_i

>n

_f

• Comparando com a série de Balmer

Descrição das séries do espectrais

do átomo de hidrogênio

As duas fórmulas são idênticas se R_H = R_∞

2 2

1

1

f i

R

n

n





_



_





_





2 2

1

1

,

3, 4,5, 6,

2

R

n

n





_



_





_







2 2

1

1

,

3, 4,5, 6,

2

H

R

n

n







_





_







Determinação da Constante de

Rydberg

• Pelas Fórmulas espectrais: Lyman, Paschen, Balmer, etc.

• Pelo modelo de Bohr

• O modelo de Bohr concorda com a série de Balmer, e com

todas as outras séries espectroscópicas para o átomo de

hidrogênio (o que será mostrado na sequência)

7 1

1, 09680 10

H

R





m

 7 1

1, 09680 10

R

_





m



• Fórmula geral para o número de onda dada pelo modelo de Bohr

Descrição das séries

espectroscópicas do hidrogênio pelo

modelo de Bohr

Séries Espectroscópicas

Lyman

n

_f

= 1, n

_i

= 2, 3, 4, 5, 6,...

Balmer

n

_f

= 2, n

_i

= 3, 4, 5, 6, 7,...

Paschen

n

_f

= 3, n

_i

= 4, 5, 6, 7, 8,...

Brackett

n

_f

= 4, n

_i

= 5, 6, 7, 8, 9,...

Pfund

n

_f

= 5, n

_i

= 6, 7, 8, 9, 10,...

2 2

1

1

f i

R

n

n





_



_





_





Transições energéticas para as

séries espectroscópicas

• Sucesso na descrição das linhas espectroscópicas do átomo de hidrogênio

• Raio da órbita do hidrogênio (0,53 Å), concorda com o valor previsto para o

diâmetro da molécula de hidrogênio 2,2 Å

• Falhas da teoria de Bohr: não conseguia explicar a intensidades relativas das linhas espectrais, nem as linhas espectrais de átomos mais complexos (velha mecânica quântica)

• Foram utilizadas algumas considerações clássicas, como a lei de Coulomb

(eletrostática) e as leis de Newton que foram usadas para valores discretos do momento angular

• Dificuldades começaram a ser superadas na década de 20, do século passado, com de Broglie, Schrödinger, Heisenberg, Pauli, Dirac e vários outros cientistas

Considerações sobre o modelo de

Bohr

Ondas eletromagnéticas

Resumo



A luz é uma onda eletromagnética.



As características essenciais de uma onda que precisamos manter

em mente são:



Ondas são extensas, ao contrário de partículas que são

localizadas



Ondas são caracterizadas por amplitude, frequência,

comprimento de onda e velocidade da onda



Ondas interferem entre si

INTERFERÊNCIA

Interferência construtiva e

destrutiva



m

r

r

₂



₁















 





2

1

1 2

r

m

r

m

= 0,



1,



2,



3...

r

₁

= distância entre

P

e

S

₁

r

₂

= distância entre

P

e

S

₂

S

₁

e

S

₂

= fontes de ondas (as fontes têm

o mesmo comprimento de onda)

A natureza da Luz

No século XVII, Newton acreditava

que a luz era feita por pequenas

partículas.

Diferentes cores corresponderiam a

diferentes partículas, e a luz branca

seria uma mistura de partículas de

todas as cores possíveis.

Hooke e Huygens propuseram, mais ou

menos na mesma época, que a luz era

uma

onda.

Diferentes

cores

corresponderiam

a

diferentes

comprimentos de onda.

Thomas Young (1773 - 1829)

O fenômeno que efetivamente

decidiu em favor da teoria

ondulatório foi o da interferência.

Não há como partículas sofrerem

interferência, mas esta fenômeno

foi observado para a luz por Thomas

Young.

O experimento da dupla fenda de

Young é hoje reproduzido em

laboratórios de óptica utilizando-se

uma laser que passa por duas

fendas muito próximas.

