Aula 10

UFABC - Física Quântica - Curso 2017.3 Prof. Germán Lugones

Aula 10

A função de onda 𝛙(x,t) contém toda a informação sobre o comportamento de uma partícula.

𝛙_{(x,t) pode ser obtida a partir da equação de Schrödinger independente do} tempo.

Resta ainda saber como podemos extrair a informação do sistema a partir da função de onda 𝛙(x,t).

Obter informações sobre: - posição,

- momento, - energia,

Suponha que preparamos vários sistemas idênticos (por exemplo, átomos de hidrogénio com o elétron no estado fundamental).

Se medimos a posição da partícula, a probabilidade de a probabilidade de encontrá-la entre x e x+dx é:

P(x,t) dx = 𝛙*(x,t)𝛙(x,t)dx

Se realizarmos uma série de medidas desses sistemas, no mesmo instante de tempo t, obteremos diferentes valores da posição x.

A média desses valores é:

Em mecânica quântica, este valor médio é denominado valor esperado da coordenada.

Valor esperado da posição

hxi =

Z

₁ 0

xP (x, t)dx =

Z

₁ 0 ⇤

_{(x, t)x (x, t)dx}

O valor esperado de qualquer função pode ser calculado da mesma forma:

Mesmo pode ser feito para uma função que dependa explicitamente do tempo, pois todas as medidas são realizadas no mesmo instante de tempo t:

hx

2

i =

Z

₁ 0

x

2

P (x, t)dx =

Z

₁ 0 ⇤

_{(x, t)x}

2

_{(x, t)dx}

hf(x)i =

Z

₁ 0

f (x)P (x, t)dx =

Z

₁ 0 ⇤

_{(x, t)f (x) (x, t)dx}

hf(x, t)i =

Z

₁ 0

f (x, t)P (x, t)dx =

Z

₁ 0 ⇤

_{(x, t)f (x, t) (x, t)dx}

O valor esperado do momento p de uma partícula é:

Para calcular a integral anterior, precisamos escrever p em função de x e t. No entanto, lembremos que pelo princípio de incerteza não é possível determinar x e p simultaneamente → não é possível escrever p=p(x,t); não há trajetórias em Física Quântica.

Para encontrar a uma relação entre x e p vamos considerar uma onda senoidal:

Valor esperado do momento

hpi =

Z

₁ 0

pP (x, t)dx =

Z

₁ 0 ⇤

_{(x, t)p (x, t)dx}

(x, t) = e

i(kx !t)

Derivamos em relação a x:

Portanto (usando –i = 1/i) temos:

Em Física Quântica, a variável dinâmica p é representada por um operador diferencial:

Esta associação foi obtida no caso particular de uma função de onda senoidal. No entanto, a relação é válida em geral.

@ (x, t)

@x

=

@e

i(kx !t)

@x

= ike

i(kx !t)

_{= i}

p

~

p (x, t) =

i

~

@

@x

(x, t)

p =

i

~

@

@x

Agora podemos calcular o valor esperado do momento: hpi = Z ₁ 0 ⇤_{(x, t)[p (x, t)]dx =} Z 1 0 ⇤_{(x, t)}  i~ @ @x (x, t) dx

O valor esperado da energia E de uma partícula é:

Para obter E em função de x e t, vamos considerar novamente uma onda senoidal:

Derivamos em relação a t:

Valor esperado da energia

(x, t) = e

i(kx !t) hEi = Z ₁ 0 E P (x, t)dx = Z ₁ 0 ⇤_{(x, t)E (x, t)dx}

@ (x, t)

@t

=

@e

i(kx !t)

@t

=

i!e

i(kx !t)

₌

_i

E

~

Portanto (usando –i = 1/i) temos:

A variável dinâmica E é representada pelo operador diferencial:

Esta associação foi obtida no caso particular de uma função de onda senoidal, mas a relação é válida em geral.

O valor esperado da energia é:

E (x, t) = i

~

@

@t

(x, t)

E = i

~

@

@t

Agora podemos calcular o valor esperado do momento: hEi = Z ₁ 0 ⇤_{(x, t)[E (x, t)]dx =} Z 1 0 ⇤_{(x, t)}  i~ @ @t (x, t) dx

A função de onda de uma partícula livre é:

onde A é uma constante.

