Diferente

Nesta se¸c˜ao veremos o conceito de diferente juntamente com suas principais propriedades. Para isso, sejam A um dom´ınio de Dedekind, K seu corpo de fra¸c˜oes, L uma extens˜ao separ´_{avel de K de grau n, OL o anel de inteiros de L sobre A e O}∗_L o codiferente de O_L. Defini¸c˜ao 3.2.1 O ideal de O_L igual ao inverso do ideal fracion´ario O_L∗ ´e chamado di- ferente de O_{L sobre A (ou de L sobre K) e denotado por ∆(OL|A) (ou ∆(L|K)). Em} particular, se K = Q, o diferente de OL sobre Z ´e chamado de diferente absoluto.

Observa¸c˜ao 3.2.1 Como O_L ⊆ O∗

L segue que ∆(OL|A) ´e um ideal inteiro de OL. Sendo

O_L um dom´ınio de Dedekind, pelo Teorema (1.5.2) temos que ∆(O_L|A) pode ser escrito de modo ´unico como ∆(O_L|A) =

g Y i=1 psi i , onde p 0

is s˜ao ideais primos de OL e si ≥ 0 s˜ao inteiros,

Proposi¸c˜_{ao 3.2.1 Se L = K[α], onde α ∈ OL} e se g(x) ∈ A[x] ´e o polinˆomio minimal de α sobre K, ent˜ao ∆(OL|A) = OLg

0

(α) se, e somente se, O_L = A[α].

Demonstra¸c˜ao: Se O_L = A[α], temos pelo Teorema (3.1.2), que O_L∗ = 1

g0(α)OL. As- sim ∆(O_L|A) = (O∗

L) −1 ₌  1 g0(α)OL −1

= g0(α)O_L. Reciprocamente, se z ∈ O_L, ent˜ao, existe um polinˆ_{omio h(x) ∈ K[x], de grau menor que n = [L : K], tal que z = h(α). Na} demonstra¸c˜ao do Teorema (3.1.1), vimos que

1 = n X k=1 g(x) g0 (αk)(x − αk) = n X k=1 Y i6=k x − αi αk− αi ,

onde α = α1, . . . , αn, s˜ao os conjugados de α sobre K. O polinˆomio h1(x) = n X k=1 h(αk) Y i6=k x − αi αk− αi

tem grau menor que n e h1(αj) = n X k=1 h(αk) Y i6=k αj− αi αk− αi

= h(αj), pois se k 6= j temos que

Y

i6=k

αj − αi

αk− αi

= 0. Assim, h(x) = h1(x), pois o polinˆomio h(x) − h1(x) tem n ra´ızes. Mas,

T r_L|K  zg(x) g0(α)(x − α)  = T r_L|K zY i6=k x − αi α − αi ! = n X k=1 h(αk) Y i6=k x − αi αk− αi = h(x). Como os coeficientes de g(x)

x − α pertencem a L e s˜ao inteiros sobre A, segue que g(x) x − α ∈ O_L[x], e como z g0(α) ∈ OL ∗ segue que h(x) = T r_L|K  zg(x) g0(αk)(x − α)  ∈ A[x]. Assim, z = h(α) ∈ A[α], e portanto, O_L = A[α].

Exemplo 3.2.1 Sejam A = Z, K = Q e L = Q(√2). Pelo Exemplo (3.1.1) temos que O_L∗ = ₂√1

2OL. Assim, ∆(OL|Z) = (OL ∗

)−1 = 2√_2Z[√2].

Exemplo 3.2.2 Sejam A = Z, K = Q e L = Q(ξ3), onde ξ3 ´e raiz c´ubica da unidade. O

polinˆomio minimal de ξ3 ´e g(x) = x2+ x + 1. Pela Proposi¸c˜ao (3.2.1) temos que ∆(OL|Z) =

g0(ξ3)OL = (2ξ3+ 1)Z[ξ3].