Experimento da fenda dupla

INTERFERÊNCIA – FENDA DUPLA





_









 



2

1

sen

m

d





m

d

sen



m = 0,



1,



2,



3...

•

Ondas são extensas, ao

contrário de partículas que

são localizadas

•

Ondas são caracterizadas por

amplitude,

frequência,

comprimento de onda e

velocidade da onda

•

Ondas interferem entre si

(veremos mais sobre isso

adiante)

•

Ondas transmitem energia

Ondas x Partículas

•

Partículas são localizadas

(estão num local específico)

•

Caracterizadas por um certo

tamanho, uma certa massa,

carga, energia, etc...

•

Colidem entre si (i.e., duas

partículas não podem ocupar

o mesmo lugar no espaço ao

mesmo tempo).

O experimento que permitiu distinguir o comportamento de uma onda e de uma partícula foi a experiência da dupla fenda de Young. O experimento não

Onda Eletromagnética

Maxwell e Hertz (1887) mostram que a luz é uma onda

eletromagnética: campos

elétricos

e

magnéticos

que oscilam em fase e

se movimentam a uma

velocidade equivalente à da luz.

Com isso, a ideia

corpuscular para a luz foi descartada.

A teoria eletromagnética

Maxwell (1865)

 Formulação elegante e concisa

 Fundamentos da Eletricidade e Magnetismo  Matematização sofisticada

 As equações de Maxwell não foram aceitas imediatamente;

 De fato, no trabalho original temos um conjunto de 20 equações e 20 variáveis

O experimento de Hertz

 Descargas em uma Garrafa de Leyden = capacitor de alta tensão  Centelhas secundárias foram observadas em um local afastado

 Ondas detectadas fora da garrafa não podiam ser explicadas classicamente  Inferiu que as descargas eram oscilatórias (na verdade, ondas de rádio)  Energia em forma de ondas eletromagnéticas (previsão de Maxwell)

 Ondas eletromagnéticas comportavam-se como a luz

 Experimentos posteriores: propagação com velocidade da luz + propriedades similares às da luz (reflexão, difração, polarização).

Nas palavras do próprio Hertz:

"The results are fatal to any and every theory which assumes that electric force acts across space independent of time. They mark a brilliant victory

Hertz não deu muita atenção a um outro

efeito observado no mesmo experimento:

O EFEITO FOTOELÉTRICO

MAS...

O Efeito Fotoelétrico

O

efeito fotoelétrico

, originalmente observado por Hertz em 1887 é

a emissão de elétrons por um material, geralmente metálico, quando

exposto a uma radiação eletromagnética (como a luz). Ele pode ser

observado quando a luz incide numa placa de metal, literalmente

arrancando da placa elétrons. O movimento destes elétricos produz

uma corrente elétrica que pode ser medida.

O Efeito Fotoelétrico

 Quando luz incide no catodo, fotoelétrons são emitidos

 Elétrons coletados no anodo, e que passam por G, geram uma corrente no circuito

 O catodo é mantido a um potencial positivo pela fonte e

 Quando luz incide em certas superfícies metálicas, elétrons são emitidos desta superfície  Esse é o chamado efeito fotoelétrico

 Tais elétrons são chamados de fotoelétrons  Inicialmente descoberto por Hertz

 Explicação satisfatória dada por Einstein, em 1905

Mesmo quando o campo elétrico é invertido, alguns elétrons ainda atingem o anodo. O potencial de corte V₀ é o valor absoluto mínimo

da diferença de potencial que faz a corrente circular.