1) Onde está localizada uma partícula livre?

Para determinar a localização da partícula calculamos a densidade de probabilidade:

Como P(x, t) = A*A é uma constante para todo x, existe a mesma probabilidade de encontrar a partícula em qualquer lugar do espaço. Em outras palavras, a partículas livre está "deslocalizada".

Valores esperados para a partícula livre

(x, t) = Ae

i(kx !t)

2) Valor esperado do momento:

O valor esperado do momento de uma partícula livre é k.

Temos assim, ∆x=∞ e ∆p=0, em concordância com o princípio de incerteza

hpi = Z ₁ 0 ⇤_{(x, t)[p (x, t)]dx =} Z ₁ 0 ⇤_{(x, t)}  i~ @ @x (x, t) dx = Z ₁ 0 A⇤e i(kx !t)  i~ @ @xAe i(kx !t) _dx = Z ₁ 0

A⇤e i(kx !t)( i~)(ik)Aei(kx !t)dx = ~k

Z ₁ 0

13

Encontre os valores de expectação <p> e <p2_{> para função de onda do}

estado fundamental de uma partícula em um poço de potencial infinito.

A parte espacial da função de onda de uma partícula no estado fundamental de um poço infinito é:

No cálculo dos valores de expectação podemos ignorar a parte temporal da função de onda 𝜙(t) = exp(-iEt/ ) já que se anula ao fazermos 𝜙*𝜙. Portanto, temos

Valores esperados para a partícula no poço infinito

6-2 The Infinite Square Well 243

Just as in the case of the standing-wave function for the vibrating string, we can con-sider this stationary-state wave function to be the superposition of a wave traveling to the right (first term in brackets) and a wave of the same frequency and amplitude trav-eling to the left (second term in brackets).

EXAMPLE 6-2 An Electron in a Wire An electron moving in a thin metal wire is a reasonable approximation of a particle in a one-dimensional infinite well. The poten-tial inside the wire is constant on average but rises sharply at each end. Suppose the electron is in a wire 1.0 cm long. (a) Compute the ground-state energy for the electron. (b) If the electron’s energy is equal to the average kinetic energy of the molecules in a gas at T 300 K, about 0.03 eV, what is the electron’s quantum number n?

SOLUTION

1. For question (a), the ground-state energy is given by Equation 6-25: E1 2 2 2mL2 2 _{1.055 10} 34 _{J s} 2 2 9.11 10 31 kg 10 2 m 2 6.03 10 34 J 3.80 10 15 eV

2. For question (b), the electron’s quantum number is given by Equation 6-24:

En n2E1

3. Solving Equation 6-24 for n and substituting En 0.03 eV and E1 from above

yields n2 En E₁ or n En E₁ 0.03 eV 3.80 10 15 eV 2.81 106

Remarks: The value of E₁ computed above is not only far below the limit of mea-surability, but also smaller than the uncertainty in the energy of an electron con-fined into 1 cm.

EXAMPLE 6-3 Calculating Probabilities Suppose that the electron in Exam-ple 6-2 could be “seen” while in its ground state. (a) What would be the prob-ability of finding it somewhere in the region 0 x L 4? (b) What would be

the probability of finding it in a very narrow region x 0.01L wide centered at

x 5L 8?

SOLUTION

(a) The wave function for the n 1 level, the ground state, is given by Equation 6-32 as

1 x 2 L sin x L TIPLER_06_229-276hr.indd 243 8/22/11 11:57 AM

6-4 Expectation Values and Operators 251

p

i x dx 6-48

Similarly, p2 can be found from

p2

i x i x dx

Notice that in computing the expectation value, the operator representing the physical quantity operates on (x, t), not on *(x, t); that is, its correct position in the integral is between * and . This is not important to the outcome when the operator is sim-ply some f (x), but it is critical when the operator includes a differentiation, as in the case of the momentum operator. Note that p2 is simply 2mE since, for the infinite square well, E p2 2m. The quantity

i x , which operates on the wave function

in Equation 6-48, is called the momentum operator p_op:

p_op

i x 6-49

EXAMPLE 6-5 Expectation Values for p and p2 _{Find p and p}2 _{for the} ground-state wave function of the infinite square well. (Before we calculate them, what do you think the results will be?)