Observa¸c˜ao 3.2.2

1. Para corpos quadr´_{aticos L = Q(}√d), com d livre de quadrados, temos:

• Se d ≡ 2(mod 4) ou d ≡ 3(mod 4), pelo Teorema (2.1.1), temos que O_{L = Z[}√d] e pela Proposi¸c˜ao (3.2.1) temos que ∆(O_{L|Z) = Z[}√d]g0(√d), onde g(x) ´e o polinˆomio minimal de √_{d sobre Q.}

• Se d ≡ 1(mod 4), pelo Teorema (2.1.1), temos que O_{L = Z[}1+√d

2 ] e pela Proposi¸c˜ao

(3.2.1) temos que ∆(O_{L|Z) = Z[}1+

√ d 2 ]g 0 (1+ √ d

2 ), onde g(x) ´e o polinˆomio minimal

de 1+

√ d

2 sobre Q.

2. Se ξm ´e uma raiz m-´esima primitiva da unidade, ent˜ao pela Proposi¸c˜ao (3.2.1) temos

que ∆(O_{L|Z) = Z[ξ}m]g(ξm), onde g(x) ´e o polinˆomio minimal de ξm sobre Q.

Exemplo 3.2.3 Seja L = Q(√5) = Q(1+

√ 5

2 ). Pela Observa¸c˜ao (3.2.2), ∆(OL|Z) =

Z[1+ √ 5 2 ]g 0 (1+ √ 5

2 ), onde g(x) ´e o polinˆomio minimal de 1+√5

2 sobre Q. Fazendo as contas

obtemos ∆(O_{L|Z) = Z[}1+ √ 5 5 ] √ 5.

Proposi¸c˜ao 3.2.2 Seja B um ideal fracion´ario de O_L. Ent˜ao T r_L|K(B) ⊆ A se, e somente se, B ⊆ O_L∗ = ∆(O_L|A)−1_.

Demonstra¸c˜ao: Se B ⊂ O_L∗ ent˜ao T r_L|K(B) ⊆ A. Por outro lado, se x ∈ O_L e y ∈ B, temos que xy ∈ O_LB = B. Como T r_L|K(B) ⊆ A, segue T r_L|K(xy) ∈ A. Portanto, B ⊂ O∗

L.

Lema 3.2.1 Sejam A, B ideais fracion´_{arios de L. Se para todo M ideal fracion´ario de L} tem-se que M ⊆ A se, e somente se, M ⊆ B, ent˜ao A = B.

Demonstra¸c˜ao: Se x ∈ A ent˜ao M = hxi ⊂ A. Assim, M ⊂ B, ou seja, x ∈ B. Logo, A ⊆ B. De modo an´alogo, temos que B ⊆ A. Portanto, A = B.

Proposi¸c˜_{ao 3.2.3 Seja N uma extens˜ao separ´avel de L de grau finito. Se ON} e O_L e A s˜ao os an´_{eis de inteiros de N, L e K, respectivamenete, ent˜ao}

∆(O_N|A) = O_N∆(O_L|A)∆(O_N|O_L).

Demonstra¸c˜ao: Seja M um ideal fracion´ario de O_N tal que M ⊆ ∆(O_N|O_L)−1. Pela Proposi¸c˜ao (3.2.2), temos que T r_N|L(M) ⊆ O_L. Assim,

∆(O_L|A)−1 ⊇ ∆(O_L|A)−1T r_N|L(M). Como M = MO_N segue que ∆(O_L|A)−1 _{⊇ T r}

N|L(ON∆(OL|A)

−1_{M). Temos tamb´em que}

A ⊇ T r_L|K(∆(O_L|A)−1) ⊇ T r_L|K(T r_N|L(O_N∆(O_L|A)−1)M) = T r_N|K(O_N∆(O_L|A)−1M). Novamente, pela Proposi¸c˜ao (3.2.2), temos que

O_N∆(O_L|A)−1M ⊆ ∆(O_N|A)−1 e que M ⊆ T_N|K(∆(O_L|A)∆(O_N|A)−1). Pelo Lema (3.2.1) segue que ∆(O_N|O_L)−1 = O_N∆(O_L|A)∆(O_N|A)−1_{. Portanto,}

Defini¸c˜_{ao 3.2.2 Sejam K um corpo de n´umeros, L uma extens˜ao finita de K de grau n, e} O_K e O_L os an´_{eis de inteiros de K e L, respectivamente. Sejam p um ideal primo de OK}, S = O_K− p, O0 K = S −1_O K e O 0 L = S −1_O L. O diferente ∆(O 0 L|O 0 K) ´e chamado de diferente

de L|K sobre p e ´e denotado por ∆p(L|K).

