Reticulados Numéricos

(1)

Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho” Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas

Reticulados Num´

ericos

Elen Cristina Mazucchi

Orientador: Prof. Dr. Antonio Aparecido de Andrade

Disserta¸cão apresentada ao Departamento de Matemática - IBILCE - UNESP, como parte dos requisitos para a obten¸cão do T´ıtulo de Mestre em Matemática.

Fevereiro - 2006

(2)

BANCA EXAMINADORA

•

Antonio Aparecido de Andrade

Professor Doutor - IBILCE - UNESP

Orientador

• Roseli Arbach Fernandes de Oliveira

Professora Doutora - FEIS - UNESP

1

◦

Examinador

• Edson Agustini

Professor Doutor - UFU - MG

2

◦

Examinador

• Edson Donizete de Carvalho

Professor Doutor - FEIS - UNESP

1

◦

Suplente

• Jo˜ao Roberto Gerˆonimo

Professor Doutor - UEM - PR

2

◦

Suplente

(3)

Aos meus pais, João e Ivanilda, aos meus irmãos, João Ricardo e Laiara,

ao meu namorado Fernando,

e ao meu avˆo Annibal Mazucchi (in memorian) dedico.

(4)

Agradecimentos

Ao concluir este trabalho, agrade¸co:

Primeiramente a Deus.

Ao Prof. Dr. Antonio Aparecido de Andrade, pela amizade de tantos anos, pela paciˆencia, dedica¸c˜ao e incentivo.

Aos professores do Departamento de Matem´atica da UNESP - S.J.R.Preto, em especial ao Prof. Hermes Antˆonio Pedroso, pela amizade e carinho.

Aos professores da banca examinadora: Profa_{. Dr}a_{. Roseli Arbach Fernandes de Oliveira}

(FEIS - UNESP - Ilha Solteira), Prof. Dr. Edson Agustini (UFU - MG), Prof. Dr. Edson Donizete de Carvalho (FEIS - UNESP - Ilha Solteira) e Prof. Dr. Jo˜ao Roberto Gerˆonimo (UEM - PR).

`

A minha fam´ılia pelo apoio e compreênsão nos momentos de ausência.

Aos meus pais Jo˜ao Mazucchi e Ivanilda Vieira Mazucchi que sempre me apoiaram, incen-tivaram e me mostraram que quando sonhamos e acreditamos, tudo ´e poss´ıvel.

Ao meu namorado Fernando, por estar sempre ao meu lado nos momentos dif´ıceis e por compartilhar os momentos de alegria.

`

A C´atia por compartilhar as alegrias, tristezas, dificuldades e vit´orias desde o in´ıcio da nossa caminhada.

Aos amigos do curso de Pós-gradua¸cão, em especial à Giovana, Fernanda, Francielle, Tatiane e Marcus, pela convivência e amizade de tantos anos.

`

A FAPESP pelo aux´ılio financeiro.

(5)

“N´os geralmente descobrimos o que fazer percebendo aquilo que n˜ao devemos fazer. E provavelmente aquele que nunca cometeu um erro nunca fez uma descoberta.”

(6)

Resumo

Este trabalho é dedicado a descri¸cão de alguns métodos algébricos para obten¸cão de bons reticulados. Através da teoria de ideais reticulados vimos algumas constru¸cões de reticulados rotacionados, obtendo reticulados tão bons quanto os já conhecidos. Nessas constru¸cões o desempenho do reticulado está totalmente relacionado com a estrutura do corpo de números K com o qual estamos trabalhando.

(7)

Abstract

This work is dedicated to description of some algebraic methods for attainment of good lattices. Through the theory of ideal lattices we make some lattices constructions obtained lattices so good how much already known. In these constructions, the performance of the lattices one total is related with the structure of number field K with which we are working.

(8)

´

_{Indice de S´ımbolos}

N: conjunto dos números naturais Z: conjunto dos números inteiros Q: conjunto dos números racionais R: conjunto dos números reais C: conjunto dos números complexos ∂f : grau do polinômio f

[L : K]: grau de L sobre K Q: produt´orio

P: somat´orio

det(A): determinante da matriz A (aij): matriz

χα(x): polinˆomio caracter´ıstico de α

D(α1, . . . , αn): discriminante de uma n-upla

O_K_{: anel dos inteiros de K}

#X: cardinalidade do conjunto X min(X) : m´ınimo do conjunto X a, b, . . .: ideais

ϕ(n): fun¸c˜ao de Euler para o inteiro n A[X]: anel dos polinˆomios sobre A em X

K(α1, . . . , αn): corpo obtido pela adjun¸c˜ao de α1, . . . , αn a K

ξn: e2πi/n = cos2π_n + isen2π_n, raiz n-´esima primitiva da unidade

x: conjugado complexo do elemento x D_K_{: discriminante absoluto do corpo K} T r_L|K: tra¸co em rela¸cão à extens˜_{ao L/K} N_L|K: norma em rela¸cão à extens˜_{ao L/K} ∆(O_L_{|K) : diferente de L sobre K.} (∆(O_L_|K))−1 _{: codiferente de L sobre K.} O_L∗ _{: codiferente de L sobre K.}

(9)

< α1, . . . , αn>: ideal gerado por α1, . . . , αn

Gal(L|K): grupo de Galois de L|K a|b : a divide b

δ(Λ) : densidade de centro do reticulado Λ div : diversidade

dp,min : distˆancia produto m´ınima

E : energia da constela¸c˜ao Eb : energia por bit

N0 : potˆencia do ru´ıdo

(10)

Sum´

ario

Introdu¸c˜ao . . . 3

1 Teoria algébrica dos números 5 1.1 Módulos Noetherianos . . . 5

1.2 Anel de inteiros . . . 11

1.3 Norma e tra¸co . . . 17

1.4 Discriminante . . . 23

1.5 An´eis de Dedekind . . . 28

1.6 Norma de um ideal . . . 32

1.7 Anel de fra¸c˜oes . . . 35

2 Corpos quadráticos e ciclotômicos 40 2.1 Corpos quadráticos . . . 40

2.2 Corpos ciclotˆomicos . . . 43

2.3 Ramifica¸c˜ao de ideais . . . 48

3 Codiferente e diferente 57 3.1 Codiferente . . . 57

3.2 Diferente . . . 62

4 Reticulados e ideais reticulados 68 4.1 Reticulados . . . 68

4.2 Homomorfismo canˆonico . . . 72

4.3 Ideais reticulados . . . 80

4.4 Perturba¸c˜ao do homomorfismo canˆonico . . . 82

4.5 Diversidade e distˆancia produto m´ınima . . . 84

(11)

5 Constru¸c˜oes de ideais reticulados 92

5.1 Ideais reticulados via corpos totalmente reais . . . 93

5.2 Constru¸c˜ao quadr´atica . . . 94

5.3 Constru¸cão ciclotômica em dimensão n = p−1₂ . . . 96

5.4 Constru¸c˜ao c´ıclica . . . 102

5.4.1 Caso I: Somente p > n se ramifica em O_K. . . 103

5.4.2 Caso II: Somente p = n se ramifica em O_K . . . 111

5.4.3 Caso III: Pelo menos dois primos se ramificam em O_K . . . 115

5.4.4 Distˆancia produto m´ınima via a constru¸c˜ao c´ıclica . . . 119

5.5 Constru¸c˜ao mista . . . 121

5.6 M´etodo de Kr¨uskemper . . . 127

(12)

Introdu¸

c˜

ao

Em um sistema de comunica¸cão digital, o objetivo é transmitir dados de uma fonte até um destino. O meio usado para esta transmissão é chamado de canal e pode ser um cabo coaxial, fibra óptica, a atmosfera (no caso de ondas de rádio), CD’s, disquetes, DVD’s (no caso de canais de armazenagem),etc.

Em um sistema tradicional, os dados gerados pela fonte são s´ımbolos de um alfabeto A. Como cada s´ımbolo tem sua probabilidade de ocorrência, estes dados são processados pelo codificador de fonte, com o objetivo de eliminar redundâncias e desta forma compactar a informa¸cão.

As sequências geradas pelo codificador de fonte são então processadas pelo codificador de canal, que introduz redundâncias gerando sequências de s´ımbolos de A que são chamadas de palavras código. Para a transmissão, o modulador associa a cada palavra código x um conjunto de s´ımbolos analógico, que é então enviado pelo canal.

A imperfei¸cão do canal gera distor¸cões e o sinal recebido nem sempre coincide com o enviado. O demodulador faz então a melhor estimativa, fornecendo uma sequência r de s´ımbolos de A. Devido ao ru´ıdo, é poss´ıvel que r não seja uma palavra código. Então, o decodificador de canal associará uma palavra código, que é a melhor estimativa.

Finalmente, o decodificador de fonte associará a esta palavra código a suposta sequência original de s´ımbolos enviada. O diagrama abaixo ilustra o processo.

Fonte −→ Codif. de Fonte −→ Codif. de Canal ↓ Modulador ↓ Canal ←− Ru´ıdo ↓ Demodulador ↓

Destino ←− Decodif. de Fonte ←− Decodif. de Canal

Cada uma destas etapas gerou grandes ´areas de pesquisa, que se desenvolveram, de certa forma, independentemente.

A teoria dos c´odigos corretores de erros nasceu em 1948, com o famoso trabalho de Shannon [1], onde foi demonstrado o Teorema da Capacidade de Canal. Em linhas gerais, este

(13)

resultado diz que para transmissão de dados abaixo de uma taxa C (s´ımbolos por segundo), chamada de capacidade do canal, é poss´ıvel obter probabilidade de erro tão pequena quanto se deseja através de códigos corretores de erros eficientes.

A Teoria Algébrica dos Números tem sido bastante útil no desenvolvimento de códigos corretores de erros e reticulados. Corpos finitos foram a ferramenta chave para o desenvolvi-mento dos códigos binários, estruturas que despertaram gradativamente o interesse dos pes-quisadores em teoria das comunica¸cões. Recentemente, a preocupa¸cão de perder informa¸cões nas comunica¸cões sem fio for¸cou os pesquisadores da teoria da codifica¸cão a trabalhar com ca-nais com desvanecimento. Deste modo, novos critérios para a obten¸cão de códigos vem sendo

consi-derados com a finalidade de aperfei¸coar o desempenho dos sistemas de transmiss˜ao sem fio. ´

E neste contexto que constela¸cões de sinais de reticulados rotacionados têm sido propostas para transmissão sobre o canal Rayleigh com desvanecimento. Reticulados algébricos, isto é, reticulados constru´ıdos via o homomorfismo canônico de um corpo de números algébricos, são providos de uma ferramenta eficiente para constru¸cão de tais códigos reticulados. A razão é que os dois principais parâmetros para a constru¸cão desses códigos, a diversidade e a distância produto m´ınima do reticulado, estão diretamente relacionadas com as propriedades do corpo de números em questão.