Gráfico da corrente/tensão para o

efeito fotoelétrico

 A corrente aumenta com a intensidade, mas atinge uma saturação para grandes valores de tensão

 Nenhuma corrente flui para tensões menores que ou iguais a –V_0, que é independente da intensidade da radiação

O que não é explicado pela Física Clássica

 Nenhum elétron é emitido se a frequência da luz incidente está abaixo de uma frequência de corte, que é característica do material que está sendo iluminado

 A energia cinética máxima dos fotoelétrons é independente da intensidade da luz

 A energia cinética máxima dos fotoelétrons aumenta com o aumento da frequência da luz

 Elétrons são emitidos da superfície quase que instantaneamente, mesmo para baixas intensidades

Explicação de Einstein



Um fóton pode ser emitido quando um oscilador quantizado

“pula” de um nível de energia para outro de mais baixa energia.

Extensão da ideia de Planck da quantização da radiação

eletromagnética



A energia do fóton deve ser

E = hƒ



Cada fóton pode transferir toda a sua energia para um elétron

no metal



Energia cinética máxima do fotoelétron liberado é

𝐾

_𝑚á𝑥

= ℎ𝑓 − 𝜑

𝜑 = 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑙ℎ𝑜

𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑎 𝑑𝑒

𝑙𝑖𝑔𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑚

𝑒𝑙é𝑡𝑟𝑜𝑛 𝑛𝑜 𝑚𝑒𝑡𝑎𝑙

Característica do material

Efeito fotoelétrico: explicando as observações

experimentais

Aumentar a intensidade (amplitude) ≠ Aumentar energia (frequência)

Corrente fotoelétrica i em função do potencial V_AC do anodo em relação ao catodo para uma frequência da luz constante. O potencial de frenamento (de corte) independe da intensidade da luz I; contudo a corrente fotoelétrica é diretamente proporcional à intensidade.

Mesma frequência!!!

Intensidade diferente!!!

Efeito fotoelétrico: explicando as observações

experimentais

Para frequências menores do que V_o o efeito fotoelétrico não ocorre

Mesma Intensidade!!! Diferentes frequências!!!

O potencial de corte V_o (e, portanto, a energia cinética

máxima dos fotoelétrons) aumenta linearmente com a

Efeito fotoelétrico: considerações de Einstein

(Nobel 1921)

Utilizou a ideia do corpo negro de Planck!

Analogia: bola em um buraco

Quanto mais forte o chute, maior a probabilidade da bola sair

O chute deve ter uma energia mínima para que a bola saia!

chute “bem-sucedido”

Energia Cinética da Bola = Energia do chute – mgh

h

metal

elétrons

Chutes sem

O Efeito fotoelétrico: considerações de

Einstein

•

Para que servia o potencial de corte?

Os elétrons eram arrancados do metal com diferentes velocidade – ou

seja, com diferentes energias cinéticas. Para chegar ao coletor e

fechar o circuito esta energia tinha que ser suficiente para vencer o

potencial de frenagem.

Medindo o valor

V

₀

para o qual nenhum elétron chegava ao coletor

(corrente medida igual a zero) permitira medir a velocidade máxima

com que os elétrons eram ejetados.

•

Por que os elétrons são arrancados com diferentes energias

cinéticas?

Os elétrons estão de alguma forma presos ao metal. Para arrancá-los,

é preciso gastar determinada energia – função trabalho W.

•

A função trabalho depende do material a partir do qual os elétrons

estão sendo arrancados.

•

O potencial de corte servia para estudar esta propriedade dos

diferentes materiais usados na experiência.

sites.google.com/site/alyssonferrar

Elétrons mais próximos da superfície demandam menos energia para serem arrancados – devem ser ejetados com velocidade máxima.

Elétrons mais fortemente ligados demandam mais energia – devem ser ejetados com menor velocidade.

O Efeito fotoelétrico: considerações de

Einstein

O Efeito fotoelétrico: considerações de

Einstein

1

2

𝑚𝑣

2

_𝑚á𝑥

= 𝑒𝑉

0

= ℎ𝑓 − 𝜑

Energia

cinética

do elétron

“chute”

φ = função trabalho (energia necessária para “arrancar” o elétron) característica do material Potencial de frenamento

Equação de Einstein

O Efeito fotoelétrico:

obtenção de parâmetros importantes

𝑒𝑉

₀

= ℎ𝑓 − 𝜑

𝑉

₀

=

ℎ

𝑒

𝑓 −

𝜑

𝑒

𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏

Efeito fotoelétrico: considerações de

Einstein

Como e quem dá o chute?