Proposi¸c˜ao 3.2.4 Com as nota¸c˜oes da Defini¸c˜ao (3.2.2), temos que O_L0∆(O_L|O_K) = ∆(O0_L|O0_K). Demonstra¸c˜ao: Se x ∈ O0

L∆(OL|OK) ent˜ao x ´e da forma

y

s, com y ∈ ∆(OL|OK) e s ∈ S. Seja z ∈ (O_L0)∗, onde (O0_L)∗ ´e o codiferente do O_K0 -m´odulo O0_L. Assim, T r_L|K(zO0_L) ⊂ O_K0 . Sendo O_L um O_K-m´odulo finitamente gerado, ent˜ao considere {t1, . . . , tm} um sistema de

geradores. Seja T r_L|K(zti) =

ai

si

, com ai ∈ OK e si ∈ S. Se s0 = s1. . . sm ∈ S ent˜ao

T r_L|K(zs0ti) = s0T rL|K(zti) ∈ OK,

para i = 1, 2, . . . , n. Assim, T r_L|K(zs0OL) ⊆ OK e portanto zs0 ∈ O_L∗, isto ´e, yzs0 ∈ OL, pois

y ∈ ∆(O_L|O_K). Logo, xz = yz s = yzs0 ss0 ∈ O0_L o que implica que x ∈ ∆(O0

L|A 0 ). Assim, O0 L∆(OL|OK) ⊆ ∆(O 0 L|O 0

K). Por outro lado, seja

x ∈ ∆(O0_L|O0_K). Sendo O∗_L um ideal fracion´ario de O_L, segue que O∗_L ´e um O_K-m´odulo finitamente gerado. Seja {z1, . . . , zm} um sistema de geradores do OK-m´odulo O

∗

L. Temos

que T r_L|K(ziOL) ⊆ OK, para i = 1, . . . , n. Como S ⊆ K, segue que T rL|K(ziO

0 L) ⊆ O 0 K, ou seja, zi ∈ (O 0 L) ∗_{. Assim,} xzi ∈ O 0 L, ou seja xzi = bi si com bi ∈ L e si ∈ S.

Se s = s1. . . sm ∈ S, ent˜ao sxzi ∈ OL, para todo i = 1, . . . , m e assim sxO ∗

L ⊆ OL.

Portanto sx ∈ ∆(O_L|O_K) e x ∈ O0_L∆(O_L|O_K). Logo, ∆(O0_L|O0_K) ⊆ O0_L∆(O_L|O_K). Portanto, O_L0∆(O_L|O_K) = ∆(O0_L|O0_K).

Lema 3.2.2 Sejam p um ideal primo n˜ao nulo de O_K, S = O_K − p, O_K0 = S−1O_K e O_L0 = S−1O_L. Se {x0₁, . . . , x0_n} ´e uma base do O0_K-m´odulo O0_L ent˜ao O0_KD_L|K(x0₁, . . . , x0_n) = O0

KN (∆(OL|OK)).

Demonstra¸c˜ao: Pelo Teorema (1.7.1) temos que O0

L ´e um dom´ınio de Dedekind. Pela

Proposi¸c˜ao (1.7.2), temos que O_L0 tem somente um n´umero finito de ideais primos e pela Proposi¸c˜ao (2.3.4) temos que O0_L´e um dom´ınio de ideais principais. Se (O0_L)∗ ´e o codiferente

do O0_K-m´odulo O0_L livre temos que (O_L0)∗ ´e um ideal fracion´ario de O_L0_{. Logo, existe y ∈ L,} y 6= 0, tal que (O_L0)∗ = O_L0y. Assim, pela Proposi¸c˜ao (3.2.4), temos que

O0_Ly−1 = ∆(O_L0|O0_K) = O0_L∆(O_L|O_K).