O presente trabalho está dividido em cinco cap´ıtulos. Os Cap´ıtulos 1, 2 e 3 são dedica-dos a Teoria Algébrica dos Números, onde apresentamos alguns conceitos e resultados que serão utilizados no decorrer do trabalho. No Cap´ıtulo 4 definimos reticulados algébricos e fornecemos o Método de Minkowiski para gera¸c˜_{ao de reticulados no R}n_{. Ainda neste}

cap´ıtulo introduzimos a teoria de ideais reticulados, descrevendo seus principais resultados. No Cap´ıtulo 5 apresentamos cinco constru¸c˜_{oes de Z}n-reticulados rotacionados. Tais cons-tru¸cões são: constru¸cão quadrática, constru¸cão ciclotômica, constru¸cão c´ıclica, constru¸cão mista e finalmente uma constru¸cão via o método de Krüskemper.

(14)

Cap´ıtulo 1

Teoria alg´

ebrica dos n´

umeros

Neste cap´ıtulo introduzimos conceitos importantes da Teoria Algébricos dos Números tais como elementos inteiros sobre anéis, norma e tra¸co de elementos. Enfocamos também as principais propriedades dos anéis Noetherianos, dos anéis de Dedekind e anéis de fra¸cões.

O objetivo deste cap´ıtulo é introduzir conceitos que serão usados nos cap´ıtulos posteriores, e os resultados podem ser encontrados nas referências [2], [3], [4], [5] e [6].

1.1 M´

odulos Noetherianos

Nesta se¸cão apresentamos os conceitos de módulos e módulos Noetherianos juntamente com suas principais propriedades.

Defini¸cão 1.1.1 Seja A um anel. Um A-módulo M é um grupo abeliano (aditivo) munido de uma aplica¸cão A × M −→ M, denotado por (a, m) −→ am, tal que, para quaisquer a, b ∈ A e x, y ∈ M, tem-se:

i) a(x + y) = ax + ay; ii) (a + b)x = ax + bx; iii) (ab)x = a(bx); iv) 1x = x.

Defini¸cão 1.1.2 Sejam A um anel e M um A-módulo. Um subconjunto N ⊂ M não vazio é um A-submódulo de M se, com as opera¸cões herdadas de M, também é um A-módulo.

(15)

Defini¸c˜ao 1.1.3

1. Um A-m´odulo M ´e dito finitamente gerado se existem x1, . . . , xr ∈ M tais que

M = Ax1+ · · · + Axr, e neste caso, dizemos que x1, · · · , xr formam um sistema de

geradores de M.

2. Um conjunto de elementos x1, . . . , xr ∈ M s˜ao linearmente independentes (sobre

A) se a igualdade

r

X

i=1

aixi = 0, com ai ∈ A, implicar que a1 = · · · = ar = 0.

3. Se al´em disso, x1, . . . , xs formarem um sistema de geradores de M, ent˜ao eles formam

uma base de M.

Observa¸cão 1.1.1 É importante lembrar que nem todo módulo finitamente gerado possui uma base. Um A-módulo que possui uma base é chamado de A-módulo livre, e o número de elementos da base é chamado de posto de A.

Defini¸cão 1.1.4 Sejam M um A-módulo e I1 ⊂ I2 ⊂ · · · ⊂ In ⊂ · · · uma sequência

crescente de A-submódulos de M. Esta é uma sequência estacionária se existir n0 ∈ N tal

que In= In0 para todo n ≥ n0. A defini¸cão é análoga para sequência decrescente estacionária.

Defini¸cão 1.1.5 Sejam A um anel e M um A-módulo. Dizemos que M é um A-módulo Noetheriano se satisfaz uma das seguintes condi¸cões:

1) Toda fam´ılia não vazia de A-submódulos de M tem um elemento maximal. 2) Toda sequência crescente de A-submódulos de M é estacionária.

3) Todo A-subm´odulo de M ´e finitamente gerado.

Dizemos que A ´e um anel noetheriano se A considerado como um A-m´odulo for noethe-riano.

Proposi¸c˜ao 1.1.1 Todo anel principal A ´e noetheriano.

Demonstra¸cão: Considere uma sequência crescente de A-submódulos de M , I1 ⊂ I2 ⊂ · · · ⊂ In⊂ · · · .

Como A é principal, todos os ideais de A são principais e como os submódulos de A são exatamente os ideais de A, segue que os submódulos de A são principais. Temos que I =

[

n∈N

In ´e um ideal de A. Agora, notemos que In⊂ I = hai, para todo n ∈ N e a ∈ In0, para

algum n0 ∈ N, pois a ∈ hai = I =

[

n∈N

In. Como a ∈ In0 e a ∈ hai segue que I = hai ⊂ In0.

(16)

Teorema 1.1.1 Sejam A um anel principal, M um A-módulo livre de posto n, e M0 um A-submódulo de M. Então:

i) M0 ´e livre de posto q, 0 ≤ q ≤ n.

ii) Se M0 6= h0i, ent˜ao existe uma base {e1, . . . , en} de M e elementos n˜ao nulos a1, . . . , aq∈

A tal que {a1e1, . . . , aqeq} ´e uma base de M0 e que ai divide ai+1, para i = 1, 2, . . . , q − 1.

Demonstra¸cão: Para M = h0i o resultado é trivial. Consideremos portanto M 6= h0i. Seja L(M, A) o conjunto das formas bilineares sobre M . Para u ∈ L(M, A), u(M0) é um submódulo de A, um ideal de A. Como todo ideal de A é principal, podemos escrever u(M0) = Aau, com au ∈ A. Pela Proposi¸cão (1.1.1), segue que A é um anel Noetheriano,

ent˜ao existe u ∈ L(M, A) tal que Aau ´e maximal entre todos os Aav, v ∈ L(M, A). Seja

{x1, x2, . . . , xn} uma base de M , a qual o identifica com An. Seja Pri : M → A a proje¸c˜ao na

i-´esima coordenada, isto ´e, Pri(xj) = δij. Como M

0 _{6= h0i, para pelo menos um i, 1 ≤ i ≤ n,}

Pri(M

0_{) 6= h0i. Consequentemente, a}

u 6= 0. Pela nossa constru¸c˜ao, existe e0 ∈ M0 tal que

u(e0) = au. Mostremos que para todo v ∈ L(M, A), au | v(e0). Se d = mdc(au, v(e0)), existem

b, c ∈ A tais que d = bau+ cv(e0), ou seja, d = (bu + cv)e0. Como w = bu + cv ´e uma forma

linear sobre M , Aau ⊂ Ad ⊂ w(M0). Pela maximalidade de Aau segue que Ad = Aau, o que

implica que au | v(e0). Em particular, au | Pri(e

0_{), ent˜}_{ao, P} ri(e 0_{) = a} ubi, com bi ∈ A. Fa¸ca e = n X i=1

bixi, ent˜ao e0 = aue. Como u(e0) = au = auu(e), segue que u(e)=1. Mostremos que :

1. M = Ker(u) ⊕ Ae.

2. M0 = (M0∩ Ker(u)) ⊕ Ae0_{, onde e}0 _{= a} ue

1. Para todo x ∈ M, x = u(x)e+(x−u(x)e). Observe que u(x−u(x)e) = u(x)−u(x)u(e) = 0, pois u(e) = 1, ent˜ao x − u(x)e ∈ Ker(u). Isto mostra que Ae + Ker(u) = M . Al´em disso, Ae ∩ Ker(u) = ∅. Portanto, M = Ker(u) ⊕ Ae.

2. Para y ∈ M, u(y) = bau, com b ∈ A, tal que y = baue + (y − u(y)e) + be0+ (y − u(y)e).

Al´em disso, temos que y − u(y)e ∈ Ker(u) e y − u(y)e = y − be0 ∈ M0_{, ou seja,}

y − u(y)e ∈ (M0 ∩ Ker(u)) e be0 _{∈ Ae}0 _{⊂ Ae, e isto conclui (2).}

Finalmente vamos a demonstra¸cão do teorema. i) Faremos por indu¸cão sobre o posto q de M0. Se q = 0, M0 = h0i e não há o que provar. Se q > 0, M0 ∩ Ker(u) tem rank q − 1 (de acordo com (2)) e portanto, M0 ∩ Ker(u) é livre, de acordo com a hipótese de indu¸cão. Como a soma em (2) é direta, obtemos uma base para M0, adicionando e0 a base

(17)

de M0 ∩ Ker(u). Consequentemente, M0 _´_{e livre de posto q. ii) Faremos indu¸c˜}_{ao sobre n,}

o posto de M . Novamente, se n = 0 não há o que provar. Suponhamos então n > 0. Pelo item i), Ker(u) é livre de posto n − 1, já que a soma em (1) é direta. Aplicaremos a hipótese de indu¸cão para o módulo livre Ker(u) e para o submódulo M0 ∩ Ker(u): se M0∩ Ker(u) 6= h0i, existem q ≤ n, uma base {e2, . . . , en} de Ker(u) e elementos a2, . . . , aq

de A n˜ao nulos, tal que {a2e2, . . . , aqeq} ´e uma base para M0∩ Ker(u), e tal que ai | ai+1,

para 2 ≤ i ≤ q − 1. Com as mesmas nota¸c˜oes acima, seja a1 = au e e1 = e. Ent˜ao, de acordo

com (1), {e1, e2, . . . , en} ´e uma base para M e de acordo com (2), e do fato de e0 = a1e1,

segue que {a1e1, a2e2, . . . , aqeq} ´e uma base para M0. Falta mostrar que a1 | a2. Seja v

uma forma linear sobre M definida pela rela¸c˜ao v(e1) = v(e2) = 1 e v(ei) = 0, para i ≥ 3.

Ent˜ao a1 = au = v(aue1) = v(e0) ∈ v(M0), ent˜ao Aau ⊂ v(M0). Pela maximalidade de Aau,

conclu´ımos que v(M0) = Aau = Aa1. Como a2 = v(a2e2) ∈ v(M0), temos que a1 ∈ Aa2, e

isto implica que a1 | a2, e isto conclui a demonstra¸c˜ao.

Proposi¸cão 1.1.2 Sejam A um anel, M um A-módulo e N um submódulo de M. Então M é noetheriano se, e somente se, M

N e N s˜ao noetherianos.

Demonstra¸cão: Suponha que M é noetheriano. Seja (Mn)n≥0 uma sequência crescente de

A-submódulos de N . Então (Mn)n≥0também é uma sequência crescente de A-submódulos de

M . Como M é noetheriano, segue que (Mn)n≥0 é estacionária. Portanto, N é noetheriano.