SOLUTION

We can ignore the time dependence of , in which case we have p L 0 2 L sin nx L i x 2 L sin nx L dx i 2 L L L 0 sin x L cos x L dx 0

The particle is equally as likely to be moving in the x as in the x direction, so its

average momentum is zero.

Similarly, since i x i x 2 2 x2 2 2 L2 2 L sin x L 2 2 L2 we have p2 2 2 L2 L 0 dx 2 2 L2

The time-independent Schrödinger equation (Equation 6-18) can be written conveniently in terms of p_op:

1 2m p

2

O resultado anterior é fácil de entender. Existe a mesma probabilidade de que a partícula esteja se movimentando para esquerda ou para direita, portanto, o valor de expectação do momento é zero.

Para obter <p2> precisamos aplicar duas vezes o operador –i ∂/∂x ou

equivalentemente ( /i) ∂/∂x:

Assim, obtemos:

6-4 Expectation Values and Operators

251

p

i

x

dx

6-48

Similarly, p

2

can be found from

p

2

i

x

i

x

dx

Notice that in computing the expectation value, the operator representing the physical

quantity operates on (x, t), not on *(x, t); that is, its correct position in the integral

is between * and . This is not important to the outcome when the operator is

sim-ply some f (x), but it is critical when the operator includes a differentiation, as in the

case of the momentum operator. Note that p

2

is simply 2mE since, for the infinite

square well, E

p

2

2m. The quantity

i

x

, which operates on the wave function

in Equation 6-48, is called the momentum operator p

_op

:

p

_op

i

x

6-49

EXAMPLE 6-5 Expectation Values for p and p2

_{Find p and p}

2

_{for the}

ground-state wave function of the infinite square well. (Before we calculate them,

what do you think the results will be?)

SOLUTION

We can ignore the time dependence of , in which case we have

p

L 0

2

L

sin

nx

L

i

x

2

L

sin

nx

L

dx

i

2

L

L

L 0

sin

x

L

cos

x

L

dx

0

The particle is equally as likely to be moving in the x as in the x direction, so its

average momentum is zero.

Similarly, since

i

x i

x

2 2

x

2 2 2

L

2

2

L

sin

x

L

2 2

L

2

we have

p

2 2 2

L

2 L 0

dx

2 2

L

2

The time-independent Schrödinger equation (Equation 6-18) can be written conveniently

in terms of p

_op

:

1

2m

p

2

op

x

V x

x

E

x

6-50

6-4 Expectation Values and Operators

251

p

i

x

dx

6-48

Similarly, p

2

can be found from

p

2

i

x

i

x

dx

Notice that in computing the expectation value, the operator representing the physical

quantity operates on (x, t), not on *(x, t); that is, its correct position in the integral

is between * and . This is not important to the outcome when the operator is

sim-ply some f (x), but it is critical when the operator includes a differentiation, as in the

case of the momentum operator. Note that p

2

is simply 2mE since, for the infinite

square well, E

p

2

2m. The quantity

i

x

, which operates on the wave function

in Equation 6-48, is called the momentum operator p

_op

:

p

_op

i

x

6-49

EXAMPLE 6-5 Expectation Values for p and p2

_{Find p and p}

2

_{for the}

ground-state wave function of the infinite square well. (Before we calculate them,

what do you think the results will be?)

SOLUTION

We can ignore the time dependence of , in which case we have

p

L 0

2

L

sin

nx

L

i

x

2

L

sin

nx

L

dx

i

2

L

L

L 0

sin

x

L

cos

x

L

dx

0

The particle is equally as likely to be moving in the x as in the x direction, so its

average momentum is zero.

Similarly, since

i

x i

x

2 2

x

2 2 2

L

2

2

L

sin

x

L

2 2

L

2

we have

p

2 2 2

L

2 L 0

dx

2 2

L

2

The time-independent Schrödinger equation (Equation 6-18) can be written conveniently

in terms of p

_op

:

1

2m

p

2