Se {x0₁, . . . , x0_n} ´e uma base de O0_K-m´odulo O_L0 ent˜ao {yx0₁, . . . , yx0_n} ´e uma base de (O0_L)∗. Pela Proposi¸c˜ao (3.1.2), temos que (O0

L)

∗ _{tem uma base complementar {(x}0

1)

∗_{, . . . , (x}0

n) ∗_}

sobre O_K0 . Pela Proposi¸c˜ao (1.1.2) e pelo Lema (1.4.2), temos que D_L/K((x0₁)∗, . . . , (x0_n)∗) = D_(O L 0 )∗_/O0 K ((x0₁)∗, . . . , (x0_n)∗) e D_L/K(yx0₁, . . . , yx0_n) = D_((O0 L) ∗_/O0 K)

(y(x0₁)∗, . . . , y(x0_n)∗) s˜ao elementos associados de O_K0 . Mas

D_L/K(x0₁, . . . , x0_n)D_L/K((x0₁)∗, . . . , (x0_n)∗) = 1

e D_L/K(yx0₁, · · · , yx0_n) = [N (y)]2 D_L/K(x0₁, . . . , x0_n). Portanto, [N (y)]2[D_L/K(x0₁, . . . , x0_n)]2 ´e uma unidade de O_K0 . Portanto, O_K0 D_L/K(x₁0, . . . , x0_n) = O0_KN (y−1). Seja y = z

a onde z ∈ OK, a ∈ S. Como O_L0y−1 = O_L0∆(O_L|O_K) segue que

O0_L(O_La) = O_L0(O_Lz∆(O_L|O_K)).

Logo, O_La = O_Lz∆(O_L|O_K). Assim, N (O_La) = N (O_Lz)N (∆(O_L|A)), e portanto an_O K =

O_KN (z)N (∆(O_L|O_K)). Assim, an_O0 K = O

0

KN (z)N (∆(OL|OK)) e portanto N (a)O

0

KN (z −1₎

=O0_KN (∆(O_L|O_K)). Logo, N (az−1)O0_K = O0_KN (∆(O_L|O_K)), e assim, N (y−1)O_K0 = O_K0 N (∆(O_L|O_K)).

Portanto, O_K0 D_L/K(x0₁, . . . , x0_n) = O0_KN (∆(O_L|O_K)).

Teorema 3.2.1 Com as mesmas nota¸c˜oes do Lema (3.2.2), temos que N (∆(O_L|O_K)) = D_L/K.

Demonstra¸c˜ao: Sejam {x1, . . . , xn} uma K-base de L contida em OL e {x

0

1, . . . , x

0

n} uma

base do O_K0 -m´odulo O_L0. Assim xj = n

X

i=1

a0_ijx0_i, com a0_ij ∈ O_K0 , para j = 1, . . . , n. Assim, D_L/K(x1, . . . , xn) ∈ O 0 KDL/K(x 0 1, . . . , x 0

n). Pelo Lema (3.2.2), temos que

D_L/K(x1, . . . , xn) ⊆ O

0

KN (∆(OL|OK)),

e isto implica que D_L/K ⊆T O0_KN (∆(O_L|O_K)). Pela Proposi¸c˜ao (1.7.3), temos que D_L/K ⊆ N (∆(O_L|O_K)).