Para mostrar que M

N ´e noetheriano, sejam

S = { submódulos de M que contém N } e T = { submódulos de M N}. A aplica¸cão ϕ : S −→ T definida por ϕ(L) = L

N, para L ∈ S, é uma bije¸cão de S em T . Assim, se (Mn)n≥0 é uma sequência crescente de A-submódulos de

M

N, ent˜ao (ϕ

−1_(M n))n≥0

também é uma sequência crescente A-submódulos de M. Como M é noetheriano, segue que (ϕ−1(Mn))n≥0 é estacionária, e portanto (Mn)n≥0 é estacionária. Assim,

M

N ´e noetheriano. Reciprocamente, suponhamos que M

N e N são noetherianos. Seja (Mn)n≥0 uma sequência crescente de A-submódulos de M . Assim, (N ∩ Mn)n≥0 é uma sequência crescente de

A-submódulos N . Como N é noetheriano, segue que (N ∩ Mn)n≥0é estacionária, ou seja, existe

k ∈ N tal que Mn∩ N = Mn+1∩ N, ∀n ≥ k e Mn N = Mn+1 N , ∀n ≥ k.

(18)

Sabemos, que Mn⊆ Mn+1, ∀n ≥ k. Se x ∈ Mn+1, ent˜ao existe y ∈ Mntal que x+M1 = y+N .

Assim, x − y ∈ N ∩ Mn+1 = N ∩ Mn. Logo, x − y ∈ Mn e como y ∈ Mn segue que x ∈Mn.

Portanto, Mn = Mn+1, ∀n ≥ k e assim, M ´e noetheriano.

Corolário 1.1.1 Se M1, . . . , Mnsão A-módulos noetherianos então o produto M1×· · ·×Mn

´e um A-m´odulo noetheriano.

Demonstra¸c˜ao: Faremos a prova por indu¸c˜ao sobre n. Para n = 2, identificamos M1 '

M1×{0} ⊆ M1×M2 e definimos a fun¸c˜ao ϕ : M1×M2 −→ M2 tal que ϕ(0, y) = y. Como ϕ ´e

um homomorfismo sobrejetor, segue que M1 × M2

ker ϕ ' M2, onde ker ϕ = M1× {0}. Como M2 ´e noetheriano, segue que M1× M2

M1× {0}

' M2 ´e noetheriano e pela Proposi¸c˜ao (1.1.2), segue que

M1× M2 é noetheriano. Suponhamos agora, por hipótese de indu¸cão, que M = M1× · · · ×

Mn−1´e noetheriano. Como Mn´e noetheriano, segue do caso n = 2, que M = M1× · · · × Mn

´e um A-m´odulo noetheriano.

Corolário 1.1.2 Se A é um anel noetheriano e M é um A-módulo finitamente gerado, então M é um A-módulo noetheriano.

Demonstra¸c˜ao: Seja {e1, . . . , en} um conjunto de geradores do A-m´odulo M . Temos que a

aplica¸c˜ao ϕ : An −→ M definida por ϕ(a1, . . . , an) = a1e1+ · · · + anen, ´e um homomorfismo

sobrejetor. Assim, pelo Teorema do Homomorfismo, temos que A

n

ker ϕ ' M . Como A ´e noetheriano, pelo Corol´ario (1.1.1), segue que An _´_{e noetheriano. Pela Proposi¸c˜}_{ao (1.1.2),}

segue que M ´e um A-m´odulo noetheriano.

Proposi¸c˜ao 1.1.3 Em um anel noetheriano A todo ideal cont´em um produto de ideais pri-mos.

Demonstra¸cão: Sejam A um anel noetheriano e F o conjuntos dos ideais de A que não contém um produto de ideais primos. Suponhamos F 6= ∅. Como A é noetheriano, segue que F tem um elemento maximal M . Temos que M não é um ideal maximal, pois caso contrário, M seria primo e assim, M 6∈ F . Assim, existem x, y ∈ A − M tal que xy ∈ M . Notemos que M ( hxi + M e M ( hyi + M . Logo, hxi + M e hyi + M não pertencem a F . Assim,

p1p2. . . pn⊆ hxi + M e q1q2. . . qn ⊆ hyi + M,

onde pi, qj s˜ao ideais primos de A, e

(19)

o que ´e um absurdo. Portanto, F = ∅.

Corolário 1.1.3 Em um dom´ınio noetheriano, todo ideal não nulo contém um produto de ideais primos não nulos.

Demonstra¸cão: Análoga a Proposi¸cão (1.1.3).

Defini¸c˜ao 1.1.6 Seja A um anel. Dizemos que a ∈ A ´e nilpotente se an_{= 0, para algum}

n ≥ 0. Dizemos que A é um anel reduzido se o único elemento nilpotente de A é o zero. Corolário 1.1.4 Se A é um anel noetheriano reduzido, então o ideal nulo de A é uma interseçcão finita de ideais primos não nulos de A.

Demonstra¸cão: Pela Proposi¸cão (1.1.3), temos que o ideal nulo de um anel noetheriano contém um produto de ideais primos. Portanto, h0i =

g

Y

i=1

pei

i . Vamos mostrar que h0i = g

\

i=1

pei

i . Temos que h0i ⊆ p1∩ . . . ∩ pg. Por outro lado, se x ∈ p1∩ . . . ∩ pg, ent˜ao xe1+e2+···+eg ∈

pe1

1 . . . p eg

g = h0i. Como A ´e reduzido, segue que x = 0. Portanto, h0i = g

\

i=1

pei

i .

Lema 1.1.1 Se A1, A2 s˜ao ideais de um anel A e A1+ A2 = A ent˜ao A1A2 = A1∩ A2 .

Demonstra¸c˜ao: Temos que A1A2 ⊂ A1 e A1A2 ⊂ A2 e assim A1A2 ⊂ A1∩ A2. Agora,

suponhamos que x ∈ A1∩A2. Por hip´otese, A1+A2 = A, assim, existem elementos a1 ∈ A1,

a2 ∈ A2 tal que 1 = a1 + a2. Logo, x = a1x + a2x ´e a soma de dois elementos de A1A2.

Assim, A1∩ A2 ⊂ A1A2. Portanto, A1A2 = A1∩ A2 .

Lema 1.1.2 Se A ´e um anel e {A1, . . . , An} ´e um conjunto finito de ideais de A, tais que

Ai+ Aj = A, para i 6= j, ent˜ao A/ n Y i=1 Ai ' n Y i=1 A/Ai.

Demonstra¸cão: Faremos a prova por indu¸cão sobre n. Para o caso n = 2, seja a aplica¸cão ϕ : A −→ A/A1× A/A2,

definida por ϕ(a) = (a + A1, a + A2), com a ∈ A. Assim ker(ϕ) = A1 ∩ A2, uma vez que,

ϕ(x) = (¯0, ¯¯0) se, e somente se, (x+A1, x+A2) = (¯0, ¯¯0) se, e somente se, x+A1 = ¯0 e x+A2 = ¯¯0

se, e somente se x ∈ A1 e x ∈ A2, se e somente se, x ∈ A1∩ A2. Quanto a sobretividade,

(20)

Como A1 + A2 = A, existem elementos a1 ∈ A1, a2 ∈ A2 tais que 1 = a1 + a2. Seja,

x = a1z + a2y. Como a2 ≡ 1(modulo A1) e a1 ≡ 1(modulo A2) segue que x ≡ y(modulo A1)

e x ≡ z(modulo A2), isto ´e, x + A1 = y + A1 e x + A2 = z + A2, ou seja, ϕ ´e sobrejetora.

Portanto, A/A1∩ A2 ' A/A1× A/A2, e pelo Lema (1.1.1), temos que

A/A1A2 ' A/A1 × A/A2.

Agora, supomos que o resultado ´e verdadeiro para ∀k < n. Fazendo b = A2. . . An, temos

que A1+ b = A, uma vez que A1+ Ai = A, para i ≥ 2, e assim, existem elementos ci ∈ A1

e ai ∈ Ai tais que ci+ ai = 1. Logo, 1 = n

Y

i=2

(ci + ai) = c + a2. . . an, onde c ´e a soma dos

termos que cont´em no m´ınimo um ci como fator. Logo, c ∈ A1. Como a2. . . an ∈ b, segue

que A1+ b = A. Pelo caso n = 2, segue que A/A1b ' A/A1× A/b, e por hip´otese de indu¸c˜ao

temos que A/ n Y i=1 Ai ' n Y i=1 A/Ai.

Defini¸cão 1.1.7 Um espa¸_{co vetorial V sobre um corpo K é uma K-´}algebra se existe uma multiplica¸cão em V satisfazendo,

1. a(b+c)=ab+ac, ∀a, b, c ∈ V,

2. a(αb)=(αa)b=α(ab), ∀α ∈ K e a, b ∈ V, 3. a(bc)=(ab)c, ∀a, b, c ∈ V,

4. ∃1V ∈ V ; a1V = a = 1Va, ∀a ∈ V

Observa¸c˜ao 1.1.2 Se ab = ba, ∀a, b ∈ V , dizemos que V ´_{e uma K-´}algebra comutativa.

1.2 Anel de inteiros

Nesta se¸c˜ao, apresentamos o conceito de anel de inteiros e faremos um estudo sobre as suas principais propriedades.

Defini¸cão 1.2.1 Sejam B anel e A um subanel de B. Dizemos que um elemento α ∈ B é inteiro sobre A, se α é raiz de um polinômio mônico com coeficientes em A, ou seja, existem a0, . . . , an−1∈ A, não todos nulos, tal que αn+ an−1αn−1+ · · · + a1α + a0 = 0. Essa

(21)

Exemplo 1.2.1 Se α = √5 +√_{7 ∈ R, temos que α é inteiro sobre Z, pois α é raiz do} polinômio x4 _{− 24x}2_{+ 4 ∈ Z[x].}

Teorema 1.2.1 Sejam A ⊆ B anéis e α ∈ B. São equivalentes as seguintes afirma¸cões: i) α é inteiro sobre A.

ii) O anel A[α] ´e um A-m´odulo finitamente gerado.

iii) Existe um subanel R do anel B tal que R é um A-módulo finitamente gerado que contém A e α.

Demonstra¸c˜ao: i) ⇒ ii) Temos que A[α] = {P

iaiαi : ai ∈ A}. Por hip´otese, temos que α

´e inteiro sobre A, assim, existem a0, . . . , an−1 ∈ A, n˜ao todos nulos, tais que

αn+ an−1αn−1+ · · · + a1α + a0 = 0.