Quantização (Planck) é um aspecto geral das ondas

eletromagnéticas



Quanta = fótons



Energia fornecida em pacotes (chutes)



Aumentar a intensidade ≠ aumentar energia



Energia é transportada em pacotes



Limiar de frequências

1

2

𝑚𝑣

2

_𝑚á𝑥

= 0 → ℎ𝑓

0

= 𝜑

Efeito fotoelétrico: argumentos

 Interferência e difração = fenômenos coletivos (resultados médios)  Fótons = fenômenos corpusculares (caráter individual)

 Comparação: gotas d’ água – jato de água

 Millikan tentou, por cerca de dez anos, refutar a teoria de Einstein  Aplicações:  Energia solar  Detectores de presença  Fotocélulas  Etc.

Curiosidades

Há três aspectos principais do efeito

fotoelétrico que não podem ser explicados em

termos da teoria ondulatória clássica da luz

(1) A teoria ondulatória requer que a amplitude do campo elétrico oscilante

E

da onda luminosa cresça se a intensidade da luz for aumentada. Já que a força aplicada ao elétron é

eE

, isto sugere que a energia cinética dos fotoelétrons deveria também crescer ao se aumentar a intensidade do feixe luminoso. Mas... a energia cinética independe da intensidade!

(2) De acordo com a teoria ondulatória, o efeito fotoelétrico deveria ocorrer para qualquer frequência da luz, desde que essa fosse intensa o bastante para dar a energia necessária à ejeção dos elétrons. No entanto, há um limiar de frequência característico.

(3) Na teoria clássica, se a luz é suficientemente fraca, deveria haver um intervalo de tempo mensurável entre o instante em que a luz começa a incidir sobre a superfície e o instante da ejeção do fotoelétron. Durante esse intervalo, o elétron deveria estar absorvendo energia do feixe, até que tivesse acumulado o bastante para escapar. No entanto, nenhum retardamento é medido.

Dualidade onda-partícula



Em certas condições: se passamos a luz por um par de fendas e

olhamos o resultado, ela se comportará com uma onda.



Em outras condições, como quando jogamos luz sobre um metal e

examinamos os elétrons ejetados do metal, a luz se comporta como

partículas (efeito fotoelétrico, efeito Compton).



Essa personalidade múltipla da luz é referida como

dualidade-onda

partícula

. A noção clássica de que partículas e ondas são entidades

completamente diferentes não é adequada para descrever

partículas sub-atômicas

.



A luz tem uma natureza dual

: exibe tanto características

ondulatórias quanto corpusculares. O modelo corpuscular e o

modelo ondulatório da luz complementam-se mutualmente.

A hipótese de De Broglie:

Comportamento ondulatório da matéria

Após o desenvolvimento de Bohr para o

átomo de hidrogênio, a natureza dual da

energia radiante tornou-se um conceito

familiar.

Se a energia radiante pudesse se

comportar, sob condições apropriadas,

como um feixe de partículas, a matéria, sob

condições apropriadas, poderia

possivelmente se comportar como uma

onda?

Para De Broglie os elétron se comportava

como uma onda estacionária.

•

Sabendo-se que a luz tem uma natureza de partícula, parece

razoável perguntar se a matéria tem natureza ondulatória

•

Utilizando as equações de Einstein e de Planck, De Broglie mostrou:

•

O

momento

,

mv,

é uma

propriedade de partícula

, enquanto o

comprimento de onda

,

λ,

é uma

propriedade ondulatória

•

De Broglie resumiu os conceitos de

ondas

e

partículas

, com efeitos

notáveis se os objetos são pequenos

Comportamento ondulatório da matéria

λ =

ℎ

𝑚𝑣

=

ℎ

𝑝

Comprimento de onda de De Broglie

De Broglie postulou que, em virtude dos fótons terem características ondulatórias e corpusculares, talvez todas as formas de matéria tivessem propriedades ondulatórias e também corpusculares