Reciprocamente, sejam D_L|K = ps_{A e N (∆(O}

L|OK)) = p

s0_{B, onde A, B s˜ao ideais de O} K, n˜ao

m´ultiplos de p. Devemos mostrar que s ≤ s0, pois se ´e verdadeiro para todo ideal primo p 6= 0 de O_K, temos que D_L/Kdivide N (∆(O_L|O_K)), ou seja, N (∆(O_L|O_K)) ⊆ D_L|K. Para todo ideal primo p 6= 0 de O_K, escolhemos uma base {x0₁, . . . , x0_n} do O0

K-m´odulo O

0

L. Multiplicando

por um elemento conveniente de S temos que cada x0_i ∈ O_L. Seja O_KD_L/K(x0₁, . . . , x0_n) = prI, onde I ´e um ideal O_K n˜ao m´ultiplo de p. Pelo Corol´ario (1.7.2), temos que

O_K0 D_L/K(x0₁, . . . , x0_n) = (O_K0 p)r

e pelo Lema (3.2.2), temos que O_K0 D_L/K(x0₁, . . . , x0_n) = O_K0 N (∆(O_L|O_K)) = (O0_Kp)s

0

. Assim, s0 = r. Como D_L/K⊃ O_KD_L/K(x0₁, . . . , x0_n) = ps0_{I segue que D}

L/Kdivide ps 0 I, e ent˜ao s ≤ s0. Assim, N (∆(O_L|O_K)) ⊆ D_L/K. Portanto, N (∆(O_L|O_K)) = D_L/K.

Proposi¸c˜_{ao 3.2.5 Se K ´e uma extens˜ao c´ıclica de grau primo n > 2 e p > n ´e o ´unico} primo que ramifica em K, ent˜ao o discriminante de K ´e DK = p

n−1_.

Demonstra¸c˜ao: Como p ´_{e totalmente ramificado em K segue que pOK} = pn_{. Como}

p - n, segue que pn−1 | ∆(O_{K|Q), mas p}n

- ∆(OK|Q). Agora, como ∆(OK|Q) = p n−1 _e

Cap´ıtulo 4

Reticulados e ideais reticulados

Intuitivamente, entende-se por reticulado um subconjunto discreto do Rn_{que tem a estrutura}

de um Z-m´odulo de posto finito n. Neste cap´ıtulo apresentamos as defini¸c˜oes de reticulado, empacotamento esf´erico, densidade de empacotamento, densidade de centro e homomorfismo canˆonico. Atrav´es do homomorfismo canˆonico obtemos um m´etodo para gerar reticulados no Rn_{. Os reticulados obtidos desta maneira dependem diretamente do anel de inteiros do}

corpo de n´umeros. Apresentamos tamb´em o conceito de ideais reticulados. Usando esta teoria, veremos formas de se obter reticulados rotacionados no Rn que s˜ao t˜ao bons quanto os j´a conhecidos. Os resultados aqui mencionados podem ser encontrados nas referˆencias [8], [9], [11], [12], [13], [14] e [15].

4.1

Reticulados

Nesta se¸c˜ao apresentamos o conceito de reticulado, enfocando suas principais propriedades. Defini¸c˜ao 4.1.1 Sejam V um espa¸co vetorial de dimens˜_{ao finita n sobre um corpo K, A ⊂ K} um anel e v1, . . . , vmvetores de V linearmente independentes sobre K, com m ≤ n. Chama-se

reticulado com base β = {v1, . . . , vm} ao conjunto de elementos de V da forma

( x = m X i=1 aivi, com ai ∈ A ) , que ser´a denotado por Hβ.

Defini¸c˜ao 4.1.2 Seja Hβ ⊂ Rn um reticulado, com Z-base β = {v1, . . . , vm}. O conjunto

Pβ = ( x ∈ Rn: x = m X i=1 λivi, 0 ≤ λi < 1 ) ,

´e chamado de regi˜ao fundamental de Hβ, com rela¸c˜ao a base {v1, . . . , vm}.

Se Hβ ´e um reticulado com base β = {v1, . . . , vm} e se e1, . . . , em s˜ao elementos quaisquer

de Hβ, ent˜ao ei = m

X

j=1

aijvj, com aij ∈ Z. Uma condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para que

{e1, . . . , em} seja uma base de Hβ ´e que det(aij) seja um elemento invers´ıvel de Z.