Seja M = [1, α, . . . , αn−1_{] um A-m´}_{odulo finitamente gerado. Vamos mostrar que A[α] = M .}

Temos que αn_{= −(a}

n−1αn−1+ · · · + a1α + a0), ou seja, αn ∈ [1, α, . . . , αn−1]. Agora, vamos

provar por indu¸c˜ao que αj ∈ [1, α, . . . , αn−1

], para j ∈ N. Temos que αj ∈ [1, α, . . . , αn−1_],

∀j ≤ n. Suponhamos por hip´otese de indu¸c˜ao que αj _{∈ [1, α, . . . , α}n−1_{] e mostremos que}

αj+1 _{∈ [1, α, . . . , α}n−1_{]. Por hip´}_{otese de indu¸c˜}_{ao existem b}

0, . . . , bn−1 ∈ A tal que αj = bn−1αn−1+ · · · + b1α + b0. Assim, αj+1 = αjα = (bn−1αn−1+ · · · + b1α + b0)α = bn−1αn+ · · · + b1α2+ b0α = bn−1(−an−1αn−1− · · · − a1α − a0) + · · · + b1α2+ b0α = −bn−1an−1αn−1− · · · − bn−1a1α − bn−1a0 + · · · + b1α2+ b0α = −a0bn−1+ (−bn−1a1+ b0)α + · · · + (bn−2− bn−1an−1)αn−1, ou seja, αj ∈ [1, α, . . . , αn−1

], para j ∈ N. Por outro lado, [1, α, . . . , αn−1] ⊂ A[α]. Assim, [1, α, . . . , αn−1_{] = A[α]. Portanto, A[α] ´}_{e um A-m´}_{odulo gerado por 1, α, . . . , α}n−1_{. Para ii)⇒}

iii) como α ∈ A[α] e A ⊂ A[α], ´e suficiente tomar R = A[α]. Finalmente, para iii)⇒ i) seja R = hy1, . . . , yni um A-m´odulo finitamente gerado tal que A ⊂ R ⊂ B e α ∈ R, ou seja,

(22)

aij ∈ A, com 1 ≤ i, j ≤ n, de modo que              αy1 = a11y1+ · · · + a1nyn αy2 = a21y1+ · · · + a2nyn .. . αyn= an1y1+ · · · + annyn. Logo,              (α − a11)y1− a12y2− · · · − a1nyn = 0 −a21y1+ (α − a22)y2− · · · − a2nyn = 0 .. . −an1y1− an2y2− · · · + (α − ann)yn = 0.

Na forma matricial, temos        (α − a11) −a12 · · · −a1n −a21 (α − a22) · · · −a2n .. . ... . .. ... −an1 · · · (α − ann)               y1 y2 .. . yn        =        0 0 .. . 0        .

Seja D o determinante da matriz dos coeficientes do sistema linear. Pela regra de Cramer, temos que Dyj = 0, para j = 1, . . . , n. Como 1 ∈ R, segue que 1 =

n X j=1 cjyj, com cj ∈ A, e assim, D = D · 1 = D n X j=1 cjyj= n X j=1

cjDyj = 0. Observemos que D ´e uma equa¸c˜ao de

dependˆencia integral de α uma vez que D = αn_{+ b}

n−1αn−1+ · · · + b0 = 0, onde cada bi ∈ A.

Portanto, α ´e inteiro sobre A.

Corolário 1.2.1 Sejam A ⊆ B anéis, e sejam α1, . . . , αn ∈ B. Se α1 é inteiro sobre A,

α2 é inteiro sobre A[α1], . . . e αn é inteiro sobre A[α1, . . . , αn−1], então A[α1, . . . , αn] é um

A-m´odulo finitamente gerado.

Demonstra¸cão: Se α1 é inteiro sobre A, então pelo Teorema (1.2.1), temos que A[α1]

´e um A-m´odulo finitamente gerado. Assim, suponhamos que R = A[α1, . . . , αn−1] seja

um A-m´odulo finitamente gerado por {v1, v2, . . . , vn} e que αn seja inteiro sobre R =

A[α1, . . . , αn−1]. Pelo Teorema (1.2.1), temos que R[αn] ´e um R-m´odulo finitamente gerado.

Assim, existe {w1, . . . , ws} ⊂ R[αn] tal que

R[αn] = A[α1, . . . , αn] = s X i=1 Rwi = s X i=1 n X j=1 ajvj ! wi = X j,i ajvjwi.

(23)

Logo, {vjwi} para i = 1, . . . , s e j = 1, . . . , n, gera R[αn] como um A-m´odulo. Portanto,

A[α1, . . . , αn] ´e um A-m´odulo finitamente gerado.

Observa¸c˜_{ao 1.2.1 Quando B = C, o corpo dos complexos, e os coeficientes do polinômio} são números racionais, dizemos simplesmente que α é um número algébrico. Se os coefi-cientes do polinômio mônico são números inteiros, α é chamado inteiro algébrico.

Exemplo 1.2.2 O elemento α = √13 é um inteiro algébrico, pois é raiz do polinômio mônico x2 _{− 13 ∈ Z[x]. O elemento α =} √_{2 +}√_{3 ´}_{e um inteiro alg´}_{ebrico, pois ´}_{e raiz do}

polinˆomio mˆonico x4 _{− 10x}2_{+ 1 ∈ Z[x].}

Corolário 1.2.2 Sejam A ⊆ B anéis. Se α, β ∈ B são inteiros sobre A, então α ± β, αβ são inteiros sobre A.

Demonstra¸cão: Temos que α ± β, αβ pertencem a A[α, β]. Pelo Corolário (1.2.1), temos que A[α, β] é um A-módulo finitamente gerado e pelo Teorema (1.2.1), segue que α ± β, αβ são inteiros sobre A.

Teorema 1.2.2 Se α é uma raiz de um polinômio mônico, onde os coeficientes são inteiros algébricos, então α é um inteiro algébrico.

Demonstra¸c˜ao: Seja αn_{+ a}

n−1αn−1+ · · · + a1α + a0, tal que ai, para i = 1, . . . , n − 1

perten¸ca ao conjunto dos números complexos que são ra´ızes de polinômios mônicos com coeficientes em Z. Fazendo B = Z[a0, . . . , an−1, α], b0 = a0, . . . , bn−1= an−1 e bn = α temos,

pelo Corol´_{ario (1.2.1), que Z[b}0, . . . , bn] ´e um Z-m´odulo finitamente gerado. Pelo Teorema

(1.2.1) segue que α ´e um inteiro alg´ebrico.

Defini¸cão 1.2.2 Sejam A ⊆ B anéis. Dizemos que B é inteiro sobre A se todo elemento de B é inteiro sobre A.

Exemplo 1.2.3 Dentre os anéis que satisfazem esta condi¸cão está o anel dos inteiros de Gauss, Z[i], pois todo elemento a + bi de Z[i] é raiz do polinômio x2_{− 2ax + (a}2_{+ b}2_{) ∈ Z[x].}

Defini¸c˜ao 1.2.3 Sejam A ⊆ B an´eis.

(1) OB = {α ∈ B : α ´e inteiro sobre A} ´e chamado anel de inteiros de A em B.

(2) Se A ´_{e um dom´ınio e B = K o corpo de fra¸c˜oes de A, dizemos que O}B ´e o anel de

inteiros de A em K. Al´em disso, se A = OB dizemos que A ´e um anel integralmente

(24)

Proposi¸cão 1.2.1 Sejam A ⊆ B anéis. Então A ⊆ OB ⊆ B.

Demonstra¸cão: Pelo Corolário (1.2.2), temos que OB é um subanel de B . Agora, se

α ∈ A, então α é raiz do polinômio p(x) = x − α, que tem coeficientes em A. Assim, α ∈ OB. Portanto, A ⊆ OB⊆ B.

Proposi¸cão 1.2.2 Sejam A ⊆ B ⊆ R anéis. Assim, R é inteiro sobre A se, e somente se, R é inteiro sobre B e B é inteiro sobre A.

Demonstra¸cão: Suponhamos que R é inteiro sobre A. Se α ∈ R, então existem a0, . . . , an−1∈

A, n˜ao todos nulos, tal que

αn+ an−1αn−1+ · · · + a0 = 0.

Como A ⊂ B, segue que ai ∈ B, para i = 0, 1, . . . , n − 1, ou seja, α ´e inteiro sobre B.

Portanto, R é inteiro sobre B. Agora, seja α ∈ B. Como B ⊂ R, segue que α ∈ R, então, por hipótese α é inteiro sobre A. Portanto, B é inteiro sobre A. Reciprocamente, seja α ∈ R. Como R é inteiro sobre B, segue que existem b0, . . . , bn−1∈ B, não todos nulos, tal que

αn+ bn−1αn−1+ · · · + b0 = 0.

Seja C = A[b0, . . . , bn−1]. Logo, α ´e inteiro sobre C. Como B ´e inteiro sobre A, segue que os

b0_is são inteiros sobre A. Pelo Corolário (1.2.1), segue que C[α] = A[b0, . . . , bn−1, α] é um

A-módulo finitamente gerado. Pelo Teorema (1.2.1), temos que α é inteiro sobre A. Portanto, R é inteiro sobre A.

Proposi¸cão 1.2.3 Sejam A ⊆ B anéis com B um dom´ınio e inteiro sobre A. Então A é um corpo se, e somente se, B é um corpo.

Demonstra¸cão: Suponha que A seja um corpo. Seja α ∈ B, α 6= 0. Como B é inteiro sobre A então α é inteiro sobre A e, portanto, pelo Teorema (1.2.1) segue que A[α] é um espa¸co vetorial finitamente gerado sobre A, pois A é um corpo. Seja

ϕ : A[α] −→ A[α]

b 7−→ bα, ∀ b ∈ A[α].

Temos que ϕ é A-linear e Ker(ϕ) = {b ∈ A[α] : ϕ(b) = 0} = {0}, pois ϕ(b) = 0 se, e somente se, bα = 0 e como B é um dom´ınio e α 6= 0 segue que b=0. Deste modo, ϕ é injetora e como estamos considerando espa¸cos de mesma dimensão finita, segue que ϕ é sobrejetora.

(25)

Portanto ϕ ´e bijetora. Assim, como 1 ∈ A[α] segue que exite b0 ∈ A[α] tal que b0_{α = 1, ou}

seja, α é invers´ıvel em B. Portanto B é um corpo. Reciprocamente, seja α ∈ A, α 6= 0. Como A ⊂ B então α ∈ B e como B é um corpo segue que α−1 ∈ B. Como B é inteiro sobre A, e α−1 ∈ B segue que

(α−1)n_{+ a}

n−1(α−1)n−1+ · · · + a1(α−1) + a0 = 0,

com ai ∈ A n˜ao todos nulos. Multiplicando por αn−1, obtemos

α−1+ an−1+ · · · + a1αn−2+ a0αn−1= 0

e ent˜ao

α−1 = −(an−1+ · · · + a1αn−2+ a0αn−1) ∈ A.

Portanto A ´e um corpo.

Proposi¸cão 1.2.4 Se A é um dom´ınio, então OB é um anel integralmente fechado.

Demonstra¸c˜_{ao: Seja K o corpo de fra¸cões de A. Assim, K também é o corpo de fra¸cões de} OB. Seja α ∈ K inteiro sobre OB. Como OB é inteiro sobre A segue da Proposi¸cão (1.2.2)

que α ´e inteiro sobre A e, portanto, α ∈ OB. Assim, OB ´e um anel integralmente fechado.