Ondas estacionárias preenchendo órbitas circulares

𝑝 =

𝐸

𝑐

𝐸 = ℎ𝑓 =

ℎ𝑐

λ

λ =

ℎ

𝑝

=

ℎ

𝑚𝑣

comprimento da circunferência deve ser um número inteiro n de comprimentos de onda comprimento de onda de De Broglie

𝑓 =

𝐸

ℎ

Onda estacionária

Não se propagam ao longo da corda

2





l





_



2

2

l

2

3





l

2

7





l

Louis De Broglie (1892-1987)

Argumenta que, se o elétron realmente se comporta como uma onda estacionária, no átomo de hidrogênio, o comprimento de onda deve se ajustar exatamente à circunferência da órbita. Caso contrário, a própria onda se cancelaria parcialmente em cada órbita sucessiva (no final, a amplitude da onda seria reduzida a zero e a onda deixaria de existir)

+

-





r



n

2

r 

n

, número inteiro (1,2,3,…)

+

- r 

mv

h





velocidade da partícula massa da partícula

p

h





ou

Comportamento ondulatório da matéria

Louis De Broglie (1892-1987)

Argumenta que, se o elétron realmente se comporta como uma onda estacionária, no átomo de hidrogênio, o comprimento de onda deve se ajustar exatamente à circunferência da órbita. Caso contrário, a própria onda se cancelaria parcialmente em cada órbita sucessiva (no final, a amplitude da onda seria reduzida a zero e a onda deixaria de existir)

Calcule o comprimento de onda da “partícula” nos seguintes casos: (a) O serviço mais rápido no jogo de tênis é cerca de 68 m/s. Calcule o comprimento de onda associado a uma bola de tênis que pesa 6,0 x 10-2 _{kg movendo-se a essa}

velocidade. (b) Calcule o comprimento de onda de um elétron (9,1094 x 10-31 _kg)

que se move à velocidade de 68 m/s.

+

- r 

mv

h





Calcule o comprimento de onda da “partícula” nos seguintes casos: (a) O serviço mais rápido no jogo de tênis é cerca de 68 m/s. Calcule o comprimento de onda associado a uma bola de tênis que pesa 6,0 x 10-2 _{kg movendo-se a essa}

velocidade. (b) Calcule o comprimento de onda de um elétron (9,1094 x 10-31 _kg)

que se move à velocidade de 68 m/s.

+

- r 

m

x

ms

x

kg

x

Js

x

mv

h

34

1

2

34

10

6

,

1

68

)

10

0

,

6

(

10

63

,

6

















(a) Tamanho do átomo _{(1 x 10}-10 _m)

Calcule o comprimento de onda da “partícula” nos seguintes casos: (a) O serviço mais rápido no jogo de tênis é cerca de 68 m/s. Calcule o comprimento de onda associado a uma bola de tênis que pesa 6,0 x 10-2 _{kg movendo-se a essa}

velocidade. (b) Calcule o comprimento de onda de um elétron (9,1094 x 10-31 _kg)

que se move à velocidade de 68 m/s.

+

- r 

m

x

ms

x

kg

x

Js

x

mv

h

5

1

31

34

10

1

,

1

68

)

10

1094

,

9

(

10

63

,

6

















(b) Infravermelho _{(mensurável)}

Experimento de Davisson-Germer

Partiram da proposta de De Broglie de que qualquer espécie de

partícula exibe propriedades de onda e de partícula

Se partículas, como os elétrons, tivessem propriedades

ondulatórias, deveriam exibir fenômenos de interferência

Comprovação

Clinton Davisson / Lester Germer e G. P. Thomson: demonstram que os elétrons, de fato, possuem propriedades ondulatórias.