Exemplo 4.1.1 Hβ = Z2 ´e um reticulado gerado pelos vetores e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1) com

regi˜ao fundamental descrita na figura abaixo.

t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t - 6 - 6 e1 e2 Z2

Defini¸c˜_{ao 4.1.3 Um subconjunto H do R}n ´e discreto se para qualquer subconjunto com- pacto (fechado e limitado) K do Rn, tivermos H ∩ K finito.

Exemplo 4.1.2 Zn ´_{e um exemplo de subconjunto discreto do R}n.

Pelo pr´oximo teorema temos que um reticulado ´_{e gerado sobre Z por uma base do R}n. Teorema 4.1.1 Se H ´_{e um subgrupo discreto do R}n, ent˜ao H ´_{e gerado como um Z-m´odulo} por r vetores linearmente independentes sobre R, com r ≤ n.

Demonstra¸c˜ao: Seja β = {e1, . . . , er} um conjunto de vetores de H que s˜ao linearmente

independentes sobre R, onde r ´e o maior poss´ıvel, com r ≤ n. Considere o paralelep´ıpedo Pβ = ( x ∈ Rn : x = r X i=1 αiei, 0 ≤ αi ≤ 1 )

, constru´ıdo a partir destes vetores. Como Pβ ´e

x ∈ H, ent˜ao pela maximalidade de r, segue que {x, e1, . . . , er} ´e linearmente dependente.

Logo, existem λi ∈ R, para i = 1, . . . , r, n˜ao todos nulos, tal que x = r X i=1 λiei. Para cada j ∈ N, seja xj = jx − r X i=1 [jλi]ei ∈ H, (4.1)

onde [k] denota o maior inteiro menor ou igual a k. Assim, xj = j r X i=1 λiei − r X i=1 [jλi]ei = r X i=1

(jλi − [jλi])ei ∈ Pe ∩ H. Dessa forma, tomando j = 1 na Equa¸c˜ao (4.1), temos que

x1 = x − r X i=1 [λi]ei, ou seja, x = x1+ r X i=1

[λi]ei. Assim, como x1 ∈ Pe∩ H e este ´e finito, segue

que H ´_{e finitamente gerado como um Z-m´odulo. Por outro lado, como P}e∩ H ´e finito e como

N ´e infinito, segue que existem inteiros j e k, tais que xj = xk. Da Equa¸c˜ao (4.1), segue que

xj = xk ⇒ jx− r X i=1 [jλi]ei = kx− r X i=1 [kλi]ei ⇒ (j −k)x = r X i=1 [jλi−kλi]ei ⇒ (j −k) r X i=1 λiei = r X i=1 ([jλi] − [kλi])ei ⇒ (j − k)λi = [jλi] − [kλi] ⇒ λi = [jλi] − [kλi] j − k , ou seja, λi ∈ Q. Assim, como H ´_{e gerado como um Z-m´odulo por um n´umero finito de elementos, segue que s˜ao} combina¸c˜oes lineares com coeficientes racionais dos e,_is. Seja d 6= 0 um denominador comum destes coeficientes. Consideremos o conjunto dH. Temos que dH ⊂

r

X

i=1

Zei. Da´ı, pelo

Teorema (1.1.1) segue que existe uma base {f1, . . . , fr} do Z-m´odulo r

X

i=1

Zei e inteiros αi,

tal que {α1f1, . . . , αrfr} gera dH sobre Z. Como o Z-m´odulo dH tem o mesmo posto de H

e como

r

X

i=1

Zei ⊂ H, segue que o posto de dH ≤ r. Pela maximalidade de r, decorre que o

posto de dH ´e r e os α,_is s˜ao n˜ao nulos pois, caso contr´ario dH n˜ao teria posto r. Assim os f_i,s s˜_{ao linearmente independentes sobre R e, consequentemente, H tamb´em ´e gerado por r} vetores linearmente independentes sobre R.