Proposi¸cão 1.2.5 Se A é um anel principal, então A é um anel integralmente fechado. Demonstra¸c˜_{ao: Seja K o corpo de fra¸cões de A. Seja α ∈ K inteiro sobre A tal que α =} a

b, com a, b ∈ A e mdc(a, b) = 1. Assim, existem ai ∈ A, i = 0, 1, . . . , n − 1, n˜ao todos nulos,

tal que αn+ an−1αn−1+ · · · + a0 = 0. Substituindo α por a b, temos que a b n + an−1 a b n−1 + · · · + a0 = 0.

Multiplicando por bn_{, obtemos}

an+ an−1an−1b + · · · + a0bn= 0,

isto ´e,

(26)

Logo b divide ane como mdc(a, b) = 1, segue que b divide a, o que implica que a = bc. Usando novamente o fato de mdc(a, b) = 1, temos que existem x0, y0 ∈ A tal que ax0 + by0 = 1.

Assim, bcx0 + by0 = 1 o que implica que b(cx0 + y0) = 1. Assim, b ´e invers´ıvel em A e

α = ab−1 ∈ A. Portanto, A integralmente fechado.

Exemplo 1.2.4 O anel Z dos números inteiros é integralmente fechado, pois é principal. Todo dom´ınio fatorial é integralmente fechado.

1.3 Norma e tra¸

co

Nesta se¸cão, apresentamos os conceitos de norma e tra¸co de elementos. Também provamos que o anel de inteiros é um A-módulo livre, onde A é um anel principal.

Sejam A ⊆ B anéis, onde B é um A-módulo livre de posto finito n. Seja {e1, . . . , en}

uma base de B sobre A e seja σ : B −→ B um homomorfismo. Assim, σ(e1) = a11e1+ a12e2+ · · · + a1nen,

σ(e2) = a21e1+ a22e2+ · · · + a2nen,

.. .

σ(en) = an1e1+ an2e2+ · · · + annen,

com aij ∈ A, onde 1 ≤ i, j ≤ n. Assim,

    σ(e1) .. . σ(en)     = [aij]     e1 .. . en     .

Defini¸c˜ao 1.3.1 Definimos o tra¸co de σ por T rB|A(σ) = n

X

i=1

aii, a norma de σ por

NB|A(σ) = det(aij) e o polinˆomio caracter´ıstico de σ por χB|A(x) = det(xI − σ).

χB|A(x) = det(xI − σ) = xn− (T rB|A(σ))xn−1+ · · · + (−1)ndet(σ).

Defini¸cão 1.3.2 Sejam A um anel e B um A-módulo livre. Considere o endomorfismo σα : B −→ B definido por σα(x) = αx, com α ∈ B. O tra¸co de α ∈ B é definido por

T rB|A(α) = T rB|A(σα), a norma de α ∈ B por NB|A(α) = det(σα) e o polinˆomio caracter´ıstico

(27)

Vale ressaltar que quando não houver dúvidas a respeito dos anéis com os quais estamos trabalhando, denotaremos T rB|A, NB|A e χB|A(x) simplesmente por T r, N e χ(x).

Sejam Q ⊆ K ⊆ L corpos, onde K ⊆ L é uma extensão finita. Se α, α0 ∈ L e a ∈ K, então valem as seguintes propriedades:

1. T r_L|K(α + α0) = T r_L|K(α) + T r_L|K(α0) 2. T r_L|K(aα)=aT r_L|K(α) 3. T r_L|K_{(a) = [L : K]a} 4. N_L|K(a) = a[L:K] 5. N_L|K(aα) = a[L:K]_N L|K(α) 6. N_L|K(αα0) = N_L|K(α)N_L|K(α0), e se K ⊆ M ⊆ L temos que 7. N_L|K(α) = N_M|K(N_L|M(α)) 8. T r_L|K(α) = T r_M|K(T r_L|M(α)).

Proposi¸c˜_{ao 1.3.1 Seja K um corpo de caracter´ıstica zero ou um corpo finito. Sejam L uma} extens˜ao alg´_{ebrica de grau n de K, α um elemento de L e α}1, . . . , αn as ra´ızes do polinˆomio

minimal de α sobre K. Ent˜ao T r(α) = α1 + · · · + αn, N (α) = α1. . . αn e χ(x) = (x − α1)

(x − α2) · · · (x − αn).

Demonstra¸cão: Primeiramente faremos a demonstra¸cão para o caso em que α é um ele-mento primitivo de L sobre K, ou seja, L = K[α]. Se f (x) o polinômio minimal de α sobre K, então L é K-isomorfo a hf (x)iK[x] e {1, α, . . . , α

n−1

} ´e uma base de L sobre K. Tomando f (x) = xn_{+ a}

n−1xn−1+ · · · + a0, com ai ∈ K, temos que a matriz do endomorfismo σα com

respeito a esta base ´e dada por

M =        0 0 · · · 0 −a0 1 0 · · · 0 −a1 .. . ... . .. ... ... 0 0 · · · 1 −an−1        .

(28)

Assim, det(xI − σα) ´e o determinante da matriz xIn− M =        x 0 · · · 0 a0 −1 x · · · 0 a1 .. . ... . .. ... ... 0 0 · · · −1 x + an−1        .

Calculando o determinante da matriz acima, obtemos o polinômio caracter´ıstico em α, que é igual a f (x), o polinômio minimal de α. Por defini¸cão,

χ(x) = det(xI − σα(x)) = det(xIn− M ) = xn− (T r(σα))xn−1+ · · · + (−1)ndet(σα).

Como α ´e primitivo temos que

χ(x) = (x − α1)(x − α2) · · · (x − αn) = xn− n X i=1 αi ! xn−1+ · · · + (−1)n n Y i=1 αi ! . Logo, T r(σα) = T r(α) = n X i=1 αi e N (σα) = N (α) = n Y i=1

αi. Para o caso geral, seja r =

[L : K[α]]. É suficiente mostrar que o polinômio caracter´ıstico χ(x) de α, com rela¸c˜_{ao a L} sobre K, é igual a r-ésima potência do polinômio minimal de α sobre K. Seja {y1, . . . , yq}

uma base de K[α] sobre K e seja {z1, . . . , zr} uma base de L sobre K[α] com n = qr. Seja

M = (aih) a matriz do endomorfismo de K[α] sobre K com rela¸c˜ao a base {y1, . . . , yq}.

Assim, αyi = X h (aih)yh e α(yizj) = X h aihyh ! zj= X h aih(yhzj). Logo,              αy1z1 = a11y1z1+ a12y2z1+ · · · + a1qyqz1 αy2z1 = a21y1z1+ a22y2z1+ · · · + a2qyqz1 .. . αyqz1 = aq1y1z1+ aq2y2z1+ · · · + aqqyqz1.

Ordenamos a base {yizj} de L sobre K, de modo que a matriz do endomorfismo seja da

seguinte forma M1 =        M 0 · · · 0 0 0 M · · · 0 0 .. . ... . .. ... ... 0 0 · · · 0 M        ,

(29)

isto ´e, M repete r-vezes na diagonal como blocos na matriz M1. A matriz xIn− M1, consiste

de r-blocos diagonais, cada um tem a forma xIq− M , e consequentemente, det(xIn− M1) =

det(xIq− M )r. Assim, χ(x) = (det(xIn− M1)) e (det(xIq− M )) ´e o polinˆomio minimal de

α sobre K, de acordo com a primeira parte da demonstra¸c˜ao.

Observa¸c˜ao 1.3.1 Segue pela Proposi¸c˜ao (1.3.1), que T r_L|K(α) = rT r_K[α]|K(α) e N_L|K(α) = (N_K[α]|K(α))r _{e χ}

L|K(α) = (χK[α]|K(α))

r_{, onde r = [L : K[α]].}

Exemplo 1.3.1 Seja L = Q(√−1). Seja α = 3 +√_{−1 ∈ Q(}√−1) e χ(x) = x2_{− 6x + 10 o}

polinˆ_{omio minimal de α sobre Q. Ent˜ao T r}_L|Q(α) = 6 e N_L|Q(α) = 10.

Exemplo 1.3.2 Sejam L = Q(√5,√_{−1), K = Q(}√_{−1) e F = Q. Sejam α = 3 +} √−1 e r = [L : Q(√−1)] = 2. Pelo Exemplo (1.3.1), temos que N_K|F(α) = 10 e T r_K|F(α) = 6. Assim, pela Observa¸c˜ao (1.3.1), temos que N_L|F(α) = (N_K|F(α))2 _{= 10}2 _{= 100 e T r}

L|F(α) =

2(T r_K|F(α)) = 2 · 6 = 12.

Proposi¸cão 1.3.2 Se A ´_{e um dom´ınio, K seu corpo de fra¸cões, K ⊆ L uma extensão finita} e α ∈ L um elemento inteiro sobre A, então os coeficientes do polinômio caracter´ıstico de α são inteiros sobre A. Em particular, T r(α) e N (α) são inteiros sobre A.

Demonstra¸c˜ao: Pela Proposi¸c˜ao (1.3.1), temos que χ(x) = (x − α1)(x − α2) · · · (x − αn).

Como os coeficientes de χ(x) s˜ao somas e produtos dos αi, ´e suficiente mostrar que os αi

s˜_{ao inteiros sobre A. Pela Teoria de Galois, existe um K-homomorfismo σ}i : K[α] −→ K[αi],

definido por σi(α) = αi, para i = 1, . . . , n. Como α ´e inteiro sobre A, segue que

αn+ an−1αn−1+ · · · + a0 = 0,

com ai ∈ A, n˜ao todos nulos. Aplicando σi, obtemos

σi(α)n+ an−1σi(α)n−1+ · · · + a0 = 0,

ou seja, αi ´e inteiro sobre A.

Corolário 1.3.1 Se A é um anel integralmente fechado, então os coeficientes do polinômio caracter´ıstico de α, T r(α) e N (α) são elementos de A.

Demonstra¸cão: Seja χ(x) o polinômio caracter´ıstico de α. Os coeficientes do polinômio s˜_{ao elementos de K e são inteiros sobre A. Como A é integralmente fechado, segue que os} coeficientes estão em A. Portanto, T r(α) e N (α) são elementos de A.

(30)

Proposi¸c˜_{ao 1.3.3 Sejam A um anel integralmente fechado, K seu corpo de fra¸c˜oes, L uma} extens˜_{ao finita de K de grau n e O}_L _{o anel dos inteiros de A em L. Sejam {α}1, . . . , αn}

uma base de L sobre K, onde det(T r(αiαj)) 6= 0 e α ∈ L. Se T r(αβ) = 0 para todo β ∈ L,

implica α = 0.

Demonstra¸c˜ao: Como α = a1α1 + a2α2 + · · · + anαn, onde ai ∈ K, para i = 1, . . . , n,

´e suficiente mostrar que T r(ααj) = 0, para j = 1, . . . , n, ent˜ao α = 0. Assim, para j =

1, . . . , n, temos que

0 = T r(ααj) = a1T r(α1αj) + a2T r(α2αj) + · · · + anT r(αnαj).