Experimento: Direcionaram um feixe de elétrons através de uma folha fina de Al. Como a folha de metal é constituída por muitos cristalitos (pequenos monocristais) orientados aleatoriamente, a figura de difração é constituída por anéis concêntricos.

Ondas e partículas

62

•

Três comprimentos de onda

completos estão contidos na

órbita da circunferência

•

Como visto anteriormente, a

circunferência deve conter um

número inteiro de comprimentos

de onda

Este foi o primeiro argumento convincente que a natureza ondulatória da matéria está implícita no comportamento de sistemas atômicos.

,...

3

,

2

,

1

2



r



n







vr

m

h

e





,...

3

,

2

,

1





n

n

vr

m

_e



Mas

Então,

Curiosidade

J. J. Thomson

(o pai) ganhou o prêmio Nobel de 1906 pela

descoberta do elétron, provando que o elétron era uma partícula.

G. P. Thomson

(o filho) ganhou o prêmio

Nobel de 1937 por sua experiência de

difração de elétrons, que provou as

características ondulatórias do elétron.

Estudo do comportamento e das leis do

movimento para partículas microscópicas

ANTECEDENTES:

• Teoria da quantização da energia (Max Planck): E = h.



• Dualidade onda-partícula (De Broglie):



= h / p = h / mv

• Princípio de incerteza (Heisenberg):

• Energia de Bohr:

  . 4 h Δx.Δp

Mecânica Quântica

2 2 2 0 0 2 18 0 0 1, 2,3, 4 2

1 hartree = 1 unidade atômica de energia = 4,3598 10 4 n Z e E n a n e J a         

Conceitos básicos da Mecânica Quântica

Na Mecânica Clássica, o estado de um sistema é definido pela posição e pelo

momento das partículas. Conhecendo o estado inicial do sistema e as forças que

atuam nele é possível calcular seu estado em qualquer instante de tempo por meio das Leis de Newton.

Entretanto, esta abordagem clássica falha na descrição de sistemas microscópicos, como já vimos

Para entender tais sistemas microscópicos, foi necessário uma nova teoria, que foi desenvolvida a partir de 1920 por Erwin Schrödinger, Werner Heisenberg, Paul Dirac, e outros, sendo denominada de Mecânica Quântica

Na mecânica quântica, o estado de um sistema é definido por uma função matemática (Ψ = psi), chamada de função de onda. As variáveis que definem uma função de onda são as coordenadas espaciais das partículas que compõem o sistema e o tempo

Ψ = Ψ(x,y,z,t)

Mecânica Quântica

A descoberta das propriedades ondulatórias da matéria levantou

algumas questões novas e interessantes sobre a física clássica

Considerando uma bola descendo uma rampa. Usando a física clássica,

podemos calcular sua posição, direção do movimento e velocidade a

qualquer momento, com grande exatidão

A descoberta das propriedades ondulatórias da matéria levantou

algumas questões novas e interessantes sobre a física clássica

Considerando uma bola descendo uma rampa. Usando a física clássica,

podemos calcular sua posição, direção do movimento e velocidade a

qualquer momento, com grande exatidão

Podemos fazer o mesmo para o elétron???

Não se pode definir a localização precisa de uma onda porque ela

se estende no espaço

Princípio de Incerteza de Heisenberg

Quando experimentos são realizados, o experimentador sempre se depara com incertezas experimentais nas medidas.

A Mecânica Clássica permite que sejam realizados experimentos com incertezas experimentais arbitrárias muito pequenas.

Por outro lado, a Mecânica Quântica prediz que a barreira para medidas com incertezas desprezíveis não existe.

Em 1927, Heisenberg introduziu o Princípio da Incerteza:

Se uma medida da posição de uma partícula for realizada com precisão Δx e uma

medida simultânea do momento linear é feita com precisão Δp, então o produto das

Matematicamente…

2

2

2































p

z

p

y

p

x

Quanto maior a vida média de um estado de energia, menor é

a largura de seu estado

2











E

t

É fisicamente impossível medir

simultaneamente a posição exata e o

momento linear exato de uma partícula.

Isso não é devido imperfeições nos

instrumentos práticos de medidas, mas

essas incertezas surgem da estrutura

quântica da matéria.



2

h





Princípio da Complementaridade

As naturezas

ondulatória

e

corpuscular

do elétron não

podem ser

simultaneamente

determinadas

Princípio da incerteza

Para entender melhor considere uma partícula que sabemos exatamente o seu comprimento de onda. Usando a relação de de Broglie

λ =

ℎ

𝑝 saberíamos o

momento com precisão infinita.

Essa onda existiria em todo o espaço com um único comprimento de onda.

Qualquer região nessa onda significa a mesma coisa que qualquer região. Onde está a partícula representada por esta onda? (todos os pontos dessa onda são idênticos)

→

incerteza infinita na posição

Dados: v = 30 m/s

Δ

v = 0,10% m = 50,0 g Encontre: Δx = ?

Note que a bola é não-relativística. Então, p = mv, e a incerteza na medida do momento é

Então, a relação de incerteza implica que

Uma bola de 50,0 g move-se a 30,0 m/s. Se sua velocidade é medida com uma acurácia de 0,10%, qual é a incerteza mínima em sua posição?

 







kg



m

s



kg

m

s

v

v

m

v

m

p

/

10

5

,

1

/

30

10

0

,

1

10

0

,

50





2



3







2















  

 



kg

m

s



m

s

J

p

h

x

₂ 33 34

10

5

,

3

/

10

5

,

1

4

10

63

,

6

4

  

























O princípio da incerteza de Heisenberg

“É impossível determinar ao mesmo tempo, e com certeza, o momento

linear (produto da massa pela velocidade) e a posição de uma partícula”

Conclusão, não é apropriado imaginar o elétron movendo-se ao redor do

núcleo em órbita bem definida.

m

x

s

m

x

kg

x

s

J

x

v

m

h

x

h

mv

x

9 4 31 34

10

1

)

/

10

5

)(

10

11

,

9

(

4

)

10

63

,

6

(

4

4

.

  

























Diâmetro médio de um átomo de hidrogênio (2 x 10-10 _{m) ??????}

Calculo da posição de um elétron do átomo de hidrogênio (m = 9,11 x 10-31 _{kg), movendo-se a 5 x 10}6 _{m/s (x 0,01 ~ 5 x}

Bibliografia

-Sears e Zemansky, Física IV, Pearson Education do Brasil, 12

a

_edição,

2009.

-Moore, W.J.,

Physical Chemistry

, 4

ª

_{Edição, Longman, página 469,}

1962.

- Typler, P.A., Física Moderna, Guanabara Dois, 1981.

-

Russel, J.B., Química Geral, 2

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_{Edição, Volume 1, Makron Books, 1994.}

- Brown, T. , Química a Ciência Central, Pearson Education Brasil, 9ª

Edição, 2005.

-Eisberg, R., Resnick, R., Física Quântica, Editora Campus, 1ª Edição,

1979.

-Eisberg, R.,

Fundamentals of Modern Physics

, John Wiley & Sons, 1ª

Edição, 1961.

• Física Moderna, Origens Clássicas e Fundamentos Quânticos, F. Caruso e V. Oguri, Editora Campus

• Seções 5.1 a 5.4, pulando todas as partes que incluem equações que você achar apavorantes demais.

• Seção 12.1.5: dedução das fórmulas do modelo atômico de Bohr

• Princípios de Química, Questionando a vida moderna e o meio ambiente, Peter Atkins e Loretta Jones

• Capítulo 1, “O Mundo Quântico”, até começar a discussão sobre Funções de Onda.

• Física Moderna para iniciados, interessados e aficionados, Volume 1, Ivan S. Oliveira

• Capítulo 3 – A Mecânica Quântica – primeiras páginas, até falar de Erwin Schrödinger.

Sugestão de Leitura