Observa¸c˜_{ao 4.1.1 Segue do Teorema (4.1.1) que qualquer subgrupo discreto do R ´e um} reticulado.

Defini¸c˜_{ao 4.1.4 Seja H ⊂ R}n um reticulado, v = {v1, . . . , vn} uma base de H e Pv a regi˜ao

fundamental Pv como o m´odulo do determinante da matriz        v11 v12 · · · v1n v21 v22 · · · v2n .. . ... . .. ... vn1 vn2 · · · vnn        ,

que denotamos por Vol(Pv).

Proposi¸c˜ao 4.1.1 O volume da regi˜ao fundamental Vol(Pv) independe da base v de H.

Demonstra¸c˜ao: Se {f1, . . . , fn} ´e outra base de H, ent˜ao fi = n

X

i=1

αijvj, com aij ∈ Z.

Assim, Vol(Pf) = |det(αij)| Vol(Pv). Como a matriz de mudan¸ca de base (aij) ´e invers´ıvel,

segue que det(aij) = ±1. Portanto, Vol(Pf) = Vol(Pv).

Note que, sendo β0 uma outra base de Hβ, segue que Vol(Hβ) = Vol(Hβ0), pois β e

β0 diferem pelo produto de uma matriz invers´ıvel com entradas inteiras. Dessa forma, faz sentido definir o volume de Hβ como sendo o volume de uma regi˜ao fundamental.

Defini¸c˜ao 4.1.5

1. Um empacotamento esf´_{erico, ou simplesmente um empacotamento no R}n, ´e uma distribui¸c˜_{ao de esferas de mesmo raio no R}n de forma que a interse¸c˜ao de quaisquer duas esferas tenha no m´aximo um ponto. Pode-se descrever um empacotamento indi- cando apenas o conjunto dos centros das esferas e o raio.

2. Um empacotamento reticulado ´e um empacotamento em que o conjunto dos centros das esferas formam um reticulado Hβ de Rn.

3. Dado um empacotamento no Rn, associado a um reticulado Hβ, com Z-base {v1, . . . , vn},

definimos a densidade de empacotamento como sendo a propor¸c˜ao do espa¸_{co R}n coberto pela uni˜ao das esferas.

Estamos interessados no empacotamento associado a um reticulado Hβ em que as esferas

tenham raio m´aximo. Para a determina¸c˜ao deste raio, observe que fixado k > 0, a interse¸c˜ao do conjunto compacto {x ∈ Rn; |x| ≤ k} com o reticulado Hβ ´e um conjunto finito, de

onde segue que o n´umero Hβmin = min{|λ|; λ ∈ Hβ, λ 6= 0} est´a bem definido e (Hβmin)

2

poss´ıvel distribuir esferas centradas nos pontos de Hβ e obter um empacotamento. Dessa

forma, estudar os empacotamentos reticulados equivale ao estudo dos reticulados.

Denotando por B(ρ) a esfera com centro na origem e raio ρ, temos que a densidade de empacotamento de Hβ ´e dada por

∆(Hβ) =

volume da regi˜ao coberta pelas esferas volume da regi˜ao fundamental =

Vol(B(ρ)) Vol(Hβ) = Vol(B(1))ρ n Vol(Hβ) .

Portanto, o problema se reduz ao estudo de um outro parˆametro, chamado densidade de centro, que ´e dado por

δ(Hβ) =

ρn Vol(Hβ)

.

Exemplo 4.1.3 Se Hβ = Z2 com base (1, 0) e (0, 2), temos que ρ = 1/2, Vol(B(1)) = π1 =

π, o volume do reticulado ´e Vol(Hβ) = 1 × 2 = 2, a densidade de empacotamento ´e

∆(Hβ) = Vol(B(1)). ρ2 Vol(Hβ) = π1 4. 1 2 = π 8 e a densidade de centro ´e δ(Hβ) = 1/8.

Um dos problemas de empacotamento esf´erico de um reticulado Hβ do Rn ´e encontrar

um empacotamento com maior densidade.

No documento Reticulados Numéricos (páginas 71-81)