Na forma matricial, temos que        T r(α1α1) T r(α2α1) · · · T r(αnα1) T r(α1α2) T r(α2α2) · · · T r(αnα2) .. . ... . .. ... T r(α1αn) T r(α2αn) · · · T r(αnαn)               a1 a2 .. . an        =        0 0 .. . 0        .

Como det(T r(αiαj)) 6= 0 segue que a1 = a2 = · · · = an= 0. Portanto, α = 0.

Corolário 1.3.2 Com as mesmas hipóteses da Proposi¸cão (1.3.3), segue que a aplica¸cão ρ : L −→ HomK(L, K) definida por ρ(α) = Sα, onde Sα(β) = T r(αβ), é um isomorfismo.

Demonstra¸cão: Temos que ρ é homomorfismo, uma vez que se α1, α2 ∈ L, então

ρ(α1+ α2)(β) = Sα1+α2(β) = T r((α1+ α2)β)

= T r(α1β) + T r(α2β) = Sα1(β) + Sα2(β) = ρ(α1)(β) + ρ(α2)(β)

ρ(aα)(β) = Saα(β) = T r(aαβ) = aT r(αβ) = aSα(β) = aρ(α)(β),

para todo β ∈ L.

Agora, seja α ∈ L tal que ρ(α) = 0. Ent˜ao, ρ(α)(β)=Sα(β) = T r(αβ) = 0, ∀β ∈ L.

Pela Proposi¸cão (1.3.3) temos que α = 0, provando assim que ρ é injetora. Finalmente, ρ é sobrejetora, pois dim_K_{L = dim}_K(Hom_K_{(L, K)). Portanto, ρ é um isomorfismo.}

Teorema 1.3.1 Se A ´_{e um anel integralmente fechado, K seu corpo de fra¸cões, K ⊆ L uma} extensão finita de grau n e O_L _{o anel dos inteiros de A em L, então O}_L é um A-submódulo de um A-módulo livre.

(31)

Demonstra¸c˜ao: Seja {α1, . . . , αn} uma base de L sobre K. Como toda extens˜ao finita

é algébrica, segue que todos os αi são algébricos sobre K, ou seja, existem ai ∈ A, para

i = 0, 1, . . . , n, n˜ao todos nulos, tais que

anαni + an−1αn−1i + · · · + a0 = 0.

Supondo que an 6= 0 e multiplicando esta equa¸c˜ao por an−1n , temos que anαi ´e inteiro sobre

A, uma vez que

an−1_n (anαni + · · · + a0) = (anαi)n+ an−1(anαi)n−1+ · · · + an−1n a0 = 0.

Seja, anαi = zi ∈ OL, para i = 1, . . . , n. Vamos mostrar que {z1, . . . , zn} ´e uma base de

L sobre K. Suponhamos que b1z1 + b2z2 + · · · + bnzn = 0, onde bi ∈ A, para i = 1, . . . , n.

Assim,

b1anα1+ b2anα2 + · · · + bnanαn= 0.

Como {α1, . . . , αn} ´e uma base de L sobre K segue que bian = 0 e, portanto, bi = 0 para

i = 1, . . . , n. Portanto, {z1, . . . , zn} ´e linearmente independente e como possui n elementos

segue que ´_{e uma base de L sobre K. Pelo Corol´ario (1.3.2) existe uma base dual {y}1, . . . , yn}

tal que

ρ(zi)(yj) = Szi(yj) = T r(ziyj) = δij, para i, j = 1, . . . , n.

Agora, se α ∈ O_L ent˜ao αzi ∈ OL, para i = 1, . . . , n. Pelo Corol´ario (1.3.1) segue que

T r_L|K(αzi) ∈ A, para i = 1, . . . , n. Como α = c1y1+· · ·+cnyn, com ci ∈ K, para i = 1, . . . , n,

segue T r(αzi) = ci ∈ A, para i = 1, . . . , n. Portanto, OL é um submódulo de um A-módulo

livre gerado por {z1, . . . , zn}.

Corolário 1.3.3 Com as mesmas hipóteses do Teorema (1.3.1), se A é um dom´ınio prin-cipal, então O_L é um A-módulo livre de posto n.

Demonstra¸cão: Pelo Teorema (1.1.1) temos que um submódulo de um A-módulo livre é livre de posto menor ou igual a n. Pelo Teorema (1.3.1), segue que O_L contém uma base de n elementos de L sobre K. Logo, OL tem posto n.

Corolário 1.3.4 Com as mesmas hipóteses do Teorema (1.3.1), se A é um dom´ınio prin-cipal e se A ⊆ O_L é um ideal, então A é um A-módulo livre de posto n.

(32)

Demonstra¸c˜ao: Sejam {e1, . . . , en} uma base de OL e α ∈ A, α 6= 0. Assim, αe1, . . . , αen∈

A e s˜ao linearmente independentes sobre A, uma vez que se α1αe1 + · · · + αnαen = 0, com

αi ∈ A, para i = 1, . . . , n, ent˜ao αiα = 0 para i = 1, . . . , n. Como A ´e um dom´ınio segue que

αi = 0, para i = 1, . . . , n.

Proposi¸c˜_{ao 1.3.4 Seja A um anel noetheriano e integralmente fechado. Sejam K o corpo} de fra¸c˜_{oes de A, K ⊆ L uma extensão finita de grau n e O}_L _{o fecho inteiro de A em L.} Então O_L é um A-módulo finitamente gerado e O_L é um anel noetheriano.

Demonstra¸cão: Pelo Teorema (1.3.1), O_L é um submódulo de um A-módulo livre de posto n. Pelo Corolário (1.1.2), temos que OBé um A-módulo noetheriano e, portanto, finitamente

gerado. Como os ideais de O_L são A- submódulos de O_L, segue que satisfazem a condi¸cão de maximilidade da Defini¸cão (1.1.5). Portanto, O_L é um anel noetheriano.

1.4 Discriminante

Nesta se¸c˜ao apresentamos o conceito de discriminante, enfocando suas principais proprieda-des.

Defini¸cão 1.4.1 Sejam B um anel e A um subanel de B tal que B é um A-módulo livre de posto finito n. Dado (α1, . . . , αn) ∈ Bn, definimos seu discriminante por

DB/A(α1, . . . , αn) = det(T r(αiαj)).

Quando n˜ao houver d´uvidas denotaremos o discriminante de (α1, . . . , αn) simplesmente por

D(α1, . . . , αn).

Exemplo 1.4.1 Se K = Q(√7) é um corpo de números e {1,√7} ´_{e uma base de K sobre} Q, então D(1,√7) = T r(1) T r(√7) T r(√7) T r(√72) = 2 0 0 14 = 28.

Proposi¸cão 1.4.1 Sejam A ⊂ B, anéis, tal que B é um A-módulo livre de posto n e (α1, . . . , αn) ∈ Bn. Se (β1, . . . , βn) ∈ Bn é um conjunto de elementos de B tais que βi =

n

X

j=1

aijαj, com aij ∈ A, ent˜ao

(33)

Demonstra¸c˜ao: Sejam βp = n X i=1 apiαi e βq = n X j=1 aqjαj, com api, aqj ∈ A. Assim, βpβq = n X i=1 apiαi n X j=1 aqjαj = n X i,j=1 apiaqjαiαj, e T r(βpβq) = T r( n X i,j apiaqjαiαj) = n X i,j apiaqjT r(αiαj).

Na forma matricial, temos que (T r(βpβq)) = (api)(T r(αiαj))(aqj)t. Pela Defini¸c˜ao (1.4.1)

te-mos que D(β1, . . . , βn) = det(T r(βpβq)). Logo, D(β1, . . . , βn) = det((api)(T r(αiαj))(aqj)t) =

det(api)det(T r(αiαj))det(aqj)t= det(aij)2D(α1, . . . , αn).

Observa¸cão 1.4.1 A Proposi¸cão (1.4.1) afirma que o discriminante de quaisquer duas bases de B sobre A são associados, isto é, a matriz (aij) que expressa uma base em termos da

outra, admite matriz inversa com entradas em A. Portanto, ambos det(aij) e det(aij)−1 s˜ao

invers´ıveis em A.

Defini¸cão 1.4.2 Sejam B um anel e A um subanel de B, tal que B é um A-módulo livre de posto finito n. O discriminante de B sobre A é um ideal em A, definido por,

DB/A = hDB/A(α1, . . . , αn)i,

onde {α1, . . . , αn} ´e uma base de B sobre A.

Proposi¸cão 1.4.2 Sejam B um anel e A ⊆ B um subanel tal que B é um A-módulo livre de posto finito n. Se DB/A contém um elemento que não é um divisor de zero, então, para que

(α1, . . . , αn) ∈ Bn seja uma base de B sobre A, ´e necess´ario e suficiente que, D(α1, . . . , αn)

gere DB/A.

Demonstra¸cão: Se {α1, α2, . . . , αn} é uma base de B sobre A, então pela Proposi¸cão (1.4.1),

segue que D(α1, . . . , αn) gera DA/B. Reciprocamente, suponhamos que d = D(α1, . . . , αn)

gera DA/B. Sejam {e1, . . . , en} uma base de DA/B, d0 = D(e1, . . . , en) e αi = n

X

j=1

aijej com

aij ∈ A, 1 ≤ i ≤ n. Pela Proposi¸c˜ao (1.4.1), segue que d = det(aij)2d0. Por hip´otese,

Ad = DB/A = Ad0. Logo, existe um elemento b ∈ A tal que d0 = bd. Assim, d = det(aij)2bd

e, portanto, d(1 − det(aij)2b) = 0. Temos que d n˜ao ´e um divisor de zero, pois se fosse

todo elemento de Ad = DA/B seria um divisor de zero, contrariando a hip´otese. Logo,

1 − det(aij)2b = 0 e, portanto, det(aij) ´e invers´ıvel. Assim, a matriz M = [aij] ´e invers´ıvel.

Portanto, {α1, . . . , αn} ´e uma base de B sobre A.

Lema 1.4.1 (Lema de Dedekind) Se G ´_{e um grupo, K um corpo, e σ}1, . . . , σn

homomor-fismos distintos de G no grupo multiplicativo K∗, ent˜ao {σ1, . . . , σn} ´e linearmente

(34)

Demonstra¸c˜ao: Suponhamos que os σi0s s˜ao linearmente dependentes. Seja m

X

i=1

aiσi =

0, com ai ∈ K uma combina¸c˜ao linear com m m´ınimo e ai 6= 0, para todo i = 1, 2, . . . , m.

Logo, para qualquer x ∈ G, temos que

a1σ1(x) + a2σ2(x) + · · · + amσm(x) = 0. (1.1)

Como os homomorfismos s˜ao distintos, segue que existe c ∈ G tal que σ1(c) 6= σm(c). Agora,

como cx ∈ G, segue que

a1σ1(cx) + a2σ2(cx) + · · · + amσm(cx) = 0 (1.2)

e ent˜ao

a1σ1(c)σ1(x) + a2σ2(c)σ2(x) + · · · + amσm(c)σm(x) = 0. (1.3)

Multiplicando (1.1) por σ1(c), obtemos

a1σ1(c)σ1(x) + a2σ1(c)σ2(x) + · · · + amσ1(c)σm(x) = 0. (1.4)

Subtraindo (1.3) de (1.4) obtemos

a2σ2(x)(σ2(c) − σ1(c)) + · · · + amσm(x)(σm(c) − σ1(c)) = 0. (1.5)

Como isso vale para todo x ∈ G e m ´e m´ınimo, segue que am(σm(c) − σ1(c)) = 0. Como

σm 6= 0, segue que σm(c) = σ1(c) para todo c ∈ G, o que ´e um absurdo.

Proposi¸c˜_{ao 1.4.3 Sejam K um corpo, L uma extens˜ao finita de K de grau n e σ}1, . . . , σn

os n K-isomorfismos distintos de L em um corpo algebricamente fechado F contendo K. Se {α1, . . . , αn} ´e uma base de L sobre K, ent˜ao

D(α1, . . . , αn) = det(σi(αj))2 6= 0.

Demonstra¸c˜ao: Temos que D(α1, . . . , αn) = det(T r(αiαj)). Como o tra¸co de αiαj ´e a

soma dos seus conjugados, segue que D(α1, . . . , αn) = det(T r(αiαj)) = det( n X k=1 σk(αiαj) = det( n X k=1

σk(αi)σk(αj)) = det(σk(αi))det(σk(αj)) = (det(σi(αj))2, uma vez que

       σ1(α1) σ2(α1) · · · σn(α1) σ1(α2) σ2(α2) · · · σn(α2) .. . ... . .. ... σ1(αn) σ2(αn) · · · σn(αn)               σ1(α1) σ1(α2) · · · σ1(αn) σ2(α1) σ2(α2) · · · σ2(αn) .. . ... . .. ... σn(α1) σn(α2) · · · σn(αn)        = n X k=1 σk(αiαj).

(35)

Se det(σk(αj)) = 0, ent˜ao existem a1, . . . , an ∈ F, n˜ao todos nulos, tal que n

X

i=1

aiσi(αj) = 0

para todo j. Se α ∈ L, ent˜ao α =

n

X

i=1

biαi, com bi ∈ K, e por linearidade conclu´ımos que n

X

i=1

aiσi(α) = 0. Mas isto contradiz o Lema de Dedekind e portanto det(σk(αj)) 6= 0.

Corol´_{ario 1.4.1 Sejam K um corpo, L uma extens˜ao finita de K de grau n e σ}1, σ2, . . . , σn

os K-isomorfismos distintos de L em um corpo algebricamente fechado F contendo K. Então a forma bilinear ψ : L × L −→ R definida por ψ(α, β) = T r(αβ) é não degenerada, isto é, se T r(αβ) = 0 para todo β ∈ L, então α = 0.

Demonstra¸c˜ao: Seja {α1, . . . , αn} uma base de L sobre K. ´E suficiente mostrar que se

T r(ααj) = 0, para todo j = 1, . . . , n, ent˜ao α = 0. Temos que α = a1α1+ a2α2+ · · · + anαn,

com ai ∈ K, i = 1, . . . , n. Assim, se a1T r(α1αj)+a2T r(α2αj)+· · ·+αnT r(αnαj) = T r(ααj) =

0, para todo j = 1, . . . , n, ent˜ao obtemos o seguinte sistema linear homogˆeneo        T r(α1α1) T r(α1α2) · · · T r(α1αn) T r(α2α1) T r(α2α2) · · · T r(α2αn) .. . ... . .. ... T r(αnα1) T r(αnα2) · · · T r(αnαn)               a1 a2 .. . an        =        0 0 .. . 0        .

Da Proposi¸c˜ao (1.4.3), temos que det(T r(αiαj) 6= 0 e, portanto, o sistema possui solu¸c˜ao

´

unica dada por a1 = a2 = · · · = an= 0. Portanto, α = 0.

Defini¸c˜_{ao 1.4.3 Sejam K uma extensão finita de Q, A = Z e O}_K o anel de inteiros alg´_{ebricos de K. Temos que O}_K ´_{e um Z-módulo livre de posto [K : Q], cuja base é} cha-mada de base integral, e seu discriminante é chamado de discriminante absoluto. Observa¸cão 1.4.2 Temos que base integral de O_K ´_{e uma Q-base de K mas nem toda Q-base} de K consistindo de inteiros algébricos é uma base integral de OK.

Exemplo 1.4.2 Temos que {1, √5} ´_{e uma Q-base de K = Q(}√5), mas n˜ao ´e uma base integral de O_K, pois o elemento 1+

√ 5

2 ´e raiz de x

2_{− x − 1 e portanto inteiro alg´}_{ebrico, mas}

n˜ao ´e combina¸c˜_{ao linear, com coeficientes em Z, de 1 e} √5.

Proposi¸c˜_{ao 1.4.4 Se K é um corpo, L = K[α] uma extensão finita de K de grau n e f (x)} o polinˆ_{omio minimal de α sobre K, então,}

(36)

D(1, α, . . . , αn−1) = (−1)12n(n−1)N (f0(α)),

onde f0(α) ´e a derivada de f (x) aplicada a α.

Demonstra¸cão: Se α1, . . . , αn são as ra´ızes de f (x) em alguma extensão de K, então são

conjugados de α. Pela Proposi¸c˜ao (1.4.3) temos que D(1, α, . . . , αn−1) = (det(σi(αj))) 2

= det(α_ij)2_{, com i = 1, . . . , n e j = 0, . . . , n − 1. Como det(α}j

i) ´e um determinante de

Vander-monde segue que

det(αj_i)2 = " Y 1≤k<i≤n (αi− αk) #2 = Y 1≤k<i≤n [(αi− αk)(αi− αk)] = (−1)12n(n−1) Y 1≤k<i≤n, i6=k (αi− αk) = (−1)12n(n−1) n Y i=1 " _n Y k=1, k6=i (αi− αk) # = (−1)12n(n−1) n Y i=1 f0(αi) = (−1)12n(n−1)N (f0(α)).

Exemplo 1.4.3 Se K = Q, L = Q(√3) e f (x) = x2_{− 3 o polinˆ}_{omio minimal de} √_{3 sobre}

Q, ent˜ao D(1, √

3) = (−1)2·12 N (f0(

√

3)) = −N (2√3) = −22N (√3) = −4(√3)(−√3) = 12. Lema 1.4.2 Sejam A um anel e B1, . . . , Bg an´eis contendo A, tais que sejam A-m´odulos

livres finitamente gerados. Seja B =

g

Y

i=1

Bi, como um produto de an´eis, ent˜ao,

DB/A = q

Y

i=1

DBi/A.

Demonstra¸c˜ao: Faremos a prova por indu¸c˜ao sobre g. Para o caso g = 2, considere {x1, . . . , xn} uma base de B1 sobre A e {y1, . . . , ym} uma base de B2 sobre A. Com a

identi-fica¸c˜ao natural de B1em B1×{0} e B2em {0}×B2, podemos considerar {x1, . . . , xn, y1, . . . , ym}

uma base de B = B1 × B2. Como xi = (xi, 0) e yi = (0, yi) segue que xiyi = 0 e assim

T r(xiyi) = 0. Logo, D(x1, . . . , xn, y1, . . . , ym) = det   T r(xixj) 0 0 T r(yiyj)  

(37)

= det(T r(xixj)) det(T r(yiyj)) = D(x1, . . . , xn)D(y1, . . . , ym).

Portanto, DB/A = DB1/ADB2/A =

2

Y

i=1

DBi/A. Agora, suponhamos verdadeiro para g − 1,

ou seja, se C = g−1 Y i=1 Bi, ent˜ao DC/A = g−1 Y i=1

DBi/A. Logo, B = C × Bg, identificando C com

C × {0} e Bg com {0} × Bg. Usando o caso g = 2, temos por hip´otese de indu¸c˜ao que

DB/A = DC/ADBg/A= g−1 Y i=1 DBi/ADBg/A= g Y i=1 DBi/A.

Lema 1.4.3 Sejam K um corpo e L uma K-álgebra comutativa de dimensão finita. Então L é reduzido se, e somente se, DL/K6= {0}.

Demonstra¸c˜_{ao: Se L ´e reduzido pelo Corol´ario (1.1.4), segue que h0i =}

g

\

i=1

qi, onde os qi

s˜_{ao ideais primos distintos de L. Assim, L/q}i é um dom´ınio e uma K-álgebra de dimensão

finita. Logo, L/qié uma extensão algébrica sobre K, ou seja, L/qié inteiro sobre K. Como K

é corpo, temos pela Proposi¸c˜_{ao (1.2.3), que L/q}i é corpo. Portanto os ideais qi são maximais

e consequentemente qi+ qj = L, para i 6= j. Pelo Lema (1.1.2), segue que g Y i=1 L/qi = L/ g Y i=1 qi = L/h0i = L

e, pelo Lema (1.4.2), temos que D_L/K =

g

Y

i=1

D_(L/q_i_)/K. Pela Proposi¸c˜ao (1.4.3), temos que D_(L/q_i_)/K 6= h0i o que implica que D_L/K _{6= h0i. Reciprocamente, suponhamos que L n˜ao} ´_{e reduzido. Assim, existe x ∈ L, x 6= 0, x nilpotente. Seja {x}1, . . . , xn} uma base de L

sobre K com x = x1. Ent˜ao xxj ´e nilpotente, para todo j = 1, . . . , n. Logo, se definirmos

θxxj : L −→ L, onde θxxj(a) = axxj, para a ∈ L, temos que θxxj possui os autovalores todos

nulos, e portanto T r_L|K(xxj) = 0. Logo, a matriz tra¸co (T rL|K(xxj)) tem uma linha nula o

que implica que D(x1, . . . , xn) = 0 e assim DL/K= {0}, o que ´e um absurdo.

1.5 An´

eis de Dedekind

(38)

Em geral, em um anel, a fatora¸cão de seus elementos não é única, pois se considerarmos Z[

√

−5], temos que 6 = 2·3 = (1+√−5)(1−√−5), mas nesta se¸cão veremos que a fatora¸cão é única para ideais de um anel de Dedekind.

Defini¸cão 1.5.1 Dizemos que um anel A é um anel de Dedekind se satisfaz as seguintes condi¸cões:

1) A ´e integralmente fechado. 2) A ´e noetheriano

3) Todo ideal primo n˜ao nulo de A ´e maximal.

Proposi¸cão 1.5.1 Se A ⊆ B são anéis e p ⊂ B é um ideal primo, então p ∩ A é um ideal primo de A.

Demonstra¸cão: Considere a aplica¸cão ϕ : A −→ Bi −→ B/p, onde i é a inclus˜π ao e π é a proje¸cão. A fun¸cão ϕ = π ◦ i é um homomorfismo, pois π e i são homomorfismo e ker(ϕ) = A ∩ p, pois ϕ(x) = π ◦ i(x) = π(x) = x + p e ϕ(x) = ¯0 se, e somente se, x ∈ p ∩ A. Portanto, A/p ∩ A ' Im(ϕ) ⊂ B/p. Como B/p é um dom´ınio, segue que A/p ∩ A é um dom´ınio. Portanto, p ∩ A é um ideal primo de A.

Teorema 1.5.1 Sejam A um anel de Dedekind, K seu corpo de fra¸cões, K ⊆ L uma extensão finita de grau n e O_L _{o anel dos inteiros de A em L. Então O}_L é um anel de Dedekind. Demonstra¸cão: Pelas Proposi¸cões (1.2.4) e (1.3.4), temos que O_L é integralmente fechado e noetheriano, respectivamente. Assim, falta mostrar que todo ideal primo não nulo de O_L é maximal. Seja p ⊂ OB um ideal primo não nulo. Como A ⊂ OL segue pela Proposi¸cão

(1.5.1) que p ∩ A é um ideal primo de A. Vamos mostrar que p ∩ A é não nulo. Seja α ∈ p e α 6= 0. Como p ⊂ O_L segue que α ∈ O_L. Assim, existem ai ∈ A, para i = 0, . . . , n − 1, não

todos nulos, tais que

αn+ an−1αn−1+ · · · + a0 = 0,

e que n seja m´ınimo. Logo, a0 6= 0, pois caso contr´ario, obter´ıamos uma equa¸c˜ao de grau

menor. Assim,

a0 = α(−αn−1− an−1αn−2− · · · − a1) ∈ αOL∩ A ⊂ p ∩ A.

Portanto, p ∩ A 6= 0. Como p ∩ A é um ideal primo de A e A é Dedekind segue que p ∩ A é um ideal maximal de A e assim A

p∩ A ´e corpo. Seja a aplica¸c˜ao ϕ : A

i

−→ O_L −→π OL

(39)

onde i é a inclusão e π é a proje¸cão. Assim, A

p∩ A ' Im(ϕ) ⊂ OB

p . Como O_L ´e inteiro sobre A, segue que OL

p ´e inteiro sobre A

p∩ A. Pela Proposi¸c˜ao (1.2.3), temos que OL

p ´e um corpo. Portanto, p ´e maximal.

Defini¸c˜_{ao 1.5.2 Sejam A um dom´ınio e K seu corpo de fra¸cões. Um ideal fracion´}ario de A (ou de K em rela¸cão a A) é um A-módulo I ⊆ K tal que existe d ∈ A − {0} onde dI ⊆ A. Em particular, os ideais inteiros de A são ideais fracionários, basta considerar d=1.

Proposi¸cão 1.5.2 Se A é um dom´ınio noetheriano, então todo ideal fracionário I de A é um A-módulo finitamente gerado.

Demonstra¸cão: Como I é um ideal fracionário de A, segue que existe d ∈ A − {0} tal que dI ⊆ A. Assim, I ⊆ d−1A. A aplica¸cão ϕ : A −→ d−1A, tal que ϕ(x) = d−1x, x ∈ A é um isomorfismo. Assim, A é isomorfo a d−1A. Como A noetheriano, temos que d−1A é noetheriano. Logo, I é um A-módulo finitamente gerado.

Lema 1.5.1 Sejam A um anel e p um ideal primo de A. Se p contém um produto de ideais a1, . . . , an de A, então p contém pelo menos um dos ai.

Demonstra¸cão: Se aj 6⊆ p, ∀j = 1, . . . , n, então existe αj ∈ aj e αj 6∈ p. Como p é primo,

segue que α1. . . αn 6∈ p. Mas α1. . . αn ∈ a1. . . an ⊂ p, o que ´e um absurdo. Portanto, p

cont´em aj para algum j = 1, . . . , n.

Lema 1.5.2 Sejam A é um anel de Dedekind que não ´_{e corpo, K o seu corpo de fra¸cões e} M um ideal maximal de A, ent˜_{ao o conjunto N = {x ∈ K : xM ⊂ A} é um ideal fracionário} de A.

Demonstra¸cão: Seja M um ideal maximal de A. Como A não é um corpo, segue que M 6= {0}. Consideremos N = {x ∈ K : xM ⊂ A}. Temos que N é um ideal fracionário, pois N é um A-m´_{odulo tal que N ⊆ K e se c ∈ M, c 6= 0, temos que cN ⊆ A. Portanto, N} é um ideal fracionário de A.

Proposi¸cão 1.5.3 Sejam A um anel de Dedekind que não ´_{e um corpo e K o seu corpo de} fra¸cões. Então, todo ideal maximal M de A é invers´ıvel.

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Demonstra¸cão: Considere o ideal fracion´_{ario N = {x ∈ K : xM ⊂ A}. Vamos mostrar} que N M = A. Pela defini¸cão de N temos N M ⊂ A. Por outro lado, A ⊂ N , pois M é um ideal de A. Assim, M = MA ⊂ MN ⊂ A. Como M é maximal, segue que M = N M ou N M = A. Suponhamos que M = N M e consideremos α ∈ N . Então αM ⊂ M, α2_{M ⊂ αM ⊂ M e α}n_{M ⊂ M, para todo n ∈ N. Seja d ∈ M , d 6= 0. Então, dα}n _{∈ A.}

Portanto, A[α] é um ideal fracionário. Como A é noetheriano, pela Proposi¸cão (1.5.2), segue que A[α] é um A-módulo finitamente gerado. Pelo Teorema (1.2.1), segue que α é inteiro sobre A. Sendo A integralmente fechado, segue que α ∈ A. Assim, N ⊂ A e como A ⊂ N segue que N = A. Falta mostrar que esta igualdade é imposs´ıvel. Seja a ∈ M. Pela Proposi¸cão (1.1.3), temos que hai = aA ⊃ p1p2. . . pn, onde os pis são ideais primos não

nulos de A, com n o menor valor poss´ıvel. Assim, M ⊃ aA ⊃ p1p2. . . pn. Pelo Lema (1.5.1),

M cont´em um dos pi, para algum i = 1, . . . , n. Sem perda de generalidade, digamos que

seja p1, isto é, M ⊃ p1. Como A é Dedekind, segue que M = p1, pois p1 é maximal. Agora,

considere p = q2. . . qn. Ent˜ao, aA ⊃ Mq e aA 6⊃ q, pela minimalidade de n. Assim, existe

b ∈ q e b 6∈ hai tal que Mb ⊂ hai. Logo, b

aM ⊆ A e assim b

a ∈ N . Como b 6∈ hai segue que b

a 6∈ A. Assim, n 6= A. Portanto, MN = A.

Teorema 1.5.2 Se A é um anel de Dedekind, que não é um corpo e F é o conjunto dos ideais primos de A, então todo ideal fracionário b não nulo de A é um produto de ideais primos de A, de modo único, isto é, b =

n

Y

i=1

pei

i , onde e1, . . . , en s˜ao inteiros positivos.

Demonstra¸cão: Se b é um ideal fracionário de A, então existe d ∈ A − {0} tal que db ⊆ A. Como b = (db)(d−1A) segue que é suficiente mostrar o resultado para ideais inteiros. Seja F a fam´ılia dos ideais inteiros de A, não nulos, que não são um produto de ideais primos de A. Suponhamos que F 6= ∅. Como A é noetheriano, segue que F tem um elemento maximal M. Temos que M 6= A, pois A é o produto da cole¸cão vazia de ideais primos. Assim, M ⊆ p, onde p ´_{e um ideal maximal de A. Pelo Lema (1.5.3), temos que q = {x ∈ K : xp ⊂ A} é} tal que pq = A. Como M ⊆ p segue que M q ⊆ pq = A. Além disso, como A ⊂ q, segue que M = M A ⊂ M q ⊂ A. Temos que M ( M q, pois se M = M q e se α ∈ q, então αM ⊂ M , α2_{M ⊂ αM ⊂ M e α}n_{M ⊂ M , para todo n ∈ N. Assim, se d ∈ M − {0}, então}

dαn ∈ M ⊆ A. Portanto, A[α] é um ideal fracionário de A. Como A é noetheriano, pela Proposi¸cão (1.5.2), segue que A[α] é um A-módulo finitamente gerado. Pelo Teorema (1.2.1), segue que α é inteiro sobre A, e sendo A integralmente fechado, segue que α ∈ A. Portanto, q⊂ A e assim q = A. Mas isto é imposs´ıvel, pois se q = A, então p = pA = pq = A, o que

(41)

é um absurdo, pois p é um ideal primo. Pela maximilidade de M e como M ⊆ M q temos que M q 6∈ F , ou seja, M q = p1. . . pn, onde pi, para i = 1, . . . , n, são ideais primos de A.

Multiplicando por p em ambos os lados, temos que M = p1. . . pnp, o que ´e um absurdo, pois

M ∈ F . Portanto, F = ∅.

Defini¸c˜_{ao 1.5.3 Sejam A um dom´ınio e K seu corpo de fra¸cões. Sejam b e c ideais} fra-cionários de A. Dizemos que b divide c se existe um ideal inteiro m de A tal que c = bm. Lema 1.5.3 Sejam A um dom´ınio, K seu corpo de fra¸cões e b e c ideais fracionários de A. Então b divide c se, e somente se, c ⊆ b

Demonstra¸cão: Se b divide c então existe um ideal m ⊆ A tal que c = bm ⊆ b. Por outro lado, se c ⊆ b então cb−1 ⊆ bb−1 = A. Mas isto implica que cb−1 é um ideal inteiro tal que (cb−1)b = c. Portanto, b divide c.

Corol´ario 1.5.1 O conjunto dos ideais fracion´arios de A formam um grupo.

Demonstra¸cão: Pelo Lema (1.5.3), temos que todo ideal m de A é invers´ıvel. Além disso, A é o elemento neutro e a multiplica¸cão de ideais é associativa.

Defini¸c˜_{ao 1.5.4 Sejam A um anel de Dedekind e K seu corpo de fra¸c˜oes. O grupo quociente} C(A) = I(A)

F (A) é chamado grupo das classes de ideais de A, onde I(A) é o grupo dos ideais fracionários não nulos de A, e F (A) é o subgrupo dos ideais fracionários principais de A.

Nota¸c˜ao: h = #C(A).

Observa¸cão 1.5.1 Se A é um dom´ınio de Dedekind, então, A é principal se, e somente se, h = 1.

1.6 Norma de um ideal

Nesta se¸cão definimos a norma de um ideal do anel de inteiros de um corpo de números e veremos algumas propriedades, dentre elas que a norma é multiplicativa. Para isso, conside-raremos K um corpo de números de grau finito n e OK o anel de inteiros de K.

Defini¸c˜ao 1.6.1 Seja a um ideal de O_K. A norma de a ´e definida como N (a) = # OK